tích phân kép tich_phan_kep

TÍCH PHÂN KÉP

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:

TP. HCM — 2016.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2016.

1 / 106


NỘI DUNG

1

ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2016.

2 / 106

NỘI DUNG

1

ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP

2

TÍCH PHÂN KÉP TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ-CÁC

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2016.

2 / 106


NỘI DUNG

1

ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP

2

TÍCH PHÂN KÉP TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ-CÁC

3

TÍCH PHÂN KÉP TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2016.

2 / 106


NỘI DUNG

1

ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP

2

TÍCH PHÂN KÉP TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ-CÁC

3

TÍCH PHÂN KÉP TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC

4

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN KÉP

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2016.

2 / 106


Định nghĩa tích phân kép

Đặt vấn đề

Cho z = f (x, y) là hàm xác định trên miền
đóng D = {(x, y) ∈ R2 : a x b, c y d}.
Ω = {(x, y, z) ∈ R3 : 0

z

f (x, y), (x, y) ∈ D}

Tính thể tích V của vật thể Ω.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2016.

3 / 106


Định nghĩa tích phân kép

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Đặt vấn đề

TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2016.

4 / 106


Định nghĩa tích phân kép

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Đặt vấn đề

TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2016.

5 / 106


Định nghĩa tích phân kép

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Đặt vấn đề

TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2016.

6 / 106


Định nghĩa tích phân kép

Cho hàm số f (x, y)

Định nghĩa

0, ∀(x, y) ∈ D.

ĐỊNH NGHĨA 1.1
Tích phân kép của hàm số f (x, y) trên miền D
là
m n

f (xij∗ , yij∗ )∆x∆y

f (x, y)dxdy = lim

m,n→∞

D

i=1 j=1

nếu giới hạn này tồn tại. Lúc này f (x, y) được
gọi là hàm khả tích trên D.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2016.

7 / 106


Định nghĩa tích phân kép

Tính chất của tích phân kép

10 . Nếu D = D1 + D2 và f (x, y) khả tích trên D
f (x, y)dxdy =
D

f (x, y)dxdy+
D1

f (x, y)dxdy

+

D2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2016.

8 / 106


Định nghĩa tích phân kép

Tính chất của tích phân kép

10 . Nếu D = D1 + D2 và f (x, y) khả tích trên D
f (x, y)dxdy =
D

f (x, y)dxdy+
D1

f (x, y)dxdy

+
D2

20 . Nếu f (x, y) là hàm khả tích trên D thì
(αf (x, y))dxdy = α
D

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

f (x, y)dxdy
D

TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2016.

8 / 106


Định nghĩa tích phân kép

Tính chất của tích phân kép

30 . Nếu f (x, y) và g(x, y) là những hàm khả
tích trên D thì
(f (x, y) ± g(x, y))dxdy =
D

f (x, y)dxdy ±

=
D

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

g(x, y)dxdy
D

TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2016.

9 / 106


Định nghĩa tích phân kép

Tính chất của tích phân kép

30 . Nếu f (x, y) và g(x, y) là những hàm khả
tích trên D thì
(f (x, y) ± g(x, y))dxdy =
D

f (x, y)dxdy ±

=
D

g(x, y)dxdy
D

40 . Nếu D là miền đóng, bị chặn thì
SD =

dxdy
D

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2016.

9 / 106


Tích phân kép trong hệ tọa độ Đề-các

Định lý Fubini

ĐỊNH LÝ 2.1 (ĐỊNH LÝ FUBINI.)
Cho D = {(x, y) ∈ R2 : a x b, c y d} và
f (x, y) 0, ∀(x, y) ∈ D là hàm liên tục trên
miền D. Khi đó
b

I=

f (x, y)dxdy =
d

=

c



f (x, y)dx dy.


c

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

b




f (x, y)dy  dx =


a

D

d



a
TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2016.

