CHUONG 2 TICH VO HUONG VA UNG DUNG

CHỦ ĐỀ
7.

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
VÀ ỨNG DỤNG

 Bài 01
GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ
1. Định nghĩa

0
0
TỪ 0 ĐẾN 180

a 00 £ a £ 1800 )
Với mỗi góc (
ta xác định một điểm M trên nửa
·
= a và giả sử điểm M có tọa
đường tròn đơn vị sao cho xOM

độ M ( x0; y0 ) . Khi đó ta có định nghĩa:
· sin của góc a là y0, kí hiệu sin a = y0 ;
· cosin của góc a là x0, kí hiệu cosa = x0 ;
·
·

tang của góc a là

y0
( x0 ¹ 0) ,

x0

cotang của góc a là

kí hiệu

x0
( y0 ¹ 0) ,
y0

y

tan a =

M

1

y0
;
x0

y0

x
cot a = 0 .
y0

kí hiệu

x0

-1

a

x
1

O

2. Tính chất
Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox và
·
·
= a thì xON
= 1800 - a. Ta có yM = yN = y0, xM = - xN = x0. Do
nếu xOM
đó
y
sin a = sin( 1800 - a )

cosa = - cos( 1800 - a )
tan a = - tan( 1800 - a )

y0

N

cot a = - cot( 1800 - a ) .

M

x

a
- x0

x0

O

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Giá trị

00

300

450

600

sina

0

1
2

2
2

cosa

1

3
2

2
2

3
2
1
2

a

900

1800

1

0

0

- 1

lượng giác


tana

0

cota

P

1

1

3

3
1

1

3

3

P

0

0

P

Trong bảng kí hiệu "P" để chỉ giá trị lượng giác không xác
định.
Chú ý. Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho
trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng
giác của một số góc đặc biệt khác.
Chẳng hạn
sin1200 = sin( 1800 - 600 ) = sin600 =

3
2

cos1350 = cos( 1800 - 450 ) = - cos450 = -

2
.
2

4. Góc giữa hai vectơ
a) Định nghĩa
r
r
r
Cho hai vectơ a và b đều khác vecto 0. Từ một điểm O bất
uur r

uur r
0
0
·
kì ta vẽ OA = a và OB = b. Góc AOB
với số đo từ 0 đến 180 được
r
r
gọi là góc giữa hai vectơ a và b. Ta kí hiệu góc giữa hai
r
a

r
b

r r

r r

( a,b) .

( a,b) = 90

vectơ
và
là
Nếu
vuông góc với nhau, kí hiệu là
r
b

r
a

0

r r
a^ b

thì ta nói rằng
r r
hoặc b ^ a.

r
b

và

A

r
a

r
b

B

r
a

O

r r

rr

( a,b) = ( b, a) .
b) Chú ý. Từ định nghĩa ta có
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
0

0

Câu 1. Giá trị cos45 + sin45 bằng bao nhiêu?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D.
0
0
Câu 2. Giá trị của tan30 + cot30 bằng bao nhiêu?
4

A.
D.

3
2.

.

B.

1+ 3
.
3

0.
2

C.

3

.


Câu 3. Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào là đúng?
A.

sin150O = O

tan150 = -

3
.
2
1

B.

.

cos150O =

3
.
2

O

3
C.
D. cot150 = 3.
o
o
o
o
Câu 4. Tính giá trị biểu thức P = cos30 cos60 - sin30 sin60 .
P=

3
.
2

A.
B.
C. P = 1.

D. P = 0.
o
o
o
o
Câu 5. Tính giá trị biểu thức P = sin30 cos60 + sin60 cos30 .
A. P = 1.
B. P = 0.
C. P = 3.
D. P = Câu 6. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
O
O
O
O
A. sin45 + cos45 = 2.
B. sin30 + cos60 = 1.
O
O
O
O
C. sin60 + cos150 = 0.
D. sin120 + cos30 = 0.
Câu 7. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
O
O
O
O
A. sin0 + cos0 = 0.
B. sin90 + cos90 = 1.
P = 3.

O

sin60O + cos60O =

O

3.

3 +1
.
2

C. sin180 + cos180 = - 1.
D.
Câu 8. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
O
O
O
O
A. cos45 = sin45 .
B. cos45 = sin135 .
O
O
O
O
C. cos30 = sin120 .
D. sin60 = cos120 .
0
Câu 9. Tam giác ABC vuông ở A có góc Bµ = 30 . Khẳng định

nào sau đây là sai?
cosB =

1

.

3
.
2
đều ABC

sinC =

3 B.
A.
Câu 10. Tam giác
nào sau đây là đúng?

A.

·
sin BAH
=

1
cosC = .
2

C.

có đường cao

1
3
·
cosBAH
=
.
.
3
2 B.

C.

·
sin ABC
=

3
.
2

1
sin B = .
2

D.
AH . Khẳng định
D.

1
·
sin AHC
= .
2

Vấn đề 2. HAI GÓC BÙ NHAU – HAI GÓC PHỤ NHAU
Câu 11. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A.

sin( 180°- a ) = - cosa.

B.

sin( 180°- a ) = - sin a.

C. sin( 180°- a ) = sin a.
D. sin( 180°- a ) = cosa.
Câu 12. Cho a và b là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong
các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?
A. sin a = sin b. B. cosa = - cosb. C. tan a = - tan b. D. cot a = cot b.
Câu 13. Tính giá trị biểu thức P = sin30°cos15°+ sin150°cos165°.


P =-

3
.
4

1
P= .
2

A.
B. P = 0.
C.
D. P = 1.
Câu 14. Cho hai góc a và b với a + b = 180° . Tính giá trị của
biểu thức P = cosa cosb - sin b sin a .
A. P = 0.
B. P = 1.
C. P = - 1.
D. P = 2.
Câu 15. Cho tam giác
A. P = 0.
B. P = 1.

ABC .

Tính
C.

P = sin A.cos( B +C ) + cos A.sin( B +C )

P = - 1.

D.

.

P = 2.

P = cos A.cos( B +C ) - sin A.sin( B +C )

Câu 16. Cho tam giác ABC . Tính
.
P
=
0.
P
=
1.
P
=
1.
P
=
2.
A.
B.
C.
D.
b
Câu 17. Cho hai góc nhọn a và
phụ nhau. Hệ thức nào
sau đây là sai?
tan a = cot b.
A. sin a =- cosb.
B. cosa = sin b.

C.
D. cot a = tan b.
2
2
2
2
Câu 18. Tính giá trị biểu thức S = sin 15°+ cos 20°+ sin 75°+ cos 110° .
A. S = 0.
B. S = 1.
C. S = 2.
D. S = 4.
Câu 19. Cho hai góc a và b với a + b = 90° . Tính giá trị của
biểu thức P = sin a cosb + sin b cosa .
A. P = 0.
B. P = 1.
C. P = - 1.
D. P = 2.
Câu 20. Cho hai góc a và b với a + b = 90° . Tính giá trị của
biểu thức P = cosa cosb - sin b sina .
A. P = 0.
B. P = 1.
C. P = - 1.
D. P = 2.
Vấn đề 3. SO SÁNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Câu 21. Cho a là góc tù. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. sin a < 0.
B. cosa > 0.
C. tan a < 0.
D. cot a > 0.
Câu 22. Cho hai góc nhọn a và b trong đó a < b . Khẳng định

nào sau đây là sai?
A. cosa < cosb. B. sin a < sin b.
C. cot a > cot b.
D. tan a + tan b > 0.
Câu 23. Khẳng định nào sau đây sai?
A. cos75°> cos50°.
B. sin80°> sin50°.
C. tan45°< tan60°.
D. cos30°= sin60°.
Câu 24. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. sin90°< sin100°.
B. cos95°> cos100°.
C. tan85°< tan125°.
D. cos145°> cos125°.
Câu 25. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. sin90°< sin150°.
B. sin90°15¢< sin90°30¢.
C. cos90°30¢> cos100°.
D. cos150°> cos120°.


