Khai thác bài tập toán trong dạy học quan hệ song song trong không gian

Khoá luận tốt nghiệp
Lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới cô giáo Dương Thị Hà,
người đã hướng dẫn chỉ bảo em tận tình trong suốt quá trình em hoàn thành
bài khoá luận của mình.
Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ phương
pháp và các thầy cô giáo trong khoa Toán, Ban chủ nhiệm khoa Toán trường
ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt bài khoá luận này.
Do lần đầu làm quen với nghiên cứu khoa học nên khoá luận của em
không tránh khỏi thiếu sót. Em rất mong nhận được sự chỉ bảo đóng góp của
các thầy cô giáo và các bạn để khoá luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn.
Xuân Hoà, tháng 05 năm 2010
Sinh viên
Nguyễn Thị Thanh Huyền

Nguyễn Thị Thanh Huyền

1

K32G – Toán


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan khoá luận là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà
khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Những kết quả nêu trong khoá luận chưa được công bố trên bất cứ công
trình nào.
Xuân hoà, tháng 05 năm 2010
Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Huyền


Mục lục

Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Mở đầu

1

I. Lý do chọn đề tài

1

II. Mục đích nghiên cứu

2

III. Nhiệm vụ nghiên cứu

2

IV. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

2

V. Phương pháp nghiên cứu

2

VI. Cấu trúc của khoá luận

2

Nội dung

4

Chương I: Cơ sở lý luận

4

1.1.Tìm hiểu chung về HHKG

4

1.1.1.Đặc điểm của môn HHKG

4

1.1.2. Những thuận lợi và khó khăn khi học khai thác bài tập toán

6

HHKG
1.2. Khai thác bài tập toán

8

1.2.1. Bài tập toán phát triển tư duy

8

1.2.2. hoạt động khai thác bài tập toán HHKG

9

1.2.3. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học

19

1.2.4. yêu cầu đối với lời giải

20

1.2.5. ơng pháp chung để giải bài tập toán

21

1.3. Kết luận

25


Chương II:Khai thác bài tập toán trong dạy học quan hệ song song

26

trong không gian
Đ1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

26

Đ2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

47

Đ3. Đường thẳng và mặt phẳng song song

57

Đ4. Hai mặt phẳng song song

67

Đ5. Phép chiếu song song.Hình biểu diễn của một hình không gian

78

Kết luận

84

tài liệu tham khảo

85

mở đầu
I. Lý do chọn đề tài
Luật Giáo dục nước Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam đã qui định:
“Phương pháp giáo dục phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng
tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí
vươn lên” (Luật giáo dục 1998, chương I điều 4).
“Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác,
chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh;phù hợp với đặc điểm của từng lớp
học môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến
thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập
của học sinh”(Luật giáo dục 1998, chương I điều 24).
Trong chương trình đổi mới SGK và phương thức giảng dạy hiện nay
việc kích thích tính chủ động học tập và lĩnh hội tri thức của học sinh là rất
cần thiết. Trong từng tiết dạy lý thuyết đặc biệt là tiết luyện tập ôn tập đòi hỏi
người giáo viên phải luôn luôn sáng tạo để học sinh thấy hứng thú với việc
học, từ đó phát huy được tính tự giác, tích cực, sáng tạo của học sinh trong
học tập. Để làm được điều này người giáo viên phải tạo ra được cái mới từ
những cái đã có bằng việc đào sâu, mở rộng, khai thác một cách triệt để từ
những cái ban đầu, có thể khó ta làm dễ hơn đi để đơn giản hoặc từ dễ ta tổng
hợp lên để thích ứng được với từng đối tượng hoặc tạo ra những bài toán có
nhiều tình huống gắn liền với thực tế.
Mặc dù đã được làm quen với kiến thức ban đầu về hình học không
gian ở lớp 9 nhưng bước vào chương trình hình học không gian lớp 11 các em
vẫn gặp không ít khó khăn và bỡ ngỡ, nhất là khi học chương đầu tiên “Quan


