Giáo án Đại số 11 chương 2 bài 3: Nhị thức Niutơn

NHỊ THỨC NIU-TƠN

I. Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn
VD1.Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức  2  x  , biết rằng
n

3n Cn0  3n 1 Cn1  3n 2 Cn2  3n 3 Cn3  ...   1 Cnn  2048
n

VD2. Tìm hệ số của x5 trong khai triển biểu thức P  x  1  2 x   x 2  1  3x 
5

10

VD3. Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
n

�1
7�
� 4  x �, biết rằng
�x
�
C21n 1  C22n 1  ...  C2nn 1  220  1

VD4. Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của biểu thức
P�
1  x2  1  x  �
�
�
8

VD5. Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn
7

1 �
�
P  �3 x  4 �, x  0
x�
�

VD6. Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức Niu-tơn
n

�1
5 �
� 3  x �, biết rằng
�x
�
Cnn41  Cnn3  7  n  3

VD7. Với n là số nguyên dương, gọi a3n 3 là hệ số của x3n 3 trong khai triển
n
n
thành đa thức của  x 2  1  x  2  . Tìm n để a3n 3  26n .
VD8. Tìm số nguyên dương n sao cho
Cn0  2Cn1  22 Cn2  23 Cn3  ...  2n Cnn  243

VD9. Cho khai triển nhị thức

Page 1


n

n 1

n

x
x
x 1
x 1
 �

� x21
0� 2 �
1� 2 � � 3 �
3
2  2 � Cn �
2 � Cn �
2 � �
2 � ... 
�
� �
� � � �
�
�
n 1

C

n 1
n

n

x

� 3x �
� x21 �
n� 3 �
2
2

C
2
� �
�
� �
n �
� �
� �
� �

1. Biết rằng trong khai triển đó Cn3  5Cn1 và số hạng thứ tư bằng 20n.
2. Tìm n và x.
VD10. Cho đa thức P  x    1  x   2  1  x   3  1  x   ...  20  1  x 
2

3

20

Tìm hệ số của số hạng chứa x15 trong khai triển thành đa thức của P(x).
VD11. Biết rằng tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức  x 2  1 bằng 1024.
Hãy tìm hệ số của số hạng chứa x12 trong khai triển trên.
n

VD12. Gọi a1, a2, …, a11 là hệ số trong khai triển sau:

 x  1  x  2   x11  a1 x10  a2 x9  ...  a10 x  a11
10

Tìm hệ số a5.
VD13. Khai triển đa thức P  x    1  2 x  thành dạng
12

P  x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a12 x12

Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số a0, a1, a2, …, a12.
VD14. Xét khai triển  3x  2   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a9 x9
9

Tìm max  a0 , a1 , a2 ,..., a9 
VD15. Cho khai triển:  1  2 x   a0  a1 x  ...  an x n , trong đó n �� và các hệ số
n

a0 , a1 ,..., an thỏa mãn hệ thức a0 

a
a1
 ...  nn  4096 . Tìm số lớn nhất trong các số
2
2

a0 , a1 ,..., an .

VD16. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn:
18

1 �
�
�2 x  5 �  x  0  .
x�
�



Page 2


II. Các bài toán chứng minh hệ thức tổ hợp bằng sử dụng nhị thức Niu-tơn
VD1. Cho n là số nguyên dương. Tính tổng
Cn0 

2 2  1 1 23  1 2
2n  1 n
Cn 
Cn  ... 

Cn
2
3
2

VD2. Tìm số nguyên dương n sao cho
C21n 1  2.2C22n 1  3.22 C23n 1  4.23 C23n 1  ...   2 n  1 2 2 n C22nn1  2005

VD3.Cho n là số nguyên dương, chứng minh
1 1 1 3 1 5
1 2 n 1 22 n  1
C2 n  C2 n  C2 n  ...  C2 n 
2
4
6
2n
2n  1

VD4. Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng:
1
2

1
3

1. 1  Cn1  Cn3  ... 

1
2 n 1  1
Cnn 

n 1
n 1

1
n
2. 2C  2 1 Cn1  23 1 Cn2  ...    2n 1 Cnn  1 �
1   1 �
�
�
2
3
n 1
n 1
n

0
n

2

VD5.
1

x  1  x 2  dx
1. Tính tích phân I  �
n

0

1

2. Chứng minh rằng 1 Cn0  1 Cn1  1 Cn2  1 Cn3  ...    Cnn  1
2
4
6
8
2n  2
2n  2
n

VD6.
1

x 2  1  x 3  dx
1. Tính tích phân I  �
n

0

1
3

1
6

1
9

2. Chứng minh rằng Cn0  Cn1  Cn2  ... 

1

2n 1  1
Cnn 
3n  3
3n  3

VD7. Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng:
1
2
3
n 1
n
n 1
1. Cn  2Cn  3Cn  ...   n  1 Cn  nCn  n.2



Page 3


2
3
n
n2
2. 2.1.Cn  3.2.Cn  ...   n  1 nCn  n.  n  1 .2
2
3
4
n
n 1
3. Cn  2Cn  3Cn  ...   n  1 Cn   n  2  2  1

VD8. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, ta có:
C20n  C22n  C24n  ...  C22nn  C21n  C23n  ...  C22nn 1

VD9.
1. Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển (1 + x)10(x + 1)10 .
0
2. Từ đó suy ra giá trị của tổng S   C10
   C101   ...   C1010 
2

2

2

VD10.
0 10
2 8
9 1
10 0
C20  C110C920  C10
C20  ...  C10
C20  C10
C20
1. Rút gọn tổng S  C10
2006
2007
2. Rút gọn tổng S   C02007    C12007   ...   C 2007
   C2007


2



2

2

2

Page 4