Phần 2 góc và khoảng cách file word

PHẦN 2: GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
VẤN ĐỀ 1: GÓC TRONG KHÔNG GIAN
DẠNG 1: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
1. Phương pháp
+ Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 00.
+ Nếu a và b cắt nhau thì góc giữa chúng là góc nhỏ nhất trong các góc được tạo bởi hai
đường thẳng.
+ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi
qua một điểm và lần lượt song song ( hoặc trùng) với a và b.
a / / a' �
�
�  a, b   �
a ', b' 
Tức là: �
b/ / b'
�
Chú ý:
* 00 ��
a, b  �900
* Để xác định góc giữa hai đường thẳng, ta có thể lấy một điểm (thuộc một trong hai đường
thẳng đó) từ đó kẻ đường thẳng song song với đường còn lại.





� CD . Ta kẻ AE // CD.
Ví dụ: Để tính AB,





� CD  �
�
AB, AE   BAE
Khi đó: AB,
uu
r uur
* Nếu u1 , u 2 lần lượt là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì:
uu
r uur
�
�
0
u
�
1 , u 2   khi  �90
�
 a, b  
�
1800  
khi   900
�
uu
r uu
r
u1.u 2
u
u
r

u
u
r
�
�
r uur .
Tức là: cos  a, b   cos u1 , u 2  uu
u1 . u 2









1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh bằng a, M là trung điểm của cạnh BC. Gọi  là góc
giữa hai đường thẳng AB và DM, khi đó cos  bằng
A.

3
6

B.

2
2

C.

3
2

D.

1
2

Lời giải
Gọi N là trung điểm của AC
=> MN là đường trung bình của ABC
Trang 1 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


MN / /AB
�
�
��
1
MN  AB
�
�
2
Vì BCD và ACD là các tam giác đều cạnh bằng a � MD  ND 

a 3
.
2

Vì MN / /AB �   �
AB, DM   �
MN, DM 
Xét MND , ta có:
�
cos NMD


MN 2  MD 2  ND 2
2MN.MD
2



2

2
�a � �a 3 � �a 3 �
� � � � � �
�2 � � 2 � � 2 �

a a 3
2. .
2 2



1
2 3



3
0
6

�
�
� NMD
 900 � �
MN, DM   NMD
3
�
Vậy cos   cos NMD

� Chọn đáp án A.
6
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a; SA
vuông góc với đáy và SA  a 3 . Khi đó, cosin góc giữa SB và AC bằng:
A.

2
2

B.

2
4

C.

3
2

D.

3
4

Lời giải
Gọi I là trung điểm của SD
=> OI là đường trung bình của SBD
OI / /SB
�
�
��
SB
SA 2  AB2
3a 2  a 2
OI 


a
�
�
2
2
2
�

Vì OI / /SB � �
SB, AC   �
OI, AC   AOI
Ta có: AI 

SD
SA 2  AD 2
3a 2  a 2


a
2
2
2

� AI  OI � AOI cân tại I.

Gọi H là trung điểm của OA � IH  OA .

Trang 2 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Và OH 

OA AC a 2
.


2
4

4

a 2
Xét OHI , ta có:
�  OH  4  2
cos HOI
OI
a
4
�  2 � Chọn đáp án B.
Vậy cos �
SB, AC   cos HOI
4
� ta có thể tính cách khác như sau:
Chú ý: Để tính cos AOI
2

�a 2 � 2 2
�
� a  a
2
2
2
2
OA

OI

AI
2.

�
�
� 
cos AOI


2.OA.OI
4
a 2
2.
.a
2
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; cạnh
AB  2a, AD  DC  a,SA  AB,SA  AD và SA  2a 3 .
3
a) Góc giữa đường thẳng SB và DC bằng:
A. 300

B. 450

C. 600

D. 750

Gọi  là góc giữa SD và BC. Khi đó, cos  bằng:
A.

3
14

B.

42
14

C.

42
28

D.

3
28

Lời giải:
a) Vì DC / /AB
�
� �
SB, DC   �
SB, AC   SBA
�  900 ).
(vì SAB vuông tại A � SBA
Xét SAB vuông tại A, ta có:
2a 3
SA
3
� 
�  300
tan SBA

 3 
� SBA
AB
2a
3
�  300
Vậy �
SB, DC   SBA
=> Chọn đáp án A.
b) Gọi E là trung điểm của AB.
Khi đó, BCDE là hình bình hành.

Trang 3 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


� DE / /BC � �
SD, BC   �
SD, DE   
�
7
� 2
4a 2
7a 2
SE  SD  a
SE  SD 2  SA 2  AD 2 
 a2 
�
�
3
3 ��

3
Ta có: �
2
2
�
�
DE  2a
DE  a 2
�
�
Áp dụng định lí hàm cosin trong tam giác SDE, ta được:
2
2
2
�  SD  DE  SE 
cosSDE
2SD.DE

2a 2
3
42
�  900


 0 � SDE
14
14
7
2a.
.a 2

3

� 
Vậy �
SD, BC   �
SD, DE   SDE
�  42 � Chọn đáp án B.
� cos   cosSDE
14
DẠNG 2: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1. Phương pháp
+ Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa hai đường thẳng a và mặt
phẳng (P) bằng 900.
Tức là: a   P  � �
a,  P    900
+ Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng a và hình
chiếu a’ của nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
Tức là: Nếu a   P  và a’ là hình chiếu của a trên (P) thì �
a,  P    �
a, a '    .
Chú ý:
* 00 ��
a,  P   �900
�
a / /  P
� �
a,  P    00 .
* Nếu �
a � P 
�

* Để tìm hình chiếu a’ của a trên (P) ta có thể làm như sau:
Tìm giao điểm M  a � P  .
Lấy một điểm A tùy ý trên a và xác định hình chiếu H của A trên (P). Khi đó, a’ là
đường thẳng đi qua hai điểm A và M.
2. Một số loại góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thường gặp đối với hình chóp

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy
Trang 4 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD)
=> HD là hình chiếu vuông góc của SD trên (ABCD)
�
Vậy �
.
SD,  ABCD    �
SD, HD   SDH
Góc giữa cạnh bên và mặt đứng
Dựng CE  HD  E �HD  .
CE  HD
�
� CF   SDH 
Vì �
CE  SH
�
=> E là hình chiếu vuông góc của C trên (SHD).
=> SE là hình chiếu vuông góc của SC trên (SHD).
� .
Vậy �
SC,  SHD    �

SC,SE   CSE
Góc giữa đường cao và mặt bên
Dựng HE  CD  E �CD 
CD  HE
�
� CD   SHE 
Vì �
CD  SH
�
�  SCD    SHE 
Mà  SCD  � SHE   SE
=> SE là hình chiếu vuông góc của SH trên (SAD).
�
Vậy �
SH,  SAD    �
SH,SE   HSE
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a; SA vuông góc
với đáy và SA 
A. 300

a 6
. Gọi  là góc giữa SC và (ABCD), khi đó số đo góc  bằng:
3
B. 450

C. 600

D. 750

Lời giải
Vì SA   ABCD  � AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng
(ABCD).
�
Do đó:   �
SC,  ABCD    �
SC, AC   SCA
�  900 ).
(vì SAC vuông tại A � SCA
Trang 5 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Xét SAC vuông tại A, ta có:
a 6
�  SA  3  3 �   SCA
�  300
tan SCA
AC a 2
3
=> Chọn đáp án A.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a; SA vuông góc với
đáy và SA  2a . Gọi  là góc giữa SC và mặt phẳng (SAB), khi đó tan  nhận giá trị nào
trong các giá trị sau:
A.

3
17

B.

51
17

C.

4 3
17

D.

2 3
17

Lời giải
Gọi M là trung điểm của AB � CM  AB .
CM  AB
�
�
� �
�
SA   ABC  �
Vì �
CM

SA
�
do
�
�
� �

�
CM
�
ABC


�
�
�
�
� CM   SAB  � SM là hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB).
�
Khi đó;   �
SC,  SAB    �
SC,SM   CSM
�
CM   SAB 
�
�  900 ).
� CM  SM � SCM vuông tại S � CSM
(vì �
SM � SAB 
�
CM
CM
�


Xét SCM vuông tại S, ta có: tan CSM 
SM

SA 2  AM 2

a 3
2
4a 2 

a2
4



51
17

�  51 => Chọn đáp án B.
Vậy tan   tan CSM
17
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông tại A; BC  a và
SA  SB  SC 
A. 300

a 3
. Góc giữa đường thẳng SA và (ABC) bằng:
3
B. 450

C. 600

D. 900

Lời giải
Gọi H là trung điểm của BC.

Trang 6 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Vì

ABC

và AH 

vuông tại A nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp

ABC

BC a
 .
2
2

Mà SA  SB  SC � SH là trục của đường tròn ngoại tiếp
ABC � SH   ABC 
=> HA là hình chiếu của SA trên (ABC).
�
� �
SA,  ABC    �
SA, HA   SAH
�  900 ).
(Vì SHA vuông tại H nên SAH

Xét SHA vuông tại H, ta có:
a
AH
3
� 
�  300
cosSAH
 2 
� SAH
SA a 3
2
3
�  300 � Chọn đáp án A.
Vậy �
SA,  ABC    SAH
DẠNG 3: GÓC GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1. Phương pháp
Đề xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có thể thực hiện theo một trong các cách
sau:
Cách 1: Theo định nghĩa
�
a   P
�
� �
 P  ,  Q    �a, b 
�
b   Q
�
Cách 2: Khi xác định được  P  � Q   c thì ta làm như sau:
+ Bước 1: Tìm mặt phẳng  R   c

�
p   R  � P 
�
+ Bước 2: Tìm �
q   R  � Q 
�
Khi đó: �
 P  ,  Q    �p, q 
Đặc biệt: Nếu xác định được 2 đường thẳng p, q sao cho:
�
 P  �p  c �
�
�   P  ,  Q    �
p, q 
�
 Q  �q  c
�
Trang 7 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Ví dụ: Góc giữa mặt bên và mặt đáy
Dựng HE  CD  E �CD 
CD  HE
�
� CD   SHD  � CD  SE
Vì �
CD  SH
�
�
 SCD  � ABCD   CD

�
CD  HE � ABCD 
Vì �
�
CD  SE � SCD 
�
�
� �
SE, HE   SEH
 SCD  ,  ABCD    �
Cách 3: Theo định lí về hình chiếu
S'  S.cos  � cos  

S'
S

2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao hình chóp bằng
a 3
. Góc giữa mặt bên và mặt đáy là:
2
A. 300

B. 450

C. 600

D. 750

Lời giải

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và E là trung điểm của CD.
=> OE là đường trung bình của ACD .
OE / /AD
�
�
��
1
a
OE  AD 
�
�
2
2
Vì OE / /AD � OE  CD
CD  OE
�
� CD   SOE  � CD  SE
Vì �
CD  SO
�

Trang 8 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


�
 ABCD  � SCD   CD
�
�
SE  CD
� �

SE, OE   SEO
 ABCD  ,  SCD    �
Vì �
�
OE  CD
�
a 3
SO
� 
�  600
 2  3 � SEO
Xét SEO vuông tại O, ta có: tan SEO
a
OE
2
�  600 => chọn đáp án C.
Vậy �
 ABCD  ,  SCD    SEO
Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi O’ là tâm của hình
vuông A’B’C’D’ và  là góc giữa hai mặt phẳng (O’AB) và (ABCD). Góc  thỏa mãn hệ
thức nào sau đây ?
A. cos  

1
2

C. sin  

B. tan   2

1
2

D. tan  

1
2

Lời giải
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là trung điểm của AB � OI  AB
AB  OI
�
� AB   OIO ' � AB  O ' I
Vì �
AB  OO '
�
�
 O ' AB  � ABCD   AB
�
OI  AB
Vì �
�
O ' I  AB
�
� �
 O 'AB ,  ABCD     OI,O 'I   O�'OI  
Xét O 'OI vuông tại I, ta có:
�' IO  OO '  a  2
tan   tan O
a

OI
2
=> Chọn đáp án B.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BA  BC  a ;
SA vuông góc với đáy, SA  a . Góc  giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng:
A. 300

B. 450

C. 600

D. 750

Lời giải
Gọi H là trung điểm của AC � BH  AC

Trang 9 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


�BH  AC
�
� �
�
SA   ABC  �
Vì �
do �
�
�BH  SA �
� �BH � ABC  �
�

�
�
� BH   SAC 
� SHC là hình chiếu của SBC lên  SAC  � cos  

SSHC
.
SSBC

+ ta có: AC  BA 2  BC2  a 2 .
1
1 a 2 a2 2
SSHC  SA.HC  a.

2
2
2
4
BC  AB
�
�
+ Vì �
BC  SA  do SA   ABC  
�
� BC   SAB  � BC  SB � SBC vuông tại B.
1
1
a2 2
Khi đó : SSBC  SB.BC  . a 2  a 2 .a 
2

2
2
Vậy cos  

SSHC
SSBC

a2 2
1
 2 4  �   600 => Chọn đáp án C.
a 2 2
2

Bình luận: Trong bài toán trên, ta dễ dàng xác định được giao tuyến SC   SAC  � SBC 
nhưng lại gặp khó khăn trong việc tìm một mặt phẳng vuông góc với SC, mất nhiều thời gian
tính toán… không phù hợp với yêu cầu tốc độ của hình thức thi trắc nghiệm. Đồng thời nhận
thấy rằng việc xác định hình chiếu của B lên (SAC) và tính diện tích của hai tam giác
SHC; SBC là khá dễ dàng nên ta vận dụng cách 3 trong nội dung phương pháp đã trình
bày ở trên để giải quyết nhanh bài toán.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
VẤN ĐỀ 1: GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Câu 1: Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau ?
A. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
B. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.
C. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song
hoặc trùng với c.

Trang 10 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

D. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì b song song
với c.
Câu 2: Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau ?
A. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó
trên mặt phẳng đã cho.
B. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P)
khi a và b song song hoặc trùng nhau.
C. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q)
thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).
D. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P)
thì a song song với b.
Câu 3: Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau ?
A. Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn.
B. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa hai mặt phẳng (P) và mặt
phẳng (R) khi (Q) song song hoặc trùng (R).
C. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa hai mặt phẳng (P) và mặt
phẳng (R) thì (Q) song song (R).
D. Cả ba mệnh đề trên đều đúng.
Câu 4: Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng.
A. 300

B. 450

C. 600

D. 900

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và các cạnh bên





�
đều bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc MN,SC
bằng:
A. 300

B. 450

C. 600

D. 900

Câu 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi O là
giao điểm của AC và BD. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SCD) bằng 900 .
B. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SCD) bằng góc giữa đường thẳng BC và mặt
phẳng (SCD).
C. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SCD) bằng góc giữa đường thẳng BC và mặt
phẳng (SCD).
D. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SCD) bằng tích

2 với góc giữa đường thẳng

SO và mặt phẳng (SCD).
Trang 11 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Câu 7: Cho hình chóp ngũ giác đều S.ABCDE. Góc giữa cạnh bên SA và các cạnh đáy có số

đo lớn nhất là:
A. 360

B. 540

C. 720

D. 900

Câu 8: Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDE có cạnh đáy bằng a. Gọi O là hình chiếu của S
lên mặt đáy và SO  a . Góc giữa cạnh bên SA và các cạnh đáy có số đo nhỏ nhất là.
A. 300

B. 450

C. 600

D. 900

Câu 9: Cho điểm S không thuộc mặt phẳng (P), đoạn vuông góc SH  1 và các đoạn xiên
SA  2,SB  3 và SC  4 . Gọi , ,  lần lượt là góc tạo bởi SA, SB, SC và mặt phẳng (P).
Khẳng định nào sau đây đúng ?
C.   

B.   450

A.   450

D.   600

Câu 10: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và đôi một vuông góc với nhau.
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
� .
A. Góc giữa AC và (BCD) là góc ACD
� .
B. Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB
� .
C. Góc giữa AC và (ABD) là góc CAB
� .
D. Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD
Câu 11: Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O và
vuông góc với (ABCD) lấy điểm S. Nếu góc giữa SA và (ABCD) có số đo bằng 45 0 thì độ dài
đoạn SO bằng
A. SO  a 3

B. SO  a 2

C. SO 

a 3
2

D. SO 

a 2
2

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a; SA vuông góc
với đáy và SA  a 6 .
a) Góc giữa SC và (ABCD) có số đo bằng:

A. 300

B. 450

C. 600

D. 750

b) Góc  giữa SB và (SAC) thỏa mãn hệ thức nào sau đây ?
A. cos  

14
14

B. sin  

14
14

C. cos  

2
14

D. sin  

2
14

c) Góc  giữa AC và (SBC) thỏa mãn hệ thức nào sau đây ?

A. cos  

21
7

B. sin  

3
7

C. cos  

3
7

D. sin  

Trang 12 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

21
7


Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc
của S lên (ABC) trùng với trung điểm của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Số
đo của góc giữa SA và (ABC) bằng:
A. 300

B. 450

C. 600

D. 750

Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC  a . Hình
chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm của cạnh BC. Biết SB  a , khi đó số
đo góc giữa SA và (ABC) bằng:
A. 300

B. 450

C. 600

D. 750

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Đường thẳng SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a . Góc giữa đường thẳng SC và mp(SAB) là SA  a ,
khi đó tan  nhận giá trị nào trong các giá trị sao ?
A. tan  

1
2

B. tan   2

C. tan   1

D. tan   3

Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Đường thẳng SA

vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a . Góc giữa mp(SCD) và mp(ABCD) là  , khi đó
tan  nhận giá trị nào trong các giá trị sau ?
A. tan  

3
3

B. tan   1

C. tan   2

D. tan   3

Câu 17: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Xét mặt phẳng (A’BD). Trong các mệnh đề
sau, mệnh đề nào đúng ?
A. Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng
nhau.
B. Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng
nhau và phụ thuộc vào kích thước của hình lập phương.
C. Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng 
mà tan  

1
.
2

D. Cả ba mệnh đề trên đều sai.
Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  và đáy ABC là tam giác vuông tại A. Khẳng
định nào sau đây sai ?
A.  SAB    ABC 

B.  SAB    SAC 
Trang 13 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


� là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).
C. Vẽ AH  BC,  H �BC  � góc AHS
� .
D. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAC) là góc ACB
Câu 19: Cho tứ diện ABCD có AC  AD và BC  BD . Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng
định nào sau đây sai ?
� .
A. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là góc AIB
B.  BCD    AIB 
� .
C. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) là góc CBD
D.  ACD    AIB 
Câu 20: Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  và AB  BC . Góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (ABC) là góc nào sau đây ?
�
A. Góc SBA

�
B. Góc SCA

�
C. Góc SCB

� với I là trung điểm của BC.
D. Góc SIA

Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt
phẳng đáy. Khẳng định nào sau đây sai ?
� .
A. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc ABS
�
B. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là góc SOA
(với O là tâm của hình vuông
ABCD).
� .
C. Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) là góc SDA
D.  SAC    SBD 
Câu 22: Cosin của góc giữa hai mặt của tứ diện đều bằng
A.

3
2

B.

2
2

C.

1
2

D.

1

3

Câu 23: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SH bằng cạnh
đáy. Số đo của góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy bằng:
A. 300

B. 450

C. 600

D. 750

Câu 24: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a 2 và chiều cao bằng

a 2
. Số đo
2

của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
A. 300

B. 450

C. 600

D. 750

Trang 14 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

Câu 25: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Cosin của góc giữa một
mặt bên và một mặt đáy bằng:
A.

1
2

B.

1
3

C.

1
3

D.

1
2

Câu 26: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa một mặt bên và
mặt đáy bằng 600 . Khi đó, độ dài đường cao SH bằng:
A.

a
2

B.

a 3
2

C.

a 2
3

D.

a 3
3

Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Biết SO   ABCD  ,
SO  a 3 và đường tròn nội tiếp đáy ABCD có bán kính bằng a. Góc hợp bởi mỗi mặt bên
với đáy bằng.
A. 300

B. 450

C. 600

D. 750

Câu 28: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB  AA '  a, BC  2a, CA  a 5 . Khẳng
định nào sau đây sai ?
A. Đáy ABC là tam giác vuông.
B. Hai mặt phẳng (AA’B’B) và (BB’C) vuông góc với nhau.
C. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC) có số đo bằng 450.

D. AC '  2a 2 .
Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, SA vuông
góc với (ABCD), AB  BC  a, AD  2a . Nếu góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450
thì góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SCD) bằng
A. 600

B. 300

�6�
C. arccos �
�3 �
�
� �

D. 450

Câu 30: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm của BB’, CD, A’D’. Góc giữa MP và C’N bằng.
A. 300

B. 450

C. 600

D. 900

Câu 31: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a và SA vuông
góc với đáy. Để thể tích của khối chóp S.ABC bằng a 3 3 thì góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
và (ABC) bằng:
A. 600

B. 300

C. 450

D. Đáp án khác.

Trang 15 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Câu 32: Cho tứ diện ABCD có AB  72cm, CA  58cm, BC  50cm, CD  40cm và
CD   ABC  . Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) bằng:
A. 450

B. 300

C. 600

D. Đáp án khác.

Câu 33: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác cân với AB  AC  a
�  1200 , BB'  a và I là trung điểm của CC’. Cosin của góc giữa hia mặt phẳng
góc BAC
(ABC) và (AB’I) bằng
2
2

A.

B.

3
10

C.

3
2

D.

5
3

Câu 34: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’có đáy là tam giác đều cạnh bằng a,
A ' A  A ' B  A 'C  m . Để góc giữa mặt bên (ABB’A’) và mặt đáy bằng 60 0 thì giá trị của m
là:
A.

a 21
3

B.

a 7
6

C.

a 21

6

D.

a 21
21

Câu 35: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi O là tâm của đáy và M,
N lần lượt là trung điểm của SA, BC. Nếu góc giữa MN và (ABCD) bằng 600 thì độ dài đoạn
MN là:
A.

a
2

B.

a 5
2

C.

a 10
2

D.

a 2
2

ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1-C
11-B
21-C
31-A

2-B
12-C,B,D
22-D
32-A

3-B
4-D
5-D
6-B
7-D
8-B
13-B
14-C
15-A 16-B
17-A 18-D
23-C
24-B
25-B
26-A 27-C
28-D
33-B
34-C
35-C
HƯỚNG DẪN GIẢI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

9-A
19-C
29-A

Câu 1: Đáp án C
Câu 2: Đáp án B
Câu 3: Đáp án B
Câu 4: Đáp án D
Trong tứ diện đều thì hai cạnh đối diện luôn vuông góc với nhau
Do đó: AB  CD � �
AB, CD   900
Câu 5: Đáp án D
Vì MN / /SA � �
MN,SC   �
SA,SC 

Trang 16 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

10-C
20-A
30-D


Ta có: AC  AB2  BC2  a 2  a 2  a 2
Vì SA 2  SC2  a 2  a 2  2a 2  AC2
� SAC vuông tại S.
� SA  SC � �
SA,SC   900
Vậy �

MN,SC   �
SA,SC   90 0 .
Câu 6: Đáp án B
+ A sai, vì SBD và SAC vuông tại S nên nếu SB   SCD  thì SA   SCD 
 SA SB (vô lí).

+ B đúng, vì sin �
SB,  SCD   


d  B,  SCD  
BC

d  B,  SCD  
SB

 sin �
BC,  SCD  

� �
SB,  SCD    �
BC,  SCD  
+ C sai, vì AB / /  SCD  � d  A,  SCD    d  B,  SCD  
d  A,  SCD   d  B,  SCD  
� sin �
SA,  SCD   

 sin �
BC,  SCD  
SA

BC
� �
SA,  SCD    �
BC,  SCD  
+

D

sai,

vì

sin  SA,  SCD    2 sin �
SO,  SCD  

không

suy

ra

được

SA,  SCD    2 �
SO,  SCD   .
�
Chú ý: Để giải quyết nhanh bài toán trên, tác giả đã sử dụng một kết quả sau (mối liên hệ
giữa các góc và khoảng cách).
�
d  A,  P    AH

�
Giả sử: AH   P  � ��
�
�
 AB,  P    ABH
�
Trong AHB vuông ta có:
� 
sin ABH

d  A,  P  
AH
� sin �
AB,  P   
AB
AB

Câu 7: Đáp án D

Trang 17 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


+ Ta đã biết góc giữa hai đường thẳng luôn nhỏ hơn hoặc bằng 90 0, nên nếu
có một cạnh đáy vuông góc với SA thì góc lớn nhất là 900.
+ Vì SC  SD và AC  AD (hai dây chắn hai cung bằng nhau trong đường
tròn ngoại tiếp ngũ giác đều ABCDE) nên SA  CD .
Vậy góc giữa cạnh bên SA và các cạnh đáy có số đo lớn nhất là 900.
Câu 8: Đáp án B
CD / /AF
�

�
� � � .
ED / /AB nên ta chỉ tính và so sánh các góc SAB,SAF,SAO
Vì �
�
EF / /AO
�
� � .
�  SAF
� nên ta chỉ cần so sánh SAB,SAO
Mà SAB
� 
Ta có: sin SAO

SO
SA

� 
Kẻ SI  AB,  I �AB  , khi đó sin SAB

SI
.
SA

�  sin SAB
� � SAO
�  SAB
�
Vì SO  SI � sin SAO
� nhỏ nhất và bằng 450 vì SAO vuông cân

Vậy SAO
Câu 9: Đáp án A
sin  

1
1
1
 sin    sin   �   300    
2
3
4

Câu 10: Đáp án C
� .
+ A sai, vì �
AC,  BCD    ACB
�
+ B sai, vì �
AD,  ABC    BAD
�
+ D sai, vì �
CD,  ABD    BDC
Câu 11: Đáp án B
Ta có: AC  2a 2 � OA 
�  45
SA,  ABCD    SAO
�

AC
a 2

2

0

Khi đó, SAO là tam giác vuông cân tại O.
Suy ra SO  OA  a 2 .
Câu 12:
a) Đáp án C
Trang 18 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Xét SAC vuông tại A, ta có:
� 
tan SCA

SA a 6
�  60 0

 3 � SCA
AC a 2

�  600
Vậy �
SC,  ABCD    SCA
b) Đáp án B
Dễ dàng chứng minh được BO   SAC 
=> SO là hình chiếu của SB lên (SAC).
�
�   �
SB,  SAC    �

SB,SO   BSO
a 2
Xét SBO vuông tại O, ta có:
�  BO  2  14 .
sin BSO
SB a 7
14
�  14 .
Vậy sin   sin BSO
14
c) Đáp án D
Trong (SAB), kẻ AH  SB,  H �SB  .
�
BC   SAB 
�
� BC  AH
Vì �
AH � SAB 
�
�AH  SB
� AH   SBC  � HC là hình chiếu của AC lên (SBC).
Vì �
�AH  BC
� .
Do đó:   �
AC,  SBC    �
AC, HC   ACH
� 
Xét ACH vuông tại H, ta có: sin ACH
Mà trong SAB , ta có: AH 

SA.AB
SA  AB
2

2

AH
.
AC


a 6
7

a 6
Vậy
�  AH  7  21 .
sin   sin ACH
AC a 2
7
Câu 13: Đáp án B
Gọi H là trung điểm của BC
�
� SH   ABC  � HA là hình chiếu của SA lên  ABC  � �
SA,  ABC    �
SA, HA   SAH

Trang 19 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

Vì AH, SH lần lượt là đường cao trong hai tam giác đều ABC và
SBC có cạnh bằng a nên AH  SH .
�  450 .
� SAH vuông cân tại H � SAH
�  450
Vậy �
SA,  ABC    SAH
Câu 14: Đáp án C
Gọi H là trung điểm của BC � SH   ABC 
=> HA là hình chiếu của SA lên (ABC).
� �
SA,  ABC    �
SA, HA   SAH .
2
�
�a � a 3
�
SH  SB2  BH 2  a 2  � � 
�
2
�2 �
Ta có: �
�
BC a
AH 

�
�
2

2

a 3
SH
� 
�  600 .
 2  3 � SAH
Xét SAH vuông tại H, ta có: tan SAH
a
AH
2
�  600
Vậy �
SA,  ABC    SAH
Câu 15: Đáp án A
�
Tương tự câu 12a, ta có: �
SC,  ABCD    SCA
Xét SAC vuông tại A, ta có:
� 
tan SCA

SA
a
1


AC a 2
2

�
�  1 .
Vậy tan  SC,  ABCD    tan SCA
2
Câu 16: Đáp án B
�
 SCD  � ABCD   CD
�
CD   SAD 
�
Vì �
 SAD  � SCD   SD
�
�
 SAD  � ABCD   AD
�
�
�   �
SD, AD   SDA
 SCD  ,  ABCD    �
Trang 20 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


� 
tan SDA

Xét SAD vuông tại A, ta có:

SA a
 1.

AD a

� 1
Vậy tan   tan SDA
Câu 22: Đáp án D
Giả sử có tứ diện đều ABCD cạnh a. Cần tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD).
AH  CD
�
Gọi H là trung điểm của CD � �
SH  CD
�
Mà  ACD  � BCD   CD
�
� �
AH, BH   AHB
 ACD  ,  BCD    �
a 3
.
2

Ta có: AH  BH 

Áp dụng định lí cosin trong ABH , ta được:
AH 2  BH 2  AB2
2AH.BH

� 
cos AHB

2

2

�a 3 � �a 3 � 2
� � � � a
1
�  �2 � �2 �
cos AHB

3
a 3 a 3
2.
.
2
2
Câu 23: Đáp án C
Vì SH   ABC  � HC là hình chiếu của SC trên
�
SC,  ABC    �
SC, HC   SCH
 ABC  � �
Gọi I là trung điểm của AB.
Vì ABC đều cạnh a � CI 

a 3
2

2
a 3
� CH  CI 

3
3
Xét SCH vuông tại H, ta có:
� 
tan SCH

SH
a
�  600

 3 � SCH
HC a 3
3

�  600 .
Vậy �
SC,  ABC    SCH
Câu 24: Đáp án B
Trang 21 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Giả sử có hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng a 2 và chiều cao SO 

a 2
với O
2

là tâm của hình vuông ABCD.
OI  CD
�

�
Gọi I là trung điểm của CD � �
CD a 2 .
OI 

�
�
2
2
CD  SO
�
� CD   SOI  � CD  SI .
Vì �
CD  OI
�
�
 SCD  � ABCD   CD
�
� .
SI  CD
� �
SI, OI   SIO
 SCD  ,  ABCD    �
Vì �
�
OI  CD
�
a 2
SO
� 

�  450 .
 2  1 � SIO
Xét SIO vuông tại O, ta có: tan SIO
OI a 2
2
�  450 .
Vậy góc giữa mặt bên và mặt đáy là �
 SCD  ,  ABCD    SIO
Câu 25: Đáp án B
� .
Tương tự câu 24, góc giữa một mặt bên và một mặt đáy là �
 SCD  ,  ABCD    SIO
Ta có: OI 

CD a

2
2

Vì SCD đều cạnh a nên SI 

a 3
.
2

a
OI
1
�
 2 

Xét SIO vuông tại O, ta có: cosSIO 
SI a 3
3
2
Câu 26: Đáp án A
Gọi I là trung điểm của BC.
�  600
Khi đó, �
SI, AI   SIA
 SBC  ,  ABC    �
Ta có: AI 

a 3
1
a 3
� HI  AI 
2
3
6

Xét SHI vuông tại H, ta có:

Trang 22 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


� 
tan SIH
� SH 

SH

�  a 3 .tan 600
� SH  HI.tan SIH
HI
6

a
2

Câu 27: Đáp án C
Gọi I là trung điểm của CD.
�
Ta có: �
SI, O I   SIO
 SCD  ,  ABCD    �
Đường tròn nội tiếp đáy ABCD có bán kính bằng a � OI  a
Xét SIO vuông tại O, ta có:
� 
tan SIO

SO a 3
�  600

 3 � SIO
OI
a

�  600 .
Vậy �
 SCD  ,  ABCD    SIO
Câu 28: Đáp án D

+

AB2  BC2  a 2   2a   5a 2  AC2
2

� ABC vuông tại B => A đúng.
+

� ABC vuông tại B � AB  BC

AB  BC
�
� AB   BB 'C '
Vì �
AB  BB '
�
�  AA ' B'B    BB'C '  => B đúng.
+

Dễ dàng chứng minh được BC   AA ' B'B 
� BC  A ' B
�
 ABC  � A ' BC   BC
�
� '  450
AB  BC
� �
AB, A ' B   ABA
 ABC  ,  A 'BC    �
Vì �

�
A 'B  BC
�
(vì ABA ' vuông cân tại A) => C đúng.

+



Ta có: AC '  AA '2  A 'C '2  a 2  a 5



2

 a 6 => D sai.

Câu 29: Đáp án A
Gọi H là trung điểm của AD.
=> ABCH là hình vuông � CH  AD
� CH   SAD 
Trang 23 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


� SHD là hình chiếu của SCD lên (SAD).
Gọi  là góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SCD).
Khi đó: cos  

SSHD
SSCD

�  450
Ta có: �
SC,  ABCD    �
SC, CA   SCA
�
SA  AC  a 2
� SAC vuông cân tại A � �
SC  2a
�
1
1
a2 2
+ SSHD  SA.HD  .a 2.a 
2
2
2
+ Ta có AC  CD  a 2 � AC2  CD 2  2a 2  2a 2  4a 2  AD 2 � ACD vuông tại
C � CD  AC
CD  AC
�
� CD   SAC  � CD  SC � SCD vuông tại C.
Vì �
CD  SA
�
1
1
2
Khi đó: SSCD  SC.CD  .2a.a 2  a 2
2

2
Vậy cos   SSHD
SSCD

a2 2
1
 2 2  �   600
a 2 2

Câu 30: Đáp án D
Gọi Q là trung điểm CC’ � MQ / /BC
Mà BC   CC ' D ' D  � MQ   CC ' D ' D  �C ' N
� MQ  C ' N
Trong hình vuông CC’D’D, ta có: C ' N  D 'Q
C ' N  MQ
�
� C ' N   MPD 'Q  � C ' N  MP
Vì �
C ' N  D 'Q
�
Vậy �
C ' N, MP   900
Câu 31: Đáp án A
Gọi I là trung điểm của BC
�AI  BC
�
Vì ABC đều cạnh 2a nên �
2a 3
a 3
�AI 

�
2

Trang 24 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


BC  AI
�
� BC   SAI  � BC  SI
Vì �
BC  SA
�
�
 SBC  � ABC   BC
�
SI  BC
Vì �
�
AI  BC
�
�
� �
SI, AI   SIA
 SBC  ,  ABC    �
� 
Xét SAI vuông tại A, ta có: tan SIA

SA
�
� SA  AI.tan SIA

AI

1
1
� 1 AI / BC
Vì SA   ABC  � VS.ABC  SA.SABC  .AI.tan SIA.
3
3
2
3
�  6V S.ABC  6.a 3  3 � SIA
�  60 0
� tan SIA
2
AI 2 .BC
a 3 .2a





�  60 0
Vậy �
 SBC  ,  ABC    SIA
Câu 32: Đáp án A
Trong (ABC), kẻ CH  AB,  H �AB 
AB  CH
�
� AB   CDH  � AB  DH .
Vì �

AB  CD
�
�
 ABC  � ABD   AB
�
CH  AB
Vì �
�
DH  AB
�
�
� �
CH, DH   CHD
 ABC  ,  ABD    �
� 
Xét CHD vuông tại C, ta có: tan CHD
Ta có: p  p ABC 

CD
CH

AB  BC  CA 72  50  58

 90
2
2

� SABC  p  p  AB   p  BC   p  AC   90  90  72   90  50   90  58   1440cm 2
2S
1

2.1440
 40cm
Mặt khác: SABC  CH.AB � CH  ABC 
2
AB
72
� 
Do đó: tan CHD

CD 40
�  450

 1 � CHD
CH 40

�  450 .
Vậy �
 ABC  ,  ABD    CHD
Trang 25 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải