30 bài tập Tổng hợp về khoảng cách có lời giải chi tiết

30 bài tập - Tổng hợp về khoảng cách - File word có lời giải chi tiết
Câu 1. Cho mặt phẳng  P  và hai điểm A, B không nằm trong  P  . Đặt d1   A,  P   và d2   B,  P   .
Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?
A.

d1
 1 khi và chỉ khi AB song song với  P  .
d2

B.

d1
 1 khi và chỉ khi đoạn thẳng AB cắt  P  .
d2

C. Nếu

d1
 1 thì đoạn thẳng AB cắt  P  .
d2

D. Nếu đường thẳng AB cắt  P  tại điểm I thì

IA d1
 .
IB d 2

Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  .
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. d  A,  SBC    AH

B. d  A,  SBC    AK

C. d  C,  SAB    BC

D. d  S ,  ABC    SA

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt
phẳng đáy, SA  a . Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng  SAB  nhận giá trị
nào sau đây?
A.

a 2
2

B. a

C. a 2

D. 2a

Câu 4. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau và OA  3a, OB  2a, OC  a . Gọi d
là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC. Khi đó, tỉ số
A.

2
3

B.

5

7

a
bằng:
d
C.

3
8

D.

6
5

Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, SA   ABC  và SA  a 6 . Gọi M là
trung điểm của BC, khi đó khoảng cách từ A đến đường thẳng SM bằng:
A. a 2

B. a 3

C. a 6

D. a 11

Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với mặt phẳng
 ABC  . Biết SA  a, AB  b . Khi đó, khoảng cách từ trung điểm M của AC tới mặt phẳng  SBC  bằng:
A.

ab

a 2  b2

B.

2ab
a 2  b2

C.

ab 3
a 2  b2

D.

ab
2 a 2  b2


Câu 7. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng b và đường cao SH  a . Khoảng cách từ H
đến mặt phẳng  SBC  bằng:
A.

2ab
12a 2  b 2

ab

B.

12a 2  b 2

ab

C.

a 2  b2

ab 3

D.

a 2  b2

Câu 8. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng b và đường cao SO  a . Tính khoảng cách
từ A đến mặt phẳng  SCD  bằng:
A.

ab
4a 2  b 2

ab 3

B.

4a 2  b 2

2ab

C.

4a 2  b 2

D.

ab
2 4a 2  b 2

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, bốn cạnh bên đều bằng 3a và AB  a ,

BC  a 3 . Khoảng cách từ S đến mặt phẳng  ABCD  bằng:
A. 2a 3

B.

a 3
2

C. 2a 2

D. a 2

Câu 10. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy bằng a và AA '  a . Khoảng cách giữa AB ' và
CC ' :
A.

a 2
3

B.

a
2

C.

a 2
2

D.

a 3
2

Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, biết 2SA  AC  2a và SA vuông
góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  bằng:
A.

4a 3
3

B.

2a 6
3

C.

a 3
3

D.

a 6
3

Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giac vuông tại B với AB  a , BC  2a và
SA   ABC  . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SAC  bằng:
A.

2a 5
5

B.

2a
5

C.

a 5
5

D.

a
5

Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc nhau và SA  SB  SC  a . Khi đó
khoảng cách từ S đến mặt phẳng  ABC  bằng:
A.

a
2

B.

a
3

C.

a
2

D.

a
3

Câu 14. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng đáy. Nếu AB  a thì khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SAC  bằng:
A.

2a 15
5

B.

a 15
5

C.

a 5
5

D.

2a 5
5


Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có AB  a, AC  2a, BAC  120 . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy
và mặt phẳng  SBC  tạo với đáy một góc 60°. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  bằng:
A.

3a
7

B.

3a 7
2

C.

a 7
2

D.

2a 7
3

Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khi đó, khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SCD  bằng:
A.

a 21
3

B.

a 21
14

C.

a 21
7

D.

a 21
21

Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và cạnh bên SC hợp
với đáy một góc 45°. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  bằng
A.

a 2
3

B.

2a 6
3

C.

a 6
3

D.

2a 2
3

Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA  2a . Nếu
điểm M thuộc đoạn AD thì khoảng cách từ M đến  SBC  bằng
A.

a 5
5

B.

2a 5
5

C.

a
5

D.

a 6
3

Câu 19. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB '
và AC bằng
A.

a
2

B.

Câu 20. Cho hình lập phương

a
3

C.

a 2
2

D.

a 3
3

Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề
khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ

Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
có cạnh bằng 1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ' và BD ' bằng
A.

3
3

B.

2
2

C.

2 2
5

D.

3 5

7

Câu 21. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A ' lên
 ABC  trùng với trung điểm H của AC. Biết A ' H  3a . Khi đó, khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng

 ABB ' A ' bằng


A.

6a
7

B.

5a
7

C.

3a
7

D.

4a
7

Câu 22. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng
 A ' BC  bằng

A.

a 3
2

B.

a 2
2

C.

a 5
2

D.

a
2

Câu 23. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có AA '  AB  a . Gọi M là trung điểm của CC ' , khi đó
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  A ' BM  bằng:
A.

a 3
2

B.

a 5

2

C.

a
2

D.

a 2
2

Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA   ABCD  , SA  a . Gọi G là trọng tâm
tam giác ABD, khi đó khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng  SBC  bằng
A.

a 2
2

B.

a
2

C.

a 2
6

D.

a 2
3

Câu 25. Cho hình lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, hình chiếu của
A ' lên  ABCD  trùng với O. Khoảng cách từ điểm B ' đến mặt phẳng  A ' BD  bằng
A.

a 3
2

B.

a 2
2

C.

a
2

D.

a 5
2

Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB  2a , AD  a ,
CD  a . Cạnh SA vuông góc với đáy và mặt phẳng  SBC  hợp với đáy một góc 45°. Gọi d là khoảng
cách từ điểm B đến  SCD  , khi đó tỉ số
A. 2

B. 4

6.d
bằng
a
C. 1

D. 3

Câu 27. Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, mặt bên ABB ' A ' là hình
vuông. Biết B ' C '  a 3 , góc giữa B ' C và mặt phẳng  A ' B ' C ' bằng 30°. Khoảng cách giữa hai đường
thẳng BA ' và B ' C bằng
A.

a
2

B.

3a
2

C. a

D. 2a

Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Khoảng cách từ điểm M đến mặt
phẳng  SCN  bằng

A.

3a 2
2

B.

3a 2
8

C.

3a 2
4

D.

5a 2
2


Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Cạnh SC hợp với
d
đáy một góc 60°, gọi d là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBD  . Khi đó, tỉ số
bằng
a
A.

78
13

B.

18
13

C.

58
13

D.

38
13

Câu 30. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi SH là đường cao của hình chóp.
Khoảng cách từ trung điểm của SH đến  SBC  bằng b. Thể tích khối chóp S.ABCD là
A.

2a 3b
3 a  16b
2

2

B.

a 3b
3 a  16b

2

2

C.

2a 3b
a  16b
2

2

D.

2ab
3


HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn đáp án D
Dựng AK   P  ; BH   P 
Khi đó theo định lý Talet ta có:

IA AK d1


IB BH d 2

Câu 2. Chọn đáp án B
Ta có:

 BC  AB
 BC   SAB   d  C ,  SAB    BC .

 BC  SA

 BC  AH
Lại có: 
 AH   SBC   d  A,  SBC    AH
AH

SB

Mặt khác SA   ABC   d  S ,  ABC    SA .
Câu 3. Chọn đáp án B
Ta có: AB / /CD  d  M ,  SAB    d  D,  SAB  

 AD  AB
Mặt khác 
 AD   SAB 
AD

SA

Do vậy d  M ,  SAB    AD  a .
Câu 4. Chọn đáp án B
Dựng OH  BC ta
OA  BC  BC  AH

có

Khi đó d  A, BC   AH  OA2  OH 2
Mặt khác OH 
Do đó tỷ số

OB.OC
OB 2  OC 2

a
5

.
d
7



2a
4 7a
 AH  9  
5
5
5


Câu 5. Chọn đáp án A
Dựng AH  SM  d  A, SM   AH ; AM 
Xét tam giác SAM vuông tại A ta có:

 2a 

3

2

a 3

1
1
1
 2
 AH  a 2
2
AH
SA
AM 2

Do đó d  a 2 .
Câu 6. Chọn đáp án D

 BC  AB
Do 
 BC   SAB  . Dựng AH  SB  AH   SBC  .
 BC  SA

1
1
Lại có AC  2MC  d  M ,  SBC    d  A,  SBC    AH
2
2

Mặt khác

AH 

SA.SB
SA2  AB 2



ab
a 2  b2

Câu 7. Chọn đáp án B
Gọi E là trung điểm của BC suy ra AE  BC
Dựng HF  SE  HF   SBC   d  H ,  SBC    HF
Lại có AE 

b 3
1
b 3
 HE  AE 
2
3
6

Xét tam giác vuông AHE ta có: HF 



ab

12a 2  b2

 d  H ,  SBC   .

SH .HE
SH 2  HE 2



ab 3
6 a2 

b2
12

 d  M ,  SBC   

ab
2 a 2  b2

.


Câu 8. Chọn đáp án C
Dựng OE  CD; OF  SE . Khi đó d  O,  SCD    OF .
Ta có: OE 

AD b
 .
2

2

Mặt khác AC  2OC nên d  A,  SCD    2d  O,  SCD    2OF
Do đó d 

2.OE.SO
SO 2  OE 2



2ab

.

4a 2  b 2

Câu 9. Chọn đáp án C
Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD
Khi đó SO   ABCD  .
Ta có: AC  AB 2  BC 2  2a  OA  a .
Lại có: SO  SA2  OA2  9a 2  a 2  2a 2
Do vậy d  S ,  ABCD    SO  2a 2 .

Câu 10. Chọn đáp án D
Ta có d  AB ', CC '  d  CC ',  ABB ' A '   d  C ,  ABB ' A '   d  C ,  AB   

a 3
2

Đăng ký mua

file word trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
Câu 11. Chọn đáp án D

 SA  BC
Ta có 
 BC   SAB  , kẻ AH  SB  AH   SBC  .
 AB  BC

 d  A,  SBC    AH 

SA. AB
SA2  AB 2



a.a 2 a 6

.
3
a 3


Câu 12. Chọn đáp án A
Kẻ BH  AC  H  AC  mà SA   ABC   SA  BH

 BH   SAC   d  B,  SAC    BH 

AB.BC
AB 2  BC 2



2a 5
.
5

Câu 13. Chọn đáp án B
Gọi h  d  S ,  ABC   

1
1
1
1
3
a
.
 2 2
 2 h
2
2
h
SA SB
SC
a
3

Câu 14. Chọn đáp án B
Gọi H là trung điểm của BC  SH  BC  SH   ABC  .
Gọi M là trung điểm của AC, kẻ HE / / BM  E  AC   HE  AC
Từ H kẻ HK  SE mà AC   SHE   AC  HK  HK   SAC  .
Xét SHE vuông tại H, có SH 



a 3
BM a 3
, HE 

.
2
2
4

1
1
1
20
a 15


 2  HK 
2
2
2
HK

SH
HE
3a
10

Mặt khác d  B,  SAC    2.d  H ,  SAC    2.HK  d  B,  SAC   
Câu 15. Chọn đáp án A
Từ A kẻ AH  BC  H  BC  , kẻ AK  SH  K  SH  .

 SA  BC
Ta có 
 BC   SAH   AK  BC  AK   SBC  .
 AH  BC

·  KHA
·
 ·
SH , AH   SHA
 60 .
 SBC  ,  ABCD    ·
1
1
a 7
·
 . AH .BC  AH 
Diện tích SABC  . AB. AC.sin BAC
.
2
2
21

Xét AHK vuông tại K, có

·
sin KHA


AK
a 21 3a 7
 AK  sin 60.

.
AH
7
14

Câu 16. Chọn đáp án C
Gọi H là trung điểm của AB  SH  AB .
Gọi M là trung điểm của CD  HM  CD .
Ta có  SAB    ABCD  mà SH   ABCD   SH  CD .

a 15
.
5


Khi đó CD   SHM  ,
kẻ HK  SM  K  SM   HK   SMH  .
Xét SMH vuông tại H, có
2

HK 

a2 3  a 3 
a 21
.

: 
 a2 

2
2
2
2
7
SH  HM


SH .HM

Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851


Câu 17. Chọn đáp án C
Ta có AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng  ABC  .

·  45  SA  AC  a

SC,  ABC    ·
SC , AC   SCA
·

2.

 SA  BC
Lại có 
 BC   SAB  , kẻ AH  SB  AH   SBC  .
 AB  BC

 d  A,  SBC    AH 

a2 2 a 6


.
3
a 3
SA2  AB 2
SA. AB

Câu 18. Chọn đáp án B
Ta có AD / / BC  d  M ,  SBC    d  A,  SBC  

 BC  AB
Kẻ AH  SB ta có 
 BC   SAB   BC  AH
 BC  SA
Mà AH  SB  AH   SBC 

Ta có

1
1
1
5
2a 5


 2  AH 
2
2
2
AH
AS
AB
4a
5

 d  M ,  SBC   

2a 5
.
5

Câu 19. Chọn đáp án C
Do

BB '/ / AA '  d  BB ', AC   d  BB ',  ACA '   d  B,  ACA ' 
Gọi O là giao điểm của AC và BD  BO  AC

 BO  AC
Ta có 
 BO   ACA '
 BO  AA '
Ta có BO 

1
a 2
BD 
.
2
2


Câu 20. Chọn đáp án B
Do AA '/ / DD '

 d  AA ', BD '  d  AA ',  BDD '   d  A,  BDD ' 
Gọi O là giao điểm của AC và BD

 AO  BD
Ta có 
 AO   BDD '
 AO  DD '
Ta có AO 

1
2
AC 

.
2
2

Câu 21. Chọn đáp án A
Ta có d  C,  ABB ' A '   2d  H ,  ABB ' A ' 

 AB  HE
Kẻ HE  AB, HF  SE ta có 
 AB   A ' HE 
AB

A
'
H

 AB  HF mà HF  A ' E  HF   ABB ' A '

1
1 a 3 a 3

Ta có HE  CM  .
2
2 2
4
Ta có

1
1
1

49
3a


 2  HF 
2
2
2
HF
HA ' HE
9a
7

 d  C ,  ABB ' A '  

6a
.
7

Câu 22. Chọn đáp án B
Do AD / / BC  d  D,  A ' BC    d  A,  A ' BC  

 BC  AB
Kẻ AH  A ' B ta có 
 BC   A ' AB   BC  AH
 BC  AA '
Mà AH  A ' B  AH   A ' BC 
Ta có

1

1
1
2
a 2


 2  AH 
.
2
2
2
AH
AB
AA '
a
2


Câu 23. Chọn đáp án D
Ta có d  M ,  ABA '   d  C,  ABA ' 

