Mô hình hóa trong dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 (Luận văn thạc sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Tạ Thị Tú Anh

MƠ HÌNH HĨA TRONG DẠY HỌC
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Tạ Thị Tú Anh

MƠ HÌNH HĨA TRONG DẠY HỌC
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
LỚP 10
Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THỊ NGA

Thành phố Hồ Chí Minh - 2017


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là cơng trình nghiên cứu của cá nhân, các trích
dẫn được trình bày trong luận văn hồn tồn chính xác và đáng tin cậy.

Tác giả
Tạ Thị Tú Anh


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cô Nguyễn Thị Nga,
người đã tận tình hướng dẫn và động viên tơi trong suốt q trình thực hiện
luận văn.
Tơi xin chân thành cảm ơn đến thầy Lê Văn Tiến, thầy Lê Thái Bảo Thiên
Trung, cơ Vũ Như Thư Hương, cơ Lê Thị Hồi Châu, thầy Tăng Minh Dũng
về những bài giảng didactic bổ ích. Tôi cũng xin chân thành gởi lời cảm ơn
đến quý thầy cô của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tham
gia giảng dạy lớp Cao học khóa 26 để tơi có được hướng đi tốt trong nghiên
cứu của mình.
Tơi xin chân thành cảm ơn GS.TS. Claude Comiti và GS.TS. Annie Bessot
về những lời góp ý cho đề cương luận văn.
Tơi xin chân thành cảm ơn Phịng Sau đại học, Khoa Toán – Tin của
Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện học tập tốt nhất
cho chúng tôi.
Tôi cũng xin cảm ơn quý thầy cơ trong Hội đồng về những góp ý q báu
để tơi có thể hồn thiện luận văn hơn.
Xin kính chúc quý thầy cô luôn dồi dào sức khỏe và hạnh phúc.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn và các anh chị cùng lớp
Didactic tốn khóa 26 về những sẻ chia và giúp đỡ trong thời gian học tập và
làm luận văn.
Tôi xin gởi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường THPT Thống Nhất A
(Đồng Nai) cùng tồn thể học sinh lớp 11A4 đã giúp tơi hoàn thành tốt thực
nghiệm.
Tác giả
Tạ Thị Tú Anh


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các chữ viết tắt
Danh mục các bảng
Danh mục các hình vẽ
MỞ ĐẦU ...................................................................................................................... 1
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN ....................................................................................... 7
1.1. Mơ hình hóa và giải bài tốn bằng đại số ........................................................ 7
1.1.1. Mơ hình hóa tốn học ................................................................................. 7
1.1.2. Q trình mơ hình hóa gắn với việc giải bài tốn bằng đại số ................... 8
1.2. Những khó khăn của học sinh khi giải quyết vấn đề bằng đại số ................. 10
1.3. Năng lực đại số .............................................................................................. 11
1.4. Cấu trúc phân tích đa chiều đại số ................................................................. 12
1.5. Kết luận .......................................................................................................... 14
Chương 2. MƠ HÌNH HỐ TRONG DẠY HỌC HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN TRONG SGK TỐN 10 VIỆT NAM &
SGK TOÁN CỦA MỸ ............................................................................. 15

2.1. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK Tốn 10 Việt Nam ............ 16
2.2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK Toán ở Mỹ ........................ 28
Chương 3. THỰC NGHIỆM ...................................................................................... 39
3.1. Nội dung thực nghiệm và mục đích xây dựng các bài tốn .......................... 39
3.2. Dàn dựng kịch bản ......................................................................................... 40
3.3. Đối tượng thực nghiệm .................................................................................. 42
3.4. Phân tích tiên nghiệm .................................................................................... 42
3.5. Phân tích hậu nghiệm ..................................................................................... 59
3.6. Kết luận .......................................................................................................... 88
KẾT LUẬN .................................................................................................................. 89
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 91
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
CB

:

Cơ bản

GV

:

Giáo viên

GTLN

:

Giá trị lớn nhất

GTNN

:

Giá trị nhỏ nhất

HS

:

Học sinh

KNV

:

Kiểu nhiệm vụ

NC

:

Nâng cao

PPĐS

:

Phương pháp đại số

PPHH

:

Phương pháp hình học

SGK

:

Sách giáo khoa

SGV

:

Sách giáo viên

TCTH

:

Tổ chức tốn học

THPT

:

Trung học phổ thông

Tr

:

Trang


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Cấu trúc phân tích đa chiều đại số (Grugeon, 2000, tr.11) .......................... 12
Bảng 2.1. Bảng thống kê số lượng bài tập liên quan đến hệ bất phương trình bậc nhất
hai ẩn ............................................................................................................ 19
Bảng 2.2. Cấu trúc phân tích đa chiều đại số ............................................................... 23
Bảng 2.3. Bảng thống kê số lượng bài tập liên quan đến bất phương trình và hệ bất
phương trình hai ẩn ...................................................................................... 29
Bảng 3.1. Thống kê số nhóm giải theo các chiến lược ................................................. 60
Bảng 3 2. Thống kê kết quả ở pha 1 ............................................................................. 60
Bảng 3.3. Thống kê kết quả ở pha 3 ............................................................................. 73
Bảng 3.4. Thống kê số nhóm giải theo các chiến lược ................................................. 78


DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 1.1. Sơ đồ mơ hình hóa gắn với việc giải bài toán bằng đại số theo Bélair ........... 8
Hình 3.1. Trích bài làm nháp của HS ............................................................................ 59
Hình 3.2. Trích bài làm của HS7 ................................................................................... 61
Hình 3.3. Trích bài làm của HS24 ................................................................................. 62
Hình 3.4. Trích bài làm của HS6 ................................................................................... 65
Hình 3.5. Trích bài làm của HS30 ................................................................................. 66

