Chương II. §3. Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

NHIỆT LIỆT CHÀO MỪNG

HỘI GIẢNG CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2016 - 2017


HÌNH HỌC 10
CHƯƠNG 1

CHƯƠNG 2

CHƯƠNG 3

Véctơ

Tích vô hướng
của hai véctơ và
ứng dụng

Phương pháp
tọa độ trong mặt
phẳng

Bài 1
Giá trị lượng giác
của một góc bất kì
từ 00 đến 1800

Bài 2
Tích vô hướng
của hai véctơ

Bài 3
Các hệ thức lượng
trong tam giác và
giải tam giác

3.1
Định lí Côsin

3.2
Định lí Sin

3.3 Công thức
tính diện tích
tam giác

3.4 Giải tam
giác và ứng
dụng vào đo đạc


Bài toán 1: Giả sử cho hai tàu thuỷ cùng xuất phát từ một
vị trí với vận tốc v1 = 5 hải lí một giờ và v2 = 10 hải lí một
giờ, đi thẳng theo hai hướng hợp với nhau một góc 900. Hỏi
sau một giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí ?

5 hải lí

B

?

5 hl/h

o
90
A 10 h
l/h

10 hải lí

C


Bài toán 2: Giả sử cho hai tàu thuỷ cùng xuất phát từ một
vị trí với vận tốc v1 =5 hải lí một giờ và v2 = 10 hải lí một
giờ, đi thẳng theo hai hướng hợp với nhau một góc 450. Hỏi
sau một giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí ?

B

l/
h
5

h

ả
5h

o
45
A 10 hl/h

?

i lý

C
10 hải lý


3.1 ĐỊNH LÍ CÔSIN


BÀI3.1
3.1ĐỊNH
ĐỊNHLÍ
LÍCÔSIN
CÔSIN
BÀI

MỤC TIÊU TIẾT HỌC
Trình bày được định lí côsin, hệ quả của định lí côsin
trong tam giác;

Tính được độ dài một cạnh khi biết độ dài hai cạnh và
một góc xen giữa hai cạnh đó của tam giác; Tính được
các góc của tam giác khi biết độ dài ba cạnh;
Rèn luyện khả năng tư duy, tính tự giác và sáng tạo

trong hoc tập; Ý thức được ứng dụng của bài học
trong thực tiễn cuộc sống.


3.1ĐỊNH
ĐỊNHLÍ
LÍCÔSIN
CÔSIN
3.1

1. Bài toán
Cho tam giác ABC bất kì, biết hai cạnh AB, AC và góc A,
hãy tính cạnh BC.
A

Giải

uuur2
Ta có: BC = BC uuu
ru2u
Hãy so2uu
sánh
u
r
u
r 2
BC
BC
giữa = AC
và − AB

B
uuur 2 uuu
r 2 uuur uuu
r
= AC +uu
AB
ur − 2 AC. AB
uuur uuu
r
BC
2
2
Phân tích
2

(

)

?

= AC
+uurAB − 2 AC . AB .cosA
uuu
ru

n
Vậy

2 , AC

theo AB

BC = AC 2 + AB 2 − 2 AC. AB.cosA

C


3.1ĐỊNH
ĐỊNHLÍ
LÍCÔSIN
CÔSIN
3.1
2. Định lí
Cho tam giác ABC bất kì với BC = a , AC = b, AB = c
22 2 2222 2 22 2
(1)
(2)
(3)
c
bc−−−2.2.2.a−a.bc.2b.cos
a ===aab+++cAB
c.cos
BC =b AC
ACBC
.AAB.cos
A

A

2

b

c
B

a

C


3.1ĐỊNH
ĐỊNHLÍ
LÍCÔSIN
CÔSIN
3.1
2. Định lí

Hệ thức:

a = b + c − 2.b.c.cos A
2
2
2
b = a + c − 2.a.c.cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2.a.b.cos C
2

2

2

(1)
(2)
(3)

Hãytam
phát
biểu
định
lí phương độ
Trong
một
giác
bất
kì:
Bình
Khi
Khiphương
đó định líđộ dài
dài một cạnh
bằng
tổng bình
côsin
?
Vậy khi
thì định lícôsin
côsin trở
trở thành
thành

haiđịnh
cạnh
còn
lại
trừ
đi
hai
lần
tích
của chúng
lí pitago.
định lí quen thuộc
với côsin của góc xen giữanào?
hai cạnh đó.


B
ải
h
5

A

l/
h
5

?

lý

h

o
45
10 hl/

h

10 hải lý

C


Ví dụ 1
Bài toán 2. Biết AB = 5 hải lí, AC = 10 hải lí, góc A = 450
a) Tính BC
B
5
=
c

A

a = ?( hl )

hl

C

450
b =10 hl


Giải

Ví dụ 1

a) Áp dụng hệ thức (1) của định lí côsin
2
2
2
a
=
b
+
c
− 2b.c.cos A
Ta có:

= 10 + 5 − 2.10.5.cos45
2
= 25 + 100 − 100.
2
= 125 − 50 2.
2

2

0

≈ 54,29

⇒ a = 54,29 ≈ 7,37 (hải lí)


Ví dụ 1
Bài toán 2. Biết AB = 5 hải lí, AC = 10 hải lí, góc A = 450
b) Tính các góc B, C

b 2 = a 2 + c 2 − 2.a.c.cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2.a.b.cos C
A

B

(2)
(3) c =5

hl

?

a = 7, 37 (hl )

? C

450
b =10 hl

Ví dụ 1
Bài toán 2. Biết AB = 5 hải lí, AC = 10 hải lí, BC ≈ 7,37 hải lí

Nhóm 1: Tính góc B

Nhóm 2: Tính góc C


µA = 900

3.1ĐỊNH
ĐỊNHLÍ
LÍCÔSIN
CÔSIN
3.1

3. Hệ quả
Cho tam giác ABC bất kì với BC = a , AC = b, AB = c, ta có:
A
22
22
22
Từ bca == ab ++ cbc −− 2.
(3)
2.ab.cb.cos BCA (1)
(2)
222 + c 222 − a 222
b
a bc − cb (4)

⇒ cco
os C
A
=
B
((65))
2.aba..bcc

Khi

c

B

b

a

C


3.1ĐỊNH
ĐỊNHLÍ
LÍCÔSIN
CÔSIN
3.1
*Chú ý: Dấu hiệu nhận biết một góc nhọn hay tù thông
qua các cạnh của Δ ABC :

b2 + c2 − a 2

CosA =
(4)
2.b.c
b2 + c2 − a 2
Góc A nhọn ⇔ cos A > 0 ⇔
> 0 ⇔ a 2 < b2 + c2
2.b.c
Góc A tù

b2 + c 2 − a 2
< 0 ⇔ a 2 > b2 + c 2
⇔ cos A < 0 ⇔
2.b.c


3.1ĐỊNH
ĐỊNHLÍ
LÍCÔSIN
CÔSIN
3.1
*Chú ý: Dấu hiệu nhận biết một góc nhọn, tù hay vuông
thông qua các cạnh của Δ ABC :
Góc A vuông ⇔ a 2 = b 2 + c 2
Góc A nhọn ⇔ a 2 < b 2 + c 2
Góc A tù

⇔ a 2 > b2 + c2

Ví dụ 2
Cho ΔABC có các cạnh a = 1 cm, b=3 cm, c=4 cm.

Hỏi ΔABC có góc tù không?
Ta có:

a 2 = 1; b 2 = 9; c 2 = 16

⇒ c2 > a2 + b2
Vậy Δ ABC có góc C tù


MỘT SỐ CÁC ỨNG DỤNG CỦA
ĐỊNH LÍ CÔSIN TRONG THỰC TIỄN

Muốn đo khoảng cách hai điểm ở hai bên bờ của
đầm lầy.

B

A

Lµm thÕ nµo
®Ó ®o
kho¶ng c¸ch
từ A đến B?


Tính khoảng cách để đào đường hầm
xuyên qua quả núi

A

C
B

n
i
s
ô
c
í
l
h
Địn


BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho ΔABC bất kì với BC = a, AC = b, AB = c. Khẳng định nào
sau đây đúng?
A. a 2 = b 2 + c 2 + 2b.c.cos A.

2
2
2
B. a = b + c − 2.b.c.cos C.

C. a 2 = b 2 + c 2 − 2a.c.cos A.

2
2
2
D. a = b + c − 2b.c.cos A.

Câu 2. Cho ΔABC bất kì với a= 7 cm, b=9 cm, c=4 cm. Giá trị cosA là:
2
A. .
3

B.

1
.
3

2
3

D.

C. - .

1
.
2

Câu 3. Cho ΔABC bất kì với a= 1 cm, b=2 cm, c=3 cm. Khi đó ΔABC là
tam giác:
A. Có ba góc nhọn.
B. Có 1 góc vuông
C. Có 1 góc tù

D. Đều

3.1ĐỊNH
ĐỊNHLÍ
LÍCÔSIN
CÔSIN
3.1
Định lí Côsin

a 2 = b2 + c 2 − 2.b.c.cos A

b2 = a 2 + c 2 − 2.a.c.cos B

c 2 = a 2 + b2 − 2.a.b.cos C

a 2 + c2 − b2
cos B =
2.a.c

a 2 + b2 − c 2
cos C =
2.a.b

Hệ quả

b2 + c2 − a 2
cosA =
2.b.c

b +c −a

cos A =
2bc
2

2

a 2 < b2 + c 2

a 2 = b2 + c 2

Góc A nhọn

Góc A vuông

2

a 2 > b2 + c 2
Góc A tù


3.1ĐỊNH
ĐỊNHLÍ
LÍCÔSIN
CÔSIN
3.1
Dặn dò
Các em về nhà học thuộc các công thức, làm
lại các ví dụ và bài tập 1, 2, 3 trang 59 trong
SGK và đọc trước nội dung tiết học sau.
Làm sao đo

được chiều cao
của tháp mà
không cần chèo
lên đỉnh ?