Giáo án Hình học 12 chương 3 bài 1: Hệ trục tọa độ trong không gian

Số tiết: 2

Bài : HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN

I. MỤC TIÊU

(Chương trình chuẩn)

- Về kiến thức:
+ Hiểu được định nghĩa của hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian.
+ Xác định tọa độ của 1 điểm, của vectơ các phép trái của nó.
+ Tích vô hướng của 2 vectơ, độ dài của vectơ, khoảng cách 2 điểm
- Về kĩ năng:
+ Tìm được tọa độ của 1 vectơ, của điểm
+ Biết cách tính tích vô hướng của 2 vectơ, độ dài của véc tơ và khoảng cách
giữa hai điểm.
+ Viết được phương trình mặt cầu, tìm được tâm và bán kính khi viết phương
mặt cầu.
- Về tư duy và thái độ: HS phải tích cực học tập và hoạt động theo yêu cầu
của giáo viên.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
+ Giáo viên: thước, phíếu học tập
+ Học sinh: đồ dùng học tập như thước, compa
III. PHƯƠNG PHÁP
Gợi mở, vấn đáp; nêu vấn đề
IV. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1. Ổn định tổ chức (2 phút )
2. Kiểm tra bài cũ :không
3. Bài mới
Hoạt động 1: Hình thành định nghĩa hệ trục tọa độ trong không gian.

THỜI
GIAN

HOẠT ĐỘNG CỦA

HOẠT ĐỘNG CỦA

GHI BẢNG

GIÁO VIÊN
HỌC SINH
- Cho học sinh nêu lại định nghĩa - Học sinh trả lời.

I. Tọa độ của điểm và

hệ trục tọa độ Oxy trong mặt

của vectơ

phẳng.

1.Hệ trục tọa độ: (SGK)

- Giáo viên vẽ hình và giới thiệu

K/hiệu: Oxyz

hệ trục trong không gian.

O: gốc tọa độ

1


- Cho học sinh phân biệt giữa hai - Học sinh định nghĩa lại Ox, Oy, Oz: trục hành,
hệ trục.

hệ trục tọa độ Oxyz

T.Tung, trục cao.

- Giáo viên đưa ra khái niệm và

(Oxy);(Oxz);(Oyz) các

tên gọi.

mặt phẳng tọa độ

Hoạt động 2: Định nghĩa tọa độ của các điểm và vectơ.
THỜI
GIAN

HOẠT ĐỘNG CỦA
GIÁO VIÊN
- Cho điểm M

HOẠT ĐỘNG CỦA
HỌC SINH
- Vẽ hình

GHI BẢNG
2. Tọa độ của 1 điểm.

Từ ∆1 trong Sgk, giáo viên có - Học sinh trả lời bằng 2 M ( x; y; z )
uuuu
r r r r
uuuu
r
⇔ OM = xi + yz + zk
cách
z
thể phân tích OM theo 3 vectơ
rr r
+ Vẽ hình
i, j , k được hay không ? Có bao

nhiêu cách?
Từ đó giáo viên dẫn tới đ/n tọa

+ Dựa vào định lý đã học
ở lớp 11

tọa độ của 1 vectơ.
Cho h/sinh nhận xét tọa độ của
uuuu
r
điểm M và OM

đứng tại chỗ trả lời.

+ Ví dụ 2 trong SGK và cho h/s
làm việc theo nhóm.

r
i

y

+ Học sinh tự ghi định Tọa độ của vectơ
nghĩa tọa độ của 1 vectơ
H/s so sánh tọa độ của
uuuu
r

điểm M và OM

* GV: cho h/s làm 2 ví dụ.
+ Ví dụ 1: ra ví dụ1 cho học sinh

M

x

độ của 1 điểm
Hướng dẫn tương tự đi đến đ/n

r
j

r

k

- Từng học sinh đứng tại
chỗ trả lời.
- Học sinh làm việc theo
nhóm và đại diện trả lời.