CH  AB
Kẻ CH  AB ta có 
 CH   ABA '
CH  AA '
Ta có S A ' AB 

1
a2
a 3

a3 3
AA '. AB  ; CH 
 VA ' ABM 
2
2
2
12

Ta có A ' B  a 2; A ' M  BM  A ' C '2  C ' M 2 

 S A ' MB 

a 5
2

a2 6
3V
2
 d  A,  A ' BM    A ' ABM 
.
4
VA ' MB
2

Câu 24. Chọn đáp án D

2
Ta có d  G,  SBC    d  A,  SBC  
3
 BC  AB

Kẻ AH  SB ta có 
 BC   SAB   BC  AH
 BC  SA
Mà AH  SB  AH   SBC 
Ta có

1
1
1
2
a 2




AH

AH 2 AS 2 AB 2 a 2
2

 d  G,  SBC   

2
a 2
AH 
.
3
3

Câu 25. Chọn đáp án B

Gọi I  AB  A ' B '  IB '  IA

 d  B ',  A ' BD    d  A,  A ' BD  

 AO  BD
Ta có 
 AO   A ' BD 
 AO  A ' O

 d  A,  A ' BD    AO 
 d  B ',  A ' BD   

a
.
2

AB
a

2
2


Câu 26. Chọn đáp án A
Gọi I là trung điểm của cạnh AB  IA  IB  a .
Ta có BC 2  IB2  IC 2  a2  a 2  2a 2 .
Mà AC 2  AD2  CD2  2a2  AC 2  BC 2  4a2  AB2

·  45  SA  AC  a 2
 AC  BC  SCA

Kẻ AH  SD  HD   d  AH



1
1
1
1
1
2
d 6
 2
 2  2 d a

 2.
2
2
d
SA
AD
2a
a
3
a

Câu 27. Chọn đáp án A
Dựng hình bình hành A ' B ' PB như hình vẽ.
Ta có A ' B / / PB '  A ' B / /  B ' CP 

 d  d  A ' B, B ' C   d  B,  B ' CP   

Lại có tan 30 

3VB ' PBC
VB ' PC

CC '
1

 CC '  a
B 'C '
3

 AA '  a  AB  a  AC  a 2

1
a3
Ta có 3VB ' PBC  B ' B.S PBC  a.S ABC  a. a.a 2 
.
2
2

B ' P  A ' B  a 2


Lại có  B ' C  CC '2  B ' C '2  a 2  3a 2  2a

2
2
2
2

 PC  AC  PA  2a   2a   a 6

1
 B ' CP vuông tại B '  S B ' PC  .2a.a 2  a 2
2

a3
a
2d  2 2  .
a 2 2


Câu 28. Chọn đáp án B
Ta có ngay SM   ABCD  và SM 

AB 3 a 3

.
2
2

Kẻ MK  NC tại K và MP  SK
tại P  d  d  M ,  SCN    MP .
Lại có SMNC 
Mà



1
3a 2

MK .CN  S ABCD  S AMN  SCDN  S MBC 
2
8

3a 2 1
3a 2 / 4
 MK .NC  MK 

8
2
CN

3a 2
a2
4 a 
4



2

3a
2 5

1
1
1
4
20
32

3a
3a 2


 2  2  2 d 

.
2
2
2
d
SM
MK
3a 9a
9a
8
4 2

Câu 29. Chọn đáp án A
Gọi O  AC  BC , kẻ AP  SO  P  SO   d  AP .

·  60  tan 60  SA  3  SA  AC 3  a 6
Ta có SCA
AC



1
1
1

1
1
6
d
6
 2
 2  2 d a
 
.
2
2
a
d
SA OA
6a
13
a
13
2

Câu 30. Chọn đáp án A
Hình chóp tứ giác đều H  AC  BD và tứ giác ABCD là
hình vuông. Gọi I là trung điểm của cạnh SH

 d  H ,  SBC    2d  I ,  SBC    2b
Tứ diện vuông SHBC 

1

 2b 

2



1
1
1


2
2
HS
HB
HC 2

1
1
1
1
1
4 a 2  16b 2







SH 2 4b 2 a 2 a 2 4b 2 a 2

4 a 2b 2
2
2
2ab
 SH 
2
a  16b 2

 VS . ABCD

1
1
2ab
2a3b
2
 SH .S ABCD  .
.a 
.
3
3 a 2  16b2
3 a 2  16b2