Bai tap gioi han ham so

BAỉI TAP TNH GII HN HM S
1.Tỡm caực giụựi haùn sau:
x2 4

lim

2
a) x 2 x 3x 2

b)

x 2 2x

lim

3

lim

x1

lim

lim

x 1 x 2 3x 2

lim

2
d) x 2 2x 6x 4

x2 1

x 2 5x

2
c) x 5 x 25

x 3 3x 2

4
e) x 1 x 4x 3

f)

2

x x x1
x 2 3x 2

g) xlim
2

i) lim x 1
x1 3

2x2 x 6
x3 8

x4 x2 72

lim
h) x3 x2 2x 3
3
2
j) lim x 5x 3x 9
4
2

5

x 1
2x 8x 3 7x 2 4x 4
lim
x 1
2x 3 14x 2 20x 8
4

1
2
lim 2


m) x1 x 1 x 1
x 5x 5 4x 6
o) lim
x1
(1 x) 2
3
3
p) lim (x h) x

h

h 0

3
3
s) lim 2(x h) 2x
h 0

h

u) lim x x 2
x 1 2020
2022

x x 2
2. Tỡm caực giụựi haùn sau:
4x 2 x 18
x3 8
x 1
lim 3
x 1 x 2x 2 x 2

A = lim
x 2

4x 2 1
D = lim1 4x 3 2x 2 1
x

2

k)

x 8x 9
x 3x 9x 2
l) xlim
2
x3 x 6
x3

3

2

3
1
lim

3
n) x11 x 1 x

2
q) lim x (a 1)x a
3
3

x a

x2

x4
t) lim



2
2
x 1 x 5x 4
3(x 3x 2)

xa

4
4
r) lim x a
x a

x a

n
v) lim x nx 2n 1
x 1

(x 1)

B = lim
x 5

E = lim
x 1

x 2 x 30
2x 2 9x 5

C=

x 2 4x 3
x 2 2x 3

G=

2x 2 3x 1
x 1 x 2 4x 5
lim

H = xlim
2

x 4 16
x 2 2x

x 3 27
x 2 4x 3
x 3 x 2 5x 2
lim
x 2
x 2 3x 2

J = lim
x 3

F = lim1
x

2

2x 2 5x 2
4x 2 1

x 3 3x 2
lim 2
x 1 x 2x 1

L = lim
x 1

x3 x 2 x 1
x 2 5x 6

N = lim
x 2

x3 1
x2 x

x 3 2x 2 6x 4
8 x3

x 3 4x 2 6x 3
P = xlim

1
x2 x 2
x5 1
R = lim
x 1 x 3 1

I = lim
x 1

O=

Q=
8x 3 64
M = lim
x 2 x 2 5x 6


3. Tìm caùc giôùi haïn sau:
2
a) lim x  1  x  x  1

x

x �0

2x  7  3

d) lim

x 3 2

49  x 2

b) lim
x �7

e) lim

x � 1 x 3  4x 2  3

x�4

2 x2
x 2  3x  2

c) lim
x �2

x  5  2x  1
x 4

g)

