UNG DUNG TICH PHAN TRONG HINH HOC (t1)

Nhắc lại kiến thức
Cho hình thang cong giới hạn bởi
 y = f(x) liên t u' c ,không âm/ [a;b],

 Truc Ox
 x =&
a; x = b

Công thức tính diện tích S của hình
thang cong là :
b

S = ∫ f(x)dx
a


I.TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:

1.Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành:
Bài toán1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:  y = f(x) liên t u' c /[a;b]
Gọi S : diện tích hình phẳng cần tính
*TH1: f(x) không đổi dấu /[a;b]
a) Nếu f(x) ≥ 0 trên [a;b]


 Truc Ox
 x =&
a; x = b


*TH2: f(x) đổi dấu /[a;b]

b

S = ∫ f(x)dx

c

d

a

b) Nếu f(x) ≤ 0 trên [a;b]
A’

y= -f(x)

B’

S = SaABb = SaA ' B 'b
b

= ∫ [ -f(x) ]dx
a

Tổng quát:

Khi đó S là tổng diện tích các
hình phẳng trên [a;b].Mỗi hình
phẳng được tính bởi công thức

ở TH1.

a

d

b

a

c

d

S = ∫ f ( x) dx+ ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx

b

S = ∫ f(x) dx

c

(1)


I.TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:

1.Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành:
*Bài toán 1: Tính S hình phẳng giới hạn bởi:  y = f(x) liên t u' c /[a;b]


( Ox )
y = 0
 x = a; x = b


b

S = ∫ f(x) dx (1)

a
*Chú ý:
Để tính tích phân (1),ta cần khử dấu Giá trị tuyệt đối của f(x)⇒ Giải PT : f(x) =0 trên
[a;b] để xác định dấu f(x) trên [a;b]

x 3 , trục Ox , x = -1 , x = 2

*VD1: Tính S hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y =

Lời giải:

Áp dụng công thức (1) ta có: S

2

= ∫ x 3 dx
−1

Giải phương trình:

x3 = 0 ⇒ x = 0 ∈ [-1;2]

3
Ta có x ≤ 0

x3 ≥ 0
2

S = ∫ x dx =
3

−1

0

0

∫

−1

∀x ∈ [ − 1;0]
∀x ∈ [0; 2]

2

x 3 dx + ∫ x 3 dx
0

4 0
4 2

x
x
17
= ∫ ( - x )dx + ∫ x 3dx = −
=
|+
|
0
-1
4 −1 4 0 4

3

2

(đvdt)


I.TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:
1.Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành:
2.Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong:
 y = f 1 (x) liên t u c /[a;b]
'


Bài toán 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  y = f 2 (x) liên t u c /[a;b]
*Xét f1 ( x ) ≥ f 2 ( x )


x




∀x ∈ [a; b]

Gọi S là diện tích của hình D
S1 là diện tích của hình A
S 2 là diện tích của hình B

'

= a; x = b

b

b

b

a

a

a

S = S1 − S 2 = ∫ f1 ( x)dx − ∫ f 2 ( x)dx = ∫ [f1 ( x) − f 2 ( x)]dx

Tổng quát:

b

S = ∫ f1 (x) - f 2 (x)dx (2)
a


I.TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:

1.Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành:
2.Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong:
b
*Bài toán 2: S = f (x) - f (x)dx (2)
2
∫a 1
*Chú ý :
Để tính (2),ta cần khử dấu GTTĐ của f1 ( x) − f 2 ( x) ⇒ Giải PT f1 ( x) − f 2 ( x) = 0
trên [a;b]
Nếu f1 ( x) − f 2 ( x) = 0 có nghiệm c; d mà a < c < d < b thì trên [a;c], [c;d],[d;b]
f1 ( x) − f 2 ( x) không đổi dấu .
Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên [a;c] ta có:
c

∫ | f ( x) − f
1

a

c

2

( x ) | dx = ∫ [f1 ( x ) − f 2 ( x )]dx
a


I.TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:
1.Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành:
2.Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong:
 y = f (x) liên t u c /[a;b]
*Bài toán 2: Tính diện tích
'


y

x



hình phẳng giới hạn bởi

1

= f (x) liên t u' c /[a;b]
= a; x = b
2

b

S = ∫ f1 (x) - f 2 (x).dx

(2)

a

 y = f ( x ) = cos x

1
*VD2: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi 
 y = f 2 ( x ) = s inx

 x = 0, x = π


Lời giải

Áp dụng công thức (2)

π

S = ∫ cos x − s inx dx

π
f1 ( x) − f 2 ( x) = 0 ⇔ cos x − s inx = 0 ⇔ x = ∈ [0; π ]
4
0

S=

π /4

∫ | cos x − s inx|d x
0

=

π /4

∫ (cos x − s inx)dx
0

=2 2

(đvdt)

+

π

∫

π /4

+

π

∫ | cos x − s inx|dx

π
4

π /4

(cosx − sin x)dx = (s inx + cos x)

π /4
π
+ (s inx + cos x)
0
π /4


I.TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:
1.Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành:
2.Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong:
 y = f (x) liên t u c /[a;b]
*Bài toán 2:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi


y

x



1

'

= f (x) liên t u' c /[a;b]
= a; x = b
2

b

S = ∫ f1 (x) - f 2 (x).dx (2)
a

3
*VD3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  y = f1 ( x ) = x − x

2
 y = f 2 ( x) = x − x

Lời giải

 x = −2
f1 ( x) − f 2 ( x) = 0 ⇔ x 3 + x 2 − 2 x = 0 ⇔  x = 0

Diện tích hình phẳng đã cho là:
 x = 1
0
1
1
Giải phương trình

S=

∫

| x + x − 2 x | dx =
3

2

−2
0

=

∫

−2

x3 + x 2 − 2 x dx + ∫ x3 + x 2 − 2 x dx
0

1

3
2
(
x
+
x
−
2
x

)
dx
+
(
x
+
x
− 2 x)dx
∫
∫
3

−2

2

0

4
3
0
x 4 x3
x
x
2
2 1
= ( + −x )
+ ( + −x )
−2
0

4 3
4 3

=

37
(đvdt)
12



1. Làm bài 1,2,3 SGK
2. Vẽ một Sơ đồ Tư duy của bài học theo cách
biểu diễn riêng của mình.
3. Bài tập làm thêm:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
y=-x+1
y = x2 − 2x −1



Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
y=-x+1

y = x2 − 2x −1

Đáp số :
S=

27

(đvdt)
6


Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 y = x2 −1

Tr u• c Ox

 x = 0; x = 2

Đáp số :
S = 2 (đvdt)