Bài tập giới hạn hàm số

BÀI TẬP GIỚI HẠN DÃY SỐ - HÀM SỐ - HÀM SỐ
LIÊN TỤC


Bài tập giới hạn dãy số - hàm số

Giới hạn của dãy số
1. Một vài giới hạn đặc biệt:
1
1
lim  0 ; lim k  0 với k  1
x
x
n
lim q n  0

x

x
nếu q  1

Nếu un  c (c là hằng số) thì

lim un  lim c  c

x

x

với k  1
lim q n   nếu q  1

Ta kí hiệu xlim
un  lim un  a

lim n  
k

2. Định lý về giới hạn hữu hạn
a. Nếu lim un  a và lim vn  b thì:
lim  un  vn   a  b
lim  un  vn   a  b
lim  un .vn   a.b
lim

un a
 ; b  0
vn b

b. Nếu un  0 với mọi n và lim un  a thì a  0 và lim un  a
c. Nếu lim un  a và lim vn   thì lim

un
0
vn

d. Nếu lim un  a  0 ; lim vn  0 và vn  0 với mọi n thì lim

un
 
vn

e. Nếu lim un   và lim vn  a  0 thì lim un .vn  
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Cấp số nhân vô hạn  un 
có công bội q, với q  1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn
S

I.

u1
1 q

với  q

 1

Bài tập
Dạng 1: Giới hạn dãy số

un 

f n

g n

, trong đó f  n  ; g  n  là

các đa thức ẩn số n
Cách giải: Chia các số hạng của cả tử và mẫu cho lũy thừa
2

của n có số mũ cao nhất trong dãy un , sau đó dùng các định
lý và giới hạn đặc biệt để tính
Ví dụ 1: Tính

3n3  7n  1
L1  lim 3
4n  3n 2  2

Nhận xét: Số mũ cao nhất của n là n3
Khi

n  

thì n  0 nên chia cả tử và mẫu của

7 1
 3
2
3
n
n
cho n ta được L1  lim
3 2
4 2  3
n
n
7
1
3
2

Vì lim 2  lim 3  lim  lim 3  0 nên
n
n
n
n
7 1
3 2  3
n
n  30 0  3
L1  lim
3 2
4 2  3 400 4
n
n
3n5  2n  4
Ví dụ 2: Tính L2  lim 2
n  4n  3
Nhận xét: Số mũ cao nhất của n là n 5
mẫu cho n 5

3n3  7n  1
4n3  3n 2  2

3

nên ta chia cả tử và

Giải:
2 4
 5

4
3n  2n  4
n n
L2  lim 2
 lim
1 4 3
n  4n  3
 
n3 n 4 n5
2 4
1
4 3
Vì lim  3  4  5   3  0 và lim  3  4  5   0
n n 
n 

n n
2
4
3  4  5
n
n  
L2  lim
1
4
3


n3 n 4 n5
5

3 

Chú ý sai lầm:
3

nên


Bài tập giới hạn dãy số - hàm số

2 4
 5
4
n
n  3  0  0  
L2  lim
1
4 3
000

 5
3
4
n n
n
3n7  8n6  3
Ví dụ 3: Tính L3  lim 8 3
5n  n  2n
3 

(sai)

Nhận xét: Số mũ cao nhất của n là
mẫu cho n8
Giải:

n8

nên ta chia cả tử và

3 8 3
 2 8
3n  8n  3
n
n n  000  0
L3  lim 8

lim
1 2
5n  n3  2n
5 5  7 500
n n
7

6

Từ 3 ví dụ trên ta có nhận xét:
f n
Với dãy số un 

trong đó f  n  ; g  n  là các đa thức ẩn
g n
số n, ta có:
- Nếu bậc f  n   g  n  thì lim un  
- Nếu bậc của f  n   g  n  thì lim un  0
a
b
f n ;

- Nếu bậc f  n   g  n  thì lim un  c  . Trong đó a là hệ
số của n có số mũ cao nhất trong
n có số mũ cao nhất trong g  n 

b là hệ số của

Bài tập rèn luyện:
Dạng 2: Giới hạn dãy số

un 

f n

g n

, trong đó f  n  , g  n  là

các biểu thức có chứa căn thức
Cách giải: Ta chia cả tử và mẫu cho căn n có số mũ cao
nhất của tử và mẫu
4

