Phương pháp lặp giải bài toán biên hai điểm cho phương trình và hệ phương trình vi phân cấp bốn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

NGÔ THỊ KIM QUY

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM
CHO PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CẤP BỐN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

NGÔ THỊ KIM QUY

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM
CHO PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN CẤP BỐN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 62 46 01 12

Người hướng dẫn khoa học:
1. GS.TS. Đặng Quang Á
2. PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn

HÀ NỘI – 2017


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi với sự hướng
dẫn khoa học của GS.TS. Đặng Quang Á và PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn.
Những kết quả trình bày trong luận án là mới, trung thực và chưa từng
được công bố trong bất kỳ công trình của ai khác, các kết quả thực nghiệm
đã được kiểm tra bằng các chương trình do chính tôi thiết kế và kiểm thử
trên môi trường Matlab, số liệu là hoàn toàn trung thực. Các kết quả được
công bố chung đã được cán bộ hướng dẫn và đồng tác giả cho phép sử
dụng trong luận án.

Nghiên cứu sinh

Ngô Thị Kim Quy

i

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các
Thầy hướng dẫn, GS. TS. Đặng Quang Á và PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn.
Em vô cùng biết ơn sự giúp đỡ tận tình, quý báu mà các Thầy đã dành
cho em trong suốt quá trình thực hiện luận án. Các Thầy đã luôn quan
tâm, chỉ dẫn và dìu dắt em. Chính nhờ sự động viên của các Thầy cũng
như sự nghiêm khắc trong khoa học, các Thầy đã giúp em cố gắng hơn,
vượt qua được những khó khăn, vất vả để hoàn thành luận án.
Em xin chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp quý báu các Thầy
Cô và các cán bộ nghiên cứu đã giúp em trong suốt quá trình học tập và
hoàn thành luận án. Trong thời gian qua, Viện Công nghệ thông tin, Học
viện Khoa học và Công nghệ đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và thường
xuyên có những lời động viên, nhắc nhở giúp em thực hiện tốt công việc
nghiên cứu của mình.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến lãnh đạo Trường Đại học Kinh
tế và Quản trị Kinh doanh, Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa
Khoa học cơ bản, lãnh đạo Bộ môn Toán cùng toàn thể giáo viên trong Bộ
môn, các bạn bè đồng nghiệp, gia đình và người thân đã luôn động viên
khuyến khích, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn!

ii


Danh sách hình vẽ
2.1

Công bội thực tế r(k) (trái) và một số nghiệm xấp xỉ (phải)
trong Ví dụ 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2

Công bội thực tế r(k) (trái) và một số nghiệm xấp xỉ (phải)
trong Ví dụ 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3

Đồ thị của ek trong Ví dụ 2.4 với N = 100 . . . . . . . . . . . 54

2.4

Đồ thị của ek trong Ví dụ 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.5

Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.5 . . . . . . . . . . . . 56

2.6

Đồ thị của ek trong Ví dụ 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.7

Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.6 . . . . . . . . . . . . 58

2.8

Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.8. . . . . . . . . . . . . 73

3.1

Đồ thị của ek trong Ví dụ 3.1 với N = 100. . . . . . . . . . . . 92

3.2

Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.2. . . . . . . . . . . . . 94

3.3

Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.3. . . . . . . . . . . . . 95

3.4

Đồ thị của ek trong Ví dụ 3.4 với N = 100. . . . . . . . . . . . 114

3.5

Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.5. . . . . . . . . . . . . 115

3.6

Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.6. . . . . . . . . . . . . 117

iii


Danh sách bảng

2.1

Sự hội tụ của phương pháp lặp trong Ví dụ 2.4 . . . . . . . . . 54

2.2

Sự hội tụ của phương pháp lặp trong Ví dụ 2.7. . . . . . . . . . 71

3.1

Sự hội tụ của phương pháp lặp trong Ví dụ 3.4. . . . . . . . . . 113

iv


Mục lục
Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.1. Một số định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.1.1. Định lý điểm bất động Banach và phương pháp lặp . . . . .

13

1.1.2. Định lý điểm bất động Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.1.3. Định lý điểm bất động Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2. Phương pháp đơn điệu giải bài toán biên đối với phương trình vi
phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3. Hàm Green đối với một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.4. Phương pháp số giải phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Chương 2. Phương pháp lặp giải bài toán biên đối với phương trình
vi phân phi tuyến cấp bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1. Bài toán biên đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không
đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2. Bài toán biên đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn đầy
đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.1. Trường hợp các điều kiện biên dạng gối-tựa đơn giản . . . .