Hình 3.6. Trích bài làm của nhóm 1 .............................................................................. 67
Hình 3.7. Trích bài làm của nhóm 5 .............................................................................. 69
Hình 3.8. Trích bài làm của nhóm 4 .............................................................................. 71
Hình 3.9. Trích bài làm của HS7 ................................................................................... 75
Hình 3.10. Trích bài làm nháp của HS15 ...................................................................... 76
Hình 3.11. Trích bài làm của HS 23 .............................................................................. 77
Hình 3.12. Trích bài làm của nhóm 1 ............................................................................ 79
Hình 3.13. Trích bài làm của nhóm 8 ............................................................................ 80
Hình 3.14. Trích bài làm của nhóm 4 ............................................................................ 82


1

MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu
Ở lớp 10, SGK toán đưa ra các bài toán thực tiễn để mang lại ý nghĩa thực tế cho
một vài tri thức toán học như phương trình, bất phương trình, các hàm số, các biểu
thức đại số... Qua tham khảo luận văn của tác giả Nguyễn Thị Nhung (2012), chúng tôi
quan tâm tới bài tốn tối ưu tuyến tính được SGK Tốn lớp 10 đề xuất cho học sinh
nhằm mang lại ý nghĩa thực tế cho một vài chủ thể toán học như các phương trình, hệ
bất phương trình bậc nhất hai ẩn, các hàm số, các biểu thức đại số, … Để giải quyết
những bài tốn này HS cần chuyển tình huống bài tốn ban đầu thành mơ hình tốn
học, mơ hình này bao gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Để thiết lập được các
bất phương trình này, HS cần xác định rõ các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất, biết
giữ lại các yếu tố cần thiết để xây dựng mơ hình tốn học. Bằng cách sử dụng chữ cái
để biểu thị cho đại lượng chưa biết (ẩn số), và bộ cơng cụ kí hiệu của đại số như: dấu
các phép toán, dấu bằng, dấu bất đẳng thức để thiết lập mối liên hệ giữa cái đã biết và
cái chưa biết để tạo ra các bất phương trình. Sau khi thiết lập được mơ hình tốn học là
hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, HS cần phải sử dụng các phương pháp, kĩ thuật
giải để tìm ra nghiệm cho hệ bất phương trình trên. Như vậy, giải bài tốn tối ưu tuyến

tính giúp HS rèn luyện và phát triển được năng lực về toán học như: tư duy và suy
luận; lập luận; mơ hình hóa, sử dụng ngơn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các
phép tốn.
Để tìm hiểu về những năng lực này, trong một nghiên cứu của Adolphe Adihou
(2009) đã chỉ ra những hoạt động đại số nào HS sử dụng trong việc giải bài tốn tối ưu
tuyến tính, qua đó chúng tơi thấy rằng: bằng cách sử dụng bộ cơng cụ kí hiệu của đại
số (dấu các phép tốn, chữ cái) thì tình huống của bài tốn tối ưu tuyến tính hữu hạn
biến (2 biến) sẽ được biểu diễn thành các hàm số, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ngồi ra, những bài tốn tối ưu tuyến tính có nhiều điểm tương tự với vấn đề mơ hình
hóa theo nghĩa của Grugeon1 (2000). Từ phân tích này có thể xác định được các mặt
1

Grugeon (2000, 1997) đã nói đến các năng lực đại số bằng cách đặc trưng hóa nó thành 4 loại vấn đề đại số:

các vấn đề số học, các vấn đề tổng qt hố, các vấn đề mơ hình hóa và các vấn đề của phạm vi đại số và hàm.


2
khác nhau của năng lực đại số trong việc giải bài tốn tối ưu tuyến tính. Đồng thời
cũng thấy được đại số tham gia như thế nào trong việc giải quyết vấn đề, và đâu là
những phép tốn có thể được sử dụng trong việc giải quyết vấn đề.
Từ những ghi nhận về tầm quan trọng của mơ hình hóa trong giải quyết vấn đề thực
tế trong từng ngữ cảnh cụ thể nhờ vào sự hỗ trợ của hệ thống các phương trình đại số
cho thấy đại số đã giúp giải quyết vấn đề thực tế như thế nào, và vai trị cơng cụ của hệ
bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong việc giải quyết các bài toán tối ưu tuyến tính,
chúng tơi xác định chủ đề nghiên cứu của mình là: Mơ hình hóa trong dạy học hệ bất
phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10.
Những ghi nhận trên dẫn chúng tôi đến việc đặt ra một số câu hỏi ban đầu để định
hướng cho nghiên cứu như sau: SGK tốn lớp 10 trình bày tri thức này ra sao? Cách
trình bày của SGK có giúp học sinh biết vận dụng tri thức này vào thực tiễn? Những

năng lực đại số nào cần thiết trong quá trình giải quyết các bài toán thực tế liên quan
đến hệ phương trình bậc nhất hai ẩn? Học sinh gặp khó khăn gì trong q trình này?
2. Tổng quan các cơng trình nghiên cứu liên quan đến đề tài
Ayla Arseven (2015)2 đã phân tích và đánh giá về tầm quan trọng của mơ hình tốn
học, tầm quan trọng và vị trí của mơ hình trong trường tiểu học, trung học cơ sở và
trung học, chương trình tốn học dựa trên cách tiếp cận mang tính xây dựng xã hội,
được phát triển vào năm 2005 và được sửa đổi vào năm 2013 do Bộ Giáo dục Quốc
gia ( MNE) của Thổ Nhĩ Kỳ. Tác giả cũng đánh giá hoạt động mơ hình hóa được bao
gồm trong chương trình Quốc gia (Thổ Nhĩ Kỳ). Đây được xem là nghiên cứu sẽ góp
phần vào việc phát triển chương trình tốn học của MNE dựa trên cách tiếp cận mang
tính xây dựng ở Thổ Nhĩ Kỳ.
Nguyễn Thị Nga (2014), Dạy học mơ hình hóa tốn học ở bậc trung học, đề tài khoa
học công nghệ cấp trường, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. Trong
cơng trình nghiên cứu này tác giả đã làm rõ cơ sở lí luận liên quan đến mơ hình hóa
tốn học, những khó khăn và trở ngại của dạy học mơ hình hóa cũng như sự quan tâm
đến vấn đề dạy học mơ hình hóa ở các nước khác nhau. Tiếp đó tác giả đã phân tích và
2

Ayla Arseven, Mathematical Modelling Approach in Mathematics Education, Universal Journal of Educational
Research 3(12): 973-980, 2015


3
so sánh vấn đề mơ hình hóa tốn học trong dạy học chủ đề hàm số lượng giác ở Việt
Nam và Pháp.
Luận văn thạc sĩ “Mơ hình hóa trong dạy học khái niệm vectơ ở hình học lớp 10”
của Đồn Cơng Thành (2015). Tác giả trình bày về sự hình thành và phát triển của
khái niệm vectơ trong lịch sử, sự xuất hiện của nó gắn liền với những bài toán, vấn đề
nào. Tác giả cũng nghiên cứu trong chương trình tốn cấp THPT Việt Nam, vectơ
được tiếp cận như thế nào từ phương diện dạy học mơ hình hóa và dạy học bằng mơ

hình hóa.
Phạm Anh Lý (2012), Nghiên cứu việc dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
trong mối liên hệ với mơ hình hóa tốn học, Luận văn thạc sỹ, Trường Đại học Sư
phạm Thành phố Hồ Chí Minh. Trong luận văn này, tác giả tập trung vào nghiên cứu
việc dạy học hệ phương trình tuyến tính trong mối liên hệ với mơ hình hóa tốn học
thơng qua KNV Giải bài tốn thực tế bằng cách lập hệ phương trình tuyến tính. Qua
việc nghiên cứu các ràng buộc thể chế đối với KNV giải bài toán thực tế bằng cách lập
hệ phương trình, kết quả nghiên cứu cho thấy các bước của q trình mơ hình hóa
khơng được thực hiện đầy đủ (chủ yếu học sinh chỉ thực hiện bước 2 và bước 3, tức là
hoạt động trong mơ hình tốn học). Cuối cùng, tác giả xây dựng một tình huống dạy
học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng mơ hình hóa với mong muốn giúp học sinh
tiếp cận với các bước của quá trình mơ hình hóa tốn học và giúp học sinh thấy được
động cơ, nhu cầu thực tiễn của việc nghiên cứu hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Nguyễn Thị Tân An (2014), Sử dụng Toán học hoá để phát triển các năng lực hiểu
biết định lượng của học sinh lớp 10, Luận án tiến sỹ, Trường Đại học Sư phạm Thành
phố Hồ Chí Minh. Trong luận án, tác giả đã thống kê một số kết quả nghiên cứu về mơ
hình hóa toán học của một số tác giả trên thế giới, nghiên cứu lí thuyết về mơ hình hóa
tốn học và chương trình tốn 10 nâng cao hiện nay, phân tích mối liên quan giữa q
trình tốn học hóa và các năng lực hiểu biết định lượng, tìm hiểu các nội dung tốn lớp
10 để thiết kế các tình huống tốn học hóa tạo cơ hội thúc đẩy học sinh phát triển các
năng lực hiểu biết định lượng. Đồng thời xây dựng thang đánh giá giúp cho điểm các
năng lực hiểu biết định lượng của học sinh thơng qua q trình tốn học hóa.


4
Võ Đức Hiền (2009), Nghiên cứu didactic về dạy học các bài tốn tối ưu trong chủ
đề giải tích ở trường phổ thông, Luận văn thạc sỹ, Trường Đại học Sư phạm Thành
phố Hồ Chí Minh. Trong luận văn, tác giả trình bày về nghiên cứu lịch sử hình thành
bài tốn tối ưu, kiểu tình huống, cách giải bài tốn tối ưu. Đề tài luận văn yêu cầu
nghiên cứu trong chủ đề Giải tích. Tuy nhiên, ngồi giải tích thì bài tốn tối ưu cịn

được thể hiện trong các chủ đề khác như: Đại số, Hình học, Tọa độ, vì vậy nên tác giả
cũng đã xem xét chúng trong các chủ đề này. Nghiên cứu bài toán tối ưu trong SGK
Tốn phổ thơng của các lớp 7, 10, 11, 12, tác giả đưa ra quy tắc hợp đồng sau: “bài
toán tối ưu giải bằng phép quay không được xuất hiện trong chương trình lớp 11 ban
cơ bản”. Tác giả xây dựng một tiểu đồ án dạy học, tạo điều kiện cho học sinh tiếp cận
với phép quay trong việc giải bài toán tối ưu.
Nguyễn Thị Nhung (2012), Một nghiên cứu didactic về dạy học hệ bất phương trình
bậc nhất hai ẩn, Luận văn thạc sỹ, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.
Trong luận văn này, tác giả đã nghiên cứu sự xuất hiện và vai trò của hệ bất phương
trình bậc nhất hai ẩn trong các giáo trình đại học cũng như các TCTH xoay quanh khái
niệm này. Tương tự, vết của các TCTH này trong chương trình tốn ở bậc phổ thơng
(phân tích CT và SGK toán lớp 10) cũng đã được làm rõ, vấn đề mơ hình hóa cũng
được SGK quan tâm thể hiện trong bài tốn kinh tế.
Từ các cơng trình có liên quan ở trên cho thấy mơ hình hóa và giải quyết vấn đề
bằng đại số đối với bài toán tối ưu tuyến tính lớp 10 chưa được nghiên cứu sâu và chưa
có một nghiên cứu nào xây dựng tình huống dạy học nhằm giúp HS thấy được ứng
dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào giải quyết bài tốn tối ưu tuyến tính,
đồng thời có thể kiểm tra và đánh giá được những năng lực đại số mà HS thể hiện
trong q trình giải. Vì vậy, chúng tơi chọn mơ hình hóa trong dạy học hệ bất phương
trình bậc nhất hai ẩn ở lớp 10 làm chủ đề cho nghiên cứu của mình.
3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Chúng tơi sử dụng lý thuyết didactic tốn, mà cụ thể là thuyết nhân học trong
didactic toán (quan hệ thể chế). Nhờ các TCTH, chúng tơi có thể phân tích được sách
Toán lớp 10 hiện hành đã cho phép học sinh sử dụng công cụ đại số để giải quyết bài
toán tối ưu như thế nào theo quan điểm về mơ hình hóa của Bélair (2004) và Grugeon


