https: drive.google.com open?id=0B RLti3UB3anWGYyckhSOTEtRmM

Cập nhật đề thi mới nhất tại />SỞ ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN

KÌ THI THỬ THPT QUỐC GIA – LẦN 2
NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Họ, tên:……………………………………..Số báo
Mã đề thi 523
danh:………………………….

Câu 1:

Câu 2:

4

1

0

0

1
A. I = − .
2

1
B. I = − .
4

Cho

∫ f ( x ) dx = −1 , tính I = ∫ f ( 4 x ) dx .
1
.
4

C. I =

D. I = −2 .

Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ bên.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a > 0, b < 0, c > 0 .
B. a < 0, b > 0, c < 0 .
C. a < 0, b < 0, c < 0 .
D. a > 0, b < 0, c < 0 .

Câu 3:

Khố i lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có đường chéo AC ′ = 6cm có thể tích gần bằng
A. 0,8 lít.
B. 0, 024 lít.
C. 0, 08 lít.
D. 0, 24 lít.

Câu 4:

Tính khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = 2 x 4 − 3 x 2 + 1 .

Câu 5:

A. 2 4 3 .

B.

C. 2 3 .

D.

3.
4

3.

Cho 3 số thực dương a , b , c khác 1. Đồ thị hàm số
y = log a x , y = log b x , y = log c x được cho trong
hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. b < a < c .
B. a < b < c .
C. a < c < b .
D. c < a < b .

Câu 6:

1
1
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − ( m + 5 ) x2 + mx có cực đại, cực tiểu
3
2

và xCĐ − xCT = 5 .
A. m = 0 .

Câu 7:

B. m = −6 .

C. m ∈ {6;0} .

D. m ∈ {0; −6} .

Cho hàm số f ( x ) = x 2 + 2 x + 2 + x 2 − 2 x + 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

( 4) > f ( 5).
f ( 5) = 2 f ( 4) .

A. f

3

C.

4

4

3

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

( 4) < f ( 5).
f ( 4) = f ( 5).

B. f

3

4

D.

3

4

Trang 1/25 - Mã đề thi 111


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 8:

Cho hình trụ có bán kính đáy là R , độ dài đường cao là h . Đường kính MN của đáy dưới
vuông góc với đường kính PQ của đáy trên. Thể tích của khố i tứ diện MNPQ bằng
A.

Câu 9:

2 2
R h.
3

B.

1 2
R h.
6

C.

1 2
R h.
3

D. 2R 2 h .

Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại A , cạnh huyền BC = 6cm , các cạnh bên
cùng tạo với đáy một góc 60° . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC là
A. 48π cm 2 .
B. 12π cm 2 .
C. 16π cm 2 .
D. 24cm 2 .

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( −1; 2;3) và B ( 3; −1; 2 ) . Điểm M thỏa

mãn MA.MA = 4 MB.MB có tọa độ là
5 7
A. M  ;0;  .
B. M ( 7; −4;1) .
3 3

 1 5

C. M 1; ;  .
 2 4

 2 1 5
D. M  ; ;  .
 3 3 3
2

Câu 11: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x3 + x 2 + x = m ( x 2 + 1) có

nghiệm thuộc đoạn [ 0;1] .
A. m ≥ 1 .

B. m ≤ 1 .

C. 0 ≤ m ≤ 1 .

D. 0 ≤ m ≤

3
.
4

Câu 12: Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số y = − x 4 + 2 x 2 + 1 .
A. x = ±1 .
B. x = −1 .
C. x = 1 .
D. x = 0 .
Câu 13: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , xét tam giác vuông AOB với A chạy trên trục hoành và có hoành
độ dương; B chạy trên trục tung và có tung độ âm sao cho OA + OB = 1 . Hỏi thể tích lớn nhất

của vật thể tạo thành khi quay tam giác AOB quanh trục Oy bằng bao nhiêu?
A.

4π
.
81

B.

15π
.
27

C.
x

Câu 14: Tập hợp nghiệm của bất phương trình

∫
0

A. ( −∞;0 ) .

t
2

t +1

B. ( −∞; +∞ ) .

9π
.
4

D.

17π
.
9

dt > 0 (ẩn x ) là

C. ( −∞; +∞ ) \ {0} .

D. ( 0; +∞ ) .

Câu 15: Ống nghiệm hình trụ có bán kính đáy là R = 1 cm và chiều cao h = 10 cm chứa được lượng
máu tối đa (làm tròn đến một chữ số thập phân) là
A. 10 cc .
B. 20 cc .
C. 31,4 cc .
D. 10,5 cc .
Câu 16: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3 cm , các mặt bên ( SAB ) và ( SAD ) vuông

góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SC và mặt đáy là 60° . Thể tích của khố i chóp S . ABCD là
A. 6 6 cm3 .
B. 9 6 cm 3 .
C. 3 3 cm3 .
D. 3 6 cm3 .
Câu 17: Cho hàm số y = ln

1
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x +1
2

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) . D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;0 ) .
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng ( P ) đi qua các hình chiếu của điểm A (1;2;3)

trên các trục tọa độ là
A. x + 2 y + 3 z = 0 .

B. x +

y z
+ = 0.
2 3

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. x +

y z
+ = 1.
2 3

D. x + 2 y + 3 z = 1 .

Trang 2/25 - Mã đề thi 111


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 19: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = x 2 + 1 − mx − 1 đồng biến

trên khoảng ( −∞; +∞ ) .
A. ( −∞;1) .

B. [1; + ∞ ) .

C. [ −1; 1] .

D. ( −∞; −1] .

Câu 20: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình 91− x + 2 ( m − 1) 31− x + 1 = 0 có
2 nghiệm phân biệt.
A. m > 1 .
B. m < −1 .
C. m < 0 .
Câu 21: Gọi S là diện tích Ban - Công của một ngôi nhà có hình
dạng như hình vẽ ( S được giới hạn bởi parabol ( P ) và

D. −1 < m < 0 .
2

y

1

trục Ox ). Khi đó
3
1
A. S = .
B. S = 1 .
-1
1
O
x
2
4
C. S = .
D. S = 2 .
3
Câu 22: Người ta cần trồng hoa tại phần đất nằm phía ngoài đường tròn tâm gốc toạ độ, bán kính bằng
1
y
và phía trong của Elip có độ dài trục lớn bằng 2 2 và
2
trục nhỏ bằng 2 (như hình vẽ). Trong mỗ i một đơn vị diện
100
tích cần bón
kg phân hữu cơ. Hỏi cần sử dụng
( 2 2 − 1) π
O
x
bao nhiêu kg phân hữu cơ để bón cho hoa?
A. 30 kg .

B. 40 kg .

C. 50 kg .

D. 45 kg .

Câu 23: Mặt phẳng ( Oyz ) cắt mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 2 y + 4 z − 3 = 0 theo một đường tròn có

toạ độ tâm là
A. ( −1;0; 0 ) .

B. ( 0; − 1; 2 ) .

C. ( 0; 2; − 4 ) .

D. ( 0;1; − 2 ) .

Câu 24: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A ( 3; 2; − 1) lên

mặt phẳng ( P ) : x + y − z = 0 là
A. ( 2;1; 0 ) .