hệ song song”, từ đó dẫn đến một thực tế là học sinh ngại học và không có
hứng thú học,dẫn đến khả năng khai thác bài tập toán sẽ giảm sút.
Vì vậy nhằm tạo điều kiện tốt hơn cho việc giảng dạy sau này và mong
muốn làm giảm bớt những khó khăn cho học sinh, phát huy được trí tưởng

tượng không gian, tư duy logic, tính linh hoạt sáng tạo khi học hình học
không gian, phù hợp với xu hướng đổi mới của phương pháp dạy học, tôi đã
chọn cho mình đề tài:
“Khai thác bài tập toán trong dạy học quan hệ song song trong
không gian”.
II. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu nhằm đi sâu tìm hiểu cơ sở lý luận về hình học
không gian(HHKG),cơ sở lý luận về các hoạt động khai thác bài tập toán
HHKG,đề xuất hệ thống bài tập khai thác chủ đề quan hệ song song trong
không gian nhằm kích thích tư duy linh hoạt sáng tạo của học sinh, bồi dưỡng
năng lực tích cực tự giác chủ động tìm tòi kiến thức, góp phần tăng sự hứng
thú học tập và khả năng khai thác bài tập toán của học sinh trong học tập.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu cơ sở lí luận và thực tiễn về khai thác bài tập toán trong dạy học
quan hệ song song trong không gian.
- Xây dựng hoạt động khai thác bài tập toán trong dạy học quan hệ song
song trong không gian.
IV. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu quan hệ song song trong không gian hình học 11.
V.Phương pháp nghiên cứu
Đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu lí luận,quan sát điều tra, tổng
kết kinh nghiệm và thực nghiệm giáo dục.
VI. Cấu trúc của khoá luận


Ngoài mục lục, mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khoá luận gồm
2 chương ở nội dung.
Chương I: Cở sở lí luận.
I.Tìm hiểu chung về HHKG.
II.Khai thác bài tập toán.

III.Kết luận.
Chương II: Khai thác bài tập toán trong dạy học quan hệ song song
trong không gian.
Đ1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng.
Đ2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song.
Đ3. Đường thẳng và mặt phẳng song song.
Đ4. Hai mặt phẳng song song.
Đ5. Phép chiếu song song.Hình biểu diễn của một hình không gian.


nội dung
Chương I: Cơ sở lý luận
1.1. Tìm hiểu chung về HHKG
1.1.1 Đặc điểm của môn HHKG
a. HHKG mang đầy đủ những đặc điểm chung của Toán học
- Tính trừu tượng cao độ.
+ Tính trừu tượng của toán học được thể hiện ở đối tượng của nó :“Đối
tượng nghiên cứu của toán học là những hình dạng không gian của thế giới
khách quan cùng với quan hệ về số lượng của chúng”.
Hình dạng không gian không chỉ bó hẹp ở không gian hai chiều, ba
chiều thông thường, mà còn ở những không gian tổng quát n nhiều, vô hạn
chiều.
Quan hệ về số lượng không chỉ bó hẹp trong phạm vi tập hợp số mà
được biểu hiện trên các phép toán của chúng và quan hệ trên tập hợp đối
tượng tuỳ ý.
+ Tính trừu tượng của toán học là tách ra khỏi các chất liệu của đối
tượng, chỉ giữ lại những quan hệ về số lượng và hình dạng mà thôi như điểm
không có bề dày chiều rộng và chiều dài, đường thẳng không có bề dày, chiều
rộng chỉ có chiều dài.
- Tính thực tiễn phổ dụng.

+ Toán học luôn luôn bắt nguồn từ thực tiễn:
Số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm.