5
(2000). Ngồi ra chúng tơi sử dụng khái niệm dạy học mơ hình hố và dạy học bằng
mơ hình hố để giúp chúng tơi có cơ sở lý thuyết xây dựng một tình huống dạy học về

hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
4. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu
4.1. Mục tiêu nghiên cứu
Xây dựng tình huống dạy học bài tốn tối ưu tuyến tính cho HS lớp 10 gắn với mơ
hình hóa để giúp HS phát triển được các năng lực đại số.
4.2. Câu hỏi nghiên cứu
Trong phạm vi khn khổ lý thuyết đã chọn, chúng tơi trình bày câu hỏi nghiên
cứu của mình như sau:
CH1: Quá trình mơ hình hóa là gì? Q trình mơ hình hóa gắn với việc giải quyết
vấn đề bằng đại số là gì? Năng lực đại số là gì?
CH2: Trong dạy học tốn ở bậc phổ thơng, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
được trình bày ra sao? Việc dạy học tri thức này có mối liên hệ như thế nào với MHH
tốn học? Những cơng cụ đại số can thiệp như thế nào trong q trình MHH tốn học?
Các đối tượng đại số nào tham gia vào việc giải bài toán thực tế và cách xử lý chúng
thế nào?
CH3: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được trình bày như thế nào trong SGK
Mỹ? Chúng cho phép giải quyết những vấn đề gì? Vấn đề MHH được quan tâm ở mức
độ nào? Có sự chênh lệch nào giữa SGK toán 10 và SGK Mỹ về tri thức hệ bất phương
trình bậc nhất hai ẩn liên quan đến MHH?
CH4: Làm thế nào xây dựng tình huống dạy học bài tốn tối ưu tuyến tính cho HS
lớp 10 gắn với mơ hình hóa để giúp HS phát triển được các năng lực đại số?
5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
Phân tích, tổng hợp một số cơng trình nghiên cứu đã có để làm rõ phạm vi lí
thuyết của đề tài, đặc biệt về vấn đề mơ hình hóa, giải quyết vấn đề bằng đại số.
5.2. Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn
- Phương pháp phân tích: SGK Toán lớp 10 Việt Nam, SGK Mỹ


6

- Phương pháp thực nghiệm: Xây dựng một tình huống dạy học và thực nghiệm trên
học sinh lớp 10.


7

Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Mơ hình hóa và giải bài tốn bằng đại số
1.1.1. Mơ hình hóa tốn học
Mơ hình hố tốn học được nhen nhóm, phát triển và nghiên cứu trong những năm
thập niên 70 của thế kỉ trước. Những nhà nghiên cứu nổi tiếng trong lĩnh vực này
khơng thể khơng nói đến Pollak, Blum Niss, Lesh & Doerr…
Theo Từ điển Bách khoa tồn thư, mơ hình hố tốn học là sự giải thích tốn học
cho một hệ thống tốn học hay ngồi tốn học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà
người ta đặt ra trên hệ thống này. Mơ hình tốn học có thể được thể hiện thơng qua đồ
thị, bảng biểu, phương trình, hệ thống các phương trình… Hiểu một cách nơm na, mơ
hình hố tốn học là việc người ta sử dụng ngơn ngữ tốn học để diễn đạt lại một tình
huống thực tiễn (có thể trong phạm vi tốn học hay ngồi tốn học như vật lí, sinh
học…), chuyển tình huống đó thành một mơ hình tốn học. Sau đó, sử dụng cơng cụ
tốn học để giải quyết mọi vấn đề trên mơ hình tốn học vừa nhận được và cuối cùng
mới quay trở lại trả lời cho những câu hỏi được đặt ra từ hệ thống ban đầu.
Trong tài liệu “Mô hình hóa với phương pháp tích cực trong dạy học toán”, hai
tác giả Vũ Như Thư Hương và Lê Thị Hồi Châu, sau khi phân tích q trình mơ hình
hóa toán học, đã đưa ra nhận xét như sau:
Như thế, mơ hình hóa tốn học là q trình cấu trúc lại vấn đề cần giải quyết
nhờ những khái niệm toán học được lựa chọn một cách phù hợp. Quá trình ấy
được thực hiện thơng qua việc xây dựng mơ hình phỏng thực tế bằng cách “cắt
tỉa” – hay ngược lại bổ sung thơng tin – để có thể gắn vấn đề ban đầu với các
quy trình tốn học… Bài tốn toán học cuối cùng được xây dựng phải đại diện
trung thực cho bối cảnh thực tế [2, tr.2].

Sự trình bày định nghĩa mơ hình hóa tốn học như trên cũng tương tự của Edwards
và Hamson (2001):
Mơ hình hóa tốn học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn
đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mơ hình tốn học, thể hiện và
đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mơ hình nếu cách giải quyết
khơng thể chấp nhận [1, tr.26].


8
Như vậy, người thực hiện mơ hình hóa tốn học phải giải quyết vấn đề thực tế
trong “mơi trường” tốn học, sau đó quay trở lại thực tế, đối chiếu, nếu chưa phù hợp
thì phải thay đổi mơ hình tốn học ban đầu.
Để ngắn gọn, từ lúc này trở đi, chúng tơi sẽ dùng cụm từ “mơ hình hóa” thay cho
mơ hình hóa tốn học.
1.1.2. Q trình mơ hình hóa gắn với việc giải bài toán bằng đại số
Trong luận văn này, chúng tơi xin trình bày sơ đồ mơ hình hóa gắn với việc giải
bài tốn bằng đại số của tác giả Bélair (2004).

Hình 1. 1. Sơ đồ mơ hình hóa gắn với việc giải bài tốn bằng đại số theo Bélair
(2004) [15, tr.7].
Theo sơ đồ trên, mơ hình hóa tốn học vừa là một q trình dịch từ các giả thiết
của một tình huống thực tế thành phương trình (q trình tốn học hóa), sau đó, sử
dụng các thao tác tốn học để giải quyết phương trình đó (tốn học) và đồng thời cần
kiểm tra tính xác đáng của giải pháp mà phương trình đưa ra với tình huống thực tế. Sơ
đồ này hoạt động thông qua ba bước và được giải thích như sau:
Bước 1- Tốn học hóa:
Chuyển đổi vấn đề trong thực tế thành một mơ hình tốn học gồm phương trình (hệ
các phương trình). Để xây dựng mơ hình tốn học này cần xác định rõ các yếu tố có ý
nghĩa quan trọng nhất, giữ ngun cốt lõi của bài tốn thực tiễn; từ đó, xây dựng

những quy luật dựa trên các đối tượng được giữ lại. Cần chỉ rõ các biến đặc trưng cho
các yếu tố của tình huống đang xét. Từ đó, xây dựng mơ hình tốn học bằng cách thiếp


9
lập mối quan hệ giữa các biến và các tham số trong tình huống để tạo ra phương trình
(hệ các phương trình). u cầu đặt ra là mơ hình tốn học này, sau khi được phân tích,
cho phép ta hiểu được bản chất của bài toán thực tế ban đầu.
Bước 2- Giải quyết bài toán toán học:
Lựa chọn và sử dụng cơng cụ tốn học để đưa ra nghiệm cho bài tốn được xây dựng
từ phương trình (hệ các phương trình).
Bước 3- Trả lời cho bài tốn thực tiễn:
Phân tích và kiểm định lại nghiệm của bài toán toán học thu được trong bước hai. Với
kết quả thu được ở bước hai, sử dụng nó để đưa ra câu trả lời cho vấn đề thực tiễn ban
đầu. Tuy nhiên, cần đối chiếu chúng với thực tiễn được mơ hình hóa.
Từ đây có hai khả năng:
Khả năng 1: Mơ hình tốn học và kết quả tính tốn phù hợp với thực tế.
Khả năng 2: Mơ hình tốn học và các kết quả tính tốn khơng phù hợp với thực tế. Khi
đó, các nguyên nhân sau đây cần được xem xét:
Sự chính xác của các phép toán, thuật toán đã vận dụng để đưa ra kết quả.
Mơ hình tốn học chưa chính xác hay chưa phản ánh đúng nghĩa của tình huống thực
tế ban đầu.
Số liệu được cung cấp không phản ánh đúng thực tế.
Trong trường hợp này, cần tiến hành xây dựng lại mơ hình tốn học cho đến khi tìm
được lời giải thích đáng.
Để thực hiện được bước 1 trong q trình mơ hình hóa của Bélair, học sinh sử
dụng bộ cơng cụ kí hiệu của đại số như: dấu các phép toán, dấu bằng, dấu bất đẳng
thức, hệ thống chữ để thiết lập mối liên hệ giữa cái đã biết và cái chưa biết, sau đó tính
tốn trên những mối liên hệ này đến khi nhận được kết quả cần tìm. Tư tưởng tổng
qt của nó là biểu thị đại lượng chưa biết bằng một chữ - gọi là ẩn (có điều kiện thích

hợp cho ẩn) và biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng của bài toán bằng một (hay
một hệ) phương trình.
Có thể nói, sức mạnh của đại số thể hiện ở việc dùng chữ thay cho ẩn số. Lúc này,
vấn đề thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng (dù là ẩn số hay đại lượng đã biết)
khơng cịn là trở ngại. Với số học, điều này khơng thực hiện được, vì việc diễn giải lí


10
luận bằng lời và thực hiện các phép toán trong những trường hợp phức tạp đôi khi trở
nên quá dài dịng. Chính vì đại số là một cơng cụ hữu hiệu như vậy nên việc học sinh
chuyển từ số học sang đại số khiến cho học sinh rơi vào khó khăn. Mơ hình hóa tốn
học bằng đại số cũng gây ra một vài khó khăn cho học sinh, nhưng đồng thời nó cũng
được coi như một phương pháp trong giảng dạy môn đại số nhằm mang lại ý nghĩa cho
môn học này.
1.2. Những khó khăn của học sinh khi giải quyết vấn đề bằng đại số
Ở phần này chúng tôi tổng hợp các kết quả từ cơng trình nghiên cứu của Vergnaud
và Cortes (1986), Van Ameron (2003), Adihou (2009).
Việc giải quyết vấn đề bằng đại số được đặc trưng bằng một giai đoạn thiết lập phương
trình và một giai đoạn của sự giải phương trình (hay các phương trình). Theo nghiên
cứu của Vergnaud và Cortes (1986), đã chứng minh rằng phần khó nhất đối với học
sinh khi giải các bài tốn thực tế bằng đại số là tốn học hóa vấn đề (bước 1 của q
trình mơ hình hóa), là làm sao MHH bài toán thực tế về bài toán toán học. Các tác giả
này đã ghi chú rằng:
Giai đoạn phương trình hóa vấn đề là giai đoạn khó khăn nhất, chọn lọc thông
tin và diễn giải sang đại số cần phải có sự giảng dạy một cách hệ thống [15,

tr.7].
Van Ameron (2003), bằng cách tham chiếu các cơng trình của Kieran, đã chỉ ra
những khó khăn liên quan đến ngôn ngữ đại số. Bằng việc tham chiếu với các phương
trình đã được học, HS sử dụng ngơn ngữ đại số để đưa về các phương trình đã biết, và

giải chúng. Do đó, khó khăn của ngơn ngữ đại số là khó khăn trong việc biểu diễn
chúng. Khó khăn được sinh ra trong việc HS tạo lập thông tin, chuyển đổi, chọn lựa
phương trình để giải quyết.
Từ nghiên cứu của Adihou (2009) đã chỉ ra rằng, để tìm câu trả lời cho một vấn đề
trước tiên cần tốn học hóa vấn đề đó, tức là xây dựng các biểu thức đại số và hệ
phương trình tuyến tính, sau đó giải quyết chúng. Một vài SGK và giáo viên coi hoạt
động này như là sự tổng quát hóa của số học. Tuy nhiên, tốn học hóa là sự giảm thiểu
thực tế để làm việc với những đối tượng toán học - Bélair (2004). Vì vậy, học sinh tự
kiểm tra trong suốt q trình diễn giải vấn đề để chuyển nó về dạng phương trình


11
nhằm tìm ra câu trả lời. Ơng đã tập trung nghiên cứu các vấn đề tối ưu hóa tuyến tính
(được đề xuất cho HS khi học về giải bất phương trình bậc nhất hai ẩn) vì để xác định
câu trả lời cho bài toán này, sẽ kéo theo các nội dung kỹ thuật liên quan đến các
phương trình tuyến tính (dạng phương trình) và áp dụng các kĩ thuật đại số. Ông cho
rằng việc này sẽ làm giảm bớt sự ấn tượng về những giờ học chỉ tồn lí thuyết và cho
phép đặt các kiến thức vào một bối cảnh cụ thể; và như vậy ít nhiều ơng đặt trách
nhiệm cho học sinh phải động não giải quyết vấn đề và tìm ra câu trả lời.
1.3. Năng lực đại số
Cá nhân mỗi HS tham gia vào q trình mơ hình hóa (Bélair (2004)) cần sử dụng
bộ cơng cụ kí hiệu của đại số để tốn học hóa thành cơng các tình huống bên ngồi
tốn học, và những ý tưởng bao quát cần có được một số các năng lực đại số. Mỗi
năng lực này có thể đạt được ở các mức độ thành thạo khác nhau. Những phần khác
nhau của tốn học hóa sẽ huy động các năng lực đại số khác nhau, theo cả hai kỹ năng
cụ thể và mức độ thành thạo đòi hỏi. Để xác định và kiểm tra những năng lực này,
chúng tôi sử dụng năng lực đại số đặc trưng theo cơng trình nghiên cứu của Grugeon
(2000). Về vấn đề này, Grugeon (2000) đã nêu rõ:
Năng lực đại số không chỉ đánh giá qua khả năng chuyển đổi các phương trình
đại số. Năng lực đại số cịn có thể được đánh giá thơng qua khả năng giải quyết

vấn đề ở đó đại số được sử dụng như một cơng cụ thường xun. Đó là khả
năng tạo ra các biểu thức và quan hệ đại số để diễn dịch một vấn đề, diễn giải
nó ra và huy động các công cụ đại số phù hợp đề giải quyết nó [15, tr.6].

Như vậy, năng lực đại số bao gồm:
-

Khả năng chuyển đổi các phương trình đại số: sử dụng các tính chất của phép

tốn để tạo ra các phương trình tương đương để giải quyết những bài toán trong thực tế
hay bài toán toán học.
-

Khả năng tạo ra các biểu thức và quan hệ đại số để diễn dịch một vấn đề: bằng

cách sử dụng bộ công cụ kí hiệu của đại số (chữ cái, dấu các phép tốn) để tạo ra
phương trình, bất phương trình nhằm biểu thị cho tình huống thực tế
-

Khả năng diễn giải vấn đề bằng đại số.

-

Khả năng huy động các công cụ đại số phù hợp để giải quyết vấn đề.


12
1.4. Cấu trúc phân tích đa chiều đại số
Để phân tích những bài tốn tối ưu tuyến tính nhằm đảm bảo sự phát triển các
năng lực đại số (năng lực đại số được Grugeon (2000) nêu đặc trưng thông qua bốn

nhóm vấn đề của đại số: các vấn đề số học, các vấn đề tổng quát hoá, các vấn đề mơ
hình hóa và các vấn đề của phạm vi đại số và hàm), chúng tơi thấy được, những bài
tốn tối ưu tuyến tính là những vấn đề về mơ hình hóa. Chúng được đặt ra để mang lại
ý nghĩa thực tế cho các biểu thức đại số và biến nó thành công cụ để giải quyết vấn đề.
Để nghiên cứu những hoạt động đại số, chúng tơi phân tích nội dung các bài tốn tối
ưu tuyến tính bằng cách sử dụng các mơ hình và cấu trúc phân tích đa chiều đại số
được đề xuất bởi Grugeon (2000).
Mơ hình này được tổ chức xoay quanh 6 cấu phần chính sau đó là các tiêu chí cho
phép phân tích, đặc trưng hóa các kiến thức về đại số ở giáo viên cũng như học sinh về
mặt dạy và học.
Bảng 1. 1. Cấu trúc phân tích đa chiều đại số (Grugeon, 2000, tr.11)
Các cấu phần