Vấn đề 4. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Câu 26. Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức
cos2 a + sin2 a = 1?
a
a 1
cos2 + sin2 = .
2
2 2
A.

C.

cos2

a
a 1
+ sin2 = .
4
4 4

A.

105
.
25

B.

P=

Câu 28. Cho biết
bao nhiêu ?
A.

4
P= .
3

B.

19
.
13

A.
B.
Câu 30. Cho biết
bằng bao nhiêu ?
P=

10
.
26

A.
B.
Câu 31. Cho biết
bằng
A.
B.
Câu 32. Cho biết
5
.
4

A.
B.
Câu 33. Cho biết
2

A. sin a cosa = a .
C.

sin a cosa =

19
.
13

æ 2a
aö
÷= 5.
5ç
cos + sin2 ÷
ç
÷
ç
è
5
5ø

P=

109
.
25

P =-

P=

4
.
3

100
.
26

C.

P=

3
.
4

D.

50
.
26

sin a + cosa = a.

a2 - 1
.
2

5

.
3

P =-

P =-

P=

4
tan a = .
5

cot a =

bằng

25
.
13

101
.
26

D.
Giá trị của
5
tan a = .
4

2
.
4

sin a cosa =

tana

D.
Tính giá trị của
cot a =

C.
D.
Tính giá trị của sin a cosa.
B. sin a cosa = 2a.
D.

bằng

P = 2cos2 a + 5sin a cosa +1

2cosa + 2sin a = 2 , 00 < a < 900.
cot a =

111
.
25

6sin a - 7cosa
6cosa + 7sin a

D.

3cosa - sin a = 1 , 00 < a < 900.

C.

P=

bằng

cot a + 3tan a
P=
2cot a + tan a

25
.
13

C.
Giá trị của

a
a
+ 5cos2
3
3

D.

Giá trị của
P=

cot a = 5.

P = 3sin2

Giá trị của

3
tan a = .
4

cot a.

cot a =

C.

C.

2
cosa = - .
3

P=

4

tan a = .
3

107
.
25

tan a = - 3.

P=

a
a 1
+ sin2 = .
3
3 3

Giá trị của

5
P= .
3

Câu 29. Cho biết
bao nhiêu ?
P =-

D.
a 3
sin = .

3 5

Câu 27. Cho biết
bao nhiêu ?
P=

B.

cos2

a2 - 11
.
2

2
.
2


1
cosa + sin a = .
3

Câu 34. Cho biết
bằng bao nhiêu ?
5
P= .
4

A.

B.

7
P= .
4
sin a - cosa =

Câu 35. Cho biết
bằng bao nhiêu ?
P=

A.

15
.
5

B.

C.

17
.
5

P=

1
.

5

C.

P = tan2 a + cot2 a

Giá trị của
9
P= .
4

D.

19
.
5

11
.
4

P = sin4 a + cos4 a

Giá trị của
P=

P=

D.

21
.
5

P=

Vấn đề 5. GÓC GIỮA HAI VECTƠ
Câu 36. Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều
MNP . Góc nào sau đây bằng 120O ?
uuuu
r uuur

A.
Câu

uuur uuur

( MN , NP )

uuuu
r uur

( MO,ON ) .

B.
Cho

37.

tam

C.
giác

)

P=

(

)

(

)

3
P= .
2

3 3
.
2

D.

đều

uuu
r uuu

r
uuur uur
uur uuu
r
P = cos AB, BC + cos BC,CA + cos CA, AB .

(

uuuu
r uuur

( MN ,OP ) .

3
.
2

P =-

( MN , MP ) .

ABC.

3 3
.
2
AH . Tính

P =-

A.
B.
C.
D.
Câu 38. Cho tam giác đều ABC có đường cao
uuur uuu
r

( AH , BA) .

0

0

A. 30 .
B. 60 .
C.
Câu 39. Tam giác ABC vuông ở
nào sau đây sai?
uuu
r uuu
r

( AB, BC ) = 130 .
A.
uuu
r uur
AB, CB) = 50 .
(
C.

0

uuur uur
cos AC,CB .

(

A.
C.

uuur uur
3
cos AC,CB =
.
2

(

(

µ = 500.
B

và có góc

uuu
r uuur

1500.

Hệ thức

0

0

ABC

)

uuur uur
1
cos AC,CB = .
2

D.

( BC, AC ) = 40 .
B.
uuur uur
AC, CB) = 40 .
(
D.

0

Câu 40. Tam giác

1200.

A

Tính

)

B.

)

Câu 41. Cho tam giác
o
o
A. 180 .
B. 360 .

vuông ở

D.
ABC

và có

A

BC = 2AC.

Tính

uuur uur

1
cos AC,CB = - .
2

(

)

uuur uur
cos AC,CB =-

(

. Tính tổng
o
C. 270 .

3
.
2
uuu
r uuur
uuur uur
uur uuu
r
AB, BC + BC,CA + CA, AB .

)

(

) (

D.

) (

120o.

)


Cõu

(

42.

Cho

uuu
r uuu
r
uuu
r uur
AB, BC + BC,CA .

) (

)

tam

o

ABC

giỏc

o

o

(

B.

) (

uuur uuu
r
2
cos AC, BA =
.
2
uuur uuu
r
cos AC, BA = 0.

(

)

(

)

C.

uuu
r uuur
uuur uur
uuu
r uuur
AB, DC + AD,CB + CO, DC .

) (

A.

) (

0

45 .

B.

ABCD .

)

80o.

C.

uuur uuur
cos AC, BA .

)

uuur uuu
r
cos AC, BA =-

(

)

D.

160o.

2
.
2

(

O.

)

Tớnh tng

3150.

D.

2250.

Baứi 02
TCH VO HệễNG CUA HAI VECTễ
1. nh ngha
r
r
r
Cho hai vect a v b u khỏc vect 0. Tớch vụ hng ca
r

v b l mt s, kớ hiu l
sau:

rr
ab
.,

H.

uuur uuu

r
cos AC, BA = - 1.

D.
ABCD tõm

4050.

tng

D. 240 .
v cú trc tõm

(

Tớnh

B.

C.
Cõu 45. Cho hỡnh vuụng

(

)

180o.

Cõu 44. Cho hỡnh vuụng
A.

100o

uuur uuu
r
uuu
r uuur
uuur uuur
HA, HB + HB, HC + HC, HA .

) (

Tớnh
o

A. 120 .
B. 360 .
C. 270 .
Cõu 43. Tam giỏc ABC cú gúc A bng
Tớnh tng
o
A. 360 .

à = 60o
A
.

vi

r

a

c xỏc nh bi cụng thc

rr r r
r r
ab
. = a . b cos a,b .

( )

r

Trng hp ớt nht mt trong hai vect a v
rr
.
0.
ta quy c ab=
Chỳ ý
r
r
r
rr
r r
. = 0 a ^ b.
ã Vi a v b khỏc vect 0 ta cú ab
r

r

rr

. c kớ hiu l
ã Khi a = b tớch vụ hng aa

gi l bỡnh phng vụ hng ca vect

r2 r r
r2
a = a . a .cos00 = a .

r
a.

r
b

bng vect

r
0

r2
a

v s ny c
Ta cú

2. Cỏc tớnh cht ca tớch vụ hng
Ngi ta chng minh c cỏc tớnh cht sau õy ca tớch vụ

hng:
r r r
a, b, c

Vi ba vect
bt kỡ v mi s
rr rr
. = ba
. (tớnh cht giao hoỏn);
ã ab

k

ta cú:


·
·

r r r
rr rr
a b+ c = ab
. + ac
.

(

)

(tính chất phân phối);

r r
rr
r r
ka .b = k ab
. = a. kb

( )

( )

r2

r2

r

( );

· a ³ 0, a = 0 Û a = 0.

Nhận xét. Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ
ta suy ra:
r

·
·

r

2

r2

2

2

rr

2

2

·

r2

( a+ b) = a + 2ab. + b ;
r r
r
rr r
( a- b) = a - 2ab. + b ;
r r r r
r r
( a+ b)( a- b) = a - b .
2

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
rr

( O;i; j ) ,

Trên mặt phẳng tọa độ
rr
. là:
Khi đó tích vô hướng ab

cho hai vectơ

r
ur
a = ( a1;a2 ) , b = ( b1;b2 ) .

rr
ab
. = ab
1 1 + a2b2.

r
r
a = ( a1;a2 ) , b = ( b1;b2 )

Nhận xét. Hai vectơ
góc với nhau khi và chỉ khi

đều khác vectơ

r
0

vuông

ab
1 1 + a2b2 = 0.

4. Ứng dụng
a) Độ dài của vectơ

r
a = ( a1;a2 )

Độ dài của vectơ

được tính theo công thức:

r
a = a12 + a22 .

b) Góc giữa hai vectơ
Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu
r
a = ( a1;a2 )

và

r
b = ( b1;b2 )

đều khác

r
0

thì ta có

rr
r r
a1b1 + a2b2
ab
.
cos a;b = r r =
.
a12 + a22 . b12 + b22
a. b

( )

c) Khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa hai điểm
công thức:

A ( xA ; yA )

2

và

B ( xB ; yB )

2

AB = ( xB - xA ) +( yB - yA ) .

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

được tính theo


Vấn đề 1. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
r

r

Câu 1. Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác
r
vectơ 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
rr r r
ab
. = a. b

rr
rr
.
0.
.
- 1.
A.
. B. ab=
C. ab=

r
r
r
Câu 2. Cho hai vectơ a và b khác 0 . Xác
rr
r r
r
r
ab
. =- a . b.
hai vectơ a và b khi

A.

a = 1800.

B.

a = 00.

C.

a = 900.

r
b

r
a

Câu 3. Cho hai vectơ và thỏa mãn
r
r
Xác định góc a giữa hai vectơ a và b.
0
0
0
A. a = 30 .
B. a = 45 .
C. a = 60 .
Câu 4. Cho hai vectơ
r
r 2r
u = a- 3b
5

r

r

r
a

và

r
b

thỏa mãn

rr
r r
ab
. =- a. b

D.
định góc
D.

a = 450.

r
r
a = 3, b = 2

D.

r
r
a = b =1

a

.
giữa

và

rr
a.b = - 3.

a = 1200.

và hai vectơ

r

và v = a+ b vuông góc với nhau. Xác định góc a giữa
r
r
hai vectơ a và b.
0
0
0
0
A. a = 90 .
B. a = 180 .
C. a = 60 .
D. a = 45 .
r
r
Câu 5. Cho hai vectơ a và b . Đẳng thức nào sau đây sai?
A.

r r 1ær r 2 r 2 r 2 ÷
ö
a.b = ç
a +b - a - b ÷
.
÷

ç
ø
2è

r r 1ær r 2 r r 2 ö
÷
a.b = ç
÷
ça + b - a - b ø
÷.
2è

C.
Câu 6. Cho tam giác đều
uuu
r uuur
hướng AB.AC.
A.

uuu
r uuur
AB.AC = 2a2.
uuu
r uuur a2
AB.AC = .
2

D.
Câu 7. Cho tam giác đều
uuu

r uuur
hướng AB.BC.

B.

r r 1ær 2 r 2 r r 2 ÷
ö
a.b = ç
a + b - a- b ÷
.
÷
ç
ø
2è
r r 1 ær r 2 r r 2 ÷
ö
a.b = ç
a +b - a- b ÷
.
ç
÷
è
ø
4

D.
có cạnh bằng

a.

ABC

B.
ABC

uuu
r uuur
a2 3
AB.AC =.
2

giác đều

C.

uuu
r uuur
a2
AB.AC = .
2

a.

Tính tích vô

C.

uuu
r uuu
r

a2
AB.BC = .
2

có cạnh bằng

uuu
r uuu
r a2 3
uuu
r uuu
r
AB
.
BC
=
.
2
2
A. AB.BC = a . B.
uuu
r uuu
r a2
AB.BC = .
2
D.
G
Câu 8. Gọi
là trọng tâm tam
a . Mệnh đề nào sau đây là sai?

Tính tích vô

ABC

có cạnh bằng


A.

uuu
r uuur 1
AB.AC = a2.
2
uuu
r uuur 1 2
AB.AG = a .
2

B.

uuur uur
1
AC.CB = - a2.
2

C.

D.
Câu 9. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng

AH . Mệnh đề nào sau đây là sai?
uuur uuu
r
AH .BC = 0.

(

A.
B.
Câu 10. Cho tam giác
uuur uuu
r
Tính AB.BC.
uuu
r uuu
r
2
A. AB.BC =- a .
uuu
r uuu
r
a2 2
AB.BC =.
2

uuu
r uuur a2
AB.AC = .
2

uuu
r uuur
AB, HA = 1500.

)

ABC

C.
vuông cân tại
B.

uuu
r uuu
r a2
GA.GB = .
6

a

và chiều cao

uuur uur a2
AC.CB = .
2
D.
A và có AB = AC = a.

uuu
r uuu

r
AB.BC = a2.

C.

uuu
r uuu
r a2 2
AB.BC =
.
2

D.
Câu 11. Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB = c, AC = b.
uuu
r uuu
r
Tính BA.BC.
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r

2
2
2
2
2
2
A. BA.BC = b . B. BA.BC = c .
C. BA.BC = b + c . D. BA.BC = b - c .
Câu 12. Cho tam giác ABC có AB = 2cm, BC = 3cm, CA = 5cm. Tính
uur uur
CA.CB.

uur uur

uur uur

A. CA.CB = 13. B. CA.CB = 15.
Câu 13. Cho tam giác

C.
ABC

uuu
r uuur uuu
r
P = AB + AC .BC.

(

)

2

2

P=

c2 + b2
.
2

A. P = b - c . B.
Câu 14. Cho tam giác
trung điểm cạnh BC. Tính
A.

C.
có

ABC
uuuu
r uuu
r
AM .BC.

uuuu
r uuu
r b2 - c2
AM .BC =
.

2
uuuu
r uuu
r c2 + b2 + a2
AM .BC =
.
3

C.
Câu 15. Cho ba điểm

B.
D.

uur uur
CA.CB = 17.

có
P=

uur uur
CA.CB = 19.

BC = a, CA = b, AB = c.

c2 + b2 + a2
.
3

D.

P=

BC = a, CA = b, AB = c.

Tính

c2 + b2 - a2
.
2

Gọi

M

là

uuuu
r uuu
r c2 + b2
AM .BC =
.
2
uuuu
r uuu
r c2 + b2 - a2
AM .BC =
.
2

O, A, B không thẳng
uur uur uuu
r
OA +OB .AB = 0

(

D.

)

hàng. Điều kiện

cần và đủ để tích vô hướng
là
OAB
A. tam giác
đều.
B. tam giác OAB cân tại O.
C. tam giác OAB vuông tại O.
D. tam giác
OAB vuông cân tại O.
Câu 16. Cho M , N , P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức
sau, hệ thức nào sai?


A.

uuuu
r uuur uuu

r
uuuu
r uuur uuuu
r uuu
r
MN NP + PQ = MN .NP + MN .PQ

(

)

uuur uuuu
r
uuuu
r uuur
MP .MN = - MN .MP .
uuuu
r uuu
r uuu
r uuuu
r
MN .PQ = PQ.MN .

