Giáo án Hình học 12 chương 3 bài 1: Hệ trục tọa độ trong không gian

GIÁO ÁN HÌNH HỌC 12
 HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
I. Mụcđđích bài dạy:
- Kiến thức cơ bản: toạ độ của điểm và của vector, biểu thức toạ độ của các phép toán vector,
tích vô hướng, ứng dụng của tích vô hướng, phương trình mặt cầu,
- Kỹ năng:
+ Biết tìm toạ độ của điểm và toạ độ của vector.
+ Biết tính toán các biểu thức toạ độ dựa trên các phép toán vector.
+ Biết tính tích vô hướng của hai vector.
+ Biết viết phương trình của mặt cầu khi biết tâm và bán kính.
- Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv,
năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của toán học trong
đời sống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội.
- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.
II. Phương pháp:
- Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp.
- Phương tiện dạy học: SGK.
III. Nội dung và tiến trình lên lớp:
Hoạt đđộng của Gv
Hoạt đđộng của Hs
I. TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTOR.
1. Hệ toạ độ:
z

→

k→
j
O

y

E
M
BE
D
x
Eq
uagian, cho 3 trục x’Ox, y’Oy, z’Oz
Trong không
rr r
tio nhau từng đôi một. Gọi i, j , k lần
vuông góc với
n.
lượt là các vector
đơn vị trên các trục x’Ox, y’Oy,
3
z’Oz. Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục toạ độ

Decarst vuông góc Oxyz trong không gian.
Trong đó:
+ O: gốc tọa độ.
+ (Oxy), (Oyz), (Ozx): các mặt phẳng toạ độ đôi


một vuông góc với nhau.
Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn được gọi là
không gian Oxyz.
Ngoài ra, ta còn có:
→

i

→

i

→ →

2

=
=

→

→

j=k

→

2

j

→ →

=

→

=1
2

k

=1

→ →

i . j = i .k = k . j = 0

Hoạt động 1:
Trong không
uuuu
r gian Oxyz, cho điểm M. Hãy phân
tích vector OM theo ba vector không đồng phẳng
rr r
i, j , k đã cho trên các trục Ox, Oy, Oz.
2. Toạ độ của một điểm:
Trong không
r r r gian Oxyz, cho điểm M tuỳ ý. Vì
ba vetor i, j , k không đồng phẳng nên có một bộ
ba số (x; y; z) duyr nhất sao cho:
uuuu
r
r
r
OM = x. i + y. j + z. k (H.3.2, SGK, trang 63)
Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta
điểm

r có một
uuuu
r
r
r
M duy nhất thoả : OM = x. i + y. j + z. k
Khi đó ta gọi bộ ba số (x; y; z) là toạ độ của điểm
M. Ta viết: M(x; y; z) (hoặc M = (x; y; z))
x: hoành độ điểm M.
y: tung độ điểm M.
z: cao độ điểm M.
3. Toạ độ của vector:
r
Trong không gian Oxyz cho vector a , khi đó
luôn tồn tại duyr nhất bộ ba số (a1; a2; a3) sao cho:
r
r
r
a = a1. i + a2. j + a3. k . Ta gọi bộ ba số (a1; a2; a3)
r
là toạ độ của vector a . Ta viết :
r
r
a = (a1; a2; a3) hoặc a (a1; a2; a3)
uuuu
r
* Nhận xét:
M (x; y; z) ⇔ OM = ( x; y; z )
Hoạt động 2:
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật

ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O, rcór r
uuur uuur uuur
AB ; AD ; AA ' theo thứ tự cùng hướng với i, j , k
và có AB = a,uuAD
b,u
Hãy tính toạ độ các
ur =
uuu
r AA’ u=uuc.
uuur
u
r
vector AB ; AC ; AC ' và AM với M là trung
điểm của cạnh C’D’.
II. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP

uuuu
r
Hs thảo luận nhóm để phân tích vector OM
rr r
theo ba vector không đồng phẳng i, j , k đã cho
trên các trục Ox, Oy, Oz.

Hs thảo
luận nhóm
toạ độ các vector
r đểuutính
uuur uuur uuuu
uu
r

;
;
và
với
M là trung điểm
AB AC AC '
AM
của cạnh C’D’.