B. (1; 0;1) .

C. ( 0;1;1) .

D. ( 2; − 1;1) .

Câu 25: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a = 3 cm , SC = 2 cm và SC vuông góc với
đáy. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC là

A. 4 cm .
B. 3cm .
C. 1cm .

D. 2 cm .

Câu 26: Tìm nghiệm của phương trình 9 x −1 = eln81 .
A. x = 5 .
B. x = 4 .
C. x = 6 .
D. x = 17 .
Câu 27: Cho khố i nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân và đường sinh có độ dài bằng a .
Thể tích khố i nón là
A.

π a3
12

.

B.

π a3 2
12

.

C.

π a3

3

.

D.

π a3 2
6

.

Câu 28: Khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x 3 − 3x 2 bằng
A. 2 .

B. 4 5 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. 2 5 .

D.

5.

Trang 3/25 - Mã đề thi 111


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 29: Hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 120° và có cạnh bên
bằng a. Diện tích xung quanh của hình nón bằng
A. π a

2

B.

3.

π a2
2

a2 3
C.
.
2

.

Câu 30: Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. F (1) = ln 2 + 1 .

1
B. F (1) = ln 2 + 1 .
2

(

D.

π a2 3
2

.

x
và F ( 0 ) = 1 . Tính F (1) .
x +1
2

C. F (1) = 0 .

D. F (1) = ln 2 + 2 .

)

Câu 31: Tính đạo hàm của hàm số y = ln x + x 2 + 1 .
A. y ′ =

x
2

x +1

B. y ′ =

.

1
2

x + x +1

.

C. y ′ =

x
2

x + x +1

D. y ′ =

.

1
x2 + 1

.

Câu 32: Thể tích tứ diện ABCD có các mặt ABC và BCD là các tam giác đều cạnh a và AD =

a 3
2

là
A.

3a 3 3
.
16

B.

Câu 33: Cho hàm số y =

a3 3
.
16

C.

3a 3 3
.
8

D.

a3 3
.
8

1+ x
. Mệnh đề nào duới đây đúng?
1− x

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) .
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) và nghịch biến trên khoảng (1; +∞ ) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) .
Câu 34: Một xưởng sản xuất những thùng bằng kẽm hình hộp chữ nhật không có nắp và có các kích

thước x , y , z ( dm ) . Biết tỉ số hai cạnh đáy là x : y = 1: 3 , thể tích của khố i hộp bằng 18 lít.
Để tốn ít vật liệu nhất thì bộ số x , y , z là
3
A. x = 2 , y = 6 , z = .
2
C. x =

3
9
3
, y= , z= .
2
2
2

B. x = 1 , y = 3 , z = 6 .
D. x =

1
3
, y = , z = 24 .
2
2

Câu 35: Tìm nguyên hàm của hàm số y = f ( x ) = sin 2 x .
1

A.

∫ f ( x ) dx = 2 cos 2 x + C .

C.

∫ f ( x ) dx = − 2 cos 2 x + C .

1

B.

∫ f ( x ) dx = −2 cos 2 x + C .

D.

∫ f ( x ) dx = 2 cos 2 x + C .

Câu 36: Tìm tất cả những điểm thuộc trục hoành cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
y = x3 − 3 x 2 + 2 .

A. M (−1; 0) .

B. M (1; 0), O(0; 0) .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. M (2; 0) .

D. M (1; 0) .

Trang 4/25 - Mã đề thi 111

Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 37: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
13
A. eln 2 + ln e 2 3 e = .
3

(

)

(

)

C. eln 2 + ln e 2 3 e =

15
.
3

(

)

(

)

B. eln 2 + ln e 2 3 e =

14
.
3

D. eln 2 + ln e 2 3 e = 4 .

Câu 38: Cho lăng trụ đứng ABC . A′B′C ′ có các cạnh bằng a . Thể tích khối tứ diện ABA′C ′ là
A.

a3 3
.
4

B.

a3 3
.
6

C.

a3
.
6

a3 3
.
12

D.

1
1
Câu 39: Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số y = x3 + mx 2 có điểm cực đại
3
2
x1, điểm cực tiểu x2 và −2 < x1 < −1 , 1 < x2 < 2 .

A. m > 0 .

B. m < 0 .

C. m = 0 .

D. Không có m .

Câu 40: Các giá trị thực của tham số m để phương trình 12 x + (4 − m)3x − m = 0 có nghiệm thuộc

khoảng (−1;0) là
 17 5 
A. m ∈  ;  .
 16 2 

B. m ∈ [ 2; 4] .

5 
C. m ∈  ; 6  .
2 

 5

D. m ∈ 1;  .
 2

Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A (1; −1;0) , B ( 0;2;0 ) , C ( 2;1;3) . Tọa độ điểm M

thỏa mãn MA − MB + MC = 0 là
A. ( 3; 2; −3) .

B. ( 3; −2;3) .

C. ( 3; −2; −3) .

D. ( 3; 2;3) .

Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A ( 2;0; 0 ) , B ( 0; 4; 0 ) , C ( 0; 0; 6 ) và

D ( 2; 4; 6 ) . Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( ABC ) là
A.

24
.
7

B.

16
.
7

C.

8
.
7

D.

12
.
7

Câu 43: Cho 0 < a < b < 1, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. log b a > log a b .

B. log a b < 0 .

C. log b a < log a b .

D. log a b > 1 .

Câu 44: Tìm tập hợp nghiệm S của bất phương trình log π ( x 2 + 1) < log π ( 2 x + 4 ) .
4

4

A. S = ( −2; −1) .

B. S = ( −2; +∞ ) .

C. S = ( 3; +∞ ) ∪ ( −2; −1) .

D. S = ( 3; +∞ ) .
1

Câu 45: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên [ 0;1] , f ( 0 ) = 1 , f (1) = −1 . Tính I = ∫ f ′ ( x ) dx .
0

A. I = 1 .

B. I = 2 .

C. I = −2 .

D. I = 0 .

3

Câu 46: Cho biểu thức P = x 2 x 5 x 3 với x > 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. P =

14
x15 .

B. P =

11
15
x .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. P =

13
x15 .

D. P =

16
x15 .

Trang 5/25 - Mã đề thi 111


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
x2 − 3x + 2
Câu 47: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
có phương trình là
x2 −1
A. y = 1.
B. x = ±1 .
C. x = −1 .

D. x = 1 .

Câu 48: Cho hai mặt phẳng: ( P ) : x − y + z − 7 = 0 , ( Q ) : 3 x + 2 y − 12 z + 5 = 0 . Phương trình mặt phẳng

(R)

qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mặt phẳng trên là

A. x + 2 y + 3 z = 0 .

B. x + 3 y + 2 z = 0 .

C. 2 x + 3 y + z = 0 .

D. 3x + 2 y + z = 0 .

1 − x2 + x + 1
Câu 49: Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
.
x2 +1
A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
B. x = 1 .
C. x = 0 .
D. x = −1 .
Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2;3) và B ( 3;2;1) . Phương trình mặt
phẳng trung trực của AB là
A. x + y − z − 2 = 0 .
B. y − z = 0 .

C. − z + x = 0 .

D. x − y = 0 .

----------HẾT----------

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 6/25 - Mã đề thi 111


Cập nhật đề thi mới nhất tại />BẢNG ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
B B D D B D A A A B D A A C C B D C D C C C A B D
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
A B C D B D B B A C D A D D A B A A C C A C C A C
HƯỚNG DẪ N GIẢ I
4

Câu 1:

[2D3-2]Cho

∫

1

f ( x ) dx = −1 , tính I = ∫ f ( 4 x ) dx .

0

0

1
A. I = − .
2

1

B. I = − .
4

C. I =

1
.
4

D. I = −2 .

Hướng dẫn giả i.
Chọn B.
1
Đặt t = 4 x ⇒ dt = dx .
4
x = 1 ⇒ t = 4
.
Đổi cận 
x = 0 ⇒ t = 0
4

I=

Câu 2:

4

1
1

1
f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = − .
∫
40
40
4

[2D1-2]Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ bên.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a > 0, b < 0, c > 0 .
B. a < 0, b > 0, c < 0 .
C. a < 0, b < 0, c < 0 .
D. a > 0, b < 0, c < 0 .
Hướng dẫn giả i.
Chọn B.

Dựa vào hình dạng đồ thị hàm số ta có a < 0 .
Ta có y ′ = 4ax 3 + 2bx = 2 x ( 2ax 2 + b ) .
x = 0
.
y ′ = 0 ⇔ 2 x ( 2ax 2 + b ) = 0 ⇔ 
2
2
ax
+
b
=
0


Hàm số có 3 cực trị khi phương trình 2ax 2 + b = 0 ⇔ x 2 = −

b
có hai nghiệm phận biệt nên
2a

b > 0.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên c < 0 .

Câu 3:

[2H1-2]Khố i lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có đường chéo AC ′ = 6cm có thể tích gần bằng
A. 0,8 lít.
B. 0, 024 lít.
C. 0, 08 lít.
D. 0, 04 lít.
Hướng dẫn giả i.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 7/25 - Mã đề thi 111


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Chọn D.
Ta có AC 2 = AB 2 + BC 2 , AC ′2 = AC 2 + CC ′2 .
Do đó AC ′2 = AB 2 + BC 2 + CC ′2 = 3 AB 2 .
AC ′ 6
⇒ AB =
=
=2 3.

3
3
Thể tích khố i lập phương là.

V = AB3 = 24 3cm3 =

Câu 4:

24 3 3
dm ≈ 0, 04 lít.
1000

[2D1-3]Tính khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = 2 x 4 − 3 x 2 + 1 .
A. 2 4 3 .

B.

C. 2 3 .

3.

D.

4

3.

Hướng dẫn giả i.
Chọn D.

Ta có y ′ = 8 x 3 − 2 3 x .
4

3
5
⇒y=
x =
2
8

3
.
y′ = 0 ⇔ 8x − 2 3x = 0 ⇔  x = 0 ⇒ y = 1

4
x = − 3 ⇒ y = 5

4
8
Bảng biến thiên.
4
–∞
0
3
−
x
2

–

y′

0

+∞
y

+

0
1

–

5
8

+∞

4

3
2

0

+
+∞

5

8

.
 4 3 5
 4 3 5
Gọi hai điểm cực tiểu là A 
;  , B  −
;  .
 2 8
 2 8
Khi đó AB = x A − xB = 4 3 .
Câu 5:

[2D2-2]Cho 3 số thực dương a , b , c khác 1 . Đồ thị hàm số
y = log a x , y = log b x , y = log c x được cho trong hình vẽ bên.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. b < a < c .
B. a < b < c .
C. a < c < b .
D. c < a < b .
Hướng dẫn giả i.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 8/25 - Mã đề thi 111


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Chọn B.

Khi x → +∞ ta thấy y = log a x giảm nên a < 1 .

Khi x → +∞ ta thấy y = log b x, y = log c x tăng nên b; c > 1 .
Khi x > 1 thì đồ thị hàm số y = log b x ở trên đồ thị hàm số y = log c x nên log b x > log c x .
Lấy x0 > 1 ta có log b x0 > log c x0 ⇔
Câu 6:

1
1
>
⇔ log x0 c > log x0 b ⇔ c > b .
log x0 b log x0 c

[2D1-3]Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y =

1 3 1
x − ( m + 5 ) x 2 + mx có cực đại,
3
2

cực tiểu và xCD − xCT = 5 .
A. m = 0 .

B. m = −6 .

C. m ∈ {6; 0} .

D. m ∈ {0; −6} .

Hướng dẫn giải.
Chọn D.

Ta có y ′ = x 2 − ( m + 5 ) x + m .
Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi y ′ = x 2 − ( m + 5 ) x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt.
2

⇔ ∆ > 0 ⇔ ( m + 5) − 4m > 0 ⇔ m 2 + 10m + 25 − 4m > 0 ⇔ m2 + 6m + 25 > 0 (luôn đúng).
Theo định lí Viet ta có xCĐ + xCT = m + 5 , xCĐ .xCT = m .
2

2

Mà xCĐ − xCT = 5 ⇔ ( xCĐ + xCT ) − 4 xCĐ .xCT = 25 ⇔ ( m + 5 ) − 4m = 25 .

m = 0
⇔ m 2 + 6m = 0 ⇔ 
.
 m = −6
Câu 7:

[2D1-1]Cho hàm số f ( x ) = x 2 + 2 x + 2 + x 2 − 2 x + 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f

( 4) > f ( 5).
3

B. f

4

( 4) < f ( 5).
3

4

C. f

( 5 ) = 2 f ( 4 ) . D. f ( 4 ) = f ( 5 ) .
4

3

3

4

Hướng dẫn giải.
Chọn A.
Cách 1: Dùng máy tính.

Ta có f ( x ) = x 2 + 2 x + 2 + x 2 − 2 x + 2 .
2

2

( 4 ) = ( 4 ) + 2. 4 + 2 + ( 4 ) − 2. 4 + 2 ≈ 3,93368 .
f ( 5 ) = ( 5 ) + 2. 5 + 2 + ( 5 ) − 2. 5 + 2 ≈ 3,804226 .
Vậy f ( 4 ) > f ( 5 ) .
f

3

3

4

4

3

2

3

3

4

4

2

3

4

4

Cách 2: Dùng tính đơn điệu hàm số.
Xét hàm số f ( x ) = x 2 + 2 x + 2 + x 2 − 2 x + 2 .
TXĐ: D = ℝ .
x +1

x −1
f ′( x ) =
+
> 0, ∀x > 1 ⇒ hàm số đồng biến trên (1; +∞ ) .
2
2
x + 2x + 2
x − 2x + 2
Ta có:

3

4 > 4 5 >1 ⇒ f

( 4) > f ( 5) .
3

4

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 9/25 - Mã đề thi 111


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 8:

[2H2-2]Cho hình trụ có bán kính đáy là R , độ dài đường cao là h . Đường kính MN của đáy
dưới vuông góc với đường kính PQ của đáy trên. Thể tích của khố i tứ diện MNPQ bằng
A.

