SKKN : Vận dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập đại số lớp 9

SKKN : Vận dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập đại số lớp 9

_________________________________________________________________

A / LÝ DO CHỌN CHỦ ĐỀ :
Điểm nổi bật của việc đổi mới chương trình giáo dục phổ thông hiện nay là đổi
mới phương pháp dạy học , nhằm tăng cường tính chủ động , tích cực sáng tạo của
người học . Thông qua quá trình học tập , người học đã có được cơ hội để rèn luyện
kĩ năng tự học , biết cách kiến tạo kiến thức dưới sự hướng dẫn của giáo viên .
Cùng với việc đổi mới chương trình là đổi mới các hình thức dạy học . Theo
quyết định số 04 / 2002 / QĐ-BGD&ĐT ngày 08/3 / 2002 của bộ GD&ĐT đã nêu
rõ : “ … Đưa vào các tiết học tự chọn , một phần dành cho việc bám sát , nâng cao
kiến thức ; phần khác dành cho việc cung cấp một số nội dung mới theo yêu cầu của
người học và yêu cầu của cộng đồng . Như vậy , dạy học tự chọn đã trở thành hình
thức dạy học có tính pháp qui và nay đã đưa vào giảng dạy ở tất cả các khối lớp ở
bậc trung học cơ sở.
Trong điều kiện khó khăn về cơ sở vật chất , về thiết bị dạy học , về người dạy
của một huyện vùng nông thôn thì khó có thể đáp ứng được việc dạy tự chọn ở các
môn năng khiếu như là Âm nhạc , mỹ thuật , … cho học sinh . Do đó , việc học tự
chọn ở bộ môn toán là sự lựa chọn số một của phụ huynh và học sinh . Vì qua việc
học tập ở bộ môn này , học sinh được rèn luyện , củng cố kiến thức , nâng cao kiến
thức , chuẩn bị cho kì thi tuyển vào trung học phổ thông .
Trong nhà trường phổ thông , môn toán có vai trò quan trọng trong việc thực
hiện mục tiêu của nền giáo dục , đó là cung cấp cho học sinh những nền tảng kiến
thức toán học cơ bản , phát triển các năng lực trí tuệ chung như : Phân tích , tổng hợp
, khái quát hoá , trừu tượng hoá , … phát triển khả năng độc lập , sáng tạo , rèn luyện
tính chính xác , cần cù cho học sinh . Môn toán là môn nền tảng cho các môn khoa
học khác .
Với tinh thần đó , căn cứ vào tính bức thiết về tài liệu để giảng dạy , nhằm đáp
ứng nguyện vọng của một số học sinh khá - giỏi ; trước đây tôi đã viết chủ đề về thể
loại nâng cao : “ Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức & ứng dụng để

giải bài toán cực trị đại số trong chương trình toán lớp 8 ” .
Nay , để góp phần làm phong phú thêm về tài liệu giảng dạy theo chương trình
tự chọn cho học sinh khá - giỏi lớp 9 ; tôi tiếp tục nghiên cứu sắp xếp kiến thức để
viết chủ đề ở thể loại nâng cao : “Ứng dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài
tập nâng cao trong chương trình đại số lớp 9 ” . Vì đây là các loại bài tập mà theo
chương trình sách giáo khoa thì các em không có điều kiện để rèn luyện kĩ năng giải
và nâng cao kiến thức nhưng lại hay có trong các đề thi học sinh giỏi , kì thi tuyển
vào lớp 10 PTTH .
Việc biên soạn và giảng dạy theo chủ đề này với mục đích cung cấp cho các
em biết thêm một số bất đẳng thức mà các em chưa được làm quen trong chương
trình . Đồng thời rèn luyện cho các em kĩ năng vận dụng các bất đẳng thức một cách
_______________________________________________________________

1

Người thực hiện : Nguyễn Hồng Nga


SKKN : Vận dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập đại số lớp 9

_________________________________________________________________
sáng tạo vào việc giải các bài toán khó trong chương trình đại số đang học như là :
Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của một biểu thức , giải phương trình , hệ
phương trình .
Bản thân đã cố gắng sắp xếp cho phù hợp trong từng tiết dạy ; nội dung chủ đề
được viết dưới dạng dễ hiểu , dễ đọc , người học có thể tự học được . Nhưng chắc
chắn rằng nội dung kiến thức , bố cục của từng tiết dạy chưa thật mạch lạc . Rất
mong các bạn đồng nghiệp góp ý xây dựng , để tài liệu giảng dạy theo chương trình
tự chọn này ngày càng có chất lượng hơn !

_______________________________________________________________

2

Người thực hiện : Nguyễn Hồng Nga


SKKN : Vận dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập đại số lớp 9

_________________________________________________________________

B / NỘI DUNG CHỦ ĐỀ :
Nội dung chủ đề gồm hai phần :
Phần I : Vận dụng các bất đẳng thức để tìm cực trị .
* Với thời lượng là 4 tiết :
Tiết 1 : Vận dụng các bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối để tìm cực trị
Tiết 2 : Vận dụng bất đẳng thức Cô-Si để tìm cực trị
Tiết 3 : Cách chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cô-Si để tìm cực trị .
Tiết 4 : Vận dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki để tìm cực trị .
Phần II : Vận dụng các bất đẳng thức để
giải phương trình & hệ phương trình .
* Với thời lượng là 6 tiết :
Tiết 1 : Các ví dụ minh hoạ cho cách giải 1.
Tiết 2 : Các ví dụ minh hoạ cho cách giải 2 .
Tiết 3 : Vận dụng bất đẳng thức Cô-Si để giải phương trình
Tiết 4 : Vận dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki để giải phương trình .
Tiết 5 : Vận dụng các bất đẳng thức để giải hệ phương trình .
Tiết 6 : Kiểm tra tổng hợp .
PHẦN I :

VẬN DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ TÌM CỰC TRỊ
Tiết 1 :

Vận dụng các bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối để tìm cực trị
I / Kiến thức cần nhớ :
Khi tìm cực trị của biểu thức có chứa dấu GTTĐ , ngoài cách chia khoảng , xét
từng khoảng để khử dấu GTTĐ , ta có thể vận dụng các bất đẳng thức sau :
1/ A + B ≥ A + B . Dấu “ = ” xảy ra < = > AB ≥ 0
2/ A - B ≤ A − B . Dấu “ = ” xảy ra < = > B( A- B ) ≥ 0
1

3 / A + A ≥ 2 . Dấu “ = ” xảy ra < = > A = ± 1
II / Các ví dụ :
Ví dụ 1 : Tìm GTNN của biểu thức P = x − 2004 + x + 2001
Giải :
Áp dụng bất đẳng thức : A + B ≥ A + B . Dấu “ = ” xảy ra < = > AB ≥ 0 .
Ta có : P = x − 2004 + x + 2001 = 2004 − x + x + 2001 ≥ 2004 − x + x + 2001 = 3 = 3
Vậy Pmin = 3 < = > ( 2004 - x ) ( x + 2001 ) ≥ 0 < = > - 2001 ≤ x ≤ 2004
_______________________________________________________________
3
Người thực hiện : Nguyễn Hồng Nga


SKKN : Vận dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập đại số lớp 9

_________________________________________________________________
Ví dụ 2 : Tìm GTNN của biểu thức Q = x − 2 2 x − 4 + x + 2 2 x − 4
Giải :
Ta có Q = x − 2 2 x − 4 + x + 2 2 x − 4 = ( x − 2) − 2 x − 2 2 + 2 +
( x − 2) + 2 x − 2 2 + 2 =

( x − 2 − 2)2 + ( x − 2 + 2)2

= x−2 − 2 + x−2 + 2 =
=2 2

2 − x−2 +

x−2 + 2 ≥

2 − x−2 + x−2 + 2

x ≥ 2

Dấu “ = ” xảy ra < = > 

( 2 − x − 2 )( x − 2 + 2 ) ≥ 0
Vậy Qmin = 2 2 < = > 2 ≤ x ≤ 4

<=> 2≤ x≤4

Ví dụ 3 : Tìm GTLN của biểu thức M = x − 2007 − x − 2002
Giải :
Áp dụng bất đẳng thức : A - B ≤ A − B . Dấu “ = ” xảy ra < = > B( A- B ) ≥ 0
Ta có M = x − 2007 − x − 2002 ≤ x − 2007 − ( x − 2002) = − 5 = 5
Dấu “ = ” xảy ra < = > ( x - 2002) ( x- 2007 – x + 2002 ) ≥ 0
< = > x ≤ 2002
Vậy max M = 5 < = > x ≤ 2002
III / Bài tập áp dụng : Tìm GTNN của các biểu thức :
A = x + 3 − 4 x − 1 + x + 15 − 8 x − 1

B = x+4 x−4 + x−4 x−4
Tiết 2 :

Vận dụng bất đẳng thức Cô-Si để tìm cực trị
I / Kiến thức cần nhớ :
Bất đẳng thức Cô – si :

Với a ≥ 0, b ≥ o thì + b ≥ 2 ab . Dấu “ = ” xảy ra < = > a = b ( 1 )
Bất đẳng thức này còn được mở rộng cho n số không âm : Với a1 ;a2 , ... , an
≥ 0 thì :
a1 + a2 + ... + an ≥ n n a1 a 2 ... a n . Dấu “ = ” xảy ra < = > a1 = a2 = ... = an
Từ bất đẳng thức ( 1 ) ta suy ra :
* Nếu ab = k ( Không đổi ) thì min ( a + b ) = 2 k ( Khi và chỉ khi a = b )
_______________________________________________________________

4

Người thực hiện : Nguyễn Hồng Nga


SKKN : Vận dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập đại số lớp 9

_________________________________________________________________
* Nếu a + b = k ( Không đổi ) thì max ( ab ) =

k2
( Khi và chỉ khi a = b )
4

Kết quả trên còn được mở rộng đối với n số không âm :

* Nếu a1. a2 . ... an = k ( Không đổi ) thì
n
k . Dấu “ = ” xảy ra < = > a1 = a2 = ... = an
min ( a1 + a2 + ... + an ) = n
* Nếu a1 + a2 + ... + an = k ( Không đổi ) thì
max ( a1 . a2 . ... an ) = . Dấu “ = ” xảy ra < = > a1 = a2 = ... = an
Vận dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có thể tìm được GTLN , GTNN của một biểu
thức .
II / Các ví dụ :
1

1

1

Ví dụ 1 : Cho x , y là các số dương thoả mãn điều kiện x + y = 2 .Tìm GTNN
của biểu thức A = x + y
Giải :
1

1

Với x , y là các số dương nên x ≥ 0 ; y ≥ 0 , x ≥ 0 , y ≥ 0 .
1 1

Vận dụng bất đẳng thức Cô -Si đối với hai số dương x ; y ta được :
1 1 1 1 1
1
1
. ≤ ( + )⇒

≤ ⇒ xy ≥ 4
x y 2 x y
xy 4

Vận dụng bất đẳng thức Cô- Si đối với hai số dương x ; y ta được :
A = x + y ≥ 2 x y ≥ 2 4 = 4 ( Dấu “ = ” xảy ra ⇔ x = y = 4 )
Vậy min A = 4 ( Khi và chỉ khi x = y = 4 )
* Nhận xét : Trong ví dụ trên ta đã vận dụng bất đẳng thức Cô – Si theo hai
chiều ngược nhau :
Lần thứ nhất đã “ làm trội ”
1

1

1 1
. bằng cách vận dụng
x y

ab ≤

a+b
để dung
2

1

điều kiện tổng x + y = 2 , từ đó được xy ≥ 4
Lần thứ hai đã làm giảm tổng ( x + y ) bằng cách vận dụng bất đẳng thức CôSi theo chiều a + b ≥ 2 ab để dùng kết quả xy ≥ 4
Tuy nhiên , không phải lúc nào ta cũng có thể dung trực tiếp bất đẳng thức CôSi đối với các số đã cho trong đề bài . Sau đây là một ví dụ minh hoạ :
Ví dụ 2 : Tìm GTLN của biểu thức A = 3x − 5 + 7 − 3x

_______________________________________________________________

5

Người thực hiện : Nguyễn Hồng Nga


SKKN : Vận dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập đại số lớp 9

_________________________________________________________________
Giải :
3 x − 5 ≥ 0
5
7
⇔ ≤x≤
3
3
7 − 3 x ≥ 0

ĐKXĐ : 

Ta có A2 = (3x − 5) + (7 − 3x) + 2 (3x − 5)(7 − 3x)
Mà 2 (3x − 5)(7 − 3x) ≤ (3x − 5) + (7 − 3x)
⇒ A2 ≤ 2 + (3x − 5 + 7 − 3x ) = 4 . ( Dấu bằng xảy ra ⇔ 3x − 5 = 7 − 3 x ⇔ x = 2 )
Vậy max A2 = 4 ⇒ max A = 2 ⇔ x = 2 .
* Nhận xét : Biểu thức A đã cho dưới dạng tổng hai căn thức . Hai biểu thức
lấy căn có tổng không đổi ( Bằng 2 ) . Vì vậy , nếu ta bình phương biểu thức A thì sẽ
xuất hiện hạng tử là hai lần tích của hai căn thức . Đến đay ta có thể vận dụng bất
đẳng thức Cô – Si : 2 ab ≤ a + b .
Ví dụ 3 : Cho 0 < x < 2 . Tìm GTNN của biểu thức A =

Giải :

9x
2
+
2−x x

9x
2
9x
2− x
9x 2 − x
+ =
+
+ 1 ≥ 2.
.
+1 = 2 9 +1 = 7
2−x x 2−x
x
2−x x
1
( Dấu bằng xảy ra ⇔ x = )
2
1
Vậy min A = 7 ⇔ x =
2
2
2−x
+1 .
• Nhận xét : Trong cách giải trên ta đã tách hạng tử thành tổng

x
x
2−x
x
Hạng tử
là nghịch đảo với
nên khi vận dụng bất đẳng thức Cô-Si ta được
x
2−x

Ta có A =

tích của chúng là một hằng số .

Ví dụ 4: Cho ba số dương x ; y ; z thoả mãn điều kiện x + y + z = 2 . Tìm
GTNN của biểu thức : P =

x2
y2
z2
+
+
y+z x+x x+ y

Giải :
Ta thêm hạng tử

y+z
x2
vào hạng tử thứ nhất

có trong đề bài , để vận dụng
4
y+z

bất đẳng thức Cô-Si thì có thể khử được ( y+z ) . Cũng tương tự đối với hạnh tử thứ
hai và thứ ba :
x2
y+z
Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si đối với hai số dương
và
. Ta có :
y+z
4
x2
y+z
x2 y + z
x
≥2
.
= 2 = x (1)
+
y+z
4
y+z 4
2

_______________________________________________________________

6

Người thực hiện : Nguyễn Hồng Nga


SKKN : Vận dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập đại số lớp 9

_________________________________________________________________
Tương tự :

z+x
y2
≥ y (2)
+
4
z+x
z2
x+ y
≥ z (3)
+
x+ y
4

Cộng (1) ;(2) ;(3) vế theo vế :
x2
y+z
z+x
z2
x+ y
y2
≥ x+ y+z
+

+
+
+
+
y+z
4
4
x+ y
4
z+x
x+ y+z
≥ x+ y+z
P+
2
x+ y+z x+ y+z 2
2
=
= = 1 . ( Dấu bằng xảy ra ⇔ x = y = z = )
P ≥ ( x + y + z) −
2
2
2
3
2
Vậy min P =1 ⇔ x = y = z =
3

* Nhận xét : Cách làm như trên gọi là cách thêm hạng tử vào biểu thức . Nếu
ta thêm ( y + z ) , ( z + x ) ; ( x + y ) vào

x2
z2
y2
;
;
thì ta cũng khử được
y+z z+x x+ y

( y + z ) , ( z + x ) ; ( x + y ) nhưng điều quan trọng là không tìm được giá trị của
x ; y ; z để dấu đẳng thức xảy ra đồng thời , do đó không tìm được GTNN của P .
III / Bài tập áp dụng :
1 / Tìm GTLN của biểu thức A = x − 1 + y − 2 . Biết x + y = 4
3
4
+ . Biết 0 < x < 1
1− x x
3/ Cho x , y z là các số dương thoả mãn điều kiện x + y + z ≥ 12 . Tìm GTNN
x
y
z
của biểu thức C = y + z + x

2/ Tìm GTNN của biểu thức B =

Tiết 3 :

Cách chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cô-Si
để tìm cực trị
Khi sử dụng bất đẳng thức Cô-Si để tìm cực trị , nhiều lúc học sinh không chú
ý đến điều kiện ( Miền xác định ) của bài toán nên thường dẫn đến lời giải sai .Sau

đây là một số ví dụ về cách chọn điểm rơi trong trong bất đẳng thức Cô-Si .
I / Các ví dụ :
Bài toán xuất phát :
Cho a , b > 0 Tìm GTNN của P =

a b
+
b a

Giải :
_______________________________________________________________

7

Người thực hiện : Nguyễn Hồng Nga


SKKN : Vận dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập đại số lớp 9

_________________________________________________________________
a
b
và là các số dương . Nên áp dụng bất dẳng thức Cô-Si
b
a
a
b
cho hai số dương và ta được :
b
a

a b
a b
a b
P = + ≥ 2 . . = 2 . Dấu “ = ” xảy ra ⇔ = ⇔ a = b
b a
b a
b a

Với a , b > 0 thì

Vậy min P = 2 khi và chỉ khi a = b
Ví du 1 : Cho a ≥ 3 . Tìm GTNN của P = a +

1
.
a

*Bình luận và lời giải :
1
là các số dương Nên áp dụng bất dẳng thức Cô-Si
a
1
cho hai số dương a và ta được :
a
1
1
1
P = a + ≥ 2 a. = 2 ⇒ min P = 2 ⇔ a = = 1
a
a

a

Với a ≥ 3 thì a và

 Em có suy nghĩ gì về lời giải trên ?
Lời giải trên sai lầm ở chỗ :
min P = 2 ⇔ a =

1
= 1 không thoả mãn điều kiện a ≥ 3
a

*Phân tích và tìm tòi lời giải :
Xét bảng biến thiên của a ,

1
và P để dự đoán min P
a

a

3

4

5

1
a

1
3

1
4

1
5
1
5
5

P

3

1
3

4

1
4

...

19

20

...

1
19

1
20

...

19

1
19

20

1
20

Nhìn bảng biến thiên ta thấy khi a tăng thì P càng lớn và từ đó dẫn đến dự đoán
khi a = 3 thì P nhận giá trị nhỏ nhất . Để dễ hiểu và tạo sự ấn tượng ta sẽ nói rằng
min P =

10
đạt tại điểm rơi a = 3 .
3

Do BĐT Cô-Si xảy ra dấu “ = ” tại điều kiện các tham số tham gia phải bằng
nhau nên ta đưa vào tham số k sao cho tại điểm rơi a = 3 thì cặp số

a
1
và phải
k
a

bằng nhau .
* Xác định điểm rơi a = 3 cho cặp số

a 3
1 1
1 3
= và = thì phải xảy ra = ⇒ k = 9 .
k k
a 3
3 k

Từ đó ta biến đổi P theo điểm rơi này . Sau đây là lời giải đúng :
_______________________________________________________________

8

Người thực hiện : Nguyễn Hồng Nga


SKKN : Vận dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập đại số lớp 9

_________________________________________________________________
1  a 1  8a

a 1 8.3 10
= + +
≥ 2. . +
=
a 9 a 9
9 a
9
3
10
Vậy với a = 3 thì min P =
.
3
1
Ví dụ 2 : Cho a ≥ 2 . Tìm min của P = a + 2
a

Ta có P = a +

*Bình luận và lời giải :
Xác định điểm rơi : a =2 cho cặp số

a 2
1
1
= và 2 = thì phải xảy ra :
k k
4
a
1 2
= ⇒k =8

4 k

Sai lầm thường gặp :
1
a 1 7a
2
7a
 a 1  7a
+ 2 +
≥ 2. . 2 +
=
+
2 = 
a
8 a
8
8a 8
8 a  8
2
7.2 2 7 9
≥
+
= + =
8
4 4 4
8.2
9
Vậy với a =2 thì min P = .
4

Ta có P = a +

 Em có suy nghĩ gì về lời giải trên ?
Cách giải trên đã mắc phải sai lầm trong việc đánh giá mẫu số : “ Nếu a ≥ 2 thì
2
8a

≥

2
8.2

=

2
là đánh giá sai ” . Mặc dù đã biến đổi P theo điểm rơi a = 2 và min P =
4

9
là kết quả đúng . Sau đây là lời giải đúng :
4
1
a a 1 6.2 9
 a a 1  6a
=
Ta có : P = a + 2 =  + + 2  + ≥ 33 . . 2 +
a
8 8 a
8
4

8 8 a  8

Vậy a = 2 thì min P =

9
4

Nhận xét : Khi giải bài toán tìm cực trị mà có sử dụng BĐT Cô-Si thì phải
biến đổi biểu thức sao cho sử dụng BĐT Cô-Si ta khử được hết biến số ở cả tư và
mẫu .
Ví dụ 3 : Cho a , b , c > 0 và a + 2b + 3c ≥ 20 .
Tìm GTNN của P = a + b + c +

3 9 4
+
+
a 2b c

Giải :
Dự đoán P = 1 tại điểm rơi a = 2 , b = 3 , c = 4 . Sử dụng BĐT Cô-Si ta có :

_______________________________________________________________

9

Người thực hiện : Nguyễn Hồng Nga


SKKN : Vận dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập đại số lớp 9

_________________________________________________________________

4
4
3 
4 3
 a +  ≥ .4 = 3
a + ≥ 2. a. = 4

a
a
a 4

4 

1 
9
9
9 1
b + ≥ 2. b. = 3 ⇒   b +  ≥ .6 = 3
b
b 2
 b
2 
 16
 1  16  1
16
≥ 2. c. = 4
c +
  c +  ≥ .8 = 2

c  4
c
c

4 
3
1
1
3 9 4
⇒ a+ b+ c+ +
+ ≥8
(1)
4
2
4
a 2b c
1
b 3
Mà a + 2b + 3c ≥ 20 ⇒ a + + c ≥ 5
(2)
4
2 4

Cộng các BĐT (1) , (2) theo từng vế ta được :
P=a+b+c+

3 9 4
+
+ ≥ 13
a 2b c

Vậy với a = 2 , b = 3 , c = 4 thì minP = 13
II / Bài tập áp dụng :
1 / Cho t ≥ 4 . Tìm GTNN của P = t +

1
t

Hướng dẫn : Xác định điểm rơi t = 4 và biến đổi P như sau :
1  t 1  15t
t 1 15t 2 15.4 17
≥ 2.
. +
= +
=
P = t + =  + +
t

 16

t

16

16 t

16

4

16

4

Từ đó suy ra kết quả .
2 / Cho a , b , c > 0 thoả mãn điều kiện : a + b + c ≤

3
.
2

1 1 1
+ +
a b c
1
1
Hướng dẫn : Xác định điểm rơi a = b = c = cho các bộ số a = b = c = và
2
2
1
1
1 2
1 2
=
=
= thì phải xảy ra là = ⇒ k = 4 và viết Q dưới dạng :
ka kb kc k
2 k
1
1

1  31 1 1
1 1 1 
Q = a + b + c + + + = a + b + c + + +  +  + + 
4a 4b 4c  4  a b c 
a b c 
1 1 1 3
1 1 1
≥ 6.6 a.b.c. . . +  3.3 . . 
4a 4b 4c 4 
a b c
9
1
9
1
27
1
3+ .3
≥ 3+ .
= 3+ .
4 a.b.c
4 a+b+c
4 a+b+c
=
3
27 1 15
≥ 3+ . =
4 3 2

Tìm GTNN của Q = a + b + c +

_______________________________________________________________

10

Người thực hiện : Nguyễn Hồng Nga


SKKN : Vận dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập đại số lớp 9

_________________________________________________________________
Từ đó suy ra kết quả: Với a = b = c =

1
15
thì min Q =
2
2

Tiết 4 :

Vận dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki để tìm cực trị
I / Kiến thức cần nhớ :
Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki :
Cho hai bộ số a , b , c và x , y , z . Khi đó :
2
( a + b2 ) ( x2 + y2 ) ≥ ( ax + by )2 (*)
( a2 + b2 + c2 ) ( x2 + y2 + z2 ) ≥ ( ax + by + cz )2
Tổng quát : Cho hai bộ n số ( a1 ; a2 ; ... ; an ) và ( b1; b2 ; ... ; bn ) . Tích của
tổng các bình phương n số của bộ số này và tổng các bình phương n số của bộ số kia
lớn hơn hoặc bằng bình phương của tổng n tích hai số tương ứng của hai bộ số đó .

( a12 + a22 + ... + an2 ) ( b12 + b22 + ... + bn2 ) ≥ ( a1b1 + a2b2 + ... + anbn )2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ( a1 ; a2 ; ... ; an ) và ( b1; b2 ; ... ; bn ) là hai bộ
a1

an

a2

số tỉ lệ với nhau , tức là : b = b = ... = b với qui ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử
1
2
n
bằng 0 .
Từ (*) ⇒ BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki còn được viết dưới dạng :
a x + b y ≤ (a 2 + b 2 ) ( x 2 + y 2 ) . Dấu “ = ” xảy ra ⇔ ay = bx .
II / Các ví dụ :
2

3

Ví dụ 1 : Cho x , y là hai số dương thoả mãn x + y = 6
Tìm GTNN của tổng A = x + y
Giải :
2
2
2
Áp dụng bất đẳng thức :( a + b ) ( m + n2 ) ≥ ( am + bn )2
Với a =
Ta có :

(

2+ 3

)

2
x

,b=

3
y

,m= x ,n=

y

2

2

 2

2 3
3
=
. x+
. y  ≤  + ( x + y )
 x


y
x y


2 3
( 2 + 3) 2
+
=
6
Mà x y
, nên A = x + y ≥
6

_______________________________________________________________

11

Người thực hiện : Nguyễn Hồng Nga


SKKN : Vận dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập đại số lớp 9

_________________________________________________________________
2 3
x + y = 6

Dấu bằng xảy ra ⇔ 
 2. y =
 x




2+ 6
x =

6
⇔
3
y = 3 + 6
. x

y
6


2+ 6
x =
6
( 2 + 3) ⇔ 
Vậy GTNNcủa A = x + y là

6
y = 3 + 6

6
2
1
+ với 0 < x < 1
Ví dụ 2 : Tìm GTNN của B =

1− x x
2

Giải :
Áp dụng bất đẳng thức : :( a + b ) ( m2 + n2 ) ≥ ( am + bn )2 .
2

2

2
1
;b=
; m = 1 − x ; n = x . Ta có :
1− x
x
2
2
2



2
2
2   1 
2
1

 +
 . 1 − x + x


≥
. 1− x +
. x 
  1 − x
x
 1 − x   x   




1
 2
⇒
+ (1 − x + x) ≥ ( 2 + 1) 2 ⇒ B.1 ≥ 3 + 2 2
1− x x 

Với a =

(

) ( )

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
2
1
2
1
2
1− x = x ⇔
= 2 ⇔ 2 x 2 = (1 − x ) ⇔ x 2 = 1 − x ( vì 0 < x < 1 )

2
1− x x
x
(1 − x )

(

)

⇔ x 2 +1 = 1 ⇔ x = 2 −1

Vậy min B =3 + 2 2 ⇔ x = 2 − 1
Ví dụ 3 : Tìm GTNN, GTLN của biểu thức C = 2x + 3y . Biết 2x2 + 3y2 ≤ 5
Giải :
2
Ta viết C2 dưới dạng : C2 = 2x + 3y = ( 2 . 2 x + 3 . 3 y ) , thì dễ thấy
a = 2 , b = 3 , m = x 2 , n = y 3 ; rồi áp dụng bất đẳng thức :
( a2 + b2 ) ( m2 + n2 ) ≥ ( am + bn )2 ta được :
2
C2 = ( 2 . 2 x + 3 . 3 y )

( ) + ( 3 )  ( x 2 ) + ( y 3 )  = (2 + 3)(2 x

≤ 2


2

⇒ C2 = 25 ⇔

2

2

x 2

=

2

2

+ 3 y 2 ) ≤ 5 . 5 = 25

y 3

⇔x= y
2
3
Do C2 ≤ 25 nên − 5 ≤ x ≤ 5
x = y
⇔ x = y = −1
min C = -5 ⇔ 
2 x + 3 y = −5

_______________________________________________________________

12

Người thực hiện : Nguyễn Hồng Nga

SKKN : Vận dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập đại số lớp 9

_________________________________________________________________
x = y
⇔ x = y =1
2 x + 3 y = 5

max C = 5 ⇔ 

Nhận xét : Nếu ta áp dụng bất đẳng thức( a2 + b2 ) ( m2 + n2 ) ≥ ( am + bn )2 .
với a = 2 , b = 3 , m = x , n = y thì ta có :
C2 = ( 2x + 3y )2 ≤ (2 2 + 3 2 ( x 2 + y 2 ) = 13( x 2 + y 2 )
Trong trường hợp này , ta không chỉ ra được hằng số k để C2 ≤ k nên không
giải được bài toán !
Tóm lại , khi vận dụng Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki để giải bài toán cực
trị ta cần phải biến đổi biểu thức một cách linh hoạt để xác định các bộ số ( a , b ) và
( m ; n ) trước khi vận dụng .
III / Bài tập áp dụng :
1/ Tìm GTNN , GTLN của A = x 99 + 101 − x 2
Hướng dẫn : Xét biểu thức phụ A và áp dụng các BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki và
Cô-Si ta được:

)

(

A= x

(

)

99 . 99 + 1 . 101 − x 2 ≤ x . (99 + 1) (99 + 101 − x 2 ) = x . 10 . 200 − x 2
≤ 10 .

x 2 + 200 − x 2
= 1000
2

 x 2 ≤ 101

99
 99
A = 1000 ⇔ 
=
⇔ x = ±10
2
1
101
−
x

 x 2 = 200 − x 2

Do đó -1000 ≤ A ≤ 1000

Vậy min A=-1000 với x =-10 ; maxA =1000 với x = 1000
2 / Tìm GTNN và GTLN của B = x3 + y3 . Biết x ≥ 0 , y ≥ 0 và x2 + y2 = 1

Hướng dẫn : a/ Tìm GTLN
3
2
0 ≤ x ≤ 1
 x ≤ x
⇔
⇔ x3 + y3 ≤ x2 + y 2 = 1
Từ GT 
 3
2
0
≤
y
≤
1
 y ≤ y


 x 3 = x 2
⇒ max B = 1 ⇔  3
⇔ x = 0 ; y = 1 hoặc x =1 ; y = 0
 y = y 2

b/ Tìm GTNN
( x+ y )2 ≤ 2(x2 + y2) = 2 ⇒ x + y ≤ 2 ⇒
Do đó x3 + y3 ≥

( x 3 + y 3 ) ( x + y)
2

x+ y
2

≤1

. Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki , ta có :

_______________________________________________________________

13

Người thực hiện : Nguyễn Hồng Nga


SKKN : Vận dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập đại số lớp 9

_________________________________________________________________

( )

] (

[

2
( x 3 + y 3 ) ( x + y ) =  x 3 + ( y 3 ) 2  ( x ) 2 + ( y ) 2 ≥ x 3 . x + y 3


1
2

2
=
⇔x= y=
=> min B =
2
2
2
2
1
+ . Với 0 < x < 2
3/ Tìm GTNN của C =
2−x x

y

)

2

= (x 2 + y 2 )2 = 1

Hướng dẫn : Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki :
( a2 + b2 ) ( m2 + n2 ) ≥ ( am + bn )2
2
2

2   1 
 +
 
2− x

2C = 
 2 − x   x   


2
 2C ≥ ( 2 + 1) = 3 + 2 2

(

) +( )
2


2
1 
x  ≥ 
.( 2 − x) +
.x 

2
−
x
x



2

2

 min 2C =
2
1
3 + 2 2 ⇔ 2 − x = x ⇔ 2 x 2 = x 2 − 4 x + 4 ⇔ x 2 + 4 x + 4 = 8 ⇔ ( x + 2) 2 = 8 ⇔ x = 2 2 −
2− x x

( Chú ý x > 0 )
 min C =1,5 + 2 ⇔ x = 2 2 − 2

PHẦN II :

VẬN DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC
ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH

_______________________________________________________________

14

Người thực hiện : Nguyễn Hồng Nga


SKKN : Vận dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập đại số lớp 9

_________________________________________________________________
Ứng dụng của bất đẳng thức trong việc giải phương trình & hệ phương trình là
một trong các ứng dụng của bất đẳng thức . Trong phần này chủ yếu là sử dụng các
bất đẳng thức quen thuộc , đó là BĐT cô-Si và Bu-nhi-a-cốp-xki , ...

Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình
I / KIẾN THỨC CẦN NHỚ :

Khi ứng dụng các bất đẳng thức trong giải phương trình , ta có thể tiến hành
theo các cách sau :
*Cách 1 : Biến đổi phương trình về dạng f( x ) = g( x ) mà f( x ) ≥ a , g( x ) ≤
a ,( với a là hằng số ) .
Nghiệm của phương trình là các giá trị của x thoả mãn đồng thời f( x ) = a và
g( x ) = a .
*Cách 2 : Biến đổi phương trình về dạng h( x ) = m , ( m là hằng số ) mà ta
luôn có h( x ) ≥ m hoặc h( x ) ≤ m thì nghiệm của phương trình là các giá trị của x
làm cho dấu đẳng thức xảy ra .
* Cách 3 : Áp dụng các BĐT quen thuộc Cô-Si ; Bu-nhi-a-cốp-xki ; ...
II / CÁC VÍ DỤ
Tiết 1 :

Các ví dụ minh hoạ cho cách giải 1
1/ Ví dụ :
Ví dụ 1 : Giải phương trình : 3x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 − 2 x − x 2 (1)
Giải :
2
Ta có (1) ⇔ 3( x + 2 x + 1) + 4 + 5( x 2 + 2 x + 1) + 9 = 5 − ( x 2 + 2 x + 1)
⇔

3( x + 1) 2 + 4 + 5( x + 1) 2 + 9 = 5 − ( x + 1) 2

Mà 3( x + 1) 2 + 4 + 5( x + 1) 2 + 9 ≥ 4 + 9 = 5
5 − ( x + 1) 2 ≤ 5

(1) xảy ra khi và chỉ khi ( x + 1 )2 = 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x= - 1
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = -1 .
Ví dụ 2 : Giải phương trình :

x 2 − 6 x + 15
= x 2 − 6 x + 18 (2)
2
x − 6 x + 11

Giải :

( x − 6 x + 11) + 4
= ( x 2 − 6 x + 9) + 9
Ta có (2) ⇔
2
2

x − 6 x + 11
4
= ( x − 3) 2 + 9
⇔ 1+ 2
x − 6 x + 11

_______________________________________________________________

15

Người thực hiện : Nguyễn Hồng Nga


SKKN : Vận dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập đại số lớp 9

_________________________________________________________________
4

= ( x − 3) 2 + 9
2
( x − 3) + 2
4
4
Mà 1 + ( x − 3) 2 + 2 ≤ 1 + 2 = 3 và ( x − 3) 2 + 9 ≥ 9 = 3
(1) xảy ra khi và chỉ khi ( x - 3 )2 = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3
⇔ 1+

Vậy phương trình (2) có nghiệm duy nhất là x = 3 .
2 / Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Giải phương trình : 3x 2 + 6 x + 12 + 5 x 2 + 10 x + 9 = 3 − 4 x − 2 x 2
Hướng dẫn : Giải tương tự như ví dụ 1 .
Bài 2 : Giải phương trình : 17 + 8 x − 2 x 2 + 4 + 12 x − 3x 2 = x 2 − 4 x + 13
Hướng dẫn : Biến đổi :
17 + 8 x − 2 x 2 + 4 + 12 x − 3 x 2 = 25 − 2( x − 2) 2 + 16 − 3( x − 2) 2
≤ 25 + 16 = 5 + 4 = 9 ≤ ( x − 2) 2 + 9 = x 2 − 4 x + 13
Đẳng thức xảy ra khi x – 2 = 0 ⇔ x = 2 .

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2 .

Tiết 2

Các ví dụ minh hoạ cho cách giải 2
1 / Ví dụ :
Ví dụ 1: Giải phương trình :
x 2 − 6 x + 11 +

x 2 − 6 x + 13 + 4 x 2 − 4 x + 5 = 3 + 2

Giải :
Ta có x − 6 x + 11 + x − 6 x + 13 + x 2 − 4 x + 5 = 3 + 2
⇔ ( x − 3) 2 + 2 + ( x − 3) 2 + 4 + 4 ( x − 2) 2 + 1 = 3 + 2 (*)
2

2

4

Mà ( x − 3) 2 + 2 + ( x − 3) 2 + 4 + 4 ( x − 2) 2 + 1 ≥ 2 + 4 + 1 = 3 + 2
( x − 3) 2 = 0
. Điều này không thể có được ,
( x − 2) = 0

Nên (*) xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy phương trình vô nghiệm .

Ví dụ 2: Giải phương trình : 19

x −1

+5

4

x 2 −1

+ 95

6

x 2 −3 x + 2

=3

Giải :
x − 1 ≥ 0
 2
Điều kiện  x − 1 ≥ 0
 x 2 − 3x + 2 ≥ 0


_______________________________________________________________

16

Người thực hiện : Nguyễn Hồng Nga


SKKN : Vận dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập đại số lớp 9

_________________________________________________________________
Ta có 19 x −1 + 5 x −1 + 95 x −3 x + 2 ≥ 19 0 + 5 0 + 95 0 = 3
Nên x – 1 = 0, x2 – 1 = 0 và x2 - 3x +2 = 0 . Suy ra x = 1
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1
2 / Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Giải phương trình : 2 x 2 − 8 x + 12 = 3 − 4 3x 2 − 12 x + 13
Hướng dẫn : Biến đổi phương trình :
4

2

6

2

2 x 2 − 8 x + 12 = 3 − 4 3 x 2 − 12 x + 13
⇔ 2( x − 2) 2 + 4 + 4 3( x − 2) 2 + 1 = 3 (*)

Mà 2( x − 2) 2 + 4 + 4 3( x − 2) 2 + 1 ≥ 4 + 4 1 = 3
Do đó (*) ⇔ ( x − 2) 2 = 0 ⇔ x = 2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2 .
Bài 2 : Giải phương trình : 2 x − 1 + x − 2 = x + 1
Hướng dẫn : ĐK : x ≥ 2
(1)
Bình phương hai vế ta được :
2 x − 1 + x − 2 + 2 x 2 − 5x + 2 = x + 1
⇔ 2 x 2 − 5 x + 2 = 2 − x . Điều kiện phải có : 2 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2

(2)
Từ (1) và (2) ta có x = 2 . Giá trị này nghiệm đúng phương trình đã cho
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2 .

