skkn rèn kỹ năng cho học sinh qua việc giảng dạy phần

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO NAM TRỰC
TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ NAM MỸ

BÁO CÁO SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Rèn kỹ năng cho học sinh qua việc
giảng dạy phần phương trình bậc hai

Tác giả : Ngô Thị Thúy Mai
Trình độ chuyên môn: ĐHSP Toán
Chức vụ : Giáo Viên
Nơi công tác : THCS Nam Mỹ

Nam Trực, ngày.01 .tháng.02..năm 2016

1


THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1.Tên sáng kiến kinh nghiệm
Sáng kiến kinh nghiệm : Rèn kỹ năng cho học sinh qua việc giảng dạy phần
phương trình bậc hai
2.Lĩnh vực áp dụng
Học sinh lớp 9 trường THCS Nam Mỹ
3.Thời gian áp dụng
Từ ngày 1 tháng 2 năm 2016 đến ngày 10 tháng 4 năm 2015
4.Tác giả
Họ và tên : Ngô Thị Thúy Mai
Sinh năm 1980
Nơi thường trú: Số nhà 11/3/139 Đường Lưu Hữu Phước - TP.Nam Định
Trình độ chuyên môn: ĐHSP
Chức vụ: Giáo viên

Nơi làm việc :Trường THCS Nam Mỹ
Địa Chỉ liên hệ trường THCS Nam Mỹ
Điện thoại: 0942559299
5. Đồng tác giả (nếu có):
Họ và tên: ..........................................................
Năm sinh: ..........................................................
Nơi thường trú: ...................................................
Trình độ chuyên môn:..................................................
Chức vụ công tác: ...............................................
Nơi làm việc:..........................................................
Điện thoại: ........................................................
Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: …….%
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị:Trường THCS Nam Mỹ
Địa chỉ :Trường THCS Nam Mỹ huyện Nam Trực tỉnh Nam Định - Điện thoại
03503829926

2


I. Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến
Năm học 2015-2016 là năm học toàn ngành GD tiếp tục thực hiện Nghị
quyết 29 BCHTW 8- Khóa XI về đổi mới căn bản và toàn diện GD hướng tới sự
hội nhập và phát triển trong đó chú trọng việc đổi mới về PPDH và KTĐG theo
định hướng phát triển năng lực học sinh. Đặc biệt năm học 2015-2016 trường
THCS Nam Mỹ được chọn thí điểm áp dụng mô hình trường học mới với nhiều
khó khăn và thử thách, song vượt lên trên hết thầy và trò nhà trường luôn quyết tâm
cao, tích cực học hỏi để hoàn thành những nhiệm vụ giáo dục của cấp trên và ngành
giao phó. Ngay từ đầu năm học sau khi được tham gia các lớp tập huấn chúng tôi
đã có các buổi sinh hoạt chuyên môn để cùng trao đổi, thảo luận xây dựng kế hoạch

dạy học đáp ứng mục tiêu giáo dục.
Là một giáo viên dạy Toán ở trường THCS Nam Mỹ tôi luôn suy nghĩ để
làm sao kiến thức truyền đạt đến các em một cách đơn giản, dễ hiểu nhưng chắc
chắn, các em có những kiến thức cơ bản vững vàng, tạo điều kiện cho các em yêu
thích môn Toán, tránh cho các em có suy nghĩ môn toán là khô khan và khó tiếp
cận.Tuy vậy, trong việc truyền đạt kiến thức cho các em và qua những giờ luyện
tập, giảng dạy trên lớp, kiểm tra bài tập về nhà… tôi nhận thấy một điều có những
kĩ năng giải toán mà học sinh rất dễ bị ngộ nhận và mắc sai lầm trong khi giải (kể
cả học sinh giỏi). Từ đó tôi đã đi sâu vào tìm tòi để tìm ra những nguyên nhân rồi
từ đó có những biện pháp hữu hiệu để hạn chế những sai lầm mà học sinh hay mắc
phải.
Trong chương trình toán ở THCS với lượng kiến thức lớn và chặt chẽ, yêu cầu
học sinh cần phải ghi nhớ, thì môn đại số 9 học sinh khi giải toán cần phải nắm
chắc kiến thức cơ bản, biết vận dụng hợp lí đối với từng dạng bài tập, từ đó hình
thành kĩ năng và là cơ sở nắm bắt được các kiến thức nâng cao hơn.
Với bản thân tôi được giao trọng trách giảng dạy Môn Toán 9 tôi luôn xác định
mình phải cố gắng nỗ lực để không phụ niềm tin của nhà trường và phụ huynh học
sinh gửi gắm.Tôi nhận thấy việc “ khắc phục những sai lầm cho học sinh khi giải
toán đại số 9 ” là rất quan trọng. Vì đó là những công việc thường xuyên diễn ra khi
người giáo viên lên lớp, chính vì vậy tôi quyết định chọn đề tài “Rèn kỹ năng cho
học sinh qua việc giảng dạy phần phương trình bậc hai”

3


II . Mô tả giải pháp
1. Giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
1.1. Thực trạng
Thực tiễn dạy và học môn Toán ở trường THCS Nam Mỹ còn có một số
ưu nhược điểm sau

1/ Học sinh:
Ưu điểm : Đại đa số các em ngoan , có ý thức và động cơ học tâp , trên lớp
chú ý nghe giảng , về nhà có học bài và làm bài theo yêu cầu của GV
Hạn chế :
a, Kiến thức:
- Một số Học sinh hổng kiến thức từ lớp dưới như:
+ Cộng, trừ, nhân, chia số nguyên
+ Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỷ
+ Cộng, trừ, nhân, chia phân thức
+ Cộng, trừ, nhân, chia đa thức, đơn thức.
+ Các phép tính về lũy thừa
+ Các bước giải một số phương trình như phương trình bậc nhất 1 ẩn, phương
trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình tích.
+ Các bước giải bất phương trình.
- Chưa thuộc công thức, định lý để áp dụng vào giải bài tập.
b. Kỹ năng:
- Kỹ năng tính toán của học sinh còn yếu. Học sinh biết áp dụng công thức để
giải nhưng thường bỏ dở vì tính toán sai, hoặc kết quả sai.
- Kỹ năng trình bày yếu còn nhầm lẫn giữa các phép biến đổi “<=>” ; “ =>”.
Thiếu điều kiện tồn tại phương trình và đối chiếu kết quả tìm được với điều kiện để
nhận nghiệm.
- Trình bày cẩu thả, con số viết không rõ ràng.
- HS còn thiếu năng lực hợp tác , tư duy sáng tạo chưa cao
2/ Giáo viên:
Qua các năm giảng dạy, tôi thấy việc định hướng các năng lực cho HS của
giáo viên còn hạn chế, khi cho học sinh tìm hiểu đầu bài, phân tích bài toán, rồi cho
học sinh tìm cách chứng minh. Học sinh tích cực suy nghĩ trả lời câu hỏi của giáo
viên, phát hiện và giải quyết vấn đề. Kết quả là học sinh thuộc bài nhưng vận dụng

4

máy móc , không linh hoạt khi gặp những câu hỏi khó thì lúng túng chưa nêu bật
được vấn đề
Vì vậy việc giúp học sinh hiểu ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh được
sự nhầm lẫn đó là một công việc vô cùng cần thiết và cấp bách, giúp các em có một
sự am hiểu vững chắc về lượng kiến thức phương trình bậc hai tạo nền móng để
tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao hơn sau này.
Thông qua việc dự giờ đồng nghiệp và trao đổi chuyên môn nghiệp vụ tôi đã
hướng dẫn học sinh một số phương pháp học hiệu quả: Quan sát hiện tượng thực tế
liên quan đến bài học, làm nhiều dạng bài tập, rèn kỹ năng thông qua việc kiểm tra
đánh giá và làm bài tập ở nhà của học sinh và trong những năm học trước tôi đã bắt
đầu hướng dẫn cách học cho các em .Giáo viên không cung cấp, áp đặt kiến thức
có sẵn mà hướng dẫn học sinh phát hiện và chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kĩ năng
thông qua các hoạt động, hình thành thói quen vận dụng kiến thức toán học vào học
tập và vào thực tiễn
Đặc biệt trong năm học này, ngay từ đầu năm học tôi đó đúc rút kinh nghiệm
từ những năm học trước và điều cân thiết là việc tạo cho các em niềm hứng thú khi
làm dạng toán liên quan đến phương trình bậc hai cũng như tạo niềm yêu thích
say mê học tập môn toán. Chính vì lí do đó, nên tôi chọn để tài: “Rèn kỹ năng cho
học sinh qua việc giảng dạy phần phương trình bậc hai” để nghiên cứu và bước
đầu tôi thấy hiệu quả.

2. Giải pháp sau khi có sáng kiến
2.1 Mô tả và giới thiệu các nội dung biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn
đề đặt ra
a.Học sinh phải nắm bắt được mục tiêu của mỗi bài học:
- Mục tiêu kiến thức ngoài các yêu cầu về mức độ như nhận biết, tái hiện
kiến thức cần có những mức độ cao hơn như vận dụng kiến thức trong các tình
huống, các nhiệm vụ gắn với thực tế.

- Với các mục tiêu về kĩ năng cần yêu cầu HS đạt được ở mức độ phát triển
kĩ năng thực hiện các yêu cầu cơ bản đến nâng cao dần ở mỗi bài học
- Về tình cảm, thái độ: Học sinh bước đầu được làm quen với cách học tập
mới, cá nhân độc lập suy nghĩ làm việc theo nhóm, tranh luận ở lớp. Không khí học

5


sôi nổi, vui vẻ, thoải mái, hào hứng hơn. Song giáo viên vẫn phải uốn nắn đưa vào
nề nếp.
Yêu cầu học sinh trung thực, tỷ mỉ, cẩn thận trong khi làm việc cá nhân.
Khuyến khích học sinh mạnh dạn nêu ý kiến của mình, không dựa dẫm vào bạn. Có
tinh thần cộng tác phối hợp với các bạn trong hoạt động chung của nhóm. Phân
công mỗi người một việc, mỗi lần một người trình bày ý kiến của tổ, biết nghe ý
kiến của bạn, thảo luận một cách dân chủ. Biết kiềm chế mình, trao đổi trong nhóm
đủ nghe không gây ồn ào ảnh hưởng đến toàn lớp.
b. Về phương pháp dạy học: Ngoài cách dạy học thuyết trình , dạy học giải
quyết vấn đề cung cấp kiến thức cần tổ chức hoạt động dạy học thông qua việc giải quyết
những nhiệm vụ thực tiễn. Như vậy qua mỗi hoạt động học tập, HS sẽ được hình thành và
phát triển không phải 1 loại năng lực mà là được hình thành đồng thời nhiều năng lực
trong quá trình dạy học.
c. Về nội dung dạy học: Cần xây dựng các hoạt động , chủ đề, chủ điểm và
các dạng bài tập đa dạng nhằm rèn kỹ năng cho HS .
d. Hình thức dạy học chủ yếu vẫn là học tập theo lớp, theo nhóm , cả nhóm
cùng nghiên cứu một vấn đề, đạt đến cùng một kết luận.
GV Sử dụng rộng rãi có hiệu quả hình thức làm việc theo nhóm ở lớp nhằm:
- Tạo điều kiện khuyến khích học sinh làm việc tự lực.
- Tạo điều kiện, không khí thuận lợi để mỗi học sinh phát biểu ý kiến cá
nhân, phát huy sáng tạo rèn luyện ngôn ngữ.
- Rèn luyện thói quen phân công, hợp tác giúp đỡ nhau trong hoạt động tập

thể, trong cộng đồng: Vừa tự do nêu ý kiến riêng (dù chưa được đầy đủ, chính xác).
Biết sửa lỗi sai , chỉ ra nhưng sai lầm trong tính toán và trình bày lời giải cho bạn
để cùng sửa ... Biết tranh luận để bảo vệ ý kiến của mình, vừa biết lắng nghe ý kiến
của bạn. Nhờ có ý kiến của bạn trong nhóm mà sửa lại ý kiến sai của mình và gợí
ýcho mình những suy nghĩ mới.
e. Kiểm tra, đánh giá trong quá trình dạy học
Về bản chất đánh giá năng lực cũng phải thông qua đánh giá khả năng vận
dụng kiến thức và kĩ năng thực hiện nhiệm vụ của HS trong các tình huống khác
nhau.

6


2.2 Các biện pháp cụ thể :
Khi giảng dạy phần chuyên đề phương trình bậc II. Chúng tôi chia thành
các dạng. Ở mỗi dạng tôi hướng dẫn học kỹ lý thuyết , hướng dẫn các em học tập
theo cá nhân , theo nhóm để dễ dàng HS tự tìm ra những lỗi học sinh hay mắc , sai
lầm trong lời giải và tìm cách khắc phục qua đó giúp các em không những nắm bắt
tốt kiến thức, nhớ lâu mà lại không nhàm chán và xây dựng một thói quen học tập
khoa học .
* Dạng 1: Giải phương trình bậc II.
Trước hết yêu cầu HS nắm vững lý thuyết và cách giải phương trình bậc II.
1.1 Cách giải phương trình bậc hai khuyết c dạng : ax2+ bx = 0
Phương pháp : Phân tích vế trái thành nhân tử , rồi giải phương trình tích
Ví dụ : Giải phương trình
3 x 2 − 6 x − 0 ⇔ 3x ( x − 2) = 0 ⇔

3x = 0 ⇔ x = 0
x−2=0⇔ x =2

1.2 Cách gải phương trình bậc hai khuyết b dạng : ax2+ c = 0
Phương pháp :
Biến đổi về dạng

Hoặc

x 2 = m( m ≥ 0)
⇔x=± m

2

x 2 − m = 0 ⇔ ( x + m )( x − m ) = 0 ⇔

x+ m =0⇔ x=− m
x− m =0⇔ x=− m

Ví dụ : Giải phương trình
4x 2 − 8 = 0 ⇔ x 2 = 2 ⇔ x = ± 2

GV tổ chức cho HS làm bài tập áp dụng giải phương trình bậc hai khuyết
a) 7x2 - 5x = 0 ;

b) 3x2 +9x = 0 ;

c) 5x2 – 20x = 0

d) -3x2 + 15 = 0 ;

e) 3x2 - 3 = 0 ;

f) 3x2 + 6 = 0

1.3 Cách giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0)
Công thức nghiệm
Phương trình ax2 + bx + c = 0

( a ≠ 0)

∆ = b 2 − 4ac
* Nếu ∆ > 0 phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt

7


x1 =

-b - ∆
-b + ∆
; x2 =
2a
2a

* Nếu ∆ = 0 phương trình bậc hai có nghiệm kép: x1 = x2 =

-b
2a

* Nếu ∆ < 0 phương trình bậc hai vô nghiệm
( Hoăc hướng dẫn HS sử dụng công thức nghiệm thu gọn khi hệ số b = 2 b/
Đây là những bài tập không khó, nhưng nếu chủ quan học sinh rất dễ bị mắc

phải sai lầm. Chẳng hạn đối với ví dụ
VD: Giải phương trình x2 – (1 +
+ Học sinh nhầm lẫn b = (1 +

)x+

=0

) dẫn tới kết quả sai

Giáo viên yêu cầu học sinh xác định rõ hệ số a, b,c chú ý dấu của chúng.
+ Học sinh nhầm lẫn khi tính

= b2 – 4ac
= - (1 +
= - (1 + 2
=-4-2

)2 - 4
+ 3) - 4
-4

Giáo viên phải chỉ rõ cho học sinh thấy bình phương của 1 số âm phải là 1 số
dương.
Yêu cầu học sinh học lại quy tắc lũy thừa của 1 số âm.
+ Khi tính

=

học sinh không biết biến đổi biểu thức dưới dấu

căn dưới dạng bình phương của 1 đa thức.
Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại hằng đẳng thức bình phương của 1 tổng,
bình phương của một hiệu và hướng dẫn học sinh phân tích.
- Khi sử dụng công thức nghiệm thu gọn học sinh chú ý hệ số b = 2 b/
Những lưu ý đối với HS :
- Yêu cầu học sinh học thuộc công thức nghiệm của phương trình bậc II và
công thức nghiệm thu gọn. Trong quá trình giảng giáo viên kiểm tra học sinh và
nhắc lại nhiều lần.
- Trước khi giải phương trình cần xác định rõ các hệ số a,b,c.

8


GV tổ chức cho HS làm bài tập áp dụng giải phương trình bậc hai
Bài 1:
1.a) 2x2 - 7x + 3 = 0

c) 6x2 + x - 5 = 0

b)y2 – 8y + 16 = 0 ;

d) 6x2 + x + 5 = 0 ;

Bài 2:
a/ 2x2 - 5x + 1 = 0

b/ 5x2- x + 2 = 0

c/ -3x2 + 2x + 8 = 0

d/ 4x2 - 4x + 1 = 0

e/ - 2x2 - 3x + 1 = 0

f/ 5x2 - 4x + 6 = 0

Bài 3:
a/ (x + 2)2 - 3x - 5 = (1 - x)(1 + x)

b/ (x + 1)2 - x + 1 = (x - 1)(x - 2)

c/ 10x2 + 17x + 3 = 2(2x - 1) - 15

d/ x2 + 7x - 3 = x(x - 1) - 1

Bài 4
a, 2x2 - 2 2 x + 1 = 0
c,

b, 2x2 - (1-2 2 )x - 2 = 0

1 2
2
x - 2x - = 0
3
3

d, 3x2 - 2 2 x =

7
3

* Dạng 2: Tìm tham số để phương trình bậc II có nghiệm hoặc vô nghiệm.
Giải và biện luận phương trình ax 2 + bx + c = 0 (1)
Phương pháp: Thực hiện theo các bước sau
B1  Xét a = 0  m = ? Thay trực tiếp vào (1)  x = ?
B2  Xét a ≠ 0 . Ta tính ∆ = b2 – 4.a.c
B3   ∆ < 0: phương trình vô nghiệm.
 ∆ = 0: phương trình có nghiệm số kép x1 = x2 = −

b
= thay m vào tính
2a

nghiệm.
 ∆ > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 , 2 =

− b ∆
2a

Từ đó ta suy ra:
a ≠ 0
1. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là 
∆ > 0
a ≠ 0
2. Điều kiện để phương trình có nghiệm kép là 
∆ = 0

9

 a = 0

b ≠ 0
3. Điều kiện để phương trình có đúng một nghiệm là 
a ≠ 0

 ∆ = 0
Vì vậy khi GV dạy dạng bài này trước tiên phải yêu cầu HS :
- Học sinh nắm được điều kiện tồn tại phương trình bậc II.
- Học sinh phải nắm được số nghiệm của phương trình bậc hai phụ thuộc vào
dấu của
- Học sinh phải nắm chắc quy tắc giải bất phương trình bậc nhất 1 ẩn, quy tắc
giải bất phương trình tích, bất phương trình thương
VD1: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt.
4x2 + 3x + m - 1 = 0
= 9 – 16 (m - 1)
= 25 – 16m
Học sinh giải sai: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt <=>

>0

<=> 25 -16m > 0
<=>

m>

Giáo viên yêu cầu học sinh phát hiện lỗi sai khi chia 2 vế của bất phương
trình cho số âm BPT không đổi chiều.

Giáo viên ôn lại cho học sinh các phép biến đổi tương đương Bất phương
trình.
Yêu cầu học sinh giải lại.
VD2: Với giá trị nào của m thì mỗi phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt.
x2 – mx + m + 3 = 0
= m2 – 4 (m+3)
= m2 – 4m – 12
Phương trình có hai nghiệm phân biệt <=> m2 – 4m – 12 > 0
Học sinh không biết phân tích biểu thức m2 – 4m – 12 thành nhân tử.

10


Giáo viên ôn lại cho học sinh cách phân tích đa thức thành nhân tử đã học ở
lớp 8.
m2– 4m – 12 = (m-2)2 – 16
= (m-16). (m + 2)
Giáo viên đặt câu hỏi tích của 2 đa thức dương khi nào ?
VD3: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm kép.
mx2 - 4x+4m = 0
Học sinh giải sai:
+ Phương trình có nghiệm kép

=>

+ Phương trình đã cho có nghiệm kép <=>

/

=0

/

=0

Giáo viên sửa lỗi sai đặt câu hỏi phương trình bậc II tồn tại khi nào ? (Hệ số a
0)
Sửa lại phương trình đã cho có nghiệm kép <=> m 0

/

0

GV tổ chức cho HS làm bài tập áp dụng giải phương trình bậc hai
Bài 1. Tìm m để mỗi phương trình sau có 2 nghiệm.
a/ x2 + 3x + 3m + 5 = 0

b/ x2 - 2x + 4m - 1 = 0

c/ - x2 + 4x + m + 2 = 0

d/ x2 + (2m + 1)x + m2 + 1 = 0

Bài 2 Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm kép.
a/ x2 – 4x + k = 0

b/ x2 + 5x + 8m + 4 = 0

c/ - x2 - 5x + 3m + 1 = 0

d/ x2 – (k + 2)x + k2 + 1 = 0

Bài 3: Cho phương trình: 5x2 + 2x – 2m – 1 = 0
1/Giải phương trình khi m = 1
2/Tìm m để phương trình có nghiệm kép.
Bài 4: Cho phương trình: kx2 – (2k-1)x + k + 1 = 0
1/Giải phương trình khi m = 1
2/Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó ?
• Dạng 3: Chứng minh PT có nghiệm
Phương pháp:
-

Tính ∆

11


Biện luận cho ∆ ≥ 0 với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi ∆ về

-

dạng
∆ = ( A ± B) 2 + m Với m ≥ 0

Ví dụ
Cho phương trình x 2 − (m − 2) x + m − 5 = 0
Chứng minh rằng PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
Ta cã: a = 1; b = −(m − 2); c = m − 5
⇒ ∆ = [ − (m − 2)] − 4.1.(m − 5) = (m 2 − 4m + 4) − 4m + 20
2

= m 2 − 8m + 24 = m 2 − 2.m.4 + 4 2 + 8
= (m − 4) 2 + 8 > 0

Vì ∆ > 0 với mọi giá trị của m nên PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt với
mọi m.
Những lưu ý , yêu cầu đối với HS
- Hs nhận được dạng PT bậc nhất một ẩn, PT bậc II một ẩn
- Nắm được điều kiện tồn tại PT bậc nhất một ẩn, PT bậc II một ẩn.
- Rèn kỹ năng giải PT.
VD: Cho PT (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0
Chứng minh rằng PT đã cho có nghiệm với mọi m.
Hs giải sai:
+ Chỉ giải trường hợp PT đã cho là PT bậc II. (Thiếu trường hợp Pt bậc I)
+ Thiếu điều kiện hệ số a

0 để tồn tại PT bậc II.

Gv hướng dẫn giải:
+ Pt đã cho cần điều kiện gì để là PT bậc I ? Cần điều kiện gì để là PT
bậc hai.
+ Nêu điều kiện tồn tại PT bậc II.
+ Hướng dẫn Hs chia hai trường hợp:
* m + 2 = 0 <=> m = -2 PT trở thành 5x – 5 = 0 <=> x = 1
*m+2
Tính

0 <=> m

-2 PT trở thành PT bậc II

= (1- 2m)2 – 4 (m + 2). (m - 3)

= 25 > 0 với mọi m

12


Vậy PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

-2

KL: Vậy với mọi m PT luôn có nghiệm.
Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh: N xét x = 1 luôn là nghiệm của PT suy ra PT
luôn có nghiệm với mọi m.
GV tổ chức cho HS làm bài tập áp dụng
Bài 1. Cho phương trình: 2x2 – mx + m – 2 = 0
Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m.
Bài 2
Cho phương trình: x2 – (k – 1)x + k – 3 = 0
1/Giải phương trình khi k = 2
2/Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi k.
Bài 3:
Cho phương trình: x2 + (m – 1)x – 2m – 3 = 0
Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
*Dạng 4: Tìm tham số để PT có nghiệm cho trước.
Phương pháp
Cách tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm x = x1 cho trước
+) Ta thay x = x1 vào phương trình đã cho rồi tìm giá trị của tham số
Cách tìm nghiệm thứ 2
Thay giá trị của tham số tìm được vào phương trình rồi giải phương trình

Hoặc cách Muốn tính nghiệm còn lại Dùng Viet cho tích số x 2.x1 = P suy ra
nghiệm còn lại
Ví dụ Cho phương trình: x2 – x + 2m – 6 = 0. (1)
a) Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm x1 = 1.
b) Tìm nghiệm còn lại
Giải
a/ Thay x1 = 1 vào phương trình (1) ta có
12 − 1 + 2m − 6 = 0 ⇔ 2m = 6 ⇔ m = 3

Vậy với m = 3 thì phương trình có nghiệm x1 = 1.
b/ Thay m = 3 Vào PT (1) Ta có :

13


x 2 − x + 2.3 − 6 = 0
⇔ x 2 − x = 0 ⇔ x( x − 1) = 0 Vậy nghiệm thứ hai của phương trình (1) lµ x = 0
x=0
Những lưu ý , yêu cầu đối với HS
⇔
x =1

- Học sinh nắm được định nghĩa thế nào là

nghiệm của 1 PT
- Nắm chắc cách giải PT bậc nhất, PT bậc II.
GV tổ chức cho HS làm bài tập áp dụng
Bài 1Tìm m để phương trình có một nghiệm cho trước, tính nghiệm kia?
a/ 2x2 − (m + 3)x + m − 1 = 0

; x1 = 3

b/ mx2 − (m + 2)x + m − 1 = 0

; x1 = 2

c/ (m + 3)x2 + 2(3m + 1)x + m + 3 = 0

; x1 = 2

d/ (4 − m)x2 + mx + 1 − m = 0

; x1 = 1

e/ (2m − 1)x2 − 4x + 4m − 3 = 0

; x1 = −1

f/ (m − 4)x2 + x + m2 − 4m + 1 = 0 ; x1 = −1
g/ (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + m − 2 = 0

; x1 = 2

h/ x2 − 2(m − 1)x + m2 − 3m = 0

; x1 = 0

Bài 2Cho phương trình 2x2 – (m + 3)x + m – 1 = 0
a)Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt ?
b)Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = 3. Tính nghiệm x2 còn lại ?

Bài 3 Cho phương trình (m + 1)x2 – 2(m – 1)x + m – 2 = 0
a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt ?
b)Xác định m để phương trình có nghiệm x1 = 2; tính nghiệm x2 còn lại ?
Bài 4 ; Cho phương trình : (m + 2)x2 + 2(3m – 2)x + m + 2 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép ?
b)Định m để phương trình có nghiệm là 1 ? Tính nghiệm còn lại ?
* Dạng 5: Hệ thức Viet và ứng dụng:
Phương pháp:
Định lý Vi-ét : Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
thì
S = x1 + x2 = p = x1x2 =

b
a

c
a

14


* Đảo lại : Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thì hai số là nghiệm của
x2 – S x + p = 0

phương trình bậc hai :

Yêu cầu đối với HS
- Học sinh phải thuộc hệ thức Viet, và công thức nhẩm nghiệm.
- Rèn kỹ năng tính toán.
- Trước khi sử dụng hệ thức Viet phải kiểm tra xem phương trình bậc II đó có

nghiệm không. Nếu phương trình đó có chứa tham số thì phải tìm điều kiện của
tham số để phương trình đã cho có nghiệm.
VD1: Không giải phương trình, dùng hệ thức viết tính tổng và tích các
nghiệm của phương trình sau.
(

) x2 + 2x + (

Học sinh giải sai: x1 + x2 =

)=0

=

và x1 x2 =

=

Giáo viên cho học sinh kiểm tra xem phương trình có nghiệm không. Bằng cách
tính

/

/

= 12 - (

)(

) = - 2 < 0 PT vô nghiệm

Giáo viên chốt: Ta chỉ sử dụng được hệ thức Viet khi phương trình bậc hai đó có
nghiệm.
VD2: Dùng công thức nhẩm nghiệm để nhẩm nghiệm mỗi PT sau:
3x2 – (3 +

)x+

a + b + c = 3 + [-(3+
=3-3-

=0
)] +

+

=0
Học sinh hay nhầm lẫn khi phá ngoặc có dấu “-” đứng trước.
Giáo viên ôn lại quy tắc phá ngoặc có dấu cộng, dấu trừ đứng trước.
VD3: Hãy chứng tỏ rằng phương trình 2x2 + 5x + 2 = 0 có nghiệm là -2. Hãy tìm
nghiệm kia ?

15


Học sinh không biết chứng minh x = -2 là một nghiệm của phương trình.
Giáo viên nhắc lại cho học sinh khái niệm thế nào là nghiệm của phương trình. Và
hướng dẫn học sinh tìm nghiệm còn lại theo hệ thức Viet.

Cách 1: x1 + x2 =

Cách 2: x1 . x2 =
VD4:Tìm hai số u, v trong các trường hợp sau:
u – v = -2 và u . v =80
Học sinh giải sai: u và v là hai nghiệm của phương trình x2 + 2x + 80 = 0
Giáo viên chỉ rõ cho học sinh lỗi sai: Đầu bài không cho u+v mà cho u - v
Vậy ta coi u là số thứ nhất và – v là số thứ hai. Ta có u + (-v) = -2
Vậy u.(-v) = -80
Ta có u và –v là 2 nghiệm của phương trình x2 + 2x + 80 = 0
VD5: Tìm m để phương trình sau có tích các nghiệm bằng 6
x2+ (2m + 1)x + m2 + 5m = 0
Học sinh giải sai: Phương trình đã cho có x1 x2 =6
<=> m2 +5m= 6
<=> m1 = 1 và m2 = -6
Giáo viên sửa lỗi sai: Chưa tìm điểu kiện để phương trình đã cho có nghiệm.
Phương trình đã có nghiệm <=>

0 <=> - 16m

-1

<=> m

Đối chiếu điều kiện m1 = 1 >

loại; m = -6 <

thỏa mãn

VD6: Tìm a để PT (a - 2) x2 – (a - 4)x – 2 = 0 có nghiệm và nghiệm này gấp

đôi nghiệm kia..
Hs giải sai:
- Không đặt điều kiện tồn tại phương trình bậc II.

16


- Hs không phân tích để tìm được mối liên hệ giữa 2 nghiệm x1 và x2.
Gv hướng dẫn Hs giải:
- Tìm điều kiện để PT đã cho là PT bậc II: a – 2
- Tìm điều kiện để PT có nghiệm:

/

= a2

<=> a

2

0 với mọi a.

- PT có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia :
<=> x1 = 2x2 hoặc x2 = 2x1
<=> x1 – 2x2 = 0 hoặc x2 – 2x1 = 0
<=> (x1 – 2x2). (x2 – 2x1) = 0
Giáo viên chốt cách giải:
+ B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm
+ B2: Áp dụng hệ thức Viet tính tổng, tích các nghiệm.
+ B3: Biểu diễn các biểu thức đã cho theo tổng và tích các nghiệm rổi giải

theo yêu cầu để xác định giá trị của tham số.
+ B4: Đối chiếu giá trị của tham số vừa tìm được để đưa ra kết luận
* Dạng 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
- Học sinh phải nắm chắc các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình.
- Khi giải chú ý chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn và viết đơn vị nếu có.
- Biết tìm được các mối liên hệ giữa các dữ kiện trong bài toán để lập phương
trình.
- Chia thành các dạng toán: Toán tìm số, toán chuyển động, toán công việc…
VD: Một tàu thủy xuôi dòng sông từ A đến B dài 48 km rồi ngược dòng từ B
về A hết 5 giờ. Tính vận tốc của tàu thủy. Biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
Học sinh giải sai:
+Gọi vận tốc của tàu thủy là x (km/h) ĐK x

Z

+ Khi giải phương trình được x1 = 20, x2 = -4. Không loại nghiệm x = -4
Giáo viên sửa lỗi sai: Khi chọn ẩn chú ý đặt điều kiện cho ẩn.
+ Nếu đại lượng chọn làm ẩn là các đại lượng đo lường thì đặt điều kiện x > 0
+ Nếu đại lượng chọn làm ẩn là các đại lượng chỉ con người, con vật, đồ vật,
cây cối… thì đặt điều kiện x

Z+ hoặc x

N* .

+ Trong quá trình tìm các mối liên hệ giữa các dữ kiện để lập phương trình,
nếu cần ta có thể bổ sung điểu kiện cho ẩn.

17

* Dạng 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai.
1. Phương trình tích: là phương trình có một vế bằng không, vế còn lại là một tích
của các nhân tử chứa ẩn.
 A1 ( x ) = 0 (1)
 A ( x ) = 0 (2)
A1 ( x). A2 ( x)... An ( x) = 0 ⇔  2
............

 An ( x ) = 0 (n)

Ta giải n phương trình (1), (2), . . ., (n) rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.
Ví dụ 1 Giải các phương trình: (2x2 + x - 4)2 = 4x2 – 4x + 1
Giải: (2x2 + x - 4)2 = 4x2 – 4x + 1 ⇔ (2x2 + x - 4)2 - (2x - 1)2 = 0
⇔ (2x2 + x – 4 + 2x - 1)(2x2 + x – 4 - 2x + 1) = 0
 2x 2 +3x - 5 = 0 (1)
⇔ (2x + 3x - 5)(2x - x - 3) = 0 ⇔  2
 2x - x - 3 = 0 (2)
2

2

Giải các phương trình (1) và (2) ta được x1 = 1; x2 = -2,5; x3 = -1; x4 = 1,5
Vậy S = { x1 = 1; x 2 = -2,5; x 3 = -1; x 4 = 1,5}
Nhận xét:- Loại phương trình này các em HS đã được làm quen từ lớp 8 - THCS.
Lên lớp 9, sau khi học xong về phương trình bậc hai một ẩn, để giải một phương
trình bậc cao (bậc lớn hơn 2), đối với HS THCS thường dùng phương pháp biến đổi
đưa về phương trình tích. Muốn vậy HS phải có kĩ năng phân tích đa thức thành
nhân tử (chỉ cần phân tích thành tích các nhân tử bậc nhất hoặc bậc hai).
- Chú ý tới các tính chất của phương trình bậc ba: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0

Nếu a + b + c + d = 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1
Nếu a – b + c – d = 0 thì phương trình có một nghiệm x = -1.
- Đa thức bậc n có các hệ số nguyên. Nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó
phải là ước của hệ số tự do (Định lí về sự tồn tại của nghiệm nguyên của phương
trình với hệ số nguyên).Khi đã nhận biết được nghiệm (chẳng hạn x = x 0), ta phân
tích được vế trái của phương trình thành nhân tử (chứa một nhân tử là x – x 0).
*Ví dụ 2. Giải phương trình: 2 x3 + 7 x 2 − 3 x − 8 = 0 (*)
Hướng dẫn: Chú ý 2 – 7 + (- 3) – (- 8) = 0 => (*) có một nghiệm là x = -1,
3
2
3
2
2
từđóphântíchđược: 2 x + 7 x − 3 x − 8 = ( 2 x + 2 x ) + ( 5 x + 5 x ) − (8 x + 8)
2
= 2 x 2 ( x + 1) + 5 x( x + 1) − 8( x + 1) = ( x + 1) ( 2 x + 5 x − 8 ) .

18


Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm: x1 = -1; x2 =

−5 + 89
−5 − 89
; x3 =
4
4

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu:Loại phương trình này, HS cũng đã được làm
quen từ lớp 8 và đây cũng là một dạng phương trình thường gặp trong chương trình

toán THCS.
2.1. Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thường giải theo 4 bước
sau:Bước 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình;
Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức;
Bước 3. Giải phương trình nhận được;
Bước 4. Kết luận: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thoả mãn
ĐKXĐ, các giá trị thoả mãn ĐKXĐ là nghiệm của phương trình đã cho.
2.2. Ví dụ: Giải phương trình:

3x
1
x2 + 2
−
= 2
2x − 2 x +1 x −1

Giải:- ĐKXĐ: x ≠ ± 1. Khi đó (*) ⇔
⇒

(*)

3x
1
x2 + 2
−
=
2( x − 1) x + 1 ( x − 1)( x + 1)

3 x( x + 1) − 2( x − 1) = 2( x 2 + 2) ⇔ 3 x 2 + 3 x − 2 x + 2 = 2 x 2 + 4

⇔ 3 x 2 + 3 x − 2 x + 2 − 2 x 2 − 4 = 0 ⇔ x 2 + x − 2 = 0 (**)

Giải phương trình (**), ta được x1 = 1 (không thoả mãn ĐKXĐ)
x2 = - 2 (thoả mãn ĐKXĐ).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = - 2
2.3. Lưu ý: + Trong thực hành, cần luôn lưu ý việc kiểm tra giá trị tìm được của ẩn
(sau bước 3). Một phương trình chứa ẩn ở mẫu sẽ vô nghiệm nếu ở bước 3 không
tìm được giá trị của ẩn và cũng sẽ vô nghiệm nếu các giá trị tìm được ở bước 3 đều
không thoả mãn ĐKXĐ.
+ Cách giải trên là cách giải thường dùng nhưng chỉ nên áp dụng với các phương
trình mà sau khi ta quy đồng, khử mẫu 2 vế thì được phương trình bậc không lớn
hơn 2, không phức tạp. Đối với một số dạng phương trình chứa ẩn ở mẫu đặc biệt,
ta phải dùng phương pháp đặt ẩn phụ để giải.
Ví dụ: Giải phương trình:

2x
x
−3
− 2
=
2 x − 3x + 1 2 x + x + 1 2
2

Giải: -ĐKXĐ: x ≠ 1; x ≠

1
.Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình.
2

Chia

của

cả

tử

và

mẫu

mỗi

phân

19

thức

cho

x

≠ 0,

ta

được:

2
1
2x − 3 +
x

−

1
1
2x +1+
x

=

−3
2 .Đặt

2x +

1
=
x

t,

phương

trình

trở

thành:

2
1
−3
−
=
(*) (ĐK: t ≠ - 1; t ≠ 3)
t − 3 t +1 2

=> 4t + 4 – 2t + 6 = -3(t2 – 2t – 3) <=> 3t2 - 4t + 1 = 0 <=> t1 = 1; t2 =

1
(đều
3

thoả mãn ĐK của t).
-Với t1 = 1, ta có: 2x +

1
1
1
1
= 1 (vô nghiệm) ; với t2 = , ta có: 2x + =
(vô
x
3
x
3

nghiệm).Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
*Chú ý : Dùng phương pháp giải ở trên, chúng ta cũng giải được các phương trình
có dạng sau :

Dạng1:

mx
nx
+ 2
=c.
ax + px + b ax + qx + b
2

ax 2 + mx + b ax 2 + nx + b
ax 2 + mx + b
nx
+
=
0
+ 2
=0
Dạng2 : 2
.Dạng 3: 2
2
ax + px + b ax + qx + b
ax + px + b ax + qx + b

3. Phương trình trùng phương:
3.1. Định nghĩa: Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ax 4 + bx2 + c

= 0, trong đó a, b, c là các số cho trước, a ≠ 0.
3.2. Cách giải:-Khi giải dạng phương trình này, ta thường đưa về phương trình bậc
hai bằng cách đặt ẩn phụ x2 = t (t ≥ 0), ta có phương trình bậc hai trung gian : at2 +
bt + c = 0.
-Giải phương trình bậc hai trung gian này, rồi sau đó trả biến: x 2 = t. Nếu những giá
trị tìm được của t thoả mãn t ≥ 0, ta sẽ tìm được nghiệm của phương trình ban đầu.
3.3. Ví dụ:
*Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 x 4 − 2 x 2 − 1 = 0 (1)
Giải: Đặt x2 = t, ĐK: t ≥ 0. Phương (1) trở thành 3t2 - 2t - 1 = 0 (1’)
Giải (1’) ta được: t1 = 1 (thoả mãn ĐK); t2 =
Với t1= 1 => x2 = 1 => x = ± 1;Với t2 =

1
(thoả mãn ĐK)
3

1
1
=> x2 =
<=> x = ±
3
3

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm x1 = 1; x2 = −1; x3 =

1
3

1
1

; x4 = −
3
3

3.4. Nhận xét : Về số nghiệm của phương trình trùng phương, ta thấy:

20


+ Phương trình trùng phương vô nghiệm khi: Phương trình bậc hai trung gian vô
nghiệm, hoặc chỉ có nghiệm âm.
+ Phương trình trùng phương có nghiệm khi: Phương trình bậc hai trung gian có
nghiệm không âm.
+ Phương trình trùng phương có 4 nghiệm phân biệt (khi đó 2 cặp nghiệm luôn đối
nhau) khi phương trình bậc hai trung gian có 2 nghiệm dương phân biệt.
+ Phương trình trùng phương có 3 nghiệm phân biệt (1 nghiệm luôn bằng 0 và 2
nghiệm còn lại đối nhau) khi phương trình bậc hai trung gian có 1 nghiệm bằng 0
và một nghiệm dương.
III . Hiệu quả do sáng kiến kinh nghiệm đem lại:
Chúng tôi đã áp dụng sáng kiến vào giảng dạy tại trường THCS Nam Mỹ.
Qua việc đối chiếu, so sánh và cả những suy ngẫm, tôi thấy đây thực sự hiệu quả,
các em phát triển được nhiều năng lực, khả năng vận dụng kiến thức tốt hơn, các
em thể hiện rõ nét tính tích cực, chủ động, hòa đồng, và có trách nhiệm trước tập
thể
Sau khi vận dụng việc day – hoc vào giảng dạy cho học sinh tôi đã điều tra và
cho kết quả sau:
Biểu hiện học tập của HS

Biểu hiện học tập của HS

Những năm trước
1. HS giơ tay phát biểu, nhưng

lớp B (thực nghiệm)
1. HS hăng hái trả lời câu hỏi của GV và bổ sung

theo phong trào, khi yêu cầu trả

câu trả lời của bạn, chỉ ra những chỗ được, chưa

lời thì im lặng hoặc tìm sự trợ

được và nêu lí do, nguyên nhân chưa được.

giúp, hoặc trả lời không đúng nội

Có thế câu trả lời chưa hoàn toàn đây đủ nhưng

dung câu hỏi. Học sinh thuộc bài

thể hiện sự tích cực tham gia vào hoạt động. Hs

nhưng nhanh quên kiến thức hoặc nhớ bài lâu, hiểu được bản chất và mối liên hệ
không hiểu sâu bản chất.
Tham gia các hoạt động theo

giữa các chất, khái niệm.
2. HS thích thú tham gia vào các hoạt động: Suy

hướng dẫn của giáo viên nhưng ít

nghĩ, trao đổi, thảo luận, thực hành, để lĩnh hội

tư duy, động não.
Thiếu tập trung vào các nội dung

kiến thức.
3. Tập trung chú ý vào các vấn đề đang học, kiên

trong giờ học, ít hứng thú với

trì hoàn thành nhiệm vụ được giao.

nhiệm vụ được giao.
Ít đặt câu hỏi với GV và với bạn

4. Hay hỏi bạn và giáo viên về nội dung bài học.

về nội dung bài học.

21


Chỉ một số thành viên (nhóm

5. Trao đổi cùng nhau, có sự phân công cụ thể cho

trưởng, thư kí) làm việc trong

mọi thành viên tham gia thực sự vào các hoạt

nhóm, các thành viên khác ít

động, ý kiến cá nhân được tôn trọng và đi đến

làm, thường ngồi im, xem, quan

thống nhất ý kiến.

sát bạn làm.
Kêt quả học tập chưa cao, thiếu

6. Ghi nhớ kiến thức tại lớp, giờ học thoải mái,

chủ động, phụ thuộc nhiều vào

tính độc lập cao, không chờ đợi, lệ thuộc vào sự

GV.

giúp đỡ của GV. Có kỹ năng tốt hơn

Với lượng kiến thức ngày một nâng cao và khó thêm, học sinh sẽ gặp khó
khăn hơn để ghi nhớ những kiến thức đồ sộ của tất cả các môn học trong đầu. Vì
thế, cho nên rất cần sự truyền đạt kiến thức của thầy, cô giáo tới học sinh một cách
dễ hiểu. Từ đó tôi thấy mình cần phải học hỏi nhiều hơn nữa, nghiên cứu nhiều hơn
nữa những loại sách để bổ trợ cho môn toán. Giúp bản thân mình ngày một vững
vàng hơn về kiến thức và phương pháp giảng dạy, giúp cho học sinh không còn coi
môn toán là môn học khô khan và đáng sợ nhất. Đồng thời không chỉ với môn đại
số 9 mà tôi cần tiếp cận với những mảng kiến thức khác của môn toán để làm sao

khi giảng dạy kiến thức truyền đạt tới các em sẽ không còn cứng nhắc và áp đặt.
* Kiến nghị:
Đối với giáo viên cần có thời gian nghiên cứu. Trong quá trình giảng dạy
phải giúp học sinh tổng hợp các kiến thức đã học từ đo giúp các em tự tin hơn và có
một nền tảng kiến thức vững chắc để học THPT
Với kết quả của sáng kiến kinh nghiệm này, chúng tôi mong các bạn đồng
nghiệp quan tâm, chia sẻ, góp ý để tôi được vững vàng hơn, tự tin hơn trong sự
nghiệp trồng người, hoàn thành tốt các nhiệm vụ GD của cấp trên và ngành trên
giao phó.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

IV. Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền.
Tôi xin cam kết không sao chép và vi phạm bản quyền
Nam Mỹ, ngày 1 tháng 02 năm 2016

22


Duyệt của Tổ chuyên môn

Người viết sáng kiến kinh nghiệm

Ngô Thị Thuý Mai
CƠ QUAN ĐƠN VỊ
ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
(xác nhận)
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
.
(Ký tên, đóng dấu)

PHÒNG GD&ĐT
(xác nhận, đánh giá, xếp loại)
( ký tên, đóng dấu)

TÀI LIỆU THAM KHẢO:
Chủ biên

Nhà xuất bản

SGK Toán 9… . ………… Phan Đức Chính …………Giáo dục
SBT Toán 9 ………………Phan Đức Chính …………Giáo dục
SGVToán 9…………………………………… ……… Giáo dục
Sách nâng cao và phát triển T9 ………………………Giáo dục
Ôn luyên toán THCS

Vũ Hữu Bình

……… Giáo dục

Chuyên đề Phương trình bậc hai … Nguyễn Văn Hinh …NXB Hà Nội

23


24


25