HỆ THỨC VIET TOÁN THCS HỆ THỨC VI ET

Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
WWW.VNMATH.COM
Từ bài toán đơn giản không giải phơng trình tính tổng và
tích 2 nghiệm của phơng trình bậc 2 , học sinh có phơng tiện
là hệ thức Vi - ét để tính toán . Hệ thức còn giúp học sinh xét
dấu 2 nghiệm của phơng trình mà khong biết cụ thể mỗi
nghiệm là bao nhiêu .
Giải và biện luận phơng trình bậc 2 có chứa tham số là loại
toán khó . Tiếp tục bài toán này thờng kèm theo yêu cầu tính giá
trị biểu thức , quan hệ giữa 2 nghiệm , các phép tính trên 2
nghiệm ... của phơng trình. Việc tính mỗi nghiệm của phơng
trình theo công thức nghiệm là vô cùng khó khăn vì phơng
trình đang chứa tham số . Trong trờng hợp đó hệ thức Vi - ét là
1 phơng tiện hiệu quả giúp học sinh giải loại toán này .
Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi ét đa dạng có mặt trong
nhiều kỳ thi quan trọng nh thi học kỳ 2, thi tuyển sinh vào lớp 10 ,
thi vào các trờng chuyên lớp chọn ...Trong bài viết này , tôi hy
vọng đóng góp thêm 1 số kinh nghiệm hớng dẫn học sinh làm
quen và tiến tới giải tốt các bài cần áp dụng hệ thức Vi - ét
A) Kiến thức cơ bản :
1) Nếu phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có 2
nghiệm phân biệt x1 , x2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là:
c
b
S = x1 x2 a và P = x1.x2
a
2 ) Tính nhẩm nghiệm
a ) Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình ax 2 + bx + c = 0 ( a
c
0 ) có các nghiệm số là x1 1, x2
a

b ) Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình ax 2 + bx + c = 0 ( a
0 ) có các nghiệm số là x1 1, x2

c
a

3 ) Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng
Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và
v là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai :
x 2 Sx P 0
B ) Bài tập áp dụng và bài tập phát triển , nâng cao
1 ) Loại toán xét dấu nghiệm của phơng trình mà không
giải phơng trình
Bài tập 1: Không giải phơng trình cho biết dấu các nghiệm ?
a) x 2 13 x 40 0
b) 5 x 2 7 x 1 0
c) 3 x 2 5 x 1 0
Giải
WWW.VNMATH.COM

1


Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
WWW.VNMATH.COM
b
a) Theo hệ thức Vi - ét có S = x1 x2 13
a
c
P = x1.x2 40

a
Vì P > 0 nên 2 nghiệm x 1 và x 2 cùng dấu
S > 0 nên 2 nghiệm cùng dấu dơng
b)

Theo hệ thức Vi ét có

c
a

1
5

P = x1.x2 0 nên 2

nghiệm cùng dấu

b 7

0 nên 2 nghiệm cùng dấu âm
a
5
c 1
0 nên 2 nghiệm trái dấu
c) P = x1.x2
a 3
b
5
S = x1 x2 0
a

3

S = x1 x2

Bài tập 2 : Cho phơng trình
x 2 10 x m2 0 (1)
Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với
mọi giá trị của
m 0 . Nghiệm mang dấu nào
có
giá
trị
tuyệt
đối
lớn
hơn
?
Giải
Ta có a = 1 > 0 , c = - m < 0 với mọi m 0
Vì a , c trái dấu nên phơng trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm
phân biệt . Theo hệ thức Vi - ét : P = x1 , x2 m 2 < 0 . Do đó x1
và x2 trái dấu
S = x1 x2 10 nên nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối
lớn hơn
Bài tập 3:
Cho phơng trình x 2 ( m 1) x m 2 m 2 0 (1)
(với m là
tham số)
a) Giải phơng trình trên với m = 2
b) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu

m
c) Gọi 2 nghiệm của phơng trình đã cho là x 1 , x 2 Tìm m để
biểu thức
3
3
x1 x2
A đạt giá trị lớn nhất
x2 x1
Giải :
a) Thay m = 2 vào phơng trình ta đợc
2

WWW.VNMATH.COM

2


Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
WWW.VNMATH.COM
x2 x 4 0
1 4.(4) 17 0

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
x1
x2

1

17
2

1

17
2

b)Xét

1
1
3
3
1 2
ac m2 m 2 (m2 m 2) (m 2 2 m 1 )
(m ) 1
2
4 4
4
2
2

2

3
3
1
1 3
Có
m

m
1
1
P
1
P 0 m
0


4
4
2
2 4
Vậy phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu m
c)
Gọi 2
nghiệm của phơng trình đã cho là x 1 , x 2
Từ kết quả phần b có x 1 , x 2 0 , biểu thức A đợc xác định với
x1 3
x2
mọi x 1 , x 2 tính theo m và ( ) 0; ( ) 0
x2
x1
x1 3
x
1
( 2 )3
Đặt ( ) a Với a > 0
x1

a
x2

Có A = -a +

1
a

mang giá trị âm

A đạt giá trị lớn nhất <=> - A có giá trị nhỏ nhất
1 a2 1
Có A = a +
a
a
Theo bất đẳng thức Cô si áp dụng cho hai số không âm a và
1
1
( vì a > 0 và 0 )
a
a

1
1
) : 2 a.
a
a
1
Có ( a ) : 2 1
a

1
a
2
a
(a

Vậy A 2 nên A có giá trị nhỏ nhất là 2 <=> A 2 nên A có
GTLN là - 2

WWW.VNMATH.COM

3


Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
WWW.VNMATH.COM

* A 2 a

1
2
a

1
2
a
a.a 1 2a
a

a 2 2a 1 0

a 2 2a 1 0
( a 1) 2 0
a 1

( thoả mãn điều kiện a > 0 )

x1 3
x1
thì ( ) 1 1 x1 x2
x2
x2

quả x1 x2 có S x1 x2 x2 x2 0

Với a = 1

Theo kết
b
a

(m 1) 0
m 1 0
m 1
* Kết luận : Với m = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là - 2
2) Loại toán tính giá trị biểu thức chứa tổng, tích 2
nghiệm
x 2 (m 1) x m 2 m 2 0
Bài tập 4: Cho phơng trình :
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái
dấu với mọi m

b) Gọi 2 nghiệm là x 1 và x 2 tìm giá trị của m để x12 x22
đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
a ) Ta có a = 1 > 0
c m 2 m 2 ( m 2 m 2)
1 7
( m 2 m )
4 4
1
7
7
( m ) 2
0
2
4
4
a, c trái dấu nên phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm phân
biệt với mọi tham số m

WWW.VNMATH.COM

4


Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
WWW.VNMATH.COM
c
Theo hệ thức Vi ét
P = x1.x2 m 2 m 2 0 do đó 2
a

nghiệm trái dấu
b) Ta có
2
2
x 2 x 2 ( x x )2 2 x x (m 1) 2(m m 2)
1

2

1

2

1 2

= m 2m 1 2m 2 2m 4 3m 2 4m 5
2

5
2 4 11
2 4
3
m m 3( m 2 2m )
3
3
3 9 9


2
11 11

3(m ) 2
3
3 3

Vậy Min x12 x22

2
11
khi m =
3
3

Bài tập 5:
Cho phơng trình 2 x 2 (m 2) x 7 m2 0
Tìm giá trị dơng của m để phơng trình có 2 nghiệm trái
dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của
nghiệm kia
Giải :
Ta có a = 2 > 0
Phong trình có 2 nghiệm trái dấu 7 m2 0 7 m 7
Với điều kiện này giả sử x 1 < 0 ,x 2 > 0 theo đề ra ta có
x1

1
7 m 2
x1 x2 1 (
) 1 7 m2 2 m2 5 m 5
x2
2

Vì m > 0 nên ta chọn
m =
5 ( thoả mãn điều kiện
7 m 7)
Kết luận : Vậy với m = 5 thì phơng trình đã cho có 2
nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng
ngịch đảo của nghiệm kia .
Bài tập 6 :
Xét phơng trình : x 4 2(m 2 2) 5m 2 3 0 (1) với m là tham
số
1)
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m
phơng trình (1) luôn có 4 nghiệm phân biệt
2)
Gọi các nghiệm của phơng trình (1) là
x1 , x2 , x3 , x4 . Hãy tính theo m giá trị của biểu thức M =
1
1
1
1
2 2 2
2
x1
x2
x3
x4

WWW.VNMATH.COM

5

Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
WWW.VNMATH.COM
Giải :
2
1) Đặt x = y
( ĐK : y 0 ) Pt (1) trở thành
2
2
y 2( m 2) y 5m 2 3 0 (2)
2

2
,
(m 2 2)

(5m 3)
( m 2 2) 2 (5m 2 3)

m 4 4m 2 4 5m 2 3
m4 m2 1
1 1 3

2 4 4
1
3
(m2 ) 2
2
4

( m 2 ) 2 2m 2 .