2 2
R h.
3

B.

1 2
R h.
6

C.

1 2
R h.
3

D. 2R 2 h .

Hướng dẫn giải.
Chọn A.

Dựng hình hộp chữ nhật BMAN .QEPF như hình vẽ.

Ta có BM = BN = R 2 .
Khi đó VMNPQ = VBMAN .QEPF − VP. AMN − VN . FQP − VM .QEP − VQ.BMN .
1 2 R 2 h 1 2 R 2h 1 2 R 2 h 1 2 R 2 h 2 2
= 2R2h − ⋅
− ⋅
− ⋅
− ⋅

= R h.
3 2
3 2
3 2
3 2
3
Câu 9:

[2H2-3]Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại A , cạnh huyền BC = 6cm , các
cạnh bên cùng tạo với đáy một góc 60° . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC là
A. 48π cm 2 .
B. 12π cm 2 .
C. 16π cm 2 .
D. 24cm 2 .
Hướng dẫn giải.
Chọn A.

Do các cạnh bên tạo với đáy những góc bằng nhau nên
chân đường cao H hạ từ đỉnh S trùng với tâm đường
tròn ngoại tiếp ∆ABC . Mà ∆ABC vuông tại H nên là
trung điểm BC .
Trong mặt phẳng ( SAH ) dựng đường trung trực của
SA cắt SH tại I .
Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC
và bán kính là R = SI .
1
Ta có AH = BC = 3 .
2
Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy ( ABC ) là SAH = 60° .
AH

=6.
cos 60°
SI MS
SA.MS
=
⇒ SI =
=2 3.
Ta có ∆MSI ~ ∆HSA nên
SA HS
HS

Trong ∆SAH có SH = AH . tan 60° = 3 3 và SA =

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC là S = 4π R 2 = 4π SI 2 = 48π .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 10/25 - Mã đề thi 111


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Chú ý: Ta có thể tính R = SI như sau: Thấy ∆SBC đều cạnh bằng , nên SI =

6
=2 3.
3

Câu 10: [2H3-3]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( −1; 2; 3) và B ( 3; −1; 2 ) . Điểm

M thỏa mãn MA.MA = 4 MB.MB có tọa độ là
5 7
A. M  ; 0;  .

B. M ( 7; −4;1) .
3 3

 1 5
C. M 1; ;  .
 2 4

 2 1 5
D. M  ; ;  .
 3 3 3

Hướng dẫn giải.
Chọn B.

Ta có MA.MA = 4 MB.MB ⇔ MA =

(

4MB
.MB . Khi đó MA; MB cùng hướng.
MA

Mà MA.MA = 4MB.MB ⇔ MA.MA

2

) = ( 4MB.MB )

2

4

⇔ MA4 = ( 2 MB ) ⇔ MA = 2 MB .

Do MA = 2MB và MA; MB cùng hướng nên MA = 2MB .
Gọi M ( x; y; z ) . Ta có.
−1 − x = 2 ( 3 − x )
x = 7


MA = 2 MB ⇔ 2 − y = 2 ( −1 − y ) ⇔  y = −4 ⇒ M ( 7; −4;1) .

z = 1

3 − z = 2 ( 2 − z )
Câu 11: [2D1-3]Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 3 + x 2 + x = m ( x 2 + 1)

2

có nghiệm thuộc đoạn [ 0;1] ?
A. m ≥ 1 .

B. m ≤ 1 .

C. 0 ≤ m ≤ 1 .

D. 0 ≤ m ≤

3
.

4

Hướng dẫn giải.
Chọn D.
2

Ta có x 3 + x 2 + x = m ( x 2 + 1) ⇔
Đặt f ( x ) =

x3 + x 2 + x

(x

2

+ 1)

2

x3 + x 2 + x

(x

2

+ 1)

2

= m (1).

có đồ thị ( C ) .

Số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của đồ thị ( C ) với đường thẳng y = m .
Ta có f ′ ( x ) =

− x 4 − 2 x3 + 2 x + 1

(x

2

+ 1)

3

.

3

Vì ( x 2 + 1) > 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ f ′ ( x ) = 0 ⇔ − x 4 − 2 x3 + 2 x + 1 = 0 ⇔ x = ±1 (loại x = −1 ) .
Min f ( x ) = 0
3

⇒ f ( 0 ) = 0 ; f (1) = . Từ đó ⇒ 
3.
4
Max
f
x

=
(
)

4

3
.
4
Câu 12: [2D1-1]Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số y = − x 4 + 2 x 2 + 1 .

Để phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn [ 0;1] ⇔ 0 ≤ m ≤

A. x = ±1 .

B. x = −1 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. x = 1 .

D. x = 0 .

Trang 11/25 - Mã đề thi 111


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Hướng dẫn giải.
Chọn A.
Ta có y ′ = −4 x 3 + 4 x ⇒ y′ = 0 ⇔ x = 0; x = ±1 .

Bảng biến thiên
x
0
−∞
−1

+

f ′( x)

0

-

0

1

+

0

2

f ( x) .

+∞
-

2

1
Từ bảng biến thiên ⇒ hàm số đạt cực đại tại x = ±1 .
Câu 13: [2H2-4]Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , xét tam giác vuông AOB với A chạy trên trục hoành và

có hoành độ dương; B chạy trên trục tung và có tung độ âm sao cho OA + OB = 1 . Hỏi thể tích
lớn nhất của vật thể tạo thành khi quay tam giác AOB quanh trục Oy bằng bao nhiêu?
A.

4π
.
81

B.

15π
.
27

9π
.
4
Hướng dẫn giải.

C.

D.

17π
.

9

Chọn A.

Khi quay tam giác AOB quanh trục Oy thì tạo thành hình
nón có bán kính R = OA = a và chiều cao h = OB = b .
Với a > 0, b < 0 .
1
Thể tích của hình nón khi đó là V = ⋅ π a 2 ⋅ b (1).
3
Vì OA + OB = 1 ⇔ a + b = 1 ⇔ b = 1 − a (2)
2

a = (N )
1
1
2
2

Từ (1) và (2) ⇒ V = ⋅ π a (1 − a ) ⇒ V ′ = π ( 2a − 3a ) ⇒ V ′ = 0 ⇔
.
3

3
3
 a = 0 ( L )
Bảng biến thiên
a
0
2

+∞
−∞
3

-

V′
V.

Vậy MaxV =

0

+

0

0

4π
81

4π
2
tại a = .
81
3
x

Câu 14: [2D3-3]Tập hợp nghiệm của bất phương trình

∫
0

A. ( −∞;0 ) .

-

B. ( −∞; +∞ ) .

t
2

t +1

dt > 0 (ẩn x ) là

C. ( −∞; +∞ ) \ {0} .

D. ( 0; +∞ ) .

Hướng dẫn giải.
Chọn C.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 12/25 - Mã đề thi 111


Cập nhật đề thi mới nhất tại />x

Ta có

∫
0

t
t 2 +1

1
1
2
2 d t2 +1 > 0 .
t
+
1
(
)
( )
∫
20

x

dt > 0 ⇔

⇔

1
3

⇔

(

⇔

(

t2 +1

)

)

3

x
> 0.
0

3

x2 + 1 − 1 > 0 .
x2 + 1 > 1 .