10 / 106

Tích phân kép trong hệ tọa độ Đề-các

Định lý Fubini

CHỨNG MINH

Theo định nghĩa tích phân kép thì
f (x, y)dxdy là thể tích V của vật thể Ω :
D

Ω = {(x, y, z) ∈ R3 : 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

z

TÍCH PHÂN KÉP

f (x, y), (x, y) ∈ D}.

TP. HCM — 2016.

11 / 106


Tích phân kép trong hệ tọa độ Đề-các

Định lý Fubini

Ngoài ra, thể tích của vật thể Ω là
b

V=

h(x)dx,
a

trong đó h(x) là diện tích của mặt cắt của
mặt phẳng vuông góc với trục Ox với mặt
cong z = f (x, y).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2016.

12 / 106


Tích phân kép trong hệ tọa độ Đề-các

Định lý Fubini

Ngoài ra, thể tích của vật thể Ω là
b

V=

h(x)dx,
a

trong đó h(x) là diện tích của mặt cắt của
mặt phẳng vuông góc với trục Ox với mặt
cong z = f (x, y). Khi cho x cố định, thì h(x) là
diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường
cong C : z = f (x, y), z = 0 và c y d. Do đó
d

h(x) =

f (x, y)dy.
c

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2016.

12 / 106


Tích phân kép trong hệ tọa độ Đề-các

Định lý Fubini

Như vậy,
b

f (x, y)dxdy = V =
D
b

=

h(x)dx =


f (x, y)dy  dx.


a

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

d



a

c

TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2016.

13 / 106

Tích phân kép trong hệ tọa độ Đề-các

Định lý Fubini

Như vậy,
b

f (x, y)dxdy = V =
D
b

=

d




f (x, y)dy  dx.


a

h(x)dx =

a

c

Chứng minh tương tự, ta có
d

f (x, y)dxdy = V =
D
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

b



f (x, y)dx dy.


c

TÍCH PHÂN KÉP



a
TP. HCM — 2016.

13 / 106


Tích phân kép trong hệ tọa độ Đề-các

Định lý Fubini

VÍ DỤ 2.1
(3y 2 − x)dxdy, với

Tính tích phân I =
D = {(x, y) : 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

x

D

2, 1

y

TÍCH PHÂN KÉP

2}.

TP. HCM — 2016.

14 / 106


Tích phân kép trong hệ tọa độ Đề-các

Định lý Fubini

VÍ DỤ 2.1
(3y 2 − x)dxdy, với

Tính tích phân I =
D = {(x, y) : 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

x

D

2, 1

y

TÍCH PHÂN KÉP

2}.

TP. HCM — 2016.

14 / 106


Tích phân kép trong hệ tọa độ Đề-các

Định lý Fubini

CÁCH 1.

2

(3y 2 − x)dxdy =

I=
D

1

2

y 3 − xy

=



 (3y 2 − x)dy  dx =
0

2

2



0

y=2

y=1

dx =

[(8 − 2x) − (1 − x)]dx =
0

2

=
0

x2
(−x + 7)dx = − + 7x
2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN KÉP

2

= 12.
0
TP. HCM — 2016.

15 / 106


Tích phân kép trong hệ tọa độ Đề-các

Định lý Fubini

CÁCH 2.

2

(3y 2 − x)dxdy =

I=
D

=
1

x2
2
3xy −
2

0
2

x=2

(6y 2 − 2)dy =

dy =
x=0

= 2y 3 − 2y
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)



 (3y 2 − x)dx dy =
1

2

2



1
2
1

TÍCH PHÂN KÉP

= 12.
TP. HCM — 2016.

16 / 106


Tích phân kép trong hệ tọa độ Đề-các

Định lý Fubini

Chú ý. Nếu f (x, y) = f1(x).f2(y) thì
b

f (x, y)dxdy =
b

c
d


f1 (x) 

=
a


f2 (y)dy  dx =

c
b

d

f1 (x)dx.

=
a
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)



f1 (x).f2 (y)dy  dx =


a

D

d



f2 (y)dy.
c

TÍCH PHÂN KÉP

TP. HCM — 2016.

17 / 106