Ví dụ 4: Tính

lim

Cả tử và mẫu ta

n  n 2  2n  3

3  2n 2  1
chia cho n2  n

n 2  2n  3
1
n  n 2  2n  3
n
lim
 lim
3  2n 2  1
3
2n 2  1

n
n
2 3
1 1  2
n n  2  2
 lim
3

1
 2
 2 2
n
n

Ví dụ 5: Tính L5  lim
Chia tử và mẫu cho

2n  n3  3n  2
1  n 3n  4
n3  n n
2n

L5  lim

2n  n3  3n  2
1  n 3n  4

 lim n

3



1
n

n3  3n  2

3



n3
n 3n  4
n3

n2
n3  3n  2
1
3 2
2 3 
2

1

 3
3
2
n
n
n
n
n  1  3
 lim
 lim
3
1
4

3
1
3n3  4n 2

3


3
n
n
n3
n3

Ví dụ 6:
Tính
Chia

3n7  2n  1
L6  lim
n2  3n  7
tử và mẫu cho 3 n 7
3

5


Bài tập giới hạn dãy số - hàm số
3

3n 7  2n  1

L6  lim
 lim
n 2  3n  7
3

3n 7  2n  1
3

n7
n 2  3n  7
3

n7

2 1
2 1
3 3 

 7
6
7
6
n
n
n
n
 lim
 lim
3 6
1

1
1
n
3 3 n3
1
3
3
3
3

3

7


7
3 7
3 7
n
n4
n7
n7
n
n
3

3 

Vì
2 1

 7  3 3  0
6
n
n
1
1
1
lim 3  3 3 4  7 3 7  0
n
n
n

lim 3 3 

Nên
3n7  2n  1
L6  lim
 
n2  3n  7
3

Dạng 3: Giới hạn dãy un  f  n   g  n  , trong đó f  n  , g  n  là
các đa thức ẩn số n
Cách giải: Ta nhân và chia cho biểu thức liên hợp



Ví dụ 7: Tính L7  lim n2  n  3  n

6





L  lim  n  n  3  n   lim

n2  n  3  n

2



7

n
 lim

2

 n  3  n 2



n2  n  3  n

n2  n  3  n



n3

 lim

n2  n  3  n
n2  n  3  n
 3
3
n 1  
1
1
 n
n
 lim
 lim

2


1 3
1 3
1  2 1
n  1   2  1
n n
n n






3n  2n  1  n 3  3n  2n  1  n 3 

lim
 3n  2n  1  n 3 

Ví dụ 8: Tính L8  lim 3n2  2n  1  n 3
2

2

2

 lim

3n 2  2n  1  3n 2

2n  1

 lim

3n 2  2n  1  n 3
3n 2  2n  1  n 3
2n  1
1
2
n
n
 lim
 lim
2

2
3n  2n  1  n 3
3n  2n  1
 3
n
n2
1
2
n
 lim
2 1
3  2  3
n n


1
2 1
Vì lim  2    2  0 và lim  3   2  3   0
n
n n



1
n
lim
 
2 1
3  2  3
n n

2





Vậy L8  lim 3n2  2n  1  n 3  
7

nên




Bài tập giới hạn dãy số - hàm số

* Dạng 4: Giới hạn của dãy có chứa số mũ là n
Thông thường ta chia tử và mẫu cho lũy thừa có cơ số lớn nhất.
Sau đó ta sử dụng có phép biến đổi sau để tính
an  a 
 
bn  b 

n

; a n .bn   a.b n ; lim q n  0 nếu

q 1

2n  4.3n

Ví dụ 9: Tính L9  lim
5  7.3n
Chi tử và mẫu cho 3n
n

2
2n

4
  4
n
n
n
2  4.3
3
3
L9  lim

lim

lim
n
5
5  7.3n
1


7
5   7
3n

3

2n  4.3n
4
Vì
nên L9  lim


5  7.3n
7
3.2n  5.7n
Ví dụ 10: Tính L10  lim n
4  3.5n
Chia tử và mẫu cho 7 n
n

n

2
1
lim    lim    0
3
 3

n

2
3
  5
3.2n  5.7 n

7
L10  lim n

lim
n
n
4  3.5n
4
5
   3.  
7
7
n
  2 n
  4 n

5 
Vì lim  3    5   5  0 và lim     3.     0
7 
 7
 7 

3.2n  5.7 n
L10  lim n
 
4  3.5n

Bài tập tự luyện:
Bài 1.1: Tính các giới hạn sau
a.

b.