45

2.2.2. Trường hợp các điều kiện biên dạng ngàm-tự do . . . . . . . .

58

Chương 3. Phương pháp lặp giải bài toán biên đối với hệ phương
trình vi phân phi tuyến cấp bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1. Bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn
không đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
v


3.2. Bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn đầy
đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận
án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

122


MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của luận án
Nhiều bài toán trong vật lý, cơ học và một số lĩnh vực khác thông
qua mô hình hóa toán học dẫn đến việc giải các bài toán biên đối với
phương trình vi phân cùng với các điều kiện biên khác nhau. Có thể chia
phương trình vi phân cấp bốn thành hai dạng: phương trình vi phân cấp
bốn không đầy đủ và phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ. Phương trình
vi phân cấp bốn mà trong đó hàm vế phải chứa ẩn hàm và chứa đầy đủ
các đạo hàm các cấp của nó (từ cấp một đến cấp ba) được gọi là phương
trình vi phân cấp bốn đầy đủ. Ngược lại, phương trình được gọi là phương
trình vi phân cấp bốn không đầy đủ.
Bài toán biên đối với phương trình vi phân đã thu hút được sự quan
tâm của các nhà khoa học nhự Alve, Amster, Bai, Li, Ma, Feng, Minhós,....
Một số nhà toán học và cơ học Việt Nam, như Đặng Quang Á, Phạm Kỳ
Anh, Nguyễn Văn Đạo, Nguyễn Đông Anh, Lê Xuân Cận, Nguyễn Hữu
Công, Lê Lương Tài, ... cũng nghiên cứu các phương pháp giải bài toán
biên cho phương trình vi phân. Chẳng hạn, các kết quả liên quan đến
phương trình vi phân thường phi tuyến cũng đã được tác giả Đặng Quang
Á và cộng sự công bố trong [14], [15], [16],... Tác giả Phạm Kỳ Anh cũng
đã đề xuất phương pháp lặp Seidel-Newton giải bài toán biên hai điểm

x(n) + f (t, x, x , ..., x(n) ) = 0; x(i) (0) = x(i) (1); i = 0, ...n − 1,
1

(0.0.1)

cũng như bài toán biên nhiều điểm cho phương trình vi phân thường,
(xem [5]- [7]). Hướng nghiên cứu về nghiệm tuần hoàn và bài toán biên
cho phương trình vi phân phi tuyến đã được một số tác giả Liên Xô cũ xét
đến trong cuốn sách [45] của tác giả Samoilenko.
Trong số các phương trình vi phân thì phương trình vi phân phi tuyến
cấp bốn được quan tâm rất nhiều trong thời gian gần đây vì nó là mô hình
toán học của nhiều bài toán trong cơ học. Dưới đây chúng tôi điểm qua
một số bài toán biên đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn.
Đầu tiên, xét bài toán về dầm trên nền đàn hồi được mô tả bởi phương
trình vi phân phi tuyến cấp bốn dạng

u(4) (x) = f (x, u(x), u (x))

(0.0.2)

u(4) (x) = f (x, u(x), u (x))

(0.0.3)

hoặc

trong đó u là độ võng của dầm, 0 ≤ x ≤ L. Các điều kiện biên tại hai đầu
của dầm được cho phụ thuộc vào ràng buộc của bài toán. Đã có một số
kết quả nghiên cứu về định tính của các bài toán biên đối với các phương
trình vi phân trên như sự tồn tại, tính duy nhất và tính dương của nghiệm.
Đáng chú ý phải kể đến các bài báo của Alves và cộng sự [2], Amster và
cộng sự [3], Bai và cộng sự [8], Li ([25]-[27]), D. Ma và X. Yang [35], R.
Ma và cộng sự [31], T. F. Ma ([32]-[34]),..., ở đó phương pháp nghiệm trên

và nghiệm dưới, phương pháp biến phân, các định lý điểm bất động được
sử dụng. Trong các bài báo này, điều kiện về tính bị chặn của hàm vế phải

f (x, u, v) hoặc về bậc tăng trưởng của nó tại vô cùng là không thể thiếu
được.
Để cụ thể hơn, ta xét bài toán mô tả độ võng của dầm trên nền đàn