C.
Câu 17. Cho hình vuông
A.

uuu
r uuur
AB.AC = a2.

B.

uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r
PQ MN + PQ = MN 2 - PQ2

D.
ABCD cạnh

)(

C.

a.

)(

)

Tính

)

uuu
r uuur
AB.AC.

.

uuu
r uuur 1
AB.AC = a2.
2
D.
uuur uuu
r uur
P = AC. CD +CA .

uuu
r uuur
2 2
AB.AC =
a.
2

(

)

cạnh a . Tính
2
2
C. P = - 3a .
D. P = 2a .
a.
ABCD

vuông
cạnh
Tính

ABCD

uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuu
r
P = AB + AC . BC + BD + BA .

(

B.

( MN -

uuu
r uuur
AB.AC = a2 2.

Câu 18. Cho hình vuông
2
A. P =- 1.
B. P = 3a .
Câu 19. Cho hình

.

2

2

2

A. P = 2 2a.
B. P = 2a .
C. P = a .
D. P =- 2a .
Câu 20. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Gọi E là điểm đối
uuur uuu
r
xứng của D qua C. Tính AE .AB.
uuur uuu
r
uuur uuu
r
uuur uuu
r
2
2
2
A. AE .AB = 2a .
B. AE.AB = 3a . C. AE.AB = 5a .
uuur uuu
r
2
D. AE .AB = 5a .

Câu 21. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Điểm M nằm
AM =

AC
4

trên đoạn thẳng AC sao cho
. Gọi N là trung điểm
uuur uuuu
r
của đoạn thẳng DC. Tính MB.MN .
uuur uuuu
r
uuur uuuu
r
uuur uuuu
r
uuur uuuu
r
A. MB.MN =- 4. B. MB.MN = 0. C. MB.MN = 4.
D. MB.MN = 16.
uuu
r uuu
r
AB
=
8,
AD
=
5.

ABCD
AB
.
BD
.
Câu 22. Cho hình chữ nhật
có
Tích
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
AB.BD = - 62.
A. AB.BD = 62.
B. AB.BD = 64.
C.
uuu
r uuu
r
D. AB.BD = - 64.
uuu
r uuur
Câu 23. Cho hình thoi ABCD có AC = 8 và BD = 6. Tính AB.AC.
uuu
r uuur

uuu
r uuur
uuu
r uuur
AB
.
AC
=
24.
AB
.
AC
=
26.
AB
.AC = 28.
A.
B.
C.
uuu
r uuur
D. AB.AC = 32.
Câu 24. Cho hình bình hành ABCD có AB = 8cm, AD = 12cm , góc
·
ABC

nhọn và diện tích bằng

A.

uuu
r uuu
r
2 7
cos AB, BC =
.
16

(

)

uuu
r uuu
r
5 7
cos AB, BC =
.
16

(

)

54cm2.

B.

Tính

uuu
r uuu
r
cos AB, BC .

(

)

uuu
r uuu
r
2 7
cos AB, BC = .
16

(

)

uuu
r uuu
r
5 7
cos AB, BC =.
16

(

)

C.
D.
ABCD
Câu 25. Cho hình chữ nhật
có AB = a và
uuur uuur
là trung điểm của cạnh AD. Tính BK .AC.

AD = a 2 .

Gọi

K


A.

uuur uuur
BK .AC = 0.

B.

uuur uuur
BK .AC = - a2 2.

C.

uuur uuur
BK .AC = a2 2.

D.

uuur uuur
BK .AC = 2a2.

Vấn đề 2. QUỸ TÍCH
Câu 26. Cho tam giác
uuur uuur uuur
MA MB + MC = 0

(

)

ABC .

Tập hợp các điểm

là:
A. một điểm.
B. đường thẳng.
thẳng.
D. đường tròn.
Câu 27. Tìm tập các hợp điểm M
uuur uuur uuur uuur
MB MA + MB + MC = 0

(

)

với

M

thỏa mãn
C.

đoạn

thỏa

mãn

A, B, C

là ba đỉnh của tam giác.
A. một điểm.
B. đường thẳng.
C.
đoạn
thẳng.
D. đường tròn.
Câu 28. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn
uuur uuu
r
MA.BC = 0 là:
A. một điểm.
B. đường thẳng.

C.
đoạn
thẳng.
D. đường tròn.
Câu 29*. Cho hai điểm A, B cố định có khoảng cách bằng a .
uuur uuu
r
2
Tập hợp các điểm N thỏa mãn AN .AB = 2a là:
A. một điểm.
B. đường thẳng.
C.
đoạn
thẳng.
D. đường tròn.
Câu 30*. Cho hai điểm A, B cố định và AB = 8. Tập hợp các
uuur uuur
điểm M thỏa mãn MA.MB = - 16 là:
A. một điểm.
B. đường thẳng.
C.
đoạn
thẳng.
D. đường tròn.

Vấn đề 3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
HAI VECTƠ
Cho tam giác

ABC

A ( xA ; yA ) , B( xB ; yB ) , C ( xC ; yC )

• Trung điểm
• Trọng tâm

I

với ba đỉnh có tọa độ xác định
thì

của đoạn

æxA + xB yA + yB ö
÷
AB ¾¾
®I ç
;
÷
ç
÷.
ç
è 2
2 ø

æxA + xB + xC yA + yB + yC ÷
ö
G : ¾¾
®Gç
;

.
÷
ç
÷
ç
è
ø
3
3


• Trực tâm

uuur uuu
r
ìï HA.BC = 0
ï
H ¾¾
® í uuu
.
r uur
ïï HB.CA = 0
ïî
ìï AE 2 = BE 2
E ¾¾
® EA = EB = EC Û ïí
.
ïïî AE 2 = CE 2
uuur uuu
r

ìï AK .BC = 0
ï
A ¾¾
® í uuur
uuu
r.
ïï BK = kBC
ïî

• Tâm đường tròn ngoại tiếp

• Chân đường cao K hạ từ đỉnh
• Chân đường phân giác trong

góc

uuu
r
AB uuur
D ¾¾
® DB = .DC.
AC
• Chu vi: P = AB + BC +CA .

•

1
1
AB.AC.sin A = AB.AC. 1- cos2 A
2

2
Diện tích:
.
uuur uuur
A : cos A = cos AB, AC

(

).

uuu
r uuur
ìï AB.AC = 0
ï
A ¾¾
®í
.
ïï AB = AC
î

• Tam giác ABC vuông cân tại
Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ
A ( 3;- 1) , B( 2;10) , C ( - 4;2) .
Tính tích
uuu
r uuur
uuu
r uuur
A. AB.AC = 40. B. AB.AC = - 40.
B ( 2;10) .

A.

Tính tích vô hướng

uuur uur
uuur uur
AO.OB = - 4. B. AO.OB = 0.

Oxy,
uuu
r uuur
AB.AC.

vô hướng
uuu
r uuur
C. AB.AC = 26.
Oxy,

Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ
uuur uur
AO.OB.

C.

cho ba điểm
D.

uuur uur

AO.OB = 4.

Oxy,
cho
r
r
r
rr
..
và b = 3i - 7 j. Tính tích vô hướng ab
rr
rr
rr
.
30.
.
3.
.
30.
A. ab=B. ab=
C. ab=

tọa độ vectơ
r

hai

Oxy,

r

r
r
a = ( 1;2) , b = ( 4;3)
c = ( 2;3) .
và
r r r
P = a. b+ c .

(

P = 0.

uuur uur
AO.OB = 16.
r
r
r
vectơ a = 4i + 6 j

D.

rr
ab=
.
43.
r
a= ( - 3;2)

D.
cho ba vectơ

)

B.

P = 18.

C.

P = 20.

