Giáo án Đại số 11 chương 1 bài 1: Hàm số lượng giác

Toán 11
BÀI 1 : CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
TIẾT 1-6
I. MỤC TIÊU BÀI DẠY:
1. Về kiến thức:
Giúp học sinh
- Hiểu rằng trong định nghĩa các hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx,
y = tanx, y = cotx, x là số thực và là số đo rađian (không phải số đo
độ) của góc (cung) lượng giác;
- Hiểu tính chất chẵn – lẻ, tính chất tuần hoàn của các hàm số lượng
giác; tập xác định và tâpk giá trị của các hàm số đó.
- Biết dựa vào trục sin, trục côsin, trục tang, trục côtang gắn với đường
tròn lượng giác để khảo sát sự biến thiên của các hàm số tương ứng
rồi thể hiện sự biến thiên đó trên đồ thị.
2. Về kĩ năng:
Giúp học sinh nhận biết và vẽ đồ thị của các hàm số lượng giác cơ bản
(thể hiện tính tuần hoàn, tính chẵn – lẻ, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất,
giao với trục hoành, …)
3. Về thái độ, tư duy:
- Rèn luyện cho HS tư duy lôgíc và biết quy lạ về quen
- Cẩn thận chính xác trong phân tích , nhận biết

II. CHUẨN BỊ:
1. Về phía thầy:
Đồ dùng dạy học như thước kẻ, com pa,.bảng in đồ thị các HSLG, máy
chiếu, USB…
2. Về phía trò:: Đồ dùng học tập như thước kẻ, com pa,..,
III. GỢI Ý PHƯƠNG PHÁP:
Gợi mở ,vấn đáp
IV. TIẾN TRÌNH BÀI DẠY:
TIẾT 1

1. Kiểm tra bài cũ:
Hoạt động của thầy

Hoạt động của trò


trôc sin

+

Nhắc lại định nghĩa giá trị LG của góc ?
HS lên bảng viết lại đ/n và GTLG
Nêu giá trị Lg của các góc đặc biệt
các góc đặc biệt
2. Nội dung bài mới:
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
H1: Trên hình 1.1 hãy 1. Các hàm số y = sinx và y = cosx
chỉ ra các đoạn thẳng có a. Định nghĩa:
độ dài đại số bằng sinx,
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sin
bằng cosx.
của góc lượng giác có số đo rađian bằng x được
gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx.
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với côsin
của góc lượng giấc có số đo rađian bằng x được
B
M
gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y = cosx.
Tập xác định của các hàm số y = sinx, y = cosx

trôc c«sin x
là R. Do đó các hàm số sin và cosin được viết là
A'
A
0

B'

Tính
sin , cos
π
2

 π
 − 4 

cos : R → R
x  cosx

R
sinx
, cos

2π

.

Nhận xét:
Hàm số y = sinx là một hàm số lẻ vì sin(-x) =
-sinx với mọi x thuộc R. Hàm số y = cosx là

một hàm số chẵn.

H2: Hàm số y = sinx ; y
= cosx là h/s chẵn hay
lẻ ?H/s tự c/m.
Ngoài ra các hàm số b. Tính chất tuần hoàn của các hàm số y = sinx
này có t/c đặc biệt nữa và y = cosx
Ta đã biết, với mỗi số nguyên k, số k thoả
2π

mãn: sin (x + k

2π

) = sinx với mọi x.

Ngược lại, có thể chứng minh rằng số T sao
cho sin (x + T) = sinx với mọi x phải có dạng T
= k , k là số nguyên.
2π


Hoạt động của thầy

Hoạt động của trò
Rõ ràng, trong các số dạng k

2π

dương nhỏ nhất là

2π

(k ∈ Z), số

.

Vậy đối với hàm số y = sinx, số T =

2π

là số

dương nhỏ nhất thoả mãn sin (x + T) = sinx với
mọi x.
Hàm số y = cosx cũng có những tính chất
tương tự.
Ta nói 2 hàm số đó là những hàm số tuần hoàn
với chu kì .
2π

Từ tính chất tuần hoàn với chu kì

2π

, ta thấy

khi biết giá trị các hàm số y = sinx và y = cosx
trên một đoạn có độ dài (chẳng hạn đoạn [0 ;
2π

2π

] hay đoạn [

−π

; ]) thì ta tính được giá trị của
π

chúng tại mọi x. (Cứ mỗi khi biến số được cộng
thêm
thì giá trị của các hàm số đó lại trở về
2π

như cũ; điều này giải thích từ “tuần hoàn”).
3. Củng cố:nhắc lại định nghĩa hàm số y = sinx, y = cosx ; Nêu tập xác định,
tính chẵn lẻ ?
4. Hướng dẫn về nhà : Học thuộc định nghĩa hàm số y = sinx, y = cosx ; Nêu
tập xác định, tính chẵn lẻ của các hàm số này. Làm bài tập SGK


TIẾT 2
1.. Kiểm tra bài cũ:

Học sinh lên bảng lam theo hướng dẫ

2. Nội dung bài mới:
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò

c. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = sinx333
Do hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì
nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đó trên một đoạn có
2π

độ dài

2π

, chẳng hạn trên đoạn [

; ].

−π π

• Chiều

biến thiên (xem các hình 1.2, 1.3, 1.4 ) :
Cho x = (OA, OM) tăng từ
đến , tức là cho M
−π

π

chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương một
vong xuất phát từ A’ và quan sát sự thay đổi của điểm
K (K là hình chiếu của M trên trục sin,
= sinx), ta
OK

thấy:
Khi x tăng từ

−π

đến

π
−
2

thì điểm M chạy trên đường

tròn lượng giác theo chiều dương từ A’ đến B’ và điểm
tức là sinx
H3: Hỏi khẳng định K chạy dọc trục sin từ O đến B’. Do đó
OK
sau có đúng không?
Vì sao?
giảm từ 0 đến -1(h. 1.2).
Hàm số y = sinx Khi x tăng từ
đến
thì điểm M chạy trên đường
π
π
nghịch biến trên
−
2

2

tròn lượng giác theo chiều dương từ B’ đến B và điểm


Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
khoảng
và K chạy dọc trục sin từ B’ đến B. Do đó
 π 3π 
 ; ÷
2 2 

tức là sinx
OK

tăng từ -1 đến 1 (h. 1.3)
nghịch biến trên mỗi Khi x tăng từ
đến thì điểm M chạy trên đường
π
π
khoảng
2

, k tròn lượng giác theo chiều dương từ B đến A’ và điểm
K chạy dọc trục sin từ B đến O. Do đó
tức là sinx

3π
π


 + k2π; + k2π ÷
2
2


∈ Z.

OK

giảm từ 1 đến 0 (h. 1.4).
Ta có bảng biến thiên của hàm số y = sinx trên đoạn
[ ; ] như sau:
−π π

B

−π

0
x

A'

M

π
2

π
2

0

A

K
+

−

1
0

B'

0
-1

• Đồ

thị:
Khi ta vẽ đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [

B

A'

O

x

A

K

B'

Trên đoạn [0; ], đồ thị của hàm số y = sinx (h. 1.5)

K
x
O

A'

ta nên để ý rằng: Hàm số y = sinx là một hàm lẻ, do đó
đồ thị của nó nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng. Vì
vậy, đầu tiên ta vẽ đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn
[0; ].
π

B
+M

π

A

đi qua các điểm có toạ độ (x; y) trong bảng sau:
B'

; ],

−π π


Hoạt động của thầy

Hoạt động của trò
x

Hướng dẫn h/s vẽ
đồ thị hàm số y =
sinx trên đoạn [0;
π

]. ; lấy đối xứng nó
qua gốc O (Do t/c
hàm số lẻ) lập thành
đồ thị của hàm số y
= sinx trên đoạn [
−π

; ].; Tịnh tiến phần
π

0

y=
sin 0

x

π
6

1
2

π
4

π
3

2
2

3
2

3π
4

3
2

2
2

(≈

(≈
0,87 0,71
)
)

5π
6

π

1
2

0

y
1
3/2
2/2

0

π/6 π/4 π/3

2π

4π

1

(≈
(≈
0,71 0,87
)
)

2π
3

1/2

đồ thị vừa vẽ sang
trái, sang phải những
đoạn có độ dài
,
,

π
2

6π

, … thì được

π/2

2π/3 3π/4 5π/6

π

x

H×
nh 1.5

Phần đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0;

π

]

cùng với hình đối xứng của nó qua gốc O lập thành đồ
toàn bộ đồ thị hàm
thị của hàm số y = sinx trên đoạn [ ; ].
số y = sinx. Đồ thị
−π π
đó được gọi là một
Tịnh tiến phần đồ thị vừa vẽ sang trái, sang phải những
đường hình sin
đoạn có độ dài , , , … thì được toàn bộ đồ thị
2π

4π 6π

hàm số y = sinx. Đồ thị đó được gọi là một đường hình
sin (h. 1.6).


Hoạt động của thầy

Hoạt động của trò
y
x
sin
y=

x
-3π/2

H4:
Hãy
kiểm
nghiệm lại bảng biến
thiên trên bằng cách
quan sát chuyển
động của điểm H
trên trục cosin, trong
đó H là hình chiếu
của điểm M trên trục
cosin, khi điểm M
chạy trên đường tròn
lượng giác theo
chiều dương một
vòng xuất phát từ
điểm A’ (h. 1.8).

-π

x+2π
-π/2

0

π/2

π

3π/2

2π

x

Nhận xét:
*) Khi x thay đổi, hàm số y = sinx nhận mọi giá trị
thuộc đoạn [-1; 1]. Ta nói tập giá trị của hàm số y =
sinx là đoạn [-1; 1].
*) Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng

đó, do tính chất tuần hoàn với chu kì
sinx đồng biến trên mỗi khoảng

2π

. Từ

 π π
− ; ÷
 2 2

, hàm số y =

π
 π

 − + k2π; + k2π ÷
2
 2


,k∈

Z.
3. Củng cố:nhắc lại định nghĩa hàm số y = sinx, y = cosx ; Nêu tập xác định,
tính chẵn lẻ ?
4. Hướng dẫn về nhà : Học thuộc định nghĩa hàm số y = sinx, y = cosx ; Nêu
tập xác định, tính chẵn lẻ của các hàm số này. Làm bài tập SGK


TIẾT 3
1. Kiểm tra bài cũ:

Học sinh lên bảng lam theo hướng d

2. Nội dung bài mới:
Hoạt động của
Hoạt động của trò
thầy
d. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = cosx
H5: Hỏi khẳng Ta có thể tiến hành khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

định sau đây có của hàm số y = cosx tương tự như đã làm đối với hàm số
đúng không? Vì y = sinx trên đây. Tuy nhiên, ta nhận thấy cosx = sin
sao?
với mọi x, nên bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số
π
Hàm số y =  x + ÷
2
cosx nghịch biến 
trên khoảng (0;
, ta được đồ thị
π y = sinx sang trái một đoạn có độ dài
π
2

) và nghịch biến
trên mỗi khoảng hàm số y = cosx (nó cũng được gọi là một đường hình
, k ∈ sin) (h, 1.7).

( k2π; π + k2π )

Z.

y
x
sin
y=

x+2π

x

-3π/2

-π

-π/2

0

π/2

π

sx
co
y=

x
3π/2

2π

Căn cứ vào đồ thị của hàm số y = cosx, ta lập được
:
Hướng dẫn học bảng biến thiên của hàm số đó trên đoạn
−π
;
π
[
]
sinh khảo sát sự

biến thiên và vẽ
−π
đồ thị của hàm số x
0
y = cosx tương
y = cosx
1
tự như đã làm

π


đối với hàm số y
= sinx trên đây.
-1
Tuy nhiên, ta
nhận thấy cosx = Nhận xét:
sin
vớio Khi x thay đổi, hàm số y = cosx nhận mọi giá trị thuộc
π

đoạn [-1; 1]. Ta nói tập giá trị của hàm số y = cosx là
x + ÷
2


đoạn [-1; 1].
mọi x, nên bằngo Do hàm số y = cosx là hàm số chẵn nên đồ thị của hàm
cách tịnh tiến đồ số y = cosx nhận trục tung làm trục đối xứng.
. Từ đó

thị hàm số y =o Hàm số y = cosx đồng biến trên khoảng
−π
;
0
(
)
sinx sang trái
một đoạn có độ
tính chất tuần hoàn với chu kì , hàm số y = cosx đồng
dài , ta được đồ
2π
π
2

biến trên mỗi khoảng

thị hàm số y =
cosx (nó cũng
được gọi là một
đường
hình
sin).Từ đó suy ra
chiều biến thiên

( −π + k2π; k2π )
B

H

A'

M

Nhận xét t/c hàm
số

, k ∈ Z.

0
x

A

B'

GHI NHỚ:
Hàm số y = sinx

Hàm số y = cosx

Tập xác định là R;

Tập xác định là R;

Tập giá trị là [-1; 1];

Tập giá trị là [-1; 1];

Hàm số lẻ;

Hàm số chẵn;

Hàm số tuần hoàn với chu kì Hàm số tuần hoàn với
;
chu kì ;
2π

So sánh hai hàm
số về từng tính
chất của nó ?

Đồng biến trên mỗi khoảng

2π

Đồng biến trên mỗi


hướng dẫn h/s
lập bảng ghi nhớ

π
 π

 − + k2π; + k2π ÷
2
 2


và ngịch

biến trên mỗi khoảng
, k ∈ Z.

-

khoảng

( −π + k2π; k2π )

và

ngịch biến trên mỗi
khoảng
,k

( k2π; π + k2π )

3π
π

 + k2π; + k2π ÷
2
2


∈ Z.

Có đồ thị là một đường hình
sin.

Có đồ thị là một đường
hình sin.

2. Củng cố:nhắc lại định nghĩa hàm số y = sinx, y = cosx ; Nêu tập xác định,
tính chẵn lẻ ?
3. Hướng dẫn về nhà : Học thuộc định nghĩa hàm số y = sinx, y = cosx ; Nêu
tập xác định, tính chẵn lẻ của các hàm số này. Làm bài tập SGK


TIẾT 4
1. Kiểm tra bài cũ:
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
định nghĩa hàm số y = sinx, y = cosx ; Học sinh lên bảng lam theo hướng
Nêu tập xác định, tính chẵn lẻ , tập dẫn của giáo viên
giá trị, sự biến thiên...của các hàm số
này. Làm bài tập SGK

2. Nội dung bài mới:
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
H6: Tại sao có thể khẳng 2. Các hàm số y = tanx và y = cotx
định hàm số y = tanx đồng a. Định nghĩa :
biến
trên
mỗi
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x ∈ D1
khoảng
với số tanx =

được gọi là hàm số tang, kí
?
sinx
π
 π

 − 2 + kπ; 2 + kπ ÷,k ∈ Z



cosx

hiệu là y = tanx.
Với mỗi số thực x mà cosx ≠ Vậy hàm số y = tanx có tập xác định D1 ;
0, tức là x ≠
(k ∈ Z), ta
ta viết tan : D1 → R
π
+ kπ
x  tanx
2
xác định được số tanx =
. Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x ∈ D2
sinx
với số
cosx
cotx =
được gọi là hàm số côtang,
cosx
Đặt D1 = R\

.
sinx
π

 + kπ / k ∈ Z
2


•
Với mỗi số thực x mà sinx
≠ 0, tức là x ≠
(k ∈ Z), ta
kπ

kí hiệu là y = cotx.
Vậy hàm số y = cotx có tập xác định D2 ;
ta viết cot : D2 → R
x  cotx
Trên hình 1.9


xác định được số cotx =

. Đặt D2 = R\

trôc c«tang

{ kπ / k ∈ Z}

cosx

sinx

ta có (OA, OM) = x, tanx =

AT

, cosx =

BS

.

.

B

+

M

0

B'

A
trôc tang

x

A'

Do tính chất tuần hoàn với
chu kì của hàm số y = tanx,
π

ta chỉ cần khảo sát sự biến
thiên và vẽ đồ thị của nó trên
khoảng
, rồi tịnh
 π π
 − 2 ; 2 ÷ ⊂ D1



Nhận xét:
*) Hàm số y = tanx là một hàm số lẻ vì nếu x
∈ D1 thì -x ∈ D1 và tan(-x) = -tanx.
*) Hàm số y = cotx cũng là một hàm số lẻ vì
nếu x ∈ D2 thì -x ∈ D2 và cot(-x) = -cotx.
b. Tính chất tuần hoàn:
Có thể chứng minh rằng T = là số dương
π

nhỏ nhất thoả mãn tan (x + T) = tanx với mọi
x ∈ D1 và T = cũng là số dương nhỏ nhất

π
tiến phần đồ thị vừa vẽ sang
trái, sang phải các đoạn có độ thoả mãn cot (x + T) = cotx với mọi x ∈ D2
dài

, ... thì được toàn
Ta nói các hàm số y = tanx và y = cotx là
π,2π,3π
những hàm số tuần hoàn với chu kì .
π
bộ đồ thị của hàm số y =
tanx.
c. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y =
tanx
Chiều biến thiên (h. 1.10) :
Khi cho x = (OA, OM) tăng từ
đến

−

π
2

π
2


(không kể

B

A'

x

A

0
+
M
B'

π
−
2

và

π
2

) thì điểm M chạy trên

đường tròn lượng giấc theo chiều dương từ B’
đến B (không kể B’ và B). Khi đó điểm T
thuộc trục tang At sao cho
= tanx chạy dọc
AT

T

theo At suốt từ dưới lên trên, nên tanx tăng từ
-∞ đến +∞ (qua giá trị 0).
Đồ thị: Đồ thị của hàm số y = tanx có dạng
như hình 1.11.

y

-3π/2

-π/2

0

π/2

x
3π/2

Nhận xét:
*) Khi x thay đổi, hàm số y = tanx nhận mọi
giá trị thực. Ta nói tập giá trị của hàm số y =
tanx là R.
*) Vì hàm số y = tanx là hàm số lẻ nên đồ thị
của nó nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
Hàm số y = cotx xác địnho Hàm số y = tanx không xác định tại x =
(k ∈ Z). Vơi mỗi k ∈ Z, đường thẳng
trên D2 = R\{k k ∈ Z} là
π

π
+ kπ
2

một hàm số tuần hoàn với
chu kì . Ta có thể khảo sát vuông góc với trục hoành, đi qua điểm

π
gọi là một đường tiệm cận của đồ
sự biến thiên và vẽ đồ thị của  π + kπ;0

÷

nó tương tự như đã làm đối  2


với hàm số y = tanx.

thị hàm số y = tanx. (Từ “tiệm cận” có nghĩa
là ngày càng gần. Chẳng hạn nói đường thẳng
x = là một đường tiệm cận của đồ thị hàm
π
2

số y = tanx nhằm diễn tả tính chất: điểm M
trên đồ thị có hoành độ càng gần
thì M
π
2

càng gần đường thẳng x =

π
2

).

d. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y =
cotx
Đồ thị của hàm số y = cotx có dạng như
hình 1.12. Nó nhận mỗi đường thẳng vuông
góc với trục hoành, đi qua điểm
,k∈Z

( kπ;0)

làm một đường tiệm cận.
y

−π

−π/2

0

π/2

π

x
3π/2

2π

GHI NHỚ:
Hàm số y = tanx
Có tập xác định là D1 =

π

R  + kπ k ∈ Z
2


Có tập giá trị là R

Hàm số y = cotx
Có tập xác định là
D2 =
R

{ kπ k ∈ Z}

Có tập giá trị là R


Là hàm số lẻ

Là hàm số lẻ

Là hàm số tuần hoàn với
chu kì

Là hàm số tuần
hoàn với chu kì

Đồng biến trên mỗi
khoảng

Nghịch biến trên
mỗi khoảng
;

π

π
 π

 − 2 + kπ; 2 + kπ ÷,k ∈ Z



Có đồ thị nhận mỗi
đường thẳng x =

;

π
+ kπ
2

π

( kπ;π + kπ ) ,k ∈ Z

(k

Có đồ thị nhận mỗi

đường thẳng x =

kπ

(k ∈ Z) làm một
∈ Z) làm một đường tiệm
đường tiệm cận.
cận.
Các hàm số y = sinx, y = 3. Về khái niệm hàm số tuần hoàn
cosx là những hám số tuần Một cách tổng quát :
hoàn với chu kì 2 ; các hàm Hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D
π
được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T ≠ 0
số y = tanx, y = cotx là
sao cho với mọi x ∈ D ta có:
những hàm số tuần hoàn với
x + T ∈ D, x – T ∈ D và f (x + T) = f(x).≈
chu kì .
π
Nếu có số T dương nhỏ nhất thoả mãn các
y
điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là một
hàm số tuần hoàn với chu kì T.
2
-3π/2
-π/2
π/2
3π/2 x
Ví dụ: Các hàm số y = 2sin2x (đồ thị ở hình
π

-π
0
1.13), hàm số y = sin (đồ thị ở hình 1.14),
-2
x
2

y
-π
-2π

1
-1 0

2π
π

x

và hàm số có đồ thị 1.15 là những hàm số
tuần hoàn.


y
1
x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

3. Củng cố:nhắc lại định nghĩa hàm số y = sinx, y = cosx ; Nêu tập xác định,
tính chẵn lẻ ?

4. Hướng dẫn về nhà : Học thuộc định nghĩa hàm số y = sinx, y = cosx ; Nêu
tập xác định, tính chẵn lẻ của các hàm số này. Làm bài tập SGK