10 van cau hoi vi sao toan hoc p2

101.Làmthếnàođểviệckiểmtra
bệnhđịnhkìíttốnkémnhất?
Ởmộtsốnướccónềnyhọctiêntiếnthườngcóviệckiểmtra
địnhkìmộtsốbệnhxãhội.Mộtphươngphápkiểmtrabệnhthông
thườnglàphươngphápthửmáu.Thôngquaviệcthửmáucóthểphát
hiệnsớmcácloạibệnhviêmgan,tả,nhiễmtrùngmáuvànhiềubệnh
khác,nhờđócóthểchẩnđoánvàchữatrịbệnhsớm.
Phươngphápthựchiệnkiểmtrathườnglà:Cácnhânviênytế
đếncácđiểmkiểmtragọimỗingườilấymộtítmáu,ghiphiếu,nhân
viênytếđemvềcơquankiểmtra,nghiêncứu,cuốicùngthôngbáo
kếtquảkiểmtrachotừngngườiđượckiểmtra.Phươngphápkiểm
tranàycóhiệuquả,tuynhiênquátrìnhkiểmtrakhátốncôngsức.
Liệucóphươngphápnàotiếtkiệmđượcsứclựchaykhông?Câutrả
lờilàcó.Chúngtanêulênmộtvídụđểthuyếtminhvấnđềnày.
Ởmộtthànhphốlớnnọngườitalấyđượcmộtsốlượnglớnmẫu
máutrongmộtcuộckiểmtrađịnhkì.Đểxửlísốlượngmẫumáurất
lớnnàycóthểcóhaiphươngán:Phươngánthôngthườnglàtiến
hànhnghiêncứutừngmẫumáu.Phươngánkhácchiacácmẫumáu
thànhtừngnhóm,mỗinhóm100mẫu.Sauđótừmỗinhómlấymỗi
mẫumộtlượngnhỏmáu(sốlượngmáuít)đemtrộnlẫnvớinhau,
saođótiếnhànhkiểmtrahỗnhợpmáuđãtrộn.Nếukếtquảkiểmtra
trongmẫuhỗnhợpnàylàâmtính,chứngtỏở100mẫumáuvừaxét
làkhôngcómầmbệnh.Nếukếtquảkiểmtramẫumáuhỗnhợplà
dươngtính(vídụbệnhviêmgan)thìtrongnhómmáuđãchọnmẫu
hỗnhợpítnhấtcómộtmẫumáucómầmbệnh.Đểkiểmtramẫumáu
nàocómầmbệnhtrong100mẫumáunàyphảitiếnhànhkiểmtracụ
thểtừngmẫumáutrongnhómnày.Thếdùngphươngánkiểmtra
nàothìtốthơn?
Nếudùngphươngánthứnhất,phảithựchiện100lầnkiểmtra
chomỗinhómmẫumáu;nếudùngphươngánhaithìcókhảnăngchỉ
tiếnhànhmộtlầnkiểmtra,hoặccóthểcókhảnăngphảilàm101lần

kiểmtra.Đểlàmphépsosánh,cầnphảixemxétsốlầntrungbìnhcần
tiếnhànhkiểmtrachomỗinhómmẫumáu,nhờđómàtronghailoại
phươngánthìphươngánnàophảithựchiệnsốlầnkiểmtranhiều


hơnvànhiềuhơnbaonhiêulần?
Dựavàosốliệukiểmtrasơbộtrướcđó(trướckhilàmkiểmtra
đạitràphảilàmthínghiệmkiểmtrachomộtphạmvinhỏ)vànhận
đượctỉlệviêmgantrungbìnhlà0,1%,tứccứ1000ngườicómột
ngườibịlâynhiễmbệnhviêmgan,hoặccóthểnóiởmỗinhómmẫu
máukhảnăngcó0,1%sốmẫumáucóbệnhviêmgan.Vìvậyởmỗi
nhóm100mẫumáukhảnăngđểmộtmẫumáukhôngmangbệnhlà:
(1-0,1%)100≈90,48%.
vàkhảnăngcómẫumáumangbệnhlà
1-90,48%=9,52%.
Vìvậynếudùngphươngánkiểmtrahaithìsốlầntrungbìnhcần
thựchiệnchomộtnhómmáulà:
1x90,48%+101x9,52%=10,52lần.
Sovớiphươngánđầuthìtiếtkiệmđược89,48%.Nếumỗilần
thửmáucần10.000đthìđểthửmộttriệumẫumáutheophươngán
mộtphảitốnđến1,4tỉđồng,trongkhidùngphươngánhaichỉtốn
1.472.800đ,nhưvậysovớiphươngánmộtthìtiếtkiệmđếnhơn10
triệuđồng.
Trongthựctế,khixétnghiệmmáutheophươngánhaikhông
nhấtthiếtphânchiathànhnhóm100mẫumáu,màcóthểchiathành
nhóm,mỗinhómcó50mẫu,150mẫutuỳsốlượngmẫumáuđãthu
thậpđược.Cácbạnthửtínhxemsovớiphươngánmộtthìphương
ánhaitiếtkiệmđượcbaonhiêunếusốmẫumáulà10.000mẫu.

102.Làmthếnàođểtínhsốlượttrận

đấuchothểthứcthiđấuloạitrực
tiếp?
Giảsửởtrườngbạnđangtổchứcmộtcuộcthiđấucờtheothểlệ
đấuloạitrựctiếp,vídụsốngườighitênthiđấulà50,bạncóthểtính


đượcsốtrậnđấuđểdựavàođóbốtrílịchthiđấu,sốđấutrường.Nếu
bạnđượcgiaotổchứccuộcthiđấu,bạncótínhđượckhông?
Bởivìtrậnđấuchungkếtchỉxảyragiữahaingườicuốicùng,hai
ngườinàylạichọntừ22=4ngườitrongtrậnđấutrướcđó,màbốn
ngườinàylạiđượcchọntrựctiếptừ33=8ngườitrongcuộcđấu
trướcđó...Nếusốngườighitênđúngbằngcácluỹthừacủa2như2,
4(22),8(23),16(24),32(25)...thìchỉcầntheosốngườighitênthành
nhómtiếnhànhthiđấuchotừngnhóm,sauđóloạidầntừngbướclà
được.Giảsửsốngườighitênkhôngđúngbằngluỹthừanguyêncủa
2thìtrongthiđấucóvòngđượcmiễn.Nếutaxếp2ngườimộtthi
đấungaytừđầuthìsẽcómộtsốvòngđượcmiễnthiđấuởgiaiđoạn
giữahoặcgiaiđoạncuối,màcáctrậnđấuởgiaiđoạnnàythườngkhá
căngthẳngvìcácđấuthủngàycàngmạnh,cơhộiđượcmiễnhay
không,rõràngkhôngbìnhđẳng.Đểchocơhộitươngđốiđồngđều
khiếnthiđấungàycàngsôinổi,nóichungngườitathườngmiễnthi
đấuởvòngmột.Vì50làtrunggiangiữa32(25)và64(26)mà50-32
=18nênvòngđầucầnloại18đấuthủ,tứccầntiếnhànhthiđấu18
trậnđấuchovòngđầutứccó36ngườithamgiathiđấuvà14người
miễnthiđấu.Sauloạttrậnthiđấuởvòngmộtsẽloại18đấuthủvà
cònlại32người.Từvòngđấuthứhaisẽkhôngcòntrườnghợpmiễn
thiđấunữa.Vàởvònghaisẽcó16trậnđấu,vòngthứbacó8trận
đấu,vòngđấuthứtưcóbốntrậnđấu,vòngđấuthứnămsẽcóhai
trậnđấu.Vòngđấuthứsáusẽlàtrậnchungkếtđểgiànhchứcvôđịch.
Vậytổngcộngsốcáctrậnđấusẽlà18+16+8+4+2+1=49trậnso

vớisốđấuthủ50thìnhỏhơn1.
Talạixétvídụvềtrậnthiđấuquốctếvềbóngđánăm1998ở
Pháp,tổngsốcó32độibóngđáthamgiavòngchungkếtgiảibóngđá
thếgiớinăm1998.Phươngthứcthiđấuởvòngchungkếtchialàm
haigiaiđoạn.Giaiđoạnđầuchiabảng,đấuvòngtròntínhđiểm,sau
đótheothểthứcđấuloạitrựctiếp.Nếutiếnhànhthiđấutheothể
thứcđấuloạitrựctiếpngaytừvòngđầuthìphảixếpbaonhiêutrận
đấu?Vì32chínhbằng25nêntổngsốcáctrậnđấutheothểthứcđấu
loạitrựctiếpsẽlà16+8+4+2+1=31trận,íthơnsốđộithamgia
là1.
BâygiờtaxéttrườnghợpchungcóMngườithamgiathiđấu.Giả
sửMlớnhơn2nvànhỏhơn2n+1,thếthìcầnn+1vòngthiđấu,trong
đósốvòngthiđấuđầutiênsẽlàM-2n.Sauvòngđầu,sốngườicòn


chưathiđấusẽlàM-(m-2n)=2n.Trongnvòngthiđấutiếpsau,
tổngsốcáctrậnthiđấusẽlà:
2n-1+2n-2+2n-3+...+23+22+2+1
=(2n-1+2n-2+2n-3+...+23+22+2)+1x(2-1)
=(2n+2n-1+2n-2+...+23+22+2)-(2n-1+2n-2+2n-3+...+23+
22+2+1)=2n-1
Vàtổngsốcáctrậnthiđấusẽlà:
(M-2n)+2n-1=M-1
Nghĩalàíthơnsốđộithamgialà1.
Thựcra,trongmỗitrậnthiđấusẽloạibỏmộtđấuthủ.TrongM
ngườithamgiathiđấusẽchọnđược1vôđịchvàloạibỏM-1đấuthủ
vìvậysốtrậnthiđấulàM-1.Bạnhãytheocáchtrìnhbày,tínhsố
trậnthiđấubóngbàncó158đấuthủnamvà96đấuthủnữthamgia.
Từkhoá:Thểthứcđấuloại.

103.Tínhsốtrậnthiđấutheothểthức
thiđấuvòngtrònmộtlượtnhưthế
nào?
Dùngthểthứcđấuloạitrựctiếpsốtrậnthiđấutươngđốiít,thời
gianthiđấungắn.Khisốngườighitênthiđấunhiềuthườngdùng
thểthứcnày.Thếnhưngthểthứcthiđấunàycónhượcđiểmlànếu
muốnđạtchứcvôđịchthìkhôngđượcphépcótrậnthuagiữachừng.
Vảlạinếucótrườnghợpdobốcthăm,cácđấuthủmạnhgặpnhau
trựctiếpquásớmmộtsốđộimạnhcóthểbịloạiquásớm,nênlàm
choáquânvàcácthứbậctiếpsaucókhicótrìnhđộchưaphùhợp
vớitrìnhđộthựctế.Vìvậytrongmộtsốcuộcthiđấugiảiđồngđội,số
đơnvịghitênthiđấukhôngnhiều,ngườitathườngkhôngdùngthể
thứcđấuloạitrựctiếpmàdùngthểthứcthiđấukhác:thểthứcthi


đấuvòngtròn.
Làmthếnàođểtínhsốtrậnđấutheothểthứcthiđấuvòngtròn?
Dướiđâytasẽxemmộtvídụ,vídụởmộttrườnghọccó15lớp,mỗi
lớpcómộtđộibóngthamgiathiđấu,nếucuộcthiđấuđượcthiđấu
theothểthứcthiđấuvòngtrònmộtlượt,xemxétcầntiếnhànhtổ
chứcbaonhiêutrậnđấu?
Nếudùngthểthứcthiđấuvòngtrònmộtlượt,mỗiđộisẽlầnlượt
thiđấumộttrậnvớimộtđộikhác.Nếucó15độithiđấu,mỗiđộiphải
thiđấuvới14độikhác,nênvới15độithiđấusẽcó15x14trậnđấu.
Nhưngmỗitrậncóhaiđộithiđấuvớinhaunênsốtrậnđấuchỉcòn
mộtnửanênsốtrậnđấuthựctếsẽlà(15x14)/2=105trận.
Talạixétsốtrậnđấutronggiảivôđịchbóngđáthếgiớinăm1998
ởPháp.Vòngchungkếtnàycó32độithamgia.Nếusuốttừđầuđến
cuốiđềuthiđấutheothểthứcthiđấuvòngtrònthìsốtrậnđấuphải
tổchứclà(32x31)/2=496trận.

Nóichungnếucuộcthiđấuvòngtrònmộtlượttínhchonđội
thamgiathìsốtrậnthiđấusẽlànx(n-1)/2.
Nhưvậysốtrậnthiđấusẽrấtnhiều,thờigianthiđấusẽrấtdài.
Vìvậynhiềucuộcthiđấuthườngtổchứcthiđấukếthợpgiữahaithể
thức:thiđấuvòngtrònvàđấuloạitrựctiếp.Giaiđoạnđầuchiabảng
đấutheothểthứcthiđấuvòngtrònchotừngbảng,sauđóởgiaiđoạn
haingườitachotiếnhànhthiđấutheothểthứcđấuloạitrựctiếp.
Nếuvới15độithiđấutachialàmbanhóm,mỗinhómnămđội.
Trongtừngnhómsẽtổchứcthiđấuvòngtròn.Tathửxemởgiai
đoạnnàycầnphảitiếnhànhbaonhiêutrậnđấu?
Từbanhómthiđấuvòngtrònsẽtìmđượcbađộiđầubảng,ba
độiđầubảngnàysẽtiếptụcthiđấuvònghaiđểchọncácáquân.Như
vậy:
Trongvòng1:5x4/2+5x4/2+5x4/2=30trận.


Trongvòng2:3x2/2=3trậnđấu
Tổngsốcáctrậnthiđấusẽlà30+3=33trận.
Lạixétcáctrậnthiđấutrongvòngchungkếtvôđịchbóngđáthế
giớinăm1998.Trongvòngchungkếtnàycó32độithamgiathiđấu.
Ởgiaiđoạnđầu,32độiđượcchiathànhtámbảng,mỗibảngcóbốn
đội.Trongmỗibảnglạitiếnhànhthiđấutheothểthứcthiđấuvòng
trònmộtlượt.Nhưvậyởvòngthứnhấtsẽchọnđượctámđộiđầu
bảng,ởvònghaitámđộinàylạitiếnhànhthiđấuđểtìmcácáquân.
Nhưvậysốtrậnthiđấuởgiaiđoạnđầusẽlà:
Vòngđầu:4x3/2x8trận.
Vònghai:támđộiđầubảngsẽthiđấuđểchọncácđộiáquân:8x
7/ =28.
2
Xinmờicácbạnứngdụngphươngpháptươngtựđểtínhsốtrận

đấucủacuộcthiđấuvôđịchbóngbànvới26độinamvà15độinữ
thamgia.Nếudùngthểthứcthiđấuvòngtrònmộtlượt.Nếuchia
thànhbabảng.Cácđộinamchiathànhhaibảngmỗibảngchínđộivà
mộtbảngtámđội,cácđộinữchiathànhhaibảngmỗibảngsáuđộivà
mộtbảngbảyđội.
Thựctếnhiềutrậnđấuđãkếthợphaithểthứcthiđấu.
Vòngchungkếtbóngđáthếgiớinăm1998,32độithiđấuđược
chiathànhtámbảng,trongmỗibảngdùngthểthứcthiđấuvòngtròn
mộtlượtvàtiếnhành48trậnthiđấu.Mỗibảnglạichọnmộtđộiđầu
bảngvàđộithứhaitấtcảcó16đội.Dùngthểthứcđấuloạitrựctiếp
đểchọntámđộimạnh.Sauđólạichọnthểthứcđấuloạitrựctiếptiến
hànhbốntrậnđấuchọnrabốnđộivào,lạidùngthểthứcđấuloại
trựctiếptiếnhànhhaitrậnđấuđểchọnhaiđộimạnhnhấtvàochung
kết:độivôđịchvàđộiáquân.Ngoàirangườitacònchothiđấumột
trậnđểchọnđội3và4.Nhưvậytổngsốcáctrậnđấusẽlà48+8+4
+2+1+1=64trậnđấu.
Từkhoá:Thểthứcđấuloạitrựctiếp;Thểthứcthiđấuvòng
trònmộtlượt.


104.Sắpxếplịchthiđấutheothểthức
thiđấuvòngtrònnhưthếnào?
Chúngtađãbiếtcáchtínhsốtrậnđấutheothểthứcthiđấuvòng
tròn.Thếnhưngviệcsắpxếplịchthiđấuthếnàođểcácđấuthủcó
thểgặpcácđấuthủkhácnhautrongcácvòngđấu?Taxemxétvídụ
vềcácđộinữtrongcuộcthiđấubóngbàntrongđócóhaibảng:một
bảngcósáuđội,mộtbảngbảyđội.Tathửsắpxếplịchthiđấucho
bảngcósáuđội,sáuđộinàythiđấutheothểthứcđấuvòngtrònmột
lượt.Kíhiệuxlàsốphiênhiệucácđộix∈{1,2,...,6},rkíhiệuxvòng
thiđấur∈{1,2,...,5}nhưvậymỗiđộiphảitiếnhànhnămvòngđấu.

Dướiđâylàbảngsắpxếplịchthiđấuchosáuđộitrongnămvòngthi
đấu.Trongbảngcórhàng,xcột,sốphiênhiệumỗiđộilày,sốvòng
đấulàr.
Bảnglịchthiđấuđượcsắpxếpnhưthếnào?

