Giáo án Giải tích 11 chương 4 bài 1: Giới hạn của dãy số Toán giải tích 11

GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 11

CHƯƠNG 4

§ 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I.

MỤC ĐÍCH YÊU CẦU
1.Kiến thức:
- Nắm được định nghĩa dãy số có giới hạn là 1 số hữu hạn và dãy số có giới hạn là vô cực.
Ghi nhớ một số giới hạn đặc biệt.
- Nắm được định lý về giới hạn hữu hạn để tính c1c giới hạn thường gặp.
- Nắm được công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
2.Kỹ năng:
- Tính được giới hạn của các dãy số thường gặp.
- Tính được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
3.Tư duy – thái độ:
- Chú ý, tích cực tham gia xây dựng bài.
- Cẩn thận, chính xác và linh hoạt.
II. CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ:
1.Chuẩn bị của Gv:
- Soạn giáo án.
- Chuẩn bị một số đồ dùng dạy học như: thước kẻ, phấn màu…
- Bảng phụ: Vẽ hình 4.1 và bảng giá trị của | un | như trong SGK.
2.Chuẩn bị của học sinh:
- Đọc kỹ bài học trước khi đến lớp.
III. PHƯƠNG PHÁP:
Sử dụng phương pháp gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề kết hợp với giải quyết vấn đề, xen kẻ hoạt
động nhóm.
IV. TIẾN TRÌNH BÀI DẠY:

1. Ổn định lớp.
Ổn định lớp và kiểm tra sĩ số vắng, vệ sinh của lớp.
2. Kiểm tra bài cũ:
1
Hãy biểu diễn dãy số (un) với un =
lên trục số. ( Chia nhóm, mỗi nhóm biểu diễn lên bảng
n
con của nhóm mình)
3. Bài mới:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS
Nội dung ghi bảng
HĐ1:
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
GV: Xét dãy số ở phần bài cũ. Khoảng cách từ điểm 1. Định nghĩa dãy số có giới hạn 0:
1
un đến điểm 0 thay đổi như thế nào khi n đủ lớn?
Xét dãy số(un) với u n = , tức là dãy số
n
HS: Nhìn vào hình biểu diễn để nhận xét.
1 1 1 1
1
GV: Yêu cầu HS tìm số hạng uk để từ số hạng đó trở
1, , , , ,..., ,...
về sau khoảng cách từ nó đến số 0 nhỏ hơn 0.01 ?
2 3 4 5
n
.nhỏ hơn 0.001? (GV hướng dẫn hs thực hiện)
1
Khoảng cách u n -0 = u n =
từ điểm un đến

HS: Thực hiện theo nhóm
n
GV: Dựa vào việc thực hiện trên đưa ra nhận xét
điểm 0 trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn
rằng khoảng cách từ un đến số 0 nhỏ bao nhiêu tùy
là n đủ lớn.
ý, miễn là chọn số n đủ lớn
Như vậy mọi số hạng của dãy số đã cho, kể từ
số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối
nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước. Ta
+Tổng quát hoá đi đến đ\n dãy có giơi hạn 0.
NGUYỄN TRẦN HỒNG LĨNH

Trang 1


GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 11

CHƯƠNG 4

1
có giới hạn 0 khi n dần tới
n

nói rằng dãy số

dương vô cực
Định nghĩa: SGK
Ví dụ: (làm ví dụ 1 SGK- trang 113)
HĐ2:

GV: Đặt vấn đề:Cho dãy số (un) với un= 2+

2. Định nghĩa dãy số có giới hạn là 1 số
1
n

Định nghĩa 2 (SGK)

-Hãy biểu diễn dãy lên trục số.
-Khi n càng lớn thì un càng gần vối số nào?
HS: Làm việc theo nhóm sau đó đưa ra nhận xét u n
càng gần đến số 2
GV: Dựa vào nhận xét trên liên hệ với phần 1 để đưa
ra định nghĩa 2
Ví dụ: Cho dãy số (vn) với vn =
GV: Hướng dẫn hs làm

3n+1
, CMR:
n

lim v n = 3

n→ +∞

Giải

lim (v n − 3)

n→ +∞

= lim (
n→ +∞

1
3n+1
− 3) = lim = 0
n→ +∞ n
n

vn = 3
Vậy nlim
→ +∞

3. Một vi giới hạn đặc biệt
1
2
( ) n , wn= 3, hãy biểu
4 , vn=
n
5
diễn lên trục số sau đó dự đoán giới hạn các dãy này,
1
1
a). lim = 0 ; lim k = 0 (k ∈ N* );
n → +∞ n
n→ +∞ n
HS: Làm việc theo nhóm
q n = 0 nếu q<1
b). nlim

→+∞
GV: ghi lên bảng , yêu cầu hs nắm kỹ
un= c
c). Nếu un = c (hằng số) thì nlim
→+∞
GV: cho dãy số un=

HĐ3

II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
1.Định lý 1. (SGK)

GV: Yêu cầu HS đọc đ lý sgk và ghi lên bảng nội
dung của định lý đó
2. Các ví dụ.
HĐ 4
NGUYỄN TRẦN HỒNG LĨNH

Trang 2


GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 11

GV: Hướng dẫn hs biến đổi các giới hạn đã cho về
các tổng, hiệu, tích, thương các giới hạn đặc biệt
HS: Biến đổi theo hướng dẫn của gv sau đó áp dụng
đ lý 1 để tìm giới hạn

HĐ 5
GV: Yêu cầu hs nhắc lại công thức tính tổng của n

số hạng đầu của cấp số nhân.
HS: Đứng tại chổ trả lời
u1
u
-( 1 ).q n
1-q 1-q
sau đó yêu cầu học sinh tính giới hạn lim S, từ đó
có được công thức
GV: Biến đổi công thức thành S=

GV: yêu cầu hs nhận xét các CSN có phải là CSN
lùi vô hạn hay không sau đó yêu cầu hs tính.
HS: Làm việc theo nhóm

NGUYỄN TRẦN HỒNG LĨNH

CHƯƠNG 4

2n 2 +3
Ví dụ 1: Tìm lim
1-3n 2
Giải
Chia tử và mẫu cho n2
3
2+ 2
2n 2 +3
n =− 2
Ta được lim
= lim
2

1
3
1-3n
-3
2
n
5n-2
Ví dụ 2: Tìm lim
3+4n 2
Giải
2
n(5- )
5n-2
n
Ta có lim
= lim
= lim
2
3
3n+4n
n 2 ( +4)
n
2
2
n(5- )
(5- )
5
n
n
= lim

=
3
3
2
n ( +4)
( +4)
n
n
II. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ
HẠN.
1. Định nghĩa
CSN vô hạn có công bội q với q<1 gọi là CSN
lùi vô hạn
2. Công thức tính tổng của cấp số nhân
lùi vô hạn

S=

u1
1-q

( q <1)

3. Ví dụ
a)Tính tổng các số hạng của CSN lùi vô hạn
1
(un) với un = n
5
1 1 1 1
1

b) Tính S= 1+ + 2 + 3 + 4 + ... + n + ...
2 2 2 2
2
Giải
1
1
a)Ta có u1 = và q= nên CSN đã cho là 1
5
5
CSN lùi vô hạn
1
1
S= 5 =
1 4
1−
5
b) Các số hạng của tổng tạo thành 1 CSN lùi vô
Trang 3


GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 11

CHƯƠNG 4

HĐ6
GV: Hướng dẫn hs thực hiện h động 2 sgk từ đó dẫn
tới định nghĩa

GV: Cho dãy un = n3, hãy biểu diễn dãy lên trục
số.Khi n càng lớn, có nhận xét gì về các số un?.Từ đó

tổng quát hóa thành các giới hạn ở phần 2.

1

=2
1
1−
2
III.
GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Định nghĩa
(SGK)
Nhận xét: lim un = +∞ ⇔ lim(- un) = - ∞
Ví dụ ( Làm ví dụ 6 Sgk)
1
hạn có u1 = 1 và q=
nên
2

S=

2. Một vài giới hạn đặc biệt
(sgk)

HS: Làm việc theo nhóm, đưa ra nhận xét.
GV: Ghi lên bảng các gh đặc biệt, yêu cầu hs nhớ

GV: Hướng dẫn hs đặt thừa số chung ( hoặc chia tử
và mẫu cho n) để đưa về tổng, hiệu, tích, thương của
các giới hạn đặc biệt,sau đó áp dụng đly 1.

HS: Làm sau đó lên bảng giải

3. Định lý
Định lý 2 ( sgk)
Các ví dụ:
7-2n
a). Tìm lim
(n-3).5n
Giải
7
n( -2)
7-2n
n
Ta có lim
= lim
=lim
3 n
(n-3).5n
n(1- ).5
n
7
( -2)
n
=0
3 n
(1- ).5
n
b) Tìm lim (2n2 +3n – 4)
Giải

2 3
2
Ta có lim (2 +3n – 4n2) = lim n ( 2 + - 4)
n n
2
3
= limn2. lim ( 2 + - 4) = - ∞
n n

V.CŨNG CỐ
- Định nghĩa dãy số có giới hạn là 1 số hữu hạn và dãy số có giới hạn là vô cực. Ghi nhớ
các giới hạn đặc biệt.
- Định lý về giới hạn hữu hạn, áp dụng tính các giới hạn thường gặp.
- Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
VI.DẶN DÒ
Bài tập về nhà:1,2,3,5,7,8 (tr121,122)

NGUYỄN TRẦN HỒNG LĨNH

Trang 4