Phân số ra đời do nhu cầu phân chia một đơn vị thành nhiều phần
bằng nhau.
Hình học ra đời do nhu cầu đo đạc lại ruộng đất bên bờ sông Nin của
người Ai Cập cổ đại sau trận lụt.
+ Toán học nói chung và hình học nói riêng có nhiều ứng dụng trong
thực tiễn và trong các ngành khoa học khác nhau như: vật lí, hoá học, thiên
văn học…
+ HHKG nghiên cứu các hình dạng không gian và quan hệ số lượng
của không gian ba chiều thông thường. Các hình dạng không gian và các quan
hệ đó phát hiện và nảy sinh trong đời sống phát triển của xã hội loài người.
- Tính logic chặt chẽ
+ Tính logic thể hiện là phương pháp tiên đề. Cụ thể:chọn một số đối
tượng cơ bản và một số quan hệ cơ bản thừa nhận chúng gọi là các tiên đề. Từ
đó người ta định nghĩa tất cả các khái niệm khác, chứng minh tất cả các tính
chất khác bằng suy diễn.
+ Toán học nói chung và hình học nói riêng quán triệt chặt chẽ phương
pháp tiên đề, cụ thể là thừa nhận một số tính chất.
+ Các đối tượng cơ bản của phương pháp tiên đề trong HHKG: điểm,
đường thẳng, mặt phẳng.
+ Các quan hệ cơ bản của phương pháp tiên đề:
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt không thẳng
hàng cho trước.
Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một
đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng

đó.


Trong mỗi mặt phẳng các kết quả đã biết đều đúng.
- Tính thực nghiệm:
+ Toán học trong quá trình hình thành và phát triển vẫn là tìm tòi và dự
đoán.
+ Môn HHKG có nhiều cơ hội rèn luyện cho học sinh các phép suy
luận quy nạp, dự đoán và thực nghiệm.
b. Ngoài ra, HHKG có những đặc điểm riêng sau:
- HHKG có tác dụng trực tiếp trong việc bồi dưỡng và phát triển trí tưởng
tượng không gian cho học sinh.
Trong hình học phẳng(HHP) hình vẽ được thực hiện dễ dàng và biểu
diễn đúng hình cần nghiên cứu nên học sinh có quan niệm về hình vẽ một
cách cụ thể và đầy đủ. Nhưng trong HHKG hình vẽ là hình chiếu nguyên bản
của vật thể xuống một mặt phẳng theo một phương chiếu xác định nên hình
vẽ biến đổi theo quy luật của phép chiếu, không thể hiện đúng hình học thật
của nó, đòi hỏi học sinh phải tưởng tượng suy luận tìm ra mối quan hệ đích
thực của các đối tượng.
- HHKG được xây dựng trên cơ sở HHP và có mối liên hệ chặt chẽ với
HHP.
- ở HHKG người ta cũng đưa ra các khái niệm cơ bản: điểm, đường
thẳng; ngoài ra bổ sung thêm một khái niệm cơ bản nữa là mặt phẳng.Thực
chất đây là vấn đề mở rộng từ không gian hai chiều sang không gian ba chiều
nên nội dung và phương pháp nghiên cứu của nó có nhiều vấn đề tương tự
như trong hình học phẳng. Do đó việc dạy và học tốt HHP tạo cơ sở thuận lợi
cho việc dạy và học tốt HHKG.
1.1.2. Những thuận lợi và khó khăn khi học khai thác bài tập toán
HHKG
a. Những thuận lợi