⇔ x2 > 0 .
⇔ x ≠ 0.
Câu 15: [2H2-1]Ống nghiệm hình trụ có bán kính đáy là R = 1 cm và chiều cao h = 10 cm chứa được
lượng máu tối đa (làm tròn đến một chữ số thập phân) là

A. 10 cc .
B. 20 cc .
C. 31,4 cc
D. 10,5 cc .
Hướng dẫn giải.
Chọn C.
Thể tích máu tối đa chứa trong ống nghiệm bằng thể tích của
ống nghiệm. Khi đó V = π R 2 h = π .12.10 ≈ 31, 4 cm3 .
Hay V = 31, 4 cc .
Câu 16: [2H1-2]Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3 cm , các mặt bên ( SAB ) và

( SAD ) vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa

SC và mặt đáy là 60° . Thể tích của khố i chóp

S . ABCD là

A. 6 6 cm3 .

B. 9 6 cm 3 .

C. 3 3 cm3 .

D. 3 6 cm3 .

Hướng dẫn giải.
Chọn B.

Ta có

( SAB ) ∩ ( SAD ) = SA ; ( SAB )

và ( SAD )

S

vuông góc với mặt phẳng đáy nên SA ⊥ ( ABCD ) .

( SC , ( ABCD )) = ( SC , AC ) = SCA = 60° .
tan 60° =

SA
⇔ SA = AC .tan 60° = 3 2. 3 = 3 6 .
AC

1
1
V = .SA.S ABCD = .3 6.32 = 9 6 cm3
3
3

Câu 17: [2D2-1]Cho hàm số y = ln

A

B

D

C

1
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x +1
2

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) . D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;0 ) .
Hướng dẫn giải.
Chọn D.

Tập xác định D = ℝ .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 13/25 - Mã đề thi 111


Cập nhật đề thi mới nhất tại />2x
; y′ = 0 ⇔ x = 0
x +1
Bảng biến thiên.
y′ = −

2

x

y′

−∞

0
0

+

+∞
−

y
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;0 ) .
Câu 18: [2H3-2]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng ( P ) đi qua các hình chiếu của điểm
A (1;2;3) trên các trục tọa độ là

A. x + 2 y + 3 z = 0 .

B. x +

y z
+ = 0.
2 3

y z
+ = 1.
2 3

C. x +

D. x + 2 y + 3 z = 1 .

Hướng dẫn giải.
Chọn C.

Hình chiếu của A (1;2;3) lên trục Ox là M (1;0;0 ) .
Hình chiếu của A (1;2;3) lên trục Oy là N ( 0;2;0 ) .
Hình chiếu của A (1;2;3) lên trục Oz là P ( 0;0;3) .
Phương trình mặt phẳng ( P ) cần tìm là x +

y z
+ = 1.
2 3

Câu 19: [2D1-3]Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = x 2 + 1 − mx − 1 đồng

biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) .
B. [1; + ∞ ) .

A. ( −∞;1) .

C. [ −1; 1] .

D. ( −∞; −1] .

Hướng dẫn giải.
Chọn D.

x

Tập xác định D = ℝ . Ta có y′ =

2

x +1

−m.

Theo yêu cầu bài toán thì y′ ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔
x
x2 + 1

−m ≥ 0⇔ m ≤

Xét f ( x ) =

x
x2 +1

x
x2 + 1

x
x2 +1

− m ≥ 0, ∀x ∈ ℝ .

.

, ∀x ∈ ℝ . f ′ ( x ) =

1

(x

2

+ 1) x 2 + 1

.

Bảng biến thiên

x

+∞

−∞

f ′( x )

+
1

f ( x)
−1

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 14/25 - Mã đề thi 111


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Dựa vào bảng biến thiên ta có m ∈ ( −∞; −1] .
Câu 20: [2D2-3]Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình

91− x + 2 ( m − 1) 31− x + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
A. m > 1 .

B. m < −1 .

C. m < 0 .

D. −1 < m < 0 .

Hướng dẫn giải.
Chọn C.
2

1− x

9

1− x

+ 2 ( m − 1) 3

x
  1 x 

1
+ 1 = 0 ⇔ 9.     + 6 ( m − 1)   + 1 = 0 .
 3  
3



x

−9t 2 + 6t − 1
1
2
Đặt t =   > 0 ta có: 9t + 6 ( m − 1) t + 1 = 0 ⇔ m =
.
6t
 3
−9t 2 + 6t − 1
; t >0.
6t
 1
t = 3
−54t 2 + 6
1
f ′(t ) =
⇔t= .
; f ′ (t ) = 0 ⇔ 
2
36t
3
t = − 1


3
Bảng biến thiên.
t
0
1
3
f ′(t)
0
+
−
0
f (t )
−∞
Dựa vào bảng biến thiên ta có m < 0 .
Xét hàm số f ( t ) =

+∞

−∞
2

Câu 21: [2D3-4]Gọi S là diện tích Ban - Công của một ngôi nhà có
hình dạng như hình vẽ ( S được giới hạn bởi parabol ( P ) và
trục Ox ). Khi đó.
3
A. S = .
B. S = 1 .
2
4

C. S = .
D. S = 2 .
3
Hướng dẫn giải.
Chọn C.
Tìm phương trình parabol ( P ) qua ba điểm: đỉnh A ( 0;1) ,

y

1
1
O

-1

2

1

x

1

x

y

1

B ( −1; 0 ) và C (1; 0 ) giao điểm với trục Ox ta được

( P ) : y = − x2 + 1.
1

1

 x3

4
Diện tích S = ∫ ( − x 2 + 1)dx =  − + x  = . (xem thêm hình
 3
 −1 3
−1
vẽ minh hoạ).
.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

-1

O

Trang 15/25 - Mã đề thi 111


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 22: [2D3-4]Người ta cần trồng hoa tại phần đất nằm phía
1
ngoài đường tròn tâm gốc toạ độ, bán kính bằng
và
2

y

phía trong của Elip có độ dài trục lớn bằng 2 2 và trục
nhỏ bằng 2 (như hình vẽ). Trong mỗ i một đơn vị diện
100
tích cần bón
kg phân hữu cơ. Hỏi cần sử
( 2 2 − 1) π

O

x

dụng bao nhiêu kg phân hữu cơ để bón cho hoa?.
A. 30 kg .

B. 40 kg .

C. 50 kg .
Hướng dẫn giải.

D. 45 kg .

Chọn C.
Diện tích hình phẳng giới hạn giữa elip và đường tròn chính là diện tích hình elip trừ diện tích
hình tròn.

x2 y 2
• Phương trình elip có trục lớn 2a = 2 2 , trục nhỏ 2b = 2 là ( E ) : +

= 1.
2 1
Áp dụng công thức diện tích S elip = π ab ta được Seip = π 2 .
• Phương trình đường tròn ( C ) tâm O ( 0; 0 ) bán kính R =
Áp dụng công thức diện tích S hình tròn = π R 2 =

1
1
là ( C ) : x 2 + y 2 = .
2
2

π
.
2

* Vậy diện tích hình phẳng S = Selip − S hình tròn = π 2 −

π
.
2

π
100

Do đó khối lượng phân cần bón  π 2 −  .
= 50 .
2  ( 2 2 − 1) π

x2 y2

+ Chứng minh công thức diện tích elip: S elip = π ab với ( E ) : 2 + 2 = 1
a b
b 2

2
 y = a a − x , ( y ≥ 0)
⇔
.
 y = − b a 2 − x2 , ( y < 0 )

a
a

Do tính đố i xứng nên S elip = 4

b
a 2 − x 2 dx .
a ∫0
I

π

 x = a ⇒ sin u = 1 ⇒ u =
Đặt x = a sin u ⇒ dx = a cos udu ; đổi cận 
2 .
 x = 0 ⇒ sin u = 0 ⇒ u = 0
π

π

2

2

I = ∫ a 2 − a 2 sin 2 u .a cos udu = a 2 ∫
0

=

a2
2

0

π

π

a2 2
1 − sin 2 u .cos udu = a 2 ∫ cos 2 udu = ∫ (1 + cos 2u ) du
2 0
0
2

π

2
1

2 aπ

sin
2
u
+
u
=
. Vậy S elip = π ab .


2
4
0

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 16/25 - Mã đề thi 111


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
y

1

2

O 2

x
.

Câu 23: [2H3-2]Mặt phẳng ( Oyz ) cắt mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 2 y + 4 z − 3 = 0 theo một đường

tròn có toạ độ tâm là
A. ( −1;0; 0 ) .

B. ( 0; − 1; 2 ) .

C. ( 0; 2; − 4 ) .

D. ( 0;1; − 2 ) .

Hướng dẫn giải.
Chọn A.
Mặt cầu ( S ) có tâm I ( −1;1; − 2 ) , bán kính R = 3 , PT ( Oyz ) : x = 0 .

Tâm đường tròn giao tuyến chính là hình chiếu của tâm I mặt cầu lên mp ( Oyz ) ⇒ toạ độ
hình chiếu đó là ( −1;0; 0 ) .
Câu 24: [2H3-2]Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm
A ( 3; 2; − 1) lên mặt phẳng ( P ) : x + y − z = 0 là

A. ( 2;1; 0 ) .

B. (1; 0;1) .

C. ( 0;1;1) .

D. ( 2; − 1;1) .

Hướng dẫn giải.
Chọn B.

PT đường thẳng d qua A ( 3; 2; − 1) và vuông góc mp ( P ) (nhận VTPT của ( P ) n = (1;1; − 1)
x = 3 + t

làm VTCP) là d :  y = 2 + t .
 z = −1 − t


Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mp ( P ) là giao điểm của d và ( P ) ; giải hệ PT
x = 3 + t
x = 1
y = 2 + t


ta dược t = −2 và  y = 0 .

z = 1
 z = −1 − t

 x + y − z = 0
Câu 25: [2H2-2]Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a = 3 cm , SC = 2 cm và SC vuông

góc với đáy. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC là
A. 4 cm .
B. 3cm .
C. 1cm .

D. 2 cm .

Hướng dẫn giải.

Chọn D.

Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC . Do SC ⊥ ( ABC ) nên qua G dựng đường thẳng Gx
song song với SC ⇒ Gx ⊥ ( ABC ) .
Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC là giao điểm của Gx và mặt phẳng trung trực
( P ) của cạnh SC (như hình vẽ).

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 17/25 - Mã đề thi 111


Cập nhật đề thi mới nhất tại />S

M
I
C

B
G
A

.
2

2

2
 SC   2 a 3 
2

Bán kính R = IC , với IC = IG + CG = 
 + ⋅
 = 1 + ( 3) = 2 .
 2  3 2 

2

2

Câu 26: [2D2-1]Tìm nghiệm của phương trình 9 x −1 = eln81 .
A. x = 5 .
B. x = 4 .
C. x = 6 .
.Hướng dẫn giải.
Chọn A.
Điều kiện : x ≥ 1 .

Ta có : 9

x −1

= eln81 ⇔ 9

x −1

D. x = 17 .

x − 1 = 2 ⇔ x = 5 (t/m) .

= 81 ⇔

Câu 27: [2H2-2]Cho khối nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân và đường sinh có độ dài
bằng a . Thể tích khố i nón là
A.

π a3
12

.

B.

π a3 2
12

C.

.

π a3
3

.

D.

π a3 2
6

.

Hướng dẫn giải.
Chọn B.

.
Gọi r , h > 0 lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối nón; O là tâm đáy.
Ta có: Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S và SA = a .
⇒ r = OA =

1
a 2
1
a 2
AB =
; h = SO = AB =
.
2
2
2
2
2

1
1  a 2  a 2 π a3 2
=
.
Thể tích khố i nón là V = π r 2 h = π 

3
3  2  2

12
Câu 28: [2D1-2]Khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 − 3x 2 bằng
A. 2 .

B. 4 5 .

C. 2 5 .

D.

5.

Hướng dẫn giải.
Chọn C.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 18/25 - Mã đề thi 111


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Ta có: y ′ = 3 x 2 − 6 x .
x = 0
.
y′ = 0 ⇔ 
x = 2

Tọa độ 2 điểm cực trị là O ( 0; 0 ) và A ( 2; −4 ) , khi đó AO = 2 5 .
Câu 29: [2H2-2]Hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 120° và có
cạnh bên bằng a. Diện tích xung quanh của hình nón bằng
A. π a 2 3 .

B.

π a2
2

C.

.

a2 3
.
2

D.

π a2 3
2

Hướng dẫn giải.

.

S

120°

Chọn D.

Bán kính của đáy hình nón là R = SA.sin

120°
a 3
= a.sin 60° =
.
2
2

Diện tích xung quanh của hình nón: S xq = π Rl =

π a2 3
2

.

Câu 30: [2D3-2]Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. F (1) = ln 2 + 1 .

1
B. F (1) = ln 2 + 1 .
2

O

A

B

x
và F ( 0 ) = 1 . Tính F (1) .

x +1
2

C. F (1) = 0 .

D. F (1) = ln 2 + 2 .

Hướng dẫn giải.
Chọn B.
Cách 1:
1
1
1
x
dx = ∫ 2
d ( x 2 + 1) = ln x 2 + 1 + C .
x +1
2 x +1
2
1
F ( 0 ) = 1 ⇔ ln1 + C = 1 ⇔ C = 1 .
2
1
1
F (1) = ln 12 + 1 + 1 = ln 2 + 1 .
2
2
Cách 2:

F ( x) = ∫

2

1

+ Xét tích phân

∫ f ( x)dx = F (1) − F (0) .
0

+ Vế trái bấm máy tính được.
+ F ( 0 ) đề bài đã cho nên có thể tính được F (1) .

(

)

Câu 31: [2D2-2]Tính đạo hàm của hàm số y = ln x + x 2 + 1 .
A. y ′ =

x
2

x +1

.

B. y ′ =

1

2

x + x +1

.

C. y ′ =

x
2

x + x +1

.

D. y ′ =

1

x2 + 1

.

Hướng dẫn giải.
Chọn D.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 19/25 - Mã đề thi 111

Cập nhật đề thi mới nhất tại />
y′ =

(

x + x2 + 1
2

′

)=

x + x +1

(x
1+

2

+ 1)′

1+

x

2 x2 + 1 =
x2 +1 =
x + x2 + 1 x + x 2 + 1

1
x2 + 1

.

Câu 32: [2H1-2]Thể tích tứ diện ABCD có các mặt ABC và BCD là các tam giác đều cạnh a và
AD =

A.

a 3
là
2

3a 3 3
.
16

B.

a3 3
.
16

C.

3a 3 3
.
8

D.

a3 3
.
8

Hướng dẫn giải.
Chọn B.

A

B
H

D

M
C

.
Gọi M là trung điểm của BC khi đó ta có AM ⊥ BC và DM ⊥ BC .
Suy ra BC ⊥ ( AMD ) ⇒ ( AMD ) ⊥ ( BCD ) .
a 3
= AD nên tam giác AMD đều.
2
Gọi H là trung điểm MD thì AH ⊥ MD , từ đó suy ra AH ⊥ ( BCD ) .
Ta có AM = MD =

AH =

a 3 3 3a
a2 3
.
=
. Tam giác BCD đều cạnh a nên S BCD =
.
2 2
4
4

1
a3 3
Vậy thể tích tứ diện ABCD là V = .S BCD . AH =
.
3
16

Câu 33: [2D1-1]Cho hàm số y =

1+ x
. Mệnh đề nào duới đây đúng?
1− x

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) .
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) và nghịch biến trên khoảng (1; +∞ ) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) .
Hướng dẫn giải.
Chọn B.

TXĐ: D = ℝ \ {1} .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 20/25 - Mã đề thi 111


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Ta có y ′ =

2

(1 − x )

2

> 0, ∀x ∈ D . Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) .

Câu 34: [2H1-4]Một xưởng sản xuất những thùng bằng kẽm hình hộp chữ nhật không có nắp và có các

kích thước x , y , z ( dm ) . Biết tỉ số hai cạnh đáy là x : y = 1: 3 , thể tích của khố i hộp bằng 18
lít. Để tốn ít vật liệu nhất thì bộ số x , y , z là
3
A. x = 2 , y = 6 , z = .
B. x = 1 , y = 3 , z = 6 .
2
C. x =

3
9

3
, y= , z= .
2
2
2

D. x =

1
3
, y = , z = 24 .
2
2

Hướng dẫn giải.
Chọn A.
6
.
x2
6 
 6
Diện tích xung quanh của thùng là: S xq = S đáy + 2 ( S1 + S 2 ) = 3 x 2 + 2  x ⋅ 2 + 3 x ⋅ 2  .
x 
 x
48
48
⇔ S xq = 3 x 2 + ; S(′x ) = 6 x − 2 .
x
x
S(′x ) = 0 ⇔ x = 2 .

Theo đề: y = 3x . Thể tích khố i hộp: V = x. y.z = 18 ⇔ 3x 2 .z = 18 ⇔ z =

Bảng biến thiên:.
x
0
S(′x )

18

2
0

–

+

S
36

.
Để ít tốn nguyên vật liệu nhất thì diện tích xung quan nhỏ nhất ⇔ MinS xq = 36 ⇔ x = 2
⇒ y =6, z =

3
.
2

Câu 35: [2D3-1]Tìm nguyên hàm của hàm số y = f ( x ) = sin 2 x
1

A.

∫ f ( x ) dx = 2 cos 2 x + C .

C.

∫ f ( x ) dx = − 2 cos 2 x + C .

1

B.

∫ f ( x ) dx = −2 cos 2 x + C .

D.

∫ f ( x ) dx = 2 cos 2 x + C .

Hướng dẫn giải.
Chọn C.

Ta có:

1

∫ f ( x ) dx = ∫ sin 2 xdx = − 2 cos 2 x + C .

Câu 36: [2D1-3]Tìm tất cả những điểm thuộc trục hoành cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
y = x3 − 3 x 2 + 2 .

A. M (−1; 0) .

B. M (1; 0), O(0; 0) .

C. M (2; 0) .

D. M (1; 0) .

Hướng dẫn giải.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 21/25 - Mã đề thi 111


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Chọn D.

x = 0
y = x3 − 3 x 2 + 2 ⇒ y′ = 3 x 2 − 6 x ⇒ y ' = 0 ⇔ 
.
x = 2
x

-∞

y'

2

0

+

0

-

+∞

0

+

2

y

+∞
-2

-∞

.

Đồ thị hàm số đạt cực trị tại hai điểm A(0; 2), B(2; −2) .

M (a;0) ∈ Ox cách đều hai điểm A, B ⇔ AM 2 = BM 2 ⇔ a 2 + (−2) 2 = (a − 2) 2 + 22 .
⇔ a 2 + 4 = a 2 − 4 a + 4 + 4 ⇔ a = 1 ⇒ M (1; 0) .

Câu 37: [2D2-1]Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
13

14
A. eln 2 + ln e 2 3 e = .
B. eln 2 + ln e 2 3 e = .
3
3

(

)

(

)

C. eln 2 + ln e 2 3 e =

15
.
3

(

)

(

)

D. eln 2 + ln e 2 3 e = 4 .
Hướng dẫn giải.

Chọn A.

e

ln 2

1
7

7 13
2 3

+ ln e . e = 2 + ln e .e = 2 + ln e 3 = 2 + = .


3 3



(

2 3

)

Câu 38: [2H1-3]Cho lăng trụ đứng ABC . A′B′C ′ có các cạnh bằng a . Thể tích khố i tứ diện ABA′C ′ là
A.

a3 3

.
4

B.

a3 3
.
6

C.

a3
.
6

a3 3
.
12

D.

Hướng dẫn giải.
Chọn D.

Gọi H là trung điểm A′B′
C ′H ⊥ A′B′
a 3
⇒
⇒ C ′H ⊥ ( ABA′), C ′H =
2

C ′H ⊥ AA′
S ABA′ =

1
a2
AB.AA′ =
,
2
2

VABA′C′

1
1 a 2 a 3 a3 3
= S ABA′ .C ' H = ⋅ ⋅
=
.
3
3 2
2
12

A'

C'
H

B'

C

A
a

B

Câu 39: [2D1-3]Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m để hàm
1
1
số y = x3 + mx 2 có điểm cực đại x1, điểm cực tiểu x2 và −2 < x1 < −1 , 1 < x2 < 2 .
3
2
A. m > 0 .
B. m < 0 .
C. m = 0 .
D. Không có m .
Hướng dẫn giải.
Chọn D.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 22/25 - Mã đề thi 111


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
y=

x = 0
1 3 1 2
.

x + mx ⇒ y′ = x 2 + mx = x( x + m) ⇒ y′ = 0 ⇔ 
3
2
 x = −m

Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ − m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 .
Vì −2 < x1 < −1 , 1 < x2 < 2 mà x = 0 không thuộc khoảng (−2; −1) và (1;2) nên không có m .
Câu 40: [2D2-3]Các giá trị thực của tham số m để phương trình 12 x + (4 − m)3x − m = 0 có nghiệm

thuộc khoảng (−1;0) là
 17 5 
A. m ∈  ;  .
 16 2 

5 
C. m ∈  ; 6  .
2 

B. m ∈ [ 2; 4] .

 5
D. m ∈ 1;  .
 2

Hướng dẫn giải.
Chọn A.

(

)

12 x + (4 − m)3 x − m = 0 ⇔ 12 x + 4.3x = m 3x + 1 ⇔ m =
Xét hàm số f ( x ) =

12 x + 4.3x
3x + 1

12 x + 4.3x
3x + 1

.

.

12 x ln12 + 4.3 x ln 3)( 3x + 1) − 3x ln 3 (12 x + 4.3x )
(
f ′( x) =
.
2
x
(3 + 1)

f '( x) =

f '( x) =

36 x ln12 + 12 x ln12 + 4.32 x ln 3 + 4.3x ln 3 − 36 x ln 3 − 4.32 x ln 3

(

)

3x + 1

2

(

36 x (ln12 − ln 3) + 12 x ln12 + 4.3 x ln 3

(3x + 1)

2

.

) > 0.

⇒ Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng (−1;0) ⇒ phương trình đã cho có nghiệm thuộc
khoảng (−1;0) khi và chỉ khi: f (−1) < m < f (0) ⇔

17
5
16
2

Câu 41: [2H3-2]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A (1; −1;0) , B ( 0;2;0 ) , C ( 2;1;3) . Tọa độ
điểm M thỏa mãn MA − MB + MC = 0 là
A. ( 3; 2; −3) .

B. ( 3; −2;3) .

C. ( 3; −2; −3) .

D. ( 3; 2;3) .

Hướng dẫn giải.
Chọn B.

Gọi M ( x; y; z ) .
Ta có: MA − MB + MC = 0 ⇔ BA + MC = 0 ⇔ BA = CM .
CM = ( x − 2; y − 1; z − 3) , BA = (1; −3;0 ) .

x − 2 = 1
x = 3


⇒  y − 1 = −3 ⇔  y = −2 ⇒ M ( 3; −2;3) .
z − 3 = 0
z = 3



TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 23/25 - Mã đề thi 111


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 42: [2H3-2]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A ( 2;0; 0 ) , B ( 0; 4; 0 ) , C ( 0; 0; 6 )

và D ( 2; 4; 6 ) . Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( ABC ) là
A.

24
.
7

B.

16
.
7

C.

8
.
7

D.

12
.
7

Hướng dẫn giải:.
Chọn A.
x y z
+ + = 1 ⇔ 6 x + 3 y + 2 z − 12 = 0 .

2 4 6
12 + 12 + 12 − 12 24
=
.
Khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( ABC ) là: d ( D, ( ABC ) ) =
7
36 + 9 + 4

Phương trình mặt phẳng ( ABC ) viết theo đoạn chắn là:

Câu 43: [2D2-1]Cho 0 < a < b < 1, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. log b a > log a b .

B. log a b < 0 .

C. log b a < log a b .

D. log a b > 1 .

Hướng dẫn giải.
Chọn A.

Vì 0 < a < b < 1 suy ra log b a > 1 và log a b < 1 .
Vậy log b a > 1 > log a b .
Câu 44: [2D2-2]Tìm tập hợp nghiệm S của bất phương trình log π ( x 2 + 1) < log π ( 2 x + 4 ) .
4

A. S = ( −2; −1) .

B. S = ( −2; +∞ ) .

C. S = ( 3; +∞ ) ∪ ( −2; −1) .

D. S = ( 3; +∞ ) .

4

Hướng dẫn giải.
Chọn C.
Đk: 2 x + 4 > 0 ⇔ x > −2 .

π
< 1 nên đổi chiều bất phương trình).
4
⇔ x 2 − 2 x − 3 > 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ ) , Kết hợp với điều kiện: S = ( 3; +∞ ) ∪ ( −2; −1) .

Bpt ⇔ x 2 + 1 > 2 x + 4 (do

1

Câu 45: [2D3-1]Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên [ 0;1] , f ( 0 ) = 1 , f (1) = −1 . Tính I = ∫ f ′ ( x ) dx .
0

A. I = 1 .

B. I = 2 .

C. I = −2 .

D. I = 0 .

Hướng dẫn giải:.
Chọn C.
1
1
Ta có I = ∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) = f (1) − f ( 0 ) = −1 − 1 = −2 .
0
0

3

Câu 46: [2D2-1]Cho biểu thức P = x 2 x 5 x 3 với x > 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. P =

14
x15 .

B. P =

11
15
x .

C. P =

13
x15 .

D. P =

16
x15 .

Hướng dẫn giải:
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 24/25 - Mã đề thi 111


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Chọn A.

P=

2 1
3
3
6
30
x .x .x

=

14
x 15 .

x2 − 3x + 2
có phương trình là
x2 −1
C. x = −1 .
D. x = 1 .

Hướng dẫn giải:

Câu 47: [2D1-1]Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. y = 1.

B. x = ±1 .

Chọn C.
( x − 1)( x − 2 )
y=
.
( x −1)( x + 1)
x−2
. Từ đây dễ dàng suy ra x = −1 là tiệm cận đứng.
x +1
Câu 48: [2H3-2]Cho hai mặt phẳng: ( P ) : x − y + z − 7 = 0 , ( Q ) : 3 x + 2 y − 12 z + 5 = 0 . Phương trình

Nên y =

mặt phẳng ( R ) qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mặt phẳng trên là
A. x + 2 y + 3 z = 0 .

B. x + 3 y + 2 z = 0 .

C. 2 x + 3 y + z = 0 .

D. 3x + 2 y + z = 0 .
Hướng dẫn giải:

Chọn C.

nP = (1; −1;1) ,
nQ = ( 3; 2; −12 ) .
nR =  nP , nQ  = (10;15;5) = 5 ( 2;3;1) , nên ( R ) : 2 x + 3 y + z = 0 .

1 − x2 + x + 1
Câu 49: Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
x2 +1
A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
B. x = 1 .
C. x = 0 .
D. x = −1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
TXĐ: D = ℝ nên đồ thị hàm số không có tiệm cân đứng.
Câu 50: [2H3-1]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2;3) và B ( 3; 2;1) . Phương
trình mặt phẳng trung trực của AB là
A. x + y − z − 2 = 0 .
B. y − z = 0 .

C. − z + x = 0 .

D. x − y = 0 .

.Hướng dẫn giải:
Chọn C

AB = ( 2;0; −2 ) = 2 (1; 0; −1)

Gọi M là trung điểm AB , tọa độ điểm M ( 2; 2; 2 ) .

Mặt phẳng trung trực của AB qua M và có vectơ pháp tuyến là AB
Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là. ( x − 2 ) − ( z − 2 ) = 0 ⇔ − z + x = 0 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 25/25 - Mã đề thi 111