Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học trong dạy học giải toán ở các lớp đầu cấp tiểu học (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VŨ VĂN TIẾN

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SỬ DỤNG
NGÔN NGỮ TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN
Ở CÁC LỚP ĐẦU CẤP TIỂU HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN, 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VŨ VĂN TIẾN

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SỬ DỤNG
NGÔN NGỮ TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN
Ở CÁC LỚP ĐẦU CẤP TIỂU HỌC

Chuyên ngành: Giáo dục học (Giáo dục Tiểu học)
Mã số: 60 04 01 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN NGỌC BÍCH

THÁI NGUYÊN, 2017

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả
nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì công
trình nào khác.
Tác giả luận văn

Vũ Văn Tiến

iv


LỜI CẢM ƠN
Luận văn “Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học trong dạy
học giải toán các lớp đầu cấp tiểu học” hoàn thành là kết quả quá trình học
tập, nghiên cứu của người thực hiện cùng với sự hướng dẫn tận tình của quý
thầy, cô và sự giúp đỡ của gia đình, bạn bè, đồng nghiệp. Tôi xin được bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Ngọc Bích đã tận tình hướng dẫn tôi trong
suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành Luận văn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Giáo dục tiểu học,
trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã rất quan tâm, tạo mọi điều
kiện cho tôi học tập và nghiên cứu. Đồng thời, tôi xin tỏ lòng biết ơn tới quý
tác giả của những công trình khoa học mà tôi đã dùng làm tài liệu tham khảo và
các nhà khoa học đã có những ý kiến quý báu cho Luận văn của tôi.
Trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo và các em học sinh trường Tiểu học
Nguyễn Viết Xuân, thành phố Thái Nguyên tỉnh Thái Nguyên đã giúp đỡ tôi
trong việc triển khai thực nghiệm sư phạm những kết quả của Luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn
động viên, tạo điều kiện tốt nhất để tôi có thể hoàn thành Luận văn của mình.

Trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 10 tháng 9 năm 2017
Tác giả

Vũ Văn Tiến

v


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................... iv
LỜI CẢM ƠN .......................................................................................................v
MỤC LỤC .......................................................................................................... vi
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT .................................................................... ix
DANH MỤC CÁC BẢNG ...................................................................................x
DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ ..............................................................................v
MỞ ĐẦU ..............................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài ..............................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................1
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu..................................................................3
4. Giả thuyết khoa học ..........................................................................................3
5. Nhiệm vụ nghiên cứu .......................................................................................3
6. Phạm vi nghiên cứu ..........................................................................................3
7. Phương pháp nghiên cứu ..................................................................................3
8. Đóng góp của luận văn .....................................................................................4
9. Ý nghĩa lí luận và thực tiễn của luận văn .........................................................5
10. Cấu trúc của luận văn .....................................................................................5
NỘI DUNG ...........................................................................................................6
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .........................................6
1.1. Lịch sử vấn đề nghiên cứu .............................................................................6

1.1.1. Trên thế giới ...............................................................................................6
1.1.2. Ở Việt Nam .................................................................................................7
1.2. Năng lực.........................................................................................................8
1.2.1. Quan niệm...................................................................................................8
1.2.2. Một số đặc điểm của năng lực ................................................................. 10
1.2.3. Phân loại năng lực ................................................................................... 11
1.2.4. Các năng lực cần hình thành và phát triển trong dạy học môn Toán
ở trường phổ thông ............................................................................................ 12
vi


1.3. Năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học ......................................................... 13
1.3.1. Sơ lược về ngôn ngữ toán học ................................................................. 13
1.3.2. Năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học ...................................................... 18
1.4. Nội dung dạy học giải toán ở các lớp đầu cấp tiểu học .............................. 21
1.4.1. Mục tiêu, nội dung môn Toán ở Tiểu học ............................................... 21
1.4.2. Nội dung dạy học giải toán ở các lớp đầu cấp tiểu học ........................... 22
1.5. Sự phát triển tư duy và ngôn ngữ của học sinh tiểu học ............................ 24
1.5.1. Sự phát triển tư duy ................................................................................. 24
1.5.2. Sự phát triển ngôn ngữ ............................................................................ 25
1.6. Thực trạng phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học cho học
sinh tiểu học trong dạy học hiện nay ................................................................. 26
1.6.1. Mục đích khảo sát .................................................................................... 26
1.6.2. Đối tượng khảo sát................................................................................... 27
1.6.3. Nội dung khảo sát .................................................................................... 27
1.6.4. Phương pháp khảo sát .............................................................................. 27
1.6.5. Kết quả khảo sát ...................................................................................... 27
1.7.6. Kết luận về thực trạng sử dụng NNTH trong dạy học môn Toán ở
trường Tiểu học hiện nay ................................................................................... 36
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 .................................................................................. 38

Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SỬ
DỤNG NGÔN NGỮ TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN ....... 39
2.1. Định hướng xây dựng và thực hiện biện pháp ........................................... 39
2.1.1. Định hướng 1. Các biện pháp phải được xây dựng trên cơ sở mục
tiêu chung và mục tiêu cụ thể của dạy học Toán ở tiểu học.............................. 39
2.1.2. Định hướng 2. Các biện pháp phải được đề xuất trên cơ sở nội dung
chương trình môn Toán ở tiểu học và tuân thủ các nguyên tắc dạy học ........... 39
2.1.3. Định hướng 3. Các biện pháp được đề xuất phải phù hợp với trình
độ nhận thức của HS lớp 1, lớp 2, lớp 3 ............................................................ 39

vii


2.2. Một số biện pháp phát triển năng lực sử dụng NNTH trong dạy học
giải toán ............................................................................................................. 40
2.2.1. Tổ chức các hoạt động cho HS hiểu từ vựng, ngữ nghĩa và cú pháp
của NNTH .......................................................................................................... 40
2.2.2. Tổ chức các hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ (NNTN - NNTH;
NNTH - NNTH) ................................................................................................ 46
2.2.3. Tổ chức cho HS tạo lập, vận dụng, thực hành hiệu quả NNTH trong
giao tiếp toán học ............................................................................................... 56
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 .................................................................................. 68
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM....................................................... 69
3.1. Mục đích thực nghiệm ................................................................................ 69
3.2. Thời gian thực nghiệm................................................................................ 69
3.3. Đối tượng thực nghiệm ............................................................................... 69
3.4. Nội dung thực nghiệm ................................................................................ 69
3.5. Cách tiến hành thực nghiệm ......................................................................... 70
3.6. Các phương pháp đánh giá kết quả thực nghiệm .......................................... 70
3.7. Kết quả thực nghiệm................................................................................... 72

3.7.1. Phân tích kết quả thực nghiệm về mặt định lượng .................................. 72
3.7.2. Kết quả định tính ..................................................................................... 78
3.8. Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm ................................................... 84
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 .................................................................................. 85
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ................................................................. 86
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ .............. 87
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 88
PHỤ LỤC

viii


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

GV

:

Giáo viên

HS

:

Học sinh

NNTH

:

Ngôn ngữ toán học

NNTN

:

Ngôn ngữ tự nhiên

NXB

:

Nhà xuất bản

SGK

:

Sách giáo khoa

TD

:

Tư duy

ix


DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1. Thành tố và biểu hiện đặc trưng của năng lực sử dụng NNTH ..... 19
Bảng 1.2.

Đánh giá mức độ sử dụng NNTH của HS ...................................... 30

Bảng 3.1. Kết quả phiếu học tập của lớp 1A và lớp 1B ................................. 72
Bảng 3.2. Kết quả xử lý số liệu thống kê lớp 1A và lớp 1B .......................... 73
Bảng 3.3. Kết quả phiếu học tập của lớp 2A và lớp 2E ................................. 74
Bảng 3.4. Kết quả xử lý số liệu thống kê lớp 2A và lớp 2E........................... 75
Bảng 3.5. Kết quả phiếu học tập của lớp 3A và lớp 3B ................................. 76
Bảng 3.6. Kết quả xử lý số liệu thống kê lớp 3A và lớp 3B .......................... 77

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 3.1. Tỷ lệ phần trăm kết quả phiếu học tập của lớp 1A và lớp 1B ...... 72
Biểu đồ 3.2. Tỷ lệ phần trăm kết quả phiếu học tập của lớp 2A và lớp 2E ...... 74
Biểu đồ 3.3. Tỷ lệ phần trăm kết quả phiếu học tập của lớp 3A và lớp 3B ...... 76

x


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Trong các môn học ở cấp Tiểu học, cùng với môn tiếng Việt, môn
Toán có vị trí rất quan trọng. Lý do là trong chương trình cấp tiểu học, thời
lượng của môn toán chiếm rất lớn, các kiến thức, kĩ năng của môn Toán ở tiểu
học có nhiều ứng dụng trong đời sống; chúng rất cần thiết cho người lao động,
rất cần thiết để học tốt các môn học khác ở tiểu học và chuẩn bị cho việc học
tốt môn Toán ở bậc trung học cơ sở. Môn Toán góp phần rèn luyện cho HS tư

duy linh hoạt, sáng tạo, khả năng ứng dụng ngôn ngữ chính xác.
Môn Toán cũng góp phần rất quan trọng trong việc rèn luyện phương
pháp suy nghĩ, giải quyết vấn đề, phát triển trí thông minh. Những thao tác tư
duy có thể rèn luyện cho HS qua môn Toán bao gồm phân tích tổng hợp, so
sánh, tương tự, khái quát hóa, tương tự hóa, cụ thể hoá, đặc biệt hóa. Môn
Toán giúp HS rèn luyện cho HS các phẩm chất trí tuệ bao gồm tính độc lập,
tính linh hoạt, tính nhuần nhuyễn, tính sáng tạo... [9], [16], [32].
Một trong những mục tiêu dạy học môn Toán ở tiểu học là góp phần
bước đầu phát triển năng lực TD, khả năng suy luận hợp lí và diễn đạt chúng
(nói và viết) cách phát hiện và cách giải quyết những vấn đề đơn giản, gần gũi
trong cuộc sống. Trong đó, để thực hiện được mục tiêu trên, việc rèn luyện kĩ
năng sử dụng NNTH cho HS tiểu học có vai trò quan trọng [3].
Trong dạy học môn Toán sử dụng đồng thời hai loại ngôn ngữ: NNTN
và NNTH. Không có một ranh giới rõ ràng giữa NNTN và NNTH mà chúng có
sự “hòa quyện” với nhau. Do đó trong dạy học môn Toán, GV không chỉ truyền
đạt tri thức toán học mà còn giúp hình thành, phát triển NNTH, đồng thời rèn
luyện và phát triển NNTN (tiếng Việt) cho HS. Bên cạnh đó thì “Ngôn ngữ như
đã được thừa nhận có vị trí cực kì quan trọng trong vốn văn hóa của con
người. Toán học nhà trường có điều kiện để góp phần phát triển ngôn ngữ
(tiếng mẹ đẻ, tiếng nước ngoài) thông qua phát triển ngôn ngữ toán” [28, tr.3].
1


1.2. Việc hình thành, phát triển năng lực sử dụng NNTH của HS tiểu học
cũng còn gặp nhiều khó khăn. Có nhiều yếu tố khách quan và chủ quan ảnh
hưởng đến quá trình dạy học nói chung và quá trình hình thành, phát triển năng
lực sử dụng NNTH nói riêng. Trong đó, vai trò của GV là rất quan trọng. Thực
tế cho thấy, quan niệm về NNTH của GV hiện nay cũng còn có những hạn chế,
việc rèn luyện và phát triển NNTH cho HS cũng chưa được quan tâm đúng
mức. Bởi vậy, nghiên cứu tìm ra các biện pháp phát triển năng lực sử NNTH

cho HS là cần thiết.
NNTH có ảnh hưởng không nhỏ đến kết quả học tập của HS. Tuy nhiên
hiện nay năng lực sử dụng NNTH của HS chưa được tốt. Cụ thể HS còn lúng
túng khi sử dụng kí hiệu, thuật ngữ toán học, biểu tượng, ... trong giải toán.
Một số lượng không nhỏ HS thường mắc sai lầm về mặt NNTH trong giải toán.
Về phía GV thì chưa thực sự có được những biện pháp góp phần phát triển
năng lực sử dụng NNTH cho HS.
1.3. Ở Việt Nam đã có một số nhà nghiên cứu giáo dục nghiên cứu về
NNTH và vấn đề NNTH trong môn Toán cấp tiểu học. Nhiều nghiên cứu đã đề
xuất những biện pháp hiệu quả nhằm hình thành và rèn luyện cho HS kỹ năng
sử dụng NNTH trong học tập môn Toán.
Tuy vậy, chưa có nghiên cứu nào đi sâu tìm hiểu và đề xuất những biện
pháp nhằm phát triển năng lực sử dụng NNTH trong dạy học giải toán cho HS
các lớp đầu cấp tiểu học.
Xuất phát từ lý do trên chúng chọn đề tài “Phát triển năng lực sử dụng
ngôn ngữ toán học trong dạy học giải toán các lớp đầu cấp tiểu học”.
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở nghiên cứu lý luận năng lực, năng lực sử dụng NNTH, sơ
lược về NNTH, nghiên cứu thực tiễn sử dụng NNTH trong dạy học môn Toán,
đề xuất một số biện pháp phát triển năng lực sử dụng NNTH trong dạy học giải
toán cho HS các lớp đầu cấp tiểu học.

2


3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
3.1. Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán ở lớp 1, lớp 2,
lớp 3 cho HS.
3.2. Đối tượng nghiên cứu: NNTH trong môn Toán các lớp đầu cấp tiểu học.
4. Giả thuyết khoa học

Nếu đề xuất và thực hiện tốt một số biện pháp sư phạm thì có thể góp
phần giúp HS các lớp đầu cấp tiểu học phát triển năng lực sử dụng NNTH, góp
phần nâng cao kết quả học tập môn Toán ở tiểu học.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận về năng lực, năng lực sử dụng NNTH, sơ lược về NNTH.
- Nghiên cứu đặc điểm tư duy, ngôn ngữ của HS tiểu học.
- Nghiên cứu thực trạng sử dụng NNTH trong dạy học môn Toán ở
tiểu học.
- Đề xuất biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực sử dụng NNTH
cho HS các lớp đầu cấp tiểu học.
- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm hiệu quả và tính khả thi của
các biện pháp sư phạm đã đề xuất.
6. Phạm vi nghiên cứu
Luận văn tập trung nghiên cứu việc sử dụng NNTH trong dạy học giải
toán cho học sinh các lớp đầu cấp tiểu học.
7. Phương pháp nghiên cứu
7.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
Sử dụng phối hợp các phương pháp nghiên cứu: thu thập thông tin, tài
liệu, phân tích, tổng hợp, … để nghiên cứu lý luận về năng lực nói chung, năng
lực sử dụng NNTH nói riêng, sơ lược lý luận về NNTH; nghiên cứu sự phát
triển TD và ngôn ngữ của HS các lớp đầu cấp tiểu học; nghiên cứu nội dung,
chương trình môn Toán ở tiểu học.

3


7.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
Phối hợp các phương pháp nghiên cứu thực tiễn để làm rõ thực trạng và
kiểm nghiệm hiệu quả khoa học của đề tài:
- Phương pháp quan sát, điều tra, phỏng vấn GV, cán bộ quản lý trường

tiểu học nhằm tìm hiểu thực trạng sử dụng NNTH trong dạy học môn Toán và
ý kiến đánh giá quá trình tác động của thực nghiệm sư phạm.
- Phương pháp nghiên cứu sản phẩm: Nghiên cứu phiếu học tập, vở bài
tập của HS để tìm hiểu thực trạng sử dụng NNTH trong học tập môn Toán hiện
nay, sản phẩm hoạt động của GV và HS trong quá trình thực nghiệm nhằm
đánh giá hiệu quả của các biện pháp đề xuất.
- Phương pháp chuyên gia: xin ý kiến các chuyên gia về các vấn đề thuộc
phạm vi nghiên cứu của đề tài.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm nhằm bước đầu kiểm nghiệm tính
khả thi và hiệu quả của các biện pháp đề xuất.
- Phương pháp nghiên cứu trường hợp: nhằm góp phần khẳng định tính
hiệu quả của các biện pháp đề xuất.
7.3. Phương pháp xử lý thông tin
Sử dụng phương pháp thống kê để xử lý số liệu sau khi điều tra thực
trạng, số liệu của quá trình thực nghiệm sư phạm.
8. Đóng góp của luận văn
- Hệ thống hoá được một phần lý luận về năng lực nói chung và năng lực
sử dụng NNTH nói riêng.
- Xác định được các năng lực thành tố và các mức độ cần đạt của năng
lực sử dụng NNTH trong dạy học giải toán.
- Phân tích thực trạng sử dụng NNTH trong dạy học môn Toán ở trường
tiểu học hiện nay.
- Đề xuất được 3 biện pháp phát triển năng lực sử dụng NNTH cho HS
các lớp đầu cấp tiểu học trong dạy học giải toán.
4


9. Ý nghĩa lí luận và thực tiễn của luận văn
9.1. Ý nghĩa lý luận
- Hệ thống hoá được một phần lý luận về năng lực nói chung và năng lực

sử dụng NNTH nói riêng.
9.2. Ý nghĩa thực tiễn
- Phân tích thực trạng sử dụng NNTH trong dạy học môn Toán ở trường
tiểu học hiện nay.
- Đề xuất được 3 biện pháp phát triển năng lực sử dụng NNTH cho HS
các lớp đầu cấp tiểu học trong dạy học giải toán.
10. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần “Mở đầu” và “Kết luận”, danh mục Tài liệu tham khảo nội
dung chính của luận văn gồm:
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2. Một số biện pháp phát triển năng lực sử dụng NNTH trong
dạy học giải toán cho HS các lớp đầu cấp tiểu học.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

5


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Lịch sử vấn đề nghiên cứu
1.1.1. Trên thế giới
NNTH đã được một số nước nghiên cứu từ lâu. Các nghiên cứu xuất hiện
nhiều ở Vương quốc Anh, Australia (Úc), một số nước khác ở châu Âu, châu Á
và Bắc Mĩ ... bắt đầu từ giữa thập kỉ 70 của thế kỉ XX [39].
Ở Vương Quốc Anh từ những năm 1970 đến nay NNTH đã được nghiên
cứu một cách có hệ thống ROUGRAS (1976); Ervinck (1982) Rubenstein
(2009)… đã nghiên cứu về NNTH trong học tập toán của HS: Nghe toán, nói
toán, đọc toán, viết toán; Ngữ pháp, cú pháp; những khó khăn về NNTH…[7].
Ở Úc những năm 1980, bắt đầu thay đổi quan niệm nghiên cứu trong

lĩnh vực ngôn ngữ và toán học. Các nghiên cứu về NNTH của các nhà khoa học
đã ứng dụng trong dạy học môn Toán. Chương trình môn Toán ở Úc đến hết
phổ thông cơ sở đã được chia ra 8 trình độ, kiến thức ở mỗi trình độ có 19 yêu
cầu trong đó có yêu cầu về sử dụng NNTH và mỗi trình độ có một mục đích
riêng cho việc dạy học NNTH [7].
Chương trình và sách giáo khoa hiện nay ở các nước Romania, NewZealland, Thụy Điển, cũng đã rất quan tâm đến NNTH. Những năm gần đây
hiệp hội Châu Âu về Nghiên cứu giáo dục Toán học đã dành một tiểu ban cho
vấn đề ngôn ngữ và toán học [39].
Gần đây các nhà nghiên cứu toán học ở Châu Âu đã tăng sự chú ý đến
các vấn đề liên quan đến ngôn ngữ trong dạy học môn toán ở trường phổ thông.
Hội nghị lần thứ I lần thứ IV của hiệp hội Châu Âu về vấn đề nghiên cứu giáo
dục toán học đã tập trung vào dậy học phát triển NNTH trên các phương tiện từ

6


vựng, cú pháp ngữ nghĩa (CERME1, 1999) và (CERME4, 2005). Nhiều nhà
nghiên cứu cũng đã chỉ ra vai trò của NNTH và những gợi ý dạy học cho HS
nhận biết và sử dụng đúng NNTH [7].
1.1.2. Ở Việt Nam
Ở Việt Nam, vấn đề NNTH đã được nghiên cứu và vận dụng vào giảng
dạy ở các khía cạnh khác nhau, tuy nhiên mới chỉ là những nghiên cứu
mang tính chất sơ lược. Sau đây là một số kết quả nghiên cứu liên quan đến
NNTH và việc vận dụng NNTH trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông.
Tác giả Hà Sĩ Hồ (1990) đã trình bày một số đặc điểm của NNTH. Cụ thể:
NNTH chủ yếu là ngôn ngữ sử dụng kí hiệu; NNTH không phải là ngôn ngữ “lời
nói” mà chủ yếu là ngôn ngữ “viết”; NNTH vừa chặt chẽ vừa uyển chuyển [16].
Tác giả Hoàng Chúng (1994) nghiên cứu về NNTH và việc sử dụng
NNTH trong SGK Toán cấp 2. Theo tác giả thì các thuật ngữ, kí hiệu toán học
được hình thành và phát triển trong quá trình hình thành, phát triển của các

khái niệm toán học và phương pháp giải các bài toán; Một thuật ngữ, một kí
hiệu phản ánh cùng một khái niệm, có thể được định nghĩa theo nhiều cách tương
đương nhau. Tác giả lưu ý khi dùng các kí hiệu toán học cần phân biệt: những
kí hiệu phải dùng nguyên vẹn, không thay đổi; những kí hiệu nên dùng (tuy
có thể thay bằng kí hiệu khác) vì đã quen thuộc với nhiều người; những kí
hiệu có thể tùy ý chọn. Theo tác giả quá trình phát triển toán học luôn đòi hỏi
phải mở rộng, thay đổi một khái niệm, kéo theo việc mở rộng, thay đổi cách
hiểu đối với một thuật ngữ, một kí hiệu; Trong toán học có thể dùng các kí
hiệu khác nhau để chỉ cùng một đối tượng nhưng không được dùng một kí hiệu
để chỉ hai đối tượng khác nhau trong cùng một vấn đề [8].
Các tác giả Hà Sĩ Hồ, Đỗ Đình Hoan, Đỗ Trung Hiệu (1998) đã đề
cập đến vấn đề NNTH trong tài liệu Phương pháp dạy học Toán (tập 1).
Trong toán học, các kí hiệu được sắp xếp theo những “quy tắc ngữ pháp”
thành biểu thức hay công thức diễn đạt các đối tượng hay mệnh đề toán học.
7


Trong NNTH cũng có những “từ đồng nghĩa” như trong NNTN, đó là những kí
hiệu khác nhau nhưng chỉ cùng một đối tượng [17].
Theo [14], để phát triển NNTH cho HS trong quá trình dạy học Toán ở
trung học phổ thông thì cần chú ý rèn luyện thường xuyên cho HS hiểu
đúng, sử dụng chính xác, hợp lý ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp và logic
toán cùng các kí hiệu, thuật ngữ toán học để trình bày lời giải, kịp thời phân
tích và sửa chữa sai lầm mà HS có thể mắc phải; Rèn luyện HS sử dụng
ngôn ngữ, kí hiệu nhằm diễn đạt nội dung toán học theo nhiều cách khác
nhau, từ đó chọn cách theo hướng thuận lợi cho vấn đề cần giải quyết; Giúp
HS biết chuyển từ NNTH thông thường sang thuật ngữ, kí hiệu của lôgic
toán và ngược lại. Đồng thời rèn luyện cho HS khả năng vận dụng kiến thức
toán học vào các bài toán thực tiễn.
Trong nghiên cứu [6], tác giả đã đề xuất các biện pháp giúp HS tiểu học

sử dụng hiệu quả NNTH, rèn kĩ năng sử dụng NNTH. Trong [7], tác giả đã đề
xuất phát triển năng lực biểu diễn, năng lực giao tiếp bằng NNTH cho HS cấp
trung học cơ sở.
Như vậy, ở nước ta, NNTH bước đầu đã được đề cập đến nhưng chưa có
tác giả và công trình khoa học nào nghiên cứu sâu về vấn đề phát triển năng lực
sử dụng NNTH trong quá trình giải toán ở các lớp đầu cấp tiểu học.
1.2. Năng lực
1.2.1. Quan niệm
Năng lực là một khái niệm thuộc phạm trù tâm lí học. Ngày nay, quan
niệm về năng lực chưa có sự thống nhất trên phạm vi thế giới. Tuy nhiên có
một số quan niệm sau:
Theo [15], năng lực là tổ hợp các thuộc tính độc đáo của cá nhân, phù
hợp với những yêu cầu của một hoạt động nhất định, đảm bảo cho hoạt động đó
có kết quả.
8


- Năng lực là khả năng của một con người hoàn thành được những nhiệm vụ
phức tạp, việc hoàn thành này đòi hỏi phải thi hành một số lượng lớn thao tác đối
với những nhiệm vụ mà người ta thường gặp trong khi thực hành một nghề. [12]
Theo Từ điển Tiếng Việt (2010)
- Năng lực là khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực
hiện một hoạt động nào đó.
- Năng lực là phẩm chất tâm lí và sinh lí tạo cho con người khả năng
hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao [34].
Một số tác giả khác quan niệm:
Xavier Roegier khẳng định: "Năng lực là sự tích hợp các kĩ năng tác
động một cách tự nhiên lên các nội dung trong một loạt tình huống cho trước
để giải quyết những vấn đề do tình huống này đặt ra" [40].
Theo Phạm Minh Hạc: "Năng lực chính là một tổ hợp đặc điểm tâm lí

của một con người (còn gọi là tổ hợp các thuộc tính tâm lí của một nhân cách),
tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của
một hoạt động nào đấy" [13].
Theo Nguyễn Công Khanh: "Năng lực là khả năng làm chủ những kiến
thức, kĩ năng, thái độ và vận hành (kết nối) chúng một cách hợp lí vào thực
hiện thành công nhiệm vụ hoặc giải quyết hiệu quả vấn đề đặt ra trong cuộc
sống. Năng lực là một cấu trúc động (trừu tượng), có tính mở, đa thành tố, đa
tầng bậc, hàm chứa trong nó không chỉ là kiến thức, kĩ năng,… mà cả niềm tin,
giá trị, trách nhiệm xã hội,… thể hiện ở tính sẵn sàng hành động trong những
điều kiện thực tế, hoàn cảnh thay đổi" [30].
Chương trình Giáo dục phổ thông tổng thể xác định: “Năng lực là
thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá
trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến
thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,…
thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn
trong những điều kiện cụ thể" [4].

9


Trong luận văn chúng tôi sử dụng quan niệm: năng lực là thuộc tính cá
nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn
luyện để đáp ứng các yêu cầu phức hợp và thực hiện thành công nhiệm vụ
trong một bối cảnh xác định.
1.2.2. Một số đặc điểm của năng lực
- Tính tích hợp của năng lực: năng lực thể hiện sự tổng hợp các yếu tố
kiến thức, kĩ năng, động cơ, thái độ, ý chí, … trong hoạt động của con người.
- Năng lực chỉ có thể quan sát được thông qua các hoạt động cá nhân ở
các tình huống nhất định.
- Năng lực có thể phân thành: năng lực chung và năng lực chuyên biệt.

Năng lực chung là những năng lực cần thiết để cá nhân có thể tham gia
hiệu quả trong nhiều hoạt động và các bối cảnh khác nhau của đời sống xã hội.
Năng lực này cần thiết cho tất cả mọi người.
Năng lực chuyên biệt: chỉ cần thiết đối với một số người hoặc cần thiết ở
một số tình huống nhất định. Các năng lực chuyên biệt không thể thay thế các
năng lực chung.
- Năng lực được hình thành và phát triển ở trong và ngoài nhà trường.
Nhà trường được coi là môi trường chính thức giúp HS có được những năng
lực chung, cần thiết song đó không phải là nơi duy nhất. Những bối cảnh
không gian không chính thức như: gia đình, cộng đồng, phương tiện thông
tin đại chúng, tôn giáo, môi trường văn hóa, … góp phần bổ sung, hoàn thiện
năng lực cá nhân.
- Năng lực và các thành tố của nó không bất biến mà có thể thay đổi từ
năng lực sơ đẳng, thụ động tới các năng lực bậc cao mang tính tự chủ cá nhân.
Vì vậy để xem xét năng lực của một cá nhân nào đó chúng ta không chỉ nhằm
tìm ra cá nhân đó có những thành tố năng lực nào mà còn phải chỉ ra mức độ
của những năng lực đó. Đỉnh cao nhất của năng lực là cá nhân có khả năng tự
chủ cao trong mọi hoạt động.
10


- Năng lực được hình thành và cải thiện liên tục trong suốt cuộc đời con
người vì sự phát triển năng lực về thực chất là làm thay đổi cấu trúc nhận thức
hành động của cá nhân chứ không chỉ đơn thuần là sự bổ sung các mảng kiến
thức riêng rẽ. Do đó, năng lực có thể bị yếu hoặc mất đi nếu như chúng không
được sử dụng một cách tích cực và thường xuyên.
- Các thành phần của năng lực chung thường đa dạng vì chúng được
quyết định tùy theo yêu cầu kinh tế, xã hội và đặc điểm văn hóa của quốc gia,
dân tộc và địa phương.
1.2.3. Phân loại năng lực

Có thể căn cứ vào các quan niệm hay các tiêu chí cụ thể để phân loại
năng lực, chẳng hạn như:
- Căn cứ vào cấu trúc tâm lí của năng lực: có loại năng lực ở dạng tri
thức (năng lực nhận thức), có loại năng lực ở dạng kĩ năng (năng lực làm - thực
hành), và có loại năng lực ở dạng xúc cảm, biểu cảm (năng lực xúc cảm).
- Căn cứ vào khả năng tham gia vào các lĩnh vực hoạt động trong đời
sống xã hội có thể chia năng lực thành 2 loại chính: năng lực chủ chốt và năng
lực chuyên biệt.
Năng lực chủ chốt là những năng lực cần thiết để cá nhân có thể tham gia
hiệu quả trong nhiều hoạt động và các bối cảnh khác nhau của đời sống xã hội,
đó là những năng lực quan trong xuyên suốt các lĩnh vực cuộc sống và đóng
góp cho sự thành công nói chung trong cuộc sống và xã hội. Năng lực này cần
thiết cho tất cả mọi người.
Năng lực chuyên biệt chỉ cần thiết đối với một số người hoặc một số
tình huống nhất định. Các năng lực chuyên biệt không thể thay thế các năng
lực chung. Do đặc điểm tích hợp của năng lực, khi thể hiện các năng lực
chuyên biệt trong các hoạt động của con người, có cả sự tham gia của các
yếu tố năng lực chung.
11


- Căn cứ vào các lĩnh vực hoạt động trong nhà trường phổ thông, năng
lực của học sinh phổ thông bao gồm: năng lực toán học, năng lực ngôn ngữ,
năng lực nghệ thuật, năng lực thể chất, …
Chương trình Giáo dục phổ thông tổng thể xác định hai nhóm năng lực: Năng
lực chung và năng lực chuyên môn. Nhóm năng lực cần hình thành, bồi dưỡng cho
HS phổ thông bao gồm: "Năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác,
năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo. Nhóm năng lực chuyên môn bao gồm: năng
lực ngôn ngữ, năng lực tính toán, năng lực tìm hiểu tự nhiên và xã hội, năng lực công
nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm mĩ, năng lực thể chất" [4].

Như vậy, tuỳ theo căn cứ, mục đích mà mỗi một lĩnh vực có những cách
phân loại khác nhau. Trong trường phổ thông nói chung và tiểu học nói riêng
thì việc phân loại năng lực sẽ dựa vào lĩnh vực hoạt động giáo dục.
1.2.4. Các năng lực cần hình thành và phát triển trong dạy học môn Toán ở
trường phổ thông
Việc hình thành và phát triển các năng lực cho HS được thực hiện thông
qua nhiều hoạt động khác nhau, trong các lĩnh vực khác nhau ở nhà trường, gia
đình và cộng đồng. Trong nhà trường, hoạt động chủ yếu là dạy và học, trong
đó giáo dục toán học đóng một vai trò không nhỏ trong việc hình thành và phát
triển năng lực của HS.
Có nhiều cách hệ thống các năng lực cần hình thành và phát triển trong
dạy học môn Toán ở trường phổ thông nhìn từ các góc độ khác nhau. Tuy
nhiên, theo Trần Kiều [29] thì những năng lực cần thiết hình thành và phát triển
cho HS thông qua dạy học môn Toán bao gồm:
- Năng lực tư duy: Các thao tác tư duy chung như phân tích và tổng hợp,
so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, … đặc biệt cần chú ý đến yếu tố tư duy
toán học đặc thù như tư duy lôgic trong suy diễn, quy nạp, lập luận; đồng thời
coi trọng tư duy phê phán, tư duy sáng tạo cũng như các yếu tố dự đoán, tìm
tòi, trực giác toán học, tưởng tượng không gian.

12


- Năng lực giải quyết vấn đề: Đây là một trong những năng lực mà môn
Toán có nhiều thuận lợi để phát triển cho người học qua việc tiếp nhận khái
niệm, chứng minh các mệnh đề toán học và giải toán.
- Năng lực mô hình hóa toán học: Từ các tình huống thực tiễn giả định
hoặc tình huống thực trong cuộc sống để chuyển thành mô hình toán học và từ
đó sử dụng các phương pháp toán học để làm việc với mô hình tìm ra lời giải.
- Năng lực giao tiếp: Liên quan đến việc sử dụng hiệu quả các biểu diễn

toán học (kí hiệu, sơ đồ, hình ảnh, chữ, các liên kết lôgic toán học,…) kết hợp
với NNTN (tiếng Việt). Năng lực giao tiếp thông qua việc sử dụng NNTH để
tìm hiểu các văn bản toán học, thông tin toán học, giải quyết các vấn đề, câu
hỏi, tình huống, bài tập toán học.
1.3. Năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học
1.3.1. Sơ lược về ngôn ngữ toán học
1.3.1.1. Quan niệm
Các nhà nghiên cứu giáo dục toán học ở Việt Nam đã dành sự quan tâm
ngày càng sâu sắc, đầy đủ hơn đến vấn đề NNTH. Tác giả Nguyễn Bá Kim cho
rằng trong dạy học môn Toán, việc sử dụng các sơ đồ hình vẽ, đồ thị, bảng,
công thức là rất quan trọng và xem chúng như là một dạng của NNTH cần được
hình thành, bồi dưỡng, rèn luyện cho HS trong dạy học môn Toán [32].
Tác giả Hà Sĩ Hồ cho rằng NNTH là một hệ thống các thuật ngữ, kí hiệu
toán học chủ yêu ở dạng ngôn ngữ viết. Các kí hiệu này có tính chất quy ước để
diễn đạt nội dung toán học đảm bảo tính lô gic, chính xác và ngắn gọn [17].
Một số tác giả khác trong các nghiên cứu [39], [26], [6] có những quan
niệm về NNTH, có thể hiểu khái quát như sau: NNTH bao gồm các thuật ngữ
toán học, các kí hiệu toán học, biểu tượng toán học và các quy tắc kết hợp
chúng dùng đễ diễn đạt các đối tượng và các mối quan hệ toán học trong giao
tiếp, tư duy toán học.

13


Trong đó, các kí hiệu toán học gồm các chữ số, chữ cái, kí tự alphabetic,
dấu phép toán, dấu quan hệ, dấu các lượng từ và các dấu ngoặc được dùng
trong toán học.
Thuật ngữ toán học bao gồm các từ, cụm từ là tên gọi của các đối tượng,
các quan hệ trong toán học. Chẳng hạn: hình tam giác, hình tròn, dãy số, …
Biểu tượng toán học gồm các hình ảnh, hình vẽ, sơ đồ, mô hình, …

chuyển tải nội dung toán học.
Như vậy, theo quan điểm của luận văn, NNTH bao gồm các kí hiệu,
thuật ngữ và biểu tượng toán học. Để biểu diễn một đối tượng hay quan hệ toán
học thì có thể sử dụng NNTH ở dạng thuật ngữ, kí hiệu hoặc biểu tượng với các
liên kết toán học để tạo thành nội dung toán học có nghĩa.
1.3.1.2. Đặc điểm của ngôn ngữ toán học [17]
Các nhà nghiên cứu giáo dục toán học đã đưa ra quan niệm về NNTH
như sau:
- Ngôn ngữ toán học chủ yếu là ngôn ngữ sử dụng kí hiệu (gọi tắt là
ngôn ngữ kí hiệu)
Trong toán học có những kí hiệu đại diện cho các số như: a, b,…, 5, 7,…;
các lớp số như: N (tập hợp số tự nhiên), Z (tập hợp số nguyên),… ; các đại lượng
biến thiên như: x, y, u, v,… ; các quan hệ phép tính như: <, >, ×, +,…, hoặc các
kí hiệu khác như dấu ngoặc, dấu móc,… Cũng như trong NNTN, các từ tập hợp
theo những quy tắc ngữ pháp thành câu, trong ngôn ngữ toán học, các kí hiệu
cũng tập hợp theo những “quy tắc ngữ pháp” thành biểu thức hay công thức toán
học, diễn đạt các đối tượng hay mệnh đề toán học. Nếu chỉ đứng về mặt kí hiệu
đơn thuần thì khó có thể nói kí hiệu “+” và từ “cộng” có gì khác nhau về chất
nhưng để diễn đạt một quan hệ phức tạp hay những quan hệ tồn tại trong nhiều
đối tượng bản chất khác nhau thì mệnh đề diễn đạt bằng ngôn ngữ kí hiệu có ưu
thế hơn hẳn mệnh đề diễn đạt bằng lời văn của NNTN ở tính ngắn gọn, cô đọng
và tính tổng quát của nó. Việc tạo ra ngôn ngữ kí hiệu có tính chất quốc tế sẽ
khắc phục được những trở ngại về ngôn ngữ giao lưu toán học.
14


Cũng như trong NNTN, không có các từ đồng âm, đồng nghĩa thì ngôn
ngữ không hoạt động được, trong NNTH cũng có những kí hiệu khác nhau để
chỉ cùng một đối tượng hoặc một kí hiệu với những nội dung cụ thể khác
nhau… Chẳng hạn các kí hiệu 7 + 5, 3 × 4 là khác nhau nhưng biểu thị cùng

một đối tượng (số mười hai). Việc lựa chọn này vừa nói lên mặt chính xác vừa
nói lên mặt uyển chuyển của ngôn ngữ kí hiệu này.
- Ngôn ngữ toán học chủ yếu là ngôn ngữ “viết”
Đối với toán học ngôn ngữ viết là ngôn ngữ duy nhất. Nói như vậy không
có nghĩa là toán học hoàn toàn không dùng ngôn ngữ “lời nói” (ngôn ngữ tự
nhiên) mà toán học sử dụng các kí hiệu bên cạnh các từ của NNTN theo nghĩa đã
được chính xác hóa. Nhưng NNTN ở đây có vai trò và chức năng khác: nó dùng
để phát biểu vấn đề, “phiên dịch” một phát biểu viết. Chẳng hạn viết 2 + 3 = 5 có
thể “phiên dịch” theo văn nói bằng nhiều cách: tổng của 2 và 3 bằng 5 hay 2
cộng với 3 thành 5 hoặc thêm 3 vào 2 được 5. Mặt khác nó dùng để diễn đạt các
suy luận khi cần thiết. Nhưng các biến đổi, các thao tác trên ngôn ngữ kí hiệu
của toán học thì không có cái tương đương trong ngôn ngữ tự nhiên. Hình vẽ, sơ
đồ, đồ thị,… đều là thứ ngôn ngữ “viết” riêng của ngôn ngữ kí hiệu.
Khi nói rằng NNTH chủ yếu là ngôn ngữ viết, cần lưu ý rằng trong toán
học (ở các lớp dưới của trường phổ thông) một cái được biểu đạt có thể ứng
với 3 cái biểu đạt, một bằng biểu đạt âm thanh, một bằng chữ viết thông thường
và một bằng chữ viết kí hiệu. Chẳng hạn số chín có một biểu đạt âm thanh khi
ta đọc số đó, về mặt chữ viết nó được biểu đạt bằng từ “chín” và kí hiệu “9”.
Điều này không phải không gây ra những khó khăn rất lớn cho HS tiểu học khi
chuyển từ ngôn ngữ nói sang ngôn ngữ viết, nhất là đối với các số lớn như
mười tám, một trăm hai mươi mốt,…
- NNTH vừa chặt chẽ vừa uyển chuyển
Ta đã thấy rằng hiểu nghĩa của NNTH chủ yếu là nắm vững các quy tắc
của nó, là biết rõ các kí hiệu dùng trong văn tự toán học, trong công thức toán

15


học được liên kết với nhau theo quy tắc nào, liên quan tới các quy định, tính
chất cho phép nào của những biến đổi. Như vậy “nghĩa” của NNTH chủ yếu

nằm trong cú pháp.
NNTH vừa có tính chặt chẽ (mỗi từ, mỗi kí hiệu đều có một nghĩa xác
định được bảo đảm bởi một hệ thống quy tắc) vừa có tính chất uyển chuyển
(diễn tả được các đối tượng, quan hệ của những lĩnh vực khác nhau). Hai tính
chất trên bề ngoài có vẻ mâu thuẫn nhưng thực ra chúng bổ sung cho nhau, là
một đặc điểm của toán học hiện đại.
- Hiện tượng “trồi nghĩa” và “biến nghĩa”
Trong NNTH, ngoài các kí hiệu, còn các từ của NNTN, đồng thời có một
số từ được tạo ra riêng cho nó, không có từ đồng âm trong ngôn ngữ tự nhiên,
đó là các thuật ngữ riêng của toán học như bản số, tích Đề các,… Khi học toán,
học sinh làm quen dần với chúng làm cho vốn từ vựng phong phú dần lên.
Đáng chú ý là có nhiều từ lấy ở NNTN để sử dụng coi như thuật ngữ
toán học. Các thuật ngữ này đều được định nghĩa chính xác. Chẳng hạn từ
“đường tròn” trong NNTN chỉ nói lên một dạng đặc biệt của một loại hình
phẳng, còn thuật ngữ “đường tròn” được định nghĩa chính xác trên cơ sở các
đặc trưng về lượng (tập hợp các điểm trong mặt phẳng cách đều 1 điểm một
khoảng cách xác định). Đôi khi để tránh nhầm lẫn, người ta thay từ của NNTN
bằng thuật ngữ khác.
Tuy nhiên trong toán học ta còn gặp không ít thuật ngữ được sử dụng mà
không được định nghĩa tường minh. Chẳng hạn trong lý thuyết tập hợp, “tập
hợp” được coi là khái niệm cơ sở không định nghĩa nhưng đã nêu ra hai cách để
định hình nó: đó là cách xác định chỉ ra tất cả các phần tử (xác định theo ngoại
diên) và bằng cách nêu ra tính chất đặc trưng chung của các phần tử (xác định
theo nội hàm). Trong NNTN, từ “tập hợp” được hiểu một cách trực giác còn
trong toán học, thuật ngữ “tập hợp” được hiểu theo trừu tượng hóa.

16