TOÁN VECTOR.
Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý sau:
“Trong không gian Oxyz cho hai vector

a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) và b = (b1 ; b 2 ; b 3 ) . Ta có:
 
a) a + b = (a 1 + b1 ; a 2 + b 2 ; a 3 + b 3 ) .
 
b) a − b = (a 1 − b1 ; a 2 − b 2 ; a 3 − b 3 ) .

c) Với k ∈ R ⇒ ka = (ka 1 ; ka 2 ; ka 3 )
Phần chứng minh, Gv hướng dẫn Hs xem SGK,
trang 64.
* Hệ quả:

a/ Cho hai vector a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) và

b = (b1 ; b 2 ; b 3 ) . Ta có:
a 1 = b1
 


a = b ⇔ a 2 = b 2
a = b
3
 3
r
b/ Vector 0 có toạ độ là (0; 0; 0)
r r
r
r
c/ Với b ≠ 0 thì hai vector a và b cùng phương
khi và chỉ khi có một số k sao cho :
 a1 = kb1

 a2 = kb2
 a = kb
3
 3
d/ Đối với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm bất kỳ
A(xA ; yA ; zA) và B(xB ; yB ; zB) thì ta có công thức
sau :
uuu
r uuu
r uuu
r
AB = OB − OA = ( xB − x A ; y B − y A ; z B − z A )
+ Tọa độ trung điểm I của đoạn AB là
xA + xB

x I =

2

y
+
yB

A
y I =
2

z
+
zB

A
z I =
2

III. TÍCH VÔ HƯỚNG.
1. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng:
Định lý : Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, biểu thức tọa
 độ của tích vô hướng hai véctơ

a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) , b = (b1 ; b 2 ; b 3 ) được xác định bởi
công thức :

a.b = a 1 b1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

2. Ứng dụng:
a/ Độ dài của một vector:

a = a 12 + a 22 + a 32
b/ Khoảng cách giữa hai điểm:
AB = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 + (z B − z A ) 2

c/ Góc giữa hai vector:
 
Nếu gọi ϕ là góc hợp bởi hai véctơ a , b

a
b



với a ; b ≠ 0 thì cos ϕ =  
ab

a ,
Vậy ta có công
thức
tính
góc
giữa
hai
véctơ
r r

r r

b với a ≠ 0 ; b ≠ 0 như sau :
r r
a1b1 + a2b2 + a3b3
cos ϕ = cos( a, b) =
2
a1 + a22 + a32 . b12 + b22 + b32
 
Suy ra: a⊥b ⇔ a 1 b1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0
Hoạt động 3:

a =
Với hệrtoạ độ Oxyz trong
không
gian,
cho
r
(3; 0; 1), b = (1; - 1; - 2), c = (2; 1; - 1). Hãy tính
r r
r r r
a.(b + c) và a + b .
IV. MẶT CẦU.
r r
r r r
Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý sau:
a
Hs thảo luận nhóm để tính a.(b + c) và + b .
“Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c)
bán kính r có phương trình là:
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c ) 2 = r 2 ”
Gv giới thiệu với Hs phần chứng minh (SGK,

trang 67) để Hs hiểu rõ và biết cách viết phương
trình mặt cầu khi biết toạ độ tâm và bán kính r.
Hoạt động 4:
Em hãy viết phương trình mặt cầu tâm I(1; - 2;
3) và có bán kính r = 5.
* Nhận xét:
Mặt cầu trên có thể viết dưới dạng :
x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với
d = a2 + b2 + c2 – r2.
Hs thảo luận nhóm để viết phương trình mặt cầu
Người ta đã chứng minh được rằng phương trình tâm I(1; - 2; 3) và có bán kính r = 5.
x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với
A2 + B2 + C2 – D > 0 là phương trình mặt cầu tâm
I(- A; - B; - C), bán kính r = A2 + B 2 + C 2 − D .
Gv giới thiệu với Hs vd (SGK, trang 67, 68) để
Hs hiểu rõ và biết cách viết phương trình mặt cầu ở
dạng triển khai.
IV. Củng cố:


+ Gv nhắc lại các khái niệm và quy tắc trong bài để Hs khắc sâu kiến thức.
+ Dặn BTVN: 1..6, SGK, trang 68.