https: drive.google.com open?id=0B RLti3UB3anMXBMMUxTZGUtTEU

Cập nhật đề thi mới nhất tại />SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BẮC GIANG

ĐỀ THI THỬ THPTQG NĂM 2017
BÀI THI MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút
(Thí sinh không được sử dụng tài liệu)

Họ, tên thí sinh:..................................................................... Số báo danh: .............................
Câu 1:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. y = −1 .

Câu 2:

B. y = 1 .

x+2
có phương trình là
2− x
1
C. y = .
2

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số f ( x ) = 2 ( m + 1) x3 + 2mx 2 − 2 ( m + 1) x − 2m , ( m là tham số
3
khác − ) và g ( x ) = − x 4 + x 2 là
4
A. 3 .
B. 4 .
C. 2

D. 1 .

Câu 3:

D. y = 2 .

Cho đồ thị hàm số f ( x ) như hình vẽ.
Số điểm cực trị của đồ thị hàm số là
A. 4 .
B. 2 .
C. 5 .
D. 3 .

y

2

− 2

1

− 1 O
− 1

2

3

4

x

mx − 1 − m 2
, ( m là tham số). Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
x +1
A. Hàm số đồng biến trên ℝ \ {−1} .
B. Hàm số đồng biến trên ℝ .
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định.
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.

Câu 4:

Hàm số y =

Câu 5:

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:
x
0
−∞
−1
1
+∞
y′
0
0
0
−
+
−

+
+∞
1
+∞
y
−2

−2

Tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình f ( x ) = m có bốn nghiệm phân biệt là
A. ( −2; −1) .
Câu 6:

B. [ −2; −1] .

Cho hàm số f ( x ) =

Mương nước

(P)

D. (−∞; −1) .

2

( x − 1) ( x + 2 ). Mệnh đề nào sau đây là sai ?

A. Điểm cực tiểu của hàm số là x = 1
C. Hàm số có cực đại và không có cực tiểu.
Câu 7:

C. ( −2; +∞ ) .

B. Hàm số có cả cực đại và cực tiểu.
D. Điểm cực đại của hàm số là x = −1 .

thông với mương nước ( Q ) , bờ

B

của mương nước ( P ) vuông góc với bờ của mương
nước ( Q ) . Chiều rộng của hai mương bằng nhau và
bằng 8m . Một thanh gỗ AB , thiết diện nhỏ không
đáng kể trôi từ mương ( P ) sang mương ( Q ) . Độ dài
lớn nhất của thanh AB (lấy gần đúng đến chữ số phần
trăm) sao cho AB khi trôi không bị vướng là
A. 22, 63m .
B. 22, 61m .
C. 23, 26m .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

(Q )

O
A

Q

( P)
P

D. 23, 62m .
Trang 1/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 8:

Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
3x 2 − 1 − x 4 + x + 7
x 2 − 3x + 2
A. Tiệm cận đứng x = 2, x = 1 ; tiệm cận ngang y = 2 .
f ( x) =

B. Tiệm cận đứng x = 2 ; tiệm cận ngang y = 2 .
C. Tiệm cận đứng x = 2, x = 1 ; tiệm cận ngang y = 2, y = 3 .
D. Tiệm cận đứng x = 2 ; tiệm cận ngang y = 2, y = 3 .
Câu 9:

Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số y =
A. ( −∞; 0] ∪ (1; +∞ ) .

tan x + m
 π
nghịch biến trên khoảng  0;  .
m tan x + 1
 4

B. ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) . C. [ 0; +∞ ) .

D. (1; +∞ ) .

1 3
x + ( m + 3) x 2 + 4 ( m + 3) x + m 2 − m có các
3
điểm cực trị tại x1 , x2 thoả mãn điều kiện −1 < x1 < x2 .

Câu 10: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y =

A. ( −∞; −2 ) .

 7

B.  − ; −2  .
 2


 7

C.  − ; −3  .
 2


D. ( −∞; −3) ∪ (1; +∞ ) .
y

Câu 11: Cho hàm số f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ been.

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a > 0, b > 0, c > 0 .
B. a > 0, b < 0, c < 0 .

C. a < 0, b < 0, c > 0 .

x

O

D. a > 0, b > 0, c < 0 .

Câu 12: Cho các số dương a, b thỏa mãn 4a 2 + 9b 2 = 13ab . Chọn mệnh đề đúng?

 2a + 3b  1
A. log 
 = ( log a + log b ) .
 5  2

B.

C. log 2a + 3b = log a + 2 log b .

 2a + 3b  1
D. log 
 = ( log a + log b ) .
 4  2

Câu 13: Gọi S là tổng các nghiệm của phương trıǹ h ( 3x )
A.

1
.
2

B. −6 .

x −1

1
log ( 2a + 3b ) = 3log a + 2 log b .
4

= 64 thı̀ giá trị của S bằng

C. −3 .

D. 1 .

Câu 14: Thang đo Richte được Charles Francis đề xuất và sử dụng lần đầu tiên vào năm 1935 để sắp
xếp các số đo độ chấn động của các cơn động đất với đơn vị Richte. Công thức tính độ chấn
động như sau: M L = log A − log Ao , M L là độ chấn động, A là biên độ tối đa được đo bằng địa

chấn kế và A0 là biên độ chuẩn. Hỏ i theo thang độ Richte, cùng với một biên độ chuẩn thì biên
độ tối đa của một chận động đất 7 độ Richte sẽ lớn gấp mấy lần biên độ tối đa của một trận
động đất 5 độ Richte?
5

A. 2 .

B. 20 .

C. 100 .

D. 10 7 .

Câu 15: Cho số thực dương a . Biểu thức P = a 3 a 4 a 5 a được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu

tỉ là
25

A. a 13 .

37

B. a 13 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

53

C. a 36 .

43

D. a 60 .

Trang 2/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 16: Đặt a = log 2 3; b = log 3 5 thı̀ biểu diễn đúng của log 20 12 theo a, b là
a +1
a+2
ab + 1

A.
.
B.
.
C.
.
b−2
ab + 2
b−2
2 x +1
x
Câu 17: Tım
̀ tập nghiệm của bất phương trıǹ h 6 − 13.6 + 6 ≤ 0 .
2
3

A. [ −1;1] .
B. ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) . C.  log 6 ;log 6  .
3
2


1

Câu 18: Tính đạo hàm của hàm số y = 5 ln 4 7 x trên  ; +∞  .
7

1
1
1

A.
.
B.
.
C.
.
5 x 5 ln 4 7 x
5 5 ln 4 7x
35 x 5 ln 4 7 x
Câu 19: Đồ thị hàm số y =
A. e .

D.

a+b
.
b+2

D. ( −∞; log 6 2 ) .

D.

4
.
5 x ln 7 x
5

ln x
có tọa độ điểm cực đại là ( a; b ) . Khi đó ab bằng
x

B. 2e .
C. 1 .
D. −1 .

Câu 20: Tım
̀ tập hợp các giá trị thực của tham số thực m để phương trıǹ h
2
2
2
m.9 x − 2 x − ( 2m + 1) 6 x − 2 x + m.4 x − 2 x = 0 có nghiệm thuộc khoảng ( 0; 2 ) .
A. [ 6; +∞ ) .

B. ( −∞; 6] .

C. ( −∞; 0] .

D. [ 0; +∞ ) .

1 
Câu 21: Cho a ∈  ;3 và M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
9 
3 3
9 log 1 a + log 21 a − log 1 a 3 + 1 . Khi đó giá trị của A = 5m + 2M là
3

3

3

A. 4 .

B. 5 .

C. 8 .

D. 6 .

Câu 22: Tính nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e3 x + 2
1

∫ f ( x ) dx = 3 e
C. ∫ f ( x ) dx = 3e
A.

3x + 2

3x+2

∫ f ( x ) dx = e + C .
D. ∫ f ( x ) dx = ( 3 x + 2 ) e
3x+2

B.

+C .

3x+2

+C .

+C .

1

Câu 23:

Tích phân

∫ ( 3 x − 1 − 2 x ) dx

bằng

0

7
A. .
6

1
B. − .
6

C. −

B. ( 7 2016 − 1) ln 7 .

C.