Câu 36. Trong mặt phẳng tọa độ
r
b= ( 2;0)

và

Oxy, cho hai vectơ
r
rr
rr
c biết ca=
.
9 và cb=.
20.
r
r
c= ( 1;- 3) .
c= ( 1;3) .

A.
B. c= ( - 1;3) .
C.
Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ

Tính
A.

A ( 3;- 1)

D.

Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ
r
b= ( - 1;- 7) .
Tìm
r
c= ( - 1;- 3) .

uuu
r uuur
AB.AC = - 26.

cho hai điểm

Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ

và

điểm

S=

• Góc

và

là

A

Oxy,

D.

P = 28.

cho hai vectơ

. Tính cosin của góc giữa hai vectơ

r
a

và

r
b.

r

a = ( - 1;1)


A.
C.

r r
1
cos a, b =
.
2
r r
1
cos a, b =.
2 2

( )

B.

( )

D.

Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ
và

r
b= ( 4;- 3)

A.
C.

r r
cos a, b = r r
1
cos a, b = .
2

( )

Oxy,

r r
cos a, b = -

5
.
5

( )

r r
3
cos a, b =
.
2

( )

B.

r r
2 5
cos a, b =
.
5

D.

r r
1
cos a, b = .
2

và

r
b.

( )

Oxy,

r
b= ( 1;7)

r

Oxy,

u
r
y = ( - 3;- 1)

. Tính góc a giữa hai vectơ
O
O
O
A. a = 45 .
B. a = 60 .
C. a = 90 .

r
b.

r
a

D.

a = 30O.

cho hai vectơ

u
r
x

Oxy,

r
b= ( 3;- 7)

r
a = ( 4;3)

cho hai vectơ

. Tính góc a giữa hai vectơ a và
O
O
O
A. a = 90 .
B. a = 60 .
C. a = 45 .

Câu 40. Trong mặt phẳng tọa độ
và

r
a

r
a= ( - 2;- 1)

( )

Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ
và

cho hai vectơ

. Tính cosin của góc giữa hai vectơ

Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ
và

2
.
2

( )

và

u
r
x = ( 1;2)

u
r
y.

D.

a = 135O.
r
a= ( 2;5)

cho hai vectơ

. Tính góc a giữa hai vectơ và
O
O
O
A. a = 30 .
B. a = 45 .
C. a = 60 .

r
b.

D.

a = 135O.
r
a = ( 9;3)

Câu 41. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ
r
Vectơ nào sau đây không vuông góc với vectơ a ?
ur
v1 = ( 1;- 3) .

ur
v2 = ( 2;- 6) .

ur
v3 = ( 1;3) .

A.
B.
C.
Câu 42. Trong mặt phẳng tọa độ
A ( 1;2) , B ( - 1;1)
uuur
và AC.

A.

và

C ( 5;- 1)

(

)

(

)

và

Oxy,

D.
cho ba điểm

B.

uuu
r
AB

uuu
r uuur
3
cos AB, AC =
.
2
uuu
r uuur
5
cos AB, AC =.
5

C.
D.
Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ
A ( 6;0) , B( 3;1)

uu
r
v4 = ( - 1;3) .

. Tính cosin của góc giữa hai vectơ

uuu

r uuur
1
cos AB, AC =- .
2
uuu
r uuur
2
cos AB, AC = - .
5

.

(

)

(

)

Oxy,

cho tam giác

ABC

có

C ( - 1;- 1)

. Tính số đo góc B của tam giác đã cho.
O
O
A. 15 .
B. 60 .
C. 120 .
D. 135 .
Câu 44. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm
O

A ( - 8;0) , B ( 0;4) , C ( 2;0)

đúng?

O

và

D ( - 3;- 5) .

Khẳng định nào sau đây là


A. Hai góc
góc nhọn.
C.
nhau.

·
BAD

·
BCD

và

phụ nhau.

uuu
r uuur
uur uuur
cos AB, AD = cos CB,CD .

(

)

(

)

và

r
r
r
v = ki - 4 j.

A.

k = 20.

Tìm k để vectơ
B. k = - 20.

r
u

và
nhau.

k=

k

Tìm

37
.
4

để vectơ

r
u

Oxy,

r
r

a = ( - 2;3) , b = ( 4;1)

r
r
r
c = ka+ mb
r r
a+ b

và

(

37
.
2
độ Oxy,

k=±

A.
B.
C.
Câu 47. Trong mặt phẳng tọa
với

)

r
v.

k, mÎ ¡ .

là
bù

r 1r r
u = i - 5j
2

k = 40.
r 1r r
u = i - 5j
2
vectơ

D.

cho hai
r
v

·
BCD

và

cho hai vectơ

và vectơ

37
.
2

k=

Oxy,

vuông góc với
C. k = - 40.

Câu 46. Trong mặt phẳng tọa độ
r
r
r
v = ki - 4 j.

·
BAD

D. Hai góc

Câu 45. Trong mặt phẳng tọa độ

·
BCD

B. Góc

có độ dài bằng
5
k= .
8

D.
cho ba vectơ

Biết rằng vectơ

r
c

vuông góc với vectơ
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 2k = 2m.
B. 3k = 2m.
C. 2k + 3m= 0.
D. 3k + 2m= 0.
Câu 48. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai
r
u
r
ru
r
ru
r
. = 4 và bd
. =- 2 .
và b= ( 4;1) . Tìm vectơ d biết ad

u
r æ
u
r æ 5 6ö
u
r æ
ö
5 6÷
5 6ö
d =ç
; ÷
.
d =ç
- ; ÷
.
d =ç
;- ÷
÷
÷
÷.
ç
ç
ç
÷
÷
ç
ç
ç7 7ø
è7 7ø
è 7 7ø

è
A.
B.
C.
Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ
r
r
u = ( 4;1) , v = ( 1;4)

trục hoành.
A. m= 4.

r r
r
a = u + mv
.

và

B.

với

m= - 4.

r
v= ( 1;4) .

và
góc

Tìm

m

để vectơ

m

mÎ ¡ .

Tìm

C.

m= - 2.

Câu 50. Trong mặt phẳng tọa độ

r
r r
a = mu
. +v

Oxy,

Oxy,

để

vectơ

r
a= ( - 2;3)

u
r æ 5 6ö
d =ç
- ;- ÷
÷.
ç
÷
ç
è 7 7ø

D.
cho ba vectơ

r
a

vuông góc với

D.

m= 2.

r
u = ( 4;1)
r r r

b= i + j

cho hai vectơ

tạo với vectơ

một

450.

A.

m= 4.

B.

m= -

1
.
2

C.

m=-

1
.
4

D.

1
m= .
2

Vấn đề 4. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI
Câu 51. Trong mặt phẳng tọa độ
hai điểm

M ( 1;- 2)

và

N ( - 3;4) .

Oxy,

tính khoảng cách giữa


A. MN = 4.
B. MN = 6.
C. MN = 3 6.
D. MN = 2 13.
Oxy
,
Câu 52. Trong mặt phẳng tọa độ
cho tam giác ABC có
A ( 1;4) , B ( 3;2) , C ( 5;4)

A.
D.

. Tính chu vi

P = 4 + 2 2.

1
.
5

(

r r
O;i ; j

1.

B.

) , cho vectơ
C.

6
.
5

Câu 54. Trong mặt phẳng tọa độ
và

2.

P = 2 + 2 2.

Câu 53. Trong
hệ tọa độ
r
của vectơ a bằng
A.

của tam giác đã cho.
B. P = 4 + 4 2.
C. P = 8+ 8

P

r
v = ( - 8;6)
. Khẳng
r
r
A. u = v .
r
C. u vuông góc

r
3r 4 r
a =- i j
5 5 .