Tiết 3

Vận dụng bất đẳng thức Cô-Si để giải ph ương trình
1 / Ví dụ :
Ví dụ 1 : Giải phương trình :

x2 x

+ + 1 = 2x3 − x 2 + x + 1
2 2

Giải :
Ta có : 2x – x + x + 1 = ( 2x + 1 ) ( x2 – x +1 ) ≥ 0
3

2

1 2 3
1
) + > 0 . Do đó 2x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −
2
4
2
1
⇒ Điều kiện : x ≥ − .
2

Mà x2 – x + 1 = ( x -

Áp dụng BĐT Cô-Si cho hai số không âm 2x + 1 , x2 – x + 1 ta có :
( 2 x + 1) ( x 2 − x + 1)
2
2
x
x
2x3 − x 2 + x + 1 ≤
+ +1
2 2

( 2 x + 1) ( x 2 − x + 1) ≤
⇔

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi :
_______________________________________________________________

17

Người thực hiện : Nguyễn Hồng Nga


SKKN : Vận dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập đại số lớp 9

_________________________________________________________________
2x + 1 = x2 – x + 1 ⇔ x2 – 3x = 0 ⇔ x ( x – 3 ) = 0 ⇔ x = 0 ; x = 3 .( Thoả
mãn ĐK )
Vậy phương trình có 2 nghiệm là : x = 0 ; x = 3 .
Ví dụ 2 : Giải phương trình : x 2 + x − 5 + − x 2 + x + 3 = x 2 − 3x + 4
Giải :
Ta có : x 2 + x − 5 + − x 2 + x + 3 = ( x 2 + x − 5) . 1 + (− x 2 + x + 3) . 1
x2 + x − 5 +1 − x2 + x + 3 +1
+
=x
2
2
Mà : x 2 − 3x + 4 ≤ x ⇔ x 2 − 4 x + 4 ≤ 0 ⇔ ( x − 2) 2 ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2
≤

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2 .

Ví dụ 3 : Giải phương trình :

x − 2 + 10 − x = x 2 − 12 x + 40

Giải :
x − 2 ≥ 0
x ≥ 2
⇔
⇔ 2 ≤ x ≤ 10
10 − x ≥ 0
 x ≤ 10

ĐK : 

Với ĐK trên thì x − 2 ; 10 − x là hai số không âm .
Áp dụng BĐT Cô-Si cho hai số không âm , ta có :
x − 2 + 4 10 − x + 4
( x − 2).4
(10 − x ).4
+
≤
=4
+
4
4
2
2
x − 2 = 4
⇔ x=6
Dấu “ = ” xảy ra ⇔ 

10 − x = 4
Mà x2 – 12x + 40 = ( x2 -12x + 36 ) + 4 = ( x – 6 )2 + 4 ≥ 4
Dấu “ = ” xảy ra ⇔ x – 6 = 0 ⇔ x = 6 .
x − 2 + 10 − x =

Vậy phương trình có nghiệm là x = 6 .
2 / Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Giải phương trình : x 3 − 3x 2 − 8 x + 40 = 8 . 4 4 x + 4
Hướng dẫn : ĐK : x ≥ −1
Áp dụng BĐT Cô-Si cho 4 số : 4 ; 4 ; 4 ; ( x + 1 ) ta được :
8. 4 4 x + 4 = 4. 4 4.4.4.( x + 1) ≤ 4 + 4 + 4 ( x + 1 ) = x + 13
Do đó x 3 − 3x 2 − 8 x + 40 ≤ x + 13 ⇔ x 3 − 3x 2 − 9 x + 27 ≤ 0 ⇔ ( x + 3) ( x − 3) 2 ≤ 0 .
Từ ĐK : x ≥ −1 ⇒ x + 3 > 0 ⇒ ( x − 3) 2 ≤ 0 ⇒ x − 3 = 0 ⇒ x = 3 .
Thử lại , ta thấy x = 3 đúng là nghiệm của phương trình .
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 3 .
Bài 2 : Giải phương trình : 2005.x2006 – 2006.x2005 + 1 = 0
Hướng dẫn : Biến đổi : 2005.x2006 – 2006.x2005 + 1 = 0
⇔ 2005.x2006 + 1 = 2006.x2005
Nhận thấy vế trái dương , nên vế phải cũng dương . Suy ra x > 0
_______________________________________________________________

18

Người thực hiện : Nguyễn Hồng Nga


SKKN : Vận dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập đại số lớp 9

_________________________________________________________________
Áp dụng BĐT Cô-Si cho 2006 số dương gồm số 1 và 2005 số x2006 , ta có :

2006
2006
2006
2006 2005
2005
2006
2005.x2006 + 1 = x  + x  + ... +x  + 1 ≥ 2006. 1.( x ) = 2006.x
2005

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x2006 =1và x > 0 ⇒ x = 1
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1 .
Bài 3 : Giải phương trình : x 2 − y 2 + 2 x + 4 y + 1 = 2 ( x 2 + 2 x + 3) (− y 2 + 4 y − 2)
Hướng dẫn :
Ta có x 2 + 2 x + 3 = ( x + 1) 2 + 2 ≥ 2 > 0 . Do đó − y 2 + 4 y − 2 ≥ 0
Áp dụng BĐT Cô-Si cho hai số không âm ta có
2 ( x 2 + 2 x + 3) ( − y 2 + 4 y − 2) ≤ x 2 + 2 x + 3 − y 2 + 4 y − 2
⇔ 2 ( x 2 + 2 x + 3) ( − y 2 + 4 y − 2) ≤ x 2 + 2 x + 3 − y 2 + 4 y − 2
⇔ 2 ( x 2 + 2 x + 3) ( − y 2 + 4 y − 2) ≤ x 2 − y 2 + 2 x + 4 y + 1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 2 + 2 x + 3 = − y 2 + 4 y − 2
x + 1 = 0
 x = −1
⇔ ( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 = 0 ⇔ 
⇔
y − 2 = 0
y = 2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là (x = -1 ; y = 2 ) .

Tiết 4

Vận dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki để giải phương trình
1 / Ví dụ :
2
2
Ví dụ 1 : Giải phương trình : 13 ( x 2 − 3x + 6) + ( x 2 − 2 x + 7) 2 = ( 5 x 2 − 12 x + 33)
Giải :
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki cho 4 số . Ta có :
( a2 + b2 ) ( c2 + d2 ) ≥ ( ac + bd )2
Dấu “ = ” xảy ra khi vàchỉ khi ad = bc .
Với a = 2 ;b = 3 ; c = x 2 − 3x + 6 ; d = x 2 − 2 x + 7 . Ta có :
2
2
( 22 + 32 ) ( x 2 − 3x + 6) + ( x 2 − 2 x + 7) 2 ≥ .[ 2.( x 2 − 3x + 6) + 3.( x 2 − 2 x + 7)]
= (5 x 2 − 12 x + 33) 2
Do đó : 3.(x2 – 3x + 6 ) = 2.(x2 – 2x + 7 ) ⇔ x2 – 5x + 4 = 0 ⇔ x =1 ; x = 4 .
Vậy phương trình có nghiệm là : x =1 ; x = 4 .
Ví dụ 2 : Giải phương trình : x − 1 + x − 3 = 2( x − 3) 2 + 2 x − 2
Giải :
ĐK : x ≥ 1

[

[

]

]

_______________________________________________________________

19

Người thực hiện : Nguyễn Hồng Nga


SKKN : Vận dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập đại số lớp 9

_________________________________________________________________
Áp dụng BĐT Bu-nhi –a-cốp-xki cho 4 số a =1 , b = 1 , c = x − 1 , d = x – 3 .
Ta có :
⇒

[

x − 1 + x − 3 ≤ (1 + 1) ( x − 1) 2 + ( x − 3) 2

x −1 + x − 3 ≤

[

]

]

x − 1 + x − 3 ≤ (1 + 1) ( x − 1) 2 + ( x − 3) 2 =

2( x − 3) 2 + 2 x − 2

Đẳng thức xảy ra:

 x −1 x − 3
 x −1 = x − 3
 x − 1 = ( x − 3) 2
x ≥ 3
=

⇔ 1
⇔
⇔ 2
⇔ x=5
1 ⇔
x ≥ 3
 x − 7 x + 10 = 0
x − 3 ≥ 0
x − 3 ≥ 0


( Loại nghiệm x = 2 < 3 ) .
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 5 .
Ví dụ 3 : Giải phương trình : x − 2 + 4 − x = x 2 − 6 x + 11
Giải :
Áp dụng BĐT Bu-nhi –a-cốp-xki cho 4 số a =1 , b = 1 , c = x − 2 , d = 4 − x .
Ta có : x − 2 + 4 − x ≤ 2( x − 2 + 4 − x) = 2 ≤ ( x − 3) 2 + 2 = x 2 − 6 x + 11
 x−2 = 4− x
⇔ x=3
x − 3 = 0

Đẳng thức xảy ra ⇔ 

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 3 .

