Vấn đề 1 GIỚI hạn của dãy số file word

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (486.55 KB, 70 trang )

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
1

Chủ đề 11

GIỚI HẠN – LIÊN TỤC

Vấn đề 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

2

A - GIỚI HẠN HỮU HẠN
 Giới hạn hữu hạn
un = 0 ⇔ un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
• nlim
→+∞
vn = L ⇔ lim ( vn − L ) = 0
• Dãy số ( un ) có giới hạn là L nếu: nlim
→+∞
n →+∞
 Lưu ý: Ta có thể viết gọn: lim un = 0, lim un = L .
 Giới hạn đặc biệt
1) lim

1
=0
n

2) lim

1
=0
n

3) lim

1
=0
n

3

5) lim C = C , ∀C ∈ ¡

6) lim q n = 0 nếu q < 1 )

8) lim q n = +∞ nếu q > 1

9) lim n k = +∞, k ∈ ¥ *

4) un = 0 ⇒ lim un = 0
7) lim

1
= 0, k ∈ ¥ *
nk

 Định lí về giới hạn

• Nếu hai dãy số ( un ) và ( vn ) cùng có giới hạn thì ta có:
2) lim ( un .vn ) = lim un .lim vn

1) lim(un ± vn ) = lim un ± lim vn
3) lim

un lim un
=
(Nếu lim vn ≠ 0 )
vn lim vn

4) lim ( k .un ) = k .lim un , (k ∈ ¡ )

5) lim | un |=| lim un |

6) lim 2 k un = 2 k lim un (nếu un ≥ 0 ) (căn bậc chẵn)

7) lim 2 k +1 un = 2 k +1 lim un

(căn bậc lẻ) 8) Nếu un ≤ vn và lim vn = 0 thì lim un = 0 .

- Định lí kẹp về giới hạn của dãy số: Cho ba dãy số ( un ) , ( vn ) ,

( wn )

và

L ∈ ¡ . Nếu

un ≤ vn ≤ wn , ∀n ∈ ¥ * và lim un = lim wn = L thì ( vn ) có giới hạn và lim vn = L .

• Nếu lim un = a và lim vn = ±∞ thì lim

un
=0.
vn

1) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.
2) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.
n

1
 Chú ý: e = lim  1+ ÷ ≈ 2, 718281828459... , là một số vô tỉ.
 n
 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
• Một cấp số nhân có công bội q với | q |< 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
u1
2
Ta có : S = u1 + u1q + u1q +… =
(với | q |< 1 )
1− q
B - GIỚI HẠN VÔ CỰC
 Định nghĩa
un = +∞ ⇔ un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở đi.
• nlim
→+∞
un = −∞ ⇔ un có thể nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở đi.
• nlim
→+∞
un = −∞ ⇔ lim ( −un ) = +∞
• nlim

→+∞
n →+∞

 Lưu ý: Ta có thể viết gọn: lim un = ±∞ .
 Định lí

−

Neá
u lim un = +∞ thì lim

1
=0
un

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
3

− Nếu lim un = 0, ( un ≠ 0, ∀n ∈ ¥ ) ⇔ lim

1
=∞
un

 Một vài qui tắc tìm giới hạn
Qui tắc 1:
Nếu lim un = ±∞

Qui tắc 2:

Nếu lim un = ±∞

Qui tắc 3:
Nếu lim un = L ,

và lim vn = ±∞ ,

và lim vn = L ≠ 0 ,

lim vn = 0 và vn > 0 hoặc

thì lim ( un .vn ) là:

thì lim ( un .vn ) là:

vn < 0 kể từ một số hạng nào
đó trở đi thì:

lim un lim v n lim ( un .v n )
+∞
+∞
−∞
−∞

lim un
+∞
+∞
−∞
−∞
L

+
+
−
−

+∞
−∞
+∞
−∞

+∞
−∞
−∞
+∞

Dấu của
lim ( un .vn )
L
+
−
+
−

+∞
−∞
−∞
+∞

Dấu của vn lim
+

−
+
−

un
vn

+∞
−∞
−∞
+∞

Dạng 1. Dãy có giới
hạn 0
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• Dãy (un) có giới hạn 0 nếu mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ
một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.
Khi đó ta viết: lim(un ) = 0 hoặc lim un = 0 hoặc un → 0 .
lim un = 0 ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ ¥ * : n > n0 ⇒ un < ε
• Một số kết quả: (xem phần tóm tắt lý thuyết)
 Chú ý: Sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh, đánh giá biểu thức lượng giá, nhân liên
hợp của căn thức, …

B. BÀI TẬP MẪU

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

4

VD 1.1 Chứng minh các dãy sau có giới hạn là 0:

a) un =

1
n+3

(−1) n
b) un =
n+4

c) un =

1
3n

b) un =

dương

(−1) n
2n

c) un =

1
n2

d) un =

n
c) un = (0,99)

1
,
nk

k

nguyên

n
d) un = ( −0,97)

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 1.2 Chứng minh các dãy sau có giới hạn là 0: a) un =

1
n(n + 1)

b) vn =

(−1) n cos n
n2 + 2

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 1.3 Tính các giới hạn sau:

a) un =

sin n
n+5

b) un =

cos 3n
n +1

c) un =

(−1) n
3n + 1

d) un =

− sin 2n
(1, 2) n

)

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
5
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 1.5 Chứng minh các dãy sau có giới hạn bằng 0: a) un = 3 n + 1 − 3 n

b) vn = 3 n3 + 1 − n

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

, un +1 = un2 + n , n ≥ 1 .
4
2
1
a) Chứng minh 0 < un ≤ với mọi n
b) Tính lim un
4

VD 1.7 Cho dãy số (un) với u1 =

.......................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

6

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

Dạng 2. Khử dạng vô
định

∞
∞

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• Đối với dãy un =

a0 n m + a1n m −1 + ... + am
, a0 ≠ 0, b0 ≠ 0 thì chia cả tử lẫn mẫu của phân thức
b0 n k + b1n k −1 + ... + bk

cho lũy thừa lớn nhất của n ở tử n m hoặc mẫu n k , việc này cũng như đặt thừa số chung cho
n m hoặc mẫu n k rồi rút gọn, khử dạng vô định. Kết quả:
0
khi m < k

a
a
lim un =  0 khi m = k (dấu +∞ hoặc −∞ tùy theo dấu của 0 )
b0
 b0
±∞ khi m > k
• Đối với biểu thức chứa căn bậc hai, bậc ba thì cũng đánh giá bậc tử và mẫu để đặt thừa số
chung rồi đưa ra ngoài căn thức, việc này cũng như chia tử và mẫu cho lũy thừa số lớn của n
ở tử hoặc mẫu.
• Đối với các biểu thức mũ thì chia tử và mẫu cho mũ có cơ số lớn nhất ở tử hoặc mẫu, việc này
cũng như đặt thừa số chung cho tử và mẫu số hạng đó.
 Biến đổi rút gọn, chia tách, tính tổng, kẹp giới hạn, … và sử dụng các kết quả đã biết.

B. BÀI TẬP MẪU

VD 1.8 Tính các giới hạn sau:

a) lim

2n + 1
3n + 2

b) lim

n 2 − 3n + 5
3n 2 + 4

c) lim

n3 + n 2 − n + 1
2n 3 + n 2 + 2

d) lim

2n 4 + 1
3n 4 + n + 2

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
7
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 1.9 Tính các giới hạn sau:

3n 2 − n + 1
n3 + 4n 2 + 6
n5 + n 4 − 3n − 2
d) lim
4n 3 + 6n 2 + 9
a) lim

n4 + 4
n5 + 5
(n + 2)(3n + 1)
e) lim
4n 2 + n + 1
b) lim

−2n3 + 3n − 2

3n − 2
(2n + 1) 2 (4 − n)
f) lim
(3n + 5)3
c) lim

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

8

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 1.10 Tính các giới hạn sau:

a) lim

n 4 + 3n − 2
2n 2 − n + 3

b) lim

3

n 6 − 7 n3 − 5n + 8

n + 12

c) lim

2n 2 − n
1 − 3n 2

d) lim

6n 4 + n + 1
2n + 1

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

3n + 5.4n

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

Dạng 3. Khử dạng vô định
∞ -∞
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• Đối với dãy un = am n m + am −1n m −1 + ... + a0 , am ≠ 0 thì đặt thừa số chung m cho thừa số lớn nhất
của n là nm. Khi đó: lim un = +∞ nếu am > 0 và lim un = −∞ nếu am < 0
• Đối với biểu thức chứa căn thức thì nhân, chia lượng liên hợp bậc hai, bậc ba để đưa về
dạng:
A+ B3
A− B2
3
A+ B=
A+ B=

3
A− B
A2 − B.3 A + B 2



A+ B =

A− B
A− B



3

A− B=

A − B3
3

A2 + B.3 A + B 2
A+ B

A− B2
3
A+ 3 B =

3
A+ B
A2 − 3 A.B + 3 B 2
A− B
A− B
3

A− 3 B =
A− B =


3
2
3
A+ B
A + A.B + 3 B 2
• Đặc biệt, đôi khi ta thêm, bớt đại lượng đơn giản để xác định các giới hạn mới có cùng dạng
vô định, chẳng hạn:



A− B=

3

) (
= ( n + n − n) + ( n +

n3 + 2 − n 2 + 1 =
n 2 + n + 3 2 − n3

(

3

)

n3 + 2 − n + n − n 2 + 1 ;
2

3

2 − n3

)

• Đối với các biểu thức khá, biểu thức hỗn hợp thì xem xét đặt thừa số chung của mũ có cơ số
lớn nhất, lũy thừa của n lớn nhất.

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.12 Tính các giới hạn sau:

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2
2
a) lim ( n − 14n − 7 )

10

2
b) lim ( −2n + 3n − 19 )

c) lim 2n 2 − n + 1

d)

lim 3 −8n3 + n 2 − n + 3

(

3

)

n3 + 1 − n

)

)

b) lim

(

e) lim

(

)

n +1 − n n

3

n3 + n 2 − n 2 + 3n

c)

)

f) lim

n2 + 2 − n2 + 1
3

n3 + 2 − 3 n3 + n 2

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

11
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 1.14 Tính các giới hạn sau:

(

a) lim n n − 2 n + 1
d) lim

(

)

n2 + n + 2 − n + 1

b) lim

)

e) lim

(

3

n 2 + 7 − 2n

)

1
n + 2 − n +1

c) lim 2.3n − n + 2
f) lim

2
3n + 2 − 2n + 1

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

12

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

Dạng 4. Cấp số nhân lùi
vô hạn
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Một cấp số nhân có công bội q với | q |< 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
u1
2
Ta có : S = u1 + u1q + u1q + … =
, với | q |< 1 .
1− q

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.15 Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: 0,444…; 0,212121…
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 1.16 Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là

5
39
, tổng ba số hạng đầu tiên của nó là
. Tìm số
3
25

hạng đầu và công bội của cấp số đó.
.......................................................................................................................................................................................

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
13
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 1.17 Cho q < 1 . Tính tổng vô hạn sau:

a) A = 1 + 2q + 3 p 2 + ... + nq n −1 + ...

b) B = 1 + 4q + 9 p 2 + ... + n 2 q n −1 + ...

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

5)

lim 3 1 + 2n − n3

6)

lim(−n3 − 3n − 2)

2)

lim

3)

lim

Tìm các giới hạn sau:
4n 2 − n − 1
1) lim
3 + 2n 2
4)
7)

(2 − 3n)3 ( n + 1) 2
lim
1 − 4n 5
4n 2 − 3
lim 3
n + 3n + 1

10) lim
lim

2(n − 1)3 (n 2 − n + 1) 2
(n3 − 2n + 5)(3 − 2n)6

5)
8)

2n − 3n3 + 1
n3 + n 2
2n − 3
lim
4n + 5
(n + 1)(2n − 1)
lim
(3n + 2)(n + 3)

6)
9)

3n3 − 5n + 1
n2 + 4

3n 2 − 2n + 1
lim 2
4n + 5n − 2
n(3n − 2)(4n + 5)
lim
(2n − 3) 2

11) lim

(2n − 1)3 (n − 3)5
3(n + 1)9

14) lim

4n5 − n + 1
6n3 − 2n + 1
15) lim
(2n + 1)(−n + 1)(n 2 + 2)
2n3 − n

12)

(n 2 + 1)(n − 3) + n3 − 2
(2n 2 + 1)(3 − n)

n3 − 2n + 1
13) lim 2
2n − n + 3

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

16) lim
1.3

1.4

2n3 + 3n − 2
17) lim
3n − 2

2n3 − n − 3
18) lim
5n − 1

Tìm các giới hạn sau:
n +1
n +1

1)

3n 2 + 1 + n
lim
1 − 2n 2

2)

lim

2n n
2
n + 2n − 1

3)

lim

4)

lim

n3 + n
n+2

5)

lim

n2 + 2 n + 3
2n 2 + n − n

6)

lim

(2n n + 1)( n + 3)
( n + 1)(n − 3)

7)

lim

2n n + 3
n2 + n + 1

8)

lim

n 1 + 2 + 3 + ... + 2n
3n 2 + n − 2

9)

lim

2n n + 3
n2 + 3 n + 2

3

Tìm các giới hạn sau:
1)

n 2 + n − 1 − 4n 2 − 2
2)
lim
n+3

4)

lim

7)

lim

10) lim
1.5

(n 2 + 1)(n − 1) 2
(n + 1)(3n − 2)3

14

4 n 2 + 3 − 2n + 1
n 2 + 2n − n
n( 3 2 − n 3 + n)
n2 + 1 − n
4 n 2 + 1 − 2n − 1
n 2 + 4n + 1 − n

lim

2n + 1 − n 2 + 2n − 4
3n + n 2 + 7

3)

lim

5)

lim

3n 2 + 1 − n 2 − 1

n

6)

lim

8)

lim

2n − 1 − n
3n + 1

9)

lim

11) lim

n6 − n + 1 + n 2
3n 2 n 2 − 1

12) lim

4 n 2 + 3 − 2n + 1
n ( n 2 + 3 − 2 n)
1
n + 2 − n2 + 4
2

n − n2 −1
n 2 + 2n
4 n 2 + 3 − 2n + 1
n 2 + 4n + n

Tìm các giới hạn sau:
1)

lim n( n 2 − 1 − n 2 + 2)

lim n( n 2 + 1 − n 2 − 2)

3)

lim(1 + n 2 − n 4 + 3n + 1)

4)

lim(2n − 1 − 4n 2 − 6n + 7) 5)

lim( n3 − 3n − n + 5)

6)

lim( n 2 + 2n − n − 1)

7)

lim( n 2 + 2n − n + 1)

lim( n 2 + n − n 2 − 1)

9)

lim( n + 1 − n )

10) lim( n 2 + n + 1 − n)
13) lim

1
n + 2 − n +1

2)

8)

11) lim( n 2 + n + 2 − n + 1)
14) lim

n2 + 1 − n + 1
3n + 2

12) lim( 3 2n − n3 + n − 1)
9)

lim

1
3n + 2 − 2n + 1

10) lim(3 n 3 + n 2 − n )

11) lim( 3 n3 − 2n 2 − n)

12) lim( 3 n3 − 2n 2 − 2n + 1)

13) lim( 3 n − n3 + n)

14) lim( 3 n3 + 1 − n)

15) lim( 3 2 − n3 + n)

16) lim

n( 3 2 − n 3 + n)
n + 1 − 2n
2

2

17) lim( 3 8n3 + n 2 − 1 + 3 − 2n) 18)

lim( 3 n3 − 3n − n 2 + 4n )
1.6

Tìm các giới hạn sau:
1)

lim[4 + (−2) ]

2)

1

lim  2n + ÷
n


4)

 2  n 3n 
lim  ÷ + n
 π ÷
 4 


5)

lim

7)

3n − 4n
lim n
3 + 4n

8)

2n +1 + 3n +1
lim n n

2 +3

n

n

3)

(−2) n − 4.5n +1
lim
2.4n + 3.5n

1 − 2n
1 + 2n

6)

lim

9)

2n + 3n − 4n +3
lim n n +1 n −1
2 −3 + 4

(−2) n + 3n
(−2) n +1 + 3n +1

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65

15

10) lim

n 2 + (−1) n
2n 2 + (−1) n +1

11) lim

3 + 4n
1 + 3.4n

12) lim

3n − 4n + 5n
3n + 4n + 5n+1

13) lim

2n + 3n +1
2n + 5.3n

14) lim

3n − 4n + 1
2.4n + 2n

15) lim

4.3n + 7 n +1

2.5n + 7 n

18) lim

4 n − 5n
2n + 3.5n

3n − 2.5n
7 + 3.5n
1 + a + a2 + K + an
20) lim
1 + b + b2 + K + bn

16) lim 2n − 3n

17) lim

2n − 3n + 4.5n + 2
19) lim n +1 n+ 2 n +1
2 +3 +5
1.7

Tính tổng vô hạn:
1 1 1
1) S = 1 + + + +K
2 4 8
S=

1 2 3 4
+ + + K

2 4 8 27

4)

S=
1

2)

2 +1
1
1
+
+ +K
2 −1 2 − 2 2
1

1

(vôù
i a < 1; b < 1)

1 1 1
S = 1 − + − +K
3 9 27

3)

1
5) S = 8 + 4 + 2 + 1 + + ...

2

6)

1

S = 33.9 9.27 27 .8181 K
7) 1 + 0,9 + ( 0,9 ) + ( 0,9 ) +…
2

1.8

1.9

2

8) S =

34
34
34
+
+
+K
100 10000 1000000

Tìm phân số phát sinh ra số thập phân vô hạn tuần hoàn sau:
1) 34, ( 12 ) …
2) 0, ( 25 ) …
3) 3, ( 123) …

4) 2,131131…

Cho hai dãy số ( un ) và ( vn ) . Chứng minh rằng nếu lim vn = 0 và | un |≤ vn với mọi n thì lim
un = 0 . Áp dụng tính giới hạn của các dãy số sau:
1
n!

1)

un =

4)

un = (0,99) n cos n

(−1) n
2n − 1

2)

un =

5)

un = 5n − cos nπ

3)

un =

2 − n(−1) n
1 + 2n 2

BÀI TẬP TRẮC
NGHIỆM
TN1.1

TN1.2

Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ?
1
n −1
A.
.
B.
.
n
n
n

D.

cos n
.
n

n

 5

B.  − ÷ .
 4

n

n

 2
C.  ÷ .
 3

 4
D.  − ÷ .
 3

Dãy nào sau đây không có giới hạn?
n

 2
A.  ÷ .
 3
TN1.4

1
n +1

Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
 3
A.  ÷ .
 2

TN1.3

C.

( −1)
lim

n

 2
B.  − ÷ .
 3

n

n+2

có giá trị bằng

C. ( −0,99 ) .
n

D. ( −1) .
n

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

A.

TN1.5

TN1.6

1
.
2

B. 0 .

 1 − 2n 
lim 
÷ có giá trị bằng
 4n 
1
1
A. .
B. − .
4
4
lim

TN1.8

TN1.9

C. −1 .

1
D. − .

2

C.

1
.
2

1
D. − .
2

C.

3
.
5

D.

3n + 5n
có giá trị bằng
5n

B. 0 .

A. 1 .
TN1.7

16

−2n3 + n − 5
có giá trị bằng
n 4 − 2n + 2
A. −∞ .
B. −2 .

8
.
5

lim

2n 4 − n + 1
có giá trị bằng
3n 4 + 2n
2
A. 0 .
B.
3

C. 0 .

D. −6 .

C. +∞ .

D.

2

.
5

C. 1 .

D.

3
.
2

C. +∞ .

D. −2 .

C. 1

.

3
C. − .
2

D. +∞ .

C. +∞ .

D. −∞ .

C. 3 .

D. 7 .

C. 0 .

D. +∞ .

lim

2n 2 − 3n3
có giá trị bằng
lim 3
2 n + 4n 2 − 1
3
A. − .
B. 0 .
2
2n3 − n 2 + 4
có giá trị bằng
n 2 + 2n − 3
A. 2 .
B. 0 .

TN1.10 lim

TN1.11

(n
lim

2

+ 2n ) ( 2n3 + 1) ( 4n + 5 )

(n

4

− 3n − 1) ( 3n 2 − 7 )

A. 0 .

B.

( 2n − n ) ( 3n + 1)
lim
( 2n − 1) ( n − 7 )
3

TN1.12

8
.
3

D. +∞ .

2

4

A. 1 .

có giá trị bằng

có giá trị bằng
B. 3 .

3
2
TN1.13 lim ( −2n − 2 n + 3 ) có giá trị bằng

A. −2 .

B. −1 .

4
2
TN1.14 lim ( 3n + 4 n − n + 1) có giá trị bằng

A. −∞ .

B. +∞ .

9n 2 − n − n + 2
có giá trị bằng
3n − 2
A. 1 .
B. 3 .

TN1.15 lim

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
17

TN1.16 lim

)

(

n 2 + 4 − n 2 + 1 có giá trị bằng

A. 3 .
TN1.17 lim

B. 1 .

A.

C. −1 .

D. −∞ .

C. +∞ .

D. 1 .

n 2 + 2n − 1 − 2n 2 + n có giá trị bằng

B. +∞ .

)

(

n 2 − 2n + 3 − n có giá trị bằng

A. −1 .
TN1.19 lim

D. +∞ .

)

(

A. 1 − 2 .
TN1.18 lim

C. 0 .

B. 0 .

)

(

2 n 2 − n + 1 − 2n 2 − 3n + 2 có giá trị bằng
1

.
2

B. 0 .

C. +∞ .

D. −∞ .

1 
 1
−
TN1.20 lim 
÷ có giá trị bằng
n+2 
 n +1
B. 0 .

A. 1 .
TN1.21 lim n

(

C.

1
.
2

D. +∞ .

)

n + 2 − n − 3 có giá trị bằng

A. −1 .

B. 0 .

D. +∞ .

C. 1 .

TN1.22 Nếu lim un = L thì lim 3 un + 8 có giá trị bằng
A. L + 2 .

B.

TN1.23 Nếu lim un = L thì lim
1
.
L +3

A.

3

A. 1 .
3

TN1.25 lim
A.

L+8 .

C.

3

L +2.

D. L + 8 .

1
.
L +3

D.

1
có giá trị bằng
un + 9
B.

1
.
L+9

C.

1
.
L+9

n +1
có giá trị bằng
n+8

3

TN1.24 lim

3

B.
8n3 + 2n 2 − 1
2n 2 + 1

2.

1
.
2

C.

1
.
8

D. +∞ .

có giá trị bằng
B. 2 .

C. 1 .

D. +∞ .

C.

.

 3n + ( −1) n cos 3n 
TN1.26 lim 
÷
÷ có giá trị bằng
n −1



A.

3
.
2

B.

3.

5

D. −1 .

n
n
TN1.27 lim 3 − 5  có giá trị bằng



A. 3 .

B. −∞ .

C. +∞ .

D. − 5 .

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

TN1.28 lim

( 5)
5.2n +

n

− 2n +1 + 1

( )
5

n +1

−3

1
A. − .
3

có giá trị bằng

B.

1
.
5

π n + 3n + 22 n
TN1.29 lim n n
có giá trị bằng
3π − 3 + 22 n + 2
1
A. 1 .
B. .
4
TN1.30 lim

n + n2 + 1
n2 − n − 2

(

B. 2 .

3

A.

(

3

.

1
D. − .
5

C. +∞ .

D. −1 .

C. 0 .

D. −1 .

C. 1 .

D. 0 .

C. 1 .

D. 0 .

)

B.

1
.
3

)

n 2 − n3 + n có giá trị bằng

1
.
3

B. +∞ .

TN1.33 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
1 − 3n
n2 + 1
.
A. un =

B. un =
.
2
n + 3n 2
n + 3n
TN1.34 Dãy số nào sau đây có giới hạn là +∞ ?
1 + 2n
n 2 + 2n
.
A. un =
B. un =
.
2
3n + 3
3n + 3n
un =

2
5

n3 − 2 n 2 − n có giá trị bằng

2
A. − .
3
TN1.32 lim

C. −

có giá trị bằng

A. 1 .
TN1.31 lim

18

C. un =

1 + 2n 2
.
n+5

D. un =

C. un =

2 + n2
.
3n + 3

D.

1 − 2n
.
n+5

n2 + 2
.\
n + 5n3

TN1.35 Dãy số nào sau đây có giới hạn là +∞ ?
2018 + 2017 n
.
n +1
2
D. un = n + 1.

n 2 + 3n
.
2n + n 2
2
C. un = 2017n − 2016n .

B. un =

A. un =

TN1.36 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng −1?
A. lim

3n 2 − 1
.
−3n3 + 2

B. lim

2n3 − 3
.
−2n3 + 1

3n 2 − 1
.
−3n3 + 3n2

D. lim

n3 − 3
.
−n 2 − 1

C. lim

2n 2 − n 4
.
− n 3 + 2n 2

D. lim

3 + 5n3
.
n2 − 1

C. lim

3n 2 − 2n3
.
−2n3 + 4n 2

D. lim

3 + 2n 4
.
2n 2 + 1

C. lim

TN1.37 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0 ?
A. lim

5n 2 + 2
.
−5n3 − 4

B. lim

2 n − 5n 3
.
−2n 2 + 1

TN1.38 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là 1 ?
A. lim

n2 + 2
.
− n3 − 4

B. lim

2n − n 3
.

2n 2 − 1

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
19

TN1.39 Dãy số nào sau đây không có giới hạn?
n
π

A. lim ( −1) sin  + nπ ÷.
2

π

C. lim cos  + nπ ÷.
2


D. lim cos ( nπ ) .

TN1.40 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 1 ?
A. lim sin ( nπ ) .
 n+2 
π ÷.
C. lim sin 
 2n − 1 

TN1.41 Tổng S =
A.

1
.
5

B. lim sin ( nπ ) .

B. lim cos ( nπ ) .
D. lim

1 1
1
+ 2 + ... + n + ... có giá trị bằng
5 5
5
1
B. .
4

( −1)
1
1 1
TN1.42 Tổng S = +  − ÷+ +...+
2  4 8
2n
1
A. 1 .
B. .
3

n cos n − 2
.
n2

C.

2
.
5

D.

5
.
4

C.

3
.
4

D.

2
3

C.

1

.
5

D. +∞ .

C. 0 .

1
D. − .
2

C. 0 .

D. −∞ .

C. –4.

D.

n +1

+ ... là

1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1)
có giá trị bằng
5n 2 − 4
1
A. 0 .
B. − .
4

TN1.43 lim

TN1.44 lim

1 + 2 + 3 + ... + n
có giá trị bằng
n2 − 2
B. +∞ .

A. 1 .

 1

1
1
+
+ ... +
TN1.45 lim 
÷ có giá trị bằng
n ( n + 1) ÷
 1.2 2.3

1
A. .
B. 1 .
2


n 2 cos 2n 

 là:
TN1.46 Kết quả đúng của lim  5 −
n 2 + 1 

A. 4.

B. 5.

TN1.47 Kết quả đúng của lim
A. –

5
.
2

TN1.48 Kết quả đúng của lim
A. –

3
.
3

2 − 5 n−2
là:
3 n + 2 .5 n
B. 1.
− n 2 + 2n + 1
3n 4 + 2
2
B. – .

3

C.

5
.
2

1
.
4

D. –

25
.
2

là
C. –

1
.
2

D.

1
.
2

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

TN1.49 Giới hạn dãy số ( un ) với un =
A. –∞.

20

3n − n 4
là:
4n − 5

B. +∞.

C.

3 n − 4.2 n −1 − 3
bằng :
3.2 n + 4 n
A. +∞.
B. –∞.

3
.
4

D. 0.

TN1.50 lim

C. 0.

D. 1.

C. –∞.

D. +∞.

C. –2.

D. 0.

TN1.53 Giá trị đúng của lim 3 n − 5 n là:
A. –∞.
B.

C. 2.

D. –2.

nπ
 2

− 2n 3  bằng:
TN1.54 lim  n sin
5


A. +∞.

B. 0.

C. –2 .

D. –∞.

C. 1.

D. +∞.

n 3 − 2n + 5
:
3 + 5n

TN1.51 Chọn kết quả đúng của lim
A. 5.
TN1.52 Giá trị đúng của lim
A. +∞.

B.

(

)

[ n(

)]

n + 1 − n − 1 là:

B. 0.

TN1.56 Cho dãy số (un) với un = (n − 1)
A. –∞.

)

n 2 − 1 − 3n 2 + 2 là:
B. –∞.

(

TN1.55 Giá trị đúng của lim
A. –1.

2
.
5

B. 0.

5n − 1
bằng :
3n + 1
A. +∞.
B. 1.
10
TN1.58 lim 4
bằng :
n + n2 +1

A. +∞.
B. 10.

2n + 2
. Chọn kết quả đúng của limun là:
n + n2 −1
C. 1.
D. +∞.
4

TN1.57 lim

TN1.59 lim 5 200 − 3n 5 + 2n 2 bằng :
A. 0.
B. 1.

C. 0.

D. –∞.

C. 0.

D. –∞.

C. +∞.

D. –∞.

1


u n = 2
TN1.60 Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi : 
. Tìm két quả đúng của
u n +1 = 1 , n ≥ 1
2 − un

limun
1
A. 0.
B. 1.
C. –1.
D. .
2
1
1
1
1


TN1.61 Tìm giá trị đúng của S = 2 1 + + + ... + n + ......  .
2
 2 4 8

1
A. 2 +1.
B. 2.
C. 2 2 .
D. .
2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
21

TN1.62 lim 4

4 n + 2 n +1
bằng :
3n + 4 n+ 2

A. 0.
TN1.63 Tính giới hạn: lim
A. 1.

1
.
2
n +1 − 4

B.

C.

1
.
4

D. +∞.

n +1 + n

B. 0.

C. –1.

D.

1
.
2

1 + 3 + 5 + ...... + (2n + 1)
3n 2 + 4
1
2
A. 0.
B. .
C. .
3
3
1

1
1
+ ...... +
TN1.65 Tính giới hạn: lim  +
n( 2n + 1) 
1.3 3.5

D. 1.

2
.
3

D. 2.

TN1.64 Tính giới hạn: lim

A. 1.

B. 0.

C.

1
1
1 
+ ...... +
TN1.66 Tính giới hạn: lim  +
n(n + 2) 
1.3 2.4
3
A. .
B. 1.
C. 0.
2

1 
1 
1 

TN1.67 Tính giới hạn: lim 1 − 2 1 − 2 .....1 − 2 
 2  3   n 
A. 1.

B.

1
.
2

TN1.68 Chọn kết quả đúng của lim 3 +
A. 4.

B. 3.

C.

1
.
4

D.

2
.
3

D.

3

.
2

D.

1
.
2

n2 −1 1
.
−
3 + n2 2n
C. 2.

27 81
− +… bằng:
4 16
48
39
75
A.
B.
C.
7
4
16
TN1.70 Biểu diễn số thập phân 1, 245454545… như một phân số:
249
137

27
A.
B.
C.
200
110
22
TN1.69 Tổng vô hạn 12 − 9 +

D. Không tồn tại

D.

69
55

Vấn đề 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

TI LIU HC TP TON 11 HK2

22

Gii hn hu hn
Gii hn ti mt im: Cho khong K cha im x0 v hs y = f ( x ) xỏc nh trờn K hoc
trờn K \ { x0 } . Dóy ( xn ) bt kỡ, xn K \ { x0 } v xn x0 , thỡ lim f ( xn ) = L
Gii hn bờn phi: Cho hm s y = f ( x ) xỏc nh trờn khong ( x0 ; b ) :
lim f ( x) = L dóy ( x ) bt kỡ, x0 < lim f ( x) = L < xn < b v x x thỡ lim f ( x ) = L
n
n

0
n
x x0

x x0+

Gii hn bờn trỏi: Cho hm s y = f ( x ) xỏc nh trờn khong ( a; x0 ) :
lim f ( x) = L dóy ( x ) bt kỡ, a < xn < lim f ( x ) = < x0 v x x thỡ lim f ( x ) = L
n
n
0
n
x +

x x0

Cho hm s y = f ( x ) xỏc nh trờn khong (a; + ) :
lim f ( x) = L dóy ( xn ) bt kỡ, xn > a v xn + thỡ lim f ( xn ) = L

x +

Cho hm s y = f ( x ) xỏc nh trờn khong (; a ) :
lim f ( x) = L dóy ( xn ) bt kỡ, xn < a v xn thỡ lim f ( xn ) = L

x

Gii hn vụ cc
Cho hm s y = f ( x ) xỏc nh trờn khong (a; + )
dóy ( xn ) bt kỡ, xn > a v xn + thỡ lim f ( xn ) =
Cho khong K cha im x0 v hm s y = f ( x ) xỏc nh trờn K hoc trờn K \ { x0 } .

f ( x) = + dóy ( xn ) bt kỡ, xn > a , xn K \ { x0 } v xn x0 thỡ lim f ( xn ) = +
. xlim
x0
f ( x) = + , lim f ( x) = + , lim f ( x ) = c nh ngha tng t.
Cỏc gii hn: xlim
+
x
x

Nhn xột: f ( x ) cú gii hn + f ( x ) cú gii hn .
Cỏc gii hn c bit
x = x0
1) lim
x x
0

4) lim

x +

1

x

k

3) lim

x k = + ( k Ơ * )
5) xlim

+

u k chaỹ
n
+ neỏ
xk =
6) xlim

u k leỷ
neỏ

x

0

=0

c

x = x0 (c: hng s)
2) lim
xx

x

= 0 (c: hng s)

nh lớ v gii hn hu hn
nh lớ 1.
f ( x) = L v lim g ( x) = M , thỡ:

- Nu lim
x x
xx
0

0

lim c. f ( x) = c.L (vi C l hng s)
xx

[ f ( x) + g ( x)] = L + M
lim
xx

lim [ f ( x) g ( x)] = L M

lim [ f ( x).g ( x)] = L . M

lim

lim f ( x) = L

lim

0

x x0

x x0

x x0

f ( x) L
=
(M 0)
g ( x) M
3

0

x x0

x x0

f ( x) = + thỡ lim 1 = 0
Nu lim
x x

f ( x) = 3 L

x x0

0

f ( x) = L thỡ L 0 v lim
- Nu f ( x ) 0 v lim
xx
xx
0

Chỳ ý: nh lớ 1 vn ỳng khi x

0

f ( x) = L

f (x)

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
23

• Định lí 2.

lim f ( x) = L ⇔ lim f ( x) = lim f ( x) = L
x → x0+

x → x0

x → x0−

• Định lí 3. Định lí kẹp: Giả sử J là một khoảng chứa x0 và f, g, h là ba hàm số xác định trên
f ( x) = lim h( x) = L thì
và lim
x→ x
x→ x

tập hợp J \ { x0 } . Nếu f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) , ∀x ∈ J \ { x0 }

0

0

lim g(x) = L .
x → x0

 Quy tắc về giới hạn vô cực

• Quy tắc tìm giới hạn của tích f ( x ) .g ( x )
lim f ( x) lim g ( x) lim f ( x).g ( x)

x → x0
x → x0±
x →±∞

L>0
L<0

x → x0
x → x 0±
x →±∞

x → x0
x → x 0±
x →±∞

• Quy tắc tìm giới hạn của thương
lim f ( x)

x → x0
x → x 0±
x →±∞

+∞

+∞

−∞

−∞

+∞

−∞

−∞

+∞

lim g ( x)

x → x0
x → x 0±
x →±∞

L

± ∞

L>0

0

L<0

0

Dấu
của

g ( x)

f(x)
g(x)

lim
x → x0
x → x0±

x →±∞

Tùy ý
+
−
+
−

f ( x)
g ( x)

0
+∞
−∞
−∞
+∞

Dạng 1. Định nghĩa
giới hạn
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• Định nghĩa và các tính chất (Xem trong phần tóm tắt lí thuyết)
• Chú ý:
1) Theo định nghĩa thì giới hạn hàm số f ( x ) trên cơ sở giới hạn các dãy f ( xn ) . Nếu có 2
f ( x)
dãy xn và xn′ cùng tiến đến x0 mà lim f ( xn ) ≠ lim f ( xn′ ) thì không tồn tại xlim
→ x0
x k = +∞ ; lim x 2 k = +∞ , lim x 2 k +1 = −∞ ,
2) Với mọi số nguyên dương k , ta có: xlim
→+∞
x →−∞

x →−∞
1
=0
x →±∞ x k
lim

3) Xác định dấu +∞ hoặc –∞
x → ±∞

+
−
dựa trên dấu của tích số, thương số, x → x0 , x → x0 ,

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.18 Dùng định nghĩa, tính các giới hạn sau:

x 2 − x + 1) .
a) . lim(3
x →4

3
x−6
b) xlim
→−1

2

e) lim
 x cos ÷
x→0

x


f) lim
x →2

−5
( x − 2) 2

x 2 − 3x + 4
x →−1
x +1

1
5− x

c) lim

d) lim
x →2

sin x
g) xlim
→+∞

cos 2 x
h) xlim
→+∞

.......................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

24

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 1.19 Tính các giới hạn sau:

x 2 + 7 x + 11)

a) lim(3
x →2
d) lim
x →2

x 4 + 3x − 1
2x2 −1

x − x3
x →1 (2 x − 1)( x 4 − 3)

x2 − 4
b) xlim
→ 3

c) lim

1

x3− ÷
e) lim
x→0
x


f) lim

x −3
x →9 9 x − x 2

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word có lời giải – 0982.56.33.65
25
.......................................................................................................................................................................................

Dạng 2. Giới hạn một
bên
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
f ( x) ≠ lim− f ( x) thì không tồn tại lim f ( x)
• Nếu xlim
x → x0
→ x0+
x → x0

x → x0+ ⇔ x > x0
x → x0− ⇔ x < x0

f ( x) = lim− f ( x) = L thì lim f ( x) = L
• Nếu xlim
x → x0
→ x0+
x → x0

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.20 Dùng định nghĩa, tính các giới hạn sau: a) lim−
x →2

3x + 5
x +1

b) xlim
→3+

1
x −3

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................

VD 1.21 Tính các giới hạn sau: lim+
x →3

2x +1
2x +1
2x +1
; lim−
; lim
x →3 x − 3
x − 3 x →3 x − 3

.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
VD 1.22 Tính các giới hạn sau: lim+
x →2

x−2
x−2
x−2
; lim−
; lim
x − 2 x →2 x − 2 x →2 x − 2

.......................................................................................................................................................................................

Vấn đề 1 GIỚI hạn của dãy số file word

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về