11
.

6

D. 0 .

2016

Câu 24: Tích phân

∫

7 x dx bằng

0

A.

7

2016

−1
.
ln 7

7 2017
−7.
2017

b

Câu 25: Với a, b là các tham số thực. Giá trị tích phân

∫ (3x

2

D. 2016.7 2015 .

+ 2ax + 1) dx bằng

0

A. 3b 2 + 2ab .

B. b3 + b 2 a + b .

C. b3 + b .
9

Câu 26: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ thỏa mãn

∫
1

f

( x ) dx = 4 và
x

D. a + 2 .

π /2

∫ f ( sin x ) cos xdx = 2.
0

3

Tích phân I = ∫ f ( x ) dx bằng
0

A. I = 2 .

B. I = 6 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. I = 4 .

D. I = 10 .

Trang 3/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 27: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b ] . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số,
đường thẳng x = a , đường thẳng x = b ( b > a ) và trục hoành là
b

A. S = π ∫ f ( x ) dx .

b

B. S = ∫ f ( x ) dx .

a

b

C. S = π ∫ f 2 ( x ) dx .

a

b

D. S = ∫ f ( x ) dx .

a

Câu 28: Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giố ng như một cái ly
như hình vẽ dưới đây Người ta đo được đường kính của miệng
ly là 4cm và chiều cao là 6cm . Biết rằng thiết diện của chiếc
ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol. Tính thể tích

a

4 cm
A

B

O

V ( cm3 ) của vật thể đã cho.
A. V = 12π .
72
C. V = π .
5

6 cm

B. V = 12 .
72
D. V = .
5

Câu 29: Cho số phức z = 5 − 4i . Số phức z − 2 có
A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng −4i .
C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng −4 .

I

B. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng −4 .
D. Phần thực bằng −4 và phần ảo bằng 3 .

Câu 30: Cho hai số phức z1 = 2 − 3i , z2 = 1 + 2i . Tính môđun của số phức z = ( z1 + 2 ) z 2 .
A. z = 15 .

B. z = 5 5 .

C. z = 65 .

D. z = 137 .

Câu 31: Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức (1 + i ) z + z = 1 + i .
A. z = 2 + i .
C. z = 2 − i .

B. z = 1 − i .
D. z = 1 + i .

Câu 32: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z − i = (1 + i ) z

là đường tròn có phương trình.
2

B. ( x − 1) + y 2 = 2 .

2

2

D. ( x + 1) + y 2 = 2 .

A. x 2 + ( y + 1) = 2 .

2

C. x 2 + ( y − 1) = 2 .

Câu 33: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z = 3 − 4i và điểm M ′ là điểm biểu diễn số phức z ′ =

Tính diện tích tam giác OMM ′ ( O là gốc tọa độ).
15
25
25
A.
.
B.
.
C.
.
2
4
2
Câu 34:

D.

1+ i
z.
2

31
.
4

Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z − 3 + 4i = 4 . Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức
P= z .

A. Pmax = 9 .

B. Pmax = 5 .

C. Pmax = 12 .

D. Pmax = 3 .

Câu 35: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông SA ⊥ ( ABCD ) , biết rằng SCA = 45° và

thể tích của khố i chóp S . ABCD bằng
A. a = 3 .

8 2
. Tính độ dài cạnh a của hình vuông ABCD .
3

B. a = 2 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. a = 2 .

D. a =

2
.
2
Trang 4/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 36: Tính thể tích V của khối lập phương ABCD. A′B′C ′D′ , biết rằng bán kính của mặt cầu ngoại

tiếp hıǹ h lập phương ABCD. A′B′C ′D′ là r = 3 .
8
A. V = .
B. V = 8 2 .
C. V = 16 2 .
3

D. V = 8 .

Câu 37: Cho hıǹ h chóp S . ABCD có đáy ABCD là hıǹ h vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với mặt mặt đáy. Góc giữa hai mặt phẳng ( SCD ) và ( ABCD )
bằng 60o . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD .
a3 3
.
A. V =
9

a3 3
.
B. V =
3

a3
C. V = .
6

a3 3
.

D. V =
6

Câu 38: Cho khố i chóp S.ABC có SA = 6, SB = 2, SC = 4, AB = 2 10 và góc SBC = 90° , ASC = 120° .

Mặt phẳng ( P ) đi qua B và trung điểm N củ a canh
̣ SC đồng thời vuông góc với mặt phẳng

( SAC )

cắt SA tại M . Tính tỉ số thể tích k =

A. k =

1
.
6

B. k =

2
.
5

VS . BMN
.
VS . ABC
C. k =

2

.
9

D. k =

1
.
4

Câu 39: Cho khố i nó n có bán kính đáy là 6 , thể tích là 96π . Diện tích xung quanh của khố i nón là
A. 36π .
B. 56π .
C. 60π .
D. 72π .
Câu 40: Cho môṭ khố i lăng tru ̣ tam giá c đề u có thể tıć h là

a3 3
. Thể tıć h củ a khố i tru ̣ ngoaị tiế p lăng
2

tru ̣ đã cho bằng
A.

π a3
3

.

2π a3
B.

.
3

C.

π a3 3
3

2π a 3 3
D.
.
3

.

Câu 41: Cho hıǹ h chó p S . ABC có SA = SB = SC = 2a, gó c BAC = 120o , BC = a 3 . Khi đó diêṇ tıć h
măṭ cầ u ngoaị tiế p hıǹ h chó p đó là
A.

3π 3a 2
.
2

B.

16π a 2
3

C.

π a2 3
2

D.

.

Câu 42: Cho hıǹ h chữ nhâṭ ABCD có AB = 4 , AD = 8 (như
hıǹ h ve)̃ . Goị M , N , E , F lầ n lươṭ là trung điể m củ a
BC , AD , BN và NC . Tıń h thể tıć h V củ a vâṭ thể trò n
xoay khi quay hıǹ h tứ giá c BEFC quanh truc̣ AB .
A. 84π .
B. 90π .
C. 100π
D. 96π .

4π a 2
.
3
M

B

E
A

C

F
N

D

Câu 43: Trong không gian với hê ̣ toạ đô ̣ Oxyz , cho tam giá c ABC biế t A ( 3;1; 2 ) , B (1; −4; 2 ) ,
C ( 2;0; −1) .Tım
̣ tâm G củ a tam giá c ABC .
̀ toạ đô ̣ trong

A. G ( 2; −1;1) .

B. G ( 6; −3;3) .

C. G ( 2;1;1)

D. G ( 2; −1;3) .

Câu 44: Trong không gian với hê ̣ toạ đô ̣ Oxyz , cho măṭ phẳ ng ( P ) : 3x − 5 y + 2 z − 2 = 0 . Vectơ nà o

dưới đây là vectơ phá p tuyế n củ a măṭ phẳ ng ( P ) .
A. n1 = ( 3;5; 2 ) .

B. n1 = ( 3; −5; 2 ) .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. n1 = ( 3; −5; −2 )

D. n1 = ( −3; −5; 2 ) .

Trang 5/25

Cập nhật đề thi mới nhất tại />2

2

2

Câu 45: Trong không gian với hê ̣ toạ đô ̣ Oxyz , cho măṭ cầ u ( S ) : ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 3) = 9 , điể m
M ( 2;1;1) thuôc̣ măṭ cầ u. Lâp̣ phương trıǹ h măṭ phẳ ng ( P ) tiế p xú c với măṭ cầ u ( S ) taị M .

A. ( P ) : x + 2 y + z − 5 = 0 .

B. ( P ) : x + 2 y − 2 z − 2 = 0 .

C. ( P ) : x + 2 y − 2 z − 8 = 0 .

D. ( P ) : x + 2 y + 2 z − 6 = 0

Câu 46: Trong không gian với hê ̣ toạ đô ̣ Oxyz , măṭ cầ u ( S ) có tâm thuôc̣ Ox và tiế p xú c với hai măṭ

phẳ ng ( P ) : x + 2 y + 2 z − 1 = 0,
A.

