Giáo án Giải tích 11 chương 4 bài 1: Giới hạn của dãy số Toán giải tích 11

Giáo án giải tích 11 – Cơ bản

Bài 1:

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
***&&***

I. Mục tiêu:
1. Kiến thức:
HS nắm được:
- Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số, một vài giới hạn đặc biệt, giới hạn của tổng hiệu, tích, thương.
- Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
2. Kĩ năng:
- Vận dụng thành thạo tính chất của giới hạn để tìm giới hạn của dãy số.
- Vận dụng giới hạn của dãy số để tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
3. Thái độ:
- Tự giác, tích cực trong học tập.
- Biết phân biệt rõ các khái niệm cơ bản và vận dụng trong từng trường hợp cụ thể.
- Tư duy các vấn đề của toán học một cách lôgic và hệ thống.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
1. Chuẩn bị của giáo viên:
- Chuẩn bị các câu hỏi gợi mở.
- Chuẩn bị các ví dụ sinh động.
- Chuẩn bị phấn màu và một số đồ dùng khác.
2. Chuẩn bị của học sinh:
Cần ôn lại một số kiến thức đã học ở lớp dưới.
III. Nội dung và tiến trình lên lớp:
1. Ổn định lớp.
2. Kiểm tra bài cũ: không kiểm tra
3. Nội dung bài mới:
HOẠT ĐỘNG 1

I. Giới hạn hữu hạn của dãy sô
1. Định nghĩa:
*GV cho HS thực hiện HĐ1 sgk
Hãy điền vào bảng sau:
n
1
2
3
4
5
un
*Sau đó GV đưa ra các câu hỏi sau:
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
+ Nhận xét xem khoảng cách từ un tới 0 thay đổi thế nào + Khoảng cách đó bằng o.
khi n trở nên rất lớn?
+ n bằng bao nhiêu thì khoảng cách từ un đến 0 bằng
+ n = 100
0,01?
+ n bằng bao nhiêu thì khoảng cách từ un đến 0 bằng
+ n = 1000
0,001?
* GV đặt vấn đề: Ta biết rằng dãy số đã cho là dãy số giảm.
Vậy: Bắt đầu từ số hạng un nào của dãy số thì khoảng các từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01? 0,001?
*GV cho HS trả lời, sau đó cho HS phát biểu định nghĩa 1
Định nghĩa 1:
Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu u n có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý,
kể từ một số hạng nào đó trở đi.
u n 0 hay un  0 khi n  
Kí hiệu: nlim

 
* GV đưa ra câu hỏi củng cố định nghĩa:
Trang 1


Giáo án giải tích 11 – Cơ bản
+ Nêu một vài ví dụ về dãy số dần tới 0 khi n dần tới vô cực?
4
+ Dãy sô un =
có dần tới 0 khi n dần tới vô cực hay không?
n 1
* GV nêu luôn định nghĩa 2:
Định nghĩa 2: sgk
v n a hay vn  a khi n  
Kí hiệu: nlim
 
* Thực hiện ví dụ sau:
Hoạt động của giáo viên
3n  1
a) Cho dãy số (vn) với vn =
. Chứng minh rằng
n
lim v n 3 .
n  

Hoạt động của học sinh
v n  3 = lim 3n  1  3 = lim 1 =0
+ nlim
 
n  

n   n
n
v n = lim 3n  1 = 3
Vậy nlim
 
n  
n
2
n
1
 2
2n  1
v n  1 = lim
 1 = lim
+ nlim
=0
 
b) Cho dãy số (vn) với vn =
. Chứng minh rằng
n   2n  3
n   n
2n  3
v n = lim 2n  1 = 1
lim v n 1
Vậy nlim
 
n  
n   2n  3
HOẠT ĐỘNG 2:
2. Một vài giới hạn đặc biệt:

* GV nêu các kết quả:
1
1
lim k = 0 với k nguyên dương
a) lim = 0;
n   n
n   n
n
q = 0 nếu q < 1;
b) nlim
 
u n = lim c = c
c) Nếu un = c ( c là hằng số) thì nlim
 
n  
*GV nêu chú ý:
u n = a, ta viết tắt là limun = a
Từ nay về sau thay cho nlim
 
HOẠT ĐỘNG 3
II. Định lí về giới hạn hữu hạn:
* GV nêu định lí 1
a) nếu limun = a và limvn = b thì
- Lim(un + vn) = a + b;
- lim (un – vn) = a – b
un
a
- lim(un.vn) = a.b
;
- lim

= (nếu b 0)
vn
b
b) Nếu un  0 với mọi n và limun = a thì a 0 và lim u n = a
* Thực hiện ví dụ sau:
Hoạt động của giáo viên
2n  3n  1
a) Tìm lim
?
3n 2  3
+ Mẫu số và tử số là những đa thức bậc mấy?

Hoạt động của học sinh

2

+ Bậc 2

+ Chia cả tử số và mẫu số cho n2 ta được biểu thức nào?

2

+

+ Dựa vào định lí hãy tìm giới hạn của dãy số?
Trang 2

2n  3n  1
=
3n 2  3

3 1

n n2
3
3 2
n

2


Giáo án giải tích 11 – Cơ bản
2n 2  3n  1
3n 2  3
3 1
2  2
n n
= lim
3
3 2
n

+ lim

b) Tìm lim

2  9n
1 n

2

?

1  3n
?
2n  1
1  3n
d) Tìm lim
?
2n 2  1
1  3n
e) Tìm lim 2
2n  n  1
c)Tìm lim

=

2
3

2
n 2 ( 2  9)
2  9n 2
+ lim
= lim
n
1 n
1 n
2
2

n 2 9
9
2
n
n
= lim
= lim
=3
1
1
n( 2  1)
( 2  1)
n
n

HOẠT ĐỘNG 4
III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
*GV nêu định nghĩa, khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn:
Cấp số nhânn vô hạn (un) có công bội q, với q < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
+ Hãy tìm một số ví dụ về cấp số nhân lùi vô hạn?
*GV nêu tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) có công bội q. Khi đó,
S = u1 + u2 + u3 +…+ un +…
Vậy tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:
u1
S =
( q < 1)
1 q
* Thực hiện các ví dụ sau:
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh
a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un), với un =
1
1
1
2n
+ u1 = , q =
+ Hãy xác định u1, q trong cấp số nhân?
2
2
1
1
+ Hãy tính tổng?
u1
2
2
+S=
=
=
=1
1
1
1 q
1
2
2
1 1
1
1 n-1
b) Tính tổng 1 + + +

+…+( ) +…
3 9
27
3
1
+ Mỗi số hạng của tổng có thể lập thành cấp số nhân lùi + Là cấp số nhân có công bội q = 3
vô hạn hay không?
1
1
u1
3
+ Hãy tính tổng?
1 = 2 =
+S=
=
1 q 1
2
3
3
Trang 3


Giáo án giải tích 11 – Cơ bản
HOẠT ĐỘNG 5: củng cố
- Hãy nhắc lại định nghĩa giới hạn của dãy số?
- Nêu định lí về giới hạn hữu hạn?
- Một vài giới hạn đặc biệt?
- Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn?
IV. Dặn dò:
- Về học bài và làm các bài tập 2, 3, 4, 5.

- Xem phần còn lại của bài để tiết sau học tiếp.

Trang 4