- ở lớp 9 học sinh đã được làm quen với môn HHKG nên khi bước vào học
HHKG lớp 11 các em không còn nhiều bỡ ngỡ.
- HHKG xây dựng trên cơ sở HHP, các kiến thức trong HHKG có liên quan
nhiều đến các kiến thức trong HHP, tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh khi
học HHKG; nếu học sinh học tốt HHP thì khả năng khai thác bài tập toán của
học sinh khi học HHKG sẽ tốt.
- Một điều kiện thuận lợi nữa là khi học sinh học HHKG có rất nhiều vật thể
trong thực tế có thể liên tưởng và minh hoạ cho bài học như phòng học,
hộp phấn, bàn giáo viên, quyển sách, thước, bút chì… giúp học sinh quan sát
được hình không gian trên hình dạng thật của nó, tạo cơ sở cảm tính cho
việc hình thành các biểu tượng không gian.Từ đó việc nắm vững các khái
niệm, các định lý và khai thác bài tập toán của học sinh trở nên dễ dàng hơn.
b. Những khó khăn
- Mặc dù ở lớp 9 học sinh đã được làm quen với những khái niệm ban đầu về
HHKG, nhưng các kiến thức đó chỉ mang tính chất giới thiệu vì hầu hết các
định lý đều công nhận không chứng minh, nên khi bước vào chương trình
HHKG lớp 11 học sinh vẫn gặp không ít khó khăn.
- Trong HHP chỉ có hai đối tượng cơ bản là “điểm” và “đường thẳng” nên
mối quan hệ giữa các đối tượng chưa nhiều lắm, nhưng trong HHKG lại có
thêm một đối tượng cơ bản nữa là “mặt phẳng” nên các mối quan hệ giữa
các đối tượng sẽ phức tạp hơn;như trong HHP chỉ có quan hệ giữa điểm và
đường thẳng,nhưng trong HHKG lại có thêm quan hệ giữa điểm và mặt
phẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng.
- Một khó khăn nữa là học sinh đang quen với việc nghiên cứu các hình dạng
trong mặt phẳng, mỗi hình đều có thể biểu diễn bằng một hình vẽ khá rõ ràng
trên mặt giấy hay mặt bảng. Các quan hệ thuộc, song song,vuông góc hoặc
bằng nhau đều được biểu diễn một cách trực quan. Với HHP vẽ hình

chính xác trực quan sẽ giúp học sinh phát hiện ra cách giải quyết vấn đề một
cách nhanh chóng. Còn với HHKG tư duy trực quan không còn đóng vai trò
quan trọng như trong HHP nữa, mà thay thế vào đó là những tư duy logic kết
hợp với trí tưởng tượng không gian nhiều. Đó là một khó khăn rất lớn, bởi
học sinh thường khó tưởng tượng ra hình cần biểu diễn, nhiều khi hình biểu
diễn không thể hiện được hết những vấn đề của bài toán.
- Học sinh thường cảm thấy khó nắm vững các khái niệm và định lý, thường
dẫn đến nhầm lẫn giữa các kiến thức, làm cho việc khai thác bài tập toán
trở nên khó khăn. Chẳng hạn, do không nắm vững về vị trí tương đối của hai
đường thẳng trong không gian nên học sinh thường hay sai lầm ở định
nghĩa hai đường thẳng song song trong không gian, học sinh thường không để
ý đến điều kiện ban đầu là hai đường thẳng đó phải đồng phẳng;hay khi học
về “định lý giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của hai đường
thẳng trong không gian” học sinh dễ nhầm lẫn: “Nếu hai đường thẳng phân
biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với
nhau”, ta có thể dùng trực quan chỉ cho học sinh thấy rõ sai lầm.
- Hơn nữa, thời gian học HHKG ngắn hơn nhiều so với thời gian học HHP
nên nhịp độ dạy HHKG khẩn trương hơn so với dạy HHP làm cho việc tiếp
thu kiến thức của học sinh khó khăn hơn; vì học sinh được học HHP bắt đầu
từ lớp 6 đến hết lớp 10, còn HHKG học sinh được học chủ yếu ở lớp 11 (ở
lớp 9 học sinh chỉ được học sơ qua và ở lớp 12 học sinh được học tiếp
HHKG nhưng với một phương pháp khác hẳn đó là phương pháp toạ độ).
1.2. Khai thác bài tập toán
1.2.1. Bài tập toán phát triển tư duy
Bài tập toán phát triển tư duy là bài tập toán nhằm củng cố một hệ
thống các kiến thức cũng như kĩ năng nào đó hỏi phải có một khả năng tư duy
phân tích tổng hợp vận dụng một cách sáng tạo.