1
.
3

(Q ) : x − 2 y − 2z + 3 = 0

B. 2 .

C.

có bá n kıń h R bằ ng

2
.
3

D. 3 .

Câu 47: Trong không gian với hê ̣ toạ đô ̣ Oxyz , cho măṭ phẳ ng ( P ) : 2 x − 2 y − z + 2 = 0 và măṭ cầ u
2

2

2

̣ đề nà o dưới đây đú ng?
( S ) : ( x − 2) + ( y + 1) + ( z − 1) = 9. Mênh
A. ( P ) không cắ t ( S ) .
B. ( P ) tiế p xú c với ( S ) .
C. ( P ) cắ t ( S ) theo giao tuyế n là môṭ đường trò n có bá n kıń h bằng 3 .
D. ( P ) cắ t ( S ) theo giao tuyế n là môṭ đường trò n có bá n kıń h bé hơn 3 .
Câu 48: Trong không gian với hê ̣ toạ đô ̣ Oxyz , cho A ( 3; 0; 0 ) , B ( 0; 2; 0 ) , C ( 0;0; 2 ) , M (1;1;1) ,
N ( 3; −2; −1) . Goị V1 ,V2 lầ n lươṭ là thể tıć h củ a khố i chó p M . ABC , N . ABC . Tỉ số

A.

2
.
9

1
.
3

B.

C.

4
.
9

D.

V1
bằng
V2

5
.
9

Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + 2 y + 2 z − 1 = 0 , điểm A ( 2;1;5 ) .

Mặt phẳng ( Q ) song song với ( P ) , ( Q ) cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại các điểm B, C sao cho
tam giác ABC có diện tích bằng 5 5 . Khi đó phương trình nào dưới đây là phương trình của

mặt phẳng ( Q ) ?
A. ( Q ) : x + 2 y + 2 z − 4 = 0 .

B. ( Q ) : x + 2 y + 2 z − 6 = 0 .

C. ( Q ) : x + 2 y + 2 z − 3 = 0 .

D. ( Q ) : x + 2 y + 2 z − 2 = 0 .

Câu 50: Trong

không

gian

với

hê ̣ toạ

đô ̣

Oxyz ,

măṭ

phẳ ng

(với a 2 + b 2 + c 2 > 0) đi qua hai điể m B (1;0; 2 ) , C ( −1; −1;0 ) và cá ch
nhấ t. Khi đó giá tri cu
̣ ̉ a biể u thức F =

A. 1 .

B.

( P ) : ax + by + cz + d = 0
A ( 2;5;3) môṭ khoả ng lớn

a+c
là
b+d

3
2
.
C. − .
4
7
---------------HẾT---------------

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

3
D. − .
2

Trang 6/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

A B C D A C A A D B B A D C D B C D C A D A B A B
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
C D A C B D A B A C D B A C B B D A B B C D A A C
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. y = −1 .

B. y = 1 .

x+2
có phương trình là
2−x
1
C. y = .
2
Hướng dẫn giải

D. y = 2 .

Chọn A.

2
x+2
x = −1 .
Vì lim y = lim
= lim
x →±∞
x →±∞ 2 − x

x →±∞ 2
−1
x
1+

Câu 2:

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số f ( x ) = 2 ( m + 1) x3 + 2mx 2 − 2 ( m + 1) x − 2m , ( m là tham số
3
khác − ) và g ( x ) = − x 4 + x 2 là
4
A. 3 .
B. 4 .

C. 2
Hướng dẫn giải

D. 1 .

Chọn B.
Cách 1:Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là
− x 4 + x 2 = 2(m + 1) x 3 + 2mx 2 − 2(m + 1) x − 2m

⇔ − x 2 ( x 2 − 1) = 2m( x3 + x 2 − x − 1) + 2 x 3 − 2 x
⇔ − x 2 ( x 2 − 1) = 2m( x 2 − 1)( x + 1) + 2 x( x 2 − 1)
⇔ ( x 2 − 1)  ( x 2 + 2(m + 1) x + 2m  = 0
 x 2 − 1 = 0(1)
⇔
2
 g ( x ) = x + 2(m + 1) x + 2m(2)

Xét (2) có:


∆ = m2 + 1 > 0∀m

 g (−1) = −1 ≠ 0∀m

3
 g (1) = 4m + 3 ≠ 0∀ ≠ −

4
⇒ PT (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt ≠ ±1
Vậy PT đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
Cách 2:Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là
− x 4 + x 2 = 2( m + 1) x3 + 2mx 2 − 2( m + 1) x − 2m
⇔ x 4 + 2( m + 1) x 3 + ( 2m − 1) x 2 − 2( m + 1) x − 2m = 0 (1)

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 7/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />3
hai đồ thị luôn có cùng số giao điểm, tức là
4
3
phương trình (1) luôn có cùng số nghiệm ∀m ≠ − .
4
x2 = 1
 x = ±1

Thay m = −1 vào phương trình (1) ta được: x 4 − 3 x 2 + 2 = 0 ⇔  2
⇔
.
x
=
±
2
x
=
2


Vậy số giao điểm của hai đồ thị là 4.

Từ đề bài ta thấy chắc chắn với mọ i m ≠ −

Câu 3:

Cho đồ thị hàm số f ( x ) như hình vẽ.

y

Số điểm cực trị của đồ thị hàm số là
A. 4 .
B. 2 .
C. 5 .
D. 3 .

2

Hướng dẫn giải

−2

−1 O

1

2

3

4

x

Chọn C.
−1
TXĐ: D = ℝ
Nhìn vào đồ thị hàm số dễ thấy số điểm cực đại của đồ thị hàm số là 2
Mặt khác: qua mỗ i giao điểm x0 của đồ thị hàm số với trục hoành thì f '( x) đổi dấu từ (−)

sang (+ ) nên x0 là điểm cực tiểu. (Có 3 điểm cực tiểu)
Kết luận: Số điểm cực trị của đồ thị hàm số là 5
Câu 4:

mx − 1 − m 2
, ( m là tham số).Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
x +1
A. Hàm số đồng biến trên ℝ \ {−1} .

Hàm số y =

B. Hàm số đồng biến trên ℝ .
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định.
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.
Hướng dẫn giải
Chọn D. TXĐ: ℝ \ {−1}
2

1 3

m+  +
2

m + m +1 
2 4
y′ =
=
> 0, ∀x ≠ −1. Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.
2
2
( x + 1)
( x + 1)

Câu 5:

Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

.
Tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình f ( x) = m có bốn nghiệm phân biệt là

A. ( −2; −1) .

B. [ −2; −1] .

C. ( −2; +∞ ) .

D. (−∞; −1) .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Dựa vào bảng biến thiên ta có để phương trình có bốn nghiệm thì −2 < m < −1 .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 8/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 6:

Cho hàm số f ( x) = ( x − 1)2 ( x + 2). Mệnh đề nào sau đây là sai ?
A. Điểm cực tiểu của hàm số là x = 1
B. Hàm số có cả cực đại và cực tiểu.
C. Hàm số có cực đại và không có cực tiểu.
D. Điểm cực đại của hàm số là x = −1 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Tập xác định D = [ −2; +∞ ) .
2

3 ( x − 1)( x + 1)
′ 2 ( x − 1)( x + 2 ) + ( x − 1)

Ta có f ′ ( x) =  ( x − 1)2 ( x + 2)  =
=
2
2


2 ( x − 1) ( x + 2 )
2 ( x − 1) ( x + 2 )
x =1
.
f ( x ) = 0 ⇔ ( x − 1)( x + 1) = 0 ⇔ 
 x = −1
Bảng biến thiên
x −2
−1
y′
0
+

1
−

+∞
+

2

y

+∞

0
0
Dựa vào bảng biến thiên ta có mệnh đề sai là C.
Câu 7:

Mương nước ( P ) thông với mương nước ( Q ) , bờ của mương nước ( P ) vuông góc với bờ của
mương nước ( Q ) . Chiều rộng của hai mương bằng nhau và bằng 8m . Một thanh gỗ AB , thiết
diện nhỏ không đáng kể trôi từ mương ( P ) sang mương ( Q ) . Độ dài lớn nhất của thanh AB
(lấy gần đúng đến chữ số phần trăm) sao cho AB khi trôi không bị vướng là
(Q)