Các tiêu chí

Các giá trị tổng thể

Loại xử lí đại số : các
nhiệm vụ tính tốn số
Các nhiệm vụ đại số mức 1
Các nhiệm vụ đại số mức 2
Diễn giải một biểu thức đại
Xử lí đại số

số

Chính xác/ khơng chính

Diễn dịch/móc nối với cơng

xác/ khơng xử lí

thức
Diễn dịch/ Hình thành
Sử dụng đại số để chứng
minh
Phương pháp giải
Mối quan hệ số học /đại số

Vai trò của dấu bằng
Vai trò các chữ cái

Số học/ đại số
Thông báo kết quả/ tương
đương
Chữ cái đối tượng/ chữ cái


13
có giá trị
Ẩn số / số tổng quát/ biến
số
Biểu thức đại số/ cơng thức/
Đối tượng và vai trị của các

phương trình/ hàm số

đối tượng

hoạt động/ cấu trúc/phỏng

cấu trúc

Cách thức hình thành

Chính xác/ diễn giải ( liên
quan đến vấn đề)/ khơng

Quản lý trong hệ thống

diễn giải được

biểu đạt đại số

Chính xác/ diễn giải ( liên
Cách thức xử lí

quan đến vấn đề)/ không
diễn giải được

Mối liên hệ giữa hệ thống
biểu đạt đại số và các hệ

Chính xác/ diễn giải ( liên
Cách thức chuyển đổi

thống biểu đạt khác

quan đến vấn đề)/ không
diễn giải được
Khơng sử dụng/ đúng với

Vai trị của Đại số

Sử dụng đại số

mong đợi ( xem bảng 1)/
không đúng với mong đợi
Bằng chứng thực tế/ lý

Loại bằng chứng
Tính thích hợp của đại số

thuyết
Giải thích liên quan đến

Loại giải thích

tính hợp lí “ hàng ngày”/
tính hợp lí ở lớp học/Tính
hợp lí của đại số

[15, tr.12]
Mức độ 1: cách giải thuật toán đơn giản.
Mức độ 2: tính tốn phải phụ thuộc vào các ràng buộc, biết lựa chọn và kiểm sốt hình
thức phù hợp để xử lý đại số, đồng thời chúng phải phù hợp với bài toán.


14
1.5. Kết luận
-

Mơ hình hóa tốn học là q trình tạo ra mơ hình tốn học (được hiểu là sử

dụng cơng cụ tốn học để diễn tả một tình huống thực tiễn dưới dạng ngơn ngữ tốn
học) nhằm hướng tới giải quyết một vấn đề nào đó.
-

Q trình mơ hình hóa gắn với việc giải bài tốn bằng đại số theo Bélair (2004)

là một quá trình tuân theo một quy trình sử dụng các quy tắc đặc biệt (cơng cụ của đại
số như: dấu các phép toán, chữ cái) để thành lập giả thuyết hay cấu trúc toán học như:
phương trình, bảng biểu, hàm số, biểu thức,…để từ đó HS có một cái nhìn rõ ràng hơn
về các vấn đề tồn tại trong thực tiễn. Mơ hình hóa tốn học này gồm 3 bước: Bước 1,
chuyển đổi vấn đề trong thực tế thành một mơ hình tốn học gồm phương trình (hệ các
phương trình); Bước 2, lựa chọn và sử dụng cơng cụ tốn học để đưa ra nghiệm cho
bài tốn được xây dựng từ phương trình (hệ các phương trình); Bước 3, từ kết quả của
bài tốn tốn học đem lại câu trả lời cho bài toán thực tế, cần đối chiếu chúng với thực
tế để có thể đưa ra được đáp án cho bài toán ban đầu hay cần thiết phải quay lại để
thiết lập một mơ hình khác.
-

Cá nhân mỗi HS khi tham gia vào quá trình mơ hình hố gắn với việc giải bài

tốn bằng đại số theo Bélair (2004) có thể đạt được một số các năng lực đại số. Mỗi
năng lực này có thể đạt được ở các mức độ thành thạo khác nhau. Theo Grugeon
(2000), năng lực đại số này được hiểu là: khả năng chuyển đổi các phương trình đại số;
khả năng tạo ra các biểu thức và quan hệ đại số để diễn dịch một vấn đề; khả năng diễn
giải vấn đề bằng đại số; khả năng huy động các công cụ đại số phù hợp đề giải quyết
vấn đề. Cấu trúc phân tích đa chiều đại số của Grugeon (2000) cho phép phân tích chi
tiết những năng lực này.

Từ những điều chúng tôi tổng kết ở trên cho thấy mô hình hóa cần thiết vì chúng
giúp cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa tốn học và đời sống. Vì thế, trong luận văn này,
chúng tơi tiến hành tìm hiểu việc dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong
mối liên hệ với mơ hình hóa tốn học trong SGK Toán lớp 10 ở VN, và SGK Toán ở
Mỹ. Qua đó, những năng lực đại số nào có thể được hình thành cho học sinh? Điều
này được thực hiện trong chương 2 của luận văn.
-


15

Chương 2. MƠ HÌNH HỐ TRONG DẠY HỌC HỆ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRONG SGK TỐN 10
VIỆT NAM & SGK TOÁN CỦA MỸ
Mục tiêu của chương
Khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã được nghiên cứu trong luận văn
Thạc sỹ chuyên ngành Didactic Toán của tác giả Nguyễn Thị Nhung (2012) - Một
nghiên cứu didactic về dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Trong luận văn này, tác giả đã nghiên cứu sự xuất hiện và vai trị của hệ bất
phương trình bậc nhất hai ẩn trong giáo trình đại học cũng như các TCTH xoay quanh
khái niệm này. Tương tự, vết của các TCTH này trong chương trình tốn ở bậc phổ
thơng cũng đã được làm rõ. Vì vậy, trong nghiên cứu này chúng tơi sẽ khơng phân tích
lại mối quan hệ thể chế với khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn mà chúng
tôi chỉ tập trung nghiên cứu việc dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong
mối liên hệ với mơ hình hóa. Chúng tơi sẽ sử dụng cấu trúc phân tích đa chiều đại số
của Grugeon vào các phân tích trong nghiên cứu này.
Thật vậy, SGK đã đề xuất cho học sinh các bài tốn tối ưu tuyến tính để thiết lập
mối liên hệ với các môn học khác như môn kinh tế, môn sinh học và,để mang lại ý
nghĩa cho các tri thức tốn như các phương trình, bất phương trình, các hàm số, các
biểu thức đại số... Trong chương trình lớp 10 ở bậc phổ thông, các đối tượng này được

giảng dạy và sử dụng như công cụ để giải quyết các bài tốn tối ưu tuyến tính. Điều
này sẽ được chúng tơi tập trung nghiên cứu thơng qua KNV Tìm phương án tối ưu cho
bài toán thực tế.
Việc tham khảo luận văn trên chưa cho phép chúng tôi trả lời cho các câu hỏi đặt
ra ban đầu mà đòi hỏi chúng tơi phải tiến hành nghiên cứu SGK Tốn 10 Việt Nam và
SGK Tốn của Mỹ để tìm câu trả lời cho chúng. Chúng tôi nhắc lại các câu hỏi như
sau:
CH2: Trong dạy học tốn ở bậc phổ thơng, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
được trình bày ra sao? Việc dạy học tri thức này có mối liên hệ như thế nào với MHH
tốn học? Những cơng cụ đại số can thiệp như thế nào trong quá trình MHH toán học?


16
Các đối tượng đại số nào tham gia vào việc giải bài toán thực tế và cách xử lý chúng
thế nào?
CH3: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được trình bày như thế nào trong SGK
Mỹ? Chúng cho phép giải quyết những vấn đề gi? Vấn đề MHH được quan tâm ở mức
độ nào? Có sự chênh lệch nào giữa SGK toán 10 và SGK Mỹ về tri thức hệ bất phương
trình bậc nhất hai ẩn liên quan đến MHH?
2.1. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK Toán 10 Việt Nam
Nhằm đáp ứng yêu cầu mới của giáo dục, một trong những định hướng để xây
dựng SGK Tốn 10 như sau:
Mặt khác, lâu nay có một số kiến thức đưa vào trong nội dung chương trình chỉ
nhằm cung cấp phương tiện để giải một số bài tập nào đó chứ khơng cần thiết
cho cuộc sống cũng như cho việc học tập sau này. Những kiến thức như vậy sẽ
bị loại bỏ để không gây nặng nề cho học sinh, khơng làm cho việc giải bài tập
tốn trở nên quá khó [4, tr.3].

Như vậy, khi xây dựng nội dung SGK bước đầu cũng đã quan tâm đến tính thực
tiễn của tốn học. Qua đây, giúp học sinh hình thành và phát triển kĩ năng “tốn học

hóa tình huống thực tế”. Vậy liên quan đến hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, vấn đề
mơ hình hóa tốn học được quan tâm ở mức độ nào? Qua đó, những năng lực đại số
nào có thể được hình thành cho học sinh?
Phần kiến thức hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được trình bày trong SGK
Tốn 10 ở chương IV “Bất đẳng thức. Bất phương trình”, trong bài “Bất phương trình
bậc nhất hai ẩn” chiếm 2 /15 số tiết của chương (SGK Toán 10 CB), 3 / 25 số tiết của
chương (SGK Toán 10 NC). Mục tiêu cần đạt được trong bài này là:
Về kiến thức: Hiểu khái niệm bất phương trình và hệ bất phương trình bậc
nhất hai ẩn, nghiệm và miền nghiệm của chúng
Về kĩ năng: Biểu diễn được tập nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương
trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ [4, tr.20].

Mục tiêu SGK đặt ra yêu cầu HS hiểu và giải các bài tốn bất phương trình cũng
như hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên phương diện tốn học. Vấn đề về mơ hình
hóa khơng phải là mục tiêu mà SGK nhắm tới.


17
Từ kết quả nghiên cứu của tác giả Nguyễn Thị Nhung (2012), chúng tơi có thể tóm
tắt về cách trình bày phần kiến thức hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn như sau:
Nhìn chung, SGK có sự trình bày phần kiến thức này khá kĩ lưỡng bao gồm các
phần: định nghĩa, định lý giúp xác định miền nghiệm, thuật tốn xác định miền nghiệm
và ví dụ cụ thể. SGK CB đã đưa ra các quy tắc để xác định miền nghiệm của bất
phương trình bậc nhất hai ẩn như sau:
Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng  : ax  by  c .
Bước 2: Lấy một điểm

không thuộc  (ta thường lấy gốc tọa độ

O).

Bước 3: Tính

và so sánh

với .

Bước 4: Kết luận:
thì nửa mặt phẳng bờ  chứa

Nếu

là miền nghiệm của

.
thì nửa mặt phẳng bờ  không chứa

Nếu
của

là miền nghiệm

.

Chú ý: Mỗi miền nghiệm của bất phương trình
thẳng

là miền nghiệm của bất phương trình

bỏ đi đường

[3,

tr.95]
Tuy nhiên, về phương pháp giải bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất
hai ẩn thì SGK chỉ đưa ra một phương pháp duy nhất là PPHH (sử dụng đồ thị) như là
một phương pháp đặc thù trong khi bất phương trình cũng như hệ bất phương trình bậc
nhất hai ẩn là một đối tượng tốn học thuộc về đại số. Giải thích cho vấn đề này, tác
giả Nguyễn Thị Nhung (2012) đã tìm thấy một lí do mà chúng tơi trích lại sau đây:
Ta có thể giải bất phương trình bậc nhất hai ẩn, chẳng hạn như
như sau:
cho là

. Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã
. Nhưng cách giải này khơng mấy ý nghĩa và

khó áp dụng để giải một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Do đó, người ta