Trướchếtxingiớithiệukháiniệm“đồngdư”.Vớihaisốnguyên
a,b,nếuchọnđượcmộtsốmsaochokhia,bchiachom(sốchia)thì
tađượcmộtthươngsốlàsốnguyênnhưngphépchiacósốdưbằng
nhau.Vídụvớihaisốa=34vàb=12vànếuchọnm=11thìsốdư
củahaiphépchiabằngnhauvàbằng1.Ngườitanóiavàbcómốiliên
quanvớinhauquađồngdưmvàviết:a≡b(modm).Tađọcavàb
đồngdưtheomođunm.Kháiniệmđồngdưrađờirấtsớmtừthếkỉ
thứV.ỞTrungQuốckháiniệmđồngdưxuấthiệnđầutiêntrongbộ
sách“SáchtoánTônTử”.Trongđờisốnghằngngàychúngtacũng
thườnggặphiệntượngđồngdư.Vídụtrongmộtthángnàođónếu
ngày2làthứtưthìcácngày9,16,23cũnglàngàythứtư.Vìthếcác


số9,16,23liênquanvớinhauquađồngdưtheomođun7.
NóichungđểxếplịchthiđấutheothểthứcthiđấuvòngtròncóN
độithamgiachỉcầnởvòngđấuthứrtachọngiátrịythếnàochox+
y=r(modN-1)làđược.
Nhưtrongvídụtrên,taphảichọnythếnàođểx+ychia5cósố
dưbằngrlàđược.
Vídụởvòngđấuthứnhất(r=1,x+y=6)nênvớicácgiátrịx=1;
y=5;x=2;y=4thìđềuđápứngđượcyêucầu.Nhưngx=3;y=3thì
gặptrườnghợpđộithứbalạiđấuvớichínhmìnhnênkhôngthể
được.Vìvậytrongtrườnghợpnày,taquyướcchọnđộicuốicùnglà
độisố6thiđấuvớiđội3.Nhưvậyởhàngthứnhấttagiảiquyếtxong.
Ởvòngthiđấuthứhai(r=2,x+y=7),ởhàngthứhaikhông

gặptrởngạigì.

Ởvòngđấuthứba(r=3;x+y=8),khix=1,y=7vìkhôngcó
độibóngcóphiênhiệunày,nêntrongtrườnghợpnàytachọnx+y=
rthìx=1,y=2;x=2,y=1.Sauđólạiquayvềx+y=8thìx=3,y=
5;khix=4thìy=4nênbâygiờykhôngthểbằng4màlấybằng6.
Bằngcáchtươngtựngườitacóthểlậplịchthiđấuchothểthức


thiđấuvòngtròncủamộtbảngcó6đội.
Nhưvậynếusốcácđộighitênthiđấulàsốchẵn,thìmỗiđội
trongmộtvòngđấuđềucóđấuthủkhácnhau.Tuynhiênđâykhông
phảilàlịchđấuduynhất.Nếusốđộithamgiathiđấulàsốlẻ,thìcách
xếplịchthiđấunhưvừatrìnhbàysẽkhôngthíchhợp.
Từkhoá:Kháiniệmđồngdư.

105.Vìsaotrongcácbuổithiđấu,khi
tínhđiểmtrungbìnhngườitaphải
loạibỏcácđiểmsốquácaohoặcquá
thấp?
Trongmộtcuộcthihát,uỷviênchấmthithườngtuyênbốđiểm
số9,00,9,50,9,55,9,6,9,75,9,90.Nhưngkhitínhđiểmbìnhquân
ngườitađãbỏcácđiểmsốquábévàquálớnvàtínhđiểmbìnhquân
nhưsau:

Vìsaongườitalạibỏđicácđiểmquácaovàquáthấp?Đólàđể
loạibỏcácđiểmkhácthường.Điểmkhácthườnglànhữngsốquálớn
hoặcquábésovớisốbìnhquân.
Thôngthườngcácđiểmkhácthườnglàdotrọngtàisơývàcác
yếutốtâmlíhoặcquáphẫnnộhoặcquáphấnchấngâynên.Đểgiảm

bớtcácđiểmkhácthườnglàmảnhhưởngđếnđộchínhxáccủakết
quảđiểmbìnhquân,việcloạibỏcácđiểmkhácquácaohoặcquáthấp
làhợplí.
Điềunàycóliênquanđếnkháiniệmsốtrungvịtrongtoánhọc.
Nhưngthếnàolàsốtrungvị?Talạithửxemxétvídụtrênkia,cứ
theothứtựsắpxếpcủasáusốnhưtrêntalấybìnhquâncủabasố
hoặcbốnsốthìđiểmbìnhquânsẽlàsốtrungbình.


(9,55+9,6)/ =9,575
2

Nếusốuỷviêncủahộiđồngchấmthilàsốlẻ,nếulấytrungbình
từnămsốđứngtrước,thìsốtrungvịsẽlà9,55tứclàđiểmsốthứba.
Khixửlítìmsốtrungvịvớicácconsốởbêntráisốtrungbình,chỉ
cầnkhônglớnhơnsốtrungvịthìcũngkhônglàmthayđổisốtrung
vị.Khixửlívớicácsốởbênphảisốtrungvị,chỉcầnkhôngcầnnhỏ
hơnsốtrungvịthìcũngkhônglàmthayđổigiátrịsốtrungvị.Từđó
cóthểthấy,sốtrungvịkhôngchịuảnhhưởngcủacácsốquálớnhoặc
quábécựcđoan,cònđiểmbìnhquânthìchịuảnhhưởngcủamỗigiá
trịtrongcácsố.Vìvậysốtrungvịcólúcphảnảnhmứcđộbìnhquân.
Vídụtrongmộtlớphọccó10bạnthamgiamộtcuộcthi,cóhaingười
bịđiểm0.Sốđiểmcủanhómngườisắpxếpnhưsau:
0,0,65,69,70,72,78,81,85,89.
Điểmbìnhquânsẽlà:

Nhưvậyngaybạncóđiểmsố65đãvượtđiểmbìnhquânnhưvậy
làcóđiểmsốtrêntrungbình.
Đươngnhiênkhôngphảinhưvậy.Nếuloạibỏhaingườibịhỏng
thi,thìanhchàngcóđiểmthi65sẽởvịtrícuốibảng.Nhưvậyđiểm

bìnhquânkhôngphảnánhđúngmứcđộtrungbình.Thếnhưngnếu
loạibỏđiểmhỏngthìlấyđiểmbìnhquâncủatámsốcònlạiliệucó
đượckhông?Đươngnhiênkhôngđược.Bâygiờchỉlấyđiểmtrungvị
làthíchhợp.Điểmtrungvịlàtrungbìnhgiữađiểmsốthứnămvà
điểmsốthứsáu,tức70+72/2=71.
Sốđiểmlớnhơn71làtrêntrungbình,nhỏhơn71làdướitrung
bình.Nhưvậyđiểmtrungvịmớiphảnánhđúngmứctrungbình.


Đươngnhiênsốtrungbìnhcũngcóưuđiểmriêngtứclàcầnphải
chúýđếntấtcảcácsố.Việcloạibỏcácđiểmquálớnvàquábélàđã
kếthợpđượcưuđiểmcủahaiphươngpháp:vừaloạibỏgiátrịdị
thườngvừapháthuyđượctácdụngcủapheđasốtronghộiđồng
chấmthinênđólàphươngpháphợplí.
Từkhoá:Sốbìnhquân;Điểmtrungvị.

106.Vìsaothànhtíchchạy400mtiếp
sứclạicaohơnkhichạycựly100m?
Tháng10năm1968,tạiOlimpicmùahèMexico,namvậnđộng
viênMỹHayenxơđãchạy100méthết9,9”,lầnđầutiênđãchạy100
mdưới10”,đâylàmộtmốcquantrọngtronglịchsửđiềnkinh.Cũng
tạithếvậnhộinày,độichạytiếpsức400mnamcủaMỹvớithành
tích38”2,trungbìnhchạy100mhết9”6.


Điềurõrànglàcuộcchạytiếpsức400mlàdobốnngườikhác
nhauthựchiệnchạycựly100mkếtiếpnhau.Nếubốnvậnđộngviên
thựchiệncùngvớithànhtíchcủaHayenxơ,tứcthànhtíchchạy100
mhết9,9”thìbốnngườinàyphảichạyvớithờigian39,6”.Tạisao
vậy?Đểgiảiđápcâuhỏinày,ngườitaphảinhờcácnhàtoánhọc.

Vàonăm1973,nhàtoánhọcMỹđãxâydựngmôhìnhtoánhọc
chomônchạytốcđộcựly100m.Đâylàđườngbiểudiễntốcđộchạy
củavậnđộngviênchạy100mtrongsuốtlộtrìnhthiđấu.Từđường
biểudiễnnày,vớicácvậnđộngviênchạytốcđộcựly100mthìở30
mđầu,tốcđộcủavậnđộngviêntăngrấtnhanh;trongkhoảngtừ30
m-100mvậnđộngviênduytrìchạyvớitốcđộlớnnhất,trong
khoảngthờigiannàytốcđộchạycủavậnđộngviêncóthểcóthayđổi
nhưngkhôngthayđổinhiềulắm;khoảngbắtđầu80mvìthểlực
giảmnêntốcđộcủavậnđộngviêncóthểgiảm,nhưngởgầnđíchtốc
độlạimộtlầnnữatănglên.
Điềuđóchothấyvớibấtkìvậnđộngviênchạy100mnào,tốcđộ
chạycaonhấtkhôngthểxuấthiệnngaytừlúcmớibắtđầuchạy,mà
phảivàokhoảngsau30mchạyđầutiênlàmiềncầnđểanhtahoàn
thànhviệctăngtốcđộđếntốcđộchạycaonhất,đóchínhlàquãng
đườngđểvậnđộngviênchạytiếpsức4.100mchạylấyđà.
Trongcuộcchạythitiếpsức4.100m,cácvậnđộngviêncầmgậy
chạyởchặng2,3,4đãcóquãngđườngchạylấyđà,trongđó10mđầu
thuầnđểlấyđà,20msaukhuvựcchuẩnbịchoviệctiếpsức.Vìvậy


chỉcầnpháthuytốtkĩthuậtchạylấyđàvàkĩthuậttraogậytiếpsức,
nhờvậyvớicácvậnđộngviêncầmgậytiếpsứctừchặngthứhaitrở
đi,khivàođườngchạylàởvàođộchạyvớitốcđộnhanhnhất;không
nhưvậnđộngviênchạyởchặngmộtnhấtthiếtphảicóchặngchạy
tốcđộ30mbanđầu.Vìvậytrừvậnđộngviêncầmgậytiếpsứcban
đầuthànhtíchkhôngthểvượtvậnđộngviênchạy100mtốtnhất;các
vậnđộngviêncầmgậytiếpsứcởcácchặngsauđềucókhảnăngvượt
quáthànhtíchchạy100mtốtnhấtcủachínhhọ.
Từkhoá:Tốcđộvàmôhìnhtoánhọc.

107.Làmthếnàotìmconđườngngắn
nhất?
Trongcuộcsốnghằngngàychúngtathườnggặpvấnđềsauđây:
CầntìmconđườngngắnnhấtđitừđiểmAđếnđiểmEnhưởhìnhvẽ.
Trênhìnhvẽcácđiểmcuốimỗiđoạnđườnglàmộtđịađiểm,đoạn
thẳngchỉconđườngnốigiữahaiđiểm,consốtrênmỗiđoạnthẳng
chỉcựlycủađoạnđường.
Trướchếtxindẫnraphươngphápthôngthường.Xemxéttấtcả
cáctuyếnđườngcóthểđi,tínhtoántổngcáccựly,từđóchọnđược
tuyếnđườngngắnnhất.TừAđếnEcó3.3.3.1đoạnđườngcóthểđi,
mỗituyếnđicầnthựchiệnbalầnphépcộng,cầnphảithựchiện81
phépcộng.Ngoàiracònphảitiếnhành26lầnphépsosánh,cuối
cùngsẽtìmđượctuyếnđườngngắnnhấtlàA→B2→C2→D3→E.
Cựlytươngứngbằng15.
Tadễdàngnhậnthấythựchiệnnhưphươngphápthôngthường
quảlàđơngiảnnhưngđểthựchiệnlạikhôngdễvìphảiquanhiềuđịa
điểm,thựchiệnquánhiềuphéptính.
Vậyliệucóphươngphápnàokháckhông?


GiảsửtachọnđượcconđườngngắnnhấtlàA→B2→C2→D3
→Ethìđoạnđườngnhỏtrongđóđitừhaiđiểmcủatuyếnđường
cũngphảilàngắnnhất,vídụC2→D3→Ecũngphảilàconđường
ngắnnhấttừC2đếnE.Nếukhông,khidùngphảnchứngtaphảitìm
đượcmộttuyếnđườngkhácngắnhơnvàđiềuđótráivớigiảthiết.
Tuyếnđườngngắnnhấtnhưmôtảởtrên,chúngtacóthểbắtđầutừ
cuốituyếnđườngtruydầntừngbướctasẽtìmđượctuyếnđường
ngắnnhấttừAđếnE.
Bướcthứnhất:TìmđoạnđườngngắnnhấttừDđếnE.
TừD1,D2,D3đếnEcócáctuyếnf(D1)=5,f(D2)=8,f(D3)=1.

f(xi)biểudiễncựlyngắnnhấttừxiđếnE.
Bướcthứhai:XétđoạnđườngngắnnhấttừCđếnE.
XuấtpháttừC1cókhảnăngchọnđếnD1,D2hoặcD3.


trongđó,d(C1,D1)biểudiễnkhoảngcáchtừC1đếnD1,dễdàng
tìmthấykhoảngcáchngắnnhấtlàtheotuyếnC1→D3→E.
TươngtựxuấtpháttừC2tacó

VàtuyếnngắnnhấtlàC2→D3→E.Tươngtự
TừC3tuyếnngắnnhấtlàC3→D3→Evớif(C3)=6
Cũngvớilídotươngtự,tatìmthấyf(B1)=12chođoạnđường
conB1→C2→D3→E
vàf(B2)=7chođoạnđườngconB2→C2→D3→E
f(B3)=12chođoạnđườngconB1→C__1(hoặcC2)→D3→E
XuấtpháttừAtacó:

Dựavàoquátrìnhtínhtoán,tathấysốlượngphéptoángiảmđi
rấtnhiều:chỉcần3.3+3.3+3=21phépcộngvà3.2+3.2+2=14


phépsosánh.Nếusốđịađiểmcànglớnthìưuđiểmcủaphươngpháp
càngrõrệt.Dùngphươngphápnàykhôngchỉchothấytìmđược
đườngtừAđếnEngắnnhấtmàcònbiếtđượccựlytừđiểmnàyđến
điểmkháccủatuyếnđường.Trongtoánhọc,ngườitagọiđâylà
phươngpháp“giảipháptheoquytắcđộngthái”.
“Quytắcđộngthái”làphươngphápchophépgiảiquyếtnhanh
bàitoántốiưu,donhàtoánhọcMỹBellmanđưaranăm1959.Đâylà
bàitoán“tốiưuhoá”đãđượcpháttriểnthànhngànhtoánhọcmới.
Phươngphápquytắcđộngtháiđượcpháthuyrộngrãitrongcác

ngànhkĩthuậtcôngtrình,quảnlíkinhtế,trongsảnxuấtcôngnghiệp
vàkĩthuậtquânsựvàngàycàngđượccoitrọng,thậmchícònđược
dùngtrongviệcchọnphạmvitrongmáytính.Bởivìnếudùng
phươngphápthôngthườngthìđếncảmáytínhcũngkhóthựchiện
hếtđượccácphéptính.
Từkhoá:Phươngpháptrậttựthường;Quytắcđộngthái.

108.Vìsaocálạihaynổilênlặnxuống
khibơitrongnước?
Nếuchúýquansátđàncábơilộitrongbểcábạnsẽthấychúng
luônlúcnổilênlúclặnxuống.Đóchínhlàcáchcáthựchiệnviệctiết
kiệmnănglượng.Thếtạisaocáchbơilộinàylạitiếtkiệmđượcnăng
lượng?
Giảsửcábơivớitốcđộkhôngđổiv.ChoDlàlựccảnmàcáphải
chịukhilặnvớitốcđộđó.ChoWlàkhốilượngtĩnhcủacá,αlàgóc
lặnxuốngcủacásovớiđườngnằmngang,βlàgóckhicánổilên.
Theocơhọckhicálặnsẽchịulựccảnthẳngđứnghướnglênbằng
phânlựccủakhốilượngtĩnhWkhichuyểnđộng.
D=Wsinα
KhicálặnlựccảnsẽbằngklầnlựcđẩytứclàbằngkD.Khicánổi
lênsẽcầnmộtlựcbằngtổngcủalựcnổivàphânlựccủalựccản
hướnglêndolựcđẩyKvớikhốilượngtĩnhW,tức
KD+Wsinβ=W(Ksinα+sinβ)


Khicálộitheophươngnằmngang,phânlựcdochuyểnđộng
hướnglênbằng0,lựccầnthiếtsẽlà
KD=WKsinα

Cònkhicálặnkhôngcầnlực.DođókhicábơitheođườngtừA

đếnClạilặnxuốngđiểmBtheohìnhrăngcưasovớiviệcbơitheo
phươngnằmngangABthìtỉsốnănglượngtiêutốnchohaitrường
hợpsẽlà(côngđượctínhbằngtíchsốcủalựcnhânvớiđoạnđường
điểmđặtcủalựcdịchchuyển):

MàAB=ACcosβ+CDcotgα=AC(cosβ+sinβ+cotgα)
Nên


Theoquansátthựctếthìthôngthườngα=11,20o,

K=3nên
Theohìnhvẽtathấy11,2o+β<π/2nênβ<78,4o
thìP<1tứckhicábơilộitheođườngrăngcưathìtiêutốnít
nănglượnghơnkhibơingang.Đặcbiệtkhiβ=59,15othìP=0,51
nênkhicábơitheohìnhrăngcưathìtiêuhaonănglượngchỉgần
bằngnửanănglượngkhicábơingang.Chonên,cáđươngnhiênlà
bơilộitheokiểuhìnhrăngcưa.
Từkhoá:Lựccản;Tiêuhaonănglượng;Hìnhrăngcưa.

