https: drive.google.com open?id=0B RLti3UB3anYzNNNGU0eTFhRUU

Cập nhật đề thi mới nhất tại />
SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ

Câu 1:

Tìm tập xác định D của hàm số y = x 2017 .
A. D = ( −∞; 0 ) .

Câu 2:

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2017
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 90 phút

B. D = ( 0; ∞ ) .

C. D = ℝ .

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e 2 x .
1
A. ∫ e 2 x dx = − e 2 x + C .
2
2x
C. ∫ e dx = 2e2 x + C .
1

Câu 3:

Cho biểu thức P =
A. P =

Câu 4:

1
.
3
ab

a 3b
3

−

1
B. ∫ e 2 x dx = e 2 x + C .
2
2x
D. ∫ e dx = −2e 2 x + C .

1
3

−

1

1

− a 3b3

a 2 − 3 b2

, với a, b > 0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2

B. P = 3 ab .

1

C. P = ( ab ) 3 .

D. P = −

C. S = {2} .

1 
D. S =   .
2

3

( ab )

2

.

Tìm tập nghiệm S của phương trình 4 x+1 = 8 .
A. S = {1} .

Câu 5:

D. D = [ 0; + ∞ ) .

B. S = {0} .

2

2

2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − 1) + ( z − 3) = 3 . Tìm
tọa độ tâm I và bán kính R của ( S ) .

Câu 6:

A. I ( −1;1;3) và R = 3 .

B. I ( −1;1;3) và R = 3 .

C. I (1; − 1; − 3) và R = 3 .

D. I (1; − 1; − 3) và R = 3 .

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. y = 2 .

Câu 7:

Câu 9:

D. y = −1 .

Tìm tập xác định D của hàm số y = log 3 ( 2 x + 1) .
1

A. D =  −∞; −  .
2


Câu 8:

B. x = −1 .

2x +1
.
x +1
C. x = 2 .

1

B. D =  ; + ∞  .
2


 1

D. D =  − ; + ∞  .
 2


C. D = ( 0; + ∞ ) .
y

Hình bên là đồ thị của hàm số nào?
−x −1
A. y =
.
x +1
B. y = − x 4 + 4 x 2 .
C. y = − x 3 + 3 x .
D. y = x 4 − 4 x 2 .

4

−2

O

2 x

Tìm tập nghiệm S của phương trình log 4 ( x − 2 ) = 2 .
A. S = {16} .

B. S = {18} .

C. S = {10} .

D. S = {14} .

π
2

Câu 10: Kết quả của tích phân I = ∫ cos xdx bằng bao nhiêu?
0

A. I = 1 .

B. I = −2 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. I = 0 .

D. I = −1 .
Trang 1/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Câu 11: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho A (1; 2;1) , B ( 2; 2;3) . Tìm tọa độ của vectơ AB .
A. AB = (1;0; 2 ) .

B. AB = ( −1;0; −2 ) .

Câu 12: Đồ thị hàm số nào có đúng một điểm cực trị?
x −1
A. y = x 4 − 2 x 2 + 1 .
B. y =
.
x−2

3

C. AB =  ; 2; 2  .
2


D. AB = ( 3; 4; 4 ) .

C. y = x3 − 4 x + 2 .

D. y = x 4 + 2 x 2 − 1 .

Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên khoảng ( −∞; +∞ ) , có bảng biến thiên như hình

vẽ sau:
x

−1

−∞

f ′( x)

1

0

+

+∞

0

−

−

2
f ( x)

−1

−∞

−∞

Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị.

B. Hàm số y = f ( x ) có một điểm cực trị.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; −1) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .

Câu 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng

( P) : x − 2 y + z −1 = 0 .

Vectơ pháp

tuyến của ( P ) là
A. n = (1;2;1) .

B. n = (1; −2;1) .

C. n = (1;1; −1) .

D. n = ( −2;1; −1) .

Câu 15: Một khối lăng trụ có chiều cao bằng 2a , diện tích đáy bằng 2a 2 . Tính thể tích khố i lăng trụ.
4
4
2
A. V = 4a 3 .
B. V = a 3 .
C. V = a 2 .
D. V = a 3 .
3
3
3
Câu 16: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có

tâm I ( −2;3; 4 ) và tiếp xúc với mặt phẳng ( Oyz ) ?
2

2

2

B. ( x + 2 ) + ( y − 3) + ( z − 4 ) = 2 .

2

2

2

D. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 4 ) = 4 .

A. ( x − 2 ) + ( y + 3) + ( z + 4 ) = 2 .
C. ( x + 2 ) + ( y − 3) + ( z − 4 ) = 4 .

2

2

2

2

2

2

Câu 17: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x 2 − 2 x + 3 và y = 3
3
4
14

A. S = .
B. S = .
C. S = .
D. S = 6 .
4
3
3
Câu 18: Tìm tất cả tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

x2 + 1
.
x2 −1

A. x = −1; x = 1; y = 1 .

B. x = −1; y = 1 .

C. x = −1; x = 1 .

D. x = −1; x = 1; y = 0 .

Câu 19: Cho khố i lăng trụ ABC . A′B′C ′ có thể tích bằng V . Gọi I , K lần lượt là trung điểm của AA′ ,
BB′ . Tính thể tích khố i đa diện ABCIKC ′ theo V ?
3V
V
2V
4V
A.
.
B. .

C.
.
D.
.
5
3
3
5
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 2/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />2

Câu 20: Nếu

∫

2

f ( x ) dx = 2 thì I = ∫ 3 f ( x ) − 2  dx bằng bao nhiêu?

1

1

A. I = 2 .

B. I = 3 .

C. I = 4 .

I = 1.

Câu 21: Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x + 1 và F (1) = 3 , tính F ( 0 ) .
A. F ( 0 ) = 0.

B. F ( 0 ) = 5.

C. F ( 0 ) = 1 .

D. F ( 0 ) = 3 .

Câu 22: Hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) ,
SA = a , AB = b , AC = c . Tính bán kính R của mặt cầu đi qua các điểm A , B , C và S .
2 (a + b + c)
A. R =
.
B. R = 2 a 2 + b 2 + c 2 .
3
1 2
C. R =
a + b2 + c 2 .
D. R = a 2 + b 2 + c 2 .
2
Câu 23: Cho khố i chóp S . ABCD , hỏi hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBD ) chia khố i chóp S . ABCD thành

mấy khối chóp?
A. 4.

B. 3.

C. 5.

D. 2.

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho a = ( 2; −1;1) , b = (1; m;1)( m ∈ ℝ ) . Tìm m để a

vuông góc với b .
A. m = 1.

B. m = 0.

C. m = 2.

D. m = 3.

Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ \ {−1} , liên tục trên mỗ i khoảng xác định và có bảng
biến thiên như hình vẽ sau:
x −∞
3
−1
+∞
y′
0
−
−
+
2 +∞

+∞
y
−4

−∞

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình f ( x ) = m có đúng ba
nghiệm thực phân biệt.
A. [ −4; 2 ) .
B. ( −4; 2 ) .

C. ( −∞; 2] .

D. ( −4; 2] .

Câu 26: Trong không gian, cho tam giác OAB vuông tại O có OA = 4a , OB = 3a . Nếu cho tam giác
OAB quay quanh cạnh OA thì mặt nón tạo thành có diện tích xung quanh S xq bằng bao nhiêu?
A. S xq = 9π a 2 .

B. S xq = 16π a 2 .

C. S xq = 15π a 2 .

D. S xq = 12π a 2 .

Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z = 0 và điểm M (1; 2;3 ) .

Tính khoảng cách d từ M đến ( P ) .
A. d = 3 .

B. d = 1 .

C. d = 3 .

D. d =

1
.
3

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z + 1 = 0 và điểm M (1; 2;3 ) .

Tính khoảng cách d từ M đến ( P ) .
A. d = 3 .

B. d = 3 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. d = 1 .

D. d =

1
.
3
Trang 3/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />

Câu 29: Hàm số y = x +

4
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
x

A. ( 0; +∞ ) .

B. ( −2; 2 ) .

C. ( −2;0 ) .

Câu 30: Đặt log 3 5 = a . Mệnh đề nào sau đây đúng?
a +1
2a + 1
A. log15 75 =
.
B. log15 75 =
.
2a + 1
a +1

C. log15 75 =

D. ( 2; +∞ ) .

2a − 1
.
a +1

D. log15 75 =

2a + 1
.
a −1

Câu 31: Nghiệm của bất phương trình log 2 x 2 + log 1 ( x + 2 ) < log 2 ( 2 x + 3) là
2

3
A. x < − .
2

3
B. x > − .
2
3
D. − < x ≤ −1 .
2

C. −1 < x < 0 hoặc x > 0 .

1 5 5 4 1 3 21 2
x + x + x − x − 18 x − 4 có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
5
4
3
2
A. 4 .
B. 2 .

C. 1 .
D. 3 .
y
Câu 33: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên [ −2; 2] , có đồ

Câu 32: Hỏi đồ thị hàm số y =

thị của hàm số y = f ′ ( x ) như hình bên. Tìm giá trị x0 để

x

hàm số y = f ( x ) đạt giá trị lớn nhất trên [ −2; 2] .

−2 −1 O 1

A. x0 = 2 .

B. x0 = −1 .

C. x0 = −2 .

D. x0 = 1 .

2

Câu 34: Một hình nón có bán kính đáy R , đường sinh hợp với mặt đáy một góc 30° . Gọi ( S ) là mặt

cầu đi qua đỉnh và đường tròn đáy của hình nón đã cho, tính diện tích của ( S ) .
A.

8
π R2 .
3

B. 3π R 2 .

C. 4π R 2 .

D.

Câu 35: Tìm tập nghiệm của bất phương trình log 2 x 2 + log 1 ( x + 2 ) ≥ log

2

16
π R2 .
3

( 2 x + 3) .

2

 3

A. S =  − ; −1 .
 2


3


B. S =  −∞; −  .
2


 3

D. S =  − ; +∞  .
 2


C. S = [ −1; +∞ ) .

Câu 36: Bất phương trình log 4 ( x + 1) ≥ log 2 x tương đương với bất phương trình nào dưới đây?
25

5

A. 2log 2 ( x + 1) ≥ log 2 x .
5

25

C. log 2 ( x + 1) ≥ 2 log 2 x .
5

B. log 4 x + log 4 1 ≥ log 2 x .

5

25

5

D. log 2 ( x + 1) ≥ log 4 x .

5

5

25

Câu 37: Tìm tập xác định D của hàm số y = log 3 ( x 2 + 3 x + 2 ) .
A. D = [ −2; −1]

B. D = ( −∞; 2 ) ∪ ( −1; +∞ ) .

C. D = ( −2, −1) .

D. D = ( −∞; −2 ) ∪ ( −1; +∞ ) .

Câu 38: Cho

dx
∫ ( x + 1)( x + 4) = a ln 2 + b ln 5 + c ln 7 ( a, b, c ∈ ℚ ) . Tính S = a + 4b − c .

A. 2.

3

1

B. 4.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. 3.

D. 5.
Trang 4/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Câu 39: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x ln ( x + 2 ) .

x2
x2 + 4x
ln
2
x
+
−
+C .
(
)
∫
2
4
x2 − 4
x2 − 4x
ln ( x + 2 ) −

B. ∫ f ( x ) dx =
+C .
2
4
x2
x2 + 4x
C. ∫ f ( x ) dx = ln ( x + 2 ) −
+C .
2
2
x2 − 4
x2 + 4 x
ln ( x + 2 ) −
D. ∫ f ( x ) dx =
+C .
2
2
A.

f ( x ) dx =

Câu 40: Gọi V1 là thể tích của khố i tứ diện đều ABCD và V2 là thể tích của hình nón ngoại tiếp khố i tứ

diện ABCD . Tính tỉ số
A.

V1 3 3
.
=
V2

4π

V1
.
V2
B.

V1 3 3
.
=
V2
2π

C.

V1
3
.
=
V2 4π

D.

V1 2 3
.
=
V2
4π

Câu 41: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A (1;1;1) , B ( 2; −1; 2 ) và C ( 3; 4; −4 ) . Giao

điểm M của trục Ox với mặt phẳng ( ABC ) là điểm nào dưới đây?
A. M (1; 0; 0 ) .

B. M ( 2; 0;0 ) .

C. M ( 3; 0;0 ) .

D. M ( −1; 0; 0 ) .

Câu 42: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , SA = 2a , SA ⊥ ( ABC ) . Gọi M , N lần
lượt là trung điểm SA , SB và P là hình chiếu vuông góc của A lên SC . Tính thể tích V của
khố i chóp S .MNP .
A.

3 3
a .
30

B.

3 3
a .
6

Câu 43: Cho đồ thị của ba hàm số

C.

3 3
a .

15

D.

3 3
a .
10

y = f ( x) ,

y = f ′ ( x ) , y = f ′′ ( x ) được vẽ mô tả ở hình

dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số y = f ( x ) ,
y = f ′ ( x ) và y = f ′′ ( x ) theo thứ tự, lần lượt

tương ứng với đường cong nào ?
A. ( C3 ) ; ( C2 ) ; ( C1 ) .
B. ( C2 ) ; ( C1 ) ; ( C3 ) .
C. ( C2 ) ; ( C3 ) ; ( C1 ) .

D. ( C1 ) ; ( C3 ) ; ( C2 ) .

x y z
+ + = 1 (với a > 0, b > 0, c > 0 ) là mặt
a b c
phẳng đi qua điểm H (1;1; 2 ) và cắt Ox , Oy , Oz lần lượt tại các điểm A , B , C sao cho khối

Câu 44: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi ( P) :

tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Tính S = a + 2b + c .

A. S = 15 .
B. S = 5 .
C. S = 10 .

D. S = 4 .

Câu 45: Cho ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = −2 x , y = x và x = 5 . Thể tích V của

khố i tròn xoay tạo thành khi quay ( H ) xung quanh trục Ox bằng bao nhiêu?
A. V =

125π
.
3

B. V =

25π
.
3

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. V =

39π
.
6

D. V =

157π
.
3
Trang 5/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Câu 46: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 1 có ba điể m

cực trị là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 .
A. m =

−1 + 5
.
2

B. m = 1; m =

−1 − 5
. C. m = 1 .
2

D. m = 1; m =

Câu 47: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =

−1 + 5
.
2

1 3
x − ( m + 1) x 2 + ( m 2 + 2m ) x − 3
3

nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .
A. [ −1; +∞ ) .

B. ( −∞; 0] .

C. [ 0;1] .

D. [ −1; 0] .

Câu 48: Cho hình chóp đều S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên hợp với đáy một
góc bằng 60° . Kí hiệu V1 , V2 lần lượt là thể tích khố i cầu ngoại tiếp, thể tích khố i nón ngoạ i

tiếp hình chóp đã cho. Tính tỉ số
A.

V1 1
= .
V2 2

B.

V1
.
V2

V1 32
=
.
V2 27

C.

V1 9
= .
V2 8

D.

V1 32
=
.
V2 9

Câu 49: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ có thể tích bằng 48 . Tính thể tích phần chung của hai
khố i chóp A.B′CD′ và A′.BC ′D .
A′

D′

C′

B′

A

D

B

A. 10 .

B. 12 .

C

C. 8 .

Câu 50: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4
nghiệm.
A. m ≤ −32 .
B. −41 ≤ m ≤ 32 .
C. m ≥ −41 .
----------HẾT----------

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

D. 6 .
x +1 + 3− x

− 14.2

x +1 + 3− x

+ 8 = m có

D. −41 ≤ m ≤ −32 .

Trang 6/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
BẢNG ĐÁP ÁN
1
C

2 3 4 5 6 7
B A D A A D

8
B

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
B A A D A B A C B A C C C C A D B

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
C A A D B C B D D A C B A B A C A B A D D D D C D
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1:

Tìm tập xác định D của hàm số y = x 2017 .
A. D = ( −∞; 0 ) .

B. D = ( 0; ∞ ) .

C. D = ℝ .

D. D = [ 0; + ∞ ) .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Nhắc lại rằng, hàm số y = x n với n là số nguyên dương sẽ có tập xác định là ℝ . Vậy hàm số

y = x 2017 có số mũ n = 2017 nguyên dương nên có tập xác định là ( −∞; +∞ ) .
Câu 2:

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e 2 x .
1
A. ∫ e 2 x dx = − e 2 x + C .
2

1
B. ∫ e 2 x dx = e 2 x + C .
2

C. ∫ e 2 x dx = 2e 2 x + C .

D. ∫ e 2 x dx = −2e2 x + C .
Hướng dẫn giải

Chọn B.

Theo công thức nguyên hàm cơ bản ∫ e ax +b dx =

1 ax+b
e

+ C (với a ≠ 0 ).
a

1
Suy ra ∫ e 2 x dx = e 2 x + C .
2
1

Câu 3:

Cho biểu thức P =
A. P =

a 3b
3

−

1
3

−

1

a 2 − 3 b2

1
.
3

ab

1

− a 3b3

, với a, b > 0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2

B. P = 3 ab .

C. P = ( ab ) 3 .

1

D. P = −
3

( ab )

2

.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
3

a 2 − 3 b2
3 2

3 2
3
1
1
1
a3 b = a − b .
=3 3 =3
.
3
3
3 2
3 2
a b
ab
a b
a − 3 b2
a − 3 b2

a 3b
−3
3
a b −a b
b
a =
=
P=
3 2
3 2
3 2
3 2

a − b
a − b
1
3

−

1
3

−

1
3

3

1
3

2
 23

a . b  a − b3 
1
1
a b −a b

 = a− 3 . b− 3 = 1 .
Cách khác: P =

=
2
2
3
3 2
ab
a − 3 b2
a3 − b3
1
3

Câu 4:

1
−
3

1
−
3

1
3

−

1
3

−

1
3

Tìm tập nghiệm S của phương trình 4 x+1 = 8 .
A. S = {1} .

B. S = {0} .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. S = {2} .

1 
D. S =   .
2

Trang 7/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Hướng dẫn giải
Chọn D.
4 x +1 = 8 ⇔ 2

Câu 5:

2( x +1)

= 23 ⇔ 2 ( x + 1) = 3 ⇔ x =

1
.
2
2

2

2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − 1) + ( z − 3) = 3 . Tìm
tọa độ tâm I và bán kính R của ( S ) .
A. I ( −1;1;3) và R = 3 .

B. I ( −1;1;3) và R = 3 .

C. I (1; − 1; − 3) và R = 3 .

D. I (1; − 1; − 3) và R = 3 .
Hướng dẫn giải

Chọn A.
2

2

( S ) : ( x + 1) + ( y − 1) + ( z − 3)

2

2

2

2

= 3 ⇔ ( x + 1) + ( y − 1) + ( z − 3) =

2

( 3) .

Suy ra mặt cầu ( S ) có tâm I ( −1;1;3) và bán kính R = 3 .
Câu 6:

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. y = 2 .

B. x = −1 .

2x +1
.
x +1
C. x = 2 .

D. y = −1 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

1

2+ 

2x +1
x
Ta có lim y = lim
= lim 
= 2 . Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = 2 .
x →±∞
x →±∞ x + 1
x →±∞
1
1+
x
Câu 7:

Tìm tập xác định D của hàm số y = log 3 ( 2 x + 1) .
1

A. D =  −∞; −  .
2


1

B. D =  ; + ∞  .
2


C. D = ( 0; + ∞ ) .

 1

D. D =  − ; + ∞  .
 2


Hướng dẫn giải
Chọn D.
Điều kiện xác định của hàm số y = log 3 ( 2 x + 1) là 2 x + 1 > 0 ⇔ x > −
Câu 8:

1
 1

⇒ x ∈ − ;+ ∞ .
2
 2


Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?
y
4

−2

A. y =

−x −1

.
x +1

B. y = − x 4 + 4 x 2 .

2 x

O

C. y = − x 3 + 3 x .

D. y = x 4 − 4 x 2 .

Hướng dẫn giải
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 8/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Chọn B.

x = 0
Xét hàm số y = − x 4 + 4 x 2 : y ′ = 0 ⇔ −4 x 3 + 8 x = 0 ⇔ 
.
x = ± 2
BBT:
0
−∞
x

− 2
2
′
y
0
0
0
+
−
+
−
CĐ
CĐ
y
CT
−∞

+∞

−∞

Cách khác: Đây là đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c có a < 0
Câu 9:

Tìm tập nghiệm S của phương trình log 4 ( x − 2 ) = 2 .
A. S = {16} .

B. S = {18} .

C. S = {10} .

D. S = {14} .

Hướng dẫn giải
Chọn B.

 x − 2 > 0
x > 2
x > 2
log 4 ( x − 2 ) = 2 ⇔ 
⇔
⇔ x = 18 .
⇔

2
2
log 4 ( x − 2 ) = log 4 4
 x = 18
x − 2 = 4
π
2

Câu 10: Kết quả của tích phân I = ∫ cos xdx bằng bao nhiêu?
0

A. I = 1 .

B. I = −2 .

C. I = 0 .

D. I = −1 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
π
2

π

I = ∫ cos xdx = s inx 02 = s in
0

π
2

− s in0 = 1 .

Câu 11: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho A (1; 2;1) , B ( 2; 2;3) . Tìm tọa độ của vectơ AB .
A. AB = (1; 0; 2 ) .

B. AB = ( −1; 0; −2 ) .

3

C. AB =  ; 2; 2  .
2


D. AB = ( 3; 4; 4 ) .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Ta có AB = ( 2 − 1; 2 − 2;3 − 1) = (1;0; 2 )
Câu 12: Đồ thị hàm số nào có đúng một điểm cực trị?
x −1
A. y = x 4 − 2 x 2 + 1 .
B. y =
.
x−2

C. y = x3 − 4 x + 2 .

D. y = x 4 + 2 x 2 − 1 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có y = x 4 + 2 x 2 − 1 . y ′ = 4 x3 + 4 x , y ′ = 0 ⇔ x = −1 .
Vậy đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị.
A sai vì có 3 cực trị.
B sai vì không có cực trị.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 9/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
C sai vì có hai cực trị.
Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên khoảng ( −∞; +∞ ) , có bảng biến thiên như hình

vẽ sau:
x

−1

−∞

f ′( x)

1

0

+

+∞

0

−

−

2

f ( x)

−1

−∞

−∞

Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị.

B. Hàm số y = f ( x ) có một điểm cực trị.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; −1) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Câu 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng

( P) : x − 2 y + z −1 = 0 .

Vectơ pháp

tuyến của ( P ) là
A. n = (1; 2;1) .

B. n = (1; −2;1) .

C. n = (1;1; −1) .

D. n = ( −2;1; −1) .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Câu 15: Một khối lăng trụ có chiều cao bằng 2a , diện tích đáy bằng 2a 2 . Tính thể tích khố i lăng trụ.
4
4
2
A. V = 4a 3 .
B. V = a 3 .
C. V = a 2 .
D. V = a 3 .
3
3
3
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có V = B.h = 2a.2a 2 = 4a 3 .
Câu 16: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có

tâm I ( −2;3; 4 ) và tiếp xúc với mặt phẳng ( Oyz ) ?
2

2

2

B. ( x + 2 ) + ( y − 3) + ( z − 4 ) = 2 .

2

2

2

D. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 4 ) = 4 .

A. ( x − 2 ) + ( y + 3) + ( z + 4 ) = 2 .
C. ( x + 2 ) + ( y − 3) + ( z − 4 ) = 4 .

2

2

2

2

2

2

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Mặt cầu tâm I ( −2;3; 4 ) , bán kính R và tiếp xúc với mặt phẳng ( Oyz ) : x = 0

R = d ( I , ( Oyz ) ) =

−2
2
2
2

= 2 . Vậy ( x + 2 ) + ( y − 3) + ( z − 4 ) = 4 .
1

Câu 17: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x 2 − 2 x + 3 và y = 3
A. S =

3
.
4

B. S =

4
.
3

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. S =

14
.
3

D. S = 6 .

Trang 10/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />

Hướng dẫn giải
Chọn B.

x = 0
.
Ta có x 2 − 2 x + 3 = 3 ⇔ x ( x − 2 ) = 0 ⇔ 
x = 2
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x 2 − 2 x + 3 và y = 3 :
2

S = ∫ x 2 − 2 x dx =
0

2

∫(x

2

− 2 x ) dx =

0

4
( đvdt ) .
3

Câu 18: Tìm tất cả tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

x2 + 1

.
x2 −1

A. x = −1; x = 1; y = 1 .

B. x = −1; y = 1 .

C. x = −1; x = 1 .

D. x = −1; x = 1; y = 0 .
Hướng dẫn giải

Chọn A.

•

 x2 +1 
 x2 +1 
lim  2  = 1 và lim  2  = 1 .
x →+∞ x − 1
x →−∞ x − 1




Suy ra y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

 x2 +1 
• lim−  2  = −∞ .
x →1

 x −1 
Suy ra x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
 x2 +1 
• lim−  2  = +∞ .
x →−1
 x −1 
Suy ra x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 19: Cho khố i lăng trụ ABC . A′B′C ′ có thể tích bằng V . Gọi I , K lần lượt là trung điểm của AA′ ,
BB′ . Tính thể tích khố i đa diện ABCIKC ′ theo V ?
3V
V
2V
4V
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
5
3
3
5
Hướng dẫn giải
Chọn C.
A

B

C
I

K
A'

B'

C'

1
1
1
1  2V
Ta có VABCIKC ′ = V − VC ′. A′B′KI = V − VC ′. A′B′BA = V − (V − VC ′.CAB ) = V −  V − V  =
.
2
2
2
3  3

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 11/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />2

Câu 20: Nếu

∫

2

f ( x ) dx = 2 thì I = ∫ 3 f ( x ) − 2  dx bằng bao nhiêu?

1

1

A. I = 2 .

B. I = 3 .

C. I = 4 .

I = 1.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
2
2
2
2
Ta có I = ∫ 3 f ( x ) − 2  dx = 3∫ f ( x ) dx − 2 ∫ dx = 3.2 − 2 x = 6 − 2 = 4 .
1
1

1

1

Câu 21: Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x + 1 và F (1) = 3 , tính F ( 0 ) .
A. F ( 0 ) = 0.

B. F ( 0 ) = 5.

C. F ( 0 ) = 1 .

D. F ( 0 ) = 3 .

Hướng dẫn giải
Cho ̣n C.
1

1

0

0

Ta có F (1) − F ( 0 ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ ( 2 x + 1) dx = 2 ⇒ F ( 0 ) = F (1) − 2 = 1 .
Câu 22: Hình chóp A′.BC ′D có đáy ABC là tam giác vuông tại A , SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) ,
SA = a , AB = b , AC = c . Tính bán kính R của mặt cầu đi qua các điểm A , B , C và S .
2 (a + b + c)
A. R =
.
B. R = 2 a 2 + b 2 + c 2 .
3

1 2
C. R =
a + b2 + c 2 .
D. R = a 2 + b 2 + c 2 .
2

Hướng dẫn giải
Cho ̣n C.

Gọi H , K lần lượt là trung điểm của BC và SA .
Dựng đường thẳng d đi qua H và vuông góc với ( ABC ) . Khi đó d //SA .
Trong mặt phẳng ( SAH ) dựng đường thẳng d1 đi qua K và vuông góc với SA . Khi đó,
d1 //AH .
Gọi I = d ∩ d1 tại. Ta có IA = IB = IC = IS .
Khi đó mặt cầu đi qua các điểm A, B, C , S có tâm là I và bán kính là R = IA .
1
1
b2 + c2
1
a
BC =
AB 2 + AC 2 =
và IH = SA = .
2
2
2
2
2
1 2
Trong ∆IAH có IA = AH 2 + IH 2 =

a + b2 + c 2 = R .
2
Ta có AH =

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 12/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Câu 23: Cho khố i chóp S . ABCD , hỏi hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBD ) chia khố i chóp S . ABCD thành

mấy khối chóp?
A. 4.

B. 3.

C. 5.

D. 2.

Hướng dẫn giải
Cho ̣n A.

Gọi O là giao điểm của AC và BD .
Mặt phẳng ( SAC ) và ( SBD ) chia khố i chóp S . ABCD thành 4 khố i chóp, là các khố i chóp sau
S . ABO , S . ADO , S .CDO , S .BCO .

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho a = ( 2; −1;1) , b = (1; m;1)( m ∈ ℝ ) . Tìm m để a

vuông góc với b .
A. m = 1.

B. m = 0.

C. m = 2.

D. m = 3.

Hướng dẫn giải
Cho ̣n D.
Để a vuông góc với b thì a.b = 0 ⇔ 2.1 + ( −1) .m + 1.1 = 0 ⇔ m = 3 .
Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ \ {−1} , liên tục trên mỗ i khoảng xác định và có bảng

biến thiên như hình vẽ sau:
x −∞
y′
−

−1
−
2

3
0

+∞

+∞
+

+∞

y
−4

−∞

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình f ( x ) = m có đúng ba
nghiệm thực phân biệt.
A. [ −4; 2 ) .
B. ( −4; 2 ) .

C. ( −∞; 2] .

D. ( −4; 2] .

Hướng dẫn giải
Cho ̣n B.
Phương trình f ( x ) = m có đúng ba nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = m

cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại ba điểm phân biệt.
Dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện −4 < m < 2 .
Câu 26: Trong không gian, cho tam giác OAB vuông tại O có OA = 4a , OB = 3a . Nếu cho tam giác
OAB quay quanh cạnh OA thì mặt nón tạo thành có diện tích xung quanh S xq bằng bao nhiêu?
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 13/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />

A. S xq = 9π a 2 .

B. S xq = 16π a 2 .

C. S xq = 15π a 2 .

D. S xq = 12π a 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.

A
h = 4a

O

r = 3a

B

Dựa vào hình vẽ dễ thấy h = 4a và r = 3a
Vậy diện tích xung quanh là: S xq = π rl = π r r 2 + h 2 = 15π a 2 .
Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z = 0 và điểm M (1; 2;3 ) .

Tính khoảng cách d từ M đến ( P ) .
A. d = 3 .

B. d = 1 .

C. d = 3 .

D. d =

1
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Khoảng cách từ M đến ( P ) là: d =

1− 4 + 6
2

2

1 + ( −2 ) + 2

2

=1.

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z + 1 = 0 và điểm M (1; 2;3 ) .

Tính khoảng cách d từ M đến ( P ) .
A. d = 3 .

B. d = 3 .

C. d = 1 .

D. d =

1
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Khoảng cách từ M đến ( P ) là: d =

Câu 29: Hàm số y = x +
A. ( 0; +∞ ) .

1− 2 + 3 +1
2

12 + ( −1) + 12

= 3.

4
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
x

B. ( −2; 2 ) .

C. ( −2;0 ) .

D. ( 2; +∞ ) .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Hàm số xác định khi x ≠ 0 .

x2 − 4
. Cho y ′ = 0 ⇒ x = ±2 .
Ta có: y ′ =
x2
Xét dấu biểu thức y ′ ta có: hàm số đồng biến trên ( −∞; −2 ) và ( 2; +∞ ) .
Câu 30: Đặt log 3 5 = a . Mệnh đề nào sau đây đúng?
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 14/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
A. log15 75 =

a +1
.
2a + 1

B. log15 75 =

2a + 1
.
a +1

C. log15 75 =

2a − 1
.
a +1

D. log15 75 =

2a + 1
.
a −1

Hướng dẫn giải
Chọn B.
2
2
log 3 75 log 3 ( 3.5 ) log3 3 + log3 ( 5 ) 1 + 2a
log15 75 =
=
=
=
log 3 15 log 3 ( 3.5)
log 3 3 + log 3 5
1+ a

Thu gọn ta có log15 75 =

2a + 1
.

a +1

Câu 31: Nghiệm của bất phương trình log 2 x 2 + log 1 ( x + 2 ) < log 2 ( 2 x + 3) là
2

3
A. x < − .
2

3
B. x > − .
2
3
D. − < x ≤ −1 .
2

C. −1 < x < 0 hoặc x > 0 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.

 3

TXĐ: D =  − ; +∞  \ {0} .
 2

Khi đó, log 2 x 2 + log 1 ( x + 2 ) < log 2 ( 2 x + 3) ⇔ log 2 x 2 − log 2 ( x + 2 ) < log 2 ( 2 x + 3)
2

⇔ log 2 x < log 2 ( 2 x + 3) + log 2 ( x + 2 ) ⇔ log 2 x 2 < log 2 ( ( 2 x + 3) . ( x + 2 ) )

2

⇔ x 2 < 2 x 2 + 7 x + 6 ⇔ x 2 + 7 x + 6 > 0 ⇒ x ∈ ( −∞; −6 ) ∪ ( −1; +∞ )

So với điều kiện x ∈ ( −1; 0 ) ∪ ( 0; +∞ ) .
Câu 32: Hỏi đồ thị hàm số y =
A. 4 .

1 5 5 4 1 3 21 2
x + x + x − x − 18 x − 4 có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
5
4
3
2
B. 2 .
C. 1 .
D. 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
x = 2
Ta có: y ′ = x + 5 x + x − 21x − 18 ; y ′ = 0 ⇔ ( x + 3) ( x − 2 )( x − 1) = 0 ⇔  x = −3 .
 x = 1
Bảng biến thiên:
x −∞
−3
+∞
2
1
y′

0
0
0
+
+
−
+
CĐ
+∞
y
4

3

2

2

−∞

CT

y ′ đổi dấu hai lần nên đồ thị hàm số có hai điểm cực trị.
Câu 33: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên [ −2; 2] , có đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) như

sau:

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 15/25

Cập nhật đề thi mới nhất tại />
y

x
−2 −1 O 1

2

Tìm giá trị x0 để hàm số y = f ( x ) đạt giá trị lớn nhất trên [ −2; 2] .
A. x0 = 2 .

