Đề thi thử THPTQG năm 2018 file word có lời giải chi tiết – đề số (7)

®Ị sè 11
Câu 1:

Nghiệm của phương trình sin x + 3 cos x =   2 là:
A. x = −
C. x =

Câu 2:

π
5π
+ k 2π ; x =
+ k 2π .
12
12

B. x =

7π
π
+ k 2π ; x = + k 2π .
12
12

π
7π
+ k 2π ; x =
+ k 2π .
12
12

D. x = −

π
5π
+ k 2π ; x =
+ kπ .
2
12

Một hộp có 10 viên bi màu trắng, 20 viên bi màu xanh và 30 viên bi màu đỏ. Có bao nhiêu cách chọn
ngẫu nhiên hai trong số các viên bi thuộc hộp đó ?
A. 1770 .

Câu 3:

B. 3540 .

C. 60

D. 3600

Cho khối lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vng cân tại A có AB = AC = a mặt
phẳng ( AB′C ′ ) tạo với đáy một góc 600 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V =

Câu 4:

a3 6
.
42

B. V =

a3 6
.
14

C. V =

a3 6
.
4

D. V =

a3 6
2 .

Có bao nhiêu số nguyên dương gồm có 4 số khác nhau lớn hơn 2000 và nhỏ hơn 5000
4

4

A. 3A9 .

C. 3 × 9 × 8 × 7 .

B. A10 .

3

D. A10 .

Câu 5: Đồ thị hình bên là của hàm số nào
A. y = 2 x 3 − x 2 + 6 x + 1
B. y = −2 x 3 − 6 x 2 − 6 x + 1
C. y = 2 x 3 − 6 x 2 − 6 x + 1
Câu 6:

Cho một cấp số cộng có u1 = −3; u10 = 24 . Tìm d ?
A. d = −3 .

Câu 7:

D.

d =−

7
3.

u5 + 3u3 − u2 = −21
Cho cấp số cộng (un ) thỏa: 
. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ;
3u7 − 2u4 = −34


Nếu L = lim n


B. S15 = −274

(

A. 3
Câu 9:

7
C. d = 3 .

B. d = 3 .

A. S15 = −244
Câu 8:

D. y = 2 x 3 − 6 x 2 + 6 x + 1

C. S15 = −253

D. S15 = −285

)

n2 + n + 1 − n2 + n − 6  thì L bằng

B. +∞

C. 7/ 2

D.

7 −1

Phương trình sin 8 x − cos 6 x = 3 ( sin 6 x + cos8 x ) có các họ nghiệm là:

π

 x = 4 + kπ
A. 
.
x = π + k π

12
7

π

 x = 3 + kπ
B. 
.
x = π + k π

6
2

π

 x = 5 + kπ
C. 
.

x = π + k π

7
2

π

 x = 8 + kπ
D. 
.
x = π + k π

9
3

1


Câu 10: Cho hàm số y =
A.

π 
2
. Khi đó y ữ l:
3
cos 3 x

3 2
ì
2

B.

3 2
ì
2

D. 0 .

C. 1 .

1 
Câu 11: Tính giá trị lớn nhất của hàm số y = x − ln x trên  ; e  .
2 
A.

max y = e − 1

1 
x∈ ;e 
2 

.

B.

max y = 1

1 
x∈ ;e 

2 

.

C.

max y = e

1 
x∈ ;e 
2 

1
y = + ln 2 .
D. max
1 
2
x∈ ;e 

.

2 

2
2
Câu 12: Cho ( C ) : x + y − 6 x + 4 y − 23 = 0, PTĐT ( C ′ ) là ảnh của đường tròn ( C ) qua phép đồng dạng có

r
V
.

được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo v = ( 3;5 ) và phép vị tự  O ;− 1 ÷


3

A. ( x + 2 ) + ( y + 1) = 4. B. ( x + 2 ) + ( y + 1) = 36. C. ( x + 2 ) + ( y + 1) = 6. D. ( x − 2 ) + ( y − 1) = 2.
2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 13: Chóp SABC trong đó SA, SB, SC vng góc với nhau từng đơi một và SA = 3a, SB = a, SC=2a.
Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:
A.

3a 2
2

B.

7a 5
5

C.

8a 3
3

D.

5a 6
6

Câu 14: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, với AB = c, AC = b, cạnh bên
AA’ = h. Mặt phẳng (P) đi qua A’; vng góc với B’C .Thiết diện của lăng trụ cắt bởi (P) có hình :

A. h.1 và h.2

B. h.2 và h.3

C. h.2

D. h.1

Câu 15: Cho mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2;1; −1) tiếp xúc với ( α ) : 2 x − 2 y − z + 3 = 0 . ( S ) có bán kính R bằng:
A. R = 1 .

B. R = 2 .

C. R =

2
.
3

D. R =

2
.
9

Câu 16: Từ các chữ số 0, 1,2,3,4,5,6 ,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau
và có duy nhất một chữ số chẵn.
A. 456 .

B. 480 .

C. 360 .

D. 120 .

2


Câu 17: Cho hình lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 12a 2 . Tính theo a thể tích khối lập phương đó.
3

A.

8a .

B.

2a .

C. a 3 .

3

D.

a3
.
3

Câu 18: Cho lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có ABCD là hình chữ nhật, A ' A = A ' B = A ' D . Tính thể tích khối lăng
trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' biết AB = a , AD = a 3 , AA ' = 2a .

3a 3 .

A.

B. a3 .

C. 3a 3 .

Câu 19: Cho hình chóp SABC , SA = 4 , SB = 5 , SC = 6 ,
uuur
uuur

uuuur uuur
thỏa mãn các đẳng thức: AB = 4 AM , BC = 4 BN ,
A.

128 2
.
3

B.

35
.
8

D. 3a 3 3 .

·ASB = BSC
·
·
= 45° , CSA
= 60° . Các điểm M , N , P
uuu
r
uuu
r
CA = 4CP . Tính thể tích chóp S .MNP .

C.

245

.
32

D.

35 2
.
8

3
2
Câu 20: Tìm m để đồ thị ( C ) : y = − x + 3 x + mx + m − 2 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung

A. m > 3 .

B. m < 3 .

C. m > 0 .

D. m < 0 .

2 x + 1 − 3 8 − x có giới hạn là
Câu 21: Khi x → 0 hàm số f(x) =
x

B. 13/ 12

A. 8

C. Khơng có giới hạn

D. 1/ 2

Câu 22: Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x + 2 tại 3 điểm phân biệt
A. 0 < m < 2.
B. 0 ≤ m ≤ 4.
C. 0 < m < 4.
D. 2 ≤ m ≤ 4.
2x +1
Câu 23: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
tại điểm có hồnh độ bằng 0 cắt hai
x +1
trục tọa độ tại A và B . Tính diện tích tam giác OAB
1
1
A. .
B. 1.
C. .
D. 2.
2
4
Câu 24: Cho một tấm gỗ hình vng cạnh 200cm . Người ta cắt một tấm gỗ có hình một
tam giác vng ABC từ tấm gỗ hình vng đã cho như hình vẽ sau. Biết

AB = x ( 0 < x < 60cm ) là một cạnh góc vng của tam giác ABC và tổng độ dài
cạnh góc vng AB với cạnh huyền BC bằng 120cm . Tìm x để tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
A. x = 40cm .
B. x = 50cm .
C. x = 30cm .
D. x = 20cm .

