BẤT ĐĂNG THỨC PHƯƠNG TRÌNH và bất PHƯƠNG TRÌNH QUY về bậc HAI (lý thuyết, dạng bài, bài tập có giải) file word

http://dethithpt.c
om Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI
 DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA
ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Phương pháp giải
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt
đối(GTTĐ) ta cần khử dấu GTTĐ. Sau đây là một số cách thường dùng để khử
dấu GTTĐ
+ Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
+ Đặt ẩn phụ là biểu thức chứa dấu GTTĐ để khử dấu GTTĐ
2. Các ví dụ minh họa.
Loại 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất của dấu giá trị tuyệt đối.
*Lưu ý: Sau đây là một số loại toán phương trình, bất phương trình cơ bản
có thể thức hiện bằng phép biến đổi tương đương.
ïìï g(x) ³ 0
ï
f (x) = g(x) Û ïí éf (x) = g(x)
•
ïï ê
ïïî ê
ëf (x) =- g(x)
éf (x) = g(x)
f (x) = g(x) Û ê
•
êf (x) =- g(x)
ë
ìï g(x) > 0
f (x) < g(x) Û ïí
•

ïïî - g(x) < f (x) < g(x)
éïì g(x) < 0
êïí
êï f (x)có nghĩa
êîï
ê
f (x) > g(x) Û êìïï g(x) ³ 0
•
êïï
êí éf (x) <- g(x)
êïï ê
êï ê
f (x) > g(x)
ëïî ë
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
2
2
a) 2x - 3x- 1 =- x + 2x + 1

2
2
c) x - 5x + 4 - x + 1 = x + x

2
3
b) x - 5x + 4 = x - 3x + 4

2
d) x - 3x + 1 + x- 1 = 12( x- 3)

Lời giải:
ìï - x2 + 2x + 1³ 0
ïï
ï 2x2 - 3x- 1=- x2 + 2x +1 Û
a) Ta có phương trình Û í é
ïï ê
2
2
ïï ê
ë2x - 3x- 1=- (- x + 2x + 1)
îê

ìï x2 - 2x - 1£ 0
ïï
ï é3x2 - 5x- 2 = 0
íê
ïï
2
ïï ê
ëx - x = 0
îê

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 2


http://dethithpt.c
om Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht
ỡù 1ùù
ùù
ùù

ù
ùớ
ùù
ùù
ùù
ùù
ùợ

2 Ê x Ê 1+ 2
ộx = 2
ờ
ộx = 2
ờ
ờ
ờx =- 1
ờ
1
ờ
ờx =3
ờ
ờ
3
ờ
x
=
0
ờ
ờ
ờx = 0
ờx = 1

ờ
ở
ờx = 1
ở

ỡù
1ỹ
ù
Vy nghim ca phng trỡnh l x ẻ ùớ 0;1;2;- ùý
ùợù
3ùùỵ
b) Vi 1Ê x Ê 4 ị x2 - 5x + 4 0 ta cú
2
3
3
2
Phng trỡnh - ( x - 5x + 4) = x - 3x + 4 x + x - 8x + 8 = 0

p dng BT cụsi ta cú x3 + 4+ 2 33 8x3 = 6x, x2 + 2 2 2x

(

)

3
2
Suy ra x + x - 8x + 8 6x + 2 2x- 8x = 2 2 - 2 x > 0

Do ú phng trỡnh vụ nghim.
ộx > 4

ị x2 - 5x + 4> 0 ta cú
Vi ờ
ờx < 1
ở
Phng trỡnh x2 - 5x + 4 = x3 - 3x + 4
x3 - x2 + 2x = 0 x = 0 (tha món)
Vy nghim ca phng trỡnh l x = 0
c) Bng xột du
x

- Ơ
+Ơ

x+ 1

- 1

1

4

-

0

+

0

+

+

0

+

0

-

+
2

x - 5x + 4

|
0

+
T ú ta cú cỏc trng hp sau
2
2
Vi xÊ - 1, ta cú phng trỡnh ( x - 5x + 4) +( x + 1) = x + x x = 1 (loi)

Website chuyờn thi, ti liu file word cú li gii 3


http://dethithpt.c
om Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

2
2
• Với - 1< x £ 1, ta có phương trình Û ( x - 5x + 4) - ( x + 1) = x + x

⇔x =

3
(thỏa mãn)
7

2
2
• Với 1< x £ 4 , ta có phương trình - ( x - 5x + 4) - ( x + 1) = x + x

Û 2x2 - 3x + 5= 0 phương trình này vô nghiệm.
• Với x> 4 , ta có phương trình Û x2 - 5x + 4- ( x + 1) = x2 + x Û x =

3
(loại)
7

3
Vậy phương trình đã cho có duy nhất nghiệm x = .
7
ìï
x³ 3
ï
d) Ta có phương trình í 2
ïï x - 3x + 1 + x- 1 = 12( x- 3)
ïî

ìï
ìï
x³ 3
x³ 3
Û ïí 2
Û ïí 2
ïï x - 3x + 1+ x- 1= 12( x- 3) ïïî x - 14x + 36 = 0
î
ìï
x³ 3
Û ïí
Û x = 7± 13
ïï x = 7 ± 13
î
Vậy phương trình có nghiệm là x= 7± 13 .
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau
2
2
2
a) x - x- 1 ³ x- 1
b) - x + 3x + 2 < x - 3x + 2
2
2
2
c) 3x - 2 + 3- 2x £ 6( x - 2)

2
d) 2x - 5x + 3 - x- 1 > x- 2 .

