Các dạng bài số phức và các phép toán trên số phức – Lê Văn Đoàn

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (766.2 KB, 40 trang )

Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

Chuyên đề

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

4

SỐ PHỨC

§ 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC & CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC


1. Định nghĩa
— Đơn vị ảo: Số i mà i 2  1 được gọi là đơn vị ảo.
— Số phức z  a  bi với a, b  . Gọi a là phần thực, b là phần ảo của số phức z.
— Tập số phức   {a  bi | a, b  ; i 2  1}. Tập số thực   .
Ví dụ. Số phức z  3  2i có phần thực là ………… phần ảo là …………
Đặc biệt:

 Khi phần ảo b  0  z  a    z là số thực.
 Khi phần thực a  0  z  bi  z là số thuần ảo.
 Số 0  0  0i vừa là số thực, vừa là số ảo.
2. Hai số phức bằng nhau
Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
a  c
a  bi  c  di  
với a, b, c, d  .
b  d

Ví dụ. Tìm các số thực x, y, biết rằng (2x  1)  (3y  2)i  (x  2)  (y  4)i.

.............  .............
x  .......

Giải. Từ định nghĩa, ta có: 




.............  .............
y  .......


3. Biểu diễn hình học của số phức
Điểm M (a ;b) trong hệ trục tọa độ vng góc của mặt
phẳng được gọi là điểm biểu diễn của số phức z  a  bi.

y
3

Ví dụ. Quan sát hình vẽ bên cạnh, ta có:

D

A

2

Điểm A biểu diễn cho số phức: ………………

-3

-2

-1

Điểm B biểu diễn cho số phức: ………………

1
-1

Điểm C biểu diễn cho số phức: ………………

-2
-3

C

Điểm D biểu diễn cho số phức: ………………

x

O
1

2

3

B

4. Mơđun của số phức
Giả sử số phức z  a  bi được biểu diễn bởi điểm M (a ;b) trên mặt phẳng tọa độ.

— Độ dài của véctơ OM được gọi là mơđun của số phức z và được
y

kí hiệu là z . Khi đó: z  OM  a  bi  a 2  b 2 .
M
b
— Kết quả: z   ta có: z  0, z  0  z  0, z 2  z
2

z 1 .z 2  z 1 . z 2 , z .z  z , z  z ,

z1
z2



z1
z2

2

và

x
O

a



Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

Page - 1 -

Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

Ví dụ. Tìm mơđun của các số phức sau:

 z  3  2i  z  3  2i  .......................  ...........

 z  1  i 3  z  1  i 3  ....................  ...........
5. Số phức liên hợp
— Định nghĩa. Cho số phức z  a  bi, (a, b  ). Ta gọi a  bi là số phức liên hợp của z
y
và được kí hiệu là z  a  bi.
b
z = a + bi
Ví dụ. Cho z  3  2i  z  ......................

O

Cho z  4  3i  z  ........................

-b

a

x

z = a - bi

— Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm biểu diễn z và z đối xứng với nhau qua trục Ox .
— Từ định nghĩa, ta có các kết quả sau:

 z  z; z  z .

 z1  z 2  z1  z 2 .

 z 1.z 2  z 1.z 2 .

 z  z
  1   1 
 z 2  z 2

 z là số thực  z  z .

 z là số thuần ảo  z  z .

6. Cộng, trừ, nhân, chia số phức
Cho hai số phức z1  a  bi và z 2  c  di.
— Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức.
 Phép cộng: z1  z 2  (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i.