2


hồi với hai đầu mút được gối-tựa đơn giản

u(4) (x) = f (x, u(x), u (x)),

0 < x < 1,
(0.0.4)

u(0) = u(1) = u (0) = u (1) = 0,
trong đó f : [0, 1] × R2 → R là hàm liên tục. Bài toán trên đã thu hút
sự quan tâm của nhiều tác giả vì nó có ý nghĩa quan trọng trong cơ học.
Chẳng hạn, năm 1986, Aftabizadeh [1] đã thiết lập sự tồn tại nghiệm của
bài toán này với giả thiết về sự giới nội của hàm f (x, u, v) trong toàn miền

[0, 1] × R2 . Tính duy nhất của nghiệm được chứng minh nếu thêm các giả
thiết liên quan đến đạo hàm riêng của f theo u và v. Năm 1997, bằng
phương pháp đơn điệu, khi biết trước nghiệm dưới và nghiệm trên, Ma và
cộng sự [31] đã xây dựng hai dãy hàm đơn điệu hội tụ tới các nghiệm cực
trị của bài toán. Ở đó, các tác giả thu nhận được kết quả với giả thiết hàm

f (x, u, v) đơn điệu tăng theo biến u và đơn điệu giảm theo biến v trong

dải được xác định bởi nghiệm dưới và nghiệm trên. Sau đó, vào năm 2004,
khi nghiên cứu bài toán (0.0.4), Bai và cộng sự [8] độc lập với Ma cũng
xây dựng hai dãy hàm đơn điệu hội tụ tới các nghiệm cực trị của bài toán
bằng cách xét phương trình tương đương

u(4) (x) − au (x) + bu(x) = f (x, u(x), u (x)) − au (x) + bu(x), (0.0.5)
trong đó a, b là các hằng số dương được chọn phù hợp. Giả thiết f thỏa
mãn một phía điều kiện Lipshitz theo u và v trong miền được định nghĩa
phức tạp bởi các nghiệm dưới, nghiệm trên và các tham số a, b. Ý tưởng
này cũng được sử dụng trong bài báo gần đây của Li [27]. Ngoài kết quả
về sự tồn tại, Li còn thành công khi nghiên cứu tính duy nhất nghiệm của
bài toán. Cần lưu ý rằng, trong phương pháp đơn điệu, giả thiết tìm được
nghiệm dưới và nghiệm trên luôn luôn cần thiết nhưng việc tìm chúng nói
chung không dễ dàng.
3


Trong các bài báo đã nhắc đến ở trên, phương trình vi phân cấp bốn
không chứa đạo hàm cấp ba. Khoảng hơn chục năm trở lại đây, phương
trình vi phân cấp bốn đầy đủ, cụ thể là phương trình

u(4) (x) = f (x, u(x), u (x), u (x), u (x))

(0.0.6)

thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả (xem [10], [12], [18], [20], [28], [29],
[37], [43],...). Các kết quả chính trong các bài báo trên là nghiên cứu sự tồn
tại, tính duy nhất và tính dương của nghiệm. Các công cụ được sử dụng là
lý thuyết bậc Leray–Schauder [43], định lý điểm bất động Schauder trên
cơ sở sử dụng phương pháp đơn điệu với nghiệm dưới và nghiệm trên [9],

[18], [20], [37] hoặc giải tích Fourier [28].
Năm 2009, Minhós [37] nghiên cứu bài toán giá trị biên đối với phương
trình vi phân phi tuyến cấp bốn đầy đủ có dạng

u(4) (x) = f (x, u, u , u , u ),

0 < x < 1,

(0.0.7)

với điều kiện biên

u(0) = u (1) = u (0) = u (1) = 0,

(0.0.8)

trong đó f : [0, 1] × R4 → R là hàm liên tục thỏa mãn điều kiện tăng
trưởng Nagumo. Áp dụng phương pháp đơn điệu sử dụng nghiệm dưới và
nghiệm trên, tác giả không những chỉ ra được kết quả tồn tại nghiệm mà
còn đưa ra một số tính chất của nghiệm cũng như đạo hàm cấp một, cấp
hai của nghiệm. Sự phụ thuộc vào đạo hàm cấp ba bị hạn chế bởi điều
kiện tăng trưởng Nagumo.
Trong bài báo gần đây, Pei và Chang [43] sử dụng lý thuyết LeraySchauder chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên
cho phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ với giả thiết hàm f (x, u, y, v, z)
thỏa mãn điều kiện Nagumo và không giảm theo u và không tăng theo v .
4


Đã có một số công trình, chẳng hạn, [19], [40], [41], trong đó các tác
giả giải gần đúng một số bài toán biên cho phương trình vi phân cấp bốn

đầy đủ nhưng chưa thu được đánh giá sai số tổng hợp của nghiệm số thực
sự nhận được.
Năm 2013, Li và Liang [28] xét bài toán giá trị biên đối với phương
trình vi phân cấp bốn đầy đủ

u(4) (x) = f (x, u(x), u (x), u (x), u (x)),

0 < x < 1,
(0.0.9)

u(0) = u(1) = u (0) = u (1) = 0,
trong đó f : [0, 1] × R4 → R là liên tục. Đây là bài toán mô tả độ võng của
dầm trên nền đàn hồi với hai đầu được gối-tựa đơn giản. Dựa trên phương
pháp giải tích Fourier và định lý điểm bất động Leray-Schauder, tác giả
đã thiết lập được sự tồn tại nghiệm của bài toán nhưng dưới hạn chế về
điều kiện tăng trưởng của hàm f (x, u, y, v, z) theo mỗi biến tại vô cùng.
Năm 2016, Li [29] xét bài toán giá trị biên cấp bốn đầy đủ

u(4) (x) = f (x, u(x), u (x), u (x), u (x)),

0 < x < 1,
(0.0.10)

u(0) = u (0) = u (1) = u (1) = 0.
Bài toán là mô hình của dầm côngxôn (cantilever beam) (cố định ở bên
trái và tự do ở bên phải), trong đó f : [0, 1] × R4 → R là hàm liên tục. Một
số điều kiện của hàm f được đặt ra đảm bảo sự tồn tại nghiệm dương của
bài toán. Điều kiện đưa ra là hàm f (x, u, y, v, z) tăng trưởng trên tuyến
tính (superlinear) hoặc dưới tuyến tính (sublinear) theo các biến u, y, v, z .
Trong trường hợp tăng trưởng trên tuyến tính, điều kiện Nagumo hạn chế

điều kiện tăng trưởng của f theo y và z . Kết quả này được chứng minh
bằng việc sử dụng lý thuyết của chỉ số điểm bất động trong nón rất phức
tạp.
Tuy nhiên, trong tất cả các bài báo nêu trên, các tác giả cần đến một
giả thiết rất quan trọng là hàm f : [0, 1] × R4 → R thỏa mãn điều kiện
5


Nagumo và một số điều kiện khác về tính đơn điệu và tăng trưởng tại vô
cùng.
Các bài toán về hệ phương trình vi phân cấp bốn được nghiên cứu chưa
nhiều, chẳng hạn trong [4], [21], [22], [30], [50], trong đó các tác giả xét
phương trình chỉ chứa các đạo hàm cấp chẵn. Bằng việc sử dụng định lý
chỉ số điểm bất động trên nón, các tác giả đã thu được sự tồn tại nghiệm
dương. Tuy nhiên, các kết quả đạt được là có tính lý thuyết thuần túy vì
không có ví dụ nào minh họa sự tồn tại nghiệm.
Năm 2012, trong [22] với các điều kiện rất phức tạp, tác giả đã thiết
lập sự tồn tại nghiệm dương của hệ hai phương trình vi phân

 u(4) (x) = f (x, u(x), v(x), u (x), v (x)), 0 < x < 1,
 v (4) (x) = h(x, u(x), v(x), u (x), v (x)), 0 < x < 1,
với các điều kiện biên

 u(0) = u(1) = u (0) = u (1) = 0,
 v(0) = v(1) = v (0) = v (1) = 0,
trong đó f, h : [0, 1] × R+ × R+ × R− × R− → R+ là các hàm liên tục và

u , v trong f, h là các thành phần mô men uốn tương ứng với các hiệu
ứng uốn.
Đầu năm 2017, Minhós và Coxe [38], [39] là các tác giả đầu tiên xét hệ

hai phương trình cấp bốn đầy đủ

 u(4) (x) = f (x, u(x), u (x), u (x), u (x), v(x), v (x), v (x), v (x)),
 v (4) (x) = h(x, u(x), u (x), u (x), u (x), v(x), v (x), v (x), v (x)),
(0.0.11)
với các điều kiện biên

 u(0) = u (0) = u (0) = u (1) = 0,
 v(0) = v (0) = v (0) = v (1) = 0.
6

(0.0.12)