2  x2  3
lim 2
x�1  x  3x  2
4x  1  3
x2  4

f) lim
x �2

x x 2
x3  8

o) lim
x�1

3 5 x
x � 4 1 5 x

k) lim

h) lim
x�2

2
i) lim 3x  2 2 4x  x  2

j) lim

1 3 1 x
l) lim
x�0 2x  x2

x x2
m) lim
x �2
4x  1  3

x  3x  2

x �1

x2  2x  6  4x  1
x3  2x  1

p) lim
x�1

r) lim

q) lim
x �1

s) lim
x�0 3

3

x 1
x 1

w) lim 3

x �1

v) lim
x �1 4

n) lim

x �1

3

x 2  23 x  1
(x  1) 2

x �1

x 1
3
x  x2  2

x 7 2
x 1

2

3  8 x
x �1 2x  5 x

4

3

x 1
2x  5x  3
3

z) lim
x �2

x  1 1
x  1 1

3

2x  12  x
x 2  2x

t) lim
x �1

3

x7 2
x 1

3

x 1
4x  4  2

4. Tính caùc giôùi haïn sau:
a. lim
x �0

x 1  x  4  3
x

b. lim
x �0

x  9  x  16  7
x

c. lim

d. lim

x  1 3 x  1
x

e. lim
x �1

x  3  3 3x  5
x2 1

f. lim

x�0

Daïng voâ ñònh

3

x�0
3

x  1 x  4  3
x

8x  11 x  7
x 2  3x  2

x�1

�
�

1. Tìm caùc giôùi haïn sau:
2x  1
a) xlim
� � x  1

d) xlim
� �

3x(2x 2  1)

(5x  1)(x 2  2x)

x3  2x2  2
x��� 3x2  x  1
(2x  3) 2 (4x  7)3
j) xlim
��� (3x  4) 2 (5x 2  1)

g) lim

2
m) lim x  3x  2x
x��
3x  1

x2 1

b) lim

x � �1 3x  5x

e) xlim
���

2

3x3  2x  2
2x3  2x2  1

x4  3x2  1
x���  x3  2x  2

h) lim

2
l) lim x  3x  2x
x��

3x  1

n) lim

x ���

x 2  x  2  3x  1
4x 2  1 1 x

c) lim

x x 1

x � �x 2  x  1

f) xlim
���
i) xlim
���

3x3  2x2  1
4x4  3x  2

(x  1) 2 (7x  2) 2
(2x  1) 4

2
k) lim 4x  1
x ��

o) lim

x ���

3x  1

4x 2  2x  1  2  x
9x 2  3x  2x


x 2  2x  3  4x  1

p) lim

4x 2  1  2  x

x ���

s) lim

q) xlim
��

x x 3
x2 1

x��

2x  2

x��

(x x  x  1)( x  1)
x� �
(x  2)(x  1)

(x3  2x2 )2  x3 x3  2x2  x2
3x2  2x

3

3 3
2
r) lim x  2x  x

t) lim

Giới hạn một bên

1. Tìm các giới hạn sau
a) lim


x�2



3x  1
2

e) lim

x 2  x3
2x

x 2  3x  3
x 2

h) lim

x 2  3x  3
x 2

x�1

x 2

b) xlim
�2

x1
x1

d) lim
lim

x2  2x
3x  1

j) lim

x  2

x � 0

x 2

x 2  3x  3
x2  x  2

k) lim

x 2  3x  3
x2  x  2

h) lim

x2  x  2
x 1

x  2

� 1 x �
lim �
x
�
� x �
x � 0 �
�

x�1

c) lim


x�1

x1
x1

2x

f) lim�

4x 2  x 3
x 3
i) xlim
�
�4 x  4
x� 0

l) lim
x �1

i)

x 3  3x  2
x 2  5x  4

lim

x�


2

1 cos2x

x
2

g)

g)

2. Tìm giới hạn bên phải, giới hạn bên trái của hs f(x) tại x o
và xét xem hàm số có giới hạn tại x o không ?
�x 2  3x  2
(x  1)
�
� x2 1
a) f(x)  �
x
�

(x  1)
� 2
v�
�
i xo  1
� 1 x 1

�
c) f (x)  �3 1  x  1
�
3/ 2
�

�4  x 2
(x  2)
�
b) f(x)  �x  2
�
1 2x (x  2)
�
v�
�
i xo  2

x0
x �0

vớ
i xo  0

3. Tìm A để hàm số sau có giới hạn tại x o:
�x 3  1
(x  1)
�
f(x)  �x  1
�
Ax  2 (x �1)

�

a)

với x0 = 1

�
x  6  2x  9
A 3
�
f
(x)

x  4x 2  3x
b)
�
�
3x 2  2
�
Dạng1: x � a

x3

với x0 = 3

x �3

Bài1:
1)

x2  3
x  1 x 3  2
lim

4) lim
x 3

x2
x3  x  6

Bài2: Phân tích thành nhân tử

2)

 4x  3 
lim

x 3 2 x  7



5

5) lim 5 x  1
x 1

2x  7

3)

lim 3

x  2

6)