B

Q

O

A
(P)
P

A. 22, 63m .

B. 22, 61m .

C. 23, 26m .

D. 23, 62m .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

J

H

B

8m
8m O

(Q )

I
A

(P)
Thanh gỗ trôi qua được khi thanh gỗ chạm điểm O thì OA ≤ OB .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 9/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Vậy ABmax khi OA = OB ( A nằm trên bờ mương ( P ) , B nằm trên bờ mương ( Q ) ). Do hai
mương có chiều rộng bằng nhau nên tam giác HAB vuông cân tại H . Khi đó
AB = 162 + 162 = 16 2 ≈ 22, 627.
Câu 8:

Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
3x2 − 1 − x 4 + x + 7
f ( x) =
x 2 − 3x + 2
A. Tiệm cận đứng x = 2, x = 1 ; tiệm cận ngang y = 2 .
B. Tiệm cận đứng x = 2 ; tiệm cận ngang y = 2 .
C. Tiệm cận đứng x = 2, x = 1 ; tiệm cận ngang y = 2, y = 3 .
D. Tiệm cận đứng x = 2 ; tiệm cận ngang y = 2, y = 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
4
 x + x + 7 ≥ 0
Ta có: TXĐ:Là những giá trị x thỏa mãn đk:  2
(1)
 x − 3 x + 2 ≠ 0

2

lim f ( x ) = lim

x →±∞

x→±∞

4

3x −1 − x + x + 7
= lim
x →±∞

x 2 − 3x + 2

3−

1
1 7
− 1+ 3 + 4
2
x
x
x = 2 ⇒ TCN : y = 2
3 2
1− + 2
x x

3x2 − 1 − x 4 + x + 7
3x 2 − 1 − x 4 + x + 7
lim f ( x) = lim−
= −∞; lim+ f ( x ) = lim+
= +∞
x →2−
x →2
x →2
x →2
x 2 − 3x + 2
x 2 − 3x + 2
⇒ x = 2 là 1 đường TCĐ của đồ thị
3x 2 − 1 − x4 + x + 7
3x 2 − 1 − x4 + x + 7
f

x
=
−∞
;
lim
(
)
=
lim
= +∞
x →1
x→1
x→1+
x →1+
x 2 − 3x + 2
x2 − 3x + 2
⇒ x = 1 là 1 đường TCĐ của đồ thị.
lim− f ( x ) = lim−

Câu 9:

Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số y =
A. ( −∞; 0] ∪ (1; +∞ ) .

tan x + m
nghịch biến trên khoảng
m tan x + 1

B. ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) . C. [ 0; +∞ ) .

 π
 0;  .
 4

D. (1; +∞ ) .

Hướng dẫn giải
Chọn D.

tan x + m
 π
nghịch biến
Đặt t = tan x , hàm số t = tan x đồng biến trên  0;  suy ra hàm số y =
m tan x + 1
 4
t +m
 π
trên khoảng  0;  khi và chỉ khi hàm số y =
nghịch biến trên ( 0;1)
mt + 1
 4
TH1: m = 0 ⇒ y = t là hàm số đồng biến trên ( 0;1) ⇒ m = 0 không thỏa yêu cầu.
TH2: m ≠ 0 .Ta có y =

t+m
1 − m2
⇒ y′ =
.
2
mt + 1

( mt + 1)

Hàm số nghịch biến trên ( 0;1) khi y′ =

1 − m2

( mt + 1)

2

< 0 ∀t ∈ ( 0;1) và t ≠ −

1
m

ĐK:
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 10/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại /> m < −1 ∨ m > 1

 1− m < 0
 − 1 ≤ 0
m < −1 ∨ m > 1

⇔  m
⇔
⇔ m >1 .

 1
−
1
≤
m
<
0
∨
m
>
0

−
∉
0;1
(
)



1
 m
 − ≥ 1
  m
KL:Đáp án D.
2

1 3
x + ( m + 3) x 2 + 4( m + 3) x + m 2 − m có các điểm
3

cực trị tại x1 , x2 thoả mãn điều kiện −1 < x1 < x2 .

Câu 10: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y =

A. ( −∞; −2 ) .

 7

B.  − ; −2  .
 2


 7

C.  − ; −3  .
 2

Hướng dẫn giải

D. ( −∞; −3) ∪ (1; +∞ ) .

Chọn B.

Ta có y′ = x 2 + 2 ( m + 3 ) x + 4 ( m + 3)
2

Hàm số có hai cực trị khi ( m + 3) − 4 ( m + 3) = m 2 + 2m − 3 > 0 ⇔ m < −3 ∨ m > 1( *) .

 ( x1 + 1)( x2 + 1) > 0
 x x + ( x1 + x2 ) + 1 > 0

⇔ 1 2
Ta có −1 < x1 < x2 ⇔ 
( x1 + 1) + ( x2 + 1) > 0  ( x1 + x2 ) + 2 > 0
 2 ( m + 3) + 1 > 0
7
7
⇔
⇔ − < m < −2 ( **) . Từ (*) & ( **) suy ra − < m < −2 .
2
2
 −2m − 4 > 0

Câu 11: Cho hàm số f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ.

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a > 0, b > 0, c > 0 .
B. a > 0, b < 0, c < 0 .

C. a < 0, b < 0, c > 0 .

D. a > 0, b > 0, c < 0 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Dựa vào hướng đồ thị hương lên trên suy ra a > 0 .
Đồ thị hàm số có 3 cực trị nên a.b < 0 ⇒ b < 0
Cho x = 0 ⇒ y = −3 < 0 ⇒ c < 0 .
Câu 12: Cho các số dương a, b thỏa mãn 4a 2 + 9b 2 = 13ab . Chọn mệnh đề đúng?

 2a + 3b  1

A. log 
 = ( log a + log b ) .
 5  2

B.

C. log 2a + 3b = log a + 2 log b .

 2a + 3b  1
D. log 
 = ( log a + log b ) .
 4  2

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

1
log ( 2a + 3b ) = 3log a + 2 log b .
4

Trang 11/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Hướng dẫn giải
Chọn A.
2

Ta có 4a 2 + 9b 2 = 13ab ⇔ ( 2a + 3b ) = 25ab ⇒ 2b + 3b = 5 ab .

 2a + 3b 
Lấy logarit thập phân log 

 = log
 5 

(

)

ab =

Câu 13: Gọi S là tổng các nghiệm của phương trıǹ h ( 3x )
A.

1
.
2

B. −6 .

1
( log a + log b ) .
2

x −1

= 64 thı̀ giá trị của S bằng

C. −3 .

D. 1 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có
x x −1

(2 )

 x =3
= 64 ⇔ 2 x( x −1) = 64 ⇔ x 2 − x = 6 ⇔ x 2 − x − 6 = 0 ⇔ 
⇒ S =1
 x = −2

Câu 14: Thang đo Richte được Charles Francis đề xuất và sử dụng lần đầu tiên vào năm 1935 để sắp
xếp các số đo độ chấn động của các cơn động đất với đơn vị Richte. Công thức tính độ chấn
động như sau: M L = log A − log Ao , M L là độ chấn động, A là biên độ tối đa được đo bằng địa

chấn kế và A0 là biên độ chuẩn. Hỏ i theo thang độ Richte, cùng với một biên độ chuẩn thì biên
độ tối đa của một chận động đất 7 độ Richte sẽ lớn gấp mấy lần biên độ tối đa của một trận
động đất 5 độ Richte?
5

A. 2 .

B. 20 .

C. 100 .
Hướng dẫn giải

D. 10 7 .

Chọn C.
Với trận động đất 7 độ Richte ta có biểu thức
A
A
7 = M L = log A − log A0 = log ⇒
= 107 ⇒ A = A0 .107 .
A0
A0

Tương tự ta suy ra được A′ = A0 .105 .
Từ đó ta tính được tỉ lệ

A A0 .107
=
= 100 .
A′ A0 .105

Câu 15: Cho số thực dương a . Biểu thức P = a 3 a 4 a 5 a được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu
tỉ là
25
13

A. a .

37
13

53
36

B. a .

C. a .
Hướng dẫn giải

43
60

D. a .

Chọn D.
1

11
.

111
. .

1111
. . .

43

Ta có P = a 3 a 4 a 5 a = a 2 .a 3 2 .a 4 3 2 .a 5 4 3 2 = a 60 .
Câu 16: Đặt a = log 2 3; b = log 3 5 thı̀ biểu diễn đúng của log 20 12 theo a, b là
A.

a +1
.

b−2

B.

a+2
.
ab + 2

ab + 1
.
b−2
Hướng dẫn giải

C.

D.

a+b
.
b+2

Chọn B.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 12/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Ta có
log 20 12 = log 20 4 + log 20 3 = 2log 20 2 +

Theo đề bài log 2 3 = a ⇒

1
2log 3 2
1
2log 3 2 + 1
=
+
=
.
log 3 20 log3 20 log 3 20 log 3 5 + 2log 3 2

1
= log3 2; log 3 5 = b .
a

2
+1
a+2
a
Vậy log 20 12 =
.
=
2 ab + 2
b+
a
2 x +1
x
Câu 17: Tım
̀ tập nghiệm của bất phương trıǹ h 6 − 13.6 + 6 ≤ 0 .

2

A. [ −1;1] .
B. ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) . C.  log 6 ; log 6
3

Hướng dẫn giải

3
.
2 

D. ( −∞; log 6 2 ) .

Chọn C.
Điều kiện: x ∈ ℝ
2
3
2
3
≤ 6 x ≤ ⇔ log 6 ≤ x ≤ log 6 .
3
2
3
2
2
3

Vậy tập nghiệm của bpt là S =  log 6 ; log 6  .
3

2


Bpt ⇔ 6.62 x − 13.6 x + 6 ≤ 0 ⇔

1

Câu 18: Tính đạo hàm của hàm số y = 5 ln 4 7 x trên  ; +∞  .
7

1
1
1
A.
.
B.
.
C.
.
5 x 5 ln 4 7 x
5 5 ln 4 7 x
35 x 5 ln 4 7 x
Hướng dẫn giải

D.

4
.
5 x ln 7 x
5

Chọn D.

Ta có

5

4

ln 4 7 x = ( ln 7 x ) 5 ⇒ y′ =

Câu 19: Đồ thị hàm số y =
A. e .

4
1
4
ln 7 x )′ = 5
.
1 (
5 ln 7 x 5
5
x
ln
7
x
(
)

ln x

có tọa độ điểm cực đại là ( a; b ) . Khi đó ab bằng
x
B. 2e .
C. 1 .
D. −1 .
Hướng dẫn giải

Chọn C.
Tập xác định: D = ( 0; +∞ ) .
1 − ln x
⇒ y ′ = 0 ⇔ x = e và y ′′ ( e ) < 0 (Dùng máy tính)
x2
 1
Nên tọa độ điểm cực là  e;  ⇒ a.b = 1 .
 e

Ta có y ′ =

Câu 20: Tım
̀

m.9

tập

x2 − 2 x

hợp

các

− ( 2m + 1) 6

A. [ 6; +∞ ) .

x2 − 2 x

giá

trị

+ m.4

x2 − 2 x

thực

của

tham

số

thực

m

để

phương

trıǹ h

= 0 có nghiệm thuộc khoảng ( 0; 2 ) .

B. ( −∞; 6] .

C. ( −∞; 0] .

D. [ 0; +∞ ) .

Hướng dẫn giải
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 13/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Chọn A.

(
)
3
3
Ta có m.9
− ( 2m + 1) .6
+ m.4
= 0 ⇔ m.  
− ( 2m + 1)  
2
2

2
Xét hàm số f ( x ) = x − 2 x ⇒ f ′ ( x ) = 2 x − 2 ⇒ f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1 .
2 x2 − 2 x

x2 − 2 x

x

x2 −2 x

0

1

f ′( x )
f ( x)

x2 − 2 x

x2 − 2 x

2

+

0

−
0

0

−1

3
x ∈ ( 0; 2 ) ⇒ f ( x ) ∈ [ −1;0 ) ⇒  
2

f ( x)

2 
∈  ;1 . Đặt
3 

3
 
2

x2 −2 x

m.u 2 − ( 2m + 1) u + m = 0 ⇔ m ( u 2 − 2u + 1) − u = 0 ⇔ m =

= u ta có phương trình
u

( u − 1)

Bài trở thành: Tìm m để hai đồ thị hàm số y = m và g ( u ) =
Xét hàm số g ( u ) =
u

u

( u − 1)

2

.

2

2 
cắt nhau với u ∈  ;1 .
3 
( u − 1)
u

2

−u 2 + 1
2 
với u ∈  ;1 . Ta có: g ′ ( u ) =
4
3 
( u − 1)

2
3

1

g ′(u )
g (u )

+ m = 0.

0

+

+∞

6

Vậy để phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài thì m ≥ 6 ⇔ m ∈ [ 6; +∞ ) .

1 
Câu 21: Cho a ∈  ;3 và M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
9 
9 log 31 3 a + log 21 a − log 1 a 3 + 1 . Khi đó giá trị của A = 5m + 2M là
3

3

A. 4 .

3

B. 5 .

C. 8 .
Hướng dẫn giải

D. 6 .

Chọn D.
−1 3
log 3 a + log 32 a + 3log 3 a + 1 .
3
1 
Đặt log 3 a = t . Vì a ∈  ;3 ⇒ t ∈ [ −2;1] .
9 

Rút gọn biểu thức P =

−1 3 2
t + t + 3t + 1 , t ∈ [ −2;1] .
3
f ′(t ) = −t 2 + 2t + 3; f ′(t ) = 0 ⇔ t = −1, t = 3.

Ta được hàm số f (t ) =

t

−2

f ′ (t )
f (t )

−1

−

5
3

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

0
−2
3

1

+
14
3

Trang 14/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />14
−2
;m =
⇒ A = 5m + 2 M = 6 .
3
3

M=

Câu 22: Tính nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e3 x + 2

1

A.

∫ f ( x ) dx = 3 e

C.

∫ f ( x ) dx = 3e

3x + 2

3x+2

+C .

B.

∫ f ( x ) dx = e

+C .

D.

∫ f ( x ) dx = ( 3x + 2) e

3x+2

+C .
3x+2

+C .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Ta có ∫ e3 x + 2 dx =

1 3x + 2
1
e d ( 3 x + 2 ) = e3 x + 2 + C .
∫
3
3

1

Câu 23:

Tích phân ∫ ( 3x − 1 − 2 x ) dx bằng
0

A.

7
.
6

1
B. − .

6

11
.
6
Hướng dẫn giải

C. −

D. 0 .

Chọn B.
Ta có
1

1

1

0

0

0

I = ∫ ( 3x − 1 − 2 x ) dx = ∫ 3x − 1 dx − 2∫ x dx = I1 − 2 I 2
1
3

1

I1 = ∫ (1 − 3x )dx + ∫ (3x − 1)dx =
1
3

0
1

1
2

I 2 = ∫ xdx =
0

⇒I=

5
6

−1
.
6
2016

Câu 24: Tích phân

∫

7 x dx bằng

0

A.

7

2016

−1
.
ln 7

B. ( 7 2016 − 1) ln 7 .

C.