 Phép trừ: z1  z 2  (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i.
Số phức đối của số phức z  a  bi là z  a  bi. Do đó z  (z )  (z )  z  0.
Ví dụ. Cho hai số phức là z1  5  2i và z 2  3  7i. Tìm phần thực, phần ảo và mơđun
của số phức w  z1  z 2 và số phức w  z 2  z1 ...................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
— Phép nhân số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức, rồi thay i 2  1 trong kết
quả nhận được. Cụ thể z1.z 2  (ab  bd )  (ad  bc )i.
Ví dụ. Cho hai số phức: z1  5  2i và z 2  4  3i. Hãy tính:

 w  z1.z 2  ................................................................................................................................
 r

z1
z2

 ....................................................................................................................................

 z1.z 2  ........................................................................................................................................
— Phép chia:

z1
z2



z 1.z 2
z 2 .z 2



z 1.z 2
z2

2



ac  bd bc  ad
 2
 i, (z 2  0).
c2  d 2
c  d2

— Số phức nghịch đảo của z  a  bi  0 là

1
z
z
 2  2

2
z
a

b
z

Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

Page - 2 -

Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

Bài tập vận dụng
BT 1.

Tìm các số thực x và y thỏa các điều kiện sau (nhóm sử dụng 2 số phức bằng nhau)
a) 2x  1  (1  2y )i  2(2  i)  yi  x .
Lời giải tham khảo
Từ điều kiện  (2x  1)  (1  2y )i  4  2i  yi  x

2x  1  4  x
x  1
 (2x  1)  (1  2y )i  (4  x )  (y  2)i  
 

1  2y  y  2
y  1


Nhận xét: Ở trên đã sử dụng kết quả của hai số phức bằng nhau nếu phần thực và
phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
b) (1  2i)x  (1  2y)i  1  i.

ĐS: x  1, y  1.

BT 2.

Nhóm bài tốn tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và mơđun của z , w (loại 1)
a) Cho z thỏa (2  i )z 

1i
 5  i. Tìm các thuộc tính của w  1  2z  z 2 .
1i
Lời giải tham khảo

Từ điều kiện có (2  i )z 

 (2  i )z 

(1  i )2
1  2i  i 2
 5  i  (2  i )z 
 5i
(1  i )(1  i )
1  i2

2i
5
5(2  i)
 5  i  (2  i )z  5  z 
z 
2
2i
(2  i)(2  i )

Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

Page - 3 -

Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

z 

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

10  5i 10  5i

 z  2  i.
5
4  i2

Suy ra w  1  2z  z 2  1  2(2  i )  (2  i )2  8  6i có phần thực là 8, ảo là 6.
Số phức liên hợp của w là w  8  6i  mơđun w  w 

8 2  62  10.

Nhận xét:

 Về phương pháp tự luận, để thực hiện phép chia 2 số phức, ta cần nhân thêm số
1i
(1  i )2
phức liên hợp của mẫu số, chẳng hạn trong lời giải trên có



1  i (1  i )(1  i )
 Nếu sử dụng casio, ta chuyển về chế độ CMPLX (mode 2) (i tương ứng ENG).

1i
1  i sẽ được kết quả 2  i, nghĩa là tìm được
Chuyển vế tìm z và nhập
2 i
số phức z  2  i. Các phép tốn còn lại thao tác tương tự trên casio.
5 i 

b) z  (2  4i)  2i(1  3i).

ĐS: z  8  6i.

..........................................................................................................................................................
c) (1  i )z  14  2i.

ĐS: z  6  8i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
d) (1  i)z  (2  i)  4  5i.

ĐS: z  3  i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
e) w  z1  2z2 biết rằng z1  1  2i, z1  2  3i.

ĐS: w  3  8i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
f)

w  z1z 2 biết rằng z1  2  5i, z 2  3  4i.

ĐS: w  26  7i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

Page - 4 -

Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

g) (1  2i )z 

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

9  7i
 5  2i.
3i

ĐS: z  1  3i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
h) (1  i )2 (2  i )z  8  i  (1  2i )z .

ĐS: z  2  3i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
BT 3.

Nhóm bài tốn tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và mơđun của z (loại 2)
a) Cho số phức z thỏa mãn (2  3i)z  (1  2i)z  7  i. Tìm mơđun của z.
Lời giải tham khảo
Gọi z  a  bi  z  a  bi (a, b  ).
Ta có (2  3i )z  (1  2i)z  7  i  (2  3i)(a  bi)  (1  2i)(a  bi)  7  i

 2a  2bi  3ai  3bi 2  a  bi  2ai  2bi 2  7  i  (a  5b )  (a  3b)i  7  i
a  5b  7
a  2


 
 z  2  i  z  2  i  22  (1)2  5.
a  3b  1

b  1


Phần thực của số phức z là 2, phần ảo bằng 1, số phức liên hợp z  2  i.
Nhận xét: Khi bài tốn u cầu tìm các thuộc tính của số phức (phần thực, phần ảo,
mơđun hoặc số phức liên hợp) mà đề bài cho giả thiết chứa hai thành phần trong ba
thành phần z , z , z thì ta sẽ gọi số phức z  a  bi  z  a  bi, z  a 2  b 2 ,
với a,b  , rồi sau đó thu gọn và sử dụng kết quả hai số phức bằng nhau, giải hệ.
b) 2z  iz  2  5i.

ĐS: z  3  4i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
c) z  (2  i )z  3  5i.
Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

ĐS: z  2  3i.
Page - 5 -

Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................
d) 2z  3(1  i )z  1  9i.

ĐS: z  2  3i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
e) (3z  z )(1  i )  5z  8i  1.

ĐS: z  3  2i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
f) (2  3i )z  (4  i )z  (1  3i )2 .

ĐS: z  2  5i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
g) (3  2i )z  5(1  i )z  1  5i.

ĐS: z  1  i.

Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

ĐS: w  6  i.

Page - 8 -

Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
r) z  1  (1  i )  (1  i )2  (1  i )3        (1  i )20 .

ĐS: z  (210  1)i  210.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
BT 4.

Nhóm bài tốn tìm các số phức z thỏa mãn biểu thức số phức là số thực, số thuần ảo
a) (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 102 câu 44) Có bao nhiêu số phức z thỏa
mãn z  2  i  2 2 và (z  1)2 là số thuần ảo ?
Lời giải tham khảo

Gọi z  a  bi (a, b  ).
Ta có (z  1)2  z 2  2z  1  (a  bi )2  2(a  bi )  1

 (z  1)2  a 2  2abi  b 2i 2  2a  2bi  1  (a 2  b 2  2a  1)  (2ab  2b)i
Vì (z  1)2 là số thuần ảo nên phần thực của nó bằng 0, nghĩa là có:

a 2  b 2  2a  1  0  (a  1)2  b 2  0

(1)

Ta có z  2  i  2 2  a  bi  2  i  2 2  (a  2)  (b  1)i  2 2

 (a  2)2  (b  1)2  2 2  (a  2)2  (b  1)2  8

(2)

b  a  1

(a  2)2  (b  1)2  8
b 2  (a  1)2

Từ (1),(2)  hệ phương trình 
 
2
2
(a  2)  (b  1)  8
b  1  a


(a  2)2  (b  1)2  8



b  a  1
b  a  1


(a  2)2  (a  2)2  8
2a 2  0



 

b  1  a
b  1  a

 2
(a  2)2  a 2  8
a  2a  2  0



a  0

b  1



a  1  3


b  2  3


Có ba số phức thỏa mãn u cầu bài tốn là z  i, z  1  3  (2  3)i.

Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

Page - 9 -

Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

Nhận xét: Số phức z  a  bi được gọi là số phức thuần ảo  phần thực a  0 và z
là số thực  phần ảo b  0.
b) z  5 và phần thực bằng 2 lần phần ảo.

ĐS: z  3  i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
c)

z  2 và z 2 là số thuần ảo.

z  1  i
ĐS: 


z  1  i

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
d) z  i  2 và (z  1)(z  i ) là số thực.

ĐS: z  1, z  1  2i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
e)

2z  z  13 và (1  2i)z là số thuần ảo.

ĐS: z  (2  i).

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

Page - 10 -

Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
f) (z  1)(z  2i ) là số thực và z  1 

5.

ĐS: z  2i, z  2  2i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
g) z  z  6 và z 2  2z  8i là số thực.