4n8  12n  1
2
lim 2
(Đs:
)

n  5n6  6n8
3
5
4
3n  2n  7
lim 6
(Đs: 0)
6n  n 5  2n  3
8

nên


c.

4  n 2  3n12
lim
7  n3  8n9

(Đs:  )

Bài 1.2:

a.
c.

n n2  n  1
1
(Đs: )
lim 2
3n  2n  12
3
3n  4 n3  2
(Đs: 0)
lim
2n 2  3n  1

b.

2  3 n4  1
lim
2n  3

(Đs:  )

Bài 1.3: Tính các giới hạn sau:
1
a. lim 4n2  n  2  2n (Đs: )

 4

b. lim  n  n  n  7  (Đs:  )
c. lim  2n  n  n  2  (Đs:  )

d. lim  n  2n  1  n  (Đs: 0)
2

2

3

3

Bài 1.4:
a.
c.

3.2n  4
2  5n
1
(Đs:  )b. lim n
lim n
4.3  5.4n
4  6.5n
6
3  5.7 n
(Đs:  )
lim n
4.5  5.6n

(Đs: 0)

Bài 1.5

2n3  4n 2  3n  3
6n 3  2n  1
1  n  2n 2
1) lim 3
2) lim 2
3) lim
n3  5n  7
5n  n
n  2n
n5  n 4  n  2
2n 2  n  2
n 2  4n  5
4) lim
5) lim 3 2
6) lim 3
;   
3n  n  7
4n  6n 2  9
3n 4  5
7n 2  3n  2
7) lim
;7
2
n 5
3
 2n3
1  5n 2   1 
3n  2n  1
8) lim
   9) lim  2 

 ;   10)
2
n

3
5
n

1
2n 2  n

 5
3n5  7n3  11
2n 2  3
lim 5
;  3 11) lim 6
; 0
n  n 4  3n
n  5n5
3 3
2n 2  n
n n
0
12) lim
;
13)
; 1
lim



2
1  3n
n2

9


Bài tập giới hạn dãy số - hàm số

14)
16)
18)

3 6
n  7n3  5n  8
2n 4  3n  2
; 15) lim
lim
2
2n  n  3
n  12
n2  1  n  1  2 
;   17) lim  3n3  7n  11 ;   
lim
3n  2
 2 

lim 2n4  n2  n  2 ;   

19)

lim 3 1  2n  n3 ;   

n 2  4  ...  2n
1  2  ...  n
lim
21)
3n 2  n  2
n2
n 1  3  ...   2n  1
13  23  ...  n3
lim
23)
lim 4
2n 2  n  1
n  n3  3n  2
2
n 2  n  1
13  23  ...  n3
3
3
3
trong đó 1  2  ...  n 
lim
11n 2  n  2
4
2
n
2 2
2

1      ...   
4n
3 3
3

lim
26) lim n n ; 1
2
n
2.3  4
1 1
1
1      ...   
5 5
5
3n  2.5n  2 
3n  1
lim n
;    28) lim
;  
7  3.5n  3 
2 1
n
3  5n

4 n  5n  1 
1

;
30)

;
lim n
lim

 

n1
2  3.5n  3 
 3  5n1  5 

20) lim
22)
24)
25)

27)
29)

31) lim  3n  1  2n  1  ;   



1
 
2

35) lim  n  3  n  5  ;  0  36) lim n2  n  3  n ;

 1
 

 2

32)

lim



n 1  n



1
n ; 
2







33) lim n2  n  1  n ;

34) lim n2  n  2  n  1 ;   







37) lim n2 n  n2  1 ;    38)
n  2n  1  1 
;   40)
3n2  n  3  3 
 n  1 2n  5   2 
lim
; 
 3n  1 n  2   3 
2

