LÝ THUYẾT VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

ia sư toán lớp 11 - Giới hạn dãy số
LÝ THUYẾT VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Định nghĩa giới hạn hữu hạn.
*Dãy số (un) được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực,nếu
số dương bé tuỳ ý,kể từ số hạng nào đó trở đi.

có thể nhỏ hơn một

Kí hiệu
*Dãy số (un) được gọi là có giới hạn a khi
Kí hiệu :limun=a hay
2. Định nghĩa giới hạn vô cực.
*Dãy số (un) được gọi là có giới hạn +

nếu lim(un-a)=0

khi

,nếu un có thể lớn hơn một số dương bất

kì,kể từ số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu

.

Dãy số (un) được gọi là có giới hạn
Kí hiệu:
3.Các giới hạn đặc biệt.

.

a.

với k là số nguyên dương.

b.
c. limc =c (clà hằng số).
4. Định lí về giới hạn hữu hạn.
Định lí 1.
a.nếu limun=a và limvn=b,thì:

b. Nếu
5. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực.
Định lí 2.
a.
b.
c.
6.Cấp số nhân lùi vô hạn.
*Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân thoả mãn
*Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn:
VĐ1: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CÓ ĐA THỨC- PHÂN THỨC

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Các giới hạn đặc biệt.


a.

;.

b.

;
c. limc=c (clà hằng số).
d.

với k là số nguyên dương

e.
.
*Nếu biểu thức có dạng phân thức, ta thường chia tử số và mẫu số cho n k,trong đó k là số mũ
cao nhất của n(hoặc qn với q là số lớn nhất có luỹ thừa n)
*Nếu biểu thức không có dạng trên,tuỳ trường hợp có thể dùng các phép biến đổi sau:
+ Đặt thừa số chung để áp dụng định lí về giới hạn vô cực.
+ Nhân và chia cho biểu thức liên hợp để đưa về dạng phân thức,khi biểu thức chứa biến n
dưới dấu căn.
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
a. lim (-2n3 – 5n + 9)
b. lim (8n – 3n3 + 1)
4
c. lim (6n – n + 1)
d. lim (2 – 3n + 7n2)
Bài 2. Tìm các giới hạn sau:
a. lim(2n3+3n-1)
b.
c.
d. lim (3n2 – 3n – 3)
Bài 3
a. Tính
b. Tính
c.Tính

Bài 4

Bài 5


Bài 6

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Tìm giới hạn
Đs : 5/3
Bài 2. Tìm
Đs : 2/3
Bài 3. Tìm
Đs : 0
Bài 4. Tính
Đs : -1
Bài 5:

Bài 6:
Bài 7:

Bài 8.

VĐ2: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Các giới hạn đặc biệt.
a.
;.
b.

;

c. limc=c (clà hằng số).
d.
với k là số nguyên dương
e.

.


Các hằng đẳng thức thường sử dụng.
Nhân
lượng
liên
hợp:

dùng

các

hằng

đẳng

thức

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tính
Bài

2 : Tính

Bài

3. Tính

Bài

4. Tính

Bài

5. Tính

Bài

6. Tính

Bài

7. Tính

Bài

8.

Bài

9.

Bài

10.

Bài

11.

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài

1.

Bài

2.


Bài

3.

Bài

4.

Bài

5.

Bài

6.

VĐ3: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ BẰNG ĐỊNH LÝ KẸP
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Các giới hạn đặc biệt.
a.
;.
b.

;

c. limc=c (clà hằng số).
d.
với k là số nguyên dương
e.

.

Định

lý

kẹp:

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tính
Bài 2. Tính

Bài 3. Tính
Bài

4.

Tính


Bài 5. Tính
Bài 6. Tính
Bài 7. Tính
Bài 8. Tính

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Tìm các giới hạn sau (Bài 1 đến bài 7)
Bài 1.
Bài 2.
Bài 3.
Bài 4.
Bài 5.
Bài 6.
Bài 7.

VĐ4: TÍNH TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN, TỔNG VÔ HẠN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Cấp số nhân (un) có công bội là q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) có công bội q, khi đó :

PP giải toán : Chứng minh dãy số tương ứng là một cấp số nhân lùi vô hạn (nếu bài toán chưa
cho giả thiết này). Sau đó tính tổng bằng công thức :

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài
1. Tính
tổng

S

của

cấp

số

nhân

lùi

vô

hạn

sau :


Bài 2. Tính tổng

Bài 3. Tính

Bài 4. Tính

Bài 5. Tính
Bài 6.
Bài 7. Tính B=cosx+cos2x+cos3x+...+cosnx+...
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài

Bài

2.Tính

1. Tính

các

tổng

sau: