Đề thi HSG toán 8 huyện nga sơn

Phòng giáo dục & đào tạo
Huyện nga sơn

đề thi học sinh giỏi lớp 8 thcs cấp huyện
năm học: 2010 - 2011

Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 16/ 04/ 2011

Đề chính thức

(Đề thi gồm có 01
trang)

Câu
1
(4
điểm):
Cho
biểu
thức:
3x 2 3
x 1
1 2 x 2 5 x 5
A 3
2

:
.

x

1
x

x

1
x

1

x 1
a) Rút gọn A .
b) Tìm giá trị lớn nhất của A .
Câu 2 (4 điểm): Cho đa thức P( x) x 4 x 3 6 x 2 40 x m 1979 .
a) Tìm m sao cho P ( x) chia hết cho x 2 .
b) Với m tìm đợc, hãy giải phơng trình P ( x) = 0.
Câu 3 (4 điểm): Lúc 8 giờ, An rời nhà mình để đi đến nhà Bình
với vận tốc 4 km/h. Lúc 8 giờ 20 phút, Bình cũng rời nhà mình để đi
đến nhà An với vận tốc 3 km/h. An gặp Bình trên đờng rồi cả hai
cùng đi về nhà Bình, sau đó An trở về nhà mình. Khi về đến nhà
mình An tính ra quãng đờng mình đi dài gấp bốn lần quãng đờng
Bình đã đi. Hãy tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình.
Câu 4 (6 điểm): Cho hình vuông ABCD . Gọi E là một điểm trên
cạnh BC ( E khác B và C ). Qua A kẻ Ax vuông góc với AE , Ax cắt CD
tại F . Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K . Đờng thẳng kẻ
qua E , song song với AB cắt AI ở G .
a) Chứng minh AE = AF và tứ giác EGFK là hình thoi.
b) Chứng minh AKF đồng dạng với CAF và AF 2 = FK .FC

c) Khi E thay đổi trên BC , chứng minh chu vi tam giác EKC
không đổi.
Câu 5 (2 điểm): Cho các số a, b lần lợt thoả mãn các hệ thức sau:
a 3 3a 2 5a 2011 0 , b3 3b 2 5b 2005 0
Hãy tính a b .
Hớng dẫn chấm nga sơn
Câ
u

ý

Tóm tắt lời giải

/>
Điể
m

1


C©
u1
4®

a.
(2
®)

b.
(2

®)

C©
u2
4®

a.
(2
®)
b.
(2
®)

§K: x �1
3x 2  3  x 2  2 x  1  x 2  x  1
x 1
A
.
x3  1
2 x2  5x  5
x2  x  1
x 1

. 2
3
x  1 2x  5x  5
1
= 2
2x  5x  5
1

1
5
25 15 =
Ta cã A  2
=
2
2 x  5 x  5 2( x  2 x  ) 
4
16
8
1
5
15
2( x  )2 
4
8
1
8
5 2 15 15
5 2 15 � x (1)
V× 2( x  )  �
 x nªn
2( x  ) 
4
8 8
15
4
8
5
DÊu “=” x¶y ra khi x  �1 (2)

4
8
Tõ (1) vµ (2) suy ra max A 
15
3
2
P( x)   x  2   x  3x  12 x  16   m  2011
Do ®ã P ( x) chia hÕt cho ( x  2) � m  2011  0
� m  2011
3
2
Víi m  2011 , P ( x)   x  2   x  3 x  12 x  16 

3
2
Do ®ã: P ( x )  0 � P ( x)   x  2   x  3x  12 x  16  = 0

�  x  2   x  1 ( x 2  4 x  16)  0 �  x  2   x  1  0

x2
�
2
(V× x 2  4 x  16   x  2   12  0 x ) � �
x 1
�
C©
u4
6®

a.

2.0
®

B

A

E

G
I
F

D

K

C

2 />x

0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5

1.0
0.5
0.5
0.5
0.5
1.0


b.
2.0
đ

c.
2.0
đ
Câ
u5
2đ

Câ
u3

Xét hai tam giác vuông ABE và ADF có AB = AD,
CAF

BAE
). Vậy ABE ADF AE AF
(Cùng phụ với DAE
Vì AE AF và AI là trung tuyến của tam giác AEF
AI EF . Hai tam giác vuông IEG và IFK có IE=IF,

IFK
(So le trong) nên IEG= IFK
IEG
EG=FK. Tứ giác EGFK có hai cạnh đối EG và FK
song song và bằng nhau nên là hình bình hành.
Hình bình hành EGFK có hai đờng chéo GK và EF
vuông góc nên là hình thoi
(góc
Xét hai tam giác AKF và CAF ta có
AFK CFA

chung), KAF
ACF 450 (AC là đờng chéo hình
vuông ABCD, AK là trung tuyến của tam giác vuông
cân AEF)
Suy ra tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF.
Vì tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF nên ta
AF FK

AF 2 FK .FC
có:
FC AF
Theo ý a, ta có ABE ADF nên EB = FD
Tứ giác EGFK là hình thoi nên EK=KF
Do đó, chu vi tam giác EKC bằng
-EK+KC+CE=CF+CE=CD+DF+CE=2CD (không đổi)
Từ điều kiện đã cho ta có:
3
3
a 1 2 a 1 2008 0 (1), b 1 2 b 1 2008 0

(2)
Cộng theo vế của (1) và (2) ta có
3
3
a 1 b 1 (a b 2) 0

0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
1.0
0.5
0.5

2
( a b 2)
(a 1) 2 a 1 b 1 b 1 2(a b 2) 0


2
0.5
(a b 2)
(a 1) 2 a 1 b 1 b 1 2 0

2
Vì (a 1) 2 a 1 b 1 b 1 2
1
1
1
2
2
2
a b a 1 b 1 2 0 a, b
2
2
2
0.5
Nên a b 2 0 a b 2
Gọi khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình là x ( x
>0, x đo bằng km). Theo bài ra ta có quãng đờng

/>
3


An đã đi đã là 2 x , suy raquãng đờng Bình đã đi
1.0
2x x
.
là
4 2
Do đó quãng đờng Bình đi từ nhà đến khi gặp An
x

là , quãng đờng An đI từ nhà đến khi gặp Bình 1.0
4
x 3x
là x .
4 4
3x
Thời gian An đi từ nhà đến khi gặp Bình là
16 1.0
(giờ), thời gian Bình đi từ nhà đến khi gặp An là
x
0.5
(giờ)
12
3x x 1
0.5

Theo bài ra, ta có phơng trình:
16 12 3
16
9x - 4x =16 x 3,2 (km)
5
Ghi chú: - Bài hình học nếu học sinh không vẽ hình hoặc hình sai
cơ bản thì không chấm điểm.
- Mọi cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa tơng
ứng.
---------------------Hết------------------------

4đ

4

/>