Giáo án Giải tích 11 chương 4 bài 1: Giới hạn của dãy số Toán giải tích 11

ĐẠI SỐ 11
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Giúp học sinh nắm được các định nghĩa giới hạn dãy số, các giới hạn dãy
số và các giới hạn đặc biệt.
- Nắm được các định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số.
- Khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn và các công thức tính tổng của nó.
2. Kĩ năng
- Vận dụng định nghĩa vào giải một số bài toán đơn giản liên quan đến giới
hạn.
- Vận dụng định lí để tính giới hạn của các dãy số đơn giản.
- Vận dụng công thức tính tổng vào giải các bài toán liên quan có dạng đơn
giản.
3. Thái độ
Tự giác, tích cực trong học tập.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH.
1. Chuẩn bị của GV
Bài soạn, câu hỏi gợi mở, phấn màu, ..
2. Chuẩn bị của HS
Đọc trước bài và ôn lại một số kiến thức về mệnh đề.
III – TIẾN TRÌNH DẠY HỌC.
1. Ổn định tổ chức
11B1 Ngày giảng :
Sỹ số:
11B2 Ngày giảng :
Sỹ số:
2. Kiểm tra bài cũ
Thông qua các hoạt động trong giờ học
3. Nội dung bài mới

Hoạt động 1: Tìm hiểu định nghĩa dãy số có giới hạn (15’)

Hoạt động của GV và HS
GV: Hướng dẫn HS hình thành khái
niệm GH thông qua ví dụ
- Khoảng cách từ điểm un đến điểm 0
thay đổi như thế nào khi n đủ lớn?
HS: Nhìn vào hình biểu diễn dãy số
trên trục số để nhận xét.
- Tìm số hạng uk để từ số hạng đó trở

Nội dung chính
I. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1. Định nghĩa
1
Xét dãy số (un) với u n = n , tức là dãy số
1 1 1 1
1
1
1, , , , ,..., ,...  u n -0 = u n =
n
2 3 4 5
n

Khoảng cách từ điểm un đến điểm 0 trở
nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n


về sau khoảng cách từ nó đến số 0 nhỏ
hơn 0.01 ?. Nhỏ hơn 0.001? (GV

hướng dẫn hs thực hiện)
HS: Thực hiện theo nhóm
GV: Dựa vào việc thực hiện trên đưa
ra nhận xét rằng khoảng cách từ un
đến số 0 nhỏ bao nhiêu tùy ý, miễn là
chọn số n đủ lớn
GV: Tổng quát hoá đi đến định nghĩa

đủ lớn.
Như vậy mọi số hạng của dãy số đã cho,
kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị
tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý
cho trước. Ta nói rằng dãy số

1
có giới
n

hạn 0 khi n dần tới dương vô cực
*) Định nghĩa 1(Dãy số có giới hạn 0)
(SGK)
Kí hiệu: lim un = 0 ( un � +� khi n � +� )
n�+�

HS: Nắm bắt kiến thức
2
GV: Đặt vấn đề: Cho dãy số (un) với Ví dụ: Dãy số (un) : un = n 2 là dãy số có
1
giới hạn 0
un= 2+

n

-Hãy biểu diễn dãy lên trục số.
*) Định nghĩa 2 (Dãy số có giới hạn a)
-Khi n càng lớn thì un càng gần vối số
(SGK)
nào?
un = a ( un � a khi n � +� )
Kí hiệu: lim
n�+�
3n+1
HS: Đưa ra nhận xét un càng gần đến
Ví dụ: Cho dãy số (vn) với vn =
,
n
số 2
vn = 3
GV: Dựa vào nhận xét trên liên hệ với CMR: nlim
�+ �
phần 1 để đưa ra định nghĩa 2
Giải
lim (v n  3) = lim ( 3n+1  3) = lim 1 = 0
HS: Nắm bắt định nghĩa
n �+ �

n �+ �

n

n �+ �

n

lim v
1
2 n Vậy n �+ � n = 3
GV: cho dãy số un= 4 , vn= ( ) ,
n
5

wn= 3, y/c HS biểu diễn lên trục số 2. Một vài giới hạn đặc biệt
sau đó dự đoán giới hạn các dãy này
1
1
lim = 0 ; lim k = 0 (k  N* );
a)
HS: Làm việc theo nhóm
n �+ � n
n �+ � n
Suy ra GH của các dãy số
q n = 0 (q<1)
b) nlim
�+ �
u n = c , c là hằng số
c) nlim
�+ �
GV: Tổng quát và đưa ra các GH đặc
biệt
Hoạt động 2: Tìm hiểu các phép toán về giới hạn hữu hạn (15’)
II. Định lý về giới hạn hữu hạn

HS: Đọc định lý 1 sgk
1) Định lý 1
(SGK)


GV: Khắc sâu nội dung ĐL cho HS
HS: Ghi nhận kiến thức
2. Các ví dụ.
GV: Hướng dẫn HS biến đổi các giới
2n 2 +3
Ví dụ 1: Tìm lim
hạn đã cho về các tổng, hiệu, tích,
1-3n 2
thương các giới hạn đặc biệt
a) Chia tử và mẫu cho n2
Giải
b) Chia tử và mẫu cho n
Chia tử và mẫu cho n2
2+

3
n2

2
HS: Biến đổi theo hướng dẫn của gv sau Ta được lim 2n +3 = lim
=
2
1
3
1-3n

đó áp dụng đ lý 1 để tìm giới hạn
-3
2
2

n

5n-2

Ví dụ 2: Tìm lim

3+4n 2

Giải
GV: Chú ý cho HS
Ta có lim
Các định lí trên chỉ sử dụng được khi
các dãy số un, vn có giới hạn hữu hạn
HS: Ghi nhận kiến thức

5n-2
3n+4n 2

2
n(5- )
n
lim
= lim
3
n ( +4)

n

= lim

2
n(5- )
n
=
2 3
n ( +4)
n

2
(5- )
5
n
=
3
2
( +4)
n

4. Củng cố và luyện tập (10’)

GV: Giao nhiệm vụ cho các nhóm
Bài tập 3-sgk. Tính các giới hạn sau:
6n-1
Nhóm 1 làm ý a)
3n 2  n  5
a) lim

b) lim
Nhóm 2 làm ý b)
2+3n
2n 2  1
Nhóm 3 làm ý c)
3n  5.4n
9n 2  n  1
c)
lim
d)
lim
Nhóm 4 làm ý d)
4n  2n
4n  2
Thời gian 5 phút
HS: Hoạt động theo nhóm
Đáp số:
Trình bày KQ
3
3
a) 2
b)
c) 5
d)
Nhận xét KQ nhóm khác
2
4
GV: Chính xác hóa KQ
Củng cố cho HS:
- Định nghĩa dãy số có giới hạn là 1 số hữu hạn và dãy số có giới hạn là vô

cực.
- Ghi nhớ các giới hạn đặc biệt.


- Định lý về giới hạn hữu hạn, áp dụng tính các giới hạn thường gặp.
5. Hướng dẫn HS học ở nhà
Bài tập về nhà:1,2,3,4 (tr121,122)


GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (tiếp)
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Nắm được khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn và các công thức tính tổng của
nó.
2. Kĩ năng
- Vận dụng công thức tính tổng vào giải các bài toán liên quan có dạng đơn
giản.
3. Thái độ
Tự giác, tích cực trong học tập.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH.
1. Chuẩn bị của GV
Bài soạn, câu hỏi gợi mở, phấn màu, ..
2. Chuẩn bị của HS
Đọc trước bài và ôn lại một số kiến thức về mệnh đề.
III – TIẾN TRÌNH DẠY HỌC.
1. Ổn định tổ chức
11B1 Ngày giảng :
Sỹ số:
11B2 Ngày giảng :
Sỹ số:

2. Kiểm tra bài cũ
Thông qua các hoạt động trong giờ học
3. Nội dung bài mới
Hoạt động 1: Tìm hiểu công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô
hạn
Hoạt động của GV và HS
III. Tổng của một cấp số nhân lùi vô
hạn
+ Giáo viên đặt vấn đề xét cấp số nhân
vô hạn ;u1, u1q ,u1q2…………u1qn
+xét ví dụ :
1
4

1
1
1
, u3  , un  n
16
64
4
1 1
1 1� 1 �
sn   2  ....  n  �
1 �
4 4
4
3 � 4n �

Rút ra : u1  , u2 

Giáo viên nêu khái niệm cấp số nhân
lùi vô hạn
+ GV: Xây dựng công thức tính tổng
của cấp số nhân lùi vô hạn
- Yêu cầu hs nhắc lại công thức tính

Nội dung cơ bản
III. Tổng của một cấp số nhân lùi vô
hạn
1. Định nghĩa
- CSN vô hạn có công bội q với q<1
gọi là CSN lùi vô hạn
Ta có: Sn  u1  u2  ...un 
 lim Sn 

u1 (1  q n )
1 q

u1
(2) (vì q <1 nên limqn = 0)
1 q

- Giới hạn (2) được gọi là tổng của cấp số
nhân lùi vô hạn .
*) Công thức tính tổng của cấp số nhân
lùi vô hạn


tổng của n số hạng đầu của cấp số

nhân?

S=

u1
( q <1)
1-q

HS: Đứng tại chổ trả lời

*) Ví dụ
a)Tính tổng các số hạng của CSN lùi vô

GV: Biến đổi công thức thành S=

hạn (un) với un =

u1
u
-( 1 ).q n sau đó yêu cầu học
1-q 1-q

sinh tính giới hạn
được công thức

1
5n
1 1 1 1
1
b) Tính S = 1+  2  3  4  ...  n  ...

2 2 2 2
2

lim S, từ đó có

Giải
a)Ta có u1 =

1
1
và q= nên CSN đã cho
5
5

là 1 CSN lùi vô hạn
GV: yêu cầu hs nhận xét các CSN có
phải là CSN lùi vô hạn hay không sau
đó yêu cầu hs làm các ví dơ.

S=

1
5
1

1=

1
4

5

b) Các số hạng của tổng tạo thành 1 CSN
lùi vô hạn có u1 = 1 và q=
1
1
1
2

1
nên S =
2

2

Hoạt động 2: Củng cố công thức tính tổng của cấp số
nhân lùi vô hạn
GV: Học sinh nhắc lại công thức tính
tổng của cấp số nhân lùi vô hạn .
( ghi nhớ với công bội có GTTĐ bé hơn
1)
GV: Một học sinh lên làm câu a . Các
em còn lại theo dõi và nhận xét bài của
bạn .
( Dự đoán công thức của un và chứng
minh bằng phương pháp quy nạp ).
Giáo viên sữa bài và gọi một em khác
lên làm câu b , giáo viên nhận xét rồi
cho điểm .
+ Bài 5

GV: Mỗi số hạng trong tổng S là số
hạng của 1 cấp số nhân với

Bài 4 :
1
4

a) u1  ; u2 

1
1
1
; u3  3 ; un  n .
2
4
4
4

b) theo công thức tổng của cấp số nhân
lùi vô hạn ta có :
1
u
1
lim S n  1  4 
1 q 1 1 3
4

Bài 5 :
Theo công thức ta có :
S

u1

1 q

1
10

� 1 � 11
1 �
 �
� 10 �


u1  1, q  

1
10

HS: lên bảng làm bài .
4. Củng cố, luyện tập
- Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
5. Hướng dẫn HS học ở nhà.
- Bài tập về nhà:6 (tr122)


GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (tiếp)
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Giúp học sinh nắm được các định nghĩa giới hạn dãy số, các giới hạn dãy

số và các giới hạn đặc biệt.
- Nắm được các định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số.
- Khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn và các công thức tính tổng của nó.
2. Kĩ năng
- Vận dụng định nghĩa vào giải một số bài toán đơn giản liên quan đến giới
hạn.
- Vận dụng định lí để tính giới hạn của các dãy số đơn giản.
- Vận dụng công thức tính tổng vào giải các bài toán liên quan có dạng đơn
giản.
3. Thái độ
Tự giác, tích cực trong học tập.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH.
1. Chuẩn bị của GV
Bài soạn, câu hỏi gợi mở, phấn màu, ..
2. Chuẩn bị của HS
Đọc trước bài và ôn lại một số kiến thức về mệnh đề.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC.
1. Ổn định tổ chức
11B1 Ngày giảng :
Sỹ số:
11B2 Ngày giảng :
Sỹ số:
2. Kiểm tra bài cũ
Thông qua các hoạt động trong giờ học
3. Nội dung bài mới
Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm giới hạn vô cực
Hoạt động của GV và HS
GV: Hướng dẫn hs thực hiện H2 sgk
từ đó dẫn tới định nghĩa
HS: Trả lời H2

Nội dung chính
IV. Giới hạn vô cực
*) H2 - sgk
Trả lời:
+) Khi n tăng lên vô hạn thì un tăng lên vô
hạn
+) n > 384.1010


GV: Từ H2 đưa ra khái niệm giới hạn
1. Định nghĩa
vô cực
GV:Hướng dẫn hs đặt thừa số chung
( hoặc chia tử và mẫu cho n) để đưa
về tổng, hiệu, tích, thương của các
giới hạn đặc biệt,sau đó áp dụng đly
1.

HS: Làm sau đó lên bảng giải

(SGK)

+) Nhận xét: lim un = +  lim(- un) =
-
+) Ví dụ :
lim n2 = +; lim 3n = +
2. Một vài giới hạn đặc biệt
lim nk = +;
lim qn = + ( q >1 )

3. Định lý
+) Định lý 2 ( sgk)
+) Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau
7-2n

a) lim (n-3).5n ;

b) lim (2n2 +3n – 4)
Giải

7
n( -2)
7-2n
n
a) lim (n-3).5n = lim
3 n =lim
n(1- ).5
n
7
( -2)
n
3 n =0
(1- ).5
n
2 3
b) lim (2n2 +3n – 4) = lim n 2 ( 2 + - 4)
n n
2
3
= lim n2. ( 2 + - 4) = - 

n n

Hoạt động 2: Củng cố
Ví dụ 2 : giáo viên yêu cầu họcsinh
thực hiện + ví dụ 2
+học sinh làm ví dụ 2
+ Ví dụ 3 :giáo viên yêu cầu học sinh
thực hiện ví dụ 3
+ Học sinh làm ví dụ 3

Ví dụ 2: Tính
a) lim (3n2-101n-51)
Ta có : lim(3n2 - 101n -51)
= lim n2(3-101/n-51/n2) = + �
Vì lim n2=+ �; lim (3-101/n-51/n2)=
3>0
b) lim

3n3  2n  1
2n 2  n


3n3  2n  1
 lim
Ta có: lim
2n 2  n

2 1

n 2 n3  �

2 1

n n2

3

Vì: lim(3+2/n2-1/n2)= 3>0, lim (2/n1/n2)=0
4. Củng cố, luyện tập.
- Nhắc lại nội dung các định nghĩa,định lí và công thức tính tổng.
5. Hướng dẫn HS học ở nhà.
- Làm các bài tập sgk