Tác giả đã đưa ra các điều kiện đủ cho tính giải được của hệ bằng việc sử
dụng phương pháp nghiệm dưới, nghiệm trên và Định lý điểm bất động
Schauder. Chứng minh kết quả này rất cồng kềnh và phức tạp, trong đó
đòi hỏi điều kiện Nagumo đối với các hàm f và h.
Mặc dù đã có các thành tựu quan trọng đạt được trong việc nghiên
cứu định tính và tìm lời giải của các bài toán biên phi tuyến, song sự phát
triển của các lĩnh vực ứng dụng như cơ học, vật lý, sinh học,. . . luôn đặt
ra các bài toán mới mà phương trình cũng như các điều kiện biên phức
tạp hơn. Các bài toán này có ý nghĩa quan trọng trong khoa học và thực
tiễn. Hơn nữa, trong các bài báo kể trên, các điều kiện đưa ra phức tạp
và khó kiểm tra, trong đó hạn chế về điều kiện Nagumo và điều kiện tăng
trưởng tại vô cùng của hàm vế phải. Với phương pháp đơn điệu, giả thiết
tìm được nghiệm dưới và nghiệm trên luôn luôn cần thiết nhưng việc tìm
chúng nói chung không dễ dàng. Mặt khác, một số bài báo chưa có ví dụ
minh họa cho các kết quả lý thuyết. Chính vì thế, việc tiếp tục nghiên cứu
cả về mặt định tính và định lượng các bài toán mới cho phương trình và

hệ phương trình vi phân cấp bốn với các điều kiện biên khác nhau là rất
có ý nghĩa khoa học và thực tiễn.
Đó là lí do vì sao chúng tôi chọn đề tài: "Phương pháp lặp giải bài toán
biên hai điểm cho phương trình và hệ phương trình vi phân cấp bốn".

2. Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu của luận án
Mục tiêu của luận án là phát triển phương pháp lặp kết hợp với các
phương pháp khác để thiết lập định tính và đặc biệt là phương pháp giải
số một số bài toán biên hai điểm đối với phương trình và hệ phương trình
vi phân phi tuyến cấp bốn nảy sinh trong lý thuyết uốn của dầm, trong
đó không cần đến điều kiện tăng trưởng tại vô cùng, điều kiện Nagumo,...
7


của hàm vế phải.

3. Phương pháp và nội dung nghiên cứu
Sử dụng cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến về phương
trình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải, cùng với các công cụ của toán
giải tích, giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân, chúng tôi nghiên
cứu sự tồn tại, duy nhất và một số tính chất đối với nghiệm của một số
bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình vi phân phi tuyến
cấp bốn không đầy đủ và đầy đủ.
Cũng trên cơ sở phương trình toán tử, chúng tôi xây dựng phương pháp
lặp tìm nghiệm của các bài toán và chứng minh sự hội tụ của phương pháp.
Một số ví dụ được đưa ra, trong đó biết trước hoặc không biết trước
nghiệm đúng, để minh họa tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và
thực hiện tính toán trên máy tính điện tử để kiểm tra sự hội tụ của các
phương pháp.

4. Kết quả đạt được của luận án
Luận án đề xuất phương pháp nghiên cứu định tính và phương pháp
lặp giải bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình vi phân phi
tuyến cấp bốn không đầy đủ và đầy đủ nhờ sử dụng cách tiếp cận đưa bài
toán về phương trình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải. Các kết quả
đạt được là:

• Thiết lập được sự tồn tại, duy nhất và một số tính chất đối với nghiệm
của các bài toán dưới các điều kiện dễ kiểm tra.

• Đề xuất phương pháp lặp giải các bài toán này và chứng minh sự hội tụ
của phương pháp với tốc độ cấp số nhân.

• Đưa ra một số ví dụ minh họa cho khả năng ứng dụng của các kết quả
8


lý thuyết, trong đó có các ví dụ mà sự tồn tại hoặc tính duy nhất nghiệm
của chúng không được bảo đảm bởi các tác giả khác do không thỏa mãn
các điều kiện trong các định lý của họ.

• Các thực nghiệm tính toán minh họa tính hiệu quả của phương pháp
lặp.
Luận án được viết trên cơ sở các bài báo [A1]-[A6] trong danh mục các
công trình của tác giả liên quan đến luận án.

5. Cấu trúc của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính
của luận án gồm 3 chương:
Chương 1 trình bày các kiến thức bổ trợ bao gồm một số định lý điểm

bất động; phương pháp đơn điệu giải bài toán biên đối với phương trình vi
phân; hàm Green đối với một số bài toán và phương pháp số giải phương
trình vi phân. Các kiến thức cơ bản trong Chương 1 đóng vai trò rất quan
trọng, làm nền tảng cho các kết quả sẽ được trình bày trong Chương 2 và
Chương 3.
Trong Chương 2, bằng cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến
về phương trình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải, chứ không phải đối
với ẩn hàm, chúng tôi đã thiết lập sự tồn tại, duy nhất và một số tính chất
của nghiệm đối với một số bài toán cho phương trình vi phân phi tuyến
cấp bốn không đầy đủ và đầy đủ. Cũng trên cơ sở phương trình toán tử,
chúng tôi xây dựng phương pháp lặp tìm nghiệm của các bài toán và chứng
minh sự hội tụ của phương pháp. Một số ví dụ, trong đó biết trước hoặc
không biết trước nghiệm đúng, đã minh họa cho tính đúng đắn của các
kết quả lý thuyết và hiệu quả của phương pháp lặp.
Tiếp tục phát triển các kỹ thuật của Chương 2, trong Chương 3, đối
9


với hệ hai phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ và đầy
đủ, chúng tôi cũng thu được các kết quả về sự tồn tại, duy nhất nghiệm
và sự hội tụ của phương pháp lặp. Các kết quả này làm phong phú thêm
và khẳng định tính hiệu quả của cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi
tuyến về phương trình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải.
Trong luận án, các kết quả lý thuyết đã được kiểm tra bằng các thực
nghiệm tính toán được lập trình trong môi trường MATLAB 7.0 trên máy
tính PC với CPU Intel Core i3, 4GB RAM.

10

Các kết quả trong luận án đã được báo cáo và thảo
luận tại:
1. Hội nghị toàn quốc lần thứ IV về Ứng dụng Toán học, Hà Nội, 2325/12/2015.
2. Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 14, Ba Vì, 2123/4/2016.
3. Hội nghị Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội,
12-13/11/2016.
4. International Conference on Advances in Information and Communication Technology, Thai Nguyen, Vietnam 12-13, Dec 2016.
5. Seminar khoa học của Phòng các Phương pháp Toán học trong Công
nghệ thông tin, Viện Công nghệ thông tin, Viện Hàn lâm Khoa học
và Công nghệ Việt Nam.

11


Chương 1
Kiến thức bổ trợ
Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho các
chương tiếp theo được tham khảo từ các tài liệu [24], [31], [36], [46], [48],
[49].

1.1.

Một số định lý điểm bất động
Cho ánh xạ T : A → A, trong đó A là không gian Banach. Mỗi

nghiệm x của phương trình x = T x được gọi là một điểm bất động của
ánh xạ T .
Ba định lý điểm bất động sau đây là các định lý nền tảng cơ bản được
sử dụng phổ biến trong các bài toán ứng dụng.
1. Định lý điểm bất động Banach cho các toán tử co với hệ số co k .

2. Định lý điểm bất động Brouwer cho các toán tử liên tục trong không
gian hữu hạn chiều.
3. Định lý điểm bất động Schauder cho các toán tử hoàn toàn liên tục trên
một tập con lồi, khác rỗng và compact trong không gian Banach (vô hạn
chiều). Đây là một tổng quát hóa của định lý điểm bất động Brouwer.
Ngoài ra, một số định lý điểm bất động quan trọng khác được sử dụng
nhiều trong nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân phi
tuyến, chẳng hạn như định lý Leray-Schauder cho các toán tử compact
12


trên một tập con lồi, khác rỗng, bị chặn của không gian Banach.
Cùng với các định lý điểm bất động, lý thuyết bậc Brouwer (Brouwer
degree) và lý thuyết chỉ số điểm bất động (fixed point index) cũng là
những công cụ quan trọng, được ứng dụng nhiều trong nghiên cứu sự tồn
tại điểm bất động của các ánh xạ liên tục cũng như sự tồn tại nghiệm của
các phương trình vi phân phi tuyến.

1.1.1.

Định lý điểm bất động Banach và phương pháp lặp

Xét phương trình phi tuyến

x = T x.

(1.1.1)

Trước tiên ta nhắc lại khái niệm toán tử co.
Định nghĩa 1.1. (xem [49]) Toán tử T : M ⊆ X → X trên không gian

metric (X, d) được gọi là co với hệ số k nếu và chỉ nếu

d(T x, T y) ≤ kd(x, y)

(1.1.2)

với mọi x, y ∈ M và k cố định 0 ≤ k < 1.
Định lý 1.1. (xem [49]) (Định lý điểm bất động Banach (1922)).
Giả sử rằng
(i) T : M ⊆ X → M là một ánh xạ từ M vào chính nó;
(ii) M là tập đóng, khác rỗng trong không gian metric đầy đủ (X, d);
(iii) T là một ánh xạ co với hệ số co k .
Khi đó ta có các kết luận sau đây:
a) Sự tồn tại và duy nhất nghiệm: Phương trình (1.1.1) có duy nhất nghiệm

x tức là T có duy nhất một điểm bất động trên M .
b) Sự hội tụ của phương pháp lặp: với mọi xấp xỉ ban đầu x0 tùy ý trong

M , dãy xấp xỉ liên tiếp (xn ) hội tụ tới nghiệm x.
13


c) Đánh giá sai số: Với mọi n = 0, 1, 2, ... ta có các đánh giá sai số tiên
nghiệm

d(xn , x) ≤

kn
d(x0 , x1 ),
1−k

(1.1.3)

k
d(xn , xn+1 ).
1−k

(1.1.4)

và đánh giá hậu nghiệm

d(xn+1 , x) ≤

d) Tốc độ hội tụ: Với mọi n = 0, 1, 2, ... ta có

d(xn+1 , x) ≤ kd(xn , x).

(1.1.5)

Định lý điểm bất động Banach có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết
toán học và ứng dụng, đặc biệt trong giải gần đúng các phương trình phi
tuyến. Cụ thể, từ định lý này có thể giải quyết được các vấn đề sau:
(A) Sự tồn tại nghiệm;
(B) Sự duy nhất nghiệm;
(C) Sự ổn định của nghiệm dưới nhiễu nhỏ của phương trình;
(D) Sự hội tụ của phương pháp xấp xỉ;
(E) Đánh giá sai số tiên nghiệm;
(F) Đánh giá sai số hậu nghiệm;
(G) Đánh giá tốc độ hội tụ;
(H) Sự ổn định của phương pháp xấp xỉ.

Định lý điểm bất động Banach có ứng dụng quan trọng trong giải
phương trình phi tuyến và trong chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương
trình vi phân thường (Định lý Picard–Lindel¨of). Ngoài ra, ứng dụng của
định lý trong giải phương trình đại số tuyến tính, giải phương trình tích
phân tuyến tính, phương trình toán tử tuyến tính có thể tìm thấy chi tiết
trong [49].

14


1.1.2.

Định lý điểm bất động Brouwer

Khác với Định lý điểm bất động Banach, Định lý điểm bất động Brouwer
không chỉ ra tính duy nhất của điểm bất động cũng như phương pháp lặp
xấp xỉ liên tiếp. Tuy nhiên các giả thiết của Định lý Brouwer được nới lỏng
hơn so với Định lý điểm bất động Banach.
Định lý 1.2. (xem [49]) (Định lý điểm bất động Brouwer (1912)).
Giả sử M là tập con khác rỗng, lồi, compact của RN , trong đó N ≥ 1 và

f : M → M là ánh xạ liên tục. Khi đó f có một điểm bất động.
Một hạn chế của Định lý Brouwer là chỉ áp dụng được cho các ánh
xạ liên tục trên không gian hữu hạn chiều. Tuy nhiên khi xét sự tồn tại
nghiệm của các phương trình vi phân ta phải xét trên các không gian hàm,
đây là không gian Banach vô hạn chiều, vì thế không thể áp dụng Định lý
điểm bất động Brouwer. Đối với các toán tử trên không gian vô hạn chiều
thì Định lý điểm bất động Schauder - một phiên bản mở rộng của Định lý
điểm bất động Brouwer đặc biệt hiệu quả và được sử dụng phổ biến. Định
lý này sẽ được trình bày trong phần 1.1.3.

1.1.3.

Định lý điểm bất động Schauder

Trong phần này, chúng tôi trình bày một tổng quát hóa của Định lý
điểm bất động Brouwer cho các toán tử compact trong không gian Banach
vô hạn chiều. Đó là Định lý điểm bất động Schauder.
Toán tử compact được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.2. (xem [49]) Cho X và Y là các không gian Banach và

T : D(T ) ⊆ X → Y là một toán tử. T được gọi là toán tử compact nếu
hai điều kiện sau đây được thỏa mãn
(i) T liên tục;
15


(ii) T ánh xạ mọi tập bị chặn vào tập compact tương đối.
Các toán tử compact đóng vai trò quan trọng trong giải tích hàm phi
tuyến. Thực tế có nhiều kết quả cho các toán tử liên tục trên RN được
chuyển sang các không gian Banach khi thay thế tính liên tục bằng tính
compact.
Ví dụ 1.1. Giả sử rằng ta có hàm liên tục

K : [a, b] × [a, b] × [−R, R] → K,
trong đó −∞ < a < b < +∞, 0 < R < ∞ và K = R, C. Ký hiệu

M = {x ∈ C([a, b], K) : x ≤ R},
trong đó x = maxa≤s≤b |x(s)| và C([a, b], K) là không gian các ánh xạ
liên tục x : [a, b] → K.

Xét các toán tử tích phân
b

(T x)(t) =

K(t, s, x(s))ds,
a

t

(Sx)(t) =

K(t, s, x(s))ds,

∀t ∈ [a, b].

a

Khi đó S, T ánh xạ M vào C([a, b], K) là toán tử compact.
Định lý 1.3. (xem [23, Mục 31]) Xét trong không gian C[a, b], toán tử

y = Ax xác định bởi công thức
b

y(t) =

K(t, s)x(s)ds.

(1.1.6)

a

Công thức (1.1.6) xác định một toán tử compact trong không gian C[a, b]
nếu hàm K(t, s) giới nội trong hình vuông a ≤ t ≤ b, a ≤ s ≤ b và tất cả
các điểm gián đoạn của hàm K(s, t) nằm trên hữu hạn các đường cong

s = ϕk (t),

k = 1, 2...., n,
16


trong đó ϕk (t) là các hàm liên tục.
Định lý 1.4. (xem [49]) (Định lý điểm bất động Schauder (1930)). Cho

M là một tập con khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn của không gian Banach X ,
và giả sử T : M −→ M là toán tử compact. Khi đó T có điểm bất động.
Một phiên bản khác của Định lý điểm bất động Schauder được phát
biểu như dưới đây.
Hệ quả 1.1. (xem [49]) (Phiên bản khác của Định lý điểm bất động
Schauder). Cho M là một tập con khác rỗng, lồi, compact của không gian
Banach X , và giả sử T : M −→ M là toán tử liên tục. Khi đó T có điểm
bất động.
Định lý Schauder có nhiều ứng dụng quan trọng trong giải tích hàm và
giải tích số như trong chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình tích
phân với tham số bé, sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình tích phân và
hệ phương trình vi phân,....

1.2.

Phương pháp đơn điệu giải bài toán biên đối
với phương trình vi phân

Một trong các phương pháp khá phổ biến nghiên cứu định tính (sự tồn
tại, duy nhất) của nghiệm và xây dựng nghiệm gần đúng của phương trình
vi phân là phương pháp đơn điệu. Phương pháp đơn điệu sử dụng nghiệm
trên và nghiệm dưới đối với bài toán biên phi tuyến đã thu hút sự chú ý
của các nhà nghiên cứu trong những năm gần đây. Phương pháp này phổ
biến vì nó không chỉ đưa ra cách chứng minh các định lý tồn tại mà còn
dẫn đến các kết quả so sánh khác nhau, đó là kỹ thuật hiệu quả để nghiên
cứu các tính chất định tính của nghiệm, có thể xem thêm trong [24].

17