GV hướng dẫn học sinh vẽ hình
và trả lời.

Hoạt động 3: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ.

2

r
a = ( x, y , z )
r
r r
r
⇔ a = xi + xz + xk

Lưu ý: Tọa độuucủa
M
uu
r
chính là tọa độ OM
Vdụ: Tìm tọa độ của 3
vectơ sau biết
r
r ur r

a = 2i − 3J + k
r
ur r
b = 4 J − 2k
r ur r
c = J − 3i

Ví dụ 2: (Sgk)


THỜI
GIAN

HOẠT ĐỘNG CỦA
GIÁO VIÊN

HOẠT ĐỘNG
CỦA

GHI BẢNG

HỌC SINH
- GV cho h/s nêu lại tọa - H/s xung phong trả II. Biểu thức tọa độ của các phép
toán vectơ.
độ của vectơ tổng, hiệu, lời
Đlý: Trong không gian Oxyz cho
r
tích của 1 số với 1 vectơ - Các h/s khác nhận r
a = (a1 ; a2 ; a3 ), b = (b1 , b2 , b3 )
r r

trong mp Oxy.
xét
thêm trong không gian

(1)a ± b = (a1 ± b1 , a2 ± b2 , a3 ± b3 )
r
(2)k a = k (a1 ; a2 ; a3 ) = (kaa , ka2 , ka3 )
(k ∈ ¡ )

và gợi ý h/s tự chứng

Hệ quả:

- Từ đó Gv mở rộng

minh.
* Từ định lý đó trên, gv
cần dắt hs đến các hệ
quả:
Gv ra v/dụ: yêu cầu h/s
làm việc theo nhóm mời

a1 = b1
r r

* a = b ⇔ a2 = b2
a = b
 3 3
r
H/s làm việc theo Xét vectơ 0 có tọa độ là (0;0;0)

r → r r
nhóm và đại diện trả b ≠ 0, a // b ⇔ ∃k ∈ R
a1 = kb1 , a2 = kb2 , a3 = kb3
lời.
uuur
AB = ( xB − x A , yB − y A , z B − z A )

nhóm 1 câu.

Nếu M là trung điểm của đoạn AB

 x A + xB y A + y B z A + z B 
,
,
÷
2
2 
 2
r
của từng nhóm và hoàn
a = (−1, 2,3)
Các học sinh còn lại V dụ 1: Cho r
chỉnh bài giải.
b =)3, 0, −5)
cho biết cách trình
r
a. Tìm tọa độ của x biết
bày khác và nhận xét r r r
x = 2a − 3b
r

b. Tìm tọa độ của x biết
r r r ur
3a − 4b + 2 x = O

+ Gv kiểm tra bài làm

Thì: M 

V dụ 2: Cho

A(−1;0;0), B(2; 4;1), C (3; −1; 2)

a. Chứng minh rằng A,B,C không
thẳng hàng
b. Tìm tọa độ của D để tứ giác
ABCD là hình bình hành.

Hoạt động 4: Tích vô hướng của 2 vectơ.

3


THỜI
GIAN

HOẠT ĐỘNG CỦA

HOẠT ĐỘNG
CỦA

GIÁO VIÊN

GHI BẢNG

HỌC SINH
Gv: Yêu cầu hs nhắc - 1 h/s trả lời đ/n III. Tích vô hướng
1. Biểu thức tọa độ của tích vô
lại đ/n tích vô hướng tích vô hướng.
hướng.
của 2 vectơ và biểu - 1 h/s trả lời biểu Đ/lí.
r
r
a = (a1 , a 2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 )
thức tọa độ của chúng. thức tọa độ
rr
a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3

- Từ đ/n biểu thức tọa

C/m: (SGK)
Hệ quả:
+ Độ dài của vectơ

độ trong mp, gv nêu
lên trong không gian.

→

a = a12 + a22 + a32

- Gv hướng dẫn h/s tự
chứng minh và xem

Khoảng cách giữa 2 điểm.

uuu
r
AB = AB = ( x B − x A )2 + ( yB − y A ) 2
r
r
Gv: ra ví dụ cho h/s
Gọi ϕ là góc hợp bởi a và b
- Học sinh làm
rr
a1b1 + a2b2 a3buu3r
ab
làm việc theo nhóm
Cosϕ = r r =
việc theo nhóm
a b
và đại diện trả lời.
a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32
r r
a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3
Vdụ 1: (SGK)

Sgk.

Yêu cầu học sinh làm
nhiều cách.

Học sinh khác trả Vdụ: (SGK)
r
r
r
lời cách giải của Cho a = (3; −0;1); b = (1; − 1; − 2); c = (2;1; −1)
r r
r r r
mình và bổ sung Tính : a (b + c) và a + b
lời giải của bạn

Hoạt động 5: Hình thành phương trình mặt cầu
THỜI
GIAN

HOẠT ĐỘNG CỦA
GIÁO VIÊN

HOẠT
ĐỘNG CỦA

GHI BẢNG

HỌC SINH
- Gv: yêu cầu học sinh nêu dạng - Học sinh IV. Phương trình mặt cầu.
Đ/lí: Trong không gian Oxyz, mặt
phương trình đường tròn trong xung phong
cầu (S) tâm I (a,b,c) bán kính R có
mp Oxy
trả lời

phương trình.
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c ) 2 = R 2

- Cho mặt cầu (S) tâm I (a,b,c),

Ví dụ: Viết pt mặt cầu tâm
bán kính R. Yêu cầu h/s tìm - Học sinh I (2,0,-3), R=5
điều kiện cần và đủ để M (x,y,z) đứng tại chỗ * Nhận xét:
Pt:
thuộc (S).
trả lời, giáo 2 2 2

x + y + z + 2 Ax+2By+2Cz+D=0 (2)

- Từ đó giáo viên dẫn đến
4


phương trình của mặt cầu.

viên ghi bảng.

⇔ ( x + A) 2 + ( y + B ) 2 + ( z + C ) 2 = R 2
R = A2 + B 2 + C 2 − D 〉 0

- Gọi 1 hs làm ví dụ trong SGK.

pt (2) với đk:

Gv đưa phương trình

A2 + B 2 +C 2 − D > 0 là pt mặt cầu

có tâm I (-A, -B, -C)

x 2 + y 2 + z 2 + 2 Ax+2By+2Cz+0=0

R = A2 + B 2 + C 2 − D

Yêu cầu h/s dùng hằng đẳng
thức.

-

H/s

Ví dụ: Xác định tâm và bán kính
cùng của mặt cầu.

Cho học sinh nhận xét khi nào giáo viên đưa
là phương trình mặt cầu, và tìm về hằng đẳng
tâm và bán kính.

x2 + y 2 + z 2 − 4x + 6 y − 5 = 0

thức.

Cho h/s làm ví dụ
- 1 h/s trả lời
4. Cũng cố và dặn dò:

* Cần nắm tọa độ của điểm, vectơ và các tính chất của nó, biểu thức tọa độ của
tích vô hướng 2 vectơ và áp dụng.
* Phương trình mặt cầu, viết phương trình mặt cầu, tìm tâm và bán kính của nó.
Phiếu học tập số 1:
Cho hình bình hành ABCD với A (-1;0;2), B(3;4;0) D (5;2;6). Tìm khẳng định sai.
a. Tâm của hình bình hành có tọa độ là (4;3;3)
uuur

b. Vectơ AB có tọa độ là (4;-4;-2)
c. Tọa độ của điểm C là (9;6;4)
d. Trọng tâm tam giác ABD có tọa độ là (3;2;2)
Phiếu học tập số 2:
r

r

r

Cho a = (2; −1;0), b = (3,1,1), c = (1, 0, 0)
Tìm khẳng định đúng.
rr

a. a.b = 7
r uu
rr

b. (a.c)b = (6, 2, −2)
r r

c. a + b = 26

uu
r urr

d. a 2 .(b.c) = 15
Phiếu học tập số 3:
Mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 8 x + 2 z + 1 = 0 có tâm và bán kính lần lượt là:
a. I (4;-1;0), R=4
5


b. I (4;0;-1); R=4
c. I (-4;0;1); R=4
d. I (8;0;2); R=4
Bài tập về nhà: BT sách giáo khoa.

6


LUYỆN TẬP: HỆ TỌA ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN
(Chương trình chuẩn)
I. Mục tiêu: Học xong 2 tiết này học sinh nắm vững lý thuyết giải thành thao về ba
dạng toán cơ bản sau:
1) Về kiến thức:
+ Toạ độ, biểu thức toạ độ và tích vô hướng của hai vectơ.
+ Toạ độ của một điểm.
+ Phương trình mặt cầu.
2) Về kĩ năng:
+ Có kỹ năng vận dụng thành thạo các định lý và các hệ quả về toạ độ vectơ,
toạ độ điểm và phương trình mặt cầu để giải các dạng toán có liên quan.

3) Về tư duy và thái độ:
+ Rèn các thao tác tư duy chủ động phân tích, tổng hợp, tính cẩn thận, thái
độ làm việc nghiêm túc.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
+ Giáo viên: Giáo án, bảng phụ; phiếu học tập.
+ Học sinh: SGK, các dụng cụ học tập.
III. Phương pháp dạy học:
Gợi mở, nêu vấn đề, giải quyết vấn đề .
IV. Tiến trình bài dạy:
1) Ổn định tổ chức: (1’)
2) Bài mới:
* Tiết 1:
* Hoạt động 1:
r
r
r
Bài tập 1 : Trong không gian Oxyz cho a(1; −3;2); b(3;0;4); c(0;5;-1).
r 1r
r
r 1r
r
a) Tính toạ độ véc tơ u = b và v = 3a − b + 2c
2
2
r r r
rr
b) Tính a.b và a.(b − c).
r r
c) Tính và a − 2c .
TG

20’

Hoạt động của giáo viên
Gọi 3 HS giải 3 câu.
Gọi HS1 giải câu
r a
Hỏi rnhắc lại: k. a =?
r
r
a±b±c =?
r
3 ar = ?
2c = ?
Gọi HS2 giảir câu b
r
Nhắc lại : a.b =
TG Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh
HS1: Giải câu a
r 1r 1
u = b = (3;0;4) =
2
2
r
Tính 3 a =
r
2c =
r
Suy ra v =

HS2: Giải
câu b
rr
Tính a.b
r r
Tính (b − c).
r r r
Suy ra: a.(b − c).

Ghi bảng, trình chiếu
Bài tập 1 : Câu a

Hoạt động của học sinh

Ghi bảng, trình chiếu

7

Bài tập 1 : Câu b


Gọi HS3 giải câu c
HS3: Giải câu c
Bài tập 1 : Câu c
r
r
Nhắc lại: a = ?
Tính a =
r
r r

a − 2c =
2 c đã có .
r r
Gọi học sinh nhận xét Suy ra a − 2c =
đánh giá.
* Hoạt động 2:
Bài tập 2 : Trong
uuur không gian Oxyz cho ba điểm A(1;2;-1); B(3;0;1); C(3;2;0).
a) Tính AB ; AB và BC.
b) Tính toạ độ trong tâm G của tam giác ABC.
c) Tính độ dài trung tuyến CI của tam giác ABC.
d) Tìm toạ độ điểm D để ABCD là hình bình hành.
TG
24’

Hoạt động của giáo viên
Gọi 3 Học sinh giải
Gọi HS1 giải câu uauurvà b.
Hỏi và nhắc lại : AB = ?
AB = ?
Công thức trọng tâm tam
giác.

Hoạt động của học sinh
Ghi bảng, trình chiếu
Bài tập 2 : Câu a;b
uHS1
uur giải câu a và b.
AB =
AB =

AC =
Toạ độ trọng tâm tam giác
ABC

Bài tập 2 : Câu c
HS2 giải câu c
Gọi HS2 giải câu c
Tính toạ độ trung điểm I
Hỏi : hướng giải câu c
của AB.
Công thức toạ độ trung Suy ra độ dài trung tuyến
điểm AB
CI.
Gọi HS3 giải câu d
Hỏi : hướng giải câu d
Nhắc
lại công thức
r r
a=b
Vẽ hình hướng dẫn.
Lưu ý: tuy theo hình bình
hành suy ra D có toạ độ
khác nhau.
Gọi học sinh nhận xét
đánh giá.

uuur
HS3 Ghi lại toạ độ AB
uuur
Gọi D(x;y;z) suy ra DC

Để ABCD
là hbh khi
uuur uuur
AB = DC
Suy ra toạ độ điểm D.

Tiết 2: Ổn định tổ chức ( 1’ )
* Hoạt động 3:
Bài tập 3: Tìm tâm và bán kính các mặt cầu sau:
a) x2 + y2 + z2 – 4x + 2z + 1 =0
b) 2x2 + 2y2 + 2z2 + 6y - 2z - 2 =0
TG
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
15’ Gọi 2 Học sinh giải
HS1 giải câu a
Gọi HS1 giải câu a

8

Ghi bảng, trình chiếu
Bài tập 3 : Câu a


Hỏi : 2A= ? 2B= ?
2C= ?
Nhắc lại tâm I; bk: R

Hỏi : 2A= -4; 2B= 0
2C= 2

Suy ra A; B; C
Suy ra tâm I; bk R.
Bài tập 3 : Câu b

Gọi HS2 giải câu b
Hướng giải câu b
Lưu ý hệ số x2 ;y2 ;z2 là 1

HS2 giải câu b
Chia hai vế PT cho 2
PT <=>
x2 + y2 + z2 +3x - z - 1 =0
Gọi học sinh nhận xét Suy ra tâm I ; bk R. tương tự
đánh giá.
câu a.
* Hoạt động 4:
Bài tập 4: Trong không gian Oxyz cho hai điểm: A(4;-3;1) và B (0;1;3)
a) Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.
b) Viết phương trình mặt cầu qua gốc toạ độ O và có tâm B.
c) Viết phương trình mặt cầu tâm nằm trên Oy và qua hai điểm A;B.
TG
22’

Hoạt động của giáo viên
Gọi 2 h.sinh giải câu a;b
Gọi HS1 giải câu a
Hỏi : Viết pt mặt cầu cần
biết điều gì? dạng?
+ Tâm = ?
+ Bán kính R = ?

Nhắc lại tâm I; bk: R
Dạng pt mặt cầu
Gọi HS2 giải câu b
Hướng giải câu b
Tâm I trùng O
Bk R = ?
Dạng pt mặt cầu
Gọi học sinh nhận xét
đánh giá
Cho học sinh xung phong
giải câu c.
Hỏi tâm I thuộc Oy suy ra
I có toa độ?
Mặt cầu qua A;B suy ra IA
? IB

Hoạt động của học sinh
HS1 giải câu a
Tâm I trung điểm AB
Suy ra tâm I
Bk R = AI hoặc
R = AB/2
Viết pt mặt cầu

Ghi bảng, trình chiếu
Bài tập 4 : Câu a

HS2 giải câu b
Tâm I trùng O(0;0;0)
Bk R = OB=

Viết pt mặt cầu

Bài tập 4 : Câu b

Bài tập 4 : Câu c: Bg:
Tâm I thuộc Oy suy ra
I(0;y;0).
Mặt cầu qua A;B suy ra
AI = BI <=> AI2 = BI2
<=> 42 +(y+3)2 +12=

HS3 giải câu c
02 + (y-1)2 + 32
Tâm I thuộc Oy suy ra
<=> 8y + 16 = 0
I(0;y;0)?
Mặt cầu qua A;B suy ra <=> y = -2
Tâm I (0;-2;0)
AI = BI <=> AI2 = BI2
Kb R = AI =
Giải pt tìm y
Giải pt tìm tâm I
Suy ra tâm I bk R
Suy ra bk R = 18
Viết pt mặt cầu

9


PTmc cần tìm.

x2 + (y+2)2 + z2 =18

Gọi học sinh nhận xét
đánh giá.

V) Củng cố toàn bài: (6’)
+ Nắm vững thành thạo ba dạng bài tập trên.
+ Vận dụng làm bài trắc nghiệm thông qua trình chiếu.
(Giáo viên tự ra đề phù hợp với năng lực học sinh đang dạy có thể tham khảo
các bài tập trắc nghiệm sau .)
→
→
Câu 1: Trong không gian Oxyz cho 2 vectơ a = (1; 2; 2) và b = (1; 2; -2); khi đó :
→

→

→

a ( a + b ) có giá trị bằng :

A. 10
B. 18
C. 4
D. 8
→
→
Câu 2: Trong không gian Oxyz cho 2 vectơ a = (3; 1; 2) và b = (2; 0; -1); khi đó
→ →
vectơ 2 a − b có độ dài bằng :

A. 3 5
B. 29
C. 11
D. 5 3
Câu 3: Trong không gian Oxyz ; Cho 3 điểm: A(-1; 1; 4) , B(1;- 1; 5) và C(1; 0; 3),
toạ độ điểm D để ABCD là một hình bình hành là:
A. D(-1; 2; 2)B. D(1; 2 ; -2)
C. D(-1;-2 ; 2)
D. D(1; -2 ; -2)
Câu 4: Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A (1;–2;2) và B (–2;0;1). Toạ độ điểm C
nằm trên trục Oz để ∆ ABC cân tại C là :
A. C(0;0;2)

B. C(0;0;–2)

C. C(0;–1;0)

2
3

D. C( ;0;0)

Câu 5: Trong không gian Oxyz ,cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 4x – 2z – 4 = 0, (S)
có toạ độ tâm I và bán kính R là:
A. I (–2;0;1) , R = 3 B. I (4;0;–2) , R =1 C. I (0;2;–1) , R = 9. D. I (–2;1;0) , R = 3
Câu 6: Trong không gian Oxyz ,phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;- 2; 4) và đi
qua A(3;0;3) là :
A. (x-1)2 + (y+2) 2 + (z-4) 2 = 9
B. (x- 1)2 + (y+2) 2 + (z- 4) 2 = 3
C. (x+1)2 + (y-2) 2 + (z+4) 2 = 9

D. (x+1)2 + (y-2) 2 + (z+4) 2 = 3.
Câu 7: Trong không gian Oxyz ,mặt cầu (S) có đường kính OA với A(-2; -2; 4) có
phương trình là:
A. x2 + y2 + z2 + 2x + 2y – 4z = 0
B. x2 + y2 + z2 - 2x - 2y + 4z = 0
C. x2 + y2 + z2 + x + y – 2z = 0
D..x2 + y2 + z2 + 2x +r 2y + 4z = 0r
r
Câu 7: Cho 3 vectơ i = (1;0;0) , j = (0;1;0) và k = (0;0;1) . Vectơ nào sau đây không
r r r r
vuông góc với vectơ v = 2i − j + 3k
r r r
r r r
r r
r r
A. i + 3j − k
B. i − j − k
C. i + 2 j
D. 3i − 2k
Câu 8: Cho tam giác ABC có A(0;0;1) , B(– 1;2;1) , C(– 1;0;4). Diện tích của tam
giác ABC là:

10


A.

7
2

B.

8
3

C. 3

D. 7

VI) Hướng dẫn học sinh học bài ở nhà và ra bài tập về nhà: (1’)
+ Tương tự bài tập trên giải các bài tập 1 đến 6 SGK trang 68.
+ Tham khảo - giải các bài tập còn lại trong sách bài tập hình học.

11