https: drive.google.com open?id=0B RLti3UB3ana1paejktdlcxbUU

Cập nhật đề thi mới nhất tại />SỞ GD & ĐT THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN

KÌ THI THỬ THPT QUỐC GIA – LẦN 2
NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Mã đề thi 110

Họ, tên:...............................Số báo danh:..............
Câu 1:

x 2 − ax + b
. Đặt A = a − b , B = a + 2b. Tính giá trị của tổng A + 2 B để đồ thị
x −1
hàm số đạt cực đại tại điểm M ( 0; −1) .

Cho hàm số y =

A. 3 .
Câu 2:

B. 0 .

C. 6 .

D. 1.
2

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( 3 + 2i ) z + ( 2 − i ) = 4 + i. Tìm phần ảo của số phức
w = (1 + z ) z .

A. −2 .

Câu 3:

Cho z1 = 2 + 3i; z2 = 1 + i. Tính
A.

Câu 4:

B. 0 .

85 .

C. −1 .

D. −i .

z13 + z2
.
z1 + z2

B. 85 .

C.

61
.
5

D.

85
.
25

Khố i lăng trụ ABC. A′B ′C ′ có đáy là một tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên và mặt
phẳng đáy bằng 30°. Hình chiếu của đỉnh A′ trên mặt phẳng đáy ( ABC ) trùng với trung điể m
của cạnh BC. Tính thể tích của khố i lăng trụ đã cho.
A.

Câu 5:

a3 3
.
3

B.

a3 3
.
4

A. a = 27 ; b = 5 .

D.

a3 3
.
8

π

( be
a

B. a = 26 ; b = 6 .

3

− 2 ) . Tìm a và b.
C. a = 24 ; b = 5

D. a = 27 ; b = 6 .

Tập hợp các số phức w = (1 + i ) z + 1 với z là số phức thỏa mãn z − 1 ≤ 1 là hình tròn. Tính
diện tích hình tròn đó.
A. 4π .

Câu 7:

a3 3
.
12

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x ln x , y = 0 , x = e quay xung quanh trục Ox tạo

thành khối tròn xoay có thể tích bằng

Câu 6:

C.

B. 2π .

C. 3π .

D. π .

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA và vuông góc với mặt
phẳng đáy. Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng ( SAC ) .
A.

Câu 8:

a 3
.
6

B.

a 2
.
6

C.

a 3
.
2

D.

a 2
.
4

3x + 1
. Trong các khẳng định sau, hãy tìm khẳng định đúng.
−x +1
A. f ( x ) nghịch biến trên ℝ.

Cho hàm số f ( x ) =

B. f ( x ) nghịch biến trên mỗ i khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) .
C. f ( x ) đồng biến trên mỗ i khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) .
D. f ( x ) đồng biến trên ℝ \ {1} .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 1/26 – Mã đề 110


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Câu 9:

 x=2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y = −m + 2t và mặt phẳng
 z = n+t


( P ) : 2mx − y + mz − n = 0. Biết đường thẳng d
A. 8 .

nằm trong mặt phẳng ( P ) . Khi đó hãy tính m + n.

B. 12 .

C. −12 .

D. −8 .

Câu 10: Một công ty phải gánh chịu nợ với tốc độ D ( t ) đô la mỗi năm, với D′ ( t ) = 90 ( t + 6 ) t 2 + 12t

trong đó t là thời gian (tính theo năm) kể từ khi công ty bắt đầu vay nợ. Sau bốn năm công ty
đã phải chịu 1626000 đô la tiền nợ nần. Tìm hàm số biểu diễn tốc độ nợ nần của công ty này.
3

A. D ( t ) = 30

(t

2

+ 12t ) + 1610640.

C. D ( t ) = 30

(t

2

+ 12t ) + C.

B. D ( t ) = 30

3

(t

2

3

+ 12t ) + 1595280.
2

D. D ( t ) = 30 3 ( t 2 + 12t ) + 1610640.

Câu 11: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào đồng biến trên tập ℝ ?
x

A. y = log 2 ( x − 1) .

1
C. y =   .
2

B. y = log 2 ( x + 1) .
2

D. y = log 2 ( 2 x + 1) .
x2
.
x −1
D. y = 2 x.

Câu 12: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y =
A. y = 4 x + 1.

B. y = 2 x + 3.

C. y = 2 x − 1.

Câu 13: Cho ba số a , b , c dương và khác 1 thỏa mãn log b c = x 2 + 1 và log a2 b3 = log 3 c a = x. Cho

biểu thức Q = 24 x 2 − 2 x − 1997. Chọn khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau?
A. Q ≈ −1999 hoặc Q ≈ −1985.
B. Q ≈ −1999 hoặc Q ≈ −2012.
C. Q ≈ −1979 hoặC Q ≈ −1982.
Câu 14: Giả sử một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

D. Q ≈ −1985 hoặc Q ≈ −1971.
x2
1 − x3

+

1

(

x 1+ x

)

2

có dạng A 1 − x3 +

B
.
1+ x

Hãy tính A + B.
A. A + B = −2.

8
B. A + B = .
3

8
D. A + B = − .
3

C. A + B = 2.

1
 1

Câu 15: Cho x , y là các số thực dương. Rút gọn biểu thức P =  x 2 − y 2 



A. P = x.
B. P = 2 x.
C. P = x + 1.

2

−1


y y
+  .
 1 − 2
x x 

D. P = x − 1.

Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2; −1) , B ( 0;4;0 ) và mặt phẳng ( P )

có phương trình 2 x − y − 2 z + 2017 = 0. Gọi ( Q ) là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và tạo vớ i
mặt phẳng ( P ) góc nhỏ nhất bằng α . Tính cos α .
A.

1
.
9

B.

Câu 17: Cho phương trình: log 3+ 2

2
.
3
2

( x + m − 1) + log 3−2

C.

1
.
6

D.

( mx + x ) = 0 .
2

2

1
3

.

Tìm m để phương trình có

nghiệm thực duy nhất.

A. m = 1 .

 m = −3
B. 
.
m = 1

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. −3 < m < 1 .

D. m > 1 .
Trang 2/26 – Mã đề 110


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 18: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số f ( x ) = sin x (1 + cos x ) trên đoạn [0; π ] .
A. M =

3 3
; m = 1.
2

B. M =

3 3
; m = 0 . C. M = 3 3; m = 1 .
4

D. M = 3; m = 1 .

Câu 19: Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị ra
một mẫu sản phẩm dưỡng da mớ i
mang tên Ngọc Trai với thiết kế
một khố i cầu như viên ngọc trai,
bên trong là một khố i trụ nằ m
trong nửa khố i cầu để đựng kem
dưỡng như hình vẽ. Theo dự kiến,
nhà sản xuất có dự định để khố i

cầu có bán kính là R = 3 3cm.
Tìm thể tích lớn nhất của khố i trụ
đựng kem để thể tích thực ghi trên
bìa hộp là lớn nhất (với mục đích
thu hút khách hàng).
A. 108π cm 3 .
B. 54π cm 3 .

C. 18π cm 3 .

D. 45π cm 3 .

mx + 9
luôn nghịch biến trên khoảng ( −∞;1) .
x+m
B. −3 < m ≤ −1.
C. −3 ≤ m ≤ 3 .
D. −3 < m < 3. .

Câu 20: Tìm m để hàm số f ( x ) =
A. −3 ≤ m ≤ −1.

Câu 21: Một khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và các mặt bên đều tạo với mặt phẳng đáy
một góc 60°. Tính thể tích của khố i chóp đó.
A.

a3 3
.
8

B.

a3 3
.
4

C.

a3 3
.
24

D.

Câu 22: Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ và có đồ thị của hàm số

y

a3 2
.
6

f ′( x)

f ′ ( x ) như hình vẽ bên. Hàm số f ( x ) có mấy điểm cực trị?

A. 1 .
C. 3 .

B. 2 .
D. 4 .

Câu 23: Tìm số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. 0 .
C. 2 .

x+3
x2 + 1

.

O

B. 1 .
D. 3 .
1

Câu 24: Tính giá trị của K = ∫ x ln (1 + x 2 ) dx.
0

1
A. K = ln 2 − .

4

1
B. K = ln 2 − .
2

1
C. K = ln 2 + .
2

1
D. K = − ln 2 + .
2

Câu 25: Cho một hình đa diện. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau?
A. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt.
B. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh.
C. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt.
D. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 3/26 – Mã đề 110

x


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 26: Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều cạnh bằng 2. Một mặt cầu có diện tích
bằng diện tích toàn phần của hình nón. Tính bán kính của mặt cầu.
A.

3
.
2

B. 2 3 .

C.

D. 2 .

3.

Câu 27: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R có BAC = 75° , ACB = 60° .

Kẻ BH ⊥ AC . Quay ∆ABC quanh AC thì ∆BHC tạo thành hình nón xoay ( N ) . Tính diện
tích xung quanh của hình nón tròn xoay ( N ) theo R.
A.

3+ 2 2
π R2 .
2

B.

3+ 2 3
π R2 .
2

Câu 28: Tính đạo hàm của hàm số y =

C.

3

(

)πR .

2 +1
4

2

D.

3

(

)πR .

3 +1
4

2

log 3 x
x

1 + log 3 x

.
x2
1 − log3 x
C. y ′ =
.
x2

1 + ln x
.
x 2 .ln 3
1 − ln x
D. y ′ = 2
.
x .ln 3

A. y ′ =

B. y ′ =

y
3

Câu 29: Cho đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x + 1 như hình bên. Tìm giá trị của

m
A.
B.
C.
D.

để phương trình x 3 − 3x − m = 0 có ba nghiệm thực phân biệt.
−2 < m < 3 .
−2 < m < 2 .
−2 ≤ m < 2 .
−1 < m < 3 .

Câu 30: Cho a > 0 , b > 0 , a ≠ 1 thỏa mãn log a b =
A. 16 .

B. 12 .

1
1
−1 O
−1

x

b
16
và log 2 a = . Tính tổng a + b.
4
b
C. 10 .
D. 18 .

Câu 31: Gọi S là số đo diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = 2 x 2 + 3 x + 1 ,
π 
y = x 2 − x − 2 . Tính cos   .
S

2
2
3
A. 0 .
B. −
.
C.
.
D.
.
2
2
2

(

Câu 32: Tìm tập nghiệm của bất phương trình: 2 x
A. [1; 2] .

B. {1; 2} .

2

−4

)

− 1 .ln x 2 < 0 .

C. (1; 2 ) .

13

15

Câu 33: Cho a , b là các số thực dương, b ≠ 1 thỏa mãn a 7 < a 8 và log b

Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. 0 < a < 1 , b > 1 .
B. a > 1 , b > 1 .
C. a > 1 , 0 < b < 1 .

D. ( −2; −1) ∪ (1; 2 ) .

(

)

(

)

2 + 5 > log b 2 + 3 .
D. 0 < a < 1 , 0 < b < 1 .

Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình bình hành ABCD với A (1;0;1) , B ( 2;1; 2 ) và

3 3
giao điểm của hai đường chéo là I  ; 0;  . Tính diện tích của hình bình hành.
2 2
A.

2.

B.

5.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C.

6.

D.

3.

Trang 4/26 – Mã đề 110


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2;1) , B ( 3; 2;3) và mặt phẳng

( P ) : x − y − 3 = 0 . Trong các mặt cầu đi qua hai điểm
( S ) là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất. Tính bán kính R
A. R = 2 2 .

B. R = 2 3 .

A , B và có tâm thuộc mặt phẳng ( P ) ,

của mặt cầu ( S ) .

C. R = 2 .

D. R = 1 .

Câu 36: Tìm tập xác định của hàm số: y = log 1 ( 5 − x ) − 1.
4

19

B.  ; +∞  .
4


A. ( −∞;5 ) .

19 
C.  ;5  .
4 

 19 
D.  ;5  .
 4 

x3
Câu 37: Tìm m để hàm số: f ( x ) = ( m + 2 ) − ( m + 2 ) x 2 + ( m − 8 ) x + m 2 − 1 luôn nghịch biến trên ℝ.
3
A. m < −2.
B. m ≥ −2.

C. m ≤ −2.
D. m ∈ ℝ.
Câu 38: Biết phương trình z 2 + az + b = 0, ( a, b ∈ ℝ ) có một nghiệm là z = 1 − i. Tính mô đun của số

phức w = a + bi.
A. 2.

B. 2 .

C. 2 2.

D. 3 .

Câu 39: Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng ( d ) : y = − x + m cắt đồ thị ( C ) : y =
điểm phân biệt A , B sao cho độ dài đoạn thẳng AB là ngắn nhất.
1
5
A. m = .
B. m = .
C. m = 5.
2
9

x −1
tại hai
2x

1
D. m = − .
2

Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;1; −2 ) và hai đường thẳng
x − 2 y z −1
x y +1 z + 6
= =
, ∆2 : =
=
. Lấy điểm N trên ∆1 và P trên ∆ 2 sao cho M ,
−1
1
1
2
1
−1
N , P thẳng hàng. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng NP.

∆1 :

A. ( 0; 2;3) .

B. ( 2;0; −7 ) .

C. (1;1; −3) .

D. (1;1; −2 ) .

π
2

Câu 41: Cho

∫ ( sin x )
0

S = a + b + c.
A. S = 3.

cos x
2

4
dx = a ln + b, với a , b là các số hữu t ỉ, c > 0. Tính tổng
c
− 5sin x + 6
B. S = 4.

C. S = 0.

D. S = 1.

Câu 42: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z = 3. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức
w = 3 − 2i + ( 2 − i ) z là một đường tròn. Hãy tính bán kính của đường tròn đó.

A. 3 2.

B. 3 5.

C. 3 3.

D. 3 7.

Câu 43: Tìm m để phương trình 2 x + 3 = m 4 x + 1 có hai nghiệm phân biệt.
1
A. m ≤ .
B. 3 < m < 10
C. m > 10.
3
Câu 44: Tính thể tích khố i tròn xoay tạo thành khi cho hình Elip
A. 4π b.

B.

2 3 2
πb .
3

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C.

D. 1 ≤ m < 3.

x2 y2
+
= 1 quay xung quanh trục Ox.
3 b2

4 3 2
πb .
3

D. 2π b .
Trang 5/26 – Mã đề 110


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 45: Hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1 , BAD = 60°,

( SCD )

và ( SAD )

cùng vuông góc với ( ABCD ) , SC tạo với ( ABCD ) góc 45°. Tính thể tích khố i cầu ngoại
tiếp khố i chóp S . ABC.
4π
8π
A.
.
B.
.
3
3

C.

2π
.
3

D. 2π .

mx 3 − 2
Câu 46: Tìm m để đồ thị hàm số y = 2
có hai đường tiệm cận đứng.
x − 3x + 2
1
A. m ≠ 2 và m ≠ .
B. m ≠ 1 và m ≠ 2.
C. m ≠ 1.
D. m ≠ 0.
4
Câu 47: Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn phương trình

( z − 1) (1 + iz ) = i. Tính a
z−

A. 3 + 2 2.

B. 2 + 2 2.

C. 3 − 2 2.

1
z

2

+ b2.

D. 4 .

Câu 48: Cho bốn điểm O ( 0;0;0 ) , A ( 0;1; −2 ) , B (1; 2;1) , C ( 4;3; m ) . Tìm m để 4 điểm O , A , B , C
đồng phẳng.
A. m = −7.

B. m = −14.

C. m = 14.

D. m = 7.

x − 3 y −1 z +1
=
=
và mặt phẳng
3
1
−1
( P ) : x − z − 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d

Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

lên mặt phẳng ( P ) .
 x = 3+t

A.  y = 1 + t .
 z = −1 + t


x = 3 + t


B.  y = 1
.
 z = −1 − t


 x = 3 + 3t

C.  y = 1 + t .
 z = −1 − t


 x = 3−t

D.  y = 1 + 2t .
 z = −1 + t


Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 4; −3) . Viết phương trình mặt phẳng

chứa trục tung và đi qua điểm A.
A. 3 x + z + 1 = 0.
B. 4 x − y = 0.
C. 3 x − z = 0.
----------HẾT----------

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

D. 3 x + z = 0.

Trang 6/26 – Mã đề 110

Cập nhật đề thi mới nhất tại />BẢNG ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
C C A D A B B C D A D D C D A D D B B B C C C B C
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
A B D B D B D B A A C C C A D B B B C A A A C A D
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1:

Cho hàm số y =

x 2 − ax + b
. Đặt A = a − b , B = a + 2b. Tính giá trị của tổng A + 2 B để đồ thị
x −1

hàm số đạt cực đại tại điểm M ( 0; −1) .
A. 3 .

B. 0 .

C. 6 .
Hướng dẫn giải

D. 1.

Chọn C.

Ta có y ′ =

x2 − 2 x + a − b

( x − 1)

2

 y ′ ( 0 ) = 0
a − b = 0
a = 1
Vì hàm số đạt cực đại tại M ( 0; −1) ⇒ 
⇔ 
⇔ 
b = 1
b = 1
 y ( 0 ) = −1
A = a −b = 0
Vậy 
⇒ A + 2B = 6 .
 B = a + 2b = 3
Câu 2:

2

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( 3 + 2i ) z + ( 2 − i ) = 4 + i. Tìm phần ảo của số phức
w = (1 + z ) z .
A. −2 .

B. 0 .

C. −1 .

Hướng dẫn giải

D. −i .

Chọn C.
2

Ta có ( 3 + 2i ) z + ( 2 − i ) = 4 + i ⇔ z = 1 + i
Do đó w = (1 + z ) z = ( 2 + i )(1 − i ) = 3 − i ⇒ Im w = −1
Câu 3:

Cho z1 = 2 + 3i; z2 = 1 + i. Tính
A.

z13 + z2
.
z1 + z2

B. 85 .

85 .

61
.
5
Hướng dẫn giải
C.

D.

85
.
25

Chọn A.
3

z 3 + z2 ( 2 + 3i ) + 1 + i
19 42
z 3 + z2
Ta có 1
=
=− + i ⇒ 1
= 85 .
z1 + z 2
z1 + z2 ( 2 + 3i ) + (1 + i )
5
5

Câu 4:

Khố i lăng trụ ABC. A′B ′C ′ có đáy là một tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên và mặt
phẳng đáy bằng 30°. Hình chiếu của đỉnh A′ trên mặt phẳng đáy ( ABC ) trùng với trung điể m
của cạnh BC. Tính thể tích của khố i lăng trụ đã cho.
A.

a3 3
.
3

B.

a3 3
.
4

a3 3
.
12
Hướng dẫn giải
C.

D.

a3 3
.
8

Chọn D.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 7/26 – Mã đề 110


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Gọi H là hình chiếu của A′ trên ( ABC ) ⇒ A′H ⊥ BC
Dễ thấy AH ⊥ BC (Vì ∆ABC đều)

(

) (

)

⇒ A′A; ( ABC ) = A′A; AH = A′AH (1)
a 3
2

Vì ∆ABC đều ⇒ AH =

Trong ∆A′AH vuông, ta có A′H = AH .tan 30 =

a 3 1
a
⋅
=
2
3 2

a a 2 3 a3 3
⋅
=
.
2 4
8
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x ln x, y = 0, x = e quay xung quanh trục Ox tạo
Vậy VABC . A′B′C ′ = A′H .S ∆ABC =

Câu 5:

π

( be3 − 2 ) . Tìm a và b.
a
B. a = 26 ; b = 6 .
C. a = 24 ; b = 5
Hướng dẫn giải

thành khối tròn xoay có thể tích bằng
A. a = 27 ; b = 5 .

D. a = 27 ; b = 6 .

Chọn A.

Xét phương trình
x > 0
x > 0
x ln x = 0 ⇔ 
⇔
⇔ x =1
ln x = 0
x = 1
e

Ta có V = π ∫ x 2 ln 2 x dx = ( 5e3 − 2 )
1

Theo giả thiết V =

π

( be
a

3

π
27

a = 27
− 2) ⇒ 
b = 5

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 8/26 – Mã đề 110


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 6:

Tập hợp các số phức w = (1 + i ) z + 1 với z là số phức thỏa mãn z − 1 ≤ 1 là hình tròn. Tính
diện tích hình tròn đó.
A. 4π .

B. 2π .

C. 3π .
Hướng dẫn giả i

D. π .

Chọn B.
Gọi w = x + yi; x; y ∈R .

Ta có w = (1 + i ) z + 1 ⇔ z =
Do đó z − 1 ≤ 1 ⇔
⇔

Câu 7:

w −1
.
1+ i

( x − 2) + ( y − 1) i ≤ 1
w −1
w−2−i
−1 ≤ 1 ⇔
≤1⇔
1+ i
1+ i
1+ i

( x − 2 ) + ( y − 1) i
1+ i

2

2

≤ 1 ⇔ ( x − 2 ) + ( y − 1) ≤ 2 .

Vậy diện tích hình tròn đó là S = 2π .
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA và vuông góc với mặt
phẳng đáy. Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng ( SAC ) .
A.

a 3
.
6

B.

a 2
.
6

a 3
.
2
Hướng dẫn giả i
C.

D.

a 2
.
4

Chọn B.

Gọi M là trung điểm của AB , và gọi AC cắt BD tại O .
Ta có

d ( G, ( SAC ) )
d ( M , ( SAC ) )

=

SG 2
2
= ⇒ d ( G , ( SAC ) ) = d ( M , ( SAC ) ) .
SM 3
3

Gọi H là hình chiếu của M trên AC .
Khi đó MH ⊥ ( SAC ) nên d ( M , ( SAC ) ) = MH =

1
1
a 2
BO = BD =
.
2
4
4

2 a 2 a 2
Vậy ⇒ d ( G , ( SAC ) ) = .

=
.
3 4
6
Câu 8:

3x + 1
. Trong các khẳng định sau, hãy tìm khẳng định đúng.
−x +1
A. f ( x ) nghịch biến trên ℝ.

Cho hàm số f ( x ) =

B. f ( x ) nghịch biến trên mỗ i khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 9/26 – Mã đề 110


Cập nhật đề thi mới nhất tại />C. f ( x ) đồng biến trên mỗ i khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) .
D. f ( x ) đồng biến trên ℝ \ {1} .

Hướng dẫn giả i
Chọn C.
Tập xác định D = ℝ.
4
Ta có f ′ ( x ) =
> 0, ∀x ≠ 1.
2
( − x + 1)

Do đó hàm số f ( x ) đồng biến trên mỗ i khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) .
Câu 9:

 x=2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y = −m + 2t và mặt phẳng
 z = n+t


( P ) : 2mx − y + mz − n = 0.
m + n.
A. 8 .

Biết đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ( P ) . Khi đó hãy tính

B. 12 .

C. −12 .
Hướng dẫn giả i

D. −8 .

Chọn D.

Ta có đường thẳng d đi qua M ( 2; −m; n ) và có vectơ chỉ phương u ( 0;2;1) , mặt phẳng ( P ) có

vectơ pháp tuyến n ( 2m; −1; m ) .
Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ( P ) khi và chỉ khi

n ⊥ u
n.u = 0
 −2 + m = 0
m = 2
⇔
⇔
⇔

4m + m + mn − n = 0
n = −10
M ∈ ( P )
 M ∈ ( P )
Do đó m + n = −8.
Câu 10: Một công ty phải gánh chịu nợ với tốc độ D ( t ) đô la mỗi năm, với D′ ( t ) = 90 ( t + 6 ) t 2 + 12t

trong đó t là thời gian (tính theo năm) kể từ khi công ty bắt đầu vay nợ. Sau bốn năm công ty
đã phải chịu 1626000 đô la tiền nợ nần. Tìm hàm số biểu diễn tốc độ nợ nần của công ty này.
3

A. D ( t ) = 30

(t

2

+ 12t ) + 1610640.

C. D ( t ) = 30

(t

2

+ 12t ) + C.

3

B. D ( t ) = 30

(t

2

3

+ 12t ) + 1595280.
2

D. D ( t ) = 30 3 ( t 2 + 12t ) + 1610640.

Hướng dẫn giả i
Chọn A.
1
2

Ta có D ( t ) = ∫ 90 ( t + 6 ) t + 12t dt = 45∫ ( 2t + 12 ) ( t + 12t ) dt
2

1

2

3
45
t 2 + 12t ) + C = 30
(
3
2
Vì sau bốn năm số nợ là 1626000 đô la nên ta có

= 45∫ ( t 2 + 12t ) 2 d ( t 2 + 12t ) =

D ( 4 ) = 30

(4

Vậy D ( t ) = 30

2

(t

2

3

+ 12t ) + C

3

+ 12.4 ) + C = 1626000 ⇔ 15360 + C = 1626000 ⇔ C = 1610640

(t

2

3

+ 12t ) + 1610640.

Câu 11: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào đồng biến trên tập ℝ ?
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 10/26 – Mã đề 110


Cập nhật đề thi mới nhất tại />x

A. y = log 2 ( x − 1) .

1
B. y = log 2 ( x + 1) . C. y =   .
2
Hướng dẫn giải.

D. y = log 2 ( 2 x + 1) .

2

Chọn D.

Ta có y = log 2 ( 2 + 1) , tập xác định D = ℝ , y ′ =

(2

x

(2

x

x

+ 1)′

+ 1) ln 2

2x
> 0, ∀x ∈ ℝ .
2x + 1

=

Vậy hàm số đồng biến trên ℝ .
x2
Câu 12: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y =
.
x −1
A. y = 4 x + 1.
B. y = 2 x + 3.

C. y = 2 x − 1.
D. y = 2 x.
Hướng dẫn giải.
Chọn D.
ax 2 + bx + c
, nếu đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
dx + e
2ax + b
thì phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là y =
d
Vậy áp dụng công thức trên ta có phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số là y = 2 x .

Cách 1: Công thức nhanh: Cho hàm số y =

Cách 2: tập xác định D = ℝ \ {1} ; y ′ =

2 x ( x − 1) − x 2

( x − 1)

2

=

x2 − 2 x

( x − 1)

2

.

 x = 0 ( y = 0)
y′ = 0 ⇒ 
.
 x = 2 ( y = 4 )

Vậy hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: O ( 0;0 ) , A ( 2;4 ) .

OA VTCP OA = ( 2; 4 ) ⇒ VTCPn = ( −4; 2 ) suy ra phương trình −4 x + 2 y = 0 ⇔ y = 2 x .
Câu 13: Cho ba số a, b, c dương và khác 1 thỏa mãn log b c = x 2 + 1 và log a2 b3 = log 3 c a = x. Cho

biểu thức Q = 24 x 2 − 2 x − 1997. Chọn khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau?
A. Q ≈ −1999 hoặc Q ≈ −1985.

B. Q ≈ −1999 hoặc Q ≈ −2012.

C. Q ≈ −1979 hoặC Q ≈ −1982.

D. Q ≈ −1985 hoặc Q ≈ −1971.
Hướng dẫn giải

Chọn C.
Ta có:.

log b c = 2 ( x 2 + 1) , log a2 b3 = x ⇔ log a b =

4x
x

9
, log c a = ⇒ log b c = 2 .
3
3
4x

9
22 − 2
⇔ x=±
2
.
4x
4
Thay vào biểu thức ban đầu ta chọn C.

(

)

2 x2 + 1 =

Câu 14: Giả sử một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

x2
1− x

3

+

1

(

x 1+ x

)

2

có dạng A 1 − x3 +

B
1+ x

.

Hãy tính A + B.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 11/26 – Mã đề 110


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
8
B. A + B = .
3

A. A + B = −2.

8
D. A + B = − .
3

C. A + B = 2.

Hướng dẫn giải.
Chọn D

∫

 x2 
1

f ( x ) dx = ∫ 
dx + ∫ 
3 
 1− x 
 x 1+ x


(

)

2


 dx .




 x2 
Tính ∫ 
dx .
3 
 1− x 

Đặt t = 1 − x3 ⇒ t 2 = 1 − x3 ⇒ 2tdt = −3 x 2 dx .
 x2
∫  1 − x3


2
2
2
2
1 − x 3 + C1 ⇒ A = − .
 dx = − ∫ dt = − t + C1 = −
3
3
3
3


1
1



dx = 2 ∫
Tính ∫ 
2 
 x 1+ x 
1+ x


8
Suy ra A + B = − .
3

(

)

(

)

2

d (1 + x ) =

−2
+ C2 ⇒ B = −2 .
1+ x

1
 12


Câu 15: Cho x, y là các số thực dương. Rút gọn biểu thức P =  x − y 2 


A. P = x.
B. P = 2 x.
C. P = x + 1.
Hướng dẫn giải.
Chọn A.

1
 1

P =  x2 − y2 



=

(

x− y

2

−1

2

1


 1
 
y y
+  =  x 2 − y 2  1 −
1 − 2
x x

 


2

2



x  
 = 
 x− y 

) 

2

−1


y y
+  .
 1 − 2

x x 

D. P = x − 1.

−2

y
 =
x

(

x− y

)

2

 x− y


x 


2

(

)

x− y .

x 
 =x
x − y 

−2

.

Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2; −1) , B ( 0;4;0 ) và mặt phẳng ( P )

có phương trình 2 x − y − 2 z + 2017 = 0. Gọi ( Q ) là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và tạo vớ i
mặt phẳng ( P ) góc nhỏ nhất bằng α . Tính cos α .
A.

1
.
9

B.

2
.
3

C.

1
.

6

D.

1
3

.

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc mặt phẳng ( P ) . Vậy vecto chỉ phương đường

thẳng d là ud = ( 2; −1; −2 ) .
Trên đường thẳng d lấy điểm C . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của C lên mặt phẳng ( Q )
và đường thẳng AB .
Vậy góc giữa mặt phẳng ( Q ) và mặt phẳng ( P ) là góc tạo bởi hai đường thẳng d và CH , tức
là góc ACH = α .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 12/26 – Mã đề 110


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Vì tam giác CHA vuông tại H nên ta có sin ACH =

AH AK
≥
. Vậy để góc α nhỏ nhất thì

AC AC

H trùng với K hay CK ⊥ ( Q ) .

Vậy ( CAK ) ⊥ ( Q ) . Nên ta có n(Q ) =  n (CAB ) , AB  . Vì u d , AB  = ( 3; 0;3) ⇒ n (CAB ) = (1; 0;1)
Vậy n(Q ) = (1;1; −1)
n( Q ) .n( P )

cos α =

n( Q ) n( P )

=

3
3

Câu 17: Cho phương trình: log 3+ 2

2

( x + m − 1) + log 3−2

( mx + x ) = 0 .
2

2

Tìm m để phương trình có

nghiệm thực duy nhất.
 m = −3
B. 
.
m = 1

A. m = 1 .

C. −3 < m < 1 .

D. m > 1 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.

(

)(

)

(

) (

Ta có 3 + 2 2 3 − 2 2 = 1 ⇒ 3 − 2 2 = 3 + 2 2

)

−1

Nên phương trình tương đương với
log 3+2

2

( x + m − 1) − log3+2

( mx + x ) = 0 ⇔ log
2

2

3+ 2 2

Điều kiện x + m − 1 > 0 ⇔ x > 1 − m
⇔ x + m − 1 = x 2 + mx ⇔ x 2 + ( m − 1) x + 1 − m = 0

( x + m − 1) = log3+2

( mx + x )
2

2

( *)

Để phương trình có nghiệm thực duy nhất thì phương trình ( *) có nghiệm duy nhất hoặc có hai

nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 < 1 − m < x2 , tức là

 m = −3
.
TH 1: ∆ = 0 ⇔ (1 − m )( − m − 3) = 0 ⇔ 
m = 1

Với m = 1 ta có ( *) ⇔ x 2 = 0 ⇔ x = 0 ⇒ x + m − 1 = 0 ( loại )
Với m = −3 ta có ( *) ⇔ x = 2 ⇒ x + m − 1 < 0 ( loại)
 ∆ > 0
∆ > 0
TH 2 : 
⇔
( x1 + m − 1)( x2 + m − 1) < 0
 x1 + m − 1 < 0 < x2 + m − 1

  m < −3

⇔ m > 1
2

 x1 x2 + ( m − 1)( x1 + x2 ) + ( m − 1) < 0 ( **)
2

Giải (**) ta có (1 − m ) − ( m − 1)( m − 1) + ( m − 1) < 0 ⇔ m > 1
Kết hợp điều kiện ta có m > 1
Cách trắc nghiệm
Thay trực tiếp m = 1, m = −3 vào ta loại hai đáp án A và đáp án B
Thay m = 0, m = −10 loại đáp án C
Câu 18: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số f ( x ) = sin x (1 + cos x ) trên đoạn

[0;π ] .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 13/26 – Mã đề 110


Cập nhật đề thi mới nhất tại />A. M =

3 3
; m = 1.
2

B. M =

3 3
; m = 0 . C. M = 3 3; m = 1 . D. M = 3; m = 1 .
4
Hướng dẫn giải

Chọn B.
1
Ta có f ( x ) = sin x + sin 2 x ⇒ f ' ( x ) = cos x + cos 2 x = 2 cos 2 x + cos x − 1
2
1
π


x = ± + 2k π
cos x =



f '( x) = 0 ⇔
2 ⇔
3


cos
x
=
−
1
x
=
π
+
2k π


π
Vì x ∈ [ 0; π ] ⇒ x = hoặc x = π
3

π  3 3
Ta có f   =
, f ( 0) = 0 , f (π ) = 0
4
3
3 3
; m=0
4
Câu 19: Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị ra một mẫu sản phẩm dưỡng da mới mang tên Ngọc Trai với

thiết kế một khối cầu như viên ngọc trai, bên trong là một khố i trụ nằm trong nửa khố i cầu để
đựng kem dưỡng như hình vẽ. Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khố i cầu có bán kính

Vậy M =

là R = 3 3cm. Tìm thể tích lớn nhất của khố i trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là
lớn nhất (với mục đích thu hút khách hàng).

A. 108π cm 3 .

B. 54π cm 3 .

C. 18π cm 3 .
Hướng dẫn giải

D. 45π cm 3 .

Chọn B.
Xét mặt cắt như hình vẽ
Gọi h, r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khố i trụ nằm trong nửa khố i cầu

Ta có r 2 + h 2 = 27 ⇔ r 2 = 27 − h 2
Ta có V = h.π r 2 = hπ ( 27 − h 2 ) = −π h3 + 27π h
Vậy ta có V ' = −3π h 2 + 27π ;V ' = 0 ⇔ h = 3 .
Vì hệ số a < 0 nên để Vmax thì h = 3 ⇒ r 2 = 18 ⇒ V = 3.π .18 = 54π ( cm3 )
mx + 9
luôn nghịch biến trên khoảng ( −∞;1) .
x+m
B. −3 < m ≤ −1.
C. −3 ≤ m ≤ 3 .

D. −3 < m < 3. .
Hướng dẫn giải

Câu 20: Tìm m để hàm số f ( x ) =
A. −3 ≤ m ≤ −1.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 14/26 – Mã đề 110


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Chọn B.
Đề hàm số luôn nghịch biến trên khoảng ( −∞;1) thì y ' < 0 ∀x ∈ ( −∞;1) .

Vì

y' =

m2 − 9

( x + m)

2

nên để hàm số

luôn nghịch biến trên khoảng

( −∞;1)

thì

m 2 − 9 < 0
⇔ −3 < m ≤ 1

−
≥
m
1

Câu 21: Một khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và các mặt bên đều tạo với mặt phẳng đáy
một góc 60°. Tính thể tích của khố i chóp đó.
a3 3
A.
.
8

a3 3
B.
.
4

a3 3
C.
.
24
Hướng dẫn giải

a3 2
D.

.
6

Chọn C.
Giả sử S . ABC là hình chóp tam giác đều cạnh a tâm O , M là trung điểm BC .

Khi đó

(( SBC ) ; ( ABC )) = SMA và

1
3
3
11
1 a 3 2 a3 3
2
o
2
2
VSABC = SO.S ∆ABC =
SO. AB =
OM .tan 60 . AB =
AM . AB =
a =
.
3
12
12
43
12 2

24
Câu 22: Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ và có đồ thị của hàm số f ′ ( x ) như hình vẽ. Hàm số f ( x )
có mấy điểm cực trị?
y
f’(x)

x

O

A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .
Hướng dẫn giải

D. 4 .

Chọn C.
Theo đồ thị ta có f ′ ( x ) đổi dấu 3 lần nên hàm số f ( x ) có ba điểm cực trị nên chọn C.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 15/26 – Mã đề 110


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
x +3

Câu 23: Tìm số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. 0 .

B. 1 .

x2 + 1

.

C. 2 .
Hướng dẫn giải

D. 3 .

Chọn C.

Ta có lim

x →±∞

x+3
x2 + 1

= ±1 nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = ±1.
1

Câu 24: Tính giá trị của K = ∫ x ln (1 + x 2 ) dx.
0

1

A. K = ln 2 − .
4

1
1
B. K = ln 2 − .
C. K = ln 2 + .
2
2
Hướng dẫn giải

1
D. K = − ln 2 + .
2

Chọn B.
Đặt u = ln (1 + x 2 ) ⇒ du =

2x
dx
x +1
2

x2 + 1
.
dv = xdx , chọn v =
2
1
 x2 + 1
x2 1

1
2  1
Khi đó K = 
ln 1 + x  − ∫ xdx. = ln 2 −
= ln 2 − .
2 0
2
 2
0 0
Câu 25: Cho một hình đa diện. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau?
A. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt.
B. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh.
C. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt.
D. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Cạnh bên của 1 hình chóp là cạnh chung của 2 mặt bên của hình chóp.
Câu 26: Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều cạnh bằng 2. Một mặt cầu có diện tích
bằng diện tích toàn phần của hình nón. Tính bán kính của mặt cầu.

(

A.

3
.
2

)

B. 2 3 .

C.

3.

D. 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Vì thiết diện qua trụ là tam giác đều cạnh bằng 2 nên hình nón có bán kính r = 1 , độ dài
đường sinh l = 2 .

Diện tích toàn phần của hình nón: Stp = π r ( l + r ) = 3π .
Mặt cầu có bán kính R thì có diện tích S mc = 4π R 2 .
Theo đề bài thì 4π R 2 = 3π ⇒ R =

3
.
2

Câu 27: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R có BAC = 75°, ACB = 60°.

Kẻ BH ⊥ AC . Quay ∆ABC quanh AC thì ∆BHC tạo thành hình nón xoay ( N ) . Tính diện
tích xung quanh của hình nón tròn xoay ( N ) theo R.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 16/26 – Mã đề 110

Cập nhật đề thi mới nhất tại />A.

3+ 2 2
π R2 .
2

3+ 2 3
π R2 .
2
Hướng dẫn giải
B.

C.

3

(

)πR .

2 +1
4

2

D.

3

(

)πR .

3 +1
4

2

B

Chọn B.
Hình nón ( N ) có đường sinh là đoạn l = BC , đường cao h = CH và
O

bán kính r = BH
Trong ∆ABC ta có BC = 2 R sin 750
Trong ∆BHC ta có BH = BC.sin 600 =

60°

75°

A

C

H

3

BC
2

Diện tích xung quanh hình nón (N):
3
3+2 3 2
BC 2 = π
R
2
2
log 3 x
Câu 28: Tính đạo hàm của hàm số y =
x
1 + log 3 x
1 − log3 x
1 + ln x
1 − ln x
A. y ′ =
B. y ′ = 2
C. y ′ =
D. y ′ = 2
.
.
.
.
2
2
x
x .ln 3
x

x .ln 3
Hướng dẫn giải
Chọn D.
y
1
1 ln x
3
.x − log 3 x
−
1 − ln x
x
ln
3
ln
3
ln
3
y′ =
=
= 2
x2
x2
x .ln 3
3
1
Câu 29: Cho đồ thị hàm số y = x − 3 x + 1 . Tìm giá trị của m để phương trình
S xq = π rl = π .BC.BH = π

3

x − 3x − m = 0 có ba nghiệm thực phân biệt.
A. −2 < m < 3 .
B. −2 < m < 2 .
C. −2 ≤ m < 2 .
D. −1 < m < 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
x 3 − 3x − m = 0 ⇔ x3 − 3x + 1 = m + 1
Số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số
y = x 3 − 3 x + 1 và đường thẳng y = m + 1

x

-1 O
-1

y
3

1

x

-1 O
-1

Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi −1 < m + 1 < 3 ⇔ −2 < m < 2
b
16
Câu 30: Cho a > 0, b > 0, a ≠ 1 thỏa mãn log a b = và log 2 a = . Tính tổng a + b.

4
b
A. 16 .
B. 12 .
C. 10 .
D. 18 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
16
16
log 2 a = ⇔ a = 2 b
b
b
b
b
b
log a b = ⇔ log 16 b = ⇔ log 2 b = ⇔ log 2 b = 4 ⇔ b = 2 4 = 16
4
4
16
4
2b
16
b

a = 2 = 2 ⇒ a + b = 18
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 17/26 – Mã đề 110

Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 31: Gọi S là số đo diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = 2 x 2 + 3 x + 1 ,

π 
y = x 2 − x − 2 . Tính cos   .
S
A. 0 .

B. −

2
.
2

2
.
2
Hướng dẫn giải
C.

D.

3
.
2

Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 x 2 + 3 x + 1 = x 2 − x − 2 ⇔ x 2 + 4 x + 3 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = −3 .
−1

∫

Vậy S =

−1

x 2 + 4 x + 3 dx =

−3

∫ (x

2

+ 4 x + 3 ) dx =

−3

π 
 3π
Suy ra: cos   = cos 
S
 4

( đvdt ) .

2

.
=−

2


(

Câu 32: Tìm tập nghiệm của bất phương trình: 2 x
A. [1; 2] .

4
3

2

−4

)

− 1 .ln x 2 < 0 .

B. {1; 2} .

C. (1; 2 ) .

D. ( −2; −1) ∪ (1; 2 ) .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Điều kiện: x ≠ 0 .
 2 x 2 −4 − 1 > 0
 2

 ln x < 0
2
Khi đó: 2 x − 4 − 1 .ln x 2 < 0 ⇔  2
.
x −4

2
−
1
<
0

 2
 ln x > 0

(

)

 x < −2 ∨ x > 2
2
2
2 x − 4 − 1 > 0
 x − 4 > 0

Trường hợp 1 :  2
⇔ 2
⇔  −1 < x < 1
( HVN ) .
 x < 1

ln x < 0
x ≠ 0

x2 − 4 < 0
−2 < x < 2
2
 2
−1 < 0
 −2 < x < −1

Trường hợp 2 : 
.
⇔ x > 1
⇔  x < −1 ∨ x > 1 ⇔ 
2
1 < x < 2
x ≠ 0
x ≠ 0
ln x > 0


x2 − 4

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = ( −2; −1) ∪ (1; 2 ) .
13

15

Câu 33: Cho a, b là các số thực dương, b ≠ 1 thỏa mãn a 7 < a 8 và log b

Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. 0 < a < 1 , b > 1 .
B. a > 1 , b > 1 .
C. a > 1 , 0 < b < 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
15
 137
8
a
<
a

Ta có: 
⇒ a > 1.
13 15
 <
7 8

(

)

(

)

2 + 5 > log b 2 + 3 .
D. 0 < a < 1 , 0 < b < 1 .

log b 2 + 5 > log b 2 + 3

⇒ 0 < b < 1 . Vậy a > 1 , 0 < b < 1 .

 2 + 5 < 2 + 3

(

)

(

)

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 18/26 – Mã đề 110


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình bình hành ABCD với A (1;0;1) , B ( 2;1; 2 ) và

3 3
giao điểm của hai đường chéo là I  ; 0;  . Tính diện tích của hình bình hành.
2 2
A.

2.

B.

5.

C. 6 .
Hướng dẫn giải

D.

3.

Chọn A.

3 3
Ta có: I  ; 0;  là trung điểm của BD , suy ra D (1; −1;1) .
2 2
AB = (1;1;1) , AD = ( 0; −1; 0 ) .  AB, AD  = (1; 0; −1) .

S ABCD =  AB, AD  = 2 ( đvdt ) .
Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2;1) , B ( 3; 2;3) và mặt phẳng

( P ) : x − y − 3 = 0 . Trong các mặt cầu đi qua hai điểm
( S ) là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất. Tính bán kính R
A. R = 2 2 .

B. R = 2 3 .

A , B và có tâm thuộc mặt phẳng ( P ) ,

của mặt cầu ( S ) .

C. R = 2 .

Hướng dẫn giải

D. R = 1 .

Chọn A.

Ta có: AB = ( 2;0;2 ) , gọi H là trung điểm của AB suy ra H ( 2; 2; 2 ) .
Gọi I là tâm mặt cầu cần tìm. Vì I ∈ ( P ) suy ra: I ( m; m − 3; n ) và HI = ( m − 2; m − 5; n − 2 )
Vì mặt cầu ( S ) đi qua hai điểm A , B nên HI ⊥ AB ⇔ HI . AB = 0 ⇔ m + n = 4 ⇔ n = 4 − m
Khi đó HI = ( m − 2; m − 5; 2 − m )

( S ) là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất khi d ( I , AB ) nhỏ nhất.
Ta có d ( I , AB ) = HI = 3m 2 − 18m + 33 = 3 ( m 2 − 6m + 9 ) + 6 ≥ 6
Suy ra d ( I , AB ) nhỏ nhất là: 6 .
2

 AB 
Khi đó bán kính nhỏ nhất của mặt cầu là: R = 
 +
 2 

( 6)

2

= 2 + 6 = 2 2.

Câu 36: Tìm tập xác định của hàm số: y = log 1 ( 5 − x ) − 1.
4

A. ( −∞;5 ) .

19

B.  ; +∞  .
4


19 
C.  ;5  .
4 
Hướng dẫn giải

 19 
D.  ;5  .
 4 

Chọn C.
Ta có hàm số xác định khi và chỉ khi:

19

log 5 − x ) − 1 ≥ 0
log 5 − x ) ≥ 1 5 − x ≤ 1
 1(
 1(

x ≥
19 
⇔ 4

⇔
4⇔
4 ⇔ x ∈  ;5 
 4
4 


 x<5
 x < 5
5− x > 0
x<5

x3
− ( m + 2 ) x 2 + ( m − 8 ) x + m 2 − 1 luôn nghịch biến trên ℝ.
3
B. m ≥ −2.
C. m ≤ −2.
D. m ∈ ℝ.

Câu 37: Tìm m để hàm số: f ( x ) = ( m + 2 )
A. m < −2.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 19/26 – Mã đề 110


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Hướng dẫn giải
Chọn C.

Ta có f ′ ( x ) = ( m + 2 ) x 2 − 2 ( m + 2 ) x + m − 8

Trường hợp m = −2 , ta có f ′ ( x ) = −10 < 0; ∀x ∈ ℝ (1)
Trường hợp m ≠ −2 , ta có để hàm số đã cho luôn nghịch biến trên ℝ thì:
m+2< 0

f ′( x) ≤ 0 ⇔ 
2
∆′ = ( m + 2 ) − ( m + 2 ) . ( m − 8 ) ≤ 0
m < −2

 m < −2
⇔
⇔
⇔ m < −2 (2)
10.
m
+
2
≤
0
(
)
( m + 2 ) ( m + 2 ) − ( m − 8 )  ≤ 0

Từ (1) và ( 2 ) suy ra để hàm số đã cho luôn nghịch biến trên ℝ thì m ≤ −2.
Câu 38: Biết phương trình z 2 + az + b = 0, ( a, b ∈ ℝ ) có một nghiệm là z = 1 − i. Tính mô đun của số

phức w = a + bi.
A.

B. 2.

2.

C. 2 2.
Hướng dẫn giải

D. 3.

Chọn C.
Ta có z 2 + az + b = 0, ( a, b ∈ ℝ ) có một nghiệm là z = 1 − i nên
a + b = 0
a = −2
2
⇔
⇒ w = −2 + 2i
(1 − i ) + a (1 − i ) + b = 0 ⇔ a + b − i ( 2 + a ) = 0 ⇒ 
a + 2 = 0
b = 2
w =

( −2 )

2

+ 22 = 2 2.

Câu 39: Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng ( d ) : y = − x + m cắt đồ thị ( C ) : y =

x −1
tại hai
2x

điểm phân biệt A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB là ngắn nhất.
1
A. m = .
2

5
B. m = .
9

1
D. m = − .
2

C. m = 5.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm của ( d ) và ( C ) là:
−x + m =

x −1
 x ≠ 0
 x ≠ 0
⇔
⇔
2

2x
2 x ( − x + m ) = x − 1  g ( x ) = 2 x + (1 − 2m ) x − 1 = 0

Đường thẳng ( d ) cắt ( C ) tại hai điểm A , B phân biệt

 g ( 0 ) ≠ 0
−1 ≠ 0
⇔
⇔
luôn đúng với ∀m ∈ ℝ .
2
2
(1 − 2m ) + 8 > 0
 ∆ g = (1 − 2m ) + 8 > 0
Khi đó tọa độ hai giao điểm là:
A ( x1; − x1 + m ) , B ( x2 ; − x2 + m ) với x1 ; x2 là hai nghiệm của g ( x )
AB =

2

( x2 − x1 ) + ( x1 − x2 )
2

2

2

= 2 ( x2 − x1 ) = 2.

 2m − 1 

 −1 
= 2. 
 − 4   = 2.
 2 
 2 

( 2m − 1)

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

4

2

+8

=

( x1 + x2 )
2
2

2

− 4 x1 x2

( 2m − 1)

2

+8 ≥

2. 8
=2
2

Trang 20/26 – Mã đề 110


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
1
Suy ra AB nhỏ nhất khi dấu bằng ở trên xảy ra nghĩa là m = .
2
Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;1; −2 ) và hai đường thẳng
x − 2 y z −1
x y +1 z + 6
= =
; ( ∆2 ) : =
=
. Lấy điểm N trên ( ∆1 ) và P trên ( ∆ 2 ) sao
−1
1
1
2
1
−1
cho M , N , P thẳng hàng. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng NP.

( ∆1 ) :

A. ( 0; 2;3) .

B. ( 2;0; −7 ) .

C. (1;1; −3) .

D. (1;1; −2 ) .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
N ∈ ∆1 ⇒ N ( 2 − t; t ; 1 + t ) , P ∈ ∆ 2 ⇒ P ( 2t ′; − 1 + t ′; − 6 − t ) .

MN = (1 − t ; t − 1;3 + t )
MP = ( 2t ′ − 1; t ′ − 2; − 4 − t ′ )
Ba điểm M , N , P thẳng hàng ⇔ MP = k MN

t ′ = 1
2t ′ − 1 = k (1 − t )
2t ′ − 1 = − ( t ′ − 2 )



t ′ = 1
1

⇔ t ′ − 2 = k ( t − 1) ⇔ t ′ − 2 = k ( t − 1) ⇔ k = −
⇔
t −1
t = 2


 ′

′
−
4
−
t
=
k
3
+
t
−
t
−
4
=
k
t
+
3
(
)
(
)


−1

−5 = ( t − 1) ( t + 3)


⇒ N ( 0; 2;3) , P ( 2;0; − 7 )

Tọa độ trung điểm của NP là: (1;1; − 2 ) .
π
2

Câu 41: Cho

∫ ( sin x )

cos x
2

0

4
dx = a ln + b, với a, b là các số hữu t ỉ, c > 0. Tính tổng
c
− 5sin x + 6

S = a + b + c.

A. S = 3.

B. S = 4.

C. S = 0.
Hướng dẫn giải

D. S = 1.

Chọn B.
Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx
π
2

1

cos x

1

dt
1
∫0 ( sin x )2 − 5sin x + 6 dx = ∫0 t 2 − 5t + 6 = ∫0 ( t − 2 )( t − 3)dt
1

( t − 2 ) − ( t − 3 )dt
t − 2 )( t − 3)
0 (

=∫

1

1

1 
t −2

1
2
4
 1
= −∫ 
−
dt = − ln
= − ln + ln = ln

t − 2 t −3
t −3 0
2
3
3
0

Vậy c = 3, a = 1, b = 0 . Suy ra S = a + b + c = 4
Câu 42: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z = 3. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức
w = 3 − 2i + ( 2 − i ) z là một đường tròn. Hãy tính bán kính của đường tròn đó.

A. 3 2.

B. 3 5.

C. 3 3.
Hướng dẫn giải

D. 3 7.

Chọn B.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 21/26 – Mã đề 110


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Đặt w = x + iy; x, y ∈ ℝ
w = 3 − 2i + ( 2 − i ) z ⇔ z =

w − 3 + 2i x − iy − 3 + 2i
=
2−i
2−i

Thay vào z = 3 ta được :

x − iy − 3 + 2i
=3⇔
2−i
2

2

( x − 3) + ( y − 2 )
22 + 1

2

=3

2

⇔ ( x − 3) + ( y − 2 ) = 45
Vậy R = 3 5.
Câu 43: Tìm m để phương trình 2 x + 3 = m 4 x + 1 có hai nghiệm phân biệt.
1
A. m ≤ .
B. 3 < m < 10
C. m > 10.
3
Hướng dẫn giải
Chọn B.
CÁCH 1 :

D. 1 ≤ m < 3.

2 x + 3 = m 4 x + 1 . (1)

Vì hai vế đều dương nên
2
2
x
x
( 2 + 3) = m ( 4 + 1)
⇔
.
1
() 
m > 0
(1 − m2 ) 4 x + 6.2 x + 9 − m2 = 0
⇔

 m > 0
(1 − m2 ) t 2 + 6.t + 9 − m2 = 0
Đặt t = 2 ( t > 0 ) , ta được : ⇔ 
m > 0
x

( 2)

Phương trình (1) có hai nghiệm khi phương trình ( 2 ) có hai nghiệm dương phân biệt

9 − (1 − m 2 )( 9 − m2 ) > 0
∆′ > 0

 − 10 < m < −3

 3
⇔ S > 0 ⇔  2
>0
⇔
3 < m < 10
P > 0
 m −1
2

9 − m
>0

 1 − m2
Kết hợp điều kiện m > 0 . Suy ra 3 < m < 10 là giá trị cần tìm.
CÁCH 2 :

2x + 3 = m 4x + 1 ⇔ m =

2x + 3
4x + 1

x
Đặt t = 2 ( t > 0 ) ta được : m =

t2 +1 −
f ′ (t ) =

2

t +3
t2 +1

= f (t )

t ( t + 3)

t +1

t2 +1 =

1 − 3t

(

t2 +1

)

3

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 22/26 – Mã đề 110


Cập nhật đề thi mới nhất tại />f ′(t ) = 0 ⇔ t =

t

1
3
1
3

0

0

+

f ′(t )

+∞

f (t )

−

10
1

3

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra 3 < m < 10 là giá trị cần tìm.
Câu 44: Tính thể tích khố i tròn xoay tạo thành khi cho hình Elip
A. 4π b.

B.

2 3 2
πb .
3

x2 y2
+
= 1 quay xung quanh trục Ox.
3 b2

4 3 2
πb .
3
Hướng dẫn giải
C.

D. 2π b.

Chọn C.
 x2 
x2 y 2
+ 2 = 1 ⇔ y 2 = b2 1 − 
3 b
3 

3

Vậy thể tích khố i tròn xoay là : V = π

x3 
V = πb  x − 
9 −


3

2

3

x2 
2
b
1
−
∫  3  dx
− 3


3  4 3π b 2
= 2π b 2  3 −
.
=
3 
3


Câu 45: Hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, BAD = 60°, ( SCD ) và ( SAD )

cùng vuông góc với ( ABCD ) , SC tạo với ( ABCD ) góc 45°. Tính thể tích khố i cầu ngoại
tiếp khố i chóp S . ABC.
4π
8π
A.
.
B.
.
3
3

2π
.
3
Hướng dẫn giải

C.

D. 2π .

S

Chọn A.
( SCD ) ⊥ ( ABCD )

⇒ SD ⊥ ( ABCD )
( SAD ) ⊥ ( ABCD )

( SCD ) ∩ ( SAD ) = SD
C

D

Hình chiếu của SC lên ( ABCD ) là CD .
⇒  SC , ( ABCD )  = SCD = 450 .


⇒ SD = CD. tan 45° = 1 .

Tam giác ABD có AB = AD = 1 , BAD = 60° .
Nên tam giác ABD là tam giác đều.
Ta có : DA = DB = DC = DS = 1
Nên D là tâm mặt cầu ngoại tiếp khố i chóp S . ABC.
4
4
Khi đó : V = π R 3 = π
3
3
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

A

B

Trang 23/26 – Mã đề 110


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 46: Tìm m để đồ thị hàm số y =
1
A. m ≠ 2 và m ≠ .
4

mx 3 − 2
có hai đường tiệm cận đứng.
x 2 − 3x + 2

B. m ≠ 1 và m ≠ 2.

C. m ≠ 1.

D. m ≠ 0.

Hướng dẫn giải:
Chọn A.

mx 3 − 2
có hai đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi x = 1 , x = 2
x 2 − 3x + 2
m ≠ 2
m − 2 ≠ 0


3
không là nghiệm của phương trình mx − 2 = 0 ⇔ 
⇔
1.
8m − 2 ≠ 0
m ≠ 4

Để đồ thị hàm số y =

Câu 47: Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn phương trình
A. 3 + 2 2.

B. 2 + 2 2.

( z − 1) (1 + iz ) = i. Tính a

2

1
z−
z

C. 3 − 2 2.
Hướng dẫn giải:

+ b2.

D. 4 .

Chọn A.
( z − 1) (1 + iz ) = i ⇔ ( z − 1) (1 + iz ) z = i ⇔ ( z − 1) (1 + iz ) z = i , 1 .
Ta có
()
2
1
z
.
z
−
1
z
−
1
z−
z
2

Điều kiện : z − 1 ≠ 0 ⇔ a 2 + b 2 ≠ 1 .

(1) ⇔ (1 + iz ) z = i ( z + 1) ⇔ z + i z
⇔ a + ( a 2 + b2 − b ) i =

(

2

= i ( z + 1) ⇔ a − bi + i ( a 2 + b 2 ) =

(

)

a2 + b2 + 1 i

)

a 2 + b2 + 1 i

a = 0
a = 0
⇔
⇔ 2
2
2
2
2
a + b − b = a + b + 1 b − b = b + 1, ( 2 )

b = 1 + 2
Với b > 0 suy ra ( 2 ) ⇔ b 2 − 2b − 1 = 0 ⇔ 
⇒ b = 1+ 2 .
b = 1 − 2

Với b > 0 suy ra ( 2 ) ⇔ b 2 = 1 loại vì a 2 + b 2 = 1 .

(

Vậy a 2 + b 2 = 1 + 2

)

2

= 3+ 2 2 .

Câu 48: Cho bốn điểm O ( 0;0;0 ) , A ( 0;1; −2 ) , B (1; 2;1) , C ( 4;3; m ) . Tìm m để 4 điểm O , A , B , C đồng

phẳng.
A. m = −7.

B. m = −14.

C. m = 14.
Hướng dẫn giải:

D. m = 7.

Chọn C.
Để bốn điểm O , A , B , C đồng phẳng ⇔ OA, OB  .OC = 0 .
Ta có
OA = ( 0;1; −2 )
suy ra OA, OB  = ( 5; −2 − 1) .

OB
=
1;
2;1
(
)



OC = ( 4;3; m ) .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 24/26 – Mã đề 110


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Khi đó OA, OB  .OC = 0 ⇔ 20 − 6 − m = 0 ⇔ m = 14.
x − 3 y −1 z +1
=
=
và mặt phẳng
3
1
−1
( P ) : x − z − 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d

Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

lên mặt phẳng ( P ) .
 x = 3+t

A.  y = 1 + t .
 z = −1 + t


x = 3 + t


B.  y = 1
.
 z = −1 − t


 x = 3 + 3t

C.  y = 1 + t .
 z = −1 − t

Hướng dẫn giải:

 x = 3−t

D.  y = 1 + 2t .
 z = −1 + t


Chọn A.
 x = 3 + 3t

Ta có phương trình tham số của đường thẳng d :  y = 1 + t
 z = −1 − t

d đi qua điểm M ( 3;1; −1) và có véctơ chỉ phương ud = ( 3;1; −1) .

Vì điểm M ( 3;1; −1) ∈ ( P ) nên M = d ∩ ( P ) .
Gọi điểm O = ( 0; 0;0 ) ∈ d và K là hình chiếu vuông góc của O tre6n ( P ) .
Gọi đường thẳng ∆ đi qua O và vuông góc với mặt phẳng ( P ) suy ra đường thẳng ∆ nhận
véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) làm véctơ chỉ phương u∆ = (1; 0; −1) .

x = t '

Phương trình đường thẳng ∆ là  y = 0 .
 z = −t '


Khi đó K = ∆ ∩ ( P ) .
x = t '
t ' = 2
y = 0
x = 2


⇔
⇔
⇒ K = ( 2; 0; −2 )
z
=
−
t
'
y
=
0


 x − z − 4 = 0
 z = −2
Hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng ( P ) là đường thẳng MK .

Véctơ chỉ phương MK = ( −1; −1; −1) = −1(1;1;1) .
 x = 3+t

Phương trình đường thẳng MK là  y = 1 + t .
 z = −1 + t


Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 4; −3) . Viết phương trình mặt phẳng

chứa trục tung và đi qua điểm A.
A. 3 x + z + 1 = 0.
B. 4 x − y = 0.

C. 3 x − z = 0.
Hướng dẫn giải

D. 3 x + z = 0.

Chọn D.
Trục tung có véctơ chỉ phương là j = ( 01; 0 ) .

Phương trình mặt phẳng chứa trục tung và đi qua điểm A có véctơ pháp tuyến là
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 25/26 – Mã đề 110