2 x 4  3x  2
x2  x  2
x 2  5x  3
x  2 2 x 3  2 x 2  x  6
lim


1) lim
x 2

x 2  3x  10
3x 2  5 x  2

3)

x n  a n  na n  1 ( x  a )
( x  a) 2

lim
x a

2) lim
x a
4)

1
3 

3 
1 x 1 x 



5) lim
x 1

7)

lim

 x  h 3 

x3

10)

x 2  2 x  15
lim
x  5
x5

12)

lim

8) lim
x 1

14)

x 2  5x  6
x   4 x 2  12 x  20

x n  nx  n  1
( x  1) 2

1 
 n
lim


x 1 1  x n
1 x


x 1
1

9) lim
x 3

x

x 2  2 x  15

x 3

x3  1
11) lim
x  1 x ( x  5)  6
x 2  3x  4
lim
13) x   4 2
x  4x

x 3  3x 2  9 x  2
x3  x  6

x 2

x 1

6)

h

h 0

lim

xn  an
x a

15)

lim

x4  1
16) lim
x 1 x 2  2 x  3

17)

x 3  3x 2  2 x
x  2
x2  x  6
x 3  4x 2  4x
lim
x  2
x2  x  6
lim

Bài3: Nhân liên hợp
2
1) lim x  5  3 .

x 2
3x  5  1
4) lim
x 2
x 2
x 2

2
7) lim 1  x  x  1

x

x 0

10)

x 3

lim

2 x  10  4

x 3

13) lim x  2  2
x 6
x 6

16)

3

lim

x 

x 2

x2 3

x7
x

2) lim
x �7
5) lim
x 0

x4  3
x 2  25
x 3  3x  2
11) lim
x 1
x 1

12) lim

n

x 0

x 0

1 x  1
x
lim
x 1

17) lim
x 1

1  2 x  x 2  1  x 
x

lim

15)

3x  2  4 x 2  x  2
x 1
x 2  3x  2

x
x 1

6 x 2  3  3x

9)

lim

3 x  58
x 2

5

6) xlim
1

1 x  1

8) lim
x 5

14)

5 x

3) lim
x 5

(n N, n  2)

2 x  3x  1
x2  1

x1
x  2x  3
2

Bài4: Nhân liên hợp căn bậc hai
5 x  5 x
x
ax a
4) lim
(a > 0)
x 0
x

1) lim

x 0

2x  1 
x 1

3) lim
x 1

x

2
5) lim 1  x  x  x  1

x

x 0

3x  2  4 x 2  x  2
x 2  3x  2

6) lim
x 1

1 x  1 x
x

2) lim
x 0

2

7) lim 1  3x  x  1  x

x

x 0

Bài5: Nhân liên hợp căn bậc ba
3

1  4x  1
a) lim
x 0
x
x
lim 3
x 0
x 1  1

b) lim
x 2

3x  2  3 4 x 2  x  2
7) lim
x 1
x 2  3x  2
3

3

3

4x  2
x 2

ax
8) lim
x 0
x

c) lim
x 0

3

1

3

x 1
3x

x  2  3 1 x  x2
9) lim
x 1
x2  1

a

3

Bài6: Nhân liên hợp căn bậc hai
1)

lim
x 4

3

5x

1

5 x

2)

lim
x 2

x

x2

4x 1  3

d)

3) lim
x 1

x2 

x

x1


3

4)

lim

3

x 1

5) lim
x 1 4

2

x  1

x 3  2
2

4 x  2

6) lim

x 0

7)

2

9 x  3

lim
x 9

x1

9) lim
x 1

x1
7  2x  5

8) xlim
 64

x 3

3

x1
x1

x8

4

3

x

Bài7: Nhân liên hợp căn bậc hai và căn bậc ba.
2 1 x 
x 0
x

1)

lim

8 x

2)

lim
x 1

2

3

4)

3

x 1

x 1

x7  5 x
5) lim
x 1

3

3x  4  8  5x
x

6) lim
x 0

5  x3  3 x2  7
3) lim
2
x 1

3

3x  2  4 x  x  2
x 2  3x  2

lim

3x  2  3 4 x 2  x  2
x 2  3x  2

2

x 1
1  2x  1  7 x
lim
x 0
x
3

7)

Dạng2: Giới hạn một bên
8  2x  2

1) xlim
2

6)

8)

9)

3 x  2x
 3 x  1 ; x 1
f ( x)
4) f  x   2
. lim
x 1
x


1
;
x

1


lim

5)

 3 x 2  2 x  1 ; x 0

f  x   sin x
.
; x0

 x
; x0
o
 2
f  x   x
; 0 x  1
.