Đặc biệt, các bài tập toán trong phần HHKG rất trừu tượng và khó hiểu
đòi hỏi học sinh phải có trí tưởng tượng không gian phong phú và tư duy linh
hoạt sáng tạo. Vì vậy, việc khai thác bài tập toán trong dạy học HHKG là một
nội dung quan trọng giúp học sinh chủ động lĩnh hội tri thức và hứng thú với
môn học này,nâng cao trí tuệ và khả năng nhận thức của các em.

1.2.2. Các hoạt động khai thác bài tập toán HHKG
Một vấn đề đặt ra là xây dựng các hoạt động khai thác bài tập toán
HHKG như thế nào với mục đích vận dụng kiến thức, rèn luyện kĩ năng, kiểm
tra năng lực toán học để phù hợp với phương pháp dạy học đổi mới theo định
hướng tích cực độc lập sáng tạo. Câu trả lời sẽ trở lên đơn giản hơn nếu ta xét
hệ thống bài tập trong SGK. Sau đây là một vài phương pháp nhằm dẫn đến
những tình huống mới, bài toán mới.
a. Các bài toán có tình huống
Đây là những bài toán có thể từ thực tế có nhiều tình huống nhằm tạo
cho học sinh những hứng thú tốt trong việc khai thác tiếp cận kiến thức bài
mới, hoặc trong tiết luyện tập.
b. Xây dựng bài toán mới từ bài toán ban đầu
* Lập bài toán tương tự bài toán ban đầu
Cơ sở: Có đường lối giải quyết giống nhau, phương pháp giống nhau
có những nét giống nhau trong nội dung, cùng đề cập đến một vấn đề.
Từ việc đối chiếu so sánh các đối tượng có thể đưa ra các giả thiết
tương tự và loại trừ.
Ví dụ
- Xét bài toán trong hình học phẳng:
Trong mặt phẳng cho góc Sxy:

A, A'∈ Sx; B, B '∈ Sy

Chứng minh S
∆SA
B

S∆SA'
B'

=
SA.SB
SA'.SB
'

Giải
Gọi H ,
H'

lần lượt là hình chiếu của A, A' trên SB và SB’
1
AH .SB
Ta có: S∆SA
2
AH .SB
=1
=
A
B
A' H .SB '
A' H '
S ∆SA'
SB '

S
B'
2

Ta lại có:

Suy
ra

x

y

B H

∆SA' H ′(doAH / / A'
∆SAH H ')
∽

A’

H’

B’

A
=
H
A' H '
⇒

SA
SA'
S ∆SA =
SA.SB
SA '.SB
S
B
∆SA'
'

(đpcm).

B'

- Xét bài toán trong không gian
Trong không gian cho góc tam diện Sxyz . Các cặp điểm A, A’; B, B’ và
C, C’ lần lượt nằm trên Sx, Sy, Sz
Chứng minh rằng: VS . ABC

VS . A' B = SA.SB.SC
SA '.SB
'C '
'.SC '

Giải.
Gọi H,H’ lần lượt là hình chiếu của
A, A ' lên mặt phẳng (Syz)

x

A’
A
B

B’
H

H’
C
C’ y


1

AH.S

Ta có: VS . ABC =1 3
VS . A' B

∆ SBC

S

A' H '.S

'C '

3

=

AH .SB.SC

∆SB
'C '

(1)

A' H '.SB
'.SC '

(áp dụng bài toán trong HHP)

z


Ta lại có



AH ⊥

(Syz)

⇒ AH / / A' H '


A' H ' ⊥ (Syz) 

⇒ AH , A' H ' cùng thuộc mặt phẳng (SAH)

⇒ A, H , H '∈ giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAH) và (Syz)
⇒ S, H , H ' thẳng hàng

Suy
ra

∆SAH

∆SA' H SA
'⇒
=
SA'

AH
A' H
'

(2)

∽
Từ (1) và (2)
⇒

VS . ABC

SA.SB.SC
VS . A' B =SA '.SB '.SC '.
'C '

* Lập bài toán đảo của bài toán ban đầu

Cơ sở: Thiết lập mệnh đề đảo
Ví dụ
- Bài toán thuận: Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tứ diện






GC+ GD +
Chứng minh rằng GA GB
+



=



Giải:
Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của BC, CD, AD, AB, AC, BD.
 