2 / Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Giải phương trình : x 2 − 2 x + 5 + x 2 + 2 x + 10 = 29
Hướng dẫn :
Trước hết ta chứng minh bài toán phụ sau :
a 2 + b 2 + x 2 + y 2 ≥ (a + x) 2 + (b + y ) 2 .
Ta có : a 2 + b 2 + x 2 + y 2 ≥ (a + x) 2 + (b + y ) 2
⇔ ( a 2 + b 2 + x 2 + y 2 ) 2 ≥ ( ( a + x ) 2 + (b + y ) 2 ) 2
⇔ a 2 + b 2 + 2 (a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) + x 2 + y 2 ≥ (a + x) 2 + (b + y ) 2
⇔ a 2 + b 2 + 2 (a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) + x 2 + y 2 ≥ a 2 + 2ax + x 2 + b 2 + 2by + y 2
⇔

( a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) ≥ a x + by (*)

Mà (a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) ≥ a x + by . ( Theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki )
Nên a.x + by ≥ a.x + by
Suy ra (*) đúng .
Vậy ta có a 2 + b 2 + x 2 + y 2 ≥ (a + x) 2 + (b + y ) 2 .
a

b

Dấu “ = ” xảy ra ⇔ ay = bx hay x = y
* Bài toán trên là BĐT Min-côp-xki .
Áp dụng BĐT trên ( BĐT Min-côp-xki ) ta có :
_______________________________________________________________

20

Người thực hiện : Nguyễn Hồng Nga

SKKN : Vận dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập đại số lớp 9

_________________________________________________________________
x 2 − 2 x + 5 + x 2 + 2 x + 10 = (1 − x) 2 + 2 2 + (1 + x ) 2 + 3 2 ≥
≥

[ (1 − x) + (1 + x)] 2 + (2 + 3) 2

= 29
1− x 2
1
= ⇔x=
Đẳng thức xảy ra ⇔
1+ x 3
5

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x =

1
5

Bài 2 : Giải phương trình : 4 2 − x 4 = x 2 − 3x + 3
Hướng dẫn : Biến đổi 4 2 − x 4 = x 2 − 3x + 3
⇔ x + 4 2 − x 4 = x 2 − 2x + 3

Áp dụng BĐT Bu-nhi –a-cốp-xki , ta có : x + 4 2 − x 4 = 4 x 4 + 4 2 − x 4 ≤
2
2
2( x 4 + 2 − x 4 ) ≤ 2 2( x 4 + 2 − x 4 ) = 2 ≤ ( x − 1) + 2 = x − 2 x + 3

x ≥ 0
4 4 4
4
 x = 2− x
⇔ x =1
Đẳng thức xảy ra ⇔  4
 x = 2 − x4

x − 1 = 0

Vậy phương trình có mghiệm duy nhất là x = 1 .
Tiết 5

Ứng dụng bất đẳng thức trong giải hệ phương trình
1/ Ví dụ :
x + y + z = 1

Ví dụ 1 : Giải hệ phương trình : 

4
4
4
 x + y + z = xyz

Giải :
Ta có : x + y + z ≥ xy + yz + zx
2

2

2

⇔ 2( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ 2 xy + 2 yz + 2 zx
⇔ 2( x 2 + y 2 + z 2 ) − 2 xy − 2 yz − 2 zx ≥ 0
⇔ ( x − y ) 2 + ( y − z ) 2 + ( z − x ) 2 ≥ 0 luôn luôn đúng với mọi x , y , z .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z .
Áp dụng BĐT trên ta có :
x 4 + y 4 + z 4 ≥ ( xy ) 2 + ( yz ) 2 + ( zx) 2 ≥ xy. yz + yz.zx + zx.xy = xyz ( x + y + z ) = xyz

( Vì x + y + z = 1 ).
x = y = z
1
⇔x= y=z= .
3
x + y + z = 1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 

_______________________________________________________________

21

Người thực hiện : Nguyễn Hồng Nga


SKKN : Vận dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập đại số lớp 9

_________________________________________________________________

1 1 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm  ; ;  .

 3 3 3
 x y = 16
Ví dụ 2 : Giải hệ phương trình : 
3 x + y = 8
3

Giải :
Từ phương trình thứ nhất , ta nhận thấy x , y cùng dấu ; kết hợp với phương
trình thứ hai suy ra x , y cùng dương .Áp dụng BĐT Cô-Si cho 4 số dương x , x , x ,
y ta có :
 3x +
16 = x 3 y = x.x.x. y ≤ 
 4

4

y
84
=
= 16

44


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : x = x =x =y = 2 .
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là ( 2 ; 2 ) .
y

 x
 y + x = xy
Ví dụ 3 : Giải hệ phương trình : 
 2008
+ y 2008 = 8 ( xy ) 2005
x

Giải :
Áp dụng BĐT Cô-Si ta có

x
y

+

y
x

≥2

xy
xy

= 24 xy . kết hợp với phương trình

thứ nhất ,ta suy ra được : xy ≥ 24 xy ⇒ 4 ( xy) 3 ≥ 2 ⇒ xy ≥ 3 16 (*)
Áp dụng BĐT Cô-Si ta có : x 2008 + y 2008 ≥ 2 ( xy) 2008 = 2( xy)1004 , kết hợp với
phương trình thứ hai của hệ ta được : 8 ( xy) 2005 ≥ 2( xy)1004
⇒ 16( xy ) 2005 ≥ ( xy ) 2008 ⇒ 3 16 ≥ xy (**)
y

 x
 y = x
⇔x= y
(*) và (**) đồng thời thành đẳng thức 
 x 2008 = y 2008

3
3
Khi đó 16 = xy nên x = y = 4 . Thử lại ta thấy x = y = 3 4 nghiệm đúng hệ

phương trình .
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là x = y = 3 4 .
 x + 4 32 − x − y 2 = −3
Ví dụ 4 : Giải hệ phương trình : 4
 x + 32 − x + 6 y = 24

Giải :
 x + 32 − x − y = −3
 x + 4 32 − x = y 2 − 3
Tacó : 4
<=> 4
 x + 32 − x + 6 y = 24
 x + 32 − x = −6 y + 24
4

2

Cộng hai phương trình vế theo vế ta được :
_______________________________________________________________

22

Người thực hiện : Nguyễn Hồng Nga


SKKN : Vận dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập đại số lớp 9

_________________________________________________________________
( x + 32 − x ) + ( 4 x + 4 32 − x ) = y 2 − 6 y + 21 (*)
Theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có :
x + 32 − x ≤ (1 + 1)( x + 32 − x) = 8
4

x + 4 32 − x ≤ (1 + 1)( x + 32 − x ) ≤ 2(1 + 1)( x + 32 − x) = 4

⇒ ( x + 32 − x) + ( 4 x + 4 32 − x ) ≤ 8 + 4 = 12

Mặt khác y 2 − 6 y + 21 = ( y − 3) 2 + 12 ≥ 12
 x = 32 − x
4
 x = 16
4
⇔
Suy ra (*)
 x = 32 − x ⇔ 
y = 3
y − 3 = 0


Thử lại , ta thấy ( x ; y ) = ( 16 ; 3 ) nghiệm đúng hệ phương trình .

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là ( 16 ; 3 ) .
2/ Bài tập áp dụng :
3( x 2 + y 2 + z 2 ) = 1
Bài 1 : Giải hệ phương trình :  2 2 2 2 2 2
 x y + y z + z x = xyz ( x + y + z ) 3

Hướng dẫn : Giải tương tự như ví dụ 1 ,bằng cách sử dụng BĐT
3( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ ( x + y + z ) 2 .
Bài 2 : Tìm các số thực dương x , y , z thoả mãn hệ phương trình :
 x + y + z = 3

 x + y + z = xy + yz + zx

Hướng dẫn : Sử dụng BĐT Cô-Si ta có :
2
x 2 + 2 x = x 2 + x + x ≥ 33 x 2 . x . x = 3 x ⇒ x + 2 x ≥ 3 x

(1) . Đẳng thức xảy

ra khi và chỉ khi x2 = x
2
Tương tự : y + 2 y ≥ 3 y

(2) . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y2 = y

z 2 + 2 z ≥ 3z
(3) . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z2 = z
Mặt khác x + y + z = 3 nên cộng (1) ;(2) ;(3) vế theo vế ta có :
x 2 + y 2 + z 2 + 2( x + y + z ) ≥ 3( x + y + z ) = ( x + y + z ) 2

= x 2 + y 2 + z 2 + 2( xy + yz + zx)
= ( x + y + z) 2
⇒

x + y + z ≥ xy + yz + zx)

Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
2
x2 = x ; y =

y ; z 2 = z và x + y + z = 3 ⇔ x = y = z = 1

Do đó, bộ số thực dương ( x ; y ; z ) duy nhất thoả mãn phương trình là (1;1;1).
_______________________________________________________________

23

Người thực hiện : Nguyễn Hồng Nga


SKKN : Vận dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập đại số lớp 9

_________________________________________________________________
Tiết 6 :

Kiểm tra tổng hợp :
I / Mục đích
Sau khi học sinh học xong chủ đề thì có thể cho học sinh làm kiểm tra theo
phương án sau , nhằm kiểm tra mức độ nắm kiến thức và vận dụng kiến thức của chủ
đề :

II / Đề :
Bài 1 : Tìm GTLN và GTNN của A = ( x − 2) (6 − x)
(4đ)
2
Bài 2 : Giải phương trình : x − 2 + 10 − x = x − 12 x + 40 .
(3đ)
2 x + 2 y = 1
Bài 3 : Giải hệ phương trình : 
 x + y = −2

(3đ)

III / Đáp án và biểu điểm :
Bài 1 : ĐK : ( x-2 ) ( 6- x ) ≥ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ 6 ( 0.5 đ )
Áp dụng BĐT Cô-Si cho hai số không âm ta được :
x − 2 = 0
x = 2
x−2+6− x
⇔
= 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
2
6 − x = 0
x = 6
Tính đúng : Amax = 2 ⇔ x = 4
x = 2
Tính đúng : Amin = 0 ⇔ 
x = 6
Bài 2 : ĐK : 2 ≤ x ≤ 10

A≤

( 1.5 đ )
( 1.0 đ )
( 1.0 đ)
( 0.5 đ )

Biến đổi được : x − 2 + 10 − x = x − 12 x + 40
2

⇔ 8 + 2 ( x − 2) (10 − x) = ( x 2 − 12 x + 40) 2

( 1.0 đ )
Lí luận :Mặt khác 8 + 2 ( x − 2) (10 − x) ≤ 8 + ( x − 2) + (10 − x) = 16
( 0.5 đ )
2
Mà ( x 2 − 12 x + 40) 2 = [( x − 6) 2 + 4] ≥ 16
( 0.5 đ )
Nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x – 6 = 0 ⇔ x = 6 (Thoả mãn ĐK )( 0.5 đ )
Vậy phương trình có nghiệm x = 6 .
Bài 3 : Biết áp dụng BĐT Cô-Si để có :
1 = 2 x + 2 y ≥ 2 2 x .2 y = 2 2 x + y = 2 2 −2 = 1
2 x = 2 y
⇔ x = y = −1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
x
+
y
=
−
2



( 1.5 đ )

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là : ( -1 ; -1 )

( 0.5 đ )

( 1.0 đ )

* Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa !

C / LỜI KẾT :
_______________________________________________________________

24

Người thực hiện : Nguyễn Hồng Nga


SKKN : Vận dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập đại số lớp 9

_________________________________________________________________
Sau khi học xong chủ đề chủ , tôi nhận thấy nhiều học sinh đã vận dụng các
bất đẳng thức một cách linh hoạt , lời giải ngắn gọn . Có em phát biểu rằng : “ Việc
vận dụng các bất đẳng thức vào việc giải các bài tập khó của chương trình đại số lớp
9 đã giúp chúng em có được lời giải ngắn gọn , sáng sủa . Trong đó BĐT Cô-Si có
ứng dụng rất mạnh – là một công cụ ưu việc trong việc giải toán nói chung , giải toán
đại số nói riêng ” .
Chính vì nội dung từng tiết học được viết dưới dạng dễ hiểu , dễ đọc , có

hướng dẫn tỉ mỉ nên các em có thể tự nghiên cứu ; đúng với tinh thần viết các chủ đề
dạy tự chọn mà bộ GD&ĐT yêu cầu .
Qua việc học chủ đề , các em đã được bổ trợ thêm kiến thức ( Những kiến thức
mở rộng ) , có điều kiện để rèn luyện việc giải toán . Thông qua việc giải toán bằng
cách vận dụng các bất đẳng thức đã giúp các em rèn luyện óc tư duy , sáng tạo và
linh hoạt .
Qua kết quả kiểm tra chủ đề , tôi nhận thấy các em làm bài tương đối tốt :
50% các em đạt điểm giỏi , còn lại đều đạt điểm trung bình trở lên .
Điển hình là trong các kì thi học sinh giỏi toán lớp 9 , bao giờ các em cũng làm
tốt phần bài tập đại số trong đề thi . Hằng năm đều có học sinh đạt giải cấp tỉnh ;
nhiều năm liền huyện nhà đều có học sinh đạt giải nhất môn toán lớp 9 toàn tỉnh :
- Năm học 2003 – 2004 : Em Nguyễn Minh Trưởng đạt giải nhất môn toán 9.
Hiện đang học lớp 12 trường chuyên Lê Quí Đôn – Đà Nẵng .
- Năm học 2004 – 2005 : Em Huỳnh Thị Xuân Trâm đạt giải nhất môn toán 9.
Hiện đang học lớp 11 trường chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam.
- Năm học 2005 – 2006 : Em Nguyễn Tấn Thông đạt giải nhất môn toán 9.
Hiện đang học lớp 10 trường chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam.
Là người được PGD phân công cùng các thầy - cô giáo có kinh nghiệm dạy
lớp bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 , nên tôi đã có điều kiện sưu tầm , nghiên cứu để
sắp xếp kiến thức theo nội dung từng tiết dạy . Tuy nhiên , với khả năng có hạn nên
nội dung chủ đề cũng không tránh khỏi những sai sót , bố cục của chủ đề có thể còn
thiếu chặt chẽ ; hệ thống bài tập phần nhiều là sưu tầm từ các sách tham khảo . Sự cố
gắng của bản thân là cách làm , cách soạn với mong muốn cùng đồng nghiệp làm
phong phú thêm tài liệu giảng dạy tự chọn và bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm mục
đích đáp ứng nguyện vọng học tập cho các đối tượng học sinh khá - giỏi . Đồng thời
nhằm phát hiện , bồi dưỡng nhân tài cho đất nước mai sau .
Với suy nghĩ như trên , bản thân rất mong nhận được sự góp ý chân thành từ
các đồng nghiệp !
Xin chân thành cảm ơn !

_______________________________________________________________

25

Người thực hiện : Nguyễn Hồng Nga