ĐS: z  3  2i.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

Nhóm bài tốn lấy mơđun hai vế của đẳng thức số phức (đề cần tính |z| hoặc P(|z|)
a) Cho số phức z thỏa mãn z  4  (1  i ) z  (4  3z )i. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. 0  z  1.

B. 1  z  3.

C. 3  z  10.

D. 10  z  50.

Lời giải tham khảo



 



Từ giả thiết, ta có z  4  z  i z  4i  3iz  (1  3i )z  z  4  z  4 i



 



Lấy mơđun hai vế, được (1  3i )z  z  4  z  4 i

 (1  3i ) . z 
2

2

 z  4   z  4
2

2

2

 z  4   z  4
2

 10. z 

2

2

 10 z  2 z  32  8 z  32  z  4  z  2. Chọn đáp án B.
Nhận xét: Lấy mơđun hai vế của một biểu thức số phức thực ra là việc sử dụng phép kéo
theo của hai số phức bằng nhau z 1  z 2  z 1  z 2 . Do đó ta chỉ được thực hiện được
nó khi biểu thức giả thiết của bài tốn được đưa về các dạng chuẩn sau:
 a  bi  c  di, với a, b, c, d  .
 (a  bi)z  c  di hoặc (a  bi)z  c  di với a, b, c, d  .


a  bi
a  bi
 ci  d hoặc
 ci  d với a, b, c, d  .
z
z
2

Ta thường sử dụng các tính chất z  z , z .z  z  z

2

và z 1 .z 2  z 1 . z 2 .

b) Tìm mơđun của số phức z thỏa mãn 2z  2  (1  i ) z  (2  z 2)i.
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
c) Cho số phức z  0 thỏa mãn z (2  3i ) z  3  2i   26  0. Tính giá trị của z .


..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

Page - 12 -

Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

d) Cho số phức z  0 thỏa mãn

1  i (2  3i )z

 2  i. Tính giá trị của z .
2
z
z

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
e) Cho số phức z  0 thỏa mãn (1  2i) z 

10
 i  2. Tính giá trị của z .
z

..........................................................................................................................................................

a 2  b 2  1
a 2  b 2  1
 z 1  z 2  1
 a b  1



Có 






 2
 z 1  z 2  1
 (1  a )  bi  1
(1  a )2  b 2  1
a  2a  1  b 2  1






a  1
1
3
1
3

1
3

2
i  z1  z 2  
i.
 
 z2  
i và sẽ chọn z 2  

2
2
2
2
2
2
3
b  
2

Kiểm tra z 1  z 2  z 1  z 2 thỏa mãn u cầu bài tốn.
2

2

 2 
 2  casio
 z 1  
 z 
Khi đó P       2     1 là kết quả cần tìm.

 z 2  
 z 1  




b) Cho hai số phức z1  0, z 2  0 thỏa mãn z 1  z 2  5 z 1  z 2 . Gọi a, b lần lượt là
phần thực và phần ảo của số phức w  z1z 2 . Tính a 2  b 2 .
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
c) Cho các số phức z1, z 2 thỏa mãn z1z 2  1 và z 1  z 2  1. Tìm phần ảo của số
phức w 

z1  z 2
1  z1z 2



..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

Page - 14 -

Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
d) Cho các số phức z1  0, z 2  0 thỏa mãn z12  2z1z 2  2z 22  0. Tính P 

z1
z2



z2
z1



..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
BT 7.

Nhóm bài tốn sử dụng bất đẳng thức trong số phức

Vì số phức z  a  bi được biểu diễn bởi điểm M (a ;b) trên mặt phẳng tọa độ. Do đó ta

có thể xem véctơ OM  (a ;b) cũng biểu diễn cho số phức z. Nghĩa là có thể sử dụng bất
đẳng thức véctơ trong phép tốn max – min của số phức.



Cho ba véctơ u  (a;b), v  (x ; y ), w  (m; n ) và khi đó:


a b
 

 
x
y
 u  v  u  v . Dấu "  " xảy ra  u, v cùng chiều   hay  
x
y
a b

a b

 
 
x
y
 u  v  u  v . Dấu "  " xảy ra  u, v cùng chiều   hay  
x
y

a b

a b
 

 
x
y
 u . v  u .v . Dấu "  " xảy ra  u, v cùng chiều   hay  
x
y
a b


a
x
m

  
 u  v  w  u  v  w . Dấu "  " xảy ra    
b
y
n
Các bất đẳng thức cổ điển thường được sử dụng:
 Bất đẳng thức Cauchy:
 Với a, b  0 thì:

a b
 ab . Dấu "  " xảy ra  a  b  0.
2

 Với a, b, c  0 thì:

a b c 3
 abc . Dấu "  " xảy ra  a  b  c  0.
3

 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiacơpxki):
Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

Page - 15 -

Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

 Với a, b  0 và x, y bất kỳ ta ln có
Dấu "  " xảy ra 

x 2 y 2 (x  y )2


(Dạng cộng mẫu số).
a
b
a b

a
b

x
y
 hay  
x
y
a
b

(a.x  b.y )2  (a 2  b 2 )(x 2  y 2 )

 Với a, b, x, y bất kỳ ta ln có: 


 a.x  b.y  (a 2  b 2 ).(x 2  y 2 )

Dấu "  " xảy ra 

a
b
x
y
 hay  
x
y
a
b

(a.x  b.y  c.z )2  (a 2  b 2  c 2 )(x 2  y 2  z 2 )

 Với x, y, z bất kỳ thì: 



 a.x  b.y  c.z  (a 2  b 2  c 2 )(x 2  y 2  z 2 )

Dấu "  " xảy ra 

a
b
c
x
y z
  hay   
x
y
z
a
b
c

Lưu ý:
 Ta có thể sử dụng phương pháp hàm số (hoặc tam thức) để tìm max – min.
 Ngồi ra còn sử dụng phương pháp hình học (sẽ tìm hiểu kỹ ở bài học 2).
a) Cho số phức z thỏa z  3  4i  4. Tìm giá trị lớn nhất Pmax của P  z .
Bài giải tham khảo

 

Cách giải 1. Áp dụng bất đẳng thức u  v  u  v , hay z 1  z 2  z 1  z 2 .





Ta có 4  z  3  4i  z  (3  4i )  z  3  4i  z  5  P  z  9.
Vậy giá trị lớn nhất của P là Pmax  9.
Cách giải 2. Sử dụng lượng giác hóa.
Gọi z  x  yi (x, y  ). Ta có z  3  4i  4  (x  3)  (y  4)i  4

 x  3
2
2

 sin 




x  3
y  4

2
2


4


 (x  3)  (y  4)  16  
   4   1. Đặt 
y  4

 4 


 cos 

 4
x  4 sin   3
 
 Khi đó P  z  x 2  y 2  (4 sin   3)2  (4 cos   4)2
y  4 cos   4

 41  24 sin   32 cos   41  24 2  322 sin(   )  41  40 sin(   )

24

2

2

 cos ,

32

 sin .
24  32
24  322
Vì 1  sin(   )  1  40  40 sin(   )  40  1  41  40 sin(  )  81
với

2

 1  41  40 sin(   )  9  1  P  9. Suy ra Pmin  1 và Pmax  9.
Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức a .x  b.y  (a 2  b 2 )(x 2  y 2 )
Ta có 24. sin   (32).cos   (24 2  322 )(sin 2   cos2 )  40
Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

Page - 16 -

Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

 40  24 sin   32 cos   40  1  41  24 sin   32 cos   81

 1  41  24 sin   32 cos   9  Pmin  1 và Pmax  9.
Cách giải 3. Sử dụng phương pháp hình học (sẽ tìm hiểu rộng ở bài học 2).
Gọi z  x  yi (x, y  ). Ta có z  3  4i  4  (x  3)  (y  4)i  4

 (x  3)2  (y  4)2  16. Do đó tập hợp biểu diễn số phức z là một đường tròn
có tâm I (3; 4), bán kính R  4.
 z
 OM 1  OI  IM 1  OI  R  1
Từ hình vẽ 

 min
 z
 OM 2  OM 1  2R  9
 max
Để tìm z có mơđun lớn nhất và z có mơđun nhỏ nhất chính

là tọa độ hai điểm M1, M 2 cũng là tọa độ giao điểm của
đường thẳng OI và đường tròn.


