Giai bai tap hinh hoc lop 10 chuong 3 bai 1 phuong trinh duong thang

Giải bài tập Hình Học lớp 10 Chương 3 Bài 1: Phương trình đường thẳng
Hướng dẫn giải bài tập lớp 10 Bài 1: Phương trình đường thẳng
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Định nghĩa :
vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu
song song hoặc trùng với ∆

≠

và giá của

Nhận xét :
- Nếu là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì k ( k≠ 0) cũng là một
vectơ chỉ phương của ∆ , do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết môt điểm và một vectơ chỉ
phương của đường thẳng đó.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
- Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0 ;y0) và nhận vectơ
= (u1 ; u2) làm vectơ chỉ phương là :
∆:
-Khi hệ số u1 ≠ 0 thì tỉ số k=

được gọi là hệ số góc của đường thẳng.

Từ đây, ta có phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0 ;y0) và có hệ số góc k
là:
y – y0 = k(x – x0)
Chú ý: Ta đã biết hệ số góc k = tanα với góc α là góc của đường thẳng ∆ hợp với
chiều dương của trục Ox

Thư viện đề thi thử lớn nhất Việt Nam


3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Định nghĩa: Vectơ được gọi là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu
và vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆

≠

Nhận xét:
- Nếu
là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì k (k ≠ 0) cũng là một
vectơ pháp tuyến của ∆, do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến.
- Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến
của nó.
4. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Định nghĩa: Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0, được
gọi là phương trinh tổng quát của đường thẳng.
Trường hợp đặc biết:
+ Nếu a = 0 => y =

; ∆ // Ox

+ Nếu b = 0 => x =

; ∆ // Oy

+ Nếu c = 0 => ax + by = 0 => ∆ đi qua gốc tọa độ
+ Nếu ∆ cắt Ox tại (a; 0) và Oy tại B (0; b) thì ta có phương trình đường thẳng ∆
theo đoạn chắn:

+

=1

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Xét hai đường thẳng ∆1 và ∆2
có phương trình tổng quát lần lượt là :
a1x+b1y + c1 = 0 và a 2+ b2y +c2 = 0
Điểm M0(x0 ;y0) là điểm chung của ∆1 và ∆2 khi và chỉ khi (x0 ;y0) là nghiệm của
hệ hai phương trình:
(1)
Ta có các trường hợp sau:
a) Hệ (1) có một nghiệm: ∆1 cắt ∆2

Thư viện đề thi thử lớn nhất Việt Nam


b) Hệ (1) vô nghiệm: ∆1 // ∆2
c) Hệ (1) có vô số nghiệm: ∆1 = ∆2
6.Góc giữa hai đường thẳng
Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành 4 góc. Nếu ∆1 không vuông góc với
∆2thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2.
Nếu ∆1 vuông góc với ∆2 thì ta nói góc giữa ∆1 và ∆2bằng 900 .Trường hợp ∆1 và
∆2 song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 00. Như vậy
gương giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng 900
Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu là
Cho hai đường thẳng ∆1 = a1x+b1y + c1 = 0
∆2 = a 2+ b2y +c2 = 00
Đặt

=
cos

=

Chú ý:
+ ∆1 ⊥ ∆2 <=> n1 ⊥ n2 <=> a1a2+ b1b2 = 0
+ Nếu ∆1 và ∆2 có phương trình y = k1 x + m1 và y = k2 x + m2 thì
∆1 ⊥ ∆2 <=> k1.k2 = -1.
7.Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ∆ có phương trình ax+by + c = 0 và
điểm M0(x0 ;y0).Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng ∆ kí hiệu là (M0 ;∆),
được tính bởi công thức
d(M0 ;∆) =
II. HƯỚNG DẪN LÀM BÀI
1.Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
a) đi qua điểm M(2; 1) và có vectơ chỉ phương

= (3;4)

b) d đi qua điểm M(-2; 3) và có vec tơ pháp tuyến

= (5; 1)

Hướng dẫn:

Thư viện đề thi thử lớn nhất Việt Nam


Phương trình tham số : d:

b) vì

⊥

= (5; 1) nên ta chọn vectơ

là vec tơ

= (1; -5)

Từ đây ta có phương trình tham số của d:
2.Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a) ∆ đi qua điểm M (-5; -8) và có hệ số góc k = -3
b) ∆ đi qua hai điểm A(2; 1) và B(-4; 5)
Hướng dẫn:
a) Phương trình của ∆ là : y + 8 = -3(x + 5) <=> 3x + y + 23 = 0
b) Đường thẳng ∆ đi qua A(2; 1) và B(-4; 5) nhận vectơ
chỉ phương

= (=6; 4) là một vectơ

Phương trình tham số của ∆ :
∆:
Khử t giữa hai phương trình ta được phương trình tổng quát:
∆ : 2x + 3y - 7 = 0
3.Cho tam giác ABC, biết A(1; 4), B(3; -1) và C(6; 2)
a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC, và CA
b) Lập phương trinh tham số của đường thẳng AH và phương trình tổng quát
của trung tuyến AM
Hướng dẫn:

a) Ta có
= (2; -5). Gọi M(x; y) là 1 điểm nằm trên đường thẳng AB thì AM =
(x - 1; y - 4). Ba điểm A, B, M thẳng hàng nên hai vec tơ
và
cùng
phương, cho ta:
=

<=> 5x + 2y -13 = 0

Đó chính là phương trình đường thẳng AB.
Tương tự ta có phương trình đường thẳng BC: x - y -4 = 0

Thư viện đề thi thử lớn nhất Việt Nam


phương trình đường thẳng CA: 2x + 5y -22 = 0
b) Đường cao AH là đường thẳng đi qua A(1; 4) và vuông góc với BC.
= (3; 3) =>
⊥
nên
tuyến và có phương trình tổng quát:

nhận vectơ

= (3; 3) làm vectơ pháp

AH : 3(x - 1) + 3(y -4) = 0
3x + 3y - 15 = 0
=> x + y - 5 = 0

Gọi M là trung điểm BC ta có M ( ; )
Trung tuyến AM là đường thẳng đi qua hai điểm A, M. Theo các viết phương trình
đường thẳng đi qua hai điểm trong câu a) ta viết được:
AM : x + y - 5 = 0
4.Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M(4; 0) và N(0;
-1)
Hướng dẫn:
Phương trình đường thẳng MN:
+

=1

=> x - 4y - 4 = 0

5.Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:
a) d1 4x - 10y + 1 = 0

;

d2 : x + y + 2 = 0

b)d1 :12x - 6y + 10 = 0 ;

d2 :

c) d1 :8x + 10y - 12 = 0 ;

d2 :

Hướng dẫn:

a) Xét hệ
D = 4.1 = 10.1 = -6 ≠ 0
Vậy d1 và d2 cắt nhau

Thư viện đề thi thử lớn nhất Việt Nam


b) Tương tự, ta có: d1 :12x - 6y + 10 = 0 ;
d2= 2x - y - 7 = 0
D = 12 . (-1) -(-6).2 = -12 + 12 = 0
Dx = (-6) . (-7) - (-1). 10 = 42 + 10 = 52 ≠ 0
Vậy d1 // d2
c) Tương tự, ta có d1: 8x + 10y - 12 = 0
d2: 4x + 5y - 6 = 0
D

= 8 . 5 - 4 . 10 = 0

Dx = 10. (-6) - (-12) . 5 = 0
Dy = (-12) . 4 - (-6) . 8 = 0
Vậy d1 trùng d2
Chú ý:
1. Ta có thể thấy 8x + 10y - 12 = 0 ; <=> 4x + 5y -6 = 0
d1 và d2
cùng có phương trình là 4x + 5y -6 = 0
Vậy chúng trùng nhau.
2. Ta cũng có thể giải bằng cách xét vectơ chỉ phương:
d1 có vectơ chỉ phương
d2 vectơ chỉ phương
Vì

≠

=>

= (10; 4)
= (2; -2)

và

không cùng phương => Vậy d1 và d2 cắt nhau

7. Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d1 và d2
lần lượt có phương trình:
d1 : 4x - 2y + 6 = 0

và

d2 : x - 3y + 1 = 0

Hướng dẫn:
Áp dụng công thức

cos

=

Thư viện đề thi thử lớn nhất Việt Nam

ta có

cos

=> cos

=

=
=

=

=>

= 450

8. Tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau:
a) A(3; 5)

∆ : 4x + 3y + 1 = 0;

b) B(1; -2) d: 3x - 4y - 26 = 0;
c) C(1; 2)

m: 3x + 4y - 11 = 0;

Hướng dẫn:
Áp dụng công thức:
d(M0 ;∆) =

a)

d(M0 ;∆) =

b) d(B ;d) =

=
=

=

=3

c) Dễ thấy điểm C nằm trên đường thẳng m : C ε m
9. Tìm bán kính của đường tròn tâm C(-2; -2) và tiếp xúc với đường thẳng
∆ : 5x + 12y - 10 = 0 .
Hướng dẫn:
Bán kính R của đường tròn tâm C(-2; -2) và tiếp xúc với đường thẳng
∆ : 5x + 12y - 10 = 0 thì bằng khoảng cách từ C đến ∆
R = d(C ;∆) =
=> R =

=

Thư viện đề thi thử lớn nhất Việt Nam