2
  x  2 x  1 ; x 1
 mx 2
f ( x ) 

3



f ( x) ;
Tìm lim
x 1

f ( x) ; lim f ( x )
Tìm lim
x 1
x 0

; x 2
;x2

 x 2  5 x  6
;x2
f ( x) 
.
 mx  4
; x 2
1
2
; x 1
 5 (2 x  3)

f  x   6  5 x
;1 x  3.
x  3

; x 3



10) xlim
3

2 x  3x



3x  6  x 2  4 x  4
x 2
x 2

3)

7)

2) xlim
0

x2



x4 1
x 2  4x  3

Tìm m để hs có giới hạn tại điểm xo =2.

f ( x) ; lim f ( x )
Tìm lim
x 1
x 3
2x

11) lim
x 0

4x 2  x 3

Dạng3: Giới hạn ở vô cực - Các dạng vô định
1) lim
x 

x 3  3x  1
2  6x 2  6x 3

 x  x  x 
2) xlim
 


 2 x  3  3x  2 
3) xlim
50
��
 2 x  1
20

4)



lim x x 2  1 

x  

30

x2  2

6)



5)

x 2  9x



x  4  x 2  7x  2
9) xlim
 





7) xlim
 
10)

x 2  4x  1 





lim 2 x  1  4 x 2  4 x  3

x  



3
x 3  2x 2  x  x
12) lim
x 



8)

lim



x  

lim

x 

x  

lim

x  



x 2  7x  1 

x 2  3x  2

 
n

x2  1  x  x2  1
xn

x 2  2 x 1 

x 2  6x  3



  x  a  x  b  x 

15) xlim
 


11)


lim  3 x  3 x  3x 


x  



3
x3  2x 2  x 2  2x
18) xlim
 


3x 






n









x2  1  x
14) xlim
 

3
x 3  x 2  3x  x  1
13) lim
x 


lim  x  x  x 


16)

x

x  

19) xlim
 

1



x. x  1 

x 1

x




x


x2  x  x  2
17) xlim
 





25)

lim



x  

2x  5 

x 1

2x  7



3
x3  x2 1 
27) lim
x 

3



x. x 2  4 
24) xlim
 






x3  x2 1

3
x 3  6x 2  x
26) lim
x 



x

x 0

sin 5 x
x 0
x

1)
4)

lim

1  cos x
x2

lim

tan x  sin x
sin 3 x

x 0

7)

x 0

10)

lim

1

x 0

13)

lim
x c

15) lim
x 0
19)
21)

2)

lim
x 0

8)

40)

sin u ( x)
1
; u ( x )�0 u ( x)
sin x n
x  0 sin x m

3) lim

sin 5 x. sin 3 x. sin x
6) lim sin x. sin 2 x.... sin nx
3
x 0
45 x
n! x n
sin x  sin a
cos x  cos b
lim
lim
9)
x

b
x a
x b
x a
lim

11) lim tan x  tan c
x c

2x  1
sin 2 x

x c

cot x  cot c
x c

14)

sin 5 x  sin 3 x
sin x

1  x  tan
16) lim
x 1

2

lim
x a

3
12) lim 1  cos x
x 0

2

sin x  sin a

x2  a2

x
2

18)

x sin x
cos x  cos  x
17) lim
x 0
x2
x3 8
lim
x   2 tan( x  2)

sin  a  2 x   2 sin  a  x   sin a
1  cos x. cos 2 x. cos 3x
20) lim
x 0
x2
1  cos x
tan  a  2 x   2 tan  a  x   tan a
22) lim cos ax  cos bx. cos cx
lim
2
x 0
x 0
x
x2

x 0

lim
lim
x 0

lim

sin x  tan x
x3

1

x 0

lim
x 0

lim
x 0

lim
x 0

sin ax  tan bx
( a  b) x

sin x  sin 2 x
x


x1  2 sin 2 
2

1  tan x  1  sin x
x3

30)

1  cos 5 x. cos 7 x
sin 2 11x

 x  2 sin
38) lim
x 
41)

lim
x 1

x  3  2x
tan( x  1)

lim

cos(a  x)  cos(a  x)
x
1  1  sin 3 x

x 0

tan a  x . tan  a  x   tan 2 a
x2

35) lim
x 0

lim
x 0

sin x. cos x  sin x
lim
x 0
x
sin
2

32) lim
x 0

( a  b  0)

27)

sin x

29)

cos x

24)

26) lim 1  cos x
x 0

2x  1  3 x 2  1
sin x

1  cos x
2
sin 2 x  sin x. sin 4 x
lim
x 0
x4


tan 2 x. tan  x 
34) lim

4
x


4

37)



lim

x 0

31)



x 0

sin  a  x   sin  a  x 

28)



lim

tan 2 x
3x

5)

23) lim
x  0 tan  a  x   tan  a  x 
25)

x2  3

x  2 . x  3  x  1
23) xlim
 

Dạng3: Dạng lượng giác , sử dụng giới hạn lim sin x 1
lim



x 2  2x  2 x 2  x  x
20) xlim
 

 x  2  2 x  1  x
21) xlim
 
x . x  3 
22) xlim
 



3
x

1  cos x

33)

36)

1 
 1

lim


x  0 sin x
tan x 


39)

lim
x 0

1  x 2  cos x
x2

42) lim 1  cos ax
2
x 0

x


43)

sin 5 x
lim
x 0 tan 7 x

44)

lim


x
2

2 2 cos x
46)


sin x
4

sin x cos x
lim

4x
x
lim

47)


x
4

4

49) lim
x

6

cos x

x
2

sin 6 x

50) lim

1 2 sin x

x

4

lim
x 0

45) lim
x
cos 3 x cos 5 x. cos 7 x
x2

1 cos x

x 2

48)

2 sin x 1
2 cos 2 x 1

51)

1
lim
cos x tan x
x
2

52)

53)

1 cos ax
1 cos bx

56)

x 0

55) lim
x 0
58)

tan x sin x
x. tan x. sin x

lim

lim

x
2

cos x

x
2

59)

1 cos 5 x
61) lim
x 0 1 cos 3 x

62)

1 cos ax
(a
x 0
x2
1 cos 2 2 x
lim
x 0
x. sin x
lim

lim

x
6

x. sin ax
1 cos ax
sin( x 1)
57) lim
x 1 x 2 4 x 3

0)

54) lim
x 0

1 2 sin x

x
6

2 sin x 1

2
60) lim

x 4 cos x 3
6

sin 7 x sin 5 x
lim
x 0
sin x

63)

1. Tớnh caực giụựi haùn sau:
a) xlim
0
d) xlim
0
g) lim
x0

sin5x
3x
cosx cos3x

b) xlim
0
e) lim

2

sin x

sin2x sin x
3sin x

1 cos2x

c) xlim
0

2

x
tgx sinx
x

x0



sin x
4

lim

x 1
2 sin x
4

cosx cos7x
x

2

3

1

x
f) lim

x 0
sinx sin3x

3

1 sin x cos2x
sin x

h) lim
x0

Baứi1 . Tỡm caực giụựi haùn sau
3
5x 2 10x)
a) lim(x
x 0

2
b) lim x 5x 6

x2

x 1

f)

j) lim tan x sin2x

h) lim sinx

x0

cos x

x 0x


x
2

x 4x 2

x2 4

1
1
lim

3
e) x 11 x 1 2x

lim

2
x 1 d) lim 2x 3x 1

c) lim
2
x 3
x 2

3

3x 2

x

g)

lim

x 1

1 x 1 x
x

k) lim tgx
x

x
4