Đường thẳng OI qua O(0; 0) và có VTCP là OI  (3; 4)
 3 4   27 36 
x
y
4
 y   x  (x ; y )   ;  ;  ;   
có dạng 



3 4
3
5 
 5 5   5
Nhận xét: Cách 2 và 3 tổng qt hơn, có thể tìm Pmax và Pmin cùng một lúc. Tùy vào u
cầu của bài tốn mà ta chọn phương pháp cho phù hợp cho trắc nghiệm hoặc tự luận.
b) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz  4  3i  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của z .
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

Page - 17 -

Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
c) Cho số phức z thỏa z 2  i  1. Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P  z .
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

Page - 18 -

Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................
d) Trong các số phức thỏa mãn z  2  4i  z  2i , tìm số phức có mơđun nhỏ nhất ?
Bài giải tham khảo
Gọi z  x  yi (x, y  ). Từ điều kiện  x  yi  2  4i  x  yi  2i

 (x  2)  (y  4)i  x  (y  2)i  (x  2)2  (y  4)2  x 2  (y  2)2

 x  y  4  0  y  4  x.
Cách giải 1. Sử dụng tam thức bậc hai.
Ta có z  x 2  y 2  x 2  (4  x )2  2x 2  8x  16  2(x  2)2  8  2 2.

 z

min

 2 2 và dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi x  y  2  z  2  2i.

Cách giải 2. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng cộng mẫu
2

2

Ta có z  x  y 

 z

min

x 2 y2
(x  y )2




1
1
11

x 2 y 2 (x  y )2



a
b
a b

42
 2 2.
2

 2 2 và dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi x  y  2  z  2  2i.

Cách giải 3. Sử dụng hình học
Tập hợp biểu diễn số phức z là đường d : x  y  4  0.
Số phức có mơđun nhỏ nhất  z

min

 OH và số phức cần

tìm chính là tọa độ điểm H là hình chiếu của điểm O lên d.

Vì OH  d : x  y  4  0  OH : x  y  m  0.
Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

Page - 19 -

Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

Do O(0; 0)  OH  m  0  OH : x  y  0. Tọa độ điểm H  d  OH thỏa mãn
x  y  4
x  2
hệ phương trình 
 
 H (2;2)  z  2  2i  z
 2 2.

min
x  y
y  2


e) Trong các số phức thỏa mãn z  i  z  2  3i , tìm số phức có mơđun nhỏ nhất ?
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................
f) Trong các số phức thỏa mãn iz  3  z  2  i , tìm số phức có mơđun nhỏ nhất ?
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
g) Trong các số phức thỏa (z  1)(z  2i) là số thực, tìm số phức có mơđun nhỏ nhất ?
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
h) Trong các số phức thỏa mãn z  1  z  i , tìm mơđun nhỏ nhất w

min

của số phức

w  2z  2  i.
..........................................................................................................................................................

Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

Page - 20 -

Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
i) Cho các số phức z, w thỏa mãn z  2  2i  z  4i và w  iz  1. Tìm giá trị nhỏ
nhất của w .
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
j) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2. Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của biểu thức P 

A.

3

4

z i

z
B. 1.

C. 2.

D.

2

3

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
k) Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  8. Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất z . Tìm M  m.
A. 4  7.

B. 4  7.

C. 7.

D. 4  5.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

Page - 21 -

Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
l) Cho số phức z thỏa z  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  z  3 1  z .
Lời giải tham khảo
Gọi z  x  yi (x, y  ).
Từ giả thiết z  1 

x 2  y 2  1  x 2  y 2  1  y 2  1  x 2  0  x  [1;1].