 



Ta có : GA +GB +GC +GD =GP +PA +GM MB

   
A
GM + MC + GP + PD
 
 
 
= 2(GP + GM ) + (PA + PD) + (MB + MC)
Q
P



R
Vì M là trung điểm BC ⇒
+
=
MB MC
G
  
B
D
S
P là trung điểm AD ⇒ PA + PD = O
  
N

M
G là trọng tâm tứ diện ⇒ GP + PM = O
C
 
 
  
⇒ 2(GP + GM ) + (PA + PD) + (MB + MC) = O


    
⇒ GA + GB + GC + GD = O

Vậy



GA GB
GC 
GD  
(đpcm).
+
+
+
=








GB GC+ GD +
- Bài toán đảo: Cho tứ diện ABCD có GA +
=



.Chứng

minh rằng: G là trọng tâm của tứ diện.

A

Giải:
Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung
điểm của BC, CD, AD, AB, AC, BD.
 







 

Q

P

R G

B

D

S



Ta có: GA +GB +GC +GD =GP +PA +GM MP

   
 
 
+ GM +MC +GP +PD = GP
2( +GM ) +PA( +PD )
 
 
+ ( MB + MC ) = 2(GP +
)
GM



Vì P là trung điểm AD ⇒
+
=
PA PD
  

M là trung điểm BC ⇒ MB + MC = O

N

M
C

    
=
  
⇔ GP + GM = O

GC+ GD +
Theo giả thiết: GA GB
+

G, P, Th¼ngHµng
M
⇔

G lµtrung®iÓm cñaMP
           
Tương tự: GA +GB +GC +GD =GQ +QA +GQ +QB +GN +NC +GN ND
 
 
 
 

= 2 ( GQ + GN ) + (QA + QB ) + ( NC + ND) = 2 (GQ + GN )
  

Vì Q là trung điểm AB ⇒ GA + GB = O
  
N là trung điểm CD ⇒ NC + ND = O
    
GC+ GD +
Theo giả thiết: GA GB
+
=








G, Q, Th¼ngHµng
N
⇔ GQ + GN = O ⇔⇔
G lµtrung®iÓmQN

Tương tự ta cũng chứng minh được



G, R, S
⇔


Th¼ngHµng

G lµtrung®iÓm RS
    
Vậy tứ diện ABCD có GA + GB + GC
thì G là trọng tâm của tứ diện
+ GD = O

ABCD.


* Thêm vào bài tài toán ban đầu một số yếu tố
Cơ sở: Từ bài toán ban đầu thêm vào một số yếu tố ở giả thiết kết luận
để bài toán có thể dễ hơn hoặc khó hơn, tức là ra đã đặc biệt hoá bài toán.
Ví dụ
- Bài toán ban đầu: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành
tâm O. Tam giác SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng
(α )

di động song song

với mặt phẳng (SBD) và đi qua điểm I trên đoạn OC. Xác định thiết diện
của hình chóp với mặt phẳng (α ) .
Giải:
Thiết diện cắt bởi mặt phẳng
(α )
nên
(α )

qua điểm I∈OC: (α ) /
/mp(SBD)

cắt các mặt phẳng (ABCD); (SBC);(SCD)

theo các giao tuyến MN//BD;

S

MP//SB; NP//SD.
Thiết diện là ∆
đều MNP, có các cạnh

P

song song từng đôi một

A

B

với các cạnh ∆ đều SBD.

O
D

M
I

N

C

- Bài toán thêm: Cho hình chópSABCD có đáy là hình bình hành
tâm O và có AC = a, BD = b. Tam giác SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng
(

α
)

di động song song với mặt phẳng (SBD) và đi qua điểm I trên đoạn OC.


Tính diện tích thiết diện của hình chóp với mặt
phẳng (α )
Giải:
Thiết diện cắt bởi mặt phẳng
(α )

qua điểm I ∈OC :

theo a,b và AI=x.


(α ) / /
nên
cắt các
mp(SBD)
(α )
mặt phẳng (ABCD); (SBC); (SCD)
theo các giao tuyến

S

MN / /BD ; MP / /SB ;

NP / /SD . Thiết diện là ∆ đều

P

MNP , có các cạnh song song từng

A

đôi một

O

với các cạnh ∆ đều SBD cạnh b.
b2 3
=
4
D
a
Vì I ∈OC ⇔
< x< a
2
 MN

∆MNP

S∆SBD

= 

 CI

= 





2

∆SBD
2

( AC

CO

= S .

∆MNP
2

=

2

BD

2

 2(a − 2x) 
=

a

 
2 

 MN 2=b


∆SBD 

C

N

(a −
x)2

− AI )2
=

 BD   CO


=b2 3 nên
S

4

Mà
S

2



2



a2




a

3 . 4(a − x)
4



2

a2

b (a − x)

a
3
=
với < x < a .
2
2
a
Vậy diện tích thiết diện của hình chóp với mặt
là:
S∆MNP b2 (a −
2
=
x)

B

I

BD23
Ta có: S
=
∆SBD
4

S


M

phẳng

(α )


3

với

a

2

< x
< a.
* Bớt đi một số yếu tố ở bài toán ban đầu
Cơ sở: Khi đề xuất bài toán mới bằng cách bớt đi một số yếu tố của bài
toán ban đầu, ta có thể bỏ đi một vài dữ kiện đã cho, bỏ đi một vài điều kiện
rằng buộc, hoặc bỏ đi một vài đòi hỏi của kết luận. Khi đó, ta đã mở rộng
phạm vi của bài toán tăng độ phức tạp, tức là ta đã khái quát hoá bài toán.


- Bài toán ban đầu: Cho hình S.A BCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh a. Trên cạnh AB lấy một điểm M với AM = x . Gọi
(α )

là một mặt

phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAD) cắt SB, SC và CD lần lượt
tại N, P, Q.
a. Tứ giác MNPQ là hình gì?

b. Cho theo a

SAD
0
= 90

và x.

và SA = a . Hãy tính diện tích của tứ giác
MNPQ

Giải:
a. Vì (α ) / /
(SAD)

(α ) / /SA,

nên

S

N

SD;(α ) / /SA,

P

AD và
do đó
(α )

cắt mp(SAB) theo
A

giao tuyến MN//SA ; (α ) / / DA ,
do đó
cắt mp (ABCD)
(α )
theo giao tuyến MQ / / AD

D

và cắt mp (SBC) theo giao
tuyến PN//AD ; (α ) / /SD , do
đó (α )

I

Q

x

B

M
O
C

cắt mp (SCD) theo giao tuyến PQ//SD

Vậy thiết diện MNPQ là hình thang vì có PN / /QM .
b. Vì SAD = nên MNPQlà hình thang vuông tại M và N
900
Ta có: S□ MNPQ

= S∆IMQ


D

− S∆INP

=
S∆SA
Mà

PN

AM

BC

=

SN

SB
a

=

− S∆I
2
NP
(a

= ⇔
⇔
S
AB
a

1

− P

2

2

N )

PN

x
=
PN = x . Vậy

=

1

2

2

(a − x )

□ MNPQ

2

- Bài toán bớt: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông.
Trên cạnh AB lấy một điểm M. Gọi
(α )

là mặt phẳng qua M và song song với

mặt phẳng (SAD) cắt SB, SC và CD lần lượt tại N, P, Q.
Tìm tập hợp điểm I với I = MN
∩ PQ

khi M chạy trên đoạn AB.