HÀM SỐ LIÊN TỤC

Liªn tôc
Kh«ng liªn tôc

TiÕt 58

1
1
HĐ1: Cho 2 hàm số: f(x)=x
2
; g(x)=
2
2
2
2
2
x
x

+



+

nếu x
nếu -1<x<1
nếu x

=

=

x neỏu x 1
h(x)
2 neỏu x 1
a)Tính f(1), g(1),h(1) và so sánh với
1
lim ( )
x
f x

1
lim ( ),
x
g x

(nếu có)
b)Nhận xét gì về đồ thị mỗi hàm số tại x=1
1
lim ( ),
x
h x

1; 1;
1
lim ( )
x

f x

=1;
1
lim ( )
x
g x


: không tồn tại;
Giải:

=
x 1
lim h(x)
2
Vậy:

= =
x 1
lim h(x) 1 h(1) 2
1
lim ( )
x
f x

= f(1);
1
lim ( )
x

g x

: không tồn tại;
a) f(1)= g(1)= h(1)=
1
lim
x
x

=
1
1
lim ( )
x
h x


=
2;
1
lim ( )
x
h x
+

=
2
1
lim( 2)
x

x
+

+ =
1

* Đồ thị hàm số y=f(x) là một đường liền nét.
* Đồ thị hàm số y= g(x) bị đứt quãng tại điểm có hoành độ x=1.
* Đồ thị hàm số y= h(x) bị đứt quãng tại điểm có hoành độ x=1.
1
lim ( )
x
f x

= f(1);
1
lim ( )
x
g x

: không tồn tại;

= =
x 1
lim h(x) 1 h(1) 2
1
-1
1
O
2

x
y
y=g(x)
b) Nhận xét đồ thị:
o
y
x
2
y=h(x)
1
1

1
0
1
x
y=f(x)y

I. Hàm số liên tục tại một điểm.

K
Định nghĩa 1: Cho hàm số y=f(x) xác
định trên khoảng K và x
0
Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại
x
0
nếu
0
0

lim ( ) ( )
x x
f x f x

=
Hàm số y=f(x) không liên tục tại x
0
được
gọi là gián đoạn tại điểm đó.
Để kiểm tra hàm số y=f(x) có liên
tục tại x
0
không?
+

0
lim ( )
x x
f x

+
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x

=
+ x
0

TXĐ
I. Hàm số liên tục tại một điểm.

Hàm số y=f(x) liên tục tại x
0

nếu:
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x

=
+
0
lim ( )
x x
f x

+
+ x
0

TXĐ

I. Hàm số liên tục tại một điểm.
Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số
( )

2
x
f x
x
=

tại x
0
=3
Giải:
Hàm số y=f(x) có tập xác định:
x
0
= 3

TXĐ
Có
3
lim ( )
x
f x

=
=3
Vậy hàm số liên tục tại x
0
= 3.
I. Hàm số liên tục tại một điểm.
Hàm số y=f(x) liên tục tại x
0

nếu:
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x

=
+

0
lim ( )
x x
f x

+
+ x
0

TXĐ
{ }
2
R\
3
lim
2
x
x
x

f(3)= 3
3
lim ( ) (3)
x
f x f

=

I. Hµm sè liªn tôc t¹i mét ®iÓm.
Hµm sè y=f(x) liªn tôc t¹i x
0

nÕu:
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
=
+
∃
0
lim ( )
x x
f x
→
+

+ x
0
∈
TX§
VÝ dô 2:
Cho hµm sè:
2
2 1
( )
2
x
f x
x
+

=

− −

nÕu x<1
nÕu
1x ≥
XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè t¹i x
0
=1
Gi¶i:
Gi¶i:
TX§:
x
0

=1
∈
TX§.
Cã f(1)= -3
1
lim ( )
x
f x
−
→
=
1
lim(2 1)
x
x
−
→
+ =
3
1
lim ( )
x
f x
+
→
=
2
1
lim( 2)
x

x
+
→
− − =
-3
⇒
1
lim ( ) :
x
f x
→
kh«ng tån t¹i
VËy hµm sè gi¸n ®o¹n t¹i x
0
=1
R
R

∀
∈
VÝ dô 3: Cho hµm sè f(x)=x
2
– 2x
CMR: hµm sè liªn tôc víi x
0
(0;3)
CM:
Suy ra hµm sè x¸c ®Þnh :
0
(0;3);x∀ ∈

0
(0;3)x∀ ∈
ta cã:
0
lim ( )
x x
f x
→
=
2
0
x
0
2x−
0
( )f x=
VËy hµm sè liªn tôc víi
0
(0;3)x∀ ∈
I. Hµm sè liªn tôc t¹i mét ®iÓm.
Hµm sè y=f(x) liªn tôc t¹i x
0

nÕu:
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
→

=
+
∃
0
lim ( )
x x
f x
→
+
+ x
0
∈
TX§
TX§:
R
R

II. Hàm số liên tục trên một
khoảng.
II. Hàm số liên tục trên một
khoảng.
Định nghĩa 2:
Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên
một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm
thuộc khoảng đó.
Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên
đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên (a;b) và
lim ( ) ( );
x a
f x f a

+

=
lim ( ) ( )
x b
f x f b


=
x a
x b
f ( x )
)
lim f ( x ) f ( a )
lim f ( x ) f ( b )
b) liên tục trên [a;b] nếu:
f(x) liên tục trên (a;b)
+)
+)
+
-
đ
đ
ỡ
ù
ù
+
ù
ù
ù

=
ớ
ù
ù
ù
=
ù
ù
ợ
( )
a ) f ( x )
a;b
liên tục trên (a;b)
nếu nó liên tục tại
mọi điểm thuộc
I. Hàm số liên tục tại một điểm.
Hàm số y=f(x) liên tục tại x
0

nếu:
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x

=
+

0

lim ( )
x x
f x

+
+ x
0

TXĐ