39)
41)

lim



lim

1

n  2  n 1
 n  1 n  2 
lim
; 0
n3  3n  1

42)

lim

10

;   

n n  n 1
; 0
2
n 3


43)

n 3  4n  1  1 
;  
lim
4n3  n 2  2  4 

44)

lim

n3
n   1

n

; 1

 n  1  3n ;  1 
45)
46) lim
 
2
 2n  1  4 
4
4
n 2  1  3n  2 

n  1   n  1

47) lim
; 0 48) lim
;  3 
3
4
4  

n

2
n

1
 n  1   n  1
2

4n  6

;  2
lim
n 1

n
49) lim
50)
52)
54)
56)
58)
60)

 3n  6  2n 2  n  1  1 
; 
8n 4  4n3  1
4
n 2  3 2n 2  4n  1  1 

4n 2  n  1
lim
;    51) lim
;  2 
3
n  3
 6n  2n  1  2n  1  6 
2

n 3  n 2  2 n  4n
n2  1  3n  1  1 

;   53) lim
;
lim
3
2n n  4n  1
6n  n  1  
2007
 3n  1  n2  2  3n3  1
 2n  1  1
55) lim
;
lim 2007
3
2
n  3n2000
 2n  1
n 1  2

lim

n 3

; 1 57)

8n3  2n  1  3n  3 8 3 
;   
lim
2n  4 n  7
 2 2
3

2n 2  1  n 2  1
1  2  3  ...  n
; 2  1 59) lim
lim
n 1
n2
n 1  3  5  ...   2n  1
n 3  1  n 2  2n  1 
lim
61) lim
; 
3n 2  n  1
3n n  2n  1  3 



62) lim

n





3n2  1  n2  2n  1

n3  3n  1  3n 2  4
lim
3n  1

5n
64) lim

 ;  1 
5


5n2  3n  2
3

63)

 1
 
 2

;

1
3
 

3
3



 3n  1 2n 2  6   2 
;  

4
4
 2n  1   3n  1  13 

65) lim

3

5 

2

n  2 n  3n  1
n n  2n  6

;  3 66)

lim

11

4n  1  2n 2  4n  2 
n  3n  1
5

;  4


Bài tập giới hạn dãy số - hàm số

67)

n 2  n  3  4n  7 

lim
3

;  2
2n 2  4
n 3  7 4n 2  1  2n  1

68)

lim

70)

2n1  3n1
lim n n ;  3
2 3

72)
74)
76)

 3n  2 

81)
82)

69)

 
9

2

2n  3n
; 1
lim n
3 1

2   3n  1 

71) lim
;  
n
n1 
 2   3  3 
n





5n  3n  1 
lim n1 n2 ;   73) lim 2n  n3  1 ;   
5 3
5
lim  n2  3n  10  ;    75) lim  n3  4n  1 ;   


77) lim 
79)

; 2



 ;   

lim 2n4  3 n  1

 ;   

n  n 1
3

78)

3n 2  3n  1
;0
80)
lim 3
2n  2n  1
3
 2n  1  n3  2n  1 ; 0
lim
 
2n4  3n  2

2
4
2n 2  1   n  1

lim
;   
3
 4n  3 

2n 2  n
lim
;   
n 1
2
 n  1  n ; 
lim
 
3n  2

  12 
3
85) lim  4n  3n  1  2n  ;    86) lim  n  2  n  n ; 1
 4
87) lim  n  2  n  ;  0  88) lim  n  3n  1  2n  ;   
89) lim  n  4n  2  n  2 ;  4 

2
90) lim  2n  1  2n  n  1  ;   
 4 
83)

lim



n n  3n  1
;   
5n  7

84) lim n2  n  5  n ; 

2

2

2

2

2

2



2

n  3  n 1

91)

lim n

92)

lim n  5



 ; 1

2n  3  2n  1

; 2 
12


93) lim
95)

1
n 1 n  2
2

3n  2
lim


97) lim 
98) lim 



; 1

94)

2n  1  n  2
n 3



96) lim 3 n3  2n2  1  n ;

2n  1  n

lim

2n  5  n  2

 ;   

; 1

2
 
3


n  2n  ;  0 

 11 
n2  3n  3 n3  n2  2n ;  
6
3

n3  3n2  1 

2

2n 2  n  3
2n  1
99) lim 2
; 100) lim 3
3n  2n  1
n  4n2  3
3n3  2n 2  n  2 
n4
101) lim
;   102) lim
; 1
n3  4
3
 n  1 n  2   n2  1

103)
105)
107)
109)