D.
Oxy,

7
.
5

cho hai vectơ

Độ dài

r
u = ( 3;4)

định nào sau đây đúng?
r

r

B. ur vàr v cùng phương.
r
với v .
D. u = - v.
Câu 55. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm
A ( 1;2) , B ( - 2;- 4) , C ( 0;1)

và

æ 3÷

ö
Dç
- 1; ÷
ç
÷
ç
è 2ø.
uuu
r
CD.

uuu
r
AB cùng
uuu
r uuu
r
AB ^ CD.

Mệnh đề nào sau đây đúng ?
uuu
r
uuu
r
AB = CD .

A.
phương với
B.
uuu

r uuu
r
C.
D. AB = CD.
Câu 56. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm
A ( 7;- 3) , B( 8;4) , C ( 1;5)
uuur uur
A. AC ^ CB.

và

D ( 0;- 2)

. Khẳng định nào sau đây đúng?

B. Tam giác ABC đều.
C. Tứ giác ABCD là hình vuông.
D. Tứ giác ABCD không nội tiếp đường tròn.
Câu 57. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm
A ( - 1;1) , B ( 0;2) , C ( 3;1)

và

D ( 0;- 2) .

Khẳng định nào sau đây là

đúng?
A. Tứ giác ABCD là hình bình hành.
B. Tứ giác ABCD là hình thoi.

C. Tứ giác ABCD là hình thang cân.
D. Tứ giác ABCD không nội tiếp được đường tròn.
Câu 58. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác
A ( - 1;1) , B( 1;3)

ABC

và C ( 1;- 1) . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Tam giác ABC đều.
B. Tam giác ABC có ba góc đều nhọn.
C. Tam giác ABC cân tại B .

có


D. Tam giác ABC vuông cân tại A .
Câu 59. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác
A ( 10;5) , B ( 3;2)

ABC

có

C ( 6;- 5)

và
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
ABC
A. Tam giác
đều.

B. Tam giác ABC vuông cân tại A .
C. Tam giác ABC vuông cân tại B .
D. Tam giác ABC có góc A tù.
Câu 60. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có
A ( - 2;- 1) , B ( 1;- 1)

và C ( - 2;2) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Tam giác ABC đều.
B. Tam giác ABC vuông cân tại A .
C. Tam giác ABC vuông tại B .
D. Tam giác ABC vuông cân tại C .

Vấn đề 5. TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO
TRƯỚC
Oxy,

Câu 61. Trong mặt phẳng tọa độ
B( 8;4) .

ABC

Tìm tọa độ điểm
vuông tại C.

A.

C ( 6;0) .

B.

C

C.

C ( 0;0) .

Câu 62. Trong mặt phẳng tọa độ
ABC

Tìm tọa độ điểm
vuông tại A.

C

Oxy,

D.

A ( –4;0) , B ( –5;0)
và C ( 3;0) . Tìm
uuur uuur uuur r
MA + MB + MC = 0.
M ( –2;0) .
M ( 2;0) .

điểm

B.

và N ( 1;1) . Tìm tọa độ điểm

điểm M , N , P thẳng hàng.
P ( 0;4) .

B.

P ( 0;–4) .

A ( 1;2)

và

thuộc trục tung sao cho tam giác

M

C.
P

Oxy,

D. C ( 0;- 6) .
cho ba điểm

thuộc trục hoành sao cho

M ( –4;0) .

D.

Oxy,

cho hai điểm

Câu 64. Trong mặt phẳng tọa độ

A.

và

C ( - 1;0) .

cho hai điểm

A. C ( 0;6) .
B. C ( 5;0) .
C. C ( 3;1) .
Câu 63. Trong mặt phẳng tọa độ

A.

A ( - 2;4)

thuộc trục hoành sao cho tam giác

C ( 0;0) , C ( 6;0) .

B ( - 3;1) .

cho hai điểm

M ( –5;0) .
M ( –2;2)

thuộc trục hoành sao cho ba
C.

P ( –4;0) .

D.

P ( 4;0) .


Oxy,

Câu 65. Trong mặt phẳng tọa độ

tìm điểm
N ( - 1;4)

hoành để khoảng cách từ đó đến điểm
A.

M ( 1;0) .

B.

M ( 1;0) , M ( - 3;0) .

M

thuộc trục

bằng
C.

2 5.

M ( 3;0) .

D.

M ( 1;0) , M ( 3;0) .

Oxy,

Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ
B( 4;2) .

C

Tìm tọa độ điểm
đều hai điểm A và B.
æ5 ÷
ö
Cç
.
ç- ;0÷
÷
ç

è 3 ø

thuộc trục hoành sao cho

æ
5 ö
Cç
÷.
ç ;0÷
ç
è3 ÷
ø

æ3 ÷
ö
Cç
.
ç- ;0÷
÷
ç
è 5 ø

Tìm điểm

M

C

và

cách

æ
3 ö
Cç
÷.
ç ;0÷
ç
è5 ÷
ø

A.
B.
C.
Câu 67. Trong mặt phẳng tọa độ
A ( 2;2) , B( 5;- 2) .

A ( 1;3)

cho hai điểm

D.
cho hai điểm

Oxy,

thuộc trục hoàng sao cho

·
AMB

= 900 ?

A.

M ( 0;1) .

B.

M ( 6;0) .

C.

Câu 68. Trong mặt phẳng tọa độ
B( 3;2) .

Tìm

M

M ( 1;6) .

Oxy,

A.
B.
C.
Câu 69. Trong mặt phẳng tọa độ
ABCD

biết

MA + MB

æ 1÷
ö
Mç
0; ÷
.
ç
÷
ç
è 2ø

M ( 0;- 1) .

A ( - 2;0) , B( 2;5) ,

C ( 6;2) .

M ( 0;6) .

cho hai điểm
2

thuộc trục tung sao cho

M ( 0;1) .

D.

Oxy,

2

A ( 1;- 1)

và

nhỏ nhất.
æ 1÷
ö
Mç
0;- ÷
.
ç
÷
ç
è 2ø

D.
cho hình bình hành

Tìm tọa độ điểm

D.

A. D ( 2;- 3) . B. D ( 2;3) .
C. D ( - 2;- 3) .
D. D ( - 2;3) .
Câu 70. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có

A ( 1;3) , B ( - 2;4) , C ( 5;3) .

Tìm tọa độ trọng tâm

G

của tam giác đã

cho.
æ 10÷
ö
Gç
.
ç2; ÷
÷
ç
è 3ø

æ
ö
8 10÷
Gç
.
÷
ç ;÷
ç
è3 3 ø

æ4 10÷
ö

Gç
.
ç ; ÷
÷
ç
è3 3 ø

A.
B.
C. G ( 2;5) .
D.
Oxy
,
Câu 71. Trong mặt phẳng tọa độ
cho tam giác
A ( - 4;1) , B ( 2;4) , C ( 2;- 2) .

Tìm tọa độ tâm
tiếp tam giác đã cho.
æ1 ÷
ö
Iç
.
ç ;1÷
÷
ç
è4 ø

æ1 ÷
ö

Iç
.
ç- ;1÷
÷
ç
è 4 ø

æ 1ö
Iç
÷
ç1; ÷
÷.
ç
è 4ø

A.
B.
C.
Câu 72. Trong mặt phẳng tọa độ
A ( - 3;0) , B ( 3;0)

và C ( 2;6) . Gọi
giác đã cho. Tính a+ 6b.
A. a+ 6b = 5. B. a+ 6b = 6.

I

H ( a;b)

Oxy,

ABC

có

của đường tròn ngoại
æ 1ö
Iç
÷
ç1;- ÷
÷.
ç
è 4ø

D.
cho tam giác

ABC

có

là tọa độ trực tâm của tam

C.

a + 6b = 7.

D.

a + 6b = 8.

Oxy,

Câu 73. Trong mặt phẳng tọa độ

cho tam giác

A ( 4;3) , B( 2;7)

đỉnh

A

và C ( - 3;- 8) . Tìm toạ độ chân đường cao
xuống cạnh BC.

ABC

A'

có

kẻ từ

A. A '( 1;- 4) . B. A '( - 1;4) .
C. A '( 1;4) .
D. A '( 4;1) .
Câu 74. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có
A ( 2;4) , B( - 3;1) , C ( 3;- 1) .

A

Tìm tọa độ chân đường cao
của tam giác đã cho.
æ
ö
3 1÷
A 'ç
; ÷
.
ç
÷
ç
è5 5ø

æ 3 1ö
A 'ç
- ;- ÷
÷
ç
÷.
ç
è 5 5ø

æ 3 1ö
A 'ç
- ; ÷
÷
ç

÷.
ç
è 5 5ø

A.
B.
C.
Câu 75. Trong mặt phẳng tọa độ
A ( - 3;- 2) , B ( 3;6)

hình vuông.
A.

và

D ( 5;- 8) .

C ( 11;0) .

B.

Tìm tọa độ điểm

D ( 8;5) .

C.

Oxy,

B ( 1;1) .

B.

Tìm tọa độ điểm

C

vẽ từ đỉnh

æ
ö
3 1÷
A 'ç
;- ÷
.
ç
÷
ç
è5 5ø

D.
cho ba điểm

Oxy ,

D

để tứ giác

D ( - 5;8) .

Câu 76. Trong mặt phẳng tọa độ

A'

cho hai điểm
ABC

là

D ( - 8;5) .

D.

sao cho tam giác

ABCD

A ( 2;4)

và

vuông cân tại

A. C ( 4;0) .
B. C ( - 2;2) .
C. C ( 4;0) , C ( - 2;2) .
D. C ( 2;0) .
Câu 77. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD
có

A ( 1;- 1)

và

B( 3;0) .

D ( 0;- 1) .

Tìm tọa độ điểm
D ( 2;- 3) .

D,

biết

D

D ( 2;- 3) , D ( 0;1) .

A.
B.
C.
Câu 78. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy,

có tung độ âm.
D. D ( - 2;- 3) .
cho bốn điểm

A ( 1;2) , B ( - 1;3) , C ( - 2;- 1)

và D ( 0;- 2) . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. ABCD là hình vuông.
B. ABCD là hình chữ nhật.
C. ABCD là hình thoi.
D. ABCD là hình bình hành.
Câu 79. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác OAB với
A ( 1;3)

và B( 4;2) . Tìm tọa độ điểm
trong góc O của tam giác OAB.
A.

æ
5 5ö
E =ç
; ÷
÷
ç
÷.
ç
è2 2ø

B.

E

là chân đường phân giác

æ3 1ö
E =ç
;- ÷
÷
ç
÷.
ç
è2 2ø

(
)
(
C.
D.
Câu 80. Trong mặt phẳng tọa độ
E = - 2+ 3 2;4 + 2 .

A ( 2;0) , B( 0;2)

cân

ABCD.

A.

và

D ( 7;0) .

C ( 0;7) .

B.

E = - 2 + 3 2;4-

Oxy,

Tìm tọa độ đỉnh thứ tư

D ( 7;0) , D ( 2;9) .

C.

D

D ( 0;7) , D ( 9;2) .

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

)

2.

cho ba điểm
của hình thang
D.

D ( 9;2) .

CHỦ ĐỀ
7.

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
VÀ ỨNG DỤNG

 Bài 01
GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ
1. Định nghĩa

0
0
TỪ 0 ĐẾN 180

a 00 £ a £ 1800 )
Với mỗi góc (
ta xác định một điểm M trên nửa
·
= a và giả sử điểm M có tọa
đường tròn đơn vị sao cho xOM

độ M ( x0; y0 ) . Khi đó ta có định nghĩa:
· sin của góc a là y0, kí hiệu sin a = y0 ;
· cosin của góc a là x0, kí hiệu cosa = x0 ;
·
·

tang của góc a là

y0
( x0 ¹ 0) ,
x0

cotang của góc a là

kí hiệu

x0
( y0 ¹ 0) ,
y0

y

tan a =

y0

M x0

y0

cot a =

kí hiệu

1

;
x0

.
y0

x0

-1

a

x
1

O

2. Tính chất
Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox và
·
·
= a thì xON
= 1800 - a. Ta có yM = yN = y0, xM = - xN = x0. Do
nếu xOM
đó
y
sin a = sin( 1800 - a )

cosa = - cos( 1800 - a )
tan a = - tan( 1800 - a )

y0

N

cot a = - cot( 1800 - a ) .

M

x

a
- x0

x0

O

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Giá trị

00

300

450

600

sina

0

1
2

2
2

cosa

1

3
2

2
2

3
2
1
2

a

900

1800

1

0

0

- 1

lượng giác


tana

0

cota

P

1

1

3

3
1

1

3

3

P

0

0

P

Trong bảng kí hiệu "P" để chỉ giá trị lượng giác không xác
định.
Chú ý. Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho
trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng
giác của một số góc đặc biệt khác.
Chẳng hạn
sin1200 = sin( 1800 - 600 ) = sin600 =

3
2

cos1350 = cos( 1800 - 450 ) = - cos450 = -

2
.
2

4. Góc giữa hai vectơ
a) Định nghĩa
r
r

r
Cho hai vectơ a và b đều khác vecto 0. Từ một điểm O bất
uur r
uur r
0
0
·
kì ta vẽ OA = a và OB = b. Góc AOB
với số đo từ 0 đến 180 được
r
r
gọi là góc giữa hai vectơ a và b. Ta kí hiệu góc giữa hai
r
a

r
b

r r

r r

( a,b) .

( a,b) = 90

vectơ
và
là
Nếu

vuông góc với nhau, kí hiệu là
r
b

r
a

0

r r
a^ b

thì ta nói rằng
r r
hoặc b ^ a.

r
b

B

A

r
a

O

r r

rr

( a,b) = ( b, a) .
b) Chú ý. Từ định nghĩa ta có
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
0

0

Câu 1. Giá trị cos45 + sin45 bằng bao nhiêu?
A. 1.
B. 2.
C. 3.

D.

0.

r
a

và

r
b


Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc
đặc

biệt
hay
dùng
MTCT
ta
được
ìï
ïï cos450 =
ïï
í
ïï
ïï sin450 =
ïî

2
2 ¾¾
® cos450 + sin450 = 2.
2
2

Câu 2. Giá trị của
4

Chọn B.
bằng bao nhiêu?

tan300 + cot300

2

1+ 3
.
3

.

.

3
A. 3
B.
C.
D. 2.
Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc
đặc
biệt
hay
dùng
MTCT
ta
được

ìï
ïï tan300 = 1
4
ïí
3 ¾¾
® tan300 + cot300 =
.
ïï

3
0
ïïî cot30 = 3

Chọn A.
Câu 3. Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào là đúng?
A.

sin150O = tan150O = -

3
.
2
1
3

B.

cos150O =

.

3
.
2

O

C.
D. cot150 = 3.

Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc
tan150O = -

1

.

3 Chọn C.
đặc biệt hay dùng MTCT ta được
o
o
o
o
Câu 4. Tính giá trị biểu thức P = cos30 cos60 - sin30 sin60 .

A.

P = 3.

Lời giải. Vì

B.
300

o

và

P=

600

o

3
.
2

C. P = 1.

D.

là hai góc phụ nhau nên

P = 0.

ìï sin300 = cos600
ïí
ïï sin600 = cos300
î

o

¾¾
® P = cos30 cos60 - sin30 sin60o = cos30o cos60o - cos60o cos30o = 0.

D.
o
o
o

o
Câu 5. Tính giá trị biểu thức P = sin30 cos60 + sin60 cos30 .
A. P = 1.
B. P = 0.
C. P = 3.
D. P = Lời giải. Vì

300

và

600

3.