B. x0 = −1 .

C. x0 = −2 .

D. x0 = 1 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Từ đồ thị ta thấy:
+ f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ −2;1] và f ′ ( x ) = 0 tại một điểm duy nhất là x = −1 ⇒ hàm số đồng biến

trên [ −2;1] ⇒ f ( −2 ) < f ( −1) < f (1) .
+ f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ [1; 2] ⇒ hàm số nghịch biến trên [1; 2] ⇒ f (1) > f ( 2 ) .
Vậy, max = f (1) ⇒ x0 = 1 .
[ −2;2]

Câu 34: Một hình nón có bán kính đáy R , đường sinh hợp với mặt đáy một góc 30° . Gọi ( S ) là mặt

cầu đi qua đỉnh và đường tròn đáy của hình nón đã cho, tính diện tích của ( S ) .
A.

8
π R2 .
3

B. 3π R 2 .

C. 4π R 2 .

D.

16
π R2 .
3

Hướng dẫn giải
Chọn D.
S

A

O

R

B

I

Cách 1: Ta có SO = AO.tan 30° = R

3
.
3

Gọi bán kính mặt cầu là x, x > 0 .
2


R 3
2 3R
Trong tam giác IAR , ta có IA = AO + SO ⇔ x = R +  x −
.
 ⇒ x =
3
3


16
Diện tích mặt cầu S = 4π x 2 = π R 2 .
3
Cách 2. ( tìm bán kính mặt cầu):
2

2

2

2

SAO = 30° ⇒ ASI = 60° ⇒ ∆SAI đều cạnh SA =

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

2

SO
2R 3
=
sin 30°
3

Trang 16/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
⇒ bán kính mặt cầu là

2R 3
.
3

Câu 35: Tìm tập nghiệm của bất phương trình log 2 x 2 + log 1 ( x + 2 ) ≥ log

2

( 2 x + 3) .

2

 3

A. S =  − ; −1 .
 2


3

B. S =  −∞; −  .
2


 3

D. S =  − ; +∞  .
 2


C. S = [ −1; +∞ ) .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

 3

TXĐ: D =  − ; +∞  \ {0} .
 2


Ta có: log 2 x 2 + log 1 ( x + 2 ) ≥ log

2

( 2 x + 3)

2

⇔ log 2 x 2 − log 2 ( x + 2 ) ≥ log 2 ( 2 x + 3)

2

2

⇔ x 2 ≥ ( x + 2 )( 2 x + 3) ⇔ ( x + 1) ( 4 x 2 + 15 x + 18 ) ≤ 0
⇔ x ≤ −1 (vì 4 x 2 + 15 x + 18 > 0, ∀x ∈ R )

 3

Kết hợp với điều kiện tập nghiệm của bất phương trình là S =  − ; −1 .
 2

Câu 36: Bất phương trình log 4 ( x + 1) ≥ log 2 x tương đương với bất phương trình nào dưới đây?
25

5

A. 2log 2 ( x + 1) ≥ log 2 x .
5

B. log 4 x + log 4 1 ≥ log 2 x .
25

5

C. log 2 ( x + 1) ≥ 2 log 2 x .
5

25

5

D. log 2 ( x + 1) ≥ log 4 x .

5

5

25

Hướng dẫn giải
Cho ̣n C.
log 4 ( x + 1) ≥ log 2 x ⇔ log
25

5

2
 

5

2

( x + 1) ≥ log 2 x ⇔
5

1
log 2 ( x + 1) ≥ log 2 x ⇔ log 2 ( x + 1) ≥ 2 log 2 x
2
5
5
5
5

Câu 37: Tìm tập xác định D của hàm số y = log 3 ( x 2 + 3 x + 2 ) .
A. D = [ −2; −1]

B. D = ( −∞; 2 ) ∪ ( −1; +∞ ) .

C. D = ( −2, −1) .

D. D = ( −∞; −2 ) ∪ ( −1; +∞ ) .
Hướng dẫn giải

Cho ̣n B.

 x < −2
Điều kiện x 2 + 3x + 2 > 0 ⇔ 
.

 x > −1
Câu 38: Cho

dx
∫ ( x + 1)( x + 4) = a ln 2 + b ln 5 + c ln 7 ( a, b, c ∈ ℚ ) . Tính S = a + 4b − c .
3

1

A. 2.

B. 4.

C. 3.

D. 5.

Hướng dẫn giải
Cho ̣n A.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 17/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Ta có

1

1 1

1 
= 
−
.
( x + 1)( x + 4 ) 3  x + 1 x + 4 

Do đó

∫ ( x + 1)( x + 4) = 3 ln

dx

3

1

1

2 1
x +1 3 1  4
=  ln − ln  = ( ln 2 + ln 5 − ln 7 ) .
x+ 4 1 3 7
5 3

1
1
1
Vậy a = , b = và c = − . Từ đó S + a + 4b − c = 2
3
3

3

Câu 39: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x ln ( x + 2 ) .
A.
C.

x2
x2 + 4x
ln ( x + 2 ) −
+C .
2
4

∫

f ( x ) dx =

∫

x2
x2 + 4x
f ( x ) dx = ln ( x + 2 ) −
+C .
2
2

B.
D.

x2 − 4

x2 − 4x
ln ( x + 2 ) −
+C .
2
4

∫

f ( x ) dx =

∫

x2 − 4
x2 + 4 x
f ( x ) dx =
ln ( x + 2 ) −
+C .
2
2

Hướng dẫn giải
Cho ̣n B.

dx

du =
u = ln ( x + 2 ) 
x+2
Đặt 
⇒

. Ta có
2
dv = xdx
v = x

2

∫

x2
1 x2
x2
1 
4 
ln ( x + 2 ) − ∫
dx = ln ( x + 2 ) − ∫  x − 2 +
dx
2
2 x+2
2
2 
x + 2 

x2
1  x2
= ln ( x + 2 ) −  − 2 x + 4 ln ( x + 2 )  + C
2
2 2


f ( x ) dx =

x2 − 4
x2 − 4x
ln ( x + 2 ) −
=
+ C.
2
4
Cách chọn khác
dx

du =

u = ln ( x + 2 ) 
x+2
Đặt 
⇒
.
2
dv = xdx
v = x − 4

2
Ta có
=

∫

f ( x ) dx =

x2 − 4
1 x2 − 4
x2 − 4
1
ln ( x + 2 ) − ∫
dx =
ln ( x + 2 ) − ∫ ( x − 2 ) dx
2
2 x+2
2
2


x2 − 4
x2 − 4
x2 − 4 x
1  x2
ln ( x + 2 ) −  − 2 x  + C =
ln ( x + 2 ) −
+ C.
2
2 2
2
4


Câu 40: Gọi V1 là thể tích của khố i tứ diện đều ABCD và V2 là thể tích của hình nón ngoại tiếp khố i tứ

diện ABCD . Tính tỉ số

A.

V1 3 3
.
=
V2
4π

V1
.
V2
B.

V1 3 3
.
=
V2
2π

C.

V1
3
.
=
V2 4π

D.

V1 2 3

.
=
V2
4π

Hướng dẫn giải
Cho ̣n A.
Gọi a là độ dài các cạnh tứ diện.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 18/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , ta có SG ⊥ ( ABC ) vì ABCD là tứ diện đều.
2

a 3
a 6
.
Xét tam giác cương SGA , ta có SG = SA − AG = a − 
 =
3
 3 
2

2

2

2

1
1 a 2 3 a 6 a3 2
Thể tích khố i tứ diện đều V1 = S ∆ABC .SG = .
.
=
.
3
3 4
3
12
Hình nón ngoại tiếp tứ diện có bán kính đáy R =
1 a 3
Thể tích V2 = π 

3  3 

2

a 3
a 6
, chiều cao h =
.
3
3

a3 2
V

3 3
a 6 aπ 6
=
. Do đó: 1 = 312 =
.
V2 a π 6
3
27
4π
27
3

Câu 41: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A (1;1;1) , B ( 2; −1; 2 ) và C ( 3; 4; −4 ) . Giao
điểm M của trục Ox với mặt phẳng ( ABC ) là điểm nào dưới đây?
A. M (1; 0; 0 ) .

B. M ( 2; 0;0 ) .

C. M ( 3; 0;0 ) .

D. M ( −1; 0; 0 ) .

Hướng dẫn giải
Chọn C.

Ta có AB = (1; −2;1) và AC = ( 2;3; −5) , suy ra  AB, CD  = ( 7; 7; 7 ) = 7 (1;1;1) . Vậy mặt phẳng

( ABC ) đi qua điểm

A(1;1;1) và có một VTPT là n = (1;1;1) có phương trình x + y + z − 3 = 0 .

Vì M ∈ Ox nên đặt M ( t ; 0; 0 ) .
Mà M ∈ ( ABC ) nên t + 0 + 0 − 3 = 0 hay t = 3 .
Câu 42: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , SA = 2a , SA ⊥ ( ABC ) . Gọi M , N lần
lượt là trung điểm SA , SB và P là hình chiếu vuông góc của A lên SC . Tính thể tích V của
khố i chóp S .MNP .
A.

3 3
a .
30

B.

3 3
a .
6

C.

3 3
a .
15

D.

3 3
a .
10

Hướng dẫn giải
Chọn A.

S

N

M
P
A

B

C
Xét tam giác SAB vuông tại A có AP là đường cao, ta có:
2

SA2 = SP.SC ⇒

SP  SA 
SA2
4a 2 4
=
=
=
= .

SC  SC 
SA2 + AC 2 5a 2 5

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 19/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
VS .MNP SM SN SP 1 1 4 1
=
⋅
⋅
= ⋅ ⋅ = (1)
VS . ABC
SA SB SC 2 2 5 5
VS . ABC

1
1
a2 3
3a 3
= .SA.S ABC = .2a.
=
(2)
3
3
4
6

Từ (1) và (2): VS .MNP

3a 3

=
.
30

Câu 43: Cho đồ thị của ba hàm số y = f ( x ) , y = f ′ ( x ) , y = f ′′ ( x ) được vẽ mô tả ở hình dưới đây.

Hỏi đồ thị các hàm số y = f ( x ) , y = f ′ ( x ) và y = f ′′ ( x ) theo thứ tự, lần lượt tương ứng với
đường cong nào ?

A. ( C3 ) ; ( C2 ) ; ( C1 ) .

B. ( C2 ) ; ( C1 ) ; ( C3 ) .

C. ( C2 ) ; ( C3 ) ; ( C1 ) .

D. ( C1 ) ; ( C3 ) ; ( C2 ) .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Gọi hàm số của các đồ thị (C1 ); (C2 ); (C3 ) tương ứng là f1 ( x ) , f 2 ( x ) , f3 ( x ) .

Ta thấy đồ thị ( C2 ) có các điểm cực trị có hoành độ là nghiệm của phương trình f1 ( x ) = 0 nên
hàm số y = f1 ( x ) là đạo hàm của hàm số y = f 2 ( x ) .
Đồ thị ( C1 ) có các điểm cực trị có hoành độ là nghiệm của phương trình f3 ( x ) = 0 nên hàm số
y = f3 ( x ) là đạo hàm của hàm số y = f1 ( x ) .

Vậy, đồ thị các hàm số y = f ( x) , y = f ′( x) và y = f ′′( x) theo thứ tự, lần lượt tương ứng với
đường cong (C2 ); (C1 ); (C3 ) .
x y z
+ + = 1 (với a > 0, b > 0, c > 0 ) là mặt

a b c
phẳng đi qua điểm H (1;1; 2 ) và cắt Ox , Oy , Oz lần lượt tại các điểm A , B , C sao cho khối

Câu 44: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi ( P ) :

tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Tính S = a + 2b + c .
A. S = 15 .
B. S = 5 .
C. S = 10 .

D. S = 4 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Ta có: A ( a; 0;0 ) , B ( 0; b; 0 ) , C ( 0;0; c ) và VOABC =
Vì H ∈ ( P ) nên

1
abc .
6

1 1 2
+ + = 1 (1)
a b c

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương

1 1
2

, và , ta có:
a b
c

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 20/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />3

1 1 2
a+b+c 1 1 2
1 1 2
1 1 2

 ≥ ⋅ ⋅ (2) (dấu “=” xảy ra khi = = và + + = 1 )
3
a b c
a b c

 a b c


2
4
4
1 1 2 1
Từ (1) và (2), suy ra abc ≥
, hay V ≥ ; V = ⇔ = = = , suy ra a = b = 3, c = 6 .

27
9
9
a b c 3
S = a + 2b + c = 15 .
Câu 45: Cho ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = −2 x , y = x và x = 5 . Thể tích V của

khố i tròn xoay tạo thành khi quay ( H ) xung quanh trục Ox bằng bao nhiêu?
A. V =

125π
.
3

B. V =

25π
.
3

C. V =

39π
.
6

D. V =

157π
.

3

Hướng dẫn giải
Chọn D.

Xét đồ thị hàm số y = 2 x đối xứng với đồ thị hàm số y = −2 x qua trục hoành như hình vẽ
trên. Ta thấy rằng đồ thị các hàm y = 2 x và y = x cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 4 .
Vậy, hình tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng ( H ) quanh trục Ox được ghép bởi
hai phần sau:
- Hình tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = −2 x , trục Ox , hai
đường x = 0 và x = 4
- Hình tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = x , trục Ox , hai
đường x = 4 và x = 5
4

(

Thể tích cần tính V = π ∫ 2 x

)

2

5

dx + π ∫ x 2 dx =

0

4

157π
.
3

Câu 46: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 1 có ba điể m

cực trị là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 .
A. m =

−1 + 5
.
2

B. m = 1; m =

−1 − 5
. C. m = 1 .
2

D. m = 1; m =

−1 + 5
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn D.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 21/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
x = 0
Ta có y ′ = 4 x3 − 4mx ; y ′ = 0 ⇔  2
.
x = m

Để hàm số có ba cực trị thì m > 0

( *) .

x = 0
Khi đó y ′ = 0 ⇔ 
.
x
=
±
m

Ta có tọa độ các điểm cực trị A ( 0;1) ∈ Oy , B

(

) (

)

m ;1 − m 2 , C − m ;1 − m 2 .

Cách 1: Tam giác ABC cân tại A ∈ Oy nên tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC

thuộc Oy .
Gọi I ( 0; t ) với t < 1 . Vì hàm trùng phương y = x 4 − 2mx 2 + 1 có ba điểm cực trị và hệ số của
x 4 là 1 > 0 , nên A là điểm cực đại của đồ thị hàm số, B và C là các điểm cực tiểu.
Theo giả thiết ta có
 1 − t = 1 − t = 1 ( do t < 1)
 IA = 1 
t = 0
IA = IB = 1 ⇔ 
⇔
⇔
2

2
3
 IB = 1 
m + (1 − m 2 − t ) = 1 m ( m − 2m + 1) = 0

 m = 0; m = 1
−1 + 5
⇒
. Kết hợp với điều kiện ( *) ta được m = 1; m =
 m = −1 ± 5
2

2

( )

Cách 2. Gọi H là trung điểm của BC ⇒ H ( 0;1 − m 2 ) .

Ta có S ABC =

AB. AC.BC 1
= AH .BC .
4R
2

Mà R = 1; AB = AC ⇒ AB 2 = 2 AH . Từ đó suy ra m = 1; m =

−1 + 5
.
2

Câu 47: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =

1 3
x − ( m + 1) x 2 + ( m 2 + 2m ) x − 3
3

nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .
A. [ −1; +∞ ) .

B. ( −∞; 0] .

C. [ 0;1] .

D. [ −1; 0] .

Hướng dẫn giải
Chọn D.

x = m
Ta có: y ′ = x 2 − 2 ( m + 1) x + m 2 + 2m; y′ = 0 ⇔ 
.
x = m + 2
Do đó ta có bảng biến thiên:
x −∞
m
m+2
y′
0
0
+
−
CĐ
y
−∞

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

+∞
+
+∞

CT

Trang 22/25

Cập nhật đề thi mới nhất tại />
m ≤ 0
Để hàm số nghịch biến trên ( 0;1) thì ( 0;1) ⊂ ( m; m + 2 ) ⇒ 
⇔ −1 ≤ m ≤ 0 .
m + 2 ≥ 1
Câu 48: Cho hình chóp đều S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên hợp với đáy một
góc bằng 60° . Kí hiệu V1 , V2 lần lượt là thể tích khố i cầu ngoại tiếp, thể tích khố i nón ngoạ i

tiếp hình chóp đã cho. Tính tỉ số
A.

V1 1
= .
V2 2

B.

V1
.
V2

V1 32
=
.
V2 27

C.

V1 9
= .
V2 8

D.

V1 32
=
.
V2 9

Hướng dẫn giải
Chọn D.
S

H

I

A

D

O

B

C

+) Gọi O là giao điểm của AC và BD .

Ta có S . ABCD là hình chóp đều nên SO là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Trong mặt phẳng ( SAC ) dựng đường thẳng trung trực của đoạn SA cắt SA, SO lần lượt H , I .
Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD
a 2
Ta có SA =
= 2 = a 2 nên ∆SAC đều cạnh a 2 .
1
cos SAO
2
AO

Ta có SI =

(

2
2 a 2
SO = ⋅
3
3
2

)

3
=

a 6
3

4
8π a3 6
Suy ra thể tích khố i cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD là V1 = π R 3 =
3
27
+) Khố i nón ngoại tiếp hình chóp S . ABCD có bán kính đáy r = OA =
h = SO =

a 2
và chiều cao
2

a 6
1
π a3 6
V 32
. Suy ra thể tích V2 = π r 2 h =
. Vậy 1 =
.
2
3
12
V2 9

Câu 49: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ có thể tích bằng 48 . Tính thể tích phần chung của hai
khố i chóp A.B′CD′ và A′.BC ′D .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 23/25

Cập nhật đề thi mới nhất tại />A′

D′

B′

C′

A

A. 10 .

B. 12 .

D

B

C. 8 .

C

D. 6 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
A′

D′
O′

B′

C′
Q
M

P
N

A

D

O

B

C

Gọi O, O′, M , N , P, Q lần lượt là tâm của các hình chữ nhật ABCD, A′B′C ′D′, A′B′BA,
BB′C ′C , CC ′D′D, AA′D′D .
Ta có phần chung của hai khố i chóp A.B′CD′ và A′.BC ′D là bát diện OMNPQO′ .
Ta có tứ giác MNPQ là hình thoi nên S MNPQ =

1
1
NQ.MP = AB. AD .

2
2

Suy ra thể tích bát diện OMNPQO′ là:
2
1
1
1
VOMNPQO′ = 2VO′.MNPQ = .S MNPQ . AA′ = AB. AD. AA′ = .48 = 8
3
2
6
6

Câu 50: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4
nghiệm.
A. m ≤ −32 .
B. −41 ≤ m ≤ 32 .
C. m ≥ −41 .

x +1 + 3− x

− 14.2

x +1 + 3− x

+ 8 = m có

D. −41 ≤ m ≤ −32 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Đặt t = x + 1 + 3 − x .

Xét hàm số f ( x ) = x + 1 + 3 − x trên [ −1;3] .
Ta có f ′ ( x ) =

1
1
−
; f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1.
2 x +1 2 3 − x

Bảng biến thiên của hàm số f ( x ) trên [ −1;3] :

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 24/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
−1

x

3

1

f ′( x)

0

+

−

2 2
f ( x)
2

2

Từ đó suy ra t ∈  2; 2 2  .
Khi đó ta có phương trình: 4t − 14.2t + 8 = m .
Đặt a = 2t , do t ∈  2; 2 2  nên a ∈  4; 4 2  . Ta có phương trình a 2 − 14a + 8 = m .



Xét hàm số g ( a ) = a 2 − 14a + 8; g ′ ( a ) = 2a − 14; g ′ ( a ) = 0 ⇔ a = 7 .
Bảng biến thiên của hàm số g ( a ) trên  4; 4 2  .


a
7
4
g′( a )

−
−32

0

4

2

+
42

2

− 14.4 2 + 8

g (a )
−41
Từ bảng biến thiên ta thấy để phương trình có nghiệm thì −41 ≤ m ≤ −32 .
----------HẾT----------

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 25/25