2n 4  n 2  3
n2  1
;  0  104) lim 3
;   
lim 4
2
3n  2n  1
2n  n  1
n
n
4.3  7 n1
1 3
; 1 106) lim n n ;  7 
lim
2.5  7
4  3n
n1
n 2
4 6
2n  5n1
lim n
;  0  108) lim
;  5
n
n
5 8
1 5
n
n
1  2.3  7  1 

1  2.3n  6n  1 
lim n
;    110) lim n n1
; 
5  2.7 n  2 
2  3  5  3 

4n 2  1  2n  1

111) lim

n  4n  1  n
2

n2  3  n  4

112) lim

n 2n
2

n 2  4n  1  n

113) lim

;  2

3n  1  n
2



n 2  3 1  n6


115) lim

n 2  4n  4n 2  1

116) lim
117) lim

; 0

4n 2  1  2n

114) lim

;  2



;

n 1  n
2n n  1
4

3 1
13



; 0
n 3

 n  1 n  2 

1

n 2  2n  n  1 ;  0 

2

 ;  2


Bài tập giới hạn dãy số - hàm số


119) lim 
120) lim 1  n 
118) lim

3



1
n2  n  n2  2 ;  

2
2n  n3  n  1 ;  1



1

122) lim



n 4  3n  1 ; 1 121) lim

2

2



;   

n 2 n 4
4n 2  1  2n  1  1 
123) lim
;  
2
n  4n  1  n  2 
2



 1
n2  n  n ;   
 2

124) lim

n2  3 1  n6
n 1  n
4

2

; 0

n 2  4n  4n 2  1 
1 
125) lim
; 

2
3

1


3n  1  n

II. Giới hạn hàm số:
1. Kiến thức cần nhớ:

a. Giả sử lim f  x   L và lim g  x   M . Khi đó
x  x0

x  x0

lim  f  x   g  x    L  M

x  x0

lim  f  x   g  x    L  M

x  x0

lim  f  x  .g  x    M .L

x  x0

f  x

L
;  M  0
x  x0 g  x 
M
b. Nếu f  x   0 và lim f  x   L thì L  0 và
lim

lim

x  x0



f  x  L

x  x0

(Lưu ý: Dấu của f  x  được xét trên khoảng đang tìm giới hạn,
với x  x0 )
14


c. Giới hạn 1 bên:
lim f  x   L  lim f  x   lim f  x   L
x  x0

x  x0

x  x0

d. Giới hạn vô cực đặc biệt:
lim x k   với k nguyên dương
x 

lim x k   nếu k lẻ

x 

lim x k   nếu k chẵn

x 

lim c  c ;

x 

c
0
x  x k
1
lim  
x 0 x
lim

1
  ;
x 0 x
1
1
lim  lim  
x 0 x
x 0 x
e. Nếu lim f  x   L  0 và lim g  x    (hoặc  ) thì:
lim

x  x0

x  x0

 nÕu L vµ lim g  x  cïng dÊu
x  x0


lim f  x  .g  x  
x  x0
g  x  tr¸i dÊu
- nÕu L vµ xlim
 x0
0 nÕu lim g  x   
x  x0

f x 
lim
  nÕu lim g  x   0 vµ L.g  x   0
x  x0 g  x 
x  x0

 nÕu lim g  x   0 vµ L.g  x   0
x  x0

2. Bài tập:
0
0
* Phương Pháp:

* Dạng 1:

15


Bài tập giới hạn dãy số - hàm số

a. L  lim

P x

với P  x  , Q  x  là các đa thức và

Q x
P  x0   Q  x0   0
x  x0

Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử  x  x o  và rút gọn
k

x3  8
Ví dụ 1: Tính L  lim 2
x 2 x  4
Nhận xét: Ta thấy P  x   x 3  8 có P  2   23  8  0 và
Q  x   x 2  4 có Q  2   22  4  0 nên ta sẽ phân tích cả tử và
mẫu thành nhân tử  x  2  để rút gọn
2
x

2
x
 2x  4 



x 8
L  lim 2

 lim
x 2 x  4
x 2
 x  2  x  2 
3

x 2  2x  4 22  4  4
 lim

3
x 2
x2
22
Px
b. L  lim
với P  x 0   Q  x 0   0 và P  x  ;Q  x  là các
x  x0 Q  x 
biểu thức chứa căn cùng bậc. Ta sử dụng các hằng đẳng thức để
nhân lượng liên hiệp ở tử và mẫu
2 4x
Ví dụ 2: Tính L 2  lim
x 0
x
Nhận xét P  x   2  4  x có P  0   2  2  0 và Q  x   x

có Q  0   0

Ta có căn ở tử là căn bậc 2 ( 4  x ) còn ở mẫu cũng là căn bậc
2 vì x  x với x  2 . Do đó ta nhân và chia lượng liên hiệp
cho tử và mẫu

16






2 4x 2 4x
2 4x
L 2  lim
 lim
x 0
x 0
x
x 2 4x
 lim
x 0



44x

x 2 4x

c. L  lim

Px



 lim
x 0



1
2 4x







1
4

với P  x 0   Q  x 0   0 và P  x  ;Q  x  là các

Qx
biểu thức chứa căn không đồng bậc
Giả sử P  x   m u  x   n v  x  với m u  x 0   n v  x 0   a
x  x0

Ta phân tích P  x  



m

 

u x  a  a  n vx



x 1  1 x
x 0
x
Nhận xét: căn ở tử và mẫu không cùng bậc và P  0   Q  0   0

Ví dụ 3: Tính L3  lim

3

Ta có 3 0  1  1  0  1 nên ta sẽ phân tích như sau:
P  x   3 x 1  1  x  3 x 1 1  1  1  x




1 x
 lim

x 1 
L3  lim
x 0
x 0
x

 3 x 1 1 1 1 x 
 lim 


x  x0
x
x


3



 lim 
x  x0





3





 

3



 

x 1 1  1 1 x



x

2

3
x  1  1  x  1  3 x  1  1 1  1  x 1  1  x


2

3
x 1 1 x
x  x  1  3 x  1  1









17
















Bài tập giới hạn dãy số - hàm số
3
2 

3
2
3
x 1 1
1  1 x 

 lim 



2
x 0


3
3
 x  x  1  x  1  1 x 1  1  x 

 



1
1
11  5
 lim 

2
x 0  3
3
1 1 x  3 2 6
x

1

x

1

1

























* Dạng 2:

* Phương pháp:
Px
L  lim
x  Q  x 

- Nếu P  x  ;Q  x  là các đa thức thì chia tử và mẫu cho lũy
thừa bậc cao nhất của x
- Nếu P  x  ;Q  x  là các đa thức chứa căn thì cũng có thể chia
tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu hoặc nhân
và chia lượng liên hiệp thích hợp
Ví dụ 4:
5 3
2  2
2x 2  5x  3
x x 2
 lim
a. L  lim 2
x  x  6x  3
x 
6 3
1  2
x x
3

x2 
2x  3
x

 lim
b. lim 
x 
x 2  1  x x  x 1  1  x
x2
Vì x   hay x  0 nên x   x . Do đó
18

3
3


x2 
x2 
2
x
x


lim
 lim

 1
x 
x 
2
1
1
x 1 2  x
x 1  2  x
x
x
* Dạng 3:    : Dạng này thường chứa căn
Ta sử dụng phương pháp nhân và chia lượng liên hiệp của tử và
mẫu
Ví dụ 5:

Tính L5  lim 1  x  x
x 

lim

x 



 lim



1 x  x
1




 lim



1 x  x



1 x  x



1 x  x

x 

0

1 x  x
* Dạng 4: 0. Ta sử dụng tổng hợp tất cả các phương pháp

trên đưa về dạng vô định
để xử lý

Ví dụ 6:
x
Tính L6  lim  x  2  2
.
x 2
x 4
x
Ta có lim  x  2   0 và lim
  nên L6 có dạng
2
x 2
x 2
x 4
0.
x 

Vì x  2 nên x  2  0 suy ra

19

 x  2   x  2
2


Bài tập giới hạn dãy số - hàm số

x
 lim
2
x  4 x 2

L6  lim  x  2 
x 2

 lim

 x  2

x



22 2

 x  2 . x
 x  2  x  2 
2

0

x2
22
* Dạng 5:   
Ta sử dụng tổng hợp tất cả các phương pháp trên đưa về dạng

vô định
để xử lý

Ví dụ 7: Tính L7  lim  x  x  x 

x  

x x x


L7  lim x  x  x  lim
 x 
x  

x x  x
x 2



 lim

x 

x


1
x  1
1 
x







1
2

3. Bài tập tự luyện:
Bài 2.1: Tính các giới hạn sau
1  x  x 2  x3
3x 2  1  x  3 
1) lim
; 1
2) lim
;  
x 0
x

1

1 x
x 1
 2
x 2  2x  3  2 
x2  x 1
3) lim
; 3
4) lim
;

x

1
x 2
x 1
x 1
2


3
x 8 3
3x 2  4  3x  2
5) lim
; 0 
6) lim
; 0 
x 1
x

2

x2
x 1

20


Bài 2.2:
x3  x 2  x  1
x4 1
7) lim 2
; 0
8) lim 3
;  4 
2
x 1
x

1
x  3x  2
x  2x  1
x 3  5x 2  3x  9
x5  1  5 
9) lim 3 ;  
10) lim
; 0 
4
2
x

3

x 1 x  1
x  8x  9
3
x  5x 5  4x 6
xm 1
11) lim
; 10  12) lim n
2
x 1
x 1 x  1
1  x 
13) lim

1  x 1  2x 1  3x   1

x 0

x
x  x  ...  x n  n
14) lim
x 1
x 1
Bài 2.3:
4x  1  3  1 
16) lim
; 
2
x 2
x 4 6
1  x2 1

18) lim
; 0 
x 0
x
2

x 4  16
15) lim 3
;  8 
x 2 x  2x 2
3

17) lim 3

x 1

;(

)

4x  4  2
x2 2 3
19) lim
; 
x 2
x 7 3  2 
x2 1 1
2x  2  3x  1  1 
20) lim
;    21) lim

; 0 
2
x 1
x

0
x 1
 4
x  16  1
1  x 1  3 
x  3  2x  2 
22) lim 3
;   23) lim
;  
2
x 0
x

3
x  3x  9 
1  x 1  2 
x  9  x  16  7  7 
24) lim
; 
x 0
x
 24 
Bài 2.4:
1 x  3 1 x  1 
25) lim

; 
x 0
x
6
3
8x  11  x  7  7 
2 1  x  3 8  x  13 
;   27) lim
; 
26) lim
2
x 2
x

0
x  3x  2
x
 54 
 12 
x 1

21


Bài tập giới hạn dãy số - hàm số

1  4x  3 1  6x
28) lim
; 2
2

x 0
x

3

29) lim
x 2

8x  11  x  7  7 
;

2
2x  5x  2
 162 

1  4x. 1  6x  1
5  x 3  3 x 2  7  11 
lim
;  5
30) lim
31)
;



2
x

0
x 1

x
x 1
 24 
3
1  2x. 3 1  4x  1  7 
x 1  1 x  5 
; 
;   33) lim
32) lim
x 0
x

0
x
x
6
3
Bài 2.5:
2x 2  x  1
x2 1  1 
34) lim 2
35) lim
;   
; 
x

x  2x  x  1
x2
2
x 2  2x  3  4x  1 5

2x 2  1
;
36) lim 3
37) lim
; 0
2
x 
x  x  3x 2  2
4x  1  2  x
1
1
x x 1
4x 2  2x  1  2  x 
;0
38) lim
39) lim 2
; 5
2
x  x  x  1
x 
9x  3x  2x
3

2x  1

lim

x2  3  2 
x 2  2x  3x
; 

; 4
40)
41) lim
2
2
x 
x

x  5x
5
4x  1  x  2
x 2  5x  2
;   
42) lim
x 
2 x 1
Bài 2.6:
1
1) lim x 2  x  x ;   2)
x 
2
lim 2x  1  4x 2  4x  3 ;  0 
x 



3) lim

x 







x 2  1  3 x3 1 , 0





22



 1
4) lim  x  x  x  x  ;  
x 

 2
5) lim 3 2x  1  3 2x  1 ;  0 
x 

6 lim

x 





3





3x 3  1  x 2  2 ;   

3 
 1
7) lim 

; 1
3  
x 1 1  x
1 x 

1
1


8) lim  2
 2
 ;  2 
x 2 x  3x  2
x  5x  6 

Bài 2.7:

x  15
x  15
;    3)
;   
1) lim
2) lim
x 2 x  2
x 2 x  2
1  3x  2x 2
lim
;   
x 3
x 3
2x
x2  4
1
; 
4) lim
5) lim 2
;   
x 2 2x  5x  2  3 
x 2
x2
2x
 1
;  
6) lim 2
x 2 2x  5x  2  3 
Bài 2.8:
7x  11 x


2
;  3
1) lim 3x  7x  11 ;  37  2) lim
2
x 1
x 2
4x  2
3x  1 2  3x 

 7x  11 
;  40 
3) lim
4) lim 2x 1 
;  22 

x 2
x

0
x 1
x 

x 3  1 
;  
5) lim x 2  4 ; 1 6) lim
x 9 9x  x 2
x 3
 54 
3x 2  x  5

; 0
7) lim
3
x 
x 2





23


Bài tập giới hạn dãy số - hàm số

3x 6  2x 5  5  3 
9) lim
;

3
x 
3x  2
3


2
 3 36 
x 6  5x  1  1 
x


5
lim
;    11) lim 3 2
;

3
x 
x

5x  2  5 
6x  3x  2  6 
3 x
3 x
3 x
lim
;  1 13) lim
; 1 14) lim
;  
x 3 3  x
x 3 3  x
x 3 3  x
x2 x
4  x2
lim
;  2  16) lim
;  0
x 0  x  x
x 2
2x
x 3  2 2  3 2 

x 4  27x
lim
;
;9
 18) lim
2
2
x

3
x  2
x 2  2 
2x  3x  9

2x 4  3x  5
8) lim
; 2
4
2
x 
x  2x
10)
12)
15)
17)

x 4  16
19) lim 2
;  16 
x 2 x  6x  8

20) lim

x 

2x 5  x 3  1

3

 2x

2

 1 x 3  x 

x 2  x  2x  1 
21) lim
; 
x 
2x  3
2
x
22) lim  x  1
;  0  23)
4
2
x 
2x  x  1
lim  2x 3  5x 2  3x  1 ;   
x 

24) lim 2x 4  5x 2  1;    25) lim
x 

x 2

2x  1
;   
x2

2x  1
;   
27) lim 2x 3  5x 2  3x  1 ;   
x 
x 2 x  2
x3  5
x3  8
;    29) lim 2
;  3
28) lim 2
x  x  1
x 2 x  4
2x 2  5x  3
x3  1 1
;    31) lim
30) lim 
;0
2
2
x


0
x  3
x x
 x  3



26) lim

24




2x 2  x  10
32) lim
;0
3
x 
9  3x
x 2  1 
; 
x  4 x 2  4x
 16 

34) lim

x3  3 3  3 3 
; 

33) lim

2
x  3 x  3
2



35) lim
x 1

x 1
;   
2
x x

x2  x  1 1  1 
3 x
36) lim
;   37) lim
;  0
3
x 0
x

3
3x
6
27  x
x 2  3x  10

x3  8
38) lim 2
; 1
;    39) lim 2
x

2
x 2 x  2x
3x  5x  2
x 2  4x  3
x2  4
;  
40) lim
41) lim
; 4
2
x 1
x 2 x  2
 x  1
42)
44)
46)
48)
50)
52)
54)
56)

x 2  2x  15
x 1

lim
;  2  43) lim
; 8
x 1 1  x
x 3
x 3
x3 1
x 2  2x  15
;0
lim
;  8  45) lim
x

1
x 5
x  x  5  6
x 5
x 2  3x  4  5 
x 2  5x  6  1 
47) lim 2
lim
; 
; 
2
x 4 x  12x  20
x 4
x  4x  4 
2
x4 1
x 3  3x 2  2x  2 

49) lim 2
; 1
lim
;  
2
x

1
x 2
x  2x  3
x x 6  5
x 3  4x 2  4x
x2  5  3  2 
lim
;  0  51) lim
; 
2
x 2
x

2
x x 6
x2
3
4
x  9  2  4 16 
5x
lim
;
lim

; 2 5
53)

x 7
x

5
x 7
5 x
 64 
3x  5  1  3 
x
lim
; 
; 2
55) lim
x 2
x

0
x2
1 x 1
2
1  x  x2 1  1 
x 1
; 
lim
; 1 57) lim
2
x 0

x 1
x
2
6x  3  3x



25