ìï sin300 = cos600
ïí
ïï sin600 = cos300
î

là hai góc phụ nhau nên
Chọn A.
Câu 6. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
O
O
O
O
A. sin45 + cos45 = 2.
B. sin30 + cos60 = 1.
O

O
O
O
C. sin60 + cos150 = 0.
D. sin120 + cos30 = 0.
¾¾
® P = sin30o cos60o + sin60o cos30o = cos2 60o + sin2 60o = 1.

Chọn


Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc
đặc
biệt
hay
dùng
MTCT
ta
được
ìï
ïï cos300 = 3
ïï
2 ¾¾
® cos300 + sin1200 = 3.
í
ïï
3
ïï sin1200 =
2
îï

Chọn D.
Câu 7. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
O
O
O
O
A. sin0 + cos0 = 0.
B. sin90 + cos90 = 1.
sin60O + cos60O =

sin180O + cos180O =- 1.

3 +1
.
2

C.
D.
Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc
ìï cos00 = 1
ïí
¾¾
® cos00 + sin00 = 1.
ïï sin00 = 0
î

đặc biệt hay dùng MTCT ta được
Chọn A.
Câu 8. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?

O
O
O
O
A. cos45 = sin45 .
B. cos45 = sin135 .
O
O
O
O
C. cos30 = sin120 .
D. sin60 = cos120 .
Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc
ìï
ïï cos1200 = - 1
ïï
2
.
í
ïï
3
0
ïï sin60 =
2
ïî

đặc biệt hay dùng MTCT ta được
Câu 9. Tam giác ABC vuông ở A có góc
nào sau đây là sai?
cosB =

1
3

.

sinC =

Chọn D.
µ = 300.
B
Khẳng định

1
cosC = .
2

3
.
2

1
sin B = .
2

A.
B.
C.
D.
0

µ
Lời giải. Từ giả thiết suy ra C = 60 .
Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
hay dùng MTCT ta được
Câu 10. Tam giác đều
nào sau đây là đúng?
A.

·
sin BAH
=

ABC

3
.
2

Chọn A.
có đường cao AH . Khẳng định

1
3
·
cosBAH
=
.
.
3
2 B.

Lời giải. Ta có
Ta có

cosB = cos300 =

C.

·
sin ABC
=

ìï
1
·
ïï sin BAH
=
ï
2
0
·
BAH
= 30 ¾¾
® ïí
ïï
3
·
ïï cosBAH
=
2

ïî

3
·
·
ABC
= 600 ¾¾
® sin ABC
=
.
2

3
.
2

D.

1
·
sin AHC
= .
2

. Do đó A sai; B sai.

Do đó C đúng. Chọn C.


Vấn đề 2. HAI GÓC BÙ NHAU – HAI GÓC PHỤ NHAU

Câu 11. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A.

sin( 180°- a ) = - cosa.

B.

sin( 180°- a ) = - sin a.

C.

sin( 180°- a ) = sin a.

D.

sin( 180°- a ) = cosa.

Lời giải. Hai góc bù nhau a và ( 180°- a ) thì cho có giá trị của
sin bằng nhau.
Chọn C.
Câu 12. Cho a và b là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong
các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?
A. sin a = sin b. B. cosa = - cosb. C. tan a = - tan b. D. cot a = cot b.
Lời giải. Hai góc bù nhau a và b thì cho có giá trị của sin
bằng nhau, các giá trị còn lại thì đối nhau. Do đó D sai.
Chọn D.
Câu 13. Tính giá trị biểu thức P = sin30°cos15°+ sin150°cos165°.
P =-

3

.
4

1
P= .
2

P = 0.

A.
B.
C.
D. P = 1.
0
0
Lời giải. Hai góc 30 và 150 bù nhau nên sin30°= sin150° ;
Hai góc 15° và 165° bù nhau nên cos15°= - cos165° .
Do đó P = sin30°cos15°+ sin150°cos165°= sin150°.( - cos165°) + sin150°cos165°= 0 .
Chọn B.
Câu 14. Cho hai góc a và b với a + b = 180° . Tính giá trị của
biểu thức P = cosa cosb - sin b sin a .
A. P = 0.
B. P = 1.
C. P = - 1.
D. P = 2.
Lời giải. Hai góc a và b bù nhau nên sin a = sin b ; cosa = - cosb .
Do
đó,
Chọn C.

P = cosa cosb - sin b sin a = - cos2 a - sin2 a = - ( sin2 a + cos2 a ) = - 1

Câu 15. Cho tam giác
A. P = 0.
B. P = 1.
Lời

giải.

Giả

sử
P = sin a cosb + cosa sin b .

ABC .

Tính P = sin A.cos( B +C ) + cos A.sin( B +C ) .
C. P = - 1.
D. P = 2.

µ = a; B
µ +C
µ =b
A
.

µ

µ

Biểu

thức

trở

thành

µ

Trong tam giác ABC , có A + B +C = 180°Þ a + b = 180° .
Do hai góc a và b bù nhau nên sin a = sin b ; cosa = - cosb .
Do đó, P = sin a cosb + cosa sin b = - sin a cosa + cosa sin a = 0 . Chọn A.
Câu 16. Cho tam giác
A. P = 0.
B. P = 1.

ABC .

.

Tính P = cos A.cos( B +C ) C. P = - 1.
D.

sin A.sin( B +C )

P = 2.

.

Lời

giải.

sử
sin a sin b .

µ = a; B
µ +C
µ =b
A

thức

trở

Trong tam giác ABC có A + B +C = 180°Þ a + b = 180° .
Do hai góc a và b bù nhau nên sin a = sin b ; cosa = -

cosb .

P = cosa cosb -

Giả

µ

µ

.

Biểu

thành

µ

(
)
Do
đó,
.
Chọn C.
Câu 17. Cho hai góc nhọn a và b phụ nhau. Hệ thức nào
sau đây là sai?
tan a = cot b.
A. sin a = - cosb.
B. cosa = sin b.
C.
D. cot a = tan b.
Lời giải. Hai góc nhọn a và b phụ nhau thì
sin a = cosb; cosa = sin b; tan a = cot b; cot a = tan b
. Chọn A.
2
2
2
2
Câu 18. Tính giá trị biểu thức S = sin 15°+ cos 20°+ sin 75°+ cos 110° .
A. S = 0.

B. S = 1.
C. S = 2.
D. S = 4.
Lời giải. Hai góc 15° và 75° phụ nhau nên sin75°= cos15°.
Hai góc 20° và 110° hơn kém nhau 90° nên cos110°= - sin20°.
2
2
2
2
Do đó, S = sin 15°+ cos 20°+ sin 75°+ cos 110°
P = cosa cosb - sin a sin b = - cos2 a - sin2 a = - sin2 a + cos2 a = - 1

= sin2 15°+ cos2 20+ cos2 15°+( - sin20°) = ( sin2 15°+ cos2 15°) +( sin2 20°+ cos2 20°) = 2
2

.

Chọn C.
Câu 19. Cho hai góc a và b với a + b = 90° . Tính giá trị của
biểu thức P = sin a cosb + sin b cosa .
A. P = 0.
B. P = 1.
C. P = - 1.
D. P = 2.
Lời giải. Hai góc a và b phụ nhau nên sin a = cosb; cosa = sin b .
2
2
Do đó, P = sin a cosb + sin b cosa = sin a + cos a = 1 . Chọn B.
Câu 20. Cho hai góc a và b với a + b = 90° . Tính giá trị của
biểu thức P = cosa cosb - sin b sin a .

A. P = 0.
B. P = 1.
C. P = - 1.
D. P = 2.
Lời giải. Hai góc a và b phụ nhau nên sin a = cosb; cosa = sin b .
Do đó, P = cosa cosb - sin b sin a = cosa sin a - cosa sin a = 0 . Chọn A.

Vấn đề 3. SO SÁNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC