Tích phân itô

ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ
N®I 2 KHOA TOÁN

NGUYEN ÁNH TUYET

TÍCH PHÂN ITÔ
KHÓA LU¾N TOT NGHIfiP ĐAI
HOC
Chuyên ngành Toán Nng dnng

Ngưèi hưéng dan khoa
hoc
Th.s NGUYEN TRUNG DŨNG

Hà N®i - 2013



LèI CÃM ƠN
Lòi đau tiên cúa khóa lu¾n này em xin gúi lòi cám ơn sâu sac tói
thay giáo hưóng dan ThS.Nguyen Trung Dũng. Thay đã giao đe tài và
t¾n tình hưóng dan em trong quá trình hoàn thành khóa lu¾n này.
Nhân d%p này em xin gúi lòi cám ơn cúa mình tói toàn b® các thay cô
giáo trong khoa Toán đã giáng day và giúp đõ chúng em trong suot quá
trình hoc t¾p tai khoa.
Đong thòi, em xin cám ơn anh Pham Văn Duan đã nhi¾t tình giúp đõ em
trong quá trình làm khóa lu¾n và em xin cám ơn các ban trong lóp
K35CN TOÁN nghành cú nhân Toán, khoa Toán đã nhi¾t tình giúp đõ
em trong quá trình hoc t¾p tai lóp.
Hà n®i, ngày 22 tháng 04 năm 2013
Sinh viên

Nguyen Ánh Tuyet

2


LèI CAM ĐOAN
Tên em là: Nguyen Ánh Tuyet, sinh viên đai hoc khóa 2009 – 2013
lóp K35CN Toán Khoa Toán – Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2.
Em xin cam đoan đe tài: “Tích phân Itô”, là ket quá nghiên cúu và thu
th¾p cúa riêng em. Các lu¾n cú, ket quá thu đưoc trong đe tài là trung
thnc, không trùng vói các tác giá khác. Neu có gì không trung thnc trong
khóa lu¾n em xin hoàn toàn ch%u trách nhi¾m trưóc h®i đong khoa hoc.
Hà n®i, ngày 22 tháng 04 năm 2013
Sinh viên

Nguyen Ánh Tuyet


Mnc lnc
Me ĐAU..........................................................................6
Chương 1. Cơ sé lý thuyet..........................................................9
1.1. Không gian Hilbert các bien ngau nhiên.................9
1.1.1. Không gian các bien ngau nhiên đơn gián...................................9
1.1.2. Ví dn.............................................................................................10

1.2. SN h®i tn cúa dãy các bien ngau nhiên................13
1.2.1. H®i tn bình phương trung bình.................................................13
1.2.2. H®i tn theo xác suat...................................................................14
1.2.3. H®i tn hau chac chan( H®i tn vói xác suat 1)...........................14

1.2.4. H®i tn yeu...................................................................................15
1.2.5. Lu¾t so lón và Đ%nh lí giói han trung tâm...............................15
1.2.6. Ví dn.............................................................................................16

1.3. Không gian Hilbert các quá trình ngau nhiên....17
1.3.1. Đ%nh nghĩa.......................................................................................17
1.3.2. M®t so ví dn ve sn h®i tn cúa dãy quá trình ngau nhiên.........19

Chương 2. Tích phân ngau nhiên Itô.................................22
f (s, ω )ds.................................................22
2.1. Tích phân có
a
dang

¸t

2.1.1. Tích phân cúa hàm đơn gián......................................................22
2.1.2. Tích phân cúa hàm bat kì............................................................24
2.1.3. Ví dn.............................................................................................25
2.2.

Tích phân ngau nhiên Itô................................................25

2.2.1. Tích phân ngau nhiên Itô cúa hàm đơn gián..............................25
¸b
2.2.2. Tích phân ngau nhiên Itô danga f (s)dW (s)...........................27
¸t

2.2.3. Tích phân ngau nhiên Itô danga f (s)dW (s)............................27
2.2.4. Tính chat cúa tích phân Itô.........................................................28

2.2.5. M®t so ví dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
..

2.3 Vi phân ngau nhiên và công thNc Itô . . . . . . . 3
.
.2.3.1.
. . .Đ%nh
. . . .nghĩa
. . .(V
. i.phân ngau nhiên Itô) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
30
. . . . . Công thúc Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2.
.2.3.3.
. . . Ví dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
.

KET LU¾N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...............
Tài li¾u tham kháo . . . . . . . . . . . . . . . . .
...............

5

3
6
3
7

Me ĐAU
1. Lý do chon
đe tài
Có the nói giái tích toán hoc là lĩnh vnc nghiên cúu phép tính vi
phân và tích phân. Tù cuoi the ký 17, Newton và Leibniz đã xây
dnng phép tính vi phân và tích phân co đien. Tói núa đau the ký
20, tích phân ngau nhiên bat đau đưoc xây dnng. Ngày nay, giái
tích ngau nhiên đóng m®t vai trò het súc quan trong trong lý
thuyet xác suat- thong kê hi¾n đai, nó có úng dnng r®ng rãi ó tat
cá các lĩnh vnc khác nhau như công ngh¾ thông tin, công ngh¾ vien
thông, kinh te, th% trưòng chúng khoán, báo hiem, nông nghi¾p. Và
hi¾n đang đưoc day ó hau het các trưòng đai hoc trong và ngoài
nưóc, nó thu hút rat nhieu nhà khoa hoc không ngùng nghiên cúu
và phát trien ve nó. Trong đó tích phân Itô là m®t trong nhung
khái ni¾m quan trong cúa giái tích ngau nhiên. Tù khái ni¾m đó
ngưòi ta đã xây dnng nên m®t lóp các quá trình ngau nhiên Itô,
chúng rat có ý nghĩa ve m¾t lý thuyet và úng dnng. Đe có the hieu
rõ hơn ve tích phân Itô nên em đã chon đe tài “Tích phân Itô” cho
khóa lu¾n tot nghi¾p cúa mình.
2. Khái quát ve n®i dung và pham vi nghiên cNu
Tích phân Itô là m®t trong nhung khái ni¾m quan trong cúa giái
tích ngau nhiên, nó đưoc xây dnng theo quá trình Wiener và tù đó
ho đã xây dnng nên m®t lóp các quá trình ngau nhiên Itô.
Khóa lu¾n này em trình bày ve tích phân Itô.
Khóa lu¾n gom 2 chương:
• Chương 1: Cơ só lý thuyet.
• Chương 2: Tích phân ngau nhiên Itô.
3. Mnc đích- Yêu cau

• Đây là m®t d%p đe có the t¾p dưot nghiên cúu (vói sn đ%nh
hưóng cúa giáo viên hưóng dan) ve m®t n®i dung khoa hoc
• Nam bat đưoc nhung n®i dung cơ bán cúa lý thuyet (Các khái
ni¾m, các tính chat, các bài toán đã đưoc đ¾t ra, m®t so úng
dnng, ...)


• Biet cách the hi¾n nhung hieu biet cúa mình
4. Đoi tưeng nghiên cNu
Tích phân ngau nhiên Itô và các kien thúc liên quan.
5. Pham vi
• Các tài li¾u tham kháo do cá nhân tn tìm hieu và thu th¾p
thêm
• Thòi gian thnc hi¾n đe tài
• Nơi hoàn thành khóa lu¾n (nhung khó khăn và thu¾n loi)


N®i dung chính
1. Tên đe tài
Tích phân Itô
2. Ket cau cúa n®i dung
Gom 2 chương:
• Chương 1: Cơ só lý thuyet
- Không gian Hilbert các bien ngau nhiên
- Sn h®i tn cúa dãy các bien ngau nhiên
- Không gian Hilbert các quá trình ngau nhiên
• Chương 2: Tích phân ngau nhiên Itô
- Tích phân có dang a f (s, ω)ds
¸t

-

Tích phân ngau nhiên Itô
Vi phân ngau nhiên và công thúc Itô

3. Phương pháp nghiên cNu
• Thu th¾p, tra cúu, phân tích tài li¾u
• Phương pháp quan sát, đoc sách

8


Chương 1

Cơ sé lý thuyet
1.1. Không gian Hilbert các bien ngau
nhiên
1.1.1. Không gian các bien ngau nhiên đơn gián
Đ%nh nghĩa 1.1.1. (bien ngau nhiên đơn gián)
Cho (Ω, A , P) là không gian xác suat. Cho A ∈ A và IA là hàm chí
tiêu cúa A. Nghĩa là, IA là bien ngau nhiên đưoc đ%nh nghĩa
.
1 neu ω ∈ Ai
IA(ω) =
0 neu ngưoc lai.
Ta có E(IA) = P(A). Khi đó to hop tuyen tính cúa huu han các hàm chí
tiêu đưoc goi là bien ngau nhiên đơn gián.
Neu X là bien ngau nhiên đơn gián thì X có dang
n

X (ω) =

∑ ciIAi (ω)

i=1

n

và

E(X ) =

∑ ciP(Ai).

i=1

Đ%nh nghĩa 1.1.2. Không gian các bien ngau nhiên đơn gián
Kí hi¾u
SRV = {X : X là bien ngau nhiên đơn gián đ%nh nghĩa trên không
gian xác suat (Ω, A , P)}.
Ta có tong cúa hai bien ngau nhiên đơn gián và tích cúa m®t so vói bien


ngau nhiên đơn gián cũng là m®t bien ngau nhiên đơn gián.
Cho X,Y ∈ SRV , ta se đ%nh nghĩa tích vô hưóng và chuan trên SRV như
sau :
Tích vô hưéng
Tích vô hưóng (X,Y ) đưoc đ%nh nghĩa trên SRV là
(X,Y ) = E(X.Y )

vói X,Y ∈ SRV .

Chú ý rang cho X,Y ∈ SRV thì
.

n n

(X,Y ) = E(X .Y )
=E

.

∑ ∑ c i I Ai d j

n

=

IB j

n

∑ ∑ cid j P(Ai ∩ B j ).

i=1 j=1

i=1 j=1

Chuan
Chuan có dang

2

" X "RV = (X, X )1/2 = (E |X| )1/2 .
Nói chung, không gian tích vô hưóng cúa các bien ngau nhiên đơn gián là
không đay đú. Tuy nhiên, nó có the đưoc bo sung đe tao thành không
gian Hilbert HRV , trong đó SRV là trù m¾t trong HRV .
Chú ý 1.1.1.
Trong không gian Hilbert HRV tích vô hưóng đưoc đ%nh nghĩa là
(X,Y ) = E(XY )
chuan trong không gian này là
2

" X "RV = (E |X| )1/2
và t¾p hop các hàm đơn gián trong SRV là trù m¾t trong HRV .

1.1.2. Ví dn
Ví dn 1.1. Không gian Hilbert L2[0, 1]
Xét không gian xác suat (Ω, A , P) trong đó không gian mau là Ω
=


{x : 0 ≤ x ≤ 1}. Không gian các bien co A là σ - đai so cúa t¾p các
khoáng có dang (a, b] ⊂ [0, 1]. Đ® đo xác suat P là đ® đo Lebesgue
trong đó P(A) =


b − a neu A = [a, b] ∈ A . Cho SRV là t¾p tat cá các hàm đơn gián đ%nh
nghĩa trên A . Neu X ∈ SRV thì bien ngau nhiên X có dang
n

X (x) =

∑ ciIAi (x), trong đó Ai ∈ A

vói moi i

i=1

và

.
IAi (x) =

1 neu x ∈ Ai
0 neu ngưoc lai.

Cho HRV là không gian đú cúa SRV . Không gian Hilbert HRV bao gom, ví
dn tat cá các bien ngau nhiên liên tnc trên [0, 1]. Th¾t v¾y, cho f : [0, 1]
→ R là m®t hàm liên tnc. Đ¾t xi = (i − 1)/n vói i = 1, 2, . . . , n và đ
%nh nghĩa
n

fn(x) =

∑ f (xi)In,i(x)

i=1

trong
đó

In,i(x)
=

.

1 neu (i − 1)/n ≤ x ≤ i/n
0 neu ngưoc lai.

Ta có dãy các bien ngau nhiên đơn gián { f}n ∞ là dãy Cauchy trong HRV
, " f − fn "RV → 0 khi n → ∞. Vì v¾y, f là giói han cúa dãy các bien
ngau nhiên đơn gián trong không gian HRV và f ∈ HRV . Chú ý rang neu
X (x) = x thì X có phân phoi đeu trên [0,1],nghĩa là X ∼ U [0, 1].
Khônglàgian
HRV
ví dnf này
gian đay
đú [0,1]
L2[0,
1], nghĩa
HRVHilbert
= L2[0,
1] trong
= { hàm
đo là
đưkhông
oc Lebesgue
trên
cho 2
¸sao

1
|f
(x)|
0

dx < ∞}. Chú ý rang vói X,Y ∈ HRV thì
¸ 1

(X ,Y )
=

0

X (x)Y (x)dx và " X "
=
R

2

¸ 1
0

2

|X (x)| dx.

V

Ví dn 1.2. Ví dn ve sn h®i tn trong không gian Hilbert HRV = L2[0, 1]
Giá sú HRV đưoc đ%nh nghĩa như trong ví dn 1.1. Cho Y ∼ U [0, 1]

và dãy
∞ đưoc đ%nh nghĩa là
các bien ngau nhiên {Xn}n=
1

Xn(x) = .

(x) neu 1/n ≤ Y (x) ≤ 1
0
neu ngưoc lai.
Khi đó " Xn − Xm "RV → 0 khi m, n → ∞. Vì v¾y, {X
n} ⊂ HRV là dãy
Cauchy trong HRV , Xn h®i tn trong HRV tói X = 1 Y khi n → ∞.
1

2Y

2


Ví dn 1.3. Ví dn ve sn không h®i tn
Giá sú HRV đưoc đ%nh nghĩa như trong ví dn 1.2. Cho Y ∼ U [0, 1] là
dãy các bien ngau nhiên có phân phoi đeu vói n = 1, 2, . . . . thì
.¸
" Yn "RV =

1 2

x dx.

21

0

1
= √ vói moi n.
3
∞

Cho X = 1 và dãy các bien ngau nhiên {Xn}n=1 đưoc đ%nh nghĩa là
.
√
1
neu 1/ n ≤ Yn(x) ≤ 1
Xn (x)
1 + nYn(x) neu ngưoc lai.
=
Khi đó
¸ 1/√n
1
. √ . 1
n 2
2
2 2
" Xn −X "RV = .
n x dx. =
→ ∞ khi n → ∞.
0
3
∞

Vì v¾y, dãy {X}
không là dãy Cauchy trong không gian HRV .
n
Ví dn 1.4. Không gian Hilbert đ%nh chuan
Xét Ω = {x : −∞ < x < ∞}. Kí hi¾u A là σ - đai so sinh bói các
khoáng dang (a, b], A là σ - đai so Borel trên R.
Đ%nh nghĩa bien ngau nhiên X là X (x) = x. Vói A ⊂ A , µ ∈ R và σ >
0 là
hang so. Đ%nh nghĩa
¸
1
−(s − µ)2
P(A)
=
Túc là

p(s)ds

p(s) = 2πσ exp.

trong đó

2

√
A

P(a ≤ X ≤ b)
=

¸ b

√
a

1
2πσ

2σ 2

..

−(s − µ)2
2σ
exp.
.ds.
2

2

Bien ngau nhiên
X đưoc goi là có phân phoi chuan vói trung bình µ và
phương sai σ 2, kí hi¾u là X ∼ N(µ, σ 2).
SRV là không gian các hàm đơn gián trên không gian xác suat (Ω, A , P)
vói tích vô hưóng
¸ ∞

( f , g) = E( f g) =

−∞

f (s)g(s)p(s)ds vói f , g ∈ SRV


HRV là đay đú cúa SRV . Khi đó HRV là không gian các bien ngau nhiên đ
%nh nghĩa trên R vói chuan
2
¸
−(s − µ)2
1
2
∞

|f
(s)|

" f "RV
=

−∞

√

2πσ

exp.

2σ

.ds

2

2

T¾p hop các bien ngau nhiên liên tnc f sao cho

¸∞
−∞ |

vói f ∈ HRV .

2

f (s)| p(s)ds < ∞ là

trù
m¾t trong HRV .

1.2. SN h®i tn cúa dãy các bien ngau
nhiên
1.2.1. H®i tn bình phương trung bình
Sn h®i tn cúa dãy các bien ngau nhiên rat quan trong trong nghiên
cúu phương trình vi phân ngau nhiên. Xét {Xn ∞ là m®t dãy các bien
}
ngau
nhiên xác đ%nh trên không gian xác suat (Ω, A , P).
Đ%nh nghĩa 1.2.1.
Dãy bien ngau nhiên {Xn} ∞ đưoc goi là h®i tn bình phương trung

bình đen bien ngau nhiên X neu
lim E(Xn
Đ¾c bi¾t, vói
"RV → 0
khi n → ∞.

∞
{Xn}n=1 ⊂

n→∞

X )2 = 0.
−

HRV thì h®i tn này tương đương vói " Xn −X

Đ%nh nghĩa 1.2.2.
Dãy các bien ngau nhiên {Xn }∞ đưoc goi là h®i tn manh tói X neu
lim E(|Xn − X|) = 0.
n→ ∞

Chú ý 1.2.1.


H®i tn bình phương trung bình kéo theo h®i tn manh. Đieu khang đ
%nh trên đưoc suy ra tù bat đang thúc Cauchy - Schwarz vói X ∈ HRV
ho¾c tù bat
đang thúc Lyapunov.

Bat đang thNc Lyapunov:
p

r

(E(|X| ))1/p ≤ (E(|X| ))1/r khi 0 < p < r.
Đ¾c bi¾t, vói p = 1, r = 2 thì bat đang thúc Lyapunov quy ve bat đang
thúc
2

E(|X|) ≤ (E(|X| )1/2 ).

1.2.2. H®i tn theo xác
suat
Đ%nh nghĩa 1.2.3.
∞
Dãy các bien ngau nhiên {Xn}n=

đưoc goi là h®i tn theo xác suat tói
X

1

neu vói moi ε > 0 thì
lim P(|Xn − X| > ε) = 0.

n→ ∞

Chú ý
1.2.2.

H®i tn bình phương trung bình kéo theo h®i tn theo xác suat. Đieu
khang đ%nh trên đưoc suy ra tù bat đang thúc Chebyshev - Markov.
Bat đang thNc Chebyshev - Markov:
1
P({ω : |X (ω)| ≥ ε}) ≤

p

ε

p

)

vói moi p, ε > 0.

E(|X|
Đ¾c bi¾t, vói p = 2 bat đang thúc trên quy ve bat đang thúc
1
P(|X| ≥ ε) ≤

ε2

2

E(|X| ).

1.2.3. H®i tn hau chac chan( H®i tn véi xác
suat 1)
Đ%nh nghĩa 1.2.4.

Dãy các bien ngau nhiên {Xn }∞
(w.p.1) tói X neu

đưoc goi là h®i tn hau chac chan

P({ω ∈ Ω : lim |Xn(ω) −X (ω)| = 0}) = 1.
n→ ∞


Bo đe ve sN h®i tn hau chac chan
Neu

∞

∑ P(|Xn − X| ≥ ε) < ∞ vói moi ε > 0 thì Xn đưoc goi là h®i tn
hau
n=1


chac chan tói X.
Chú ý 1.2.3.
H®i tn hau chac chan kéo theo h®i tn theo xác suat. Tuy nhiên, h®i
tn bình phương trung bình không kéo theo h®i tn hau chac chan và h®i
tn hau chac chan không kéo theo h®i tn bình phương trung bình.

1.2.4. H®i tn yeu
Đ%nh nghĩa 1.2.5. H®i tn theo phân phoi
Dãy các bien ngau nhiên {Xn}∞ đưoc goi là h®i tn theo phân phoi tói
bien ngau nhiên X neu
lim FXn (x) = FX (x),

n→∞

tai tat cá các điem liên tnc cúa hàm phân phoi FX .
Đ%nh nghĩa 1.2.6. H®i tn yeu
Dãy các bien ngau nhiên {Xn}∞ đưoc goi là h®i tn yeu tói bien ngau
nhiên X neu
lim

¸

n→∞ +∞
−∞

f (y)dFXn (y)
=

¸
+∞

f (y)dFX (y).

−∞

vói moi hàm trơn f .
M®t dãy h®i tn yeu khi và chí khi nó h®i tn theo phân phoi.

1.2.5. Lu¾t so lén và Đ%nh lí giéi han trung
tâm
Hai ket quá quan trong liên quan đen dãy bien ngau nhiên đó là lu¾t
so lón và đ%nh lí giói han trung tâm.

Lu¾t so lén:
Cho X1, X2 , . . . là các bien ngau nhiên đ®c l¾p và có cùng phân phoi.
Giá
n


sú µ = E(Xn) và σ 2 = Var(Xn). Đ%nh nghĩa Sn =

∑ Xi. Khi đó Sn/n →

µ
i=1


hau chac chan và theo bình phương trung bình. Nghĩa là
lim E
n→∞

.2
.
.
− µ.
.

..
Sn
.

.
.n

= 0 và lim

Sn = µ

n→∞

w.p.1.

n

Đ%nh lí giéi han trung tâm:
Cho X1, X2 , . . . là các bien ngau nhiên đ®c l¾p và có cùng phân phoi.
n

Giá sú µ = E(Xn) và σ = Var(Xn). Đ%nh nghĩa Sn = ∑ Xi và đ¾t Zn
=
i=1
√
(Sn − nµ)/(σ n). Khi đó Zn h®i tn theo phân phoi tói Z ∼ N[0, 1], nghĩa
2

là
lim FZn (x) = FZ (x),
n→∞

trong đó FZn là hàm phân phoi cúa Zn và FZ là hàm phân phoi chuan tac.

1.2.6. Ví dn
Ví dn 1.5. H®i tn chac chan và h®i tn bình phương trung bình

Cho X là m®t bien ngau nhiên có phân phoi đeu trên [0, 1], nghĩa là
} n ∞ đưoc đ%nh nghĩa là
X ∼ U [0, 1] và dãy các bien ngau nhiên {X
.
0
neu 0 ≤ X (ω) ≤ 1/n2
Xn(ω)
X (ω) neu 1/n2 < X (ω) ≤ 1
=
vói n = 1, 2, . . . . thì
∞

∑

P(|Xn − X| ≥ ε)

≤

∞

1

n=1

n2

∑

n=1

<∞

vói ε > 0. Do đó Xn → X hau chac chan. Chú ý rang
2

E(|Xn − X| )
=

¸ 1/n2
0

x2dx =

1 → 0 khi n → ∞.
3n6


Do đó Xn → X theo bình phương trung bình.
Ví dn 1.6. H®i tn yeu nhưng không là h®i tn bình phương trung bình


Như trong ví dn 1.1, cho không gian mau là Ω = {x : 0 ≤ x ≤ 1} vói
không gian các bien co A là σ - đai so Borel sinh bói các khoáng (a, b]
trong [0, 1]. Giá sú
¸

pn (s)ds,

x

FXn (x) =
trong
đó

.
pn(s)
=

0

n
n−2

0

neu s ∈ [1/n, 1 − 1/n], n ≥ 3
neu ngưoc lai.

Đ¾t

¸ x

FX (x)
=

trong
đó

p(s) =

.

0

p(s)ds,

1 neu s ∈ [0, 1]
0 neu ngưoc lai.

Túc là X ∼ U [0, 1] và Xn ∼ U [1/n, 1 − 1/n], trong đó X và Xn là đ®c
l¾p. Khi đó vói moi f ∈ C[0, 1],
lim

¸

¸ 1

n→∞ 1−1/n

f (x)pn(x)dx =

f (x)p(x)dx

0

1/n

vì v¾y Xn h®i tn yeu tói X. Chý ý, Xn và X là đ®c l¾p vói moi n và do đó
2

2

2

1

E(|X − Xn | ) = E(X − 2XXn + nX )
khi n → ∞.
6
→
vì v¾y Xn không h®i tn theo bình phương trung bình tói X.

1.3. Không gian Hilbert các quá trình
ngau nhiên
1.3.1. Đ%nh nghĩa
Xét quá trình ngau nhiên liên tnc xác đ%nh trên [0, T] và không gian
xác suat (Ω, A , P). Cho f (t) = f (t, ω) là quá trình ngau nhiên sơ cap
hay hàm


ngau nhiên đơn gián đ%nh nghĩa trên [0, T ] × Ω, nghĩa là f có dang
N−1

f (t, ω) =

∑

i=
0

f (ti, ω)Ii(t),