Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai

KIỂM TRA KIẾN THỨC CŨ:

1.Vận dụng định lí về dấu của
nhị thức bậc nhất xét dấu
các biểu thức sau:
f(x) = (x-1)(2x-3)
g(x) = (1-3x)(x-2)
2. Hãy khai triển hai biểu
thức f(x) và g(x) ở trên?
f(x) = 2x2 - 5x + 3
g(x) = -3x2 + 7x - 2

x

-∞

1

+∞

3/2

x-1

-

0

+

|

+

2x -3

-

|

-

0

+

f(x)

+

0

-

0

+

x

-∞

1/3

+∞

2

1 – 3x

+

0

-

|

-

x -2

-

|

-

0

+

g(x)

-

0

+

0

-


TiÕt 40:
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI


NỘI DUNG CẦN GHI
1. Tam thức bậc hai
- Tam thức bậc hai đối với x là
biểu thức dạng:
f(x) = ax2 + bx + c
trong đó a, b, c là những hệ số
và a ≠ 0
-Nghiệm của phương trình bậc hai
ax2 + bx + c = 0 cũng được gọi là
nghiệm của tam thức bậc hai
f(x)= ax2 + bx + c
- Các biểu thức ∆= b2 – 4ac và

∆’= b’2 – ac theo thứ tự được
gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn
của tam thức bậc hai
f(x) = ax2 + bx + c

TiÕt 40: Dấu của tam thức bậc hai
VD1: Những biểu thức nào sau đây là tam
thức bậc hai? Xác định các hệ số a, b, c ;
biệt thức ∆ ; nghiệm (nếu có)
a) f(x) = x2 - 6x+5

b) f(x) = - 2x + 1

c) f(x) = x2 – 3x + 4 d) f(x) = mx2 - 2x + 3m – 1
( Với m là tham số)
LG:
a)a=1, b=-6, c=5, ∆=16 ; nghiệm
x1=1, x2=5
b) không phải tam thức bậc hai
c) a = 1, b = -3, c = 4, ∆ = -7
d) Không phải tam thức bậc hai với m = 0
Là tam thức bậc hai với m ≠ 0


Néi dung cÇn ghi
1. Tam thức bậc hai

2. DÊu tam thøc bËc hai

TH1: Nếu ∆ < 0

TiÕt 40: Dấu của tam thức bậc hai
? Trong hình vẽ là các đồ thị của các
hàm số bậc hai, hãy quan sát để đưa
ra nhận định về dấu của f(x) và điền
dấu của f(x) vào bảng.
y

y

x

thì a.f(x)>0 ∀ x∈ ¡

O

x
O

a > 0, ∆ < 0

x
f(x)

-∞

a < 0, ∆ < 0
+∞

+

x
f(x)

-∞

+∞

-

Nếu ∆ < 0 thì a.f(x)>0 ∀x ∈ ¡


Néi dung cÇn ghi
1. Tam thức bậc hai

2. DÊu tam thøc bËc hai

TH1: Nếu ∆ < 0

TiÕt 40: Dấu của tam thức bậc hai
? Trong hình vẽ là các đồ thị của các
hàm số bậc hai, hãy quan sát để đưa
ra nhận định, sau đó điền dấu của f(x)
vào bảng.
y
y

thì a.f(x)>0 ∀ x∈ ¡
TH2: Nếu ∆ = 0

-b/2a

x

O

thì a.f(x)>0 ∀ x ≠ -b/2a

x
O

-b/2a

a < 0, ∆ = 0

a > 0, ∆ = 0
x
f(x)

-∞

-b/2a

+

0

Nếu ∆ = 0 thì

+∞

+

x
f(x)

-∞

-b/2a

-

0 -

b
a.f(x)>0 ∀x ≠ 2a

+∞


Néi dung cÇn ghi

TiÕt 40: Dấu của tam thức bậc hai

? Trong hình vẽ là các đồ thị của các

1. Tam thức bậc hai

hàm số bậc hai, hãy quan sát để đưa

ra nhận định, sau đó điền dấu của f(x)
vào bảng.

2. DÊu tam thøc bËc hai

TH1: Nếu ∆ < 0

y

y

thì a.f(x)>0 ∀ x∈ ¡
TH2: Nếu ∆ = 0

x1

x

x2
O

x

thì a.f(x)>0 ∀ x ≠ -b/2a

O x
1

x2

a > 0, ∆ > 0

TH3: Nếu ∆ > 0 tam thức có 2

a < 0, ∆ > 0

nghiệm x1, x2 và x1 < x2

thì a.f(x)<0 ∀x ∈(x1;x2)

x

a.f(x)>0 ∀ x ∈ ( - ∞;x1) ∪ (x2; + ∞)

f(x)

-∞

x1

+

0

x2

-

0

+∞

+

x

f(x)

-∞

x1

-

0

x2

+

0

+∞

-

Nếu ∆ > 0 thì a.f(x)<0 ∀x ∈(x1;x2)
a.f(x)>0 ∀ x ∈ ( - ∞;x1) ∪ (x2; + ∞)

Mối y
quan hệ về dấu của f(x) và dấu của hệ số a
y
x

O

TH1:
∆<0

-∞

+∞

f(x)

cùng dấu a

x

O
y

a.f(x) > 0 ∀x∈R
y

TH2:
∆=0

-b/2a

O

x

x

-∞

f(x)

-b/2a

cùng dấu a

0

+∞
cùng dấu a

x

O

-b/2a

a.f(x) > 0 ∀x ≠ -b/2a

y

y
x1

TH3:
∆>0

x2

x

-∞

O

f(x)
Ox
1



x

x1
cùng dấu a

0

x2
trái dấu a

x
x2

Em hãy phát biểu thành lời mối quan hệ về dấu của tam thức bậc
hai so với dấu của hệ số a từ các trường hợp trên?

+∞

0

cùng dấu a


Néi dung cÇn ghi
1. Tam thức bậc hai

2. DÊu tam thức bậc hai
định lí:
Cho tam thc bc hai
f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0), ∆ = b2 – 4ac
- Nếu ∆ < 0 thì f(x) ln cùng dấu với hệ
số a, với ∀x∈ ¡
- Nếu ∆ = 0 thì f(x) ln cùng dấu với hệ
số a, trừ khi x = -b/2a
- Nếu ∆ > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a
khi x < x1 hoặc x > x2, trái dấu với hệ số
a khi x1 < x < x2 trong đó x1, x2
-

(x1 < x2) là hai nghiệm của f(x)

Chú ý: Trong định lý trên, có thể thay biệt
thức ∆ = b2 – 4ac bằng biệt thức thu gọn

∆’ = (b’)2 - ac

TiÕt40: Dấu của tam thức bậc hai

Định lý về dấu của tam thức bậc
hai có minh hoạ hình học sau


∆<0

∆>0

∆=0

10

y

f(x)=x^2-2x+2

+

4

+

a>0

3

+

+

2

1

y

+ +
1

+

f(x)=x^2-2x+1

+
+

+

3

+
+

+
+

2

1

x

−b
2a
1

2

f(x)=x^2-2x-1

9

4

+

y

8

6
5

4

x1

-4

-3

-

-2

+
+

7

3
2
1

-1

1
-1

-

-2

x

2

-3

2

- x2
3

4

x
5

6

-4
-5
-6

∆<0
y

∆>0

∆=0

f(x)=-x^2+2x-2

y
1
1

x
-1

1

a<0

-1

-2

-

-

-3

-

-

2

3
-1

-

-

-

-

f(x)=-x^2+2x-1

−b
2a
1

y

2

-

+

x

2

3

x1

-2

-3

-

-

-

+

1

-1

-1

+

f(x)=-x^2+2x+1

1

-1

-2

-3

x2 2

3

-

x


Néi dung cÇn ghi
1. Tam thức bậc hai

2. DÊu tam thức bậc hai
định lí:
Cho tam thc bc hai
f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0), ∆ = b2 – 4ac
- Nếu ∆ < 0 thì f(x) ln cùng dấu với
hệ số a, với ∀x∈ ¡
- Nếu ∆ = 0 thì f(x) ln cùng dấu với
hệ số a, trừ khi x = -b/2a
- Nếu ∆ > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ
số a khi x < x1 hoặc x > x2, trái dấu
với hệ số a khi x1 < x < x2 trong đó
x1, x2
(x1 < x2) là hai nghiệm của f(x)

TiÕt40: Dấu của tam thức bậc hai
VD2 Hãy điền thêm vào chỗ trống
để được một phát biểu đúng:

a) Tam thức f(x) = x2 + 3x + 3
có ∆ = ………0 và hệ số a = ….0
1>
nên f(x) ….…...
-3 <
> 0 ∀ = - 4x
b) Tam thức f(x) x ∈ ¡ 2 +12 x-9
có ∆ … 0 và hệ số a =………0
-4 <
nên f(x)……...
=
<0 với ∀ x ≠ 2 +
c) Tam thức f(x) = - 3x3/2 x + 4
có ∆ = …… , tam thức có hai
49 > 0
nghiệm x1 = …. , x2 = ….. và
4/3
có hệ số a =-1
……..0
-3
nên f(x) ……….. <
>0
và f(x)…………với x∈( -1; 4/3)
< 0 với x ∈ ( -∞; -1) ∪ ( 4/3; +∞)

3. Áp dụng

C¸c b­íc xÐt dÊu tam thøc bËc 2
Bước 1. Tính ∆ và xét dấu của ∆
Bước 2. Xét dấu của hệ số a

Bước 3. Dựa vào định lí để kết luận
về dấu của f(x)

? Các bước xét dấu một tam thức
bậc hai


Néi dung cÇn ghi
1. Tam thức bậc hai

hai

2. DÊu tam thức bậc hai
định lí:
Cho tam thc bc hai
f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0), ∆ = b2 – 4ac
- Nếu ∆ < 0 thì f(x) ln cùng dấu với hệ
số a, với ∀x∈ ¡
- Nếu ∆ = 0 thì f(x) ln cùng dấu với hệ
số a, trừ khi x = -b/2a
- Nếu ∆ > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a
khi x < x1 hoặc x > x2, trái dấu với hệ
số a khi x1 < x < x2 trong đó x1, x2
(x1 < x2) là hai nghiệm của f(x)
3. Áp dụng

C¸c b­íc xÐt dÊu tam thøc bËc 2
Bước 1. Tính ∆ và xét dấu của ∆
Bước 2. Xét dấu của hệ số a
Bước 3. Dựa vào định lí để kết luận

về dấu của f(x)

TiÕt 40: Dấu của tam thức bậc
VD3 Xét dấu các tam thức bậc
hai:
a) f(x) = 2x2 - 5x - 7
b) g(x) = - 9x2 +12 x – 4
c) h(x) = - 2x2 + 3x - 7
Lg.
a) f(x) có, ∆ = 81 > 0
f(x) có 2 nghiệm x1= -1, x2= 7/2
và có hệ số a = 2 > 0 nên
f(x) > 0 khi x < -1 hoặc x > 7/2
và f(x) < 0 khi -1 < x < 7/2
b) g(x) có ∆=0 và có hệ số a = -9 < 0
nên g(x) < 0 với ∀x ≠ 2/3
c) h(x) có ∆ = -47 < 0 và có hệ số
a = -2 < 0, nên h(x) < 0 với ∀x ∈ ¡


Néi dung cÇn ghi
1. Tam thức bậc hai

hai

2. DÊu tam thức bậc hai
định lí:
Cho tam thc bc hai
f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0), ∆ = b2 – 4ac
- Nếu ∆ < 0 thì f(x) ln cùng dấu với hệ

số a, với ∀x∈ ¡
- Nếu ∆ = 0 thì f(x) ln cùng dấu với hệ
số a, trừ khi x = -b/2a
- Nếu ∆ > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a
khi x < x1 hoặc x > x2, trái dấu với hệ số a
khi x1 < x < x2 trong đó x1, x2
(x1 < x2) là hai nghiệm của f(x)

a > 0
3. Áp dụng
ĐK để f(x) luôn dương  ∆ < 0

a < 0
ĐK để f(x) luôn âm 
∆ < 0

TiÕt 40: Dấu của tam thức bậc
VD3 Xét dấu các tam thức bậc
hai:
a) f(x) = 2x2 - 5x - 7
b) g(x) = - 9x2 +12 x – 4
c) h(x) = - 2x2 + 3x - 7
?1. Từ định lí hãy cho biết khi nào dấu
của tam thức bậc hai không đổi với
∆<0
mọi x ∈ ¡ ?
?2. Từ định lí hãy cho biết
khi nào tam thức bậc hai
luôn dương với mọi x ∈ ¡ ?
?3. Từ định lí hãy cho biết

khi nào tam thức bậc hai
ln âm với mọi x ∈ ¡ ?

a > 0

∆ < 0
a < 0

∆ < 0


Néi dung cÇn ghi
1. Tam thức bậc hai

TiÕt 40: Dấu của tam thức bậc hai

Tương tự như tích, thương của những nhị

2. DÊu tam thøc bËc hai
thức bậc nhất, ta cú th xột du tớch
định lí:
thng ca cỏc tam thc bậc hai
Cho tam thức bậc hai
VD4. Xét dấu biểu thức
f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0), ∆ = b2 – 4ac
f(x) = (3x2 –4x).(2x2 – x – 1)
- Nếu ∆ < 0 thì f(x) ln cùng dấu với hệ
số a, với ∀x∈ ¡
Lg. a. Xét y1 = 3x2 –4x có ∆ > 0 và có
- Nếu ∆ = 0 thì f(x) ln cùng dấu với hệ hai nghiệm là: x1 = 0, x2 = 4/3

số a, trừ khi x = -b/2a
Xét y2 = 2x2 – x – 1 có ∆ > 0 và có
- Nếu ∆ > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a hai nghiệm là x1 = 1, x2 = -1/2
khi x < x1 hoặc x > x2, trái dấu với hệ số a Vậy ta có bảng xét dấu của biểu
thức f(x) như sau
khi x1 < x < x2 trong đó x1, x2
1
4
(x1 < x2) là hai nghiệm của f(x)
3. Áp dụng
ĐK để f(x) luôn dương
ĐK để f(x) luôn âm

a > 0

∆ < 0
a < 0

∆ < 0

x

−
∞ −

3x2 − 4 x
2

2x − x −1

f ( x)

1

0

2

0−

+

+

+

0−

+

0 − 0

+∞

3

− 0 +

−

−
0

+

+0 −

+
0

+


Củng cố
Nắm vững định lí về dấu của tam thức bậc
hai
 Nắm vững các bước xác định dấu của tam
thức bậc hai
 Nắm vững điều kiện để tam thức luôn âm,
luôn dương.



3x 2 + 2 x − 5
f ( x) =
x2 − 4

CỦNG CỐ: Xét dấu biểu thức

Giải:

Xét dấu các tam thức 3 x 2 + 2 x − 5 và
f (ta)được:
x
xét dấu

x

−5

−2

−
∞

3x 2 + 2 x − 5

+

x2 − 4

+

f ( x)

+

+

0

x2 − 4

rồi lập bảng

2

1

3

0 − 0 +

+∞

+

−

−

−0

+

− 0

+ 0

−

+


Bài tập về nhà
• Các bài tập 1, 2 (SGK - 105)
• Xét dấu biểu thức P(x) =

(x

2

− 5 x + 3) ( 2 − x )

( −3x

2

− 4 x + 1)

• Cho tam thức bậc hai: f(x) = mx2 -2(m – 1)x + 4m – 1.

Tìm các giá trị của tham số m để f(x):
a) Luôn dương
b) Luôn âm


Chân thành cảm ơn các
thầy,cô giáo và các em!