Lời giải:

a) Với x< 1 ta có VT ³ 0, VP < 0 suy bất phương trình nghiệm đúng với mọi
x< 1
Với x³ 1 ta có bất phương trình tương đương với

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 4


http://dethithpt.c
om Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
ïìï
x³ 1
ïï 2
x - x- 1³ x- 1Û
íé
ïï ê 2
ïîï ê
ê
ëx - x- 1£ 1- x

ïìï
x³ 1
ïï 2
x - 2x ³ 0
íé
ïï ê 2
ïîï ê
ê
ëx - 2 £ 0

x³ 1

ïìï
ïï
x³ 2
ïé
Û ïí ê
Û
ïï ê
x£ 0
ê
ïï ê
ïïî ê
ë- 2 £ x £ 2

ìï x ³ 1
ïï
éx ³ 2
x³ 2 Û ê
íï é
ê1£ x £ 2
ïï ê
ê
ë
ïï ê
x
£
2
ë
îê

Vậy nghiệm của bất phương trình là xÎ (- ¥ ; 2]È [2;+¥ )

b) Với x2 - 3x + 2< 0 Û 1< x < 2 ta có VT ³ 0, VP < 0 suy ra bất phương trình vô
nghiệm
éx ³ 2
2
Với ta có x - 3x + 2³ 0 Û ê
êx £ 1
ë
2
2
2
Bất phương trình tương đương với - ( x - 3x + 2) <- x + 3x + 2 < x - 3x + 2

éx > 3
Û 2x2 - 6x > 0 Û ê
êx < 0
ë
éx ³ 2
éx > 3
ê
Đối chiếu với điều kiện ê
suy
ra
nghiệm
bất
phương
trình
là
êx £ 1
êx < 0
ë

ë
Vậy bất phương trình có nghiệm xÎ (- ¥ ;0) È (3;+¥ ) .
c) Nếu x2 - 2 < 0 thì VT ³ 0, VP < 0 suy ra bất phương trình vô nghiệm
ìï
x2 - 2 ³ 0
ï
Do đó bất phương trình Û í 2
ïï 3x - 2 + 2x2 - 3 £ 6( x2 - 2)
ïî
é
ïì
ì 2
x2 ³ 2
ï
ïíï x ³ 2 Û êx ³ 7
Û í 2
Û
ïï 3x - 2+ 2x2 - 3£ 6( x2 - 2) ïï x2 ³ 7 ê
ê
î
ëx £ - 7
ïî
Vậy nghiệm của bất phương trình là xÎ (- ¥ ;-

7]È [ 7;+¥ )

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 5


http://dethithpt.c

om Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2
d) 2x - 5x + 3 - x- 1 > x- 2

Với x< 2 ta có VT ³ 0, VP < 0 suy bất phương trình nghiệm đúng với mọi
x< 2
2
Với x³ 2 ta có 2x - 5x + 3 = ( x- 1) ( 2x- 3) > 0 suy ra bất phương trình tương
đương với
2x2 - 5x + 3- ( x- 1) > x- 2 Û 2x2 - 6x + 4 > x- 2
2
Û 2x2 - 6x + 4> x- 2 (vì x ³ 2 Þ 2x - 6x + 4 = ( x- 1) (2x- 4) ³ 0 )
éx > 2
ê
2
Û 2x - 7x + 6> 0 Û ê 3
êx <
ê
ë 2
Đối chiếu với điều kiện x³ 2 ta có nghiệm bất phương trình là x> 2
Vậy bất phương trình có nghiệm là xÎ ¡ \ { 2} .

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt
- x2 - x + 6 = 4x + m.
Lời giải:
2
2
Ta có - x - x + 6 = 4x + mÛ - x - x + 6 - 4x = m
2
Xét hàm số f ( x) = - x - x + 6 - 4x

- 3;2ù
ïìï - x2 - 5x + 6 khi x Î é
ë
û
f
x
=
Ta có ( ) í 2
ïï x - 3x- 6 khi x Î ( - ¥ ;- 3) È ( 2;+¥
î
Bảng biến thiên
x

- ¥

- 3

-

5
2

)
3
2

2

+¥

f ( x)

+¥
+¥
99
4
12

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 6


http://dethithpt.c
om Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
- 4
Từ bảng biến thiên ta có
Phương trình ban đầu có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số f
99
cắt đường thẳng y = m tại bốn điểm phân biệt Û 12< m< .
4
99
Vậy 12 < m<
là giá trị cần tìm.
4
Nhận xét: Nghiệm của phương trình f ( x) = g( m) là hoành độ giao điểm của
đồ thị hàm số y = f ( x) và đường thẳng y = g( m) . Từ đó suy ra
• Phương trình f ( x) = g( m) có nghiệm Û đường thẳng y = g( m) cắt đồ thị
hàm số y = f ( x)
• Số nghiệm phương trình f ( x) = g( m) Û số giao điểm của đường thẳng
y = g( m) và đồ thị hàm số y = f ( x) .
Do đó khi gặp bài toán liên quan đến phương trình f ( x, m) = 0 mà ta có thể cô

lập được m thì ta sử dụng đồ thị(hoặc bảng biến thiên) để giải.
Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
x2 - 3x + 2 ³ 3x2 + 5x + 3m2 + 5m.
Lời giải:
2
2
2
Bất phương trình Û x - 3x + 2 - 3x - 5x ³ 3m + 5m

2
2
Xét hàm số f ( x) = x - 3x + 2 - 3x - 5x

ìï - 2x2 - 8x + 2 khi x Î (- ∞;1]È [2;+∞)
ï
Ta có f ( x) = í
ïï - 4x2 - 2x- 2 khi x Î ( 1;2)
î
Bảng biến thiên
x

- ¥

- 2

-

1
4

1

2

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 7


http://dethithpt.c
om Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
+¥
10

f ( x)

- 8

- 22

- ¥
- ¥
Từ đó ta có: max f ( x) = f ( - 2) = 10
Do đó bất phương trình đã cho có nghiệm Û 10³ 3m2 + 5m
Û 3m2 + 5m- 10 £ 0 Û

Vậy

- 5-

145
6

£ m£

- 5-

145
6

£ m£

- 5+ 145
6

- 5+ 145
là giá trị cần tìm.
6

Nhận xét . Cho hàm số y = f ( x) xác định trên D
f ( x) ³ k (
• Bất phương trình f ( x) ³ k ( f ( x) £ k) có nghiệm trên D Û max
D
min f ( x) £ k ) với điều kiện tồn tại max f ( x) ( min f ( x) ).
D
D
D
f ( x) ³ k (
• Bất phương trình f ( x) ³ k ( f ( x) £ k) nghiệm đúng với ∀x ∈D Û min
D
max f ( x) £ k ) với điều kiện tồn tại max f ( x) ( min f ( x) ).
D

D
D
Loại 2: Đặt ẩn phụ
Ví dụ 5: Giải các phương trình và bất phương trình sau
a) 3( x - 4x) - x- 2 > 12
2

(x
b)

2

+ 1)
2

x

2

£ 3 x+

1
- 2
x

4
2
2
c) x - 2x + 4x- ( 2x + 5) x - 1 + 7 = 0

Lời giải

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 8


http://dethithpt.c
om Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2
2
a) Đặt t = x- 2 ,t ³ 0 Þ t = x - 4x + 4
2
Bất phương trình trở thành 3( t - 4) - t > 12

ét > 3
ê
Û 3t - t - 24> 0 Û ê
êt <- 8
ê
3
ë
Kết hợp điều kiện t ³ 0 ta có t > 3 suy ra
éx- 2> 3
éx > 5
x- 2 > 3 Û ê
Û ê
êx- 2<- 3 êx <- 1
ë
ë
2

Vậy bất phương trình có nghiệm là xÎ ( - ¥ ;- 1) È ( 5;+¥ ) .
b) ĐKXĐ: x¹ 0
1
1
2
Bất phương trình Û x + 2 + 4 £ 3 x +
x
x
Đặt t = x +

1
1
Þ t2 = x2 + 2 + 2
x
x

Ta có t = x +

1
1
1
= x + ³ 2 x . = 2Þ t ³ 2
x
x
x

Bất phương trình trở thành t2 + 2 £ 3t
Û t2 - 3t + 2 £ 0 Û 1£ t £ 2
Kết hợp với t ³ 2 suy ra t = 2
éx2 + 1= 2x

1
2
Do đó 2 = x + Þ 2 x = x + 1 Û ê
êx2 + 1=- 2x Û x = ±1(thỏa mãn)
x
ê
ë
Vậy bất phương trình có nghiệm là x = ±1.
2

c) Phương trình Û ( x2 - 1) - ( 2x + 5) x2 - 1 + 4x + 6 = 0
2
Đặt t = x - 1 , t ³ 0
2
Phương trình trở thành t - ( 2x + 5) t + 4x + 6 = 0

ét = 2x + 3
Û ( t - 2x- 3) ( t - 2) = 0 Û ê
ê t=2
ë

ìï
2x + 3³ 0
ïï
2
2
ï
Với t = 2x + 3 ta có 2x + 3 = x - 1 Û í x - 1= 2x + 3
ïï
ïïî x2 - 1=- 2x- 3

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 9


http://dethithpt.c
om Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
ïìï 2x + 3³ 0
ï
Û ïí éx2 - 2x- 4 = 0 Û
ïï ê 2
ïïî ê
ê
ëx + 2x + 2 = 0

ìï
ïï x ³ - 3
2 Û x = 1± 5
í
ïï
ïïî x = 1± 5
éx2 - 1= 2
2
2
Với t = 2 ta có 2 = x - 1 Û ê
êx2 - 1=- 2 Û x = 3 Û x = ± 3
ê
ë

{

Vậy phương trình có nghiệm là xÎ -

3;1-

}

5;1+ 5; 3 .

2
Ví dụ 6: Tìm m để phương trình x - 2x + m = x- 1 có nghiệm.

Lời giải:
Phương trình tương đương với
ïìï x2 - 2x + m 2 = x- 1 2 ïìï x2 - 2x 2 + 2m x2 - 2x + m2 = x2 - 2x + 1
) ( ) Û ïí (
)
(
)
ïí (
ïï
ïï
x³ 1
x³ 1
ïî
îï
2
ìï 2
ïï ( x - 2x) +( 2m- 1) ( x2 - 2x) + m2 - 1= 0 (*)
Û í
ïï

x³ 1
ïî
2

Đặt t = x2 - 2x , vì x ³ 1Þ t = ( x- 1) - 1³ - 1
2
2
Phương trình (*) trở thành t - ( 2m- 1) t + m - 1= 0 (**)

Phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (**) có nghiệm
t³ - 1
Û Đồ thị hàm số f ( t) = t2 - ( 2m- 1) t + m2 - 1 trên [ - 1;+¥ ) cắt trục hoành. Ta
có -

b 2m- 1
=
2a
2

2m- 1
1
>- 1Û m>ta có
2
2
Bảng biến thiên
+ TH1: Nếu

x

- ¥

- 1

2m- 1
2

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 10


http://dethithpt.c
om Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
+¥
f ( - 1)
+¥
f ( x)

æ2m- 1ö
÷
fç
÷
ç
÷
ç 2 ø
è
Suy ra phương trình đã cho có nghiệm
2
æ2m- 1ö
æ2m- 1ö
æ2m- 1ö
5

÷
÷
÷
ç
ç
ç
Û fç
£
0
Û
2
m
1
+ m2 - 1£ 0 Û m<
÷
÷
÷
(
)
ç
ç
÷
÷
÷
ç
ç
ç
4
è 2 ø
è 2 ø

è 2 ø
1
1
5
Kết hợp với điều kiện m>suy ra - < m< thỏa mãn yêu cầu bài toán
2
2
4
2m- 1
1
=- 1Û m=+ TH2: Nếu
phương trình (**) trở thành
2
2
1
3
- 2± 7
- 2+ 7
có t =
thảo mãn yêu
t2 + 2t - = 0 Û t =
>- 1 suy ra m=2
4
2
2
cầu bài toán
2m- 1
1
<- 1Û m<+ TH3: Nếu
ta có

2
2
Bảng biến thiên
x

- ¥
+¥

- 1

+¥
f ( x)
f ( - 1)

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 11


http://dethithpt.c
om Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Suy ra phương trình đã cho có nghiệm Û f ( - 1) £ 0
Û 1+ 2m- 1+ m2 - 1£ 0 Û m2 + 2m- 1£ 0 Û - 1- 2 £ m£ - 1+ 2
1
1
Kết hợp với điều kiện m2
2
toán
5
Vậy - 1- 2 £ m< là giá trị cần tìm.

4
Ví dụ 7: Tìm m để bất phương trình x( x- 2) - m x- 1 + 2> 0 nghiệm đúng với
mọi xÎ ¡ .
Lời giải:
2

Bất phương trình tương đương với ( x- 1) - m x- 1 + 1> 0
Với x= 1 ta có bất phương trình luôn đúng với mọi m
Với x¹ 1. Đặt t = x- 1 Þ t > 0
t2 + 1
> m(*)
t
Suy ra bất phương trình ban đầu nghiệm đúng với mọi x¹ 1 khi và chỉ khi bất
t2 + 1
phương trình (*) nghiệm đúng với mọi t > 0 Û min
>m
t>0
t
t2 + 1 2t
Ta có
³
= 2 , đẳng thức xảy ra Û t = 1
t
t
t2 + 1
Suy ra min
= 2 , do đó m< 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán
t>0
t
Vậy m< 2 là giá trị cần tìm.

3. Bài tập luyện tập.
Bài 4.113: Giải các phương trình sau
2
a) 3x- 2 = x + 2x + 3
b) | 2x2 - 7x + 2|= x + 2
Bất phương trình trở thành t2 - mt + 1> 0 Û

2
2
c) x - 3x + 2 - x + 2 = x - 3x

d)

2x
1
1
=
+
x + 1 x + 1 x- 1
Lời giải:

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 12


http://dethithpt.c
om Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht
Bi 4.113: a) Ta thy x2 + 2x + 3> 0 " x nờn phng trỡnh ó cho
ộx2 + 2x + 3 = 3x- 2
ờ
ờx2 + 2x + 3 =- 3x + 2

ờ
ở

ộx2 - x + 5 = 0
- 5 21
ờ
.
ờx2 + 5x + 1= 0 x =
2
ờ
ở

ỡù
x + 2 0
ùù
2
ù
2x - 7x + 2 = x + 2
b) Phng trỡnh ớ ộ
ùù ờ
ờ
2
ùù ờ
ợ ở2x - 7x + 2 =- x- 2

ỡù
x - 2
ùù
ùớ ộ2x2 - 8x = 0
ùù ờ

2
ùù ờ
ở2x - 6x + 4 = 0
ợờ

Phng trỡnh ó cho cú bn nghim x = 0; x = 1; x = 2; x = 4 .
c) x =- 4, x = 0
d) KX: xạ 1 . Vi K ú:
2x
2x
2x
2x
1
= 2

=
.
x +1 x - 1
x + 1 x + 1 x- 1
ỡù 2x ổ
ỡù 2x ổ
ử
ử
ùù
ùù
ỗ1- 1 ữ
ỗ1+ 1 ữ
=
0
ữ

ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ= 0
ỗ x- 1ứ
ùù x- 1ố
ùù x- 1ỗ
ố x- 1ứ
ớ
hoc ớ
ùù 2x
ùù 2x
ùù
ùù
0
<0
ùợ x + 1
ợù x + 1
Gii ra ta cú nghim ca phng trỡnh l x = 0 v x= 2 .
PT

Bi 4.114: Gii cỏc bt phng trỡnh sau
2
2
a) x - 5x + 4 > x- 2
b) x - x- 6 < x
c) x- 3 x- 1 > x + 2
3
e) x -

d) 2x- 1 + 3x- 2 Ê x + 3

1
1
Ê 3 x3
x
x
Li gii:

Bi 4.114: a) * Nu x- 2 < 0 x < 2 ị bpt luụn ỳng.
ộx2 - 5x + 4> x- 2
ờ
ị
bpt

* Nu x 2
ờx2 - 5x + 4 <- x + 2
ờ
ở
ộx < 3- 3 V x > 3+ 3
ộx2 - 6x + 6> 0
ờ
ờ

.
ờ
ờx2 - 4x + 2 < 0
2
2

<
x
<
2
+
2
ờ
ờ
ở
ở

Website chuyờn thi, ti liu file word cú li gii 13


http://dethithpt.c
om Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht
Kt hp vi x 2 ta cú: 2 Ê x < 2+ 2 V x > 3+ 3 .
ộ2 Ê x < 2+ 2
Vy nghim ca bt phng trỡnh : ờ
.
ờ
x
>
3
+
3
ờ
ở
ỡù x > 0

b) Bt phng trỡnh ùớ
ùù - x < x2 - x- 6 < x
ợ


ùỡù x > 0
ùớù x2 - 2x- 6<0
ùù 2
ùùợ x - 6> 0

6 < x < 1+ 7 .

Vy nghim bt phng trỡnh :
ổ
1ử
- Ơ; ữ
ữẩ ( 5;+Ơ
c) T = ỗ
ỗ
ỗ
ữ
5ứ
ố

6 < x < 1+ 7 .

ộ 3ự
d) T = ờ0; ỳ
ờ
ở 2ỳ

ỷ
2
ộ
ự
ổ2 1
ử
ổ 1ửổ
1
1 ổ
1ử
1ử
3
ờ
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
t
=
x
,
t

0
ị
x

=
x
x
+
+
1
=
x
x
+
3
ữỗ
ữ ỗ
ữ
ữ ỳ
e) t
ỗ
ỗ
ờ
3
2
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ ỳ
x

xứ
ố xứố
ứ ố xứố
x
x
ờ
ỳ
ở
ỷ
ỏp s: x Ê - 1, 0 < x Ê 1

)

2
Bi 4.115: Bin lun s nghim ca phng trỡnh : x- 1 - x - 3x + 2 = 5m- 3

.
Li gii:
Bi 4.115: S nghim ca phng trỡnh chớnh l s giao im ca ng
2
thng y = 5m- 3 v th (C) : y = x- 1 - x - 3x + 2

ỡù - x2 + 4x- 3 khi x 2
ùù
ù x2 - 2x + 1 khi 1Ê x < 2
y
=
Ta cú:
ớ
ùù 2

ùù - x + 2x- 1 khi x Ê 1
ợ
Lp bng bin thiờn ta cú
4
Nu 5m- 3> 1 m> ị phng trỡnh vụ nghim.
5
4
Nu m= ị phng trỡnh cú mt nghim.
5

Website chuyờn thi, ti liu file word cú li gii 14


http://dethithpt.c
om Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht


4
Nu m< ị phng trỡnh cú hai nghim phõn bit.
5

Bi 4.116: Tỡm m phng trỡnh sau cú bn nghim phõn bit:
- 2x2 + 10x- 8 = m- 5x + x2 .
Li gii:
2
2
Bi 4.116: PT 2x - 10x + 8 - x + 5x = m

ỡù x2 - 5x + 8 khi x ẻ ( - Ơ ;1ựẩ ộ4;+Ơ
2

2
ỷ ở
ùớ
f
x
=
2
x
10
x
+
8
x
+
5
x
=
Xột hm s ( )
2
ùù
- 3x + 15x- 8 khi x ẻ ( 1;4)
ùợ

)

Phng trỡnh ó cho cú bn nghim phõn bit th hm s
43
f ( x) = 2x2 - 10x + 8 - x2 + 5x ct ng thng y = m 4 < m< .
4

2
2
Bi 4.117: Tỡm m bt phng trỡnh 2x - 3x- 2 5m- 8x- 2x nghim

ỳng vi mi x .
Li gii:
2
2
Bi 4.117: Bt phng trỡnh 2x - 3x- 2 + 8x + 2x 5m.

ổ
ự
ùỡù 2
ỗ- Ơ ;- 1ỳẩ ộ2;+Ơ )
ùù 4x + 5x- 2 khi x ẻ ỗ
ở
ỗ
2ỳ
ố
ù
ỷ
Xột hm s y = f (x) = ớ
.
ùù
ổ1 ử
ữ
ỗ
11x + 2 khi x ẻ ỗ- ;2ữ
ùù
ữ

ỗ
ố 2 ứ
ùùợ
Lp bng bin thiờn ca hm s
ỡù 2
ổ
ự
ùù 4x + 5x- 2 khi x ẻ ỗ
ỗ- Ơ ;- 1ỳẩ ộ2;+Ơ
ở
ỗ
ùù
2ỳ
ố
ỷ
y = f (x) = ớ
ùù
ổ1 ử
11x + 2 khi x ẻ ỗ
- ;2ữ
ữ
ùù
ỗ
ữ
ỗ
2 ứ
ố
ùùợ

)

Website chuyờn thi, ti liu file word cú li gii 15


http://dethithpt.c
om Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ta có min y =-

57
57
57
Û m£ suy ra yêu cầu bài toán Û 5m£ 16
16
80

Bài 4.118: Cho bất phương trình x2 - 4x- 3| x- 2| +2m- 2 = 0
a) Giải phương trình khi m= 1
b) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Lời giải:
Bài 4.118: Đặt t = x- 2 ,t ³ 0 ta có phương trình: t2 - 3t + 2m- 6 = 0 (*)
a) x =- 2, x = 6
b) Yêu cầu bài toán Û (*) có hai nghiệm dương phân biệt
ïì ∆ = 27- 8m> 0
27
Û ïí
Û 3< m< .
ïïî 2m- 6> 0
8
2
2

Bài 4.119: Cho bất phương trình x - 2mx + 2 x- m - m + 2> 0
a) Giải bất phương trình khi m= 2
b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với " x Î ¡
Lời giải:

Bài 4.119: a)

x > 2, x < 0 b) m < 1.

 DẠNG TOÁN 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA
CĂN
1. Phương pháp giải.
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn mục đích
chúng ta phải khử căn thức đi. Sau đây là một số phương pháp thường dùng.
+ Biến đổi tương đương( Bình phương hai vế, phân tích thành nhân tử)
Lưu ý: Đối với bất phương trình, bình phương hai vế không âm thì mới thu về
bất phương trình tương đương cùng chiều
+ Đặt ẩn phụ
+ Đánh giá
2. Các ví dụ minh họa.
Loại 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương
Lưu ý một số phương trình, bất phương trình cơ bản sử dụng phép biến đổi

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 16


http://dethithpt.c
om Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
tương đương như sau
Phương trình:

ïì f (x) ³ 0 ( hoặc g( x) ³ 0 )
f (x) = g(x) Û ïí
•
ïïî f (x) = g(x)
ìï g(x) ³ 0
f (x) = g(x) Û ïí
•
ïï f (x) = ég(x)ù2
ë û
ïî
Bất phương trình:
ïì f (x) > g(x)
f (x) > g(x) Û ïí
•
ïïî g(x) ³ 0
•

•

ìï f (x) ³ 0
ïï
f (x) < g(x) Û ïí g(x) > 0
ïï
ù2
ïï f (x) < é
ëg(x)û
î
éïì g(x) < 0
êïí
êï f (x) ³ 0

êîï
f (x) > g(x) Û êì
êïï g(x) ³ 0
êí
êïï f (x) > ég(x)ù2
ê
ë û
ëïî

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a) x3 - x + 1 = - 2x2 - x + 2
b)

2x2 + 3x- 1 = 3- x2

c)

x-

x+ 4-

1- x = 1- 2x

d)

1
1
+ 1- = x
x
x

Lời giải:
ìï
- 2x2 - x + 2³ 0
ï
a) Ta có phương trình Û í 3
ïï x - x + 1=- 2x2 - x + 2
î
ìï - 1- 17
- 1+ 17
ïï
£ x£
ï
ìï - 1- 17
4
4
- 1+ 17 ïï
ïï
£ x£
ï
é
Û í
Û í
x =- 1
4
4
ê
ïï
ïï
3

2
ê - 1± 5
x + 2x - 1= 0
ïïî
ïï
êx =
ïï
ê
2
ë
îï
é x =- 1
ê
Û ê - 1± 5
êx =
ê
2
ë

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 17


http://dethithpt.c
om Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
ïìï - 1- 5
- 1+ 5ïü
ï
;- 1;
Vậy phương trình có nghiệm là x Î í
ý.

ïï
ïï
2
2
î
þ
2
ìï
3- x ³ 0
ï
b) Phương trình Û ïí 2
2
ïï 2x + 3x - 1= ( 3- x2 )
ïî
ìï
ïìï
- 3 £ x£ 3
- 3£ x£ 3
ïï
Û í 4
Û
í
ïï x - 8x2 - 3x + 10 = 0 ïï ( x- 1) ( x + 2) ( x2 - x- 5) = 0
î
ïî
ìï - 3 £ x £ 3
ïï
ïï é
ïï ê x =- 2
Û í êx = 1

Û x=1
ïï ê
ïï ê 1± 21
ïï ê
x=
ïïî ê
2
ë
Vậy phương trình có nghiệm là x= 1.
1
c) ĐKXĐ: - 4 £ x £
2
Phương trình Û

x + 4 = 1- 2x + 1- x

Û x + 4 = 1- 2x + 2 (1- 2x)(1- x) + 1- x
ìï 2x + 1³ 0
Û 2x + 1= (1- 2x)(1- x) Û ïí
ïï (2x + 1)2 = (1- 2x)(1- x)
î
ìï
ïï x ³ - 1
Û í
Û x = 0(thỏa mãn điều kiện)
2
ïï 2
ïïî 2x + 7x = 0
Vậy phương trình có nghiệm là x= 0 .
ìï x > 0

ïï
ïï
1
ïï x- ³ 0
x
ïï
ï
Û
1
d) Phương trình Û í
ïï 1- ³ 0
x
ïï
ïï
ïï x- 1 + 1- 1 = x
ïîï
x
x

ìï
x³ 1
ïï
ïí
ïï x- 1 = x- 1- 1
ïïî
x
x

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 18

http://dethithpt.c
om Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
x³ 1
ïìï
ïï
Û í
Û
ïï x- 1 = x2 + 1- 1 - 2x 1- 1
ïïî
x
x
x

ìï
x³ 1
ï
í 2
ïï x - x- 2 x2 - x + 1= 0
î

ìï
x³ 1
Û ïí 2
Û
ï x - x =1
ïî

ïìï x ³ 1
1+ 5

ïí
Û x=
1
±
5
ïï x =
2
ïïî
2

ì
x³ 1
ïíï
Û
2
ïïî x - x- 1= 0

Vậy phương trình có nghiệm là x =

1+ 5
.
2

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
a) - 5x2 + 8x- 3 + 5x- 3 = 1- x + 1

(

)

2
2
b) x +( 3- x) 2x- 1 = x 3 2x - 5x + 2 -

x- 2

Lời giải:
ìï - 5x2 + 8x- 3 ³ 0
ïï
3
Û £ x£ 1
5x- 3³ 0
a) ĐKXĐ: ïí
ïï
5
ïïî
1- x ³ 0
Phương trình

( 5x- 3) ( 1- x) +

5x- 3 = 1- x + 1

Û ( 5x- 3 - 1)( 1- x + 1) = 0
4
Û 5x- 3 = 1Û x =
(thỏa mãn điều kiện)
5
4
Vậy phương trình có nghiệm x= .

5
ìï 2x2 - 5x + 2 ³ 0
ïï
2x- 1³ 0 Û x ³ 2
b) ĐKXĐ: ïí
ïï
ïïî
x- 2 ³ 0
Phương trình Û
Û

(

x- 2

(

)

x- 2 2x- 1- x x- 2 + 3x- x2 - 3 2x- 1+ x 2x- 1 = 0

)

2x- 1- x + x( 3- x) + 2x- 1( x- 3) = 0

é 2x- 1 = x
Û ( 2x- 1- x)( x- 2 - 3+ x) = 0 Û ê
ê
ê
ë x- 2 = 3- x

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 19


http://dethithpt.c
om Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht
ộ 2x- 1= x2
ộ x2 ờ
ờ
ờ 3- x 0
ờùỡù
ờ
ờùùỡ
ờớ
2
ờớù 2
ờùù x- 2 = ( 3- x)
ờ
ởùợ x ờ
ùởợ
ộ x=1
ờ
ộ x=1
ờùỡ x Ê 3
ờ
ù
ờ
ờ 7ùờớ
ờ
7 5 ờx =

ờù
x
=
2
ở
ờùù
ờùợ
2
ở

2x + 1= 0
xÊ 3
7x + 11= 0

5

7i chiu vi iu kin x 2 suy ra x =
Vy phng trỡnh cú nghim l x =

(

7-

5
2

5
2

tha món

.

)

x + 3 + 3x- 2 = 5x2 - 31x + 41

Vớ d 3: Gii cỏc phng trỡnh 5

Li gii:
ỡù x - 3
ùỡù x + 3 0 ùù
2
ớ
x
KX: ớ
2
ùợù 3x- 2 0 ùù x
3
ùợ
3
Phng trỡnh tng ng vi

(5


) (

)

x + 3 - x- 9 + 5 3x- 2 - 3x- 2 = 5x2 - 35x + 30
- x2 + 7x- 6

+

- x2 + 7x- 6

= 5x2 - 35x + 30

5 x + 3 + x + 9 5 3x- 2 + 3x + 2
ổ
ử
1
1
ữ
ữ
( x2 - 7x + 6) ỗ
+
+
5
ỗ
ữ= 0
ỗ
ỗ
ố5 x + 3 + x + 9 5 3x- 2 + 3x + 2 ữ
ứ
ộx = 1
x2 - 7x + 6 = 0 ờ
ờx = 6 (tha món iu kin)
ở

Vy phng trỡnh cú nghim l x= 1 v x = 6 .
Nhn xột: phng trỡnh u (cõu a) d thy x = 1, x = 6 l nghim do ú
ta tỡm cỏch lm xut hin nhõn t chung x2 - 7x + 6. i vi 5 x+ 3 ta ghộp
thờm vi a x + b , nh th sau khi trc cn thc ta cú
5 x + 3 - ( a x + b) =

25( x + 3) - ( a x + b)
5 x + 3 +( a x + b)

ỡù 5 1+ 3 - ( a + b) = 0
ùù

ớ
ùù 5 6+ 3 - ( a.6+ b) = 0
ùợ

2

nh vy cú i nhõn t x2 - 7x + 6 thỡ

ỡ
ùớù a = 1 . Hon ton tng t vi i lng
5 3x- 2 . Do
ùùợ b = 9

Website chuyờn thi, ti liu file word cú li gii 20


http://dethithpt.c
om Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

đó ta tách được như lời giải ở trên.
Ví dụ 4: Giải các bất phương trình sau
a) x + 1³ 2(x2 - 1)
b) (x + 5)(3x + 4) > 4(x- 1)
c)

5x- 1-

x- 1 > 2x- 4

d) (x- 3) x2 - 4 £ x2 - 9
Lời giải:

ìï 2(x2 - 1) ³ 0
ïï
Û
a) Bất phương trình ïí x + 1³ 0
.
ïï
2
2
ïïî 2(x - 1) £ (x + 1)
ïìï éx ³ 1
ïï ê
ïï ê
ëx £ - 1
ïï
Û í x³ - 1
Û
ïï 2

ïï x - 2x- 3£ 0
ïï
ïîï

ïìï éx ³ 1
ïï ê
ïï ê
ëx £ - 1
ïï
í x³ - 1 Û
ïï
ïï 1£ x £ 3
ïï
ïîï

éx =- 1
ê
ê1£ x £ 3
ë

ù
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = { - 1} È é
ë1;3û.
éïì 4(x- 1) < 0
êïí
êï(x + 5)(3x + 4) ³ 0
êïî
Û
b) Bất phương trình
êì

êïï x- 1³ 0
êí
2
ï
ê
ëïî (x + 5)(3x + 4) > 16(x- 1)
éïì x < 1
êïï
êï é
êïí êx ³ êï ê
ï
Û ê
êïïï ê
ëx £ êî ê
êì
êïï x ³ 1
êí
2
ï
ê
ëïî 13x -

ééx £ - 5
êê
êê 4
4
êê- £ x < 1
êê
3
êë 3

Û
5
êìï x ³ 1
êïï
êí 1
êï< x< 4
ï
51x- 4 < 0 ê
ëïî 13

éx £ - 5
ê
ê 4
Û ê- £ x < 1Û
ê 3
ê
ê1£ x < 4
ë

éx £ - 5
ê
ê 4
ê- £ x < 4
ê
ë 3

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 21


http://dethithpt.c

om Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = (- ¥ ;- 5]È [ -

4
;4) .
3

ïìï 5x- 1³ 0
ï
c) ĐKXĐ: ïí x- 1³ 0 Û x ³ 2
ïï
ïïî 2x- 4 ³ 0
Bất phương trình Û
Û x + 2>

5x- 1> x- 1+ 2x- 4

( 2x- 4) ( x- 1)

Û x2 + 4x + 4> 2x2 - 6x + 4(do x³ 2 )
Û x2 - 10x < 0 Û 0 < x < 10
Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình S= [2;10)
d) (x- 3) x2 - 4 £ x2 - 9
éx ³ 2
2
ĐKXĐ: x - 4 ³ 0 Û ê
êx £ - 2
ë
Nhận xét x = 3 là nghiệm bất phương trình
+) Với x> 3: ta có

Bất phương trình Û
2

x2 - 4 £ x + 3

Û x2 - 4 £ ( x + 3) Û x ³ -

13
6

Kết hợp với điều kiện x> 3 ta có tập nghiệm bất phương trình là S = ( 3;+¥ ) .
+) Với x< 3
Bất phương trình Û

x2 - 4 ³ x + 3

ïìï x + 3> 0
ìï x + 3£ 0
Û ïí 2
(I) hoặc í 2
(II)
ïï x - 4 ³ 0
ïï x - 4³ ( x + 3) 2
î
ïî

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 22


http://dethithpt.c

om Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
ïìï x £ - 3
ï
x³ 2 Û x£ - 3
Ta có (I) Û ïí é
ïï ê
ïïî ê
ëx £ - 2
ïì x >- 3
Û
(II) Û ïí
ïîï 6x + 13£ 0

ìï x >- 3
ïï
13
Û - 3< x £ í
13
ïï x £ 6
ïî
6

Kết hợp với điều kiện x< 3 suy ra bất phương trình có tập nghiệm
S = (- ¥ ;-

13
]
6

Vậy tập nghiệm bất phương trình là S= (- ¥ ;-

13
]È [3;+¥ )
6

Ví dụ 5: Giải các bất phương trình sau
51- 2x- x2
<1
1- x

a)

c) 8

b)

2(x2 - 16)
x- 3

+ x- 3 >

7- x
x- 3

.

2x- 3
4
+ 3³ 6 2x- 3 +
x +1

x +1
Lời giải:

a) * Nếu 1- x > 0 Û x < 1
ìï x < 1
ïï
2
Ta có bất phương trình Û ïí 51- 2x- x ³ 0
ïï
ïï 51- 2x- x2 < 1- x
îï
ìï x < 1
ïï
Û ïí 1- 52 £ x £ 1+ 52 Û 1ïï 2
ïï x > 25
î

52 £ x <- 5 .

* Nếu x> 1Þ luôn đúng vì VT < 0 < 1.
Vậy nghiệm tập bất phương trình đã cho là S = [1-

52;- 5) È ( 1;+¥ ) .

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 23


http://dethithpt.c
om Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
ìï x2 ³ 16

Û
b) ĐKXĐ: ïí
ïï x > 3
î
Bất phương trình Û

ïìï éx ³ 4
ê
ïíï êx £ - 4 Û x ³ 4 .
ïï ë
ïïî x > 3
2(x2 - 16) + x- 3> 7- x

2(x2 - 16) > 10- 2x kết hợp với điều kiện x³ 4 ta có bất phương trình

Û

ìï x ³ 4
ïï
ïìï 10- 2x < 0
Û í
(I) hoặc ïí 10- 2x ³ 0
(II)
ïïî x ³ 4
ïï
2
2
ïïî 2(x - 16) > (10- 2x)
ïì x > 5
Û x> 5

Ta có ( I ) Û ïí
ïïî x ³ 4
ìï x ³ 4
ïï
II
Û
Û
( ) ïíï 10- 2x ³ 0
ïï 2(x2 - 16) > (10- 2x)2
ïî
ïìï
í
ïï 10î

4£ x £ 5
34 < x £ 10+ 34

ì
ïíï 4 £ x £ 5
.
ïï x2 - 20x + 66 < 0
î

Û 10-

34 < x £ 5

(

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = 10-

34;+¥

)

ïì 2x- 3³ 0
3
Û x³ .
c) ĐKXĐ: ïí
ïïî x + 1> 0
2
Bất phương trình Û 8 2x- 3 + 3 x + 1 = 6 (2x- 3)(x + 1) + 4

(

)

Û 4(2 2x- 3 - 1) + 3 x + 1 1- 2 2x- 3 ³ 0

(

)(

)

Û 2 2x- 3 - 1 4- 3 x + 1 ³ 0

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 24

http://dethithpt.c
om Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Û

(2

(8x- 13)(7- 9x)

)(

)

2x- 3 + 1 4+ 3 x + 1

Û (8x- 13)(7- 9x) ³ 0 Û

³ 0

7
13
£ x£
9
8

é3 13ù
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình là: S = ê ; ú.
ê
ë2 8 ú
û
Loại 2: Đặt ẩn phụ

Ví dụ 6: Giải các bất phương trình sau
a) ( x + 1) ( x + 4) < 5 x2 + 5x + 28
b) ( x + 1) ( x- 3) <
c)

1- x2 + 2x
- x2 + 2x + 3

7x + 7 + 7x- 6 + 2 49x2 + 7x- 42 < 181- 14x

d) 3 x +

3
2 x

< 2x +

1
- 7
2x
Lời giải:

a) Bất phương trình Û x2 + 5x + 4 < 5 x2 + 5x + 28
Đặt t = x2 + 5x + 28,t > 0 Þ x2 + 5x + 4 = t2 - 24
Bất phương trình trở thành t2 - 24 < 5t
Û t2 - 5t - 24< 0 Û - 3< t < 8
Suy ra

x2 + 5x + 28 < 8 Û x2 + 5x- 36 < 0 Û - 9< x < 4

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S= ( - 9;4)
b) ĐKXĐ: - x2 + 2x + 3> 0 Û - 1< x < 3
Bất phương trình Û (x2 - 2x- 3) - x2 + 2x + 3 < 1- x2 + 2x

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 25