skkn sử dụng phương pháp phân tích đi lên để tìm tòi lời giải cho bài toán

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN 1
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
NGƯỜI VIẾT:Nguyễn Khải Minh

A. PHẦN MỞ ĐẦU:
I. BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI:
Đề tài được thực hiện trong tháng 12 năm học 2011– 2012. Nhằm giúp:
- Cho giáo viên có thêm kinh nghiệm trong công tác giảng dạy.
- Học sinh được củng cố kỹ năng giải bài tập, lấy lại lòng tự tin trong học tập
bộ môn.
II. LÝ DO CHON ĐỀ TÀI:
Một trong những yêu cầu đặt ra của đổi mới phương pháp dạy học là tích cực
hoá hoạt động học tập của học sinh dưới sự tổ chức, hướng dẫn của giáo viên. Học
sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát hiện và giải quyết vấn đề và có ý thức vận dụng
linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học vào học tập và thực tiễn. Trong trường phổ
thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải
toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Quá trình giải toán - đặc biệt là
giải toán hình học là quá trình rèn luyện phương pháp tư duy, suy nghĩ, phương
pháp tìm tòi và vận dụng kiến thức vào thực tế. Giải toán thực chất là hình thức để
củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện được những kĩ năng cơ bản trong môn toán.
Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên cần giúp học sinh
chuyển từ thói quen thụ động sang thói quen chủ động. Muốn vậy giáo viên cần chỉ
cho học sinh cách học, biết cách suy luận, biết tự tìm lại những điều đã quên, biết
cách tìm tòi để phát hiện kiến thức mới. Học sinh cần được rèn luyện các thao tác
tư duy như phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ về
1


quen. Việc nắm vững các phương pháp nói trên tạo điều kiện cho học sinh có thể
đọc hiểu được tài liệu, tự làm được bài tập, nắm vững và hiểu sâu các kiến thức cơ
bản đồng thời phát huy được tiềm năng sáng tạo của bản thân và từ đó học sinh

thấy được niềm vui trong học tập. Chỉ trong quá trình giải toán tiềm năng sáng tạo
của học sinh mới được bộc lộ và phát huy, các em có được thói quen nhìn nhận một
sự kiện dưới những góc độ khác nhau, biết đặt ra nhiều giả thuyết khi phải lý giải
một vấn đề, biết đề xuất những giải pháp khác nhau khi xử lý một tình huống.
Một trong các phương pháp giải toán mà tôi thấy HS tiếp thu và vận dụng tốt là
“phân tích đi lên” để tìm lời giải. Đó là lí do mà tôi giới thiệu sáng kiến đã được
bản thân công phu tìm hiểu. Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy
học môn toán theo tinh thần đổi mới.
III. PHẠM VI ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
+ Phạm vi nghiên cứu trong đề tài là học sinh lớp 8- 9.
+ Đối tượng nghiên cứu: Tất cả các học sinh có cảm giác học hình khó hơn học
toán đại số, và được thực hiện chủ yếu trong các tiết luyện tập, ôn tập, ôn thi.
IV. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
+ Học sinh:
- Giúp học sinh giải quyết những khó khăn khi phân tích, tìm tòi lời giải bài tập
toán, vận dụng được lý thuyết, giả thiết của bài toán vào chứng minh.
- Giúp học sinh ngày càng tự tin hơn khi giải toán hình học.
+ Giáo viên:
- Nâng cao tay nghề trong công tác giảng dạy, rút được nhiều kinh nghiệm hữu
ích trong việc cải thiện kết quả học tập bộ môn hình học cho học sinh.
- Góp phần nâng cao chất lượng học lực của học sinh cuối học kì, cuối năm.
V. ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU:
+ Học sinh ngày càng tự tin hơn trong học tập bộ môn.
+ Học sinh có hứng thú học tập bộ môn hơn, chuẩn bị bài theo yêu cầu của giáo

2


viên tốt hơn, tích cực hơn khi phân tích, tìm tòi lời giải.
+ Kết quả học tập bộ môn ngày càng cải thiện hơn.

B- NỘI DUNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI:
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Dạy học giải toán bao gồm hai nội dung cơ bản:
+ Tìm tòi lời giải bài toán (đường lối).
+ Trình bày lời giải (Diễn đạt).
Trong quá trình giảng dạy hai nội dung này nhiều lúc tiến hành đồng thời nhưng
nhiều khi tách thành hai quá trình. Do vậy trong thực hành cần phân biệt hai nội
dung trên và độc lập với nhau vì:
- Giải một bài toán khi có một đường lối là kết quả của một quá trình bao gồm
nhiều khâu và là cái đích cuối cùng của người làm toán song dù sao quá trình này
vẫn là thứ yếu bởi lẽ dù có kĩ thuật tốt có thành thạo trong các thao tác nhưng chưa
có đường lối thì chưa có lời giải bài toán. Mặt khác trong khâu thực hiện các thao
tác khi đã có phương hướng là giai đoạn lao động có tính chất kĩ thuật không chứa
đựng những yếu tố sáng tạo như trong giai đoạn tìm tòi lời giải.Chỉ trong quá trình
tìm tòi lời giải học sinh mới có cơ hội củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện các
thao tác tư duy, phương pháp suy luận, khả năng phán đoán và lập luận chứng
minh, khả năng phát hiện kiến thức mới, vấn đề mới …
- Mặt khác khi đã có đường lối thì việc trình bày, diễn đạt mới dễ dàng, lôgic,
trật tự, khoa học. Rèn luyện được cho học sinh thói quen sử dụng kí hiệu, thuật ngữ
chính xác và từ đó phát triển được tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác. Giúp học
sinh tự tin hơn, chủ động hơn.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:

3


Về khách quan cho thấy hiện nay năng lực học toán của học sinh còn rất nhiều
thiếu sót; đặc biệt là quá trình vận dụng các kiến thức đã học vào bài tập và thực
tiễn. Tỷ lệ học sinh yếu kém còn cao, các em luôn có cảm giác học hình khó hơn

học đại số. Tình trạng phổ biến của học sinh khi làm toán là không chịu nghiên cứu
kĩ bài toán, không chịu khai thác và huy động kiến thức để làm toán. Trong quá
trình giải thì suy luận thiếu căn cứ, trình bày cẩu thả, tuỳ tiện …
Về phía giáo viên phần lớn chưa nhận thức đầy đủ về ý nghĩa của việc dạy giải
toán. Hầu hết giáo viên chưa cung cấp cho học sinh phương pháp giải toán mà chủ
yếu giải toán cho học sinh, chú ý đến số lượng hơn là chất lượng. Trong quá trình
dạy học giải toán giáo viên ít quan tâm đến việc rèn luyện các thao tác tư duy và
phương pháp suy luận. Thông thường giáo viên giải đến đâu vấn đáp hoặc giải
thích cho học sinh đến đó, không những vậy mà nhiều giáo viên coi việc giải xong
một bài toán kết thúc hoạt động. Giáo viên chưa thấy được trong quá trình giải toán
nó giúp cho học sinh có được phương pháp, kĩ năng, kinh nghiệm, củng cố, khắc
sâu kiến thức mà còn bổ sung nguồn kiến thức mới phong phú mà tiết dạy lý thuyết
mới khó thực hiện được.
III. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN:
1- Rèn luyện phẩm chất trí tuệ thông qua giải toán.
* Tính linh hoạt biểu hiện ở các mặt sau:
+ Kĩ năng thay đổi phương hướng giải quyết vấn đề phù hợp với sự thay đổi của
các điều kiện, biết tìm ra phương pháp mới để giải quyết vấn đề.
+ Kĩ năng xác lập sự phụ thuộc giữa các kiến thức theo trật tự ngược lại với cách
đã học.
+ Kĩ năng nhìn một vấn đề theo nhiều quan điểm khác nhau.
* Tính độc lập biểu hiện:
4


+ Kĩ năng tự mình thấy được vấn đề cần giải quyết, tự mình giải đáp vấn đề đó
không đi tìm lời giải có sẵn, không dựa vào ý nghĩ của người khác.
+ Có khả năng đánh giá ý nghĩ của người khác và tự đánh giá ý nghĩ của bản
thân.
* Tính sáng tạo biểu hiện:

+ Tự mình biết tìm ra phương pháp ngắn gọn, hay nhất, phát hiện kiến thức mới
từ vấn đề.
+ Tự mình phát hiện vấn đề và đặt ra vấn đề (Biết khai thác và phát triển bài
toán, biết vận dụng bài toán vào các vấn đề khác, biết tự mở rộng kiến thức, …).
2- Các biện pháp để rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trên:
+ Thường xuyên tập dượt cho học sinh khả năng dự đoán và suy luận có lý, dự
đoán thông qua quan sát, so sánh, khái quát, quy nạp, … để học sinh tự mình phát
hiện vấn đề.
+ Ngoài việc sử dụng thành thạo quy tắc, phương pháp nào đó cần đưa ra các bài
tập có cách giải quyết riêng.
+ Khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải khác nhau của một bài toán. Việc tìm
nhiều lời giải khác nhau của một bài toán gắn liền với việc nhìn vấn đề với nhiều
khía cạnh khác nhau mở đường cho sự sáng tạo phong phú.
+ Rèn luyện cho học sinh khả năng nhanh chóng chuyển từ tư duy thuận sang tư
duy nghịch
+ Đưa ra nhiều bài toán không theo mẫu.
Sau đây tôi xin đưa ra một bài toán minh hoạ các công việc cần làm của giáo
viên khi hướng dẫn học sinh giải toán hình học 9.
IV. PHẦN VẬN DỤNG:
Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Đường thẳng
vuông góc với AB kẻ qua B cắt (O) và (O’) lần lượt tại các điểm C và D. Lấy điểm
M trên cung nhỏ CB. Đường thẳng MB cắt (O’) tại N, CM cắt DN tại P.
5


a) ∆ AMN là tam giác gì? tại sao?
b) Chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp.
c) Gọi Q là giao điểm của AP với (O’). Tứ giác BCPQ là hình gì? tại sao?

Hướng dẫn tìm tòi lời giải:

a)- HS dự đoán thông qua quan sát: (∆AMN cân tại A)
Chứng minh: ∆AMN cân tại A
⇑
·AMB = ·ANB

(?1)

⇑

1 ¼
1
AnB
(?2) ·AMB = sd AmB
và ·ANB = sd ¼
2

⇑

(Góc nội tiếp)

2

và ¼
AmB = ¼
AnB

⇑

⇑

( Góc nội tiếp) ( (O) bằng (O’))

(?1) Chứng minh ∆ AMN cân bằng cách nào?
(?2) Chứng minh như thế nào để có ·AMB = ·ANB ?
Từ sơ đồ học sinh trình bày lời giải:
·AMB = 1 sd ¼
AmB ( Góc nội tiếp ) (1)
2

6


·ANB = 1 sd ¼
AnB ( Góc nội tiếp ) (2)
2

(O) bằng (O’) nên ta có: ¼
AmB = ¼
AnB (3)
Từ (1), (2) và (3) ⇒ ·AMB = ·ANB ⇒ ∆ AMN cân tại A.
b)

Chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp
⇑

(?3)

·ACP + ·ADP = 1800
⇑

(?4)

·ACP + ·ADP = ADN
·
+ ·ADP = 1800 (kề bù)
⇑

(?5)

·ACP = ADN
·
( Góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
⇑

(?6)

¼
AM = »AN
⇑

(?7)

AM = AN
⇑
∆ AMN cân tại A

(?3): Để chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp cần chứng minh điều gì ?
(?4) Góc ADP cộng với góc nào bằng 1800 ? ta cần chứng minh điều gì ?
·
(?5) Muốn chứng minh ·ACP = ADN

cần chứng minh được điều gì ?

(?6) Muốn chứng minh ¼
AM = »AN cần chứng minh được điều gì ?
(?7) Chứng minh AM = AN bằng cách nào ?
Học sinh trình bày lời giải:
∆ AMN cân tại A ⇒ AM = AN ⇒ ¼
AM = »AN ⇒ ·ACP = ·ADN ( Góc nội tiếp chắn hai
cung bằng nhau)
⇒ ·ACP + ·ADP = ·ADN + ·ADP = 1800 (kề bù)

7


⇒ ·ACP + ·ADP = 1800 ⇒ tứ giác ACPD nội tiếp.

c) HS dự đoán ( BCPQ là hình thang )
Để chứng minh BCPQ là hình thang
⇑

(?8)

BQ // CP
⇑

(?9)

·AQB = ·APC ( ở vị trí đồng vị )
⇑

(?10)

·AQB = ·ADC và ·APC = ·ADC
⇑

(? 11)

(=

1 ¼
sđ AnB )
2

⇑

(=

1
sđ »AC ) (?12)
2
⇑

(Tứ giác ACPD nội tiếp )
(?8) Để chứng minh tứ giác BCPQ là hình thang cần chứng minh được điều gì ?
(?9) Muốn chứng minh BQ // CP cần chứng minh được điều gì ?
(?10) Sử dụng phương pháp nào để chứng minh ·AQB = ·APC ?
(?11) Sử dụng phương pháp nào để chứng minh ·AQB = ·ADC ?
(?12) Sử dụng phương pháp nào để chứng minh ·APC = ·ADC ?
Học sinh trình bày:
1

Tứ giác ACPD nội tiếp ⇒ ·APC = ·ADC (= sđ »AC )
2

(4)

1
Mặt khác lại có: ·AQB = ·ADC ( = sđ ¼
AnB ) (5)
2

8


Từ (4) và (5) ⇒ ·AQB = ·APC ( ở vị trí đồng vị ) ⇒ BQ // CP ⇒ Tứ giác BCPQ là
hình thang.
Sau khi giải xong GV cho HS nhắc lại yêu cầu từng phần cách chứng minh, mục
đích:
* Củng cố kiến thức:
+ Trong hai đường tròn bằng nhau hai dây bằng nhau thì hai cung bằng nhau.
+ Góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau.
* Củng cố phương pháp:
+ Phương pháp chứng minh tam giác cân.
+ Phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp bằng cách sử dụng hai góc kề bù để
chỉ ra tổng hai góc đối bằng 1800.
+ Phương pháp chứng minh hai góc bằng nhau theo quan hệ bắc cầu.
+ Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song bằng cách chỉ ra hai góc
ở vị trí đồng vị bằng nhau.
Sau khi củng cố GV khuyến khích học sinh tìm tòi cách giải khác.
b) Cách 2: Dễ thấy tứ giác AMPN nội tiếp vì có hai góc vuông. như vậy nếu tứ
·

·
giác ACPD nội tiếp thì CAD
. Giáo viên củng cố phương pháp chứng minh
= MAN

một tứ giác nội tiếp bằng cách sử dụng tứ giác bên cạnh nội tiếp để chỉ ra tổng hai
góc đối bằng 1800.
c) Cách 3: Nếu tứ giác ACPQ nội tiếp thì ·APM = ·ADC = ·ANB GV củng cố phương
pháp chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp bằng cách chứng minh ·APC = ·ADC
GV: -Em có thể thay đổi yêu cầu phần a, b, c để có một yêu cầu tương tự mà
quá trình chứng minh không thay đổi.

9


- Nếu hai đường tròn không bằng nhau thì kết quả bài toán còn đúng không ? vì
sao ?
GV bổ sung yêu cầu:
d) Chứng minh: PM.PC = PD.PN.
e) Gọi E là điểm đối xứng với D qua N Chứng minh khi M di dộng trên cung nhỏ
BC thì E luôn nằm trên một đường tròn cố định.
GV khuyến khích học sinh tìm cách giải khác.
Trên đây tôi đã trình bày một số công việc cần thiết khi giáo viên tiến hành tổ
chức hướng dẫn học sinh giải toán hình học. Theo tôi nghĩ các việc làm trên có ý
nghĩa to lớn trong quá trình rèn luyện cho học sinh các tư duy hình học. Đương
nhiên đối với mỗi tiết dạy người giáo viên trong khâu soạn bài cũng như lên lớp
cần chuẩn bị chi tiết hơn.
V. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
- Trong quá trình nghiên cứu tôi đã thể nghiệm trên hai đối tượng là học sinh lớp
8 và 9. Trong quá trình giảng dạy vừa thể nghiệm vừa rút kinh nghiệm đồng thời

kiểm tra khảo sát đánh giá bản thân thấy được rằng kết quả ứng dụng tương đối khả
quan có nhiều hiệu quả. Đại đa số các em đều có hứng thú giải hình học, hệ thống
kiến thức được củng cố vững chắc, mỗi học sinh đều có phương pháp suy luận ở
cấp độ nhất định.
- Qua kết quả khảo sát chất lượng và thi học kỳ hơn 50% các em đều đạt điểm
trên trung bình phần hình học ( Năm học 2010 – 2011)
- Kết quả theo dõi và phân tích ( Năm học 2010 – 2011):
+ Số học sinh tích cực: 20/34 gần 58,82%.
+ Số học sinh sử dụng thành thạo kí hiệu và thuật ngữ có kỹ năng diễn đạt tốt:
17/34 đạt 50 %.

10


+ Còn lại số học sinh cần sự gợi ý giúp đỡ của GV bằng các câu hỏi gợi ý hướng
dẫn từ dễ đến khó.

C. PHẦN KẾT LUẬN:
I. BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
1) Đối với giáo viên:
+ Cần truyền đạt thông tin đến các em một cách ngắn gọn dễ hiểu.
+ Chuẩn bị tốt hệ thống các câu hỏi phù hợp mang tính gợi mở, kích thích tư
duy, suy nghĩ của học sinh.
+ Cần tái hiện kiến thức cũ thông qua một số bài tập đơn giản, một số bài tập
tương tự, để các em có điều kiện rèn luyện kỹ năng giải toán.
+ Tạo thêm niềm tin cho các em bằng cách tạo điều kiện để các em, trả lời
đúng một câu hỏi gợi ý của giáo viên, giải đúng một câu qua đó khen ngợi, tuyên
dương các em.
+ Chú ý thường xuyên kiểm tra kỹ năng giải toán của học sinh trên vở, trên
bảng để kịp thời uốn nắn học sinh.

2) Đối với học sinh:
+ Cần chuẩn bị tốt các kiến thức cũ, làm bài tập đầy đủ theo hướng dẫn của
giáo viên.
+ Có tinh thần tự giác học tập:
- Ở lớp chú ý nghe giảng, suy nghĩ và tham gia trả lời các câu hỏi gợi ý
của thầy cô, để chủ động tìm ra lời giải, để lĩnh hội kiến thức mới, ôn tập kiến thức
cũ.
- Ở nhà tích cực học thuộc lí thuyết các phương pháp chứng minh cơ
bản, giải lại các ví dụ.
- Mạnh dạn trao đổi với bạn bè, Thầy - Cô những yếu kém của mình để
được bạn và Thầy - Cô giúp đở.
II. Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI:
11


- Cùng với kết quả trên đề tài có ứng dụng thiết thực trong việc vận dụng đổi
mới PPDH trong quá trình dạy học hiện nay. Dạy học theo hướng trên rèn luyện
cho học sinh kỹ năng thực hành giải toán cũng như kỹ năng vận dụng các kiến thức
đã học vào thực tế đời sống. Từ đó các em phát triển được các phẩm chất trí tuệ cần
thiết của người học toán. Đặc biệt là tính tích cực, chủ động, linh hoạt, sáng tạo.
Không những vậy nó còn thể hiện một mục tiêu cũng không kém phần quan trọng
là dạy người thông qua dạy chữ.
- Riêng đối với bản thân tôi luôn có ý thức nghiên cứu tìm tòi và áp dụng những
phương pháp có hiệu quả nhất trong quá trình dạy học của mình.
III. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRIỂN KHAI:
Đề tài sử dụng phương pháp “ Phân tích đi lên” để tìm tòi lời giải một bài toán
được thực hiện trên cơ sở đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính
tích cực của học sinh. Đề tài được triển khai thực hiện cho tất cả các giáo viên
trong tổ toán. Đề tài đã và đang thực hiện từng tiết dạy kể cả các tiết dạy định lý
-khái niệm. Đề tài khi thực hiện đã góp phần giảm tỉ lệ yếu kém bài kiểm tra môn

hình học . So sánh bài kiểm tra một tiết ở HKI và HKII năm học 2010 - 2011 phần
hình học :
+ Bài 1 có 21/104 học sinh có điểm dưới 5.
+ Bài 2 có 10/104 học sinh có điểm dưới 5.
IV. KIẾN NGHỊ , ĐỀ XUẤT: Không.
Những vấn đề đã được trình bày ở trên là tập hợp những kinh nghiệm của bản
thân để nhận định về đề tài. Rất mong được sự góp ý của các bạn đồng nghiệp, để
khi thực hiện đề tài đạt hiệu quả hơn.
Thực hiện tháng 12/ 2011
Người thực hiện
Nguyễn Khải Minh

12


13