Ta có P  1  z  3 1  z  (1  x )  yi  3 (1  x )  yi

 P  (x  1)2  y 2  3 (1  x )2  y 2  (x  1)2  1  x 2  3 (1  x )2  1  x 2
 P  2(1  x )  3 2(1  x ).
Xét hàm số P  f (x )  2(1  x )  3 2(1  x ) trên đoạn [1;1] có:

f (x ) 

1
2(1  x )



3

2(1  x )

, x  (1;1). Cho f (x )  0  x  

4
 (1;1).
5

 4
Tính f (1)  6, f (1)  2, f    2 10. Suy ra max P  2 10.
 5 
Dấu "  " xảy ra  x  

4
3
4 3
 y    z    i.
5
5
5 5

Cách khác: Sử dụng bất đẳng thức ax  by  (a 2  b 2 )(x 2  y 2 ).

P  1. (x  1)2  y 2  3 (1  x )2  y 2
 P  (12  32 ) (x  1)2  y 2  (1  x )2  y 2   20(x 2  y 2  1)  2 10.


Lưu ý: Ta có thể sử dụng phương pháp hình học sẽ ngắn hơn (bài học 2).
BT 8.

Cho số phức z1, z 2 thỏa z1  0, z 2  0, z1  z 2  0 và

A.

z1
z2



2

2

B.

z1
z2



3

2

C.

z1
z2

z

1
1
2
   Tính 1 
z1  z 2
z1 z 2
z2

 2 3.

D.

z1
z2



2
3



..........................................................................................................................................................
Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

Page - 22 -

Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
BT 9.

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2  2z  5  (z  1  2i )(z  3i  1) . Tính min w ,
với w  z  2  2i.
A. min w 

3

2

B. min w  2.

C. min w  1.

D. min w 

1

2

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
BT 10. Cho số phức z thỏa mãn z 2  4  z 2  2iz . Tìm giá trị nhỏ nhất của P  z  i .

A. min P  2.

B. min P  1.

C. min P  3.

D. min P  4.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
BT 11. Cho số phức z  x  2yi, (x , y  ) thay đổi thỏa mãn z  1. Tính tổng S của giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  y ?
A. S   5.

B. S  0.

C. S 

5.

D. S  2 5.

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

B. x  1, y  1.

C. x  1, y  1. D. x  1, y  1.

Tìm tất cả các cặp số thực (x; y ) thỏa điều kiện 3x  yi  2y  1  (2  x )i.
A. (1;1).

Câu 5.

B. P  3.

Tìm các số thực x, y thỏa mãn điều kiện (1  2i)x  (1  2y)i  1  i.
A. x  1, y  1.

Câu 4.

D. x  2, y  2.

Trên tập số phức, cho 2x  y  (2y  x )i  x  2y  3  (y  2x  1)i với x, y  .
Tính giá trị của biểu thức P  2x  3y.
A. P  7.

Câu 3.

C. x  0, y  2.

B. (1;1), (0; 1).

C. (1;0), (1; 1). D. (1; 1).

Tìm các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức x (3  5i )  y (1  2i )3   35  23i.
A. (x; y)  (3; 4).

B. (x ; y )  (3; 4).

C. (x; y)  (3; 4).

D. (x ; y )  (3; 4).

Cho số thực x, y thỏa 2x  1  (1  2y)i  2(2  i)  yi  x . Tính T  x 2  3xy  y.
A. T  1.

B. T  1.

C. T  2.

D. T  3.

Nhóm 2. Tìm số phức (hoặc xác định các thuộc tính của số phức – loại 1)
Câu 7.

(Đề thi minh họa lần 1 – Bộ GD & ĐT năm 2017) Cho số phức z  3  2i. Tìm phần
thực và phần ảo của số phức z .
A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i.
B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2.
C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i.
D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2.

Câu 8.

Câu 9.

(Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm 2 năm 2017) Tìm phần thực và phần ảo của số
phức z  i.
A. Phần thực là 0 và phần ảo là i.

B. Phần thực là 1 và phần ảo là i.

C. Phần thực là i và phần ảo là 0.

D. Phần thực là 0 và phần ảo là 1.

(Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm 2 năm 2017) Tìm phần thực và phần ảo của số
phức liên hợp z của số phức z  i(4i  3).
A. Phần thực là 4 và phần ảo là 3.

B. Phần thực là 4 và phần ảo là 3.

C. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i.

D. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i.

Câu 10. Cho các số phức z  1  2i và w  2  i. Hỏi số phức u  z .w có đặc điểm nào ?
A. Phần thực là 4 và phần ảo là 3.

B. Phần thực là 0 và phần ảo là 3.

C. Phần thực là 0 và phần ảo là 3i.

D. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i.

Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

Page - 24 -

Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán

T.T Hoàng Gia – 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

Câu 11. (Đề thử nghiệm lần 2 – Bộ GD & ĐT năm 2017) Tìm số phức liên hợp của số phức

z  i(3i  1).

A. z  3  i.

B. z  3  i.

C. z  3  i.

D. z  3  i.

Câu 12. Tìm số phức liên hợp của số phức z  (1  i)(3  2i).
A. z  1  i.

B. z  5  i.

C. z  5  i.

D. z  1  i.

Câu 13. Cho số phức z thoả mãn z (1  2i)  4  3i. Tìm số phức liên hợp z của z.

2 11
A. z    i.
5
5

B. z 

2 11
 i.
5
5

C. z 

2 11
 i.
5
5

D. z  

2 11
 i.
5
5

Câu 14. (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm 1 năm 2017) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
(1  3i)z  5  7i. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ?
A. z  

13 4
 i.
5
5

B. z 

13 4
 i.
5
5

C. z  

13 4
13 4
 i. D. z 
 i.
5 5
5
5

Câu 15. (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm 6 năm 2017) Cho các số phức z 1  2  3i và

z 2  1  4i. Tìm số phức liên hợp với số phức z 1z 2 .
A. 14  5i.

B. 10  5i.

Câu 16. Cho số phức z thoả mãn
A. z  5  i.

C. 10  5i.

D. 14  5i.

z
 1  i. Tìm số phức liên hợp z .
3  2i

B. z  1  5i.

C. z  5  i.

D. z  1  5i.

Câu 17. Cho số phức z thoả mãn (1  i)z  14  2i. Giả sử số phức liên hợp của z có dạng
z  a  bi. Tìm a  b.
A. a  b  4.

B. a  b  14.

C. a  b  4.

Câu 18. Xác định số phức liên hợp z của số phức z , biết
A. z  

7 5
 i.
2 2

B. z 

7 5
 i.
2 2

D. a  b  14.

(i  1)z  2
 2  3i.
1  2i

C. z  

7 5
 i.
2 2

D. z 

7 5
 i.
2 2

Câu 19. Tìm số phức liên hợp của số phức z  (2  i )(1  i )(2i  1)2 .

A. z  15  5i.
Câu 20.

B. z  1  3i.

C. z  5  15i.

D. z  5  15i.

(Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 Mã đề 104 câu 4) Cho số phức z  2  i. Tìm z .
A. z  3.

B. z  5.

C. z  2.

D. z  5.

Câu 21. (Đề thử nghiệm lần 3 – Bộ GD & ĐT năm 2017) Tính mơđun của số phức z thỏa mãn

z (2  i)  13i  1.

5 34

3

34

3
Câu 22. (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm 2 năm 2017) Tính mơđun của số phức z thỏa

mãn z  (1  2i ) 2  i  i(3  2i ) .


A. z  34.

B. z  34.

C. z 

A. z  4 10.

B. z  4 5.

C. z  160.

D. z 

D. z  2 10.

Câu 23. (Đề thi minh họa lần 1 – Bộ GD & ĐT năm 2017) Cho hai số phức z1  1  i và

z 2  2  3i. Tính mơđun của số phức z1  z 2 .
Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789

Page - 25 -

Các dạng bài số phức và các phép toán trên số phức – Lê Văn Đoàn

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về