109.Tạisaocácchỗđườngsắtuốn
congkhôngthểghépliềnđườngthẳng
vớicungtròn?
Bạncóbiếtchỗđườngsắtuốncongcódạngnhưthếnàokhông?
Khichiếctàucaotốctừđoạnđườngthẳngđivàođoạnđườngcong,
đườngsắtphảinhưthếnàođểkhitàuđổihướngmàkhônggâylên
sựcố?Câutrảlờilàphảicóđoạnđườngtrunggianđểgiảmbớtchấn
động.Ởnhiềunước,ngườitadùngđoạnđườngtrunggiannàycó
dạngmộtđườngparabondạngy=kx3(klàhằngsố)làđoạncungsau
đóđếnđoạncungtròn.

Vìsaongườitalạidùngloạiparabonbậcbay=kx3làmđoạn
trunggian?Đólàđặcđiểmvềđộcongcủacácloạiđườngcong.Thế
nàolàđộcongcủacácđườngcong?Nhưởhìnhvẽhaiđoạnđường
congC1vàC2cócùngđộdàilàA1B1vàA2B2,rõrànglàđộcongở
A1B1lớnhơnởA2B2nhiều.
Tavẽhaitiếptuyếntạicácđiểmđầuvàcuốicủacácđườngcong.
Cáctiếptuyếntạicácđiểmđầuvàcuốicủacácđườngcongtạothành


cácgócα1vàα2tươngứng.Rõrànglàα1>α2cónghĩalà,nếuđộ
congcủađườngcongcànglớnthìgóccủacáctiếptuyếnởđiểmđầu
vàđiểmcuốicủacácđườngcongcànglớn.Vậytacóthểdùnggóccủa
cáctiếptuyếntạiđiểmđầuvàđiểmcuốicủađườngcongđểđođộ
cong.
Vídụvớicácđườngthẳngthìđườngtiếptuyếntạicácmútcủa
đườngthẳngđềutrùngnhaunêngóccáctiếptuyếnbằng0,nênđộ
congcủađườngthẳngbằng0.
VớiđườngtrònbánkínhR,tiếptuyếntạihaimútcủacungtròn
bằngvớigócαcủahaibánkínhOPvàOQ.Nếuαđobằngđơnvị
rađianthì

=Rα

nênđộcongcủacung

là:

.

Nhưvậyvớiđườngtrònthìđộcongtạimọiđiểmlà1/R.
Khitadùngđườngcongbậcba:y=kx3từ0đếnBđểnốiđoạn
thẳngvớicungtròntứcchođộcongcủađườngsắtthayđổitừ0đến
1/ ,khônglàmđộcongcủađườngsắtthayđổiđộtngộtnênkhông
R
gâyrasựcố.
Từkhoá:Đoạnđườngsắttiếpnốithẳng;Độcong;Đường
congParabonbậcba.

110.Cóphảikhimưa,càngđinhanh
càngítbịướtđẫmnướcmưa?
Thôngthườngkhiđitrongmưangườitacốgắngchạythậtnhanh
vìchorằngđicàngnhanhthìcàngítbịướtđẫmnướcmưa.Thựctế
cóphảinhưvậykhông?
Giảsửthânngườilàmộtcộtvuôngdàithì,diệntíchcủacácmặt
trước,mặtbênvàđỉnhđầutỉlệ1:a:b,thânngườichuyểnđộngtheo
phươngtrụcxvớitốcđộv,đoạnđườngdichuyểnlàL.

Giảsửmưarơivớivậntốcucócácthànhphầntốcđộtheocác
trụcOx,Oy,trênmặtbằngvàtrụcthẳngđứngOzlàUx,Uy,Uz.
Trongđơnvịthờigian,nướcmưarơivàotrướcmặt,mặtbênvà
đỉnhđầulàmướtđẫmnướcmưa,cóliênquanđếndiệntíchcácmặt,
phươnghướngchuyểnđộngvàtốcđộtuyệtđốicủanướcmưa,vìvậy


trongđơnvịthờigianthìđộđẫmnướcmưacóthểbiểudiễnbằng:

trongđó,Klàhệsốtỉlệ.Vìvậytrongkhoảngthờigian1/v,tổng
lượngnướcmưaướtđẫmvàongườisẽbằng:

Trongđó,vlàbiếnsố,Slàcácđạilượngphụthuộcv.Sauđâyta
sẽxétcáctrườnghợpkhivđộcủamưa

HiểnnhiênvcànglớnthìS(v)càngbéhaynóicáchkhác,trong
trườnghợpnàythìđicàngnhanhcàngbịướtđẫmnướcmưa.
Cũngtheocôngthứctrênchúngtacóthểtìmthấyv≥uv,nếuUx
NhưngnếuUx>a|ux|+b|uz|thìchạycàngnhanhcàngđẫmnhiều
nướcmưa.Thựcradotrongtrườnghợpnàytốcđộcủamưatheo
phươngtrụcx,lượngmưarơivàongườichủyếutừphươngnày,vì
thếtrườnghợpnàyvkhôngnênquálớn.Tráilạitrongtrườnghợp
nàytốcđộdichuyểncủangườivànướcmưabằngnhautứclà
v=Ux
thìlượngnướcmưađếntừphíatrướcbằng0.


Mọingườiđềubiếtchiềucaocủangườicóliênquanchặtchẽvới
tínhditruyền.Thôngthườngnếuchamẹcaotothìsinhraconcái
cũngcótầmvóccaoto.Thếnhưngtrongcuộcsốngthườngngàycũng
cónhiềungoạilệ.Vìsaovậy?

Sauđâychúngtôixintrìnhbàymộtsốkháiniệmvềtoánthống
kê.
Giảsửx1,x2,...xnlàchiềucaocủanngười.
Thếthìchiềucaotrungbìnhcủanhómngườinàysẽlà

vàđộlệchquânphương

Phảnánhsựsailệchcủacácgiátrịxisovớisốtrungbình.
Đểphảnánhmốiquanhệditruyềncủabốmẹvàconcáivề
phươngdiệntầmvóccơthể,ngườitađãtiếnhànhnghiêncứu1000
đôichaconvềmốitươngquanchiềucaocủahọ.Giảsửxvàybiểu
diễnchiềucaocủachavàcon,vàchọnxlàchiềucaocủabốđặttrên
trụchoành,cònylàchiềucaocủaconđặttrêntrụcy.Đặtcáccặpsố
(xi,yi)trêntoạđộphẳng(i-1,...,1000)tacóthểtìmthấytoànbộ
quangcảnhcủamốiliênquannàybằngđámtươngquancódạng
hìnhbầudục,hìnhbầudụccótrụcnghiêng45o.
VìvậyđườngbiểudiễnđộtảnmạnSDsẽlàđườngthẳngcắttrục
hoànhmộtgóc45o.Vàbởivìsovớichathìconthườngcaohơncha
khoảng2cmvàđườngbiểudiễnđộtảnmạnsẽxuấtpháttừđiểm158
cmtrêntrụchoành.
Tathửxétcáctrườnghợpcácôngbốcao182cmtrởlênthìcác
đứaconđạiđasốphânbốởphíadướiđườngtảnmạn.Tráilạivới
cácôngbốcóchiềucaothấphơn166cmthìnhữngđứaconthường
cóchiềucaophânbốphíatrênđườngSD.Trênhìnhvẽđườngthẳng
biểudiễnbằngnétđứtlàđườnghồiquy.Dựavàođườnghồiquycó
thểbiếtchiềucaobìnhquâncủanhữngđứaconsovớichiềucaocủa
cácôngbố.Vídụvớicácôngbốcao182cmthìconcaotrungbình
180cm;cònvớicácôngbốcao166cmthìconcaobìnhquân171cm.
Trênđâychúngtavừaxét“hiệuứnghồiquy”.Căncứhiệuứng
hồiquychúngtacóthểtìmkhuynhhướngchiềucaotrungbìnhcủa
nhữngđứaconsovớichiềucaotrungbìnhcủacácôngbố.Vớicác
ôngbốcóchiềucaonàođóthìchiềucaocủaconcóhướngngượcvới
đườnghồiquy.
Theonhưphântíchởtrên,chamẹcaotosẽsinhconcóxuhướng
làconcótầmvócthấpvàngượclạikhichamẹlùnsẽsinhconcaoto.

Khôngchỉvềtínhtrạngchiềucaomànhiềuloạitínhtrạngditruyềnở
loàingườicũngcóxuhướnghồiquy,docótácdụngđiềutiếttrong
cácditruyềntínhtrạng,màlàmchocácloạitínhtrạngditruyềnở


loàingườiđượcổnđịnhquanhiềuthếhệ.
Từkhoá:Đườngthẳnghồiquy;Hiệuứnghồiquy;Độlệch
bìnhphương.

Trongcáckhudâncư,ngườitathườngbốtrícácbồnhoa,thảm
cỏlàmchokhudâncưđượcđẹpđẽ,vuimắt.Thếcácbạncóbiếtcách
thiếtkếcáckiểubồnhoanàykhông?
Tháng7-1993,mộtthầygiáodạytoánlớpbađãrachohọcsinh
mộtđềtoánnhưsau:Cómộtkhuđấthìnhchữnhậtdài4m,rộng3
m,cầnbốtrítrênkhuđấtmộtsốbồnhoanàođểchodiệntíchcác
bồnhoachiếmnửadiệntíchkhuđất?Bạnhãyđưaracácphươngán.
Cácbạntrẻđãpháthuyhếtkhảnăngvàthiếtkế,nhiềuđồán
khôngchỉtrôngrấtđẹpmàcòncóthểtínhđượcdiệntíchcácbồn
hoa.Cáchìnhvẽởbêntrìnhbàytámloạiđồán.Bạncóthểthiếtkế
cácbồnhoađẹphơnkhông?

Đốivớitámđồánnêutrên,đềucóthểdễdàngtínhđượcdiện
tíchcácbồnhoa,khixâydựngcóthểchọnđượcchỗđấtvàbốtrítrên
mặtbằng.Vídụnhưởhình6cấutạotừmộthìnhtrònvàbốnquạt
tròn,mỗiquạttrònđúngbằng1/4diệntíchhìnhtròn,cácquạttrònvà


hìnhtròncóbánkínhbằngnhauvàbằngR.Tadễdàngtínhđượcbán
kínhcủahìnhtrònnày.Theoyêucầucủađồántacóphươngtrình:
2(πR)2=1/2.4.3,πR2=3,

Nhưvậychỉcầnchọnvòngtròncóbánkínhbằng0,977mthìcác
bồnhoathựchiệnnhưởđồán6sẽcódiệntíchbằngnửadiệntích
củakhuđấtđãchọn.

Thônnọ,mộtkhuđấthìnhtamgiáccómộtcạnhtiếpgiápvới
mộtmươngnướcnhưởhìnhvẽ.Cácnhàchứctráchtrongthôn
muốnchiakhuđấtchonămhộdâncư.Đểviệctướinướcđượctốt,
mỗikhuđấtcủamỗihộdâncưphảinốivớimươngnước.Bạnhãy
căncứtheosốnhânkhẩucủamỗihộđểviệcphânchiakhuđấtnhư
thếnàothìtốt.Sốnhânkhẩutrongmỗihộdâncưđượcliệtkêtrong
bảngdướiđây:
Hộdâncư

1

2

3

4

5

Sốnhânkhẩu

5

2

4

8

6

Tabiếtrằngdiệntíchhìnhtamgiácbằngmộtnửatíchsốcủađáy
nhânvớichiềucao.Nếucáchìnhtamgiáccóchiềucaobằngnhauthì
diệntíchtamgiácsẽtỉlệvớiđộdàicủađáytamgiác.Giảsửcó2hình
tamgiácAvàBnếucạnhđáycủaAgấpđôicạnhđáycủaBthìdiện
tíchcủaAgấpđôidiệntíchcủaB.