1 2
1
3 3
) 0 ( m 2 ) 2
nên
2
2
4 4
Phơng trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi ét có
b 2(m 2 2)
S y1 y2

2( m 2 2)
a
1
2
Có ( m

c
5m 2 3
a
Xét P 5m 2 3 có m 2
0 5
m2

, 0

P y1. y2

0

5m 2

3 3

nên P > 0 với mọi m Z
y1 , y2 cùng dấu

b
2(m 2 2) .
a
2
2
Vì m 0 m 2 2 2( m 2 2) 4
nên S > 0 y1 , y2 cùng dấu dơng (thoả mãn ĐK y 0)
Xét S y1 y2

Vậy phơng trình (2) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dơng
nên phơng trình (1) có 4 nghiệm phân biệt đối nhau từng
đôi một .
2) Theo kết quả phần a có x1 , x2 , x3 , x4 0
và x1
x3
M

y1 , x2 y1
y2 , x4 y2

1
1
1
1



2
2
2
( y1 )
( y1 )
( y2 )
( y2 ) 2

WWW.VNMATH.COM

6


Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
WWW.VNMATH.COM
1
1
1
1

y1
y1
y2
y2
2
2


y1
y2
2 y1 2 y2

y1. y2
2( y1 y2 )

y1. y2
Thay kết quả S và P vào M ta đợc

2.2( m 2 2) 4( m 2 2)
M

5m 2 3
5m 2 3
4(m 2 2)
Kết luận: M
5m 2 3
Bài tập 7:
Cho phơng trình x 2 2(m 1) x m 0 ( mlà tham số)
a)

Chứng minh : Phơng trình đã cho luôn
luôn có nghiệm với mọi m
b)
Trong trờng hợp m > 0 và x1 , x2 là các
nghiệm của phơng trình nói trên hãy tìm GTLN của biểu
x12 x2 2 3( x1 x2 ) 6
thức A
x1 x2
Giải:
a) , (m 1) m
2

( m 1) 2 m
m 2 2m 1 m
m2 m 1
1
1 3
m 2 2. .m
2
4 4
1
3
(m )2
2
4
1
1
3 3
Vì (m ) 2 0 nên (m ) 2
2

2
4 4
,
0m Z Phơng trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân
biệt với mọi giá trị m
WWW.VNMATH.COM

7


Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
WWW.VNMATH.COM
2
2
x x2 3( x1 x2 ) 6
b) A 1
x1 x2
Theo kết quả phần a phơng trình đã cho luôn có 2 nghiệm
phân biệt
áp dụng hệ thức Vi ét ta có
S = x1 x2

b
2m 2
a

P = x1.x2

c
m

a

Vì P = m > 0 nên x2 , x2 0 biểu thức A đợc xác định với mọi
giá trị x1 , x2 x1 , x2 tính theo m

x12 2 x1 x2 x22 2 x1 x2 3( x1 x2 ) 6
A
x1.x2
( x1 x2 ) 2 2 x1.x2 3( x1 x2 ) 6
=
x1 x2
Thay S và P vào biểu thức A ta đợc :
(2m 2) 2 2m 3(2m 2) 6
A
m
4m 2 8m 4 2m 3(2m 2) 6

m
2
2
4m 4
m 1
m2 1

4(
) 4(
)
m
m
m m

1
4( m )
m

Theo bất dẳng thức Cô Si vì ( m
0và

1
1
) : 2 m.
m
m

( do m >

1
0)
m

1
2. 1
m
1
m 2
m
1
4( m ) 8
m
Vậy biểu thức A có GTNN là 8
m

Trong bất đẳng thức Cô Si dấu bằng xảy ra m =
WWW.VNMATH.COM

1
m
8


Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
WWW.VNMATH.COM
m2 1
m 1
Với m = 1 thoả mãn điều kiện m > 0
m = -1 không thoả mãn điều kiện m > 0
Vậy với m = 1 thì A có GTNN bằng 8
Bài tập 8 :
Xét phuơng trình mx 2 + (2m -1) x + m -2 = 0 (1)
với m
là tham số
a ) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn

x12 x22 x1 x2 4
b) Chứng minh rằng nếu m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp
thì phơng trình có nghiệm số hữu tỉ
Giải
m 0

a ) Điều kiện để m có 2 nghiệm
0

Xét (2m 1) 2 4m(m 2)
4 m 2 4 m 1 4 m 2 8m
4m 1
1
4
Vậy điều kiện để phơng trình có 2 nghiệm là m 0 và m

0
4m 1 0

m

1

4

Với điều kiện trên theo hệ thức Vi ét có
S x1 x2

b 1 2m

a
m

c m2

a
m
2

2
A x1 x2 x1 x2

P x1.x2
Gọi

( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2
( x1 x2 ) 2 3 x1 x2
m 0

áp dụng hệ thức Vi ét có A = 4 ( ĐK 1 )
m


4
1 2m 2
m2
(
) 3
4
m
m

WWW.VNMATH.COM

9


Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
WWW.VNMATH.COM

1 4m 4m 2 3m 6

4
m2
m
1 4m 4m 2 3m 2 6m 4m 2


3m 2 2m 1 0
3m2 2m 1 0

Có a + b + c = 3 2 1 = 0 => m 1 = 1 ( thoả mãn điều
1
4

kiện m 0 và m )
m2 =
1
4

1
( không thoả mãn điều
3

kiện m 0 và m )
Vậy với m = 1 thì phơng trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả
2
2
mãn x1 x2 x1 x2 4
c)

Gọi n N * ta có m = n( n + 1 ) là tích
của 2 số tự nhiên liên tiếp
( TMĐK m 0 )
d)
Theo kết quả phần a ta có
4m 1 4n( n 1) 1 4 n 2 4n 1 (2n 1) 2

0 vậy phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
2n 1 2n 1 ( do n > 0 )
1 2m 1 2n( n 1) 2n 1 1 2n 2 2n 2n 1
x1


2m
2n(n 1)
2n(2 n 1)
2 2n 2
2(1 n 2 ) 2(1 n)(1 n) 1 n




2n(n 1) 2n(n 1)
2n( n 1)
n

1 2n 1 2n(n 1) 2n 1 1 2n 2 2n 2n 1
x2

2m
2n(n 1)
2n(n 1)
2n 2 4n 2n(n 2)
n2



2n(n 1)
2n(n 1)
n 1
1 n
là phân số Q
n
n2
=> x2
là phân số Q
n 1

Vì n N * nên 1- n Z và n N * => x1
tử n +2 N * và n +1 N *

Kết luận:Với m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phơng
trình có nghiệm số hữu tỉ
3 ) Loại toán tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Bài tập 9 : Tìm hai số x y biết
WWW.VNMATH.COM

10

Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
WWW.VNMATH.COM
a)
x + y = 11 và xy = 28
b)
x y = 5 và xy = 66
Giải :
a ) Với x + y = 11 và xy = 28 theo kết quả hệ thức Vi ét x ,y
là nghiệm của phơng trình x 2 - 11x + 28 = 0
b 2 4ac = 121 112 = 9 > 0
3 Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt là
11 3
11 3
x1
7; x2
=4
2
2
Vậy x = 7 thì y = 4
x = 4 thì y = 7
x y 5 x ( y ) 5

b) Ta có
xy 6
x ( y ) 66
có x , y là nghiệm của phơng trình x 2 - 5x - 66 = 0
b 2 4ac = 25 + 264 = 289 > 0 , = 17
Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt là
5 17

5 17
x1
11; x2
6
2
2
Vậy x = 11 thì y = - 6 còn x = - 6 thì y = 11
Bài tập 10 : Tìm hai số x y biết x 2 + y 2 = 25 và xy = 12
Giải :
Ta có x 2 + y 2 = 25 <=> (x + y ) 2 - 2xy = 25 <=> (x + y ) 2 2.12 = 25
(x + y ) 2 = 49 <=> x +y = 7
* Trờng hợp x + y = 7 và xy =12
Ta có x và y là nghiệm của phơng trình x 2 - 7x +12 = 0
b 2 4ac = 49 4.12 = 1
7 1
7 1
x1
4; x2
3
2
2
* Trờng hợp x + y = - 7 và xy =12
Ta có x và y là nghiệm của phơng trình x 2 +7x +12 = 0
Giải phơng trình ta đợc x 3 = -3 ; x 4 = - 4
các cặp số x, y cần tìm là (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- 4 ; - 3) ; ( -3 ; -4)
4 ) Loại toán tìm biểu thức liên hệ giữa tổng tích 2
nghiệm không phụ thuộc
tham số :
Bài tập 11 : Cho phơng trình x 2 - ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm
x1 , x2

a) Không giải phơng trình hãy tính giá trị biểu thức
WWW.VNMATH.COM

11


Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
WWW.VNMATH.COM
2
2
3 x 3x2 3
M 12
x1 x2 x22 x1
b) Tìm a để tổng các bình phơng 2 nghiệm số đạt GTNN ?

a) M

3( x12 x22 1)

x1 x2 ( x1 x2 )

Giải
3
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 1



x1 x2 ( x1 x2 )

Theo hệ thức Vi ét có S x1 x2 a; P x1.x2 a 1

3
a 2 2( a 1) 1

3 (a 1)(a 1) 2( a 1)
Vậy M
a (a 1)
a (a 1)


3(a 1) 2 3( a 1) 2 3( a 1)


a(a 1)
a( a 1)
a

b) Ta có S x1 x2 a

P x1.x2 a 1

(ĐK : a 0, a 1 )

(1)
(2)

Trừ 2 vế của (1) cho (2) ta có x1 x2 x1 x2 1 , đây là biểu thức
liên hệ giữa x 1 và x 2 không phụ thuộc vào a
C) Các bài tập tơng tự
Bài tập 1 : Không giải phơng trình cho biết dấu các nghiệm ?
a)

x 2 - 6x +8 = 0
b)
11 x 2 +13x -24 =0
c)
2 x 2 - 6x + 7 = 0
Bài tập 2 : Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k , phơng trình
a)
7 x 2 + kx -23 = 0 có 2 nghiệm trái dấu
b)
12 x 2 +70x + k 2 +1 = 0 không thể có 2
nghiệm trái dấu
c)
x 2 - ( k +1)x + k = 0 có một nghiệm
bằng 1
Bài tập 3 : Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh
a)
mx 2 - 2(m +1)x + m + 2 = 0
b)
(m -1) x 2 + 3m + 2m + 1 = 0
c)
(1 2m) x 2 + (2m +1)x -2 = 0
Bài tập 4 : Cho phơng trình x 2 - 2m + m - 4 = 0
a)
Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm
đối nhau . Tính 2 nghiệm đó
b)
Định m để phơng trình có 2 nghiệm
thực dơng
WWW.VNMATH.COM

12


Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
WWW.VNMATH.COM
Bài tập 5 : ( đề TS chuyên Hạ Long năm học 2002 -2003 )
(2,5 đ)
2
Cho phơng trình x - mx +1 = 0 ( m là tham số )
a)
Giải phơng trình trên khi m = 5
b)
Với m = 5 , giả sử phơng trình đã cho
khi đó có 2 nghiệm là x1 , x2
Không giải phơng trình , hãy tính giá trị của biểu thức
3 x12 5 x1 x2 3 x22
A
x1 x23 x13 x2
Hớng dẫn giải:
a) Với m = 5 phơng trình trở thành x 2 -5x +1 = 0


x2

= 21 , phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1

(5 21)
2

,

5 21
2

b)Với m =

5 , ta có phơng trình bậc hai : x 2 5 x 1 0

Theo hệ thức Vi ét :

A

S x1 x2 5 và P x1.x2 1

3 x12 5 x1 x2 3 x22
x1 x23 x13 x2

3( x12 2 x1 x2 x22 ) x1 x2

x1 x2
( x12 x22 2 x1 x2 ) 2 x1 x2


3( x1 x2 ) 2 x1 x2

x1 x2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2


Thay S và P vào A ta đợc :

14
A
3
Bài tập 6 :
x 2 2(m 1) x 2m 2 3m 1 0
Cho phơng trình bậc 2 ẩn x :
(1)
a)
Chứng minh rằng phơng trình có
nghiệm khi và chỉ khi 0 m 1
b)
Gọi x1 , x2 là nghiệm của phơng trình ,
chứng minh rằng
8
x1 x2 x1 x2
8
Hớng dẫn giải:
a)
Phơng
trình
(1)
có
nghiệm
<=>
WWW.VNMATH.COM

13


Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình

WWW.VNMATH.COM
,
2
2
( m 1) (2m 3m 1) 0
2
m
m
0

m(m 1) 0

0 hoặc m 1 0

m

0 m 1


c)
Khi m 1 , theo hệ thức Vi ét có
S x1 x2 2(m 1)

P x1.x2 2m 2 3m 1
Q x1 x2 x1.x2 2(m 1) 2m 2 3m 1 2m 2 m 1
2 m2

m 1
1
9

2 (m )2
2 2
4
16

1
1 3
1
9
0 m 1 m (m )2
4
4 4
4
16

Vì

1
9
(m ) 2
0
4
16
1 9
1
9
Q 2 ( m ) 2 2( m ) 2
16
4 8
4

1 2
1


)
0
2( m
) 2 0
Vì 2(m
4
4

9
8

2( m

1 2
)
4

do đó

9
8

Q

9

8

Bài tập 7 : Cho phơng trình : 2 x 2 5 x 1 0
Tính x1 x2 x2 x1
(Với x 1 , x 2 là 2 nghiệm của phơng
trình)
Hớng dẫn giải:
5
1
1
Theo định lý Vi ét ta có x1 x2 ; x1 x2 x1 x2
2
2
2
Ta có A x1 x2 x2 x1

x1 x2 ( x1

Nếu S x1 x2 S 2 x1 x2 2 x1 x2
Do đó A = x1 x2 x2


1
2

x2 )
5
2 S
2

52 2
2

x1

52 2
1

5 2 2
2
2

Bài tập 8 : a) Xác định m để phơng trình
2 x 2 2mx m 2 2 0 có 2 nghiệm phân biệt
b) Gọi 2 nghiệm là x 1 , x 2 , Tìm GTNN của biểu thức
A 2 x1 x2 x1 x2 4
Hớng dẫn giải:
WWW.VNMATH.COM

14


Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
WWW.VNMATH.COM
,
2
2
a) m 2(m 2) m2 4
Phơng trình có 2 nghiệm
0

m 2 0
m2


4

2 m 2
m2 2
b)Theo định lý Vi ét có x1 x2 m; x1 x2
2
Do đó ta có A 2 x1 x2 x1 x2 4 (m 2)(m 3)

Vì m 2; 2 nên (m + 2)(m - 3) 0

1
25 25

Khi đó A (m 2)(3 m) m 2 m 6 ( m ) 2
2
4
4

Vậy GTNN của A là

25
khi và chỉ khi m = 2
4

Bài tập 9 :

1) Chứng tỏ rằng phơng trình x 2 4 x 1 0 có 2 nghiệm
phân biệt x 1 , x 2
Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là x12 và x22
2) Tìm mđể phơng trình x 2 2mx 2m 3 0 có hai nghiệm
cùng dấu .Khi đó hai nghiệm cùng dấu âm hay cùng dấu dơng ?
Hớng dẫn giải:
1) , 4 1 0 nên phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
S x12 x22 ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 42 2.1 14
P x12 x22 ( x1 x2 ) 2 1

vậy phơng trình cần tìm là x 2 - 14x +1 = 0
2) Phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu

(m 1) 2 2 0

, m 2 2m 3 0
3


3
m
2
x1 x2 2m 3 0
m


2
Khi đó x1 x2 2m 0 Suy ra phơng trình có 2 nghiệm dơng
Bài tập 10 : Xét phơng trình mx 2 (2m 1) x m 2 0 vói m là
tham số

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm là x 1 , x 2 thoả mãn
x12 x22 x1 x2 4

b) Chứng minh rằng nếu m là tích của hai số tự nhiên liên tiếp
thì phơng trình có nghiệm hữu tỉ

WWW.VNMATH.COM

15


T¹ Quèc Kh¸nh - Tæ To¸n - Trêng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh
WWW.VNMATH.COM
§ång Híi, ngµy 25 th¸ng 10 n¨m 2009

WWW.VNMATH.COM

16


T¹ Quèc Kh¸nh - Tæ To¸n - Trêng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh
WWW.VNMATH.COM

WWW.VNMATH.COM

17