Câu 25: Phương trình log 2 (3 x − 2) = 2 có nghiệm là:
A. x =
Câu 26:

4
.
3

2
.
3

C. x = 1 .

D. x = 2 .

2
Hàm số y = ln ( x − 2mx + 4 ) có tập xác định D = ¡ khi:

A. m = 2 .
Câu 27:

B. x =

B. m < −2; m > 2 .

C. −2 < m < 2 .

D. m < 2 .

Tìm miền xác định của hàm số y = log 1 ( x − 3) − 1
3

3


 10 
A. 3; ÷.
 3

 10 
B.  3;  .
 3

10 

C.  −∞;  .
3


D. ( 3; +∞ ) .

Câu 28: Cho hàm số y = 2 x 3 − 3 ( 2a + 1) x 2 + 6a ( a + 1) x + 2 đạt cực trị tại x1 , x2 . Tính A = x2 − x1
A. A = a + 1.

B. A = a.

C. A = ±1.

Câu 29: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

(

)

3 −1

x+1

D. A = 1.
> 4−2 3

A. S = 1; +∞ ) .
B. S = ( 1; +∞ ) .
C. S = ( −∞;1 .
D. S = ( −∞;1) .
Câu 30: Một người gửi số tiền 2 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,65% / tháng. Biết rằng nếu người
đó khơng rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu
(người ta gọi đó là lãi kép). Số tiền người đó lãnh được sau hai năm, nếu trong khoảng thời gian này
không rút tiền ra và lãi suất không đổi là:
A. (2, 0065) 24 triệu.
B. (1,0065)24 triệu. C. 2.(1,0065)24 triệu.
D. 2.(2,0065) 24 triệu.
2
Câu 31: Phương trình 2 x −3 = 3 x −5 x + 6 có hai nghiệm x1 , x2 trong đó x1 < x2 , hãy chọn phát biểu đúng?
A. 3 x1 − 2 x2 = log 3 8 .B. 2 x1 − 3x2 = log 3 8 .C. 2 x1 + 3x2 = log 3 54. D. 3 x1 + 2 x2 = log 3 54.
1

Câu 32: Tích phân I = ∫
0

1
dx có giá trị bằng
x −x−2
2

A. −2 ln 2 .

B.

2 ln 2
.
3

C. −

2 ln 2
.
3

D. Không xác định.

·
Câu 33: Cho khối lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC với AB = a, AC = 2a, BAC
= 1200 mặt phẳng

( AB′C ′ ) tạo với đáy một góc 600 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A.

V=

a 3 21
.
14

B. V =

3a 3 21
.
14

Câu 34: Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y =
A. F (6) − F (3) .

B. 3 [ F (6) − F (3) ] .

C. V =

a3 7
.
14

D. V =

a3 7
42 .

sin x
trên khoảng (0; +∞) . Khi đó
x

C. 3 [ F (2) − F (1) ] .

2

sin 3x
dx bằng
x
1

∫

D. F (2) − F (1) .

Câu 35: Cho hàm số f(x) liên tục trên ¡ và f ( x ) + f (− x ) = cos 4 x ∀x ∈ R . Giá trị I =

π
2

∫

f ( x)dx là

−π
2

A. −2 .

B.
1

Câu 36: Giá trị của tích phân I = ∫
0

A.

π
− 2+2.
2

B.

3π
.
16

3
C. ln 2 − .
4

3
D. ln 3 − .
5

3− x
dx là
1+ x

π
− 2 +2.
3

C.

π
− 3+2.
3

D.

π
− 3+2.
2
4


2

Câu 37: Giá trị của a để đẳng thức

∫  a

4

2

1

A. 4.

+ (4 − 4a ) x + 4 x  dx = ∫ 2 xdx là đẳng thức đúng

3

2

C. 5.

B. 3.

D. 6.

Câu 38: Trong £ , nghiệm của phương trình z 2 = −5 + 12i là:
 z = 2 + 3i
A. 
B. z = 2 + 3i
C. z = 2 − 3i
 z = −2 − 3i

 z = 2 − 3i
D. 
 z = −2 + 3i
2
2
2
Câu 39: Gọi z1 , z2 là các nghiệm z + ( 1 − 3i ) z − 2 ( 1 + i ) = 0 . Khi đó w = z1 + z2 − 3 z1 z2 là số phức có mơđun là:
A. 2

B. 13

C. 2 13

D.

20

Câu 40: Tập hợp biểu diễn số phức z: 1 ≤ z + 1 − i ≤ 2 là hình vành khăn. Chu vi P của hình vành khăn là ?
A. P = 4π .

B. P = 2π .

B. P = π .

D. P = 3π .

 x = 2 + 4t
Câu 41: Cho ( P ) : 2 x + my − 3z + m − 2 = 0 và d :  y = 1 − t . Với giá trị nào của m thì d cắt ( P )
 z = 1 + 3t

A.

m ≠ 1/ 2

B.

.

m = −1

C.

.

m = 1/ 2

.

D.

m ≠ −1

.

 x = 1 + 2t
 x = −2t


Câu 42: Cho d:  y = 2 − 2t và d ' :  y = −5 + 3t . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
 z =t
 z = 4+t


A.song song.

B.trùng nhau.

C. chéo nhau.

D.

cắt nhau.

Câu 43: Trong không gian Oxyz , cho ( Q ) song song với ( P ) : 2 x − 2 y + z + 7 = 0 . Biết ( Q ) cắt mặt cầu ( S ) :
x 2 + ( y + 2) 2 + ( z − 1) = 25 theo một đường trịn có bán kính r = 3 . Khi đó ( Q ) là:
2

A. x − y + 2 z − 7 = 0 .

B. 2 x − 2 y + z + 17 = 0 .

C. 2 x − 2 y + z + 7 = 0 .

D. 2 x − 2 y + z − 17 = 0 .

2π
2
Câu 44: Tìm m để phương trình ( cos x + 1) ( cos 2 x − m cos x ) = m sin x có đúng 2 nghiệm x ∈ 0;  .
 3

A. −1 < m ≤ 1 .

B. 0 < m ≤

1
.
2

1
C. −1 < m ≤ − - .
2

1

D. − < m ≤ 1 .
2

Câu 45: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B ′C ′D′ có điểm A trùng với gốc của hệ trục tọa độ, B (a;0; 0) ,
D(0; a;0) , A′(0; 0; b) (a > 0, b > 0) . Gọi M là trung điểm của cạnh CC ′ . Giá trị của tỉ số

a
để hai
b

( A′BD) và ( MBD ) vng góc với nhau là:

1
A. .
3

B.

1
.
2

C. −1 .

D. 1.

5


( )

2
Câu 46: Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + z

2

+2 z

2

= 16 là

hai đường thẳng d1 , d 2 . Khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1 , d 2 là bao nhiêu ?
A. d ( d1 , d 2 ) = 2 .

B. d ( d1 , d 2 ) = 4 .

C. d ( d1 , d 2 ) = 1 .

D. d ( d1 , d 2 ) = 6 .

Câu 47: Cho hình trụ có bán kính đáy là 4 cm, một mặt phẳng khơng vng góc với đáy và cắt hai mặt đáy theo
hai dây cung song song AB, A ' B ' mà AB = A ' B ' = 6 cm (hình vẽ). Biết diện tích tứ giác ABB ' A ' bằng
60 cm2. Tính chiều cao của hình trụ đã cho.
A. 6 2 cm.
B. 4 3 cm.
C. 8 2 cm.
D. 5 3 cm.
Câu 48: Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S . ABC , biết các cạnh đáy có độ dài bằng
a , cạnh bên SA = a 3 .

2a 3
3a 3
a 3
3a 6
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
2 2
8
8
Câu 49: Trong khơng gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm
A.

của AD và BC . Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích tồn
phần Stp của hình trụ đó.
A. Stp = 6π .
B. Stp = 2π .
C. Stp = 4π .
D. Stp = 10π .
Câu 50: Từ một khúc gỗ trịn hình trụ có đường kính bằng 40 cm , cần xả thành
một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vng và bốn miếng phụ được tơ
màu xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng x của miếng phụ để diện
tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.

A. x = 3 34 − 17 2 .

2
5 34 − 15 2
C. x =
.
2

Câu 1:

B. x = 3 34 − 19 2
2
5 34 − 13 2
D. x =
.
2

Lời giải và đáp án.
[1D1-2] Nghiệm của phương trình sin x + 3 cos x =   2 là:
π
5π
π
7π
+ k 2π .
+ k 2π .
A. x = − + k 2π ; x =
B. x = + k 2π ; x =
12
12
12
12
C. x = 7π + k 2π ; x = π + k 2π .

12
12

D. x = − π + k 2π ; x = 5π + kπ .
2
12
Lời giải

Chọn A.
1
3
2.
cos x =
sin x + 3 cos x =   2 ⇔ sin x +
2
2
2

6


π
 π π

x + = + k 2π
x = − + k 2π


π
π


3 4
12
⇔ sin  x + ÷ = sin ⇔ 
⇔
( k ∈¢) .
3
4

 x + π = 3π + k 2π
 x = 5π + k 2π

3
4
12

Phân tích phương án nhiễu:
π
π

B sai do nhầm biến đổi pt thành: sin  x + ÷ = sin .
6
4

π
π

C sai do nhầm biến đổi pt thành: cos  x − ÷ = cos .
3
4


π
π

D sai nhầm biến đổi pt thành: cos  x − ÷ = cos .
6
4

Câu 2:

[1D2-2] Một hộp có 10 viên bi màu trắng, 20 viên bi màu xanh và 30 viên bi màu đỏ. Có bao nhiêu
cách chọn ngẫu nhiên hai trong số các viên bi thuộc hộp đó ?
A. 1770 .
B. 3540 .
C. 60
D. 3600
Lời giải
Chọn A.
Số cách chọn ra viên bi thứ nhất có 60 (cách).
Chọn viên bi thứ hai có 59 (cách).
Theo quy tắc nhân ta có : 60* 59 . Tuy nhiên mỗi cách chọn đã lặp lại hai lần nên :

60* 59
= 1770 .
2

Phân tích
B sai do quên chia hai.
C nhầm sang quy tắc cộng.
D chưa nắm rõ quy tắc nhân.

Câu 3:

Cho khối lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vng cân tại A có AB = AC = a mặt
phẳng ( AB′C ′ ) tạo với đáy một góc 600 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V =

a3 6
.
42

B. V =

a3 6
.
14

C. V =

a3 6
.
4

D. V =

a3 6
2 .

Hướng dẫn giải
Chọn C

Ta

có

diện

tích

đáy

Gọi I là trung điểm của B′C ′ ta có
a 2
.
2
AIA′ có

Xét tam giác A′IB′ có A′I =
vng

1
a2
S ABC = a.a = .
2
2
0
·AIA′ = 60 .
Từ đó trong tam giác

7

AA′ = A′I .tan 600 =

Câu 4:

a 2
a 6
a2 a 6 a 3 6
. Vậy thể tích V = .
.
. 3=
=
2
2
2 2
4

[1D2-4] Có bao nhiêu số nguyên dương gồm có 4 số khác nhau lớn hơn 2000 và nhỏ hơn 5000
4

4

A. 3A9 .

B. A10 .

C. 3 × 9 × 8 × 7 .
Lời giải

3

D. A10 .

Chọn C.
Số tự nhiên cần tìm có dạng abcd ∈ ( 2000;5000 )
•

Có 3 cách chọn a : a ∈ { 2;3; 4}

•

Có A93 cách chọn bcd
3

Vậy có: 3.A9 số.
Phân tích
A sai do nhầm lẫn khi chọn bcd .
B sai do chọn số không thỏa đề bài.
D sai do chọn có ba chữ số.
Câu 5: Đồ thị hình bên là của hàm số nào
A. y = 2 x 3 − x 2 + 6 x + 1
B. y = −2 x 3 − 6 x 2 − 6 x + 1
C. y = 2 x 3 − 6 x 2 − 6 x + 1
D. y = 2 x 3 − 6 x 2 + 6 x + 1

Câu 6:

Cho một cấp số cộng có u1 = −3; u10 = 24 . Tìm d ?

A. d = −3 .

B. d = 3 .

7
C. d = 3 .

D.

d =−

7
3.

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: u1 = −3; u10 = 24 ⇔ u1 + 9d = 24 ⇔ 9d = 24 + 3 ⇔ d = 3
Câu 7:

u5 + 3u3 − u2 = −21
Cho cấp số cộng (un ) thỏa: 
. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ;
3u7 − 2u4 = −34

A. S15 = −244

B. S15 = −274

C. S15 = −253

D. S15 = −285

Hướng dẫn giải:
u1 + 4d + 3(u1 + 2d ) − (u1 + d ) = −21
Từ giả thiết bài toán, ta có: 
3(u1 + 6d ) − 2(u1 + 3d ) = −34
u + 3d = −7
u = 2
⇔ 1
⇔ 1
.
d = −3
u1 + 12d = −34

8


Tổng của 15 số hạng đầu: S15 =
Câu 8:


Nếu L = lim n


(

)

n2 + n + 1 − n2 + n − 6  thì L bằng


B. +∞

A. 3
Câu 9:

15
[ 2u1 + 14d ] = −285
2

C.

7
2

D.

7 −1

[1D1-3] Phương trình sin 8 x − cos 6 x = 3 ( sin 6 x + cos8 x ) có các họ nghiệm là:

π

 x = 3 + kπ
B. 
.
x = π + k π

6
2

π

 x = 4 + kπ
A. 
.
x = π + k π

12
7

π

 x = 5 + kπ
C. 
.
x = π + k π

7
2
Lời giải

π

 x = 8 + kπ
D. 
.
x = π + k π

9
3

Chọn A.
Ta có sin 8 x − cos 6 x = 3 ( sin 6 x + cos 8 x ) ⇔ sin 8 x − 3 cos8 x = 3 sin 6 x + cos 6 x

π
π
π


8 x − = 6 x + + k 2π
x = + kπ


π
π


3
6
4
⇔ sin  8 x − ÷ = sin  6 x + ÷ ⇔ 
⇔
.
3
6


8 x − π = 5π − 6 x + k 2π
 x = π + kπ


12 7
3
6

Phân tích phương án nhiễu:
π
π


B sai do biến đổi nhầm phép tương đương số 2 thành sin  8 x − ÷ = sin  6 x + ÷.
6
3


C sai do biến đổi sai phép tương đương thứ nhất thành sin 8 x − 3 cos 8 x = 3 sin 6 x − cos 6 x .
D sai do nhầm ct là sin x = sin α ⇔ x = ±α + k 2π .

Câu 10: Cho hàm số y =
3 2
×
2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

A.

π 
2
. Khi đó y ′  ÷ là:
3

cos 3 x

B. −

3 2
×
2

D. 0 .

C. 1 .

′
 π  3 2.sin π
=0
Ta có: y ′ = − 2. ( cos 3 x ) = 3 2.sin 3 x . Do đó y '  ÷ =
cos 2 π
3
cos 2 3 x
cos 2 3 x
1 
Câu 11: [2D1-2]Tính giá trị lớn nhất của hàm số y = x − ln x trên  ; e  .
2 
A.

max y = e − 1

1 
x∈ ;e 
2 

.

B.

max y = 1

1 
x∈ ;e 
2 

.

C.

max y = e

1 
x∈ ;e 
2 

.

1
y = + ln 2 .
D. max
1
 
2
x∈ ;e 

2 

Lời giải
Chọn A.
9


1 
Hàm số y = x − ln x liên tục trên đoạn  ; e  .
2 
Ta có y ′ = 1 −

1
1 
⇒ y ′ = 0 ⇔ x = 1∈  ; e  .
x
2 

max y = e − 1
1 1
Do y  ÷ = + ln 2 ; y ( e ) = e − 1 ; y ( 1) = 1 nên x∈ 1 ;e
.
2 
2 2
2
2
Câu 12: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ( C ) : x + y − 6 x + 4 y − 23 = 0, tìm phương trình đường trịn ( C ′ )

là ảnh của đường trịn ( C ) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến
r

V
.
theo vectơ v = ( 3;5 ) và phép vị tự  O ;− 1 ÷


3

A. ( C ') : ( x + 2 ) + ( y + 1) = 4.
2

B. ( C ') : ( x + 2 ) + ( y + 1) = 36.

2

2

2

C. ( C ') : ( x + 2 ) + ( y + 1) = 6.
D. ( C ') : ( x − 2 ) + ( y − 1) = 2.
Câu 13: Chóp SABC trong đó SA, SB, SC vng góc với nhau từng đôi một và SA = 3a, SB = a, SC=2a.
Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:
2

A.

3a 2
2

2

B.

2

7a 5
5

C.

8a 3
3

2

D.

5a 6
6

Câu 14: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vng tại A, với AB = c, AC = b, cạnh bên
AA’ = h. Mặt phẳng (P) đi qua A’ và vng góc với B’C .Thiết diện của lăng trụ cắt bởi (P) có hình :

A. h.1 và h.2

B. h.2 và h.3

Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

( α ) : 2 x − 2 y − z + 3 = 0 . Mặt cầu ( S )

A. R = 1 .

B. R = 2 .

( S)

C. h.2

có tâm I ( 2;1; −1)

D. h.1
tiếp xúc với mặt phẳng

có bán kính R bằng:
C. R =

2
.
3

D. R =

2
.
9

Lời giải.

( P)

tiếp xúc ( S ) ⇒ R = d  I ; ( P )  =

2.2 − 2.1 − 1. ( −1) + 3
22 + ( −2 ) + ( −1)
2

2

=2

Chọn đáp án B.
Câu 16: [1D2-4] Từ các chữ số 0, 1,2,3,4,5,6 ,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một
10


khác nhau và có duy nhất một chữ số chẵn.
A. 456 .
B. 480 .

C. 360 .
Lời giải

D. 120 .

Chọn A.
Bước 1: Xét các số có hình thức a1a2 a3 a4 a5 kể cả

a1 = 0

+ Số cách chọn 1 chữ số chẵn có : 4 cách.

+ Số cách xếp 1 chữ số chẵn vào 5 vị trí có : 5 cách.
+ Số cách xếp 4 chữ số lẻ 1, 3, 5, 7 vào 4 vị trí cịn lại có : 4! = 24 cách.
Suy ra có 4.5.24 = 480 số được lập.
Bước 2 : Xét các số có hình thức 0a2 a3 a4 a5
+ Khi đó

a2 ,a3 , a4 ,a5 đều các chữ số lẻ được lấy từ các chữ số 1,3,5,7 .

Suy ra có 4! = 24 .
Vậy có 480 − 24 = 456 số.
Phân tích
B sai do khơng trừ trường hợp chữ số đầu là 0 .
C, D sai do lập luận khơng hợp lí.

Câu 17: [2H1-01-2-PT10] Cho hình lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 12a 2 . Tính theo a thể tích khối
lập phương đó.
A.

8a 3 .

B.

C. a 3 .

2a .
3

D.

Hướng dẫn giải

ChọnA.
Khối lập phương có 6 mặt là hình vng bằng nhau
12a 2
B'
Từ giả thiết suy ra diện tích một mặt là
= 2a 2 .
6
2
Cạnh của khối lập phương là 2a = a 2 .

(

Thể tích của khối lập phương là: V = a 2

)

3

= 8a 3 .

a3
.
3

A'
C'

D'

D

A

Câu 18: [2H1-01-2-PT4] Cho lăng trụ ABCD.A ' B ' C ' D ' có ABCDBlà hình chữ nhật, C
A ' A = A ' B = A ' D . Tính
thể tích khối lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' biết AB = a , AD = a 3 , AA ' = 2a .
A.

3a 3 .

B. a3 .

C. 3a 3 .
Hướng dẫn giải

Chọn C
Gọi O là giao điểm của AC và BD . ABCD là hình chữ nhật
⇒ OA = OB = OD
Mà A′A = A′B = A′D nên A ' O ⊥ ( ABD )
∆ABD vuông tại A ⇒ BD =

AB 2 + AD 2 = 2a

D. 3a 3 3 .

A'

B'

D'

⇒ OA = OB = OD = a

C'

A

B

O

D

11

C


∆AA ' O vuông tại O ⇒ A ' O = AA '2 − AO 2 = a 3
S ABCD = AB. AD = a 2 3
3
Vậy: VABCDA ' B ' C ' D ' = A ' O.S ABCD = 3a .

Câu 19:

·
·
[2H1-03-3-PT2]Cho hình chóp SABC , SA = 4 , SB = 5 , SC = 6 , ·ASB = BSC
= 45° , CSA
= 60° . Các

uuur uuu
r
uuu
r
uuur
uuuur uuur
điểm M , N , P thỏa mãn các đẳng thức: AB = 4 AM , BC = 4 BN , CA = 4CP . Tính thể tích chóp
S .MNP .
35
245
128 2
35 2
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
8
32
3
8
Hướng dẫn giải
Chọn B.
1
VS . ABC = .abc 1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 ϕ + 2 cos α cos β cos ϕ
6

4.5.6

1 1 1
1 1
1 − − − + 2. . = 10 .
6
2 2 4
2 2
= S − S ∆AMP − S ∆MBN − S ∆NCP

VS . ABC =

S ∆MNP

 3 3 3 7
= S − S. + + ÷= S
 16 16 16  16
S = S ∆ABC

Mà

Câu 20:

VS .MNP S ∆MNP 7
35
=
= ⇒ VS .MNP =
.
VS . ABC S ∆ABC 16
8

3

2
[2D1-3]Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị ( C ) : y = − x + 3x + mx + m − 2 có hai điểm cực trị

nằm về hai phía của trục tung
A. m > 3 . B. m < 3 .
C. m > 0 .

D. m < 0 .
Lời giải

Chọn C.
Ta có y ′ = −3x 2 + 6 x + m .
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung ⇔ y ′ = 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa

x1 < 0 < x2 ⇔ −3.m < 0 ⇔ m > 0 .

2 x + 1− 3 8− x
Câu 21: Khi x → 0 hàm số f(x) =
x

A. Có giới hạn bằng 8
C. Khơng có giới hạn

13
12
1
D. Có giới hạn bằng
2
B. Có giới hạn bằng

Câu 22: ĐXL [2D1-2]Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x + 2 tại 3 điểm phân biệt
12


A. 0 < m < 2.

B. 0 ≤ m ≤ 4.

C. 0 < m < 4.

D. 2 ≤ m ≤ 4.

Lời giải
Chọn C.
y′ = 3x 2 − 3 .
x = 1
y′ = 0 ⇔ 
 x = −1

x

−∞

y′

−1
+

0

−

0

+

+∞

4

.

+∞

1

y.
−∞

0

Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x 3 − 3x + 2 tại 3 điểm phân biệt khi.
0 < m < 4.
2x +1
Câu 23: [2D1-2]Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
tại điểm có hồnh độ bằng 0 cắt hai trục tọa độ tại A
x +1
và B . Tính diện tích tam giác OAB
1
1

A. .
B. 1.
C. .
D. 2.
2
4
Lời giải
Chọn A.
1
y′ =
2 .
( x + 1)
x = 0 ⇒ y = 1 , y′ ( 0 ) = 1 .
Phương trình tiếp tuyến y = x + 1 , ta được A ( 0;1) , B ( −1;0 ) .
1
1
S ∆OAB = OA.OB = .
2
2
Câu 24: [2D1-4]Cho một tấm gỗ hình vng cạnh 200cm . Người ta cắt một tấm gỗ có hình một tam giác vng
ABC từ tấm gỗ hình vng đã cho như hình vẽ sau. Biết AB = x ( 0 < x < 60cm ) là một cạnh góc vng
của tam giác ABC và tổng độ dài cạnh góc vng AB với cạnh huyền BC bằng 120cm . Tìm x để tam
giác ABC có diện tích lớn nhất.

13


A. x = 40cm .

B. x = 50cm .

C. x = 30cm .

D. x = 20cm .

Lời giải
Chọn A.
Ta có độ dài cạnh AC = BC 2 − AB 2 =
Diện tích tam giác ABC là: S =

( 120 − x )

2

− x 2 = 14400 − 240 x .

1
1
AB. AC = x 14400 − 240 x .
2
2

Xét hàm số f ( x ) = x 14400 − 240 x với 0 < x < 60 .
Ta có: f ′ ( x ) = 14400 − 240 x −

120 x
14400 − 360 x
=
;.
14400 − 240 x

14400 − 240 x

⇒ f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 40 ∈ ( 0;60 ) .
Bảng biến thiên:
.

Vậy S max ⇔ f ( x ) max ⇔ x = 40 .
Câu 25: Phương trình log 2 (3 x − 2) = 2 có nghiệm là:
A. x =
Câu 26:

4
.
3

B. x =

2
.
3

C. x = 1 .

D. x = 2 .

2
Hàm số y = ln ( x − 2mx + 4 ) có tập xác định D = ¡ khi:

A. m = 2 .

 m>2
B. 
.
 m < −2

C. −2 < m < 2 .

D. m < 2 .

Giải:.

2
Hàm số y = ln ( x − 2mx + 4 ) có tập xác định D = ¡ .

⇔ x 2 − 2mx + 4 > 0, ∀x ∈ ¡ .
m2 − 4 < 0
V' < 0
⇔
⇔
⇔ −2 < m < 2 (Chọn C).
a > 0
1 > 0
Câu 27:

Tìm miền xác định của hàm số y = log 1 ( x − 3) − 1
3

 10 
A. 3; ÷.
 3

 10 
B.  3;  .
 3

10 

C.  −∞;  .
3


D. ( 3; +∞ ) .

Giải:.

14


x > 3
x > 3
x − 3 > 0
x > 3




Hàm số xác định khi log ( x − 3) − 1 ≥ 0 ⇔ log ( x − 3) ≥ 1 ⇔ 
1 ⇔  10 . Vậy tập xác định của hàm
 13
 13

 x − 3 ≤ 3
 x ≤ 3
 10 
số là:  3;  .
 3
3
2
Câu 28: Cho hàm số y = 2 x − 3 ( 2a + 1) x + 6a ( a + 1) x + 2 . Nếu gọi x1 , x2 lần lượt là hoành độ các điểm cực trị

của hàm số. Tính A = x2 − x1
A. A = a + 1.
B. A = a.

C. A = ±1.

D. A = 1.

Lời giải
Chọn D.
y ′ = 6 x 2 − 6 ( 2a + 1) x + 6a ( a + 1) .
∆′y′ = 9 > 0 .
A = x2 − x1 ⇔ A2 = ( x2 − x1 ) .
2

A2 = x2 2 − 2 x1 x2 + x12 .
A2 = ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 .
2

A2 = ( 2a + 1) − 4a ( a + 1) .
A =1.

2

Câu 29: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình
A. S = 1; +∞ ) .

B. S = ( 1; +∞ ) .

(

)

3 −1

x+1

> 4−2 3

C. S = ( −∞;1 .

D. S = ( −∞;1) .

Câu 30: Một người gửi số tiền 2 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,65% / tháng. Biết rằng nếu người
đó khơng rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu
(người ta gọi đó là lãi kép). Số tiền người đó lãnh được sau hai năm, nếu trong khoảng thời gian này
không rút tiền ra và lãi suất không đổi là:
A. (2,0065) 24 triệu đồng.
B. (1, 0065)24 triệu đồng.
C. 2.(1,0065)24 triệu đồng.

D. 2.(2,0065) 24 triệu đồng.

Hướng dẫn giải
Gọi số tiền gửi vào vào là M đồng, lãi suất là r /tháng.
° Cuối tháng thứ nhất: số tiền lãi là: Mr . Khi đó số vốn tích luỹ đượclà:
T1 = M + Mr = M (1 + r ) .
°

Cuối tháng thứ hai: số vốn tích luỹ được là:

L
°

T2 = T1 + T1r = T1 (1 + r ) = M (1 + r )(1 + r ) = M (1 + r ) 2 .

Tương tự, cuối tháng thứ n: số vốn tích luỹ đượclà: Tn = M (1 + r ) n .

Áp dụng công thức trên với M = 2, r = 0, 0065, n = 24 , thì số tiền người đó lãnh được sau 2 năm (24
24
24
tháng) là: T24 = 2.(1 + 0,0065) = 2.(1,0065) triệu đồng.

15


Câu 31: Phương trình 2 x −3 = 3 x

2

−5 x + 6

có hai nghiệm x1 , x2 trong đó x1 < x2 , hãy chọn phát biểu đúng?

A. 3 x1 − 2 x2 = log 3 8 .

B. 2 x1 − 3x2 = log 3 8 .

C. 2 x1 + 3x2 = log 3 54.

D. 3 x1 + 2 x2 = log 3 54.
Hướng dẫn giải

Logarit hóa hai vế của phương trình (theo cơ số 2) ta được: ( 3) ⇔ log 2 2 x −3 = log 2 3x

2

−5 x + 6

⇔ ( x − 3) log 2 2 = ( x 2 − 5 x + 6 ) log 2 3 ⇔ ( x − 3 ) − ( x − 2 ) ( x − 3 ) log 2 3 = 0
x = 3
x − 3 = 0
x = 3
⇔ ( x − 3) . 1 − ( x − 2 ) log 2 3 = 0 ⇔ 
⇔
⇔
x − 2 = 1
1
−
x
−
2
log

3
x
−
2
log
3
=
1
) 2
) 2
 (
(
log 2 3


x = 3
x = 3
x = 3
⇔
⇔
⇔
 x = log 3 2 + 2
 x = log 3 2 + log 3 9
 x = log 3 18
1

Câu 32: Tích phân I = ∫
0

1

dx có giá trị bằng
x −x−2
2

A. −2 ln 2 .

B.

2 ln 2
.
3

C. −

2 ln 2
.
3

D. Không xác định.

Hướng dẫn giải
1

1

1

1
1
1

1  1
1 
1
2 ln 2
∫0 x 2 − x − 2 dx = ∫0 ( x − 2)( x + 1) dx = 3 ∫0  x − 2 − x + 1 dx = 3 [ ln x − 2 − ln x + 1 ] 0 = − 3 .

Học sinh có thể áp dụng công thức
1

1

1

1

∫ ( x − a)( x − b) dx = a − b ln

1
1
1 x−2
I =∫ 2
dx = ∫
dx = ln
x −x−2
( x − 2)( x + 1)
3 x +1
0
0

1

=−
0

x−a
+ C để giảm một bước tính:
x −b

2 ln 2
3

·
Câu 33: 2H1-27-3-PT3] Cho khối lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC với AB = a, AC = 2a, BAC
= 1200
mặt phẳng ( AB′C ′ ) tạo với đáy một góc 600 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A.

V=

a 3 21
.
14

B. V =

3a 3 21
.
14

C. V =

a3 7
.
14

D. V =

a3 7
42 .

Hướng dẫn giải
Chọn B

16


Kẻ A′I ⊥ B′C ′ tại I ta có ·AIA′ = 600 .
Áp dụng định lý hàm số Cosin cho tam giác A′B′C ′ , ta có
 −1
B′C ′2 = A′B′2 + A′C ′2 − 2A′B′. A′C ′.cosA′ = 5a 2 − 4a 2.  ÷ = 7a 2 ⇒ B ' C ′ = a 7.
 2
AB. AC .sin A a.2a .sin 120° a2 3
A′I .B′C ′ a 2 3
a 21
=
=
=
.⇒
=
⇒ A′ I =

.
2
2
2
2
2
7

S ABC

⇒ AA′ = A ' I .tan 60° =

a 21
a 63
a 63 a2 3 3a 3 21
. 3=
⇒V =
.
=
.
7
7
7
2
14

sin x
Câu 34: Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y =
trên khoảng (0; +∞) . Khi đó
x

bằng
A. F (6) − F (3) .

B. 3 [ F (6) − F (3) ] .

C. 3 [ F (2) − F (1) ] .

2

sin 3x
dx có giá trị
x
1

∫

D. F (2) − F (1) .

Hướng dẫn giải
Đăt t = 3 x ⇒ dt = 3dx và
x
t
2

2

1
3

2

6

6

sin 3x
sin 3 x
sin t
dx = ∫
3dx = ∫
dt = F (6) − F (3) .
Vậy ∫
x
3x
t
1
1
3
Câu 35: Cho hàm số f(x) liên tục trên ¡
I=

và f ( x) + f (− x) = cos 4 x với mọi x ∈ ¡ . Giá trị của tích phân

π
2

∫

f ( x) dx là

−π

2

17


A. −2 .

B.

3π
.
16

3
C. ln 2 − .
4

3
D. ln 3 − .
5

Hướng dẫn giải
Đặt x = −t ⇒

π
2

∫

−

f ( x)dx =

−π
2

π
2

⇒ 2 ∫ f ( x)dx =
−π
2

π
2

∫

∫

f (−t )dt =

π
−
2

π
2

π

2

π
2

−π
2

∫ [ f ( x) + f (− x)] dx = ∫ cos

−

1

0

π
− 2+2.
2
Hướng dẫn giải
A.

π
2

∫

f (− x )dx

π

−
2

4

xdx ⇒ I =

3π
.
16

3− x
dx là
1+ x

Câu 36: Giá trị của tích phân I = ∫

Đặt t =

f (−t )(−dt ) =

π
2

π
2

B.

π

− 2 +2.
3

C.

π
− 3+2.
3

D.

π
− 3+2.
2

3
π
3− x
t 2 dt
⇒ I = 8∫ 2
; đặt t = tan u.... ĐS: I = − 3 + 2 .
2
3
1+ x
(t + 1)
1
1

3− x
dx , rồi đặt t = 1 + x sẽ tính nhanh hơn.

1+ x

Chú ý: Phân tích I = ∫
0

2

4

2
3
Câu 37: Giá trị của a để đẳng thức ∫  a + (4 − 4a ) x + 4 x  dx = ∫ 2 xdx là đẳng thức đúng
1

A. 4.
Hướng dẫn giải

2

B. 3.

C. 5.

2

D. 6.
2

12 = ∫  a 2 + (4 − 4a ) x + 4 x3  dx =  a 2 x + (2 − 2a) x 2 + x 4  1 ⇒ a = 3.
1

Câu 38: Trong £ , nghiệm của phương trình z 2 = −5 + 12i là:
 z = 2 + 3i
A. 
B. z = 2 + 3i
C. z = 2 − 3i
 z = −2 − 3i
Hướng dẫn giải:
Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡

)

 z = 2 − 3i
D. 
 z = −2 + 3i

là một nghiệm của phương trình.

z 2 = −5 + 12i ⇔ ( x + yi ) = −5 + 12i ⇔ x 2 − y 2 + 2 xy = −5 + 12i
2

 x = 2

 x2 = 4
 x − y = −5

 y = 3
⇔
⇔
6 ⇔

2 xy = 12
y =
  x = −2
x

  y = −3

 z = 2 + 3i
Do đó phương trình có hai nghiệm là 
 z = −2 − 3i
2

2

Ta chọn đáp án A.
18


2
2
2
Câu 39: Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z + ( 1 − 3i ) z − 2 ( 1 + i ) = 0 . Khi đó w = z1 + z2 − 3 z1 z2

là số phức có mơđun là:
A. 2
B. 13
Hướng dẫn giải:

C. 2 13

D.

20

b

 S = z1 + z2 = − a = −1 + 3i
Theo Viet, ta có: 
 P = z . z = c = −2 ( 1 + i )
1 2

a
w = z12 + z22 − 3 z1 z2 = S 2 − 5P = ( −1 + 3i ) + 10 ( 1 + i ) = 2 + 4i
2

⇒| w |= 4 + 16 = 20
Ta chọn đáp án A.
Câu 40: Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp biểu diễn số phức Z thỏa 1 ≤ z + 1 − i ≤ 2 là hình vành khăn. Chu
vi P của hình vành khăn là bao nhiêu ?
A. P = 4π .
B. P = π .
B. P = 2π .
Hướng dẫn giải

D. P = 3π .

Gọi M ( x, y ) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi ( x, y ∈ R )
Gọi A ( −1,1) là điểm biểu diễn số phức −1 + i

1 ≤ z + 1 − i ≤ 2 ⇔ 1 ≤ MA ≤ 2 . Tập hợp điểm biểu diễn là hình vành khăn giới hạn bởi 2 đường trịn

đồng tâm có bán kính lần lượt là R1 = 2, R2 = 1 ⇒ P = P1 − P2 = 2π ( R1 − R2 ) = 2π
=> Đáp án C.

 x = 2 + 4t
Câu 41: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + my − 3 z + m − 2 = 0 và đường thẳng d :  y = 1 − t .
 z = 1 + 3t

Với giá trị nào của m thì d cắt ( P )
A. m ≠

1
.
2

B. m = −1 .

Lời giải.

( P ) : 2 x + my − 3z + m − 2 = 0

C. m =

1
.
2

D. m ≠ −1 .

r
có VTPT a = ( 2; m; −3)

 x = 2 + 4t
r

d :  y = 1 − t có VTCP b = ( 4; −1;3)
 z = 1 + 3t

rr
d cắt ( P ) ⇔ a.b ≠ 0 ⇔ 2.4 − m + ( −3) .3 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1
Chọn đáp án A.

19


 x = 1 + 2t
 x = −2t


Câu 42: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d:  y = 2 − 2t và d ' :  y = −5 + 3t . Trong các mệnh đề
 z =t
 z = 4+t


sau, mệnh đề nào đúng?
A. song song.
B. trùng nhau.
C. chéo nhau.
D. cắt nhau.
Lời giải.

r
d có VTCP u = (2; −2;1) và đi qua M (1; 2;0)
ur
d ' có VTCP u ' = (−2;3;1) và đi qua M '(0; −5; 4)
Từ đó ta có
uuuuur
r ur
r
MM ' = (−1; −7; 4) và [u, u '] = (−2;1; 6) ≠ 0
r ur uuuuur
Lại có [u, u '].MM ' = 19 ≠ 0

Suy ra d chéo nhau với d ' .
Câu 43: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( Q ) song song với mặt phẳng ( P ) : 2 x − 2 y + z + 7 = 0 . Biết mp

( Q)

cắt mặt cầu ( S ) : x 2 + ( y + 2) 2 + ( z − 1) = 25 theo một đường trịn có bán kính r = 3 . Khi đó mặt
2

phẳng ( Q ) có phương trình là:
A. x − y + 2 z − 7 = 0 .
C. 2 x − 2 y + z + 7 = 0 .
Lời giải.
( S ) có tâm I ( 0; −2;1) và bán kính R = 5

B. 2 x − 2 y + z + 17 = 0 .
D. 2 x − 2 y + z − 17 = 0 .

Gọi M là hình chiếu vng góc của I lên ( Q )

( Q)

cắt mặt cầu ( S ) theo một đường trịn có bán kính r = 3

⇒ IM = R 2 − r 2 = 52 − 32 = 4

( Q ) // ( P ) : 2 x − 2 y + z + 7 = 0 ⇒ ( Q ) : 2 x − 2 y + z + m = 0 ( m ≠ 7 )
2.0 − 2. ( −2 ) + 1.1 + m
d  I ; ( Q )  =
= IM = 4
2
22 + ( −2 ) + 12
m = 7
⇔ m + 5 = 12 ⇔ 
 m = −17

Vậy ( Q ) : 2 x − 2 y + z − 17 = 0
Chọn đáp án A.
2π
2
Câu 44: [1D1-4]Tìm m để phương trình ( cos x + 1) ( cos 2 x − m cos x ) = m sin x có đúng 2 nghiệm x ∈ 0;  .
 3
1
1
1
A. −1 < m ≤ 1 .
B. 0 < m ≤ .
C. −1 < m ≤ − - .
D. − < m ≤ 1 .

2
2
2

Lời giải
Chọn C.
20


2
Ta có ( cos x + 1) ( cos 2 x − m cos x ) = m sin x

⇔ ( cos x + 1) ( cos 2 x − m cos x ) = m ( 1 − cos x ) ( 1 + cos x )
 cos x = −1
 cos x = −1
⇔
⇔
 cos 2 x − m cos x = m − m cos x
 cos 2 x = m
2π
Với cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π : khơng có nghiệm x ∈ 0;  .
 3
2
Với cos 2 x = m ⇔ cos x =

m +1
.
2

 2π 

 1 
Trên 0;  , phương trình cos x = a có duy nhất 1 nghiệm với a ∈  − ;1
 3 
 2 


m > −1

 m > −1
 m > −1
m +1
1
 −1


≤ 1 ⇔  m +1 1 ⇔ 
Do đó, YCBT ⇔  ≤
1 ⇔ −1 < m ≤ − .
2
2
≤
2

m ≤ − 2
2
2

 −1
m +1
≤1

 ≤−
2
2
Phân tích phương án nhiễu:
A sai do tìm sai điều kiện của a .
B sai do tìm sai điều kiện của a .
D sai dotìm sai điều kiện của a .
Câu 45: Trong khơng gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ có điểm A trùng với gốc của hệ trục
tọa độ, B (a;0; 0) , D(0; a;0) , A′(0; 0; b) (a > 0, b > 0) . Gọi M là trung điểm của cạnh CC ′ . Giá trị của
a
để hai mặt phẳng ( A′BD) và ( MBD ) vng góc với nhau là:
b
1
1
A. .
B. .
C. −1 .
3
2

tỉ số

D. 1.

Lời giải.
uuu
r uuur
b

Ta có AB = DC ⇒ C ( a; a;0 ) ⇒ C ' ( a; a; b ) ⇒ M  a; a; ÷

2

Cách 1.
uuur 
uuuur
b  uuur
Ta có MB =  0; −a; − ÷; BD = ( −a; a;0 ) và A ' B = ( a; 0; −b )
2

uuur uuuur
r
uuur uuur  ab ab
2
2
2
2
Ta có u =  MB; BD  =  ; ; −a ÷ và  BD; A ' B  = ( −a ; − a ; − a )
 2 2

r
Chọn v = ( 1;1;1) là VTPT của ( A ' BD )
rr
ab ab
a
( A ' BD ) ⊥ ( MBD ) ⇔ u.v = 0 ⇔ + − a 2 = 0 ⇔ a = b ⇒ = 1
2
2
b
Cách 2.
21

 A ' B = A ' D  A ' X ⊥ BD
AB = AD = BC = CD = a ⇒ 
⇒
với X là trung điểm BD
 MB = MD
 MX ⊥ BD
⇒ (·A ' BD ) ; ( MBD )  = ·A ' X ; MX



(

)

a a 
X  ; ; 0 ÷ là trung điểm BD
2 2 
uuuur  a a

A ' X =  ; ; −b ÷
2 2

uuuu
r  a a b
MX =  − ; − ; − ÷
 2 2 2

( A ' BD ) ⊥ ( MBD ) ⇒ A ' X ⊥ MX

uuuur uuuu
r
⇒ A ' X .MX = 0
2

2

2
a a b
⇒ − ÷ −  ÷ + = 0
2
2  2

⇒

a
=1
b

( )

2
Câu 46: Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + z

2

+2 z

2

= 16 là

hai đường thẳng d1 , d 2 . Khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1 , d 2 là bao nhiêu ?
A. d ( d1 , d 2 ) = 2 .

B. d ( d1 , d 2 ) = 4 .

C. d ( d1 , d 2 ) = 1 .

D. d ( d1 , d 2 ) = 6 .

Hướng dẫn giải
Gọi M ( x, y ) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi ( x, y ∈ R )

( )

2
Ta có : z + z

2

+2 z

2

= 16 ⇔ x 2 + 2 xyi − y 2 + x 2 − 2 xyi − y 2 + 2 x 2 + 2 y 2 = 16

⇔ 4 x 2 = 16 ⇔ x = ±2 ⇒ d ( d1 , d 2 ) = 4

Ta chọn đáp án B.

Câu 47: Cho hình trụ có bán kính đáy là 4 cm, một mặt phẳng khơng vng góc với đáy và cắt hai mặt đáy theo
hai dây cung song song AB, A ' B ' mà AB = A ' B ' = 6 cm (hình vẽ). Biết diện tích tứ giác ABB ' A ' bằng
60 cm2. Tính chiều cao của hình trụ đã cho.
A. 6 2 cm.
B. 4 3 cm.
C. 8 2 cm.
D. 5 3 cm.
 Hướng dẫn giải:
Dựng đường sinh B ' C và A ' D , ta có tứ giác A ' B ' CD là hình chữ nhật nên CD //A ' B ' và
CD = A ' B ' = 6 cm . Vậy CD //AB và CD = AB = 6 cm . Do đó tứ giác
ABCD là hình bình hành và nội tiếp được nên là hình chữ nhật. Từ đó
AB ⊥ BC , mặt khác AB ⊥ B 'C nên AB ⊥ ( BCB ') ⇒ AB ⊥ BB '
Vậy ABB ' C ' là hình bình hành có một góc vng nên là hình chữ nhật.
60
= 10 cm .
Ta có S ABB ' A ' = AB.BB ' nên BB ' =
6
22


Xét tam giác BB ' C vng tại C có
B ' C 2 = BB '2 − BC 2 mà
BC 2 = AC 2 − AB 2 = 64 − 36 = 28
nên B ' C 2 = 100 − 28 = 72 ⇒ B ' C = 6 2 cm .
Vậy chiều cao hình trụ là 6 2 cm .

Câu 48: Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S . ABC , biết các cạnh đáy có độ dài bằng
a , cạnh bên SA = a 3 .
2a 3

3a 3
a 3
3a 6
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
2 2
8
8
 Hướng dẫn giải:
Gọi H là tâm của tam giác đều ABC , ta có SH ⊥ ( ABC ) nên SH
là
trục của tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của SA , trong mp
( SAH ) kẻ trung trực của SA cắt SH tại O thì
OS = OA = OB = OC nên O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S . ABC . Bán kính mặt cầu là R = SO .
SO SM
=
Vì hai tam giác SMO và SHA đồng dạng nên ta có
.
SA SH
SM .SA SA2
3a 6
Suy ra R = SO =
.

=
=
SH
2 SH
8
Câu 49: Trong khơng gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của AD và BC . Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích tồn
phần Stp của hình trụ đó.
A.

A. Stp = 6π .
B. Stp = 2π .
C. Stp = 4π .
 Hướng dẫn giải:
2
Ta có Stp = S xq + S2 day = 2π Rh + 2π R = 2π R ( h + R ) .
Hình trụ đã cho có chiều cao là h = MN = AB = 1 và bán kính

D. Stp = 10π .

đáy

AD
= 1.
Do đó diện tích tồn phần hình trụ là:
2
Stp = 2π (1 + 1) = 4π
R=

Câu 50: [2D1-4]Từ một khúc gỗ trịn hình trụ có đường kính bằng 40 cm , cần xả thành một chiếc xà có tiết diện

ngang là hình vng và bốn miếng phụ được tơ màu xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng x của
miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.

23


A. x =

3 34 − 17 2
( cm ) .
2

B. x =

3 34 − 19 2
( cm ) .
2

C. x =

5 34 − 15 2
( cm ) .
2

D. x =

5 34 − 13 2
( cm ) .
2
Lời giải

Chọn C.
Gọi x, y lần lượt là chiều rộng và dài của miếng phụ.
Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là S = S MNPQ + 4 xy .
Cạnh hình vng MN =

(

⇒ S = 20 2

)

2

MP 40
=
= 20 2 ( cm ) .
2
2

+ 4 xy = 800 + 4 xy (1).

Ta có 2 x = AB − MN = AB − 20 2 < BD − 20 2 = 40 − 20 2 .
⇒ 0 < x < 20 − 10 2 .

(

Lại có AB 2 + AD 2 = BD 2 = 402 ⇒ 2 x + 20 2

)

2

+ y 2 = 1600 .

⇒ y 2 = 800 − 80 x 2 − 4 x 2 ⇒ y = 800 − 80 x 2 − 4 x 2 .

Thế vào ( 1) ⇒ S = 800 + 4 x 800 − 80 x 2 − 4 x 2 = 800 + 4 800 x 2 − 80 x 3 2 − 4 x 4 .

(

)

2
3
4
Xét hàm số f ( x ) = 800 x − 80 x 2 − 4 x , với x ∈ 0; 20 − 10 2 có.

(

)

f ′ ( x ) = 1600 x − 240 x 2 2 − 16 x 3 = 16 x 100 − 15 x 2 − x 2 .

(

)

(
(

)


 x ∈ 0; 20 − 10 2
5 34 − 15 2
 x ∈ 0; 20 − 10 2
⇔
⇔ x=
Ta có 
.
2
 f ′ ( x ) = 0
16 x 100 − 15 x 2 − x 2 = 0

Khi đó x =

)

5 34 − 15 2
chính là giá trị thỏa mãn bài toán.
2

24


25