7 2017
−7.
2017

D. 2016.7 2015 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
2016

Ta có I =

∫
0

7 x dx =

7x
ln 7

2016
0

=

7 2016 − 1
.
ln 7
b

Câu 25: Với a, b là các tham số thực. Giá trị tích phân

∫ (3x

2

+ 2ax + 1) dx bằng

0

A. 3b 2 + 2ab .

B. b3 + b 2 a + b .
C. b3 + b .

Hướng dẫn giải

D. a + 2 .

Chọn B.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 15/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />b

∫ (3x

2

b

+ 2ax + 1) dx = ( x 3 + a. x 2 + x ) = b3 + b 2 a + b .
0

0

9

Câu 26: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ thỏa mãn

∫

f

( x ) dx = 4 và

1

x

π /2

∫ f ( sin x ) cos xdx = 2.
0

3

Tích phân I = ∫ f ( x ) dx bằng
0

A. I = 2 .

B. I = 6 .

C. I = 4 .
Hướng dẫn giải

D. I = 10 .

Chọn C.
Đặt t = x ⇒ dt =

1
2 x

dx

Đổi cận
x = 1⇒ t = 1
x =9⇒t =3
Khi đó:
9

∫

f

( x ) dx = 2
x

1

3

∫

3

f ( t ) dt = 4 → ∫ f ( t ) dt = 2.

1

1

 π π
Đặt t = sin x; x ∈  − ;  ⇒ dt = cos dx
 2 2
Đổi cận :
x=0⇒t =0
x=

π
2

⇒ t =1
π /2

Khi đó :

∫

1

f ( sin x ) cos xdx = ∫ f ( t ) dt = 2.

0

0

3

1

3

0

0

1

I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 2 + 2 = 4.

Câu 27:

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b ] . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số,
đường thẳng x = a , đường thẳng x = b ( b > a ) và trục hoành là
b

A. S = π ∫ f ( x ) dx .

b

B. S = ∫ f ( x ) dx .

a

b

C. S = π ∫ f 2 ( x ) dx .

a

a

b

D. S = ∫ f ( x ) dx .
a

Hướng dẫn giải
Chọn D. Áp dụng định nghĩa.
Câu 28: Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây
Người ta đo được đường kính của miệng ly là 4cm và chiều cao là 6cm . Biết rằng thiết diện

của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đố i xứng là một parabol. Tính thể tích V ( cm3 ) của vật thể đã
cho.
A. V = 12π .
72
C. V = π .
5

B. V = 12 .
72
D. V = .
5

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 16/25

Cập nhật đề thi mới nhất tại />Hướng dẫn giải

4 cm

Chọn A.
Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I của parabol

parabol ( P ) đi qua các điểm A ( −2; 6 ) , B ( 2; 6 ) và
parabol ( P ) có phương trình y =
Ta có y =

A

( P ) . Vì
I ( 0; 0 ) nên

B

O

6 cm

3 2
x .
2

3 2
2
x ⇔ x 2 = y . Khi đó thể tích của vật thể đã cho
2

3

6

2
là V = π ∫ 
3
0

I


y  dy = 12π ( cm3 ) .


Câu 29: Cho số phức z = 5 − 4i . Số phức z − 2 có
A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng −4i .
B. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng −4 .
C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng −4 .
D. Phần thực bằng −4 và phần ảo bằng 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có z = 5 − 4i ⇒ z − 2 = 5 − 4i − 2 = 3 − 4i .
Câu 30: Cho hai số phức z1 = 2 − 3i , z2 = 1 + 2i . Tính môđun của số phức z = ( z1 + 2 ) z 2 .
A. z = 15 .

B. z = 5 5 .

C. z = 65 .

D. z = 137 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có z = ( z1 + 2 ) z 2 = ( 2 − 3i + 2 )(1 + 2i ) = ( 4 − 3i )(1 + 2i ) = 10 + 5i .

⇒ z = 10 + 5i = 100 + 25 = 5 5 .
Câu 31: Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức (1 + i ) z + z = 1 + i .
A. z = 2 + i .

B. z = 1 − i .
C. z = 2 − i .
Hướng dẫn giải

D. z = 1 + i .

Chọn D.
Đặt z = a + bi(a, b ∈ ℝ) . Ta có (1 + i ) z + z = (1 + i )( a + bi ) + ( a − bi ) = 2a − b + ai .

2a − b = 1 a = 1
Do đó (1 + i ) z + z = 1 + i ⇔ 
⇔
⇒ z = 1+ i
 a =1
b = 1
Câu 32: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z − i = (1 + i ) z

là đường tròn có phương trình.
2

A. x 2 + ( y + 1) = 2 .

2

B. ( x − 1) + y 2 = 2 .

2

C. x 2 + ( y − 1) = 2 .

2

D. ( x + 1) + y 2 = 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Đặt z = x + yi( x, y ∈ ℝ) được biểu diễn bởi điểm M ( x; y ) trong mặt phẳng tọa độ Oxy .
z − i = (1 + i) z ⇔ x + ( y − 1)i = x − y + ( x + y )i

⇔ x 2 + ( y − 1)2 = ( x − y )2 + ( x + y ) 2 ⇔ x 2 + ( y + 1)2 = 2
2

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có phương trình x 2 + ( y + 1) = 2

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 17/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 33: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z = 3 − 4i và điểm M ′ là điểm biểu diễn số phức z ′ =

Tính diện tích tam giác OMM ′ ( O là gốc tọa độ).
15
25
25
A.
.
B.
.
C.
.
2
4
2
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Do z = 3 − 2i nên có điểm biểu diễn là M ( 3; −4 ) .

D.

1+ i
z.
2

31
.
4

7
1− i

(1 − i)(3 − 4i)
1 7
 1
.z =
= − − i nên có điểm biểu diễn là M ' =  − ; −  .
2
2
2 2
2
 2
Ta có OM = 5 .
Phương trình đường thẳng OM :4 x + 3 y = 0 .
Và z ' =

Khoảng cách từ M ' đến OM là d ( M ', OM ) =

5
.
2

1
1 5 25
.
Vậy diện tích tam giác OMM ' là SOMM ' = .OM .d (M ', OM ) = .5. =
2
2 2 4

 1 7
Chú ý: Có thể tính diện tích tam giác OMM ' bằng cách: OM = ( 3; −4 ) , OM ′ =  − ; − 
 2 2

1  7
 1  25
SOMM ' = . 3. −  − ( −4 )  −  =
2  2
 2 4
Câu 34:

Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z − 3 + 4i = 4 . Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức
P= z .

A. Pmax = 9 .

B. Pmax = 5 .

C. Pmax = 12 .

D. Pmax = 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Cách 1:Ta có 4 = z − 3 + 4i = z − ( 3 − 4i ) ≥ z − 3 − 4i = z − 5 ⇒ z ≤ 9 .
2

2

Cách 2:Đặt z = a + bi(a, b ∈ ℝ) , ta có : z − 3 + 4i = 4 ⇔ ( a − 3) + ( b + 4 ) = 16 .
Đặt a − 3 = 4sin α ; b + 4 = 4cos α . Ta có
P = z = a 2 + b2 =

2

( 3 + 4sin α ) + ( −4 + 4 cos α )

P = 41 + 242 + 322 sin (α − β ) , với

24
2

24 + 32

2

2

= 41 + 24sin α − 32 cos α

= cos β ,

32
242 + 32 2

= sin β

Vậy Pmax = 41 + 1600 = 9 .
Nhận xét: Cách 2 tổng quát hơn, có thể tìm Pmax và Pmin cùng một lúc.
Câu 35: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông SA ⊥ ( ABCD ) , biết rằng SCA = 450 và

thể tích của khố i chóp S . ABCD bằng
A. a = 3 .

8 2
. Tính độ dài cạnh a của hình vuông ABCD .
3

B. a = 2 .

C. a = 2 .

D. a =

2
.
2

Hướng dẫn giải
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 18/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />S

Chọn C.

Ta có AC = AB 2 = a 2,
Tam giác SAC vuông cân tại A ⇒ SA = a 2.
VS . ABCD =

8 2
1

8 2
⇔ S ABCD .SA =
3
3
3

A

1
8 2
⇔ a 2 .a 2 =
⇔ a = 2.
3
3

D

B

C

Câu 36: Tính thể tích V của khối lập phương ABCD. A′B′C ′D′ , biết rằng bán kính của mặt cầu ngoại

tiếp hıǹ h lập phương ABCD. A′B′C ′D′ là r = 3 .
8
A. V = .
B. V = 8 2 .
C. V = 16 2 .
3
Hướng dẫn giải

D. V = 8 .

Chọn D.

Gọi a là cạnh hình lập phương. Khi đó đường chéo cũng
là đường kính của hình cầu ngoại tiếp hình lập phương là
d = a 3 = 2r ⇒ a =

D′

A′
B′

O′
C′

r= 3
I
A

2r
= 2.
3

B
3

Thể tích khối lập phương V = 2 = 8 .

D
O

C

a

Câu 37: Cho hıǹ h chóp S . ABCD có đáy ABCD là hıǹ h vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt mặt đáy. Góc giữa hai mặt phẳng ( SCD ) và ( ABCD )

bằng 60o . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD .
A. V =

a3 3
.
9

B. V =

a3 3
a3
.
C. V = .
3
6
Hướng dẫn giải

D. V =

a3 3

.
6

Chọn B.

Gọi E, G lần lượt là trung điểm của AB và CD . Khi đó ta có
( SAB ) ⊥ ( ABCD )

( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB ⇒ SE ⊥ ( ABCD ) ⇒ SE ⊥ CD (1)
SE ⊥ AB


Mặt khác, ta có EG //AD nên EG ⊥ CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra CD ⊥ ( SEG ) ⇒ CD ⊥ SG .
Vậy ta có
( SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD

SG ⊥ CD, EG ⊥ CD

.

⇒ ( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = ( SG , EG ) = SGE = 60o

Diện tích đáy S ABCD = a 2
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 19/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />

Đường cao SE = EG.tan SGE = a 3 .
1
3

Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD bằng V = a 3.a 2 =

a3 3
.
3

Câu 38: Cho khố i chóp S.ABC có SA = 6, SB = 2, SC = 4, AB = 2 10 và góc SBC = 90° , ASC = 120° .

Mặt phẳng ( P ) đi qua B và trung điểm N củ a canh
̣ SC đồng thời vuông góc với mặt phẳng

( SAC )

cắt SA tại M . Tính tỉ số thể tích k =

A. k =

1
.
6

B. k =

VS . BMN
.
VS . ABC

2
.
5

C. k =

2
.
9

D. k =

1
.
4

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Trên cạnh SA lấy điểm A1 sao cho SA1 = 2 . Khi
đó ta có
cos SAB =

AS 2 + AB 2 − SB 2 AB 2 + AA12 − A1 B 2
=
2 AS . AB
2 AB. AA1

⇒ A1B = 2 2

1
2

Mặt khác BN = SC = 2 , A1 N = 2 3 . Suy ra tam
giác A1 BN vuông tại B .
Gọi D là hình chiếu của S xuống mặt phẳng ( A1 BN ) . Do SA1 = SB = SN = 2 nên D là
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A1 BN . Do đó D trung điểm A1 N .
Vậy ta có SD ⊥ ( A1 BN ) nên ( SAC ) ⊥ ( A1 BN ) ⇒ A1 ≡ M .
Từ đó ta có k =

VS . BMN SA1 SN 1 1 1
=
.
= . = .
VS . ABC
SA SC 3 2 6

Câu 39: Cho khố i nó n có bán kính đáy là 6 , thể tích là 96π . Diện tích xung quanh của hình nón là
A. 36π .
B. 56π .
C. 60π .
D. 72π .
Hướng dẫn giải
Chọn C.

Gọi h, l lần lượt là đường cao và đường sinh của khối nón.
1
3

1
3

l

Ta có: V = π R 2 .h ⇔ 96π = π .36.h ⇔ h = 8 .
Độ dài đường sinh l = h 2 + R 2 = 10 .
Diện tích xung quanh của khối nón S xq = π Rl = 60π .
Câu 40: Cho môṭ khố i lăng tru ̣ tam giá c đề u có thể tıć h là

h
R

a3 3
. Thể tıć h củ a khố i tru ̣ ngoaị tiế p lăng
2

tru ̣ đã cho bằng
A.

π a3
.
3

B.

2π a3
.
3

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C.

π a3 3
.
3

D.

2π a 3 3
.
3
Trang 20/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Hướng dẫn giải
Chọn B.
Gọi h là chiều cao lăng trụ.

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC . Khi đó AB = R 3 .

Diện tích tam giác ABC là S ABC =
Thể

tích

V = h.

khối

3R 2 3
.
4

lăng

trụ

là

3R 2 3 3hR 2 3 a 3 3
2
=
=
⇒ hR 2 = a 3 .
4
4
2
3

Thể tích khối trụ V1 = π R 2 .h =

2π a 3
.
3

Câu 41: Cho hıǹ h chó p S . ABC có SA = SB = SC = 2a, gó c BAC = 120o , BC = a 3 . Khi đó diêṇ tıć h
măṭ cầ u ngoaị tiế p hıǹ h chó p đó là

A.

3π 3a 2
.
2

B.

16π a 2
3

C.

π a2 3
.
2

D.

4π a 2
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Do
SA = SB = SC = 2a nên hình chiếu của S lên ( ABC ) là E

S

hay SE ⊥ ( ABC ) tại E .
2a
F

Gọi F là trung điểm SB .
Dựng mặt phẳng trung trực (α ) của cạnh bên SB . Trong

(α ) , đường trung trực của

SB trong mặt phẳng ( SBE ) cắt

SE tại I , khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC
và bán kính R = IS .
Ta
có
SE SF
cos BSE =
=
SB SI
SB.SF
SB 2
⇒ R = SI =
=
SE
2 SB 2 − BE 2

=

=

SB 2
2
2 SB 2 − RABC

4a 2
2 4a 2 −

Nên S = 4π R 2 =

2

3a
3
4.
4

I a 3

B
E
120
A

SB 2

=

BC



2 SB − 

 2sin BAC 

2

2

=

2a
3

16π a 2
.
3

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 21/25

C


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 42: Cho hıǹ h chữ nhâṭ ABCD có AB = 4 , AD = 8 (như
hıǹ h ve)̃ . Goị M , N , E , F lầ n lươṭ là trung điể m củ a
BC , AD , BN và NC . Tıń h thể tıć h V củ a vâṭ thể
trò n xoay khi quay hıǹ h tứ giá c BEFC quanh truc̣
AB .

B

M

E

F

B. 90π .

C. 100π
Hướng dẫn giải

D. 96π .

Chọn D.
Cách 1:
Gọi Q là giao điểm của NC và BA , P là trung điểm AB .

Gọi V1 là thể tích khi xoay

∆QBC

quanh

D

N

A

A. 84π .

C

M

suy ra

AB

C

B
P

1
512π
V1 = π QB.BC 2 =
.
3
3
V2 là thể tích khi xoay

∆QPF

quanh

AB

suy

ra

1
216π
V2 = π QP.PF 2 =
.
3
3
V3 là thể tích khi xoay

∆BPE

quanh

AB

suy

ra

F
E

A

D

N

Q

1
8π
V3 = π BP.PE 2 =
.
3
3
Thể tích cần tìm là V = V1 − V2 − V3 = 96π

Cách 2:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho điểm A trùng với gốc tọa độ

và cạnh AB nằm trên tia Oy .
Khi đó tọa độ các điểm lần lượt là
A ( 0;0 ) ; B ( 0; 4 ) ; E ( 2; 2 ) ; F ( 6; 2 ) ; C ( 8;4 )

y

4

B

M

C

E

Ptđt EB : x = 4 − y .Ptđt FC : x = 4 + y

Bài toán trở thành :Tính thể tích vật thể tròn xoay
khi quay hình phẳng giới hạn bởi
 x = 4 − y; x = 4 + y
quanh Oy .Khi đó thể tích cần tìm là

 y = 2; y = 4

F

2
A

O

2

N

6

D

x

4

2
2
V = π ∫ ( 4 + y ) − ( 4 − y ) dy = 96π



2

Câu 43: Trong không gian với hê ̣ toạ đô ̣ Oxyz , cho tam giá c ABC biế t A ( 3;1; 2 ) , B (1; −4; 2 ) ,
C ( 2;0; −1) .Tım
̣ tâm G củ a tam giá c ABC .
̀ toạ đô ̣ trong

A. G ( 2; −1;1) .

B. G ( 6; −3;3) .

C. G ( 2;1;1)

D. G ( 2; −1;3) .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 22/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
x A + xB + xC

=2
 xG =
3


y + yB + yC

= −1 ⇒ G ( 2; −1;1) .
G là trọng tâm ∆ABC ⇔  yG = A
3

z A + z B + zC

=1
 zG =
3

Câu 44: Trong không gian với hê ̣ toạ đô ̣ Oxyz , cho măṭ phẳ ng ( P) : 3 x − 5 y + 2 z − 2 = 0 . Vectơ nà o
dưới đây là vectơ phá p tuyế n củ a măṭ phẳ ng ( P ).
A. n1 = (3;5; 2) .

B. n1 = (3; −5; 2) .

C. n1 = (3; −5; −2)

D. n1 = (−3; −5; 2) .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng ax + by + cz + d = 0 trong đó ( a; b; c ) là VTPT của mặt

phẳng do đó 3 x − 5 y + 2 z − 2 = 0 có VTPT là ( 3; −5; 2 ) .
Câu 45: Trong không gian với hê ̣ toạ đô ̣ Oxyz , cho măṭ cầ u ( S ) : ( x − 1)2 + ( y + 1)2 + ( z − 3)2 = 9 , điể m
M (2;1;1) thuôc̣ măṭ cầ u. Lâp̣ phương trıǹ h măṭ phẳ ng (P) tiế p xú c với măṭ cầ u (S) taị M.

A. ( P) : x + 2 y + z − 5 = 0 .

B. ( P) : x + 2 y − 2 z − 2 = 0 .

C. ( P) : x + 2 y − 2 z − 8 = 0 .

D. ( P) : x + 2 y + 2 z − 6 = 0
Hướng dẫn giải

Chọn B.
2

2

( S ) : ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 3)

2

 I (1; −1;3)
=9⇒
.
 R = 3

Mặt phẳng ( P ) có VTPT IM = (1; 2; −2 ) và qua M ( 2;1;1) có phương trình là
1( x − 2 ) + 2 ( y − 1) − 2 ( z − 1) = 0
⇔ x + 2 y − 2z − 2 = 0
Câu 46: Trong không gian với hê ̣ toạ đô ̣ Oxyz , măṭ cầ u (S) có tâm thuôc̣ Ox và tiế p xú c với hai măṭ
phẳ ng ( P) : x + 2 y + 2 z − 1 = 0, (Q ) : x − 2 y − 2 z + 3 = 0 có bá n kıń h R bằ ng
A.

1
.
3

B. 2 .

2
.
3
Hướng dẫn giải

C.

D. 3 .

Chọn C.
Tâm I mặt cầu thuộc trục Ox nên I ( a; 0;0 ) . Mặt cầu ( S ) tiếp xúc với hai mặt phẳng ( P ) và

( Q ) nên

R = d ( I , ( P )) = d ( I , (Q )) ⇔ R =

a −1 a + 3
2
=
⇒ a = −1 ⇒ R = .
3
3
3

Câu 47: Trong không gian với hê ̣ toạ đô ̣ Oxyz , cho măṭ phẳ ng ( P) : 2 x − 2 y − z + 2 = 0 và măṭ cầ u

( S ) : ( x − 2) 2 + ( y + 1) 2 + ( z − 1) 2 = 9. Mênh
̣ đề nà o dưới đây đú ng?
A. (P) không cắ t (S).
B. (P) tiế p xú c với (S).
C. (P) cắ t (S) theo giao tuyế n là môṭ đường trò n có bá n kıń h bằng 3 .
D. (P) cắ t (S) theo giao tuyế n là môṭ đường trò n có bá n kıń h bé hơn 3 .
Hướng dẫn giải
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 23/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Chọn D.
Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2; −1;1) và bán kính R = 3 .

4 + 2 −1+ 2

(S )

7 6
, nên ( P ) cắt ( S )
6
6
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính
Ta có d ( I , ( P ) ) =

(

r = R − d ( I , ( P))
2

)

2

=

R

r

I

H

(C )
P

5
=
< 3.
6

Câu 48: Trong không gian với hê ̣ toạ đô ̣ Oxyz , cho A(3;0; 0) , B(0; 2; 0) , C (0; 0; 2) , M (1;1;1) ,

N (3; −2; −1) . Goị V1 ,V2 lầ n lươṭ là thể tıć h củ a khố i chó p M . ABC , N .ABC . Tỉ số
A.

2
.
9

B.

1
.
3

4
.
9
Hướng dẫn giải

C.

D.

V1
bằng
V2

5
.
9

Chọn A.

Phương trình mặt phẳng ( ABC ) :

x y z
+ + = 1 ⇔ 2 x + 3 y + 3z − 6 = 0 .
3 2 2

VM . ABC d ( M , ( ABC ) ) 2 + 3 + 3 − 6 2
=
=
= .
VN . ABC d ( N , ( ABC ) ) 6 − 6 − 3 − 6 9
Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + 2 y + 2 z − 1 = 0 , điểm A ( 2;1;5 ) .

Mặt phẳng ( Q ) song song với ( P ) , ( Q ) cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại các điểm B, C sao cho
tam giác ABC có diện tích bằng 5 5 . Khi đó phương trình nào dưới đây là phương trình của
mặt phẳng ( Q ) ?
A. ( Q ) : x + 2 y + 2 z − 4 = 0 .

B. ( Q ) : x + 2 y + 2 z − 6 = 0 .

C. ( Q ) : x + 2 y + 2 z − 3 = 0 .

D. ( Q ) : x + 2 y + 2 z − 2 = 0 .
Hướng dẫn giải

Chọn A.
( P ) song song với ( Q ) , nên mặt phẳng ( Q ) : x + 2 y + 2 z − c = 0, ( c ≠ 1) .

 c 
Giao điểm của ( Q ) và tia 0x là B ( c;0; 0 ) . Giao điểm của ( Q ) và tia 0y là C  0; ; 0  ; c > 0
 2 

 5c

c 
c2

AB = ( c − 2; −1; −5 ) ; BC =  −c; ; 0  ,  AB, BC  =  ;5c; − 2c  .
2 
2

 2


Diện tích tam giác ABC bằng 5 5 nên
2

2

 2

1
 = 5 5 ⇔  5c  + ( 5c ) 2 +  c − 2c  = 500 ⇒ c = 4 .
AB
,
BC


2
 2
2


Câu 50: Trong không gian với hê ̣ toạ đô ̣ Oxyz , măṭ phẳ ng ( P) : ax + by + cz + d = 0 (với a 2 + b 2 + c 2 > 0)
đi qua hai điể m B (1;0; 2 ) , C ( −1; −1;0 ) và cá ch A ( 2;5;3) môṭ khoả ng lớn nhấ t. Khi đó giá tri ̣

củ a biể u thức F =

a+c
là
b+d

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 24/25


Cập nhật đề thi mới nhất tại />B.

A. 1 .

3
.
4

2
C. − .
7
Hướng dẫn giải

3
D. − .
2

Chọn C.
 x = 1 − 2t

BC = ( −2; −1; −2 ) . Phương trình đường thẳng BC :  y = −t .
 z = 2 − 2t


Gọi I là hình chiếu vuông góc của A trên BC , H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt
phẳng ( P ) .
Ta có AH = d ( A, ( P ) ) ≤ AI . Do đó AH đạt giá trị lớn nhất khi H ≡ I , khi đó mặt phẳng

( P ) qua

I và vuông góc với AI .

I ∈ BC ⇒ I (1 − 2t ; −t ; 2 − 2t ) , AI = (1 + 2t ;5 + t ;1 + 2t ) .
AI ⊥ BC ⇔ AI .BC = 0 ⇔ −2 − 4t − 5 − t − 2 − 4t = 0 ⇔ t = −1 .
Mặt phẳng ( P ) qua I ( 3;1; 4 ) có một vectơ pháp tuyến là AI = ( −1; 4; −1) .
Phương trình mặt phẳng ( P ) : x − 4 y + z − 3 = 0
Vậy F =

a+c
2
=− .
b+d
7

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 25/25