GIAI HE PHUONG TRINH BANG PHUONG PHAP HAM SO

SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Thông thường đứng trước bài toán giải hệ phương trình học sinh nghĩ
ngay đến các dạng cơ bản đã học : phương pháp cộng, phương pháp thế, phương
pháp đặt ẩn phụ để giải. Nhưng thực tế qua các đề thi đại học hoặc đề thi học
sinh giỏi cấp tỉnh các năm vừa qua học sinh toàn gặp các hệ phương trình phức
tạp mà để giải được nó cần phải có những kỹ năng đặt biệt. Một trong những kỹ
năng đó là sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải hệ phương trình. Với
mong muốn các học sinh của mình sẽ làm tốt câu này trong các kỳ thi tuyển sinh
đại học, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kinh nghiệm "Rèn luyện kỹ năng giải hệ
phương trình bằng phương pháp hàm số". Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
gồm 2 phần:
Phần I: Các kiến thức cơ bản cần trang bị
Phần II: Kỹ năng phân tích tìm hàm đặc trưng và tự giải quyết vấn đề.
Do khả năng còn hạn chế và kinh nghiệm chưa nhiều nên trong SKKN
của tôi có thể có những phần chưa hoàn chỉnh. Rất mong được sự đóng góp quí
báu của quí thầy cô.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

Trang | 1


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ
1/ Một học sinh không thể học hệ phương trình tốt nếu các kiến thức liên quan
đến biến đổi đa thức không tốt.
2/ Một học sinh không thể giải được các hệ phương trình lạ nếu không được
trang bị các kỹ năng nhận dạng và biến đổi đặc biết đối với dạng bài đó.

.........
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
1/ Thực trạng chung : Hầu hết các học sinh có cảm giác "sợ và ngại" học hệ
phương trình các dạng không mẫu mực, nhất là phần ứng dụng đạo hàm được
đưa vào sau khi các em được tiếp cận hệ phương trình cơ bản cách đó quá lâu.
2/ Thực trạng đối với giáo viên: Do đây là phần kiến thức khó, thời lượng dành
cho hệ phương trình trong chương trình quá ít, vì vậy một số giáo viên không
mặn mà khi dạy phần kiến thức này.
3/ Thực trạng đối với học sinh: Hầu hết học sinh chưa có cách học tốt khi gặp
phần kiến thức này và luôn có cảm giác “sợ”. Vì vậy hầu hết các em đều học
chưa tốt phần kiến thức này.
III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN.
1. Trang bị lại cho học sinh một số kiến thức :
Tính chất 1: Nếu hàm số y = f ( x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch
biến) trên tập D thì số nghiệm của phương trình f ( x) = k ( k là hằng số không
đổi) trên D không nhiều hơn một và f ( x) = f ( y ) khi và chỉ khi x = y với mọi x,
y thuộc D .

Tính chất 2: Nếu hàm số y = f ( x ) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và
hàm số y = g ( x) luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên tập D
thì số nghiệm của phương trình f ( x) = f ( y ) không nhiều hơn một.
Tính chất 3: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên (a; b) . Nếu phương trình
f '( x) = 0 có n − 1 (n ∈ N ) nghiệm thuộc ( a; b) thì phương trình f ( x) = 0 có nhiều
nhất n nghiệm thuộc khoảng (a; b)
Chú ý :

Nếu hệ có một trong hai phương trình ta dưa về dạng : f ( x) = f ( y ) với x,
y thuộc D thì khi đó ta khảo sát một hàm số đặc trưng : y = f (t ) trên tập D . Nếu

y = f (t ) là hàm số đơn điệu thì f ( x) = f ( y ) khi và chỉ khi x = y . Trong phương

pháp này khó nhất là phải xác định được tập giá trị của x và y, nếu tập giá trị của

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

Trang | 2


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
chúng khác nhau thì các em không được dùng phương pháp trên mà phải chuyển
chúng về dạng tích : f ( x ) − f ( y ) = 0 hay (x − y).A(x; y) = 0 . Khi đó ta xét trường
hợp x − y = 0 , và trường hợp A(x; y) = 0 .
2. Kỹ năng giải hệ phương trình bằng sử dụng phương pháp hàm số :
 x 3 + x − 2 = y 3 + 3 y 2 + 4 y (1)
 5
3
(2)
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình :  x + y + 1 = 0
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
•
•
•
•

Hãy lựa chọn biến đổi phương trình trong hệ về dạng f ( x) = f ( y ) .
Nhận xét gì về tập giá trị của x và của (y + 1) ?
Hàm số có đơn điệu trên tập được xét không ?
Hướng dẫn giải:

(1) ⇔ x3 + x = ( y + 1)3 + ( y + 1) (1')
3

Xét hàm số f (t ) = t + t trên R
2
Ta có f '(t ) = 3t + 1 > 0, ∀t ∈ R . Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R
Khi đó : (1') ⇔ f ( x) = f ( y + 1) ⇔ x = y + 1 thế vào phương trình (2), ta được:

x 5 + (1 − x)3 + 1 = 0
⇔ x( x 4 + x 2 − 3 x + 3) = 0
x = 0
x = 0
2
⇔ 4
⇔  4 
⇔ x = 0 ⇒ y = −1
3 3
2
x
+
x
−
3
x
+
3
=
0
x
+
x
−
+

=
0(
VN
)


÷

2 4

x = 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  y = −1
 x3 − 5x = y3 − 5y (1)
 8 4
(2)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình :  x + y = 1
Hướng dẫn giải:
Từ phương trình (2) suy ra điều kiện có nghiệm của hệ phương trình là :
x ≤ 1; y ≤ 1
3
−1;1]
Xét hàm số : f (t) = t − 5t trên tập [
f '(t) = 3t2 − 5< 0,∀t∈ [ −1;1]

khoảng (−1;1) .

. Suy ra hàm số nghịch biến trên

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

Trang | 3


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
Phương trình (1) tương đương với : f (x) = f (y) ⇔ x = y thế vào phương trình
(2), ta được :
5−1
5−1
5−1
⇔ x= ±4
⇒ x= y= ± 4
2
2
2


5−1
5−1
4
x = −
x = 4

2

2





5−1
5−1
4
4
y= −
y=
2
2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : 
và 
Nhận xét : Khi sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương trình một điều
khá quan trọng đó là chỉ ra hàm số được xét trên tập nào.
3
2
3
2

 x − 3 x + 2 = y + 3 y (1)

3 x − 2 = y2 + 8 y
(2)


Ví dụ 3 : Giải hệ phương trình :
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:

(x )
4

2

+ x4 − 1= 0 ⇔ x4 =

Hãy lựa chọn biến đổi phương trình trong hệ về dạng f ( x ) = f ( y ) .
y+3 ?
• Nhận xét gì về tập giá trị của (x - 1) và của
• Hàm số có đơn điệu trên tập được xét không ?
• Hướng dẫn giải:
•

 y3 + 3 y2 ≥ 0
 2
x ≥ 2
y
+
8
y
≥
0
⇔
(*)


y
≥
0

x − 2 ≥ 0

Điều kiện :

Ta có :
(1) ⇔ x3 − 3 x 2 = y y + 3 ⇔ ( x − 1)3 − 3( x − 1) =

(

)

3

y +3 −3

(

y+3

)

(1')

3
Xét hàm số f (t ) = t − 3t trên tập [1; +∞)
f '(t ) = 3t 2 − 3 ≥ 0, ∀t ≥ 1 ⇒ f(t) là hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞)

(1') ⇔ f ( x − 1) = f

(

)

y + 3 ⇔ x − 1 = y + 3 ⇔ ( x − 1) = y + 3

Khi đó :
với phương trình (2), ta được :
2
 x 2 − 2 x + 1 = y + 3
(1')
 x − 2 x − 2 = y
⇔


2
2
9( x − 2) = y + 8 y (2')
3 x − 2 = y + 8 y
Thế (1') vào (2'), ta được :

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

2

kết hợp

Trang | 4


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
9 x − 18 = ( x 2 − 2 x − 2 ) + 8 ( x 2 − 2 x − 2 )
2

⇔ x 4 − 4 x 3 + 8 x 2 − 17 x + 6 = 0

⇔ ( x − 3)( x3 − x 2 + 5 x − 2) = 0
x − 3 = 0
x = 3
⇔ 3
⇔
⇔ x = 3 ⇒ y = 1(Tm)
 2
2
 x − x + 5x − 2 = 0
 x ( x − 1) + 4 x + ( x − 2) = 0(VN)
x = 3

Vậy hệ có nghiệm duy nhất :  y = 1

( 8 x − 3) 2 x − 1 − y − 4 y 3 = 0 (1)
 2
4 x − 8 x + 2 y 3 + y 2 − 2 y + 3 = 0 (2)


Ví dụ 4 : Giải hệ phương trình :
Hướng dẫn giải:
1
x≥
2
Điều kiện :
(1) ⇔ [ 4(2 x − 1) + 1] 2 x − 1 = y + 4 y 3 ⇔ 4

(

)

3

2 x − 1 + 2 x − 1 = 4 y 3 + y (1')

3
Xét hàm số : f (t ) = 4t + t trên tập [0; +∞ )
f '(t ) = 12t 2 + 1 > 0, ∀t ≥ 0 ⇒ Hàm số f(t) đồng biến trên khoảng (0; +∞)

(1') ⇔ f

(

Khi đó :
trình (2), ta được :

(y

2

)

2 x − 1 = f ( y) ⇔ 2 x − 1 = y ⇔ y 2 + 1 = 2 x

thế vào phương

+ 1) − 4 ( y 2 + 1) + 2 y 3 + y 2 − 2 y + 3 = 0
2

y = 0

 y = −1
4
3
2
⇔ y + 2 y − y − 2 y = 0 ⇔ y ( y − 1)(y+ 1)(y+ 2) = 0 ⇔ 
 y = −2

y =1
1
y =0⇒ x =
2 (thỏa mãn điều kiện)
Khi
Khi y = −1 ⇒ x = 1 (thỏa mãn điều kiện)
Khi

y = −2 ⇒ x =

5
2 (thỏa mãn điều kiện)

Khi y = 1 ⇒ x = 1 (thỏa mãn điều kiện)


1  5

( x; y ) = (1; −1);(1; −1);  ;0 ÷;  ; −2 ÷
2  2


Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là :

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

Trang | 5


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"

3x 2 + 3 y 2 + 8 = ( y − x)( y 2 + xy + x 2 + 6) (1)

( x + y − 13)( 3 y − 14 − x + 1) = 5
(2)
Ví dụ 5 : Giải hệ phương trình : 
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
•
•
•
•

Hãy lựa chọn biến đổi phương trình trong hệ về dạng f ( x) = f ( y ) .
Nhận xét gì về tập giá trị của (x + 1) và của (y - 1) ?
Hàm số có đơn điệu trên tập được xét không ?
Hướng dẫn giải:

 x ≥ −1
x +1 ≥ 0

⇔

14 (*)

3
y
−
14
≥
0
y
≥


3
Điều kiện :
3
3
Ta có : (1) ⇔ ( x + 1) + 3 ( x + 1) = ( y − 1) + 3 ( y − 1) (1')
3
2
Xét hàm số f (t ) = t + 3t ⇒ f '(t ) = 3t + 3 > 0, ∀t ∈ R
⇒ Hàm số f(t) đồng biến trên R
Khi đó : (1') ⇔ f ( x + 1) = f ( y − 1) ⇔ x + 1 = y − 1 ⇔ y = x + 2 thế vào phương
trình (2), ta được : (2 x − 11)( 3 x − 8 − x + 1) = 5 (3)

5
11
= 0 (4)
x=
2 x − 11
2 không là nghiệm của (3)
(Do
 8 11   11


5
D =  ; ÷∪  ; +∞ ÷
g ( x) =⇔ 3 x − 8 − x + 1 −
3 2   2

2 x − 11 trên
Xét hàm số
3
1
10
g '( x) =
−
+
2
2 3x − 8 2 x + 1 ( 2 x − 11)
⇔ 3x − 8 − x + 1 −

=

6 x + 17
10
 8 11   11

+
>
0,
∀
x
∈

 ; ÷∪  ; +∞ ÷
2
2 (3 x − 8)( x + 1)(3 x + 1 + 3 x − 8) ( 2 x − 11)
3 2   2


 8 11 
 11

 ; ÷
 ; +∞ ÷

⇒ Hàm số g(x) đồng biến trên  3 2  và  2
 8 11 
x ∈ ; ÷
 3 2  : (4) ⇔ g ( x) = g (3) ⇔ x = 3 ⇒ y = 5 (thỏa mãn điều kiện (*))
- Khi
 11

x ∈  ; +∞ ÷
2
 : (4) ⇔ g ( x ) = g (8) ⇔ x = 8 ⇒ y = 10 (thỏa mãn điều kiện (*))
-Khi

x = 3 x = 8
;

y
=
5


 y = 10
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm :

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

Trang | 6


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"

)(

(

)

 x + 1+ x2 y + 1+ y2 = 1 (1)


 x 6x − 2xy + 1 = 4xy + 6x + 1 (2)
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình : 
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
•
•
•
•

Hãy lựa chọn biến đổi phương trình trong hệ về dạng f ( x ) = f ( y ) .
Nhận xét gì về tập giá trị của x và của (-y) ?

Hàm số có đơn điệu trên tập được xét không ?
Hướng dẫn giải:

2
Xét hàm số : f (t) = t + 1+ t trên R.

f '(t) = 1+

t

=

1+ t2 + t

>

t −t

≥ 0,∀t∈ R
1+ t2
1+ t2
1+ t2
Suy ra hàm số đồng biến trên R
2
2
Ta có : (1) ⇔ x + 1+ x = − y + 1+ (− y) ⇔ f (x) = f (− y) ⇔ x = − y thế vào
phương trình (2), ta được :
2
x  25x2


2
2
2
x 6x + 2x + 1 = −4x + 6x + 1⇔  6x + 2x + 1 − ÷ =
2
4

 6x + 2x2 + 1 = 3x
⇔
 6x + 2x2 + 1 = −2x
2
Khi 6x + 2x + 1 = 3x , ta có :
x = −y
x= −y
x = 1


⇔ x≥ 0
⇔
x≥ 0
2x2 + 6x + 1= 9x2
−7x2 + 6x + 1= 0  y = −1


Khi

6x + 2x2 + 1 = −2x , ta có :


3− 11

x = −y
x = −y
x =



2
⇔ x ≤ 0
⇔
x ≤ 0
2x2 + 6x + 1= 4x2
−2x2 + 6x + 1= 0  y = −3+ 11



2

3− 11
x =

2

x = 1
 y = −3+ 11


y = −1
2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : 
và 

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

Trang | 7


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
 x3 − 3x2 − 9x + 22 = y3 + 3y2 − 9y

 2
1
2
x + y − x+ y=
2
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình : 
(A 2012)
Hướng dẫn giải:
Hệ phương trình đã cho tương đương với :
( x − 1) 3 − 12( x − 1) = ( y + 1) 3 − 12( y + 1) (1)

2
2

1 
1
(2)
 x − ÷ +  y + ÷ = 1
2 
2


Từ phương trình (2) suy ra :
1
3
1
1
1
3
x − ≤ 1⇔ − ≤ x − 1≤ ; y + ≤ 1⇔ − ≤ y + 1≤
2
2
2
2
2
2
 3 3
K
=
3
 − 2; 2
f
(
t
)
=
t
−
12
t



Xét hàm số :
trên đoạn

f '(t) = 3t2 − 12 = 3(t2 − 4) < 0,∀t∈ K .
 3 3
− ; ÷
⇒ Hàm số f(t) nghịch biến trên  2 2  .
Khi đó : (1) ⇔ f (x − 1) = f (y + 1) ⇔ x − 1= y + 1⇔ y = x − 2 thế vào phương
trình (2), ta được :
1

x
=
2
2

1 
3

2
2
x
−
+
x
−
=
1
⇔
4

x
−
8
x
+
3
=
0
⇔


÷

÷
2 
2

x = 3

2
1
3
x=
y= −
2 , ta có :
2
- Với
3
1
x=

y= −
2 , ta có :
2
- Với
 1 3   3 1  
(x; y) =  ;− ÷; ;− ÷
 2 2   2 2  
Vậy nghiệm của hệ phương trình là :
3
2
Nhận xét : Phương trình (1) của hệ có yếu tố ta đáng lưu tâm x − 3x và
y3 + 3y2 đó là một phần của hằng đẳng thức.

 x4 − 16 y4 − 1
=

8
x
y

 2
2
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình :  x − 2xy + y = 8
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

Trang | 8

SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
Hãy lựa chọn biến đổi phương trình trong hệ về dạng f ( x ) = f ( y ) .
x
• Nhận xét gì về tập giá trị của 2 và của y ?
• Hàm số có đơn điệu trên tập được xét không ?
• Hướng dẫn giải:
•

Điều kiện : x ≠ 0 và y≠ 0.
4

 x
−1 4
4
4
x − 16 y − 1  2 ÷
y −1

=
⇔
=
x
8x
y
y
2
Ta có :
(1)
4
t −1

f (t) =
t trên D = R \ {0}
Xét hàm số :
1
f '(t) = 3t2 + 2 > 0,∀t∈ D
t
. Suy ra : Hàm số f(t) đồng biến trên D.
x
 x
(0;+∞):(1) ⇔ ff ÷ = (y) ⇔ = y
2
 2
+ Trên
thế vào phương trình còn lại của hệ
2
ta được : y = 8⇒ y = 2 2 ⇒ x = 4 2 (thỏa mãn)
x
 x
(−∞;0):(1) ⇔ ff ÷ = (y) ⇔ = y
2
 2
+ Trên
thế vào phương trình còn lại của hệ
2
ta được : y = 8⇒ y = −2 2 ⇒ x = −4 2 (thỏa mãn)

{(

)(

)}

(x; y) = −4 2;−2 2 ; 4 2;2 2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là :
Nhận xét : Có nhiều bài toán cho ta thấy ngay hàm số cần xét nhưng có những
bài cần có một số bước biến đổi cơ bản mới có được cái ta cần.
1 3x + 4

2
(1)
x + 3y +1 = y − y + x +1

 9 y − 2 + 3 7 x + 2 y + 2 = 2 y + 3 (2)
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình : 
Hướng dẫn giải:
 x > −1
x +1 > 0

⇔

2 (*)
9 y − 2 ≥ 0
 y ≥ 9
Điều kiện :
1
1
(1) ⇔ y 2 − − 3 y = ( x + 1) −
− 3 x + 1 (1')
y
x

+
1
Ta có :

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

Trang | 9


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"

1
f (t ) = t 2 − − 3t
t
Xét hàm số
trên khoảng (0; +∞)
2
2t + 1) ( t − 1)
1
(
f '(t ) = 2t + 2 − 3 =
≥ 0, ∀t ∈ (0; +∞)
t
t2
⇒ Hàm số f(t) đồng biến trên (0; +∞)
(1') ⇔ f ( y ) = f x + 1 ⇔ y = x + 1 ⇔ x + 1 = y 2
Khi đó :
thế vào phương
trình (2), ta được :
9 y − 2 + 3 7 y2 + 2 y − 5 = 2 y + 3

(

)

⇔  9 y − 2 − ( y + 2)  +  3 7 y 2 + 2 y − 5 − ( y + 1)  = 0


y2 − 5 y + 6
( y + 1)( y 2 − 5 y + 6)
⇔
+
=0
9 y − 2 + ( y + 2) ( y + 1) 2 + ( y + 1) 3 7 y 2 + 2 y − 5 + ( 3 7 y 2 + 2 y − 5) 2
⇔ ( y 2 − 5 y + 6).h( x) = 0
Vì


1
y +1
h(x) = 
+
>0
2
2
2
2
3
3
9

y
−
2
+
(
y
+
2)
(
y
+
1)
+
(
y
+
1)
7
y
+
2
y
−
5
+
(
7
y
+
2

y
−
5)


y = 2
2
y2 − 5 y + 6 = 0 ⇔ 
∀y ≥
y = 3
9 nên
với
-Khi y = 2 ⇒ x = 3 (thỏa mãn điều kiện (*))

-Khi y = 3 ⇒ x = 8 (thỏa mãn điều kiện (*))
x = 3 x = 8
; 

y
=
2
y = 3
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : 
x
 2
 x + x + 1 = ( y + 2) ( x + 1)( y + 1)

3x 2 − 8 x − 3 = 4 ( x + 1) y + 1
Ví dụ 10: Giải hệ phương trình : 
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:

(1)
(2)

Hãy lựa chọn biến đổi phương trình trong hệ về dạng f ( x ) = f ( y ) .
x
y +1 ?
• Nhận xét gì về tập giá trị của x + 1 và của
• Hàm số có đơn điệu trên tập được xét không ?
• Hướng dẫn giải:
•

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

Trang | 10


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"

 x > −1
(*)

y
≥
−
1
Điều kiện : 
Ta có :
x3 + x 2 + x
(1) ⇔

= ( y + 2) ( x + 1)( y + 1)
x +1
3
x3 + x( x + 1)
 x   x 
⇔
= ( y + 2) y + 1 ⇔ 
÷ +
÷=
( x + 1) x + 1
 x +1   x +1 
3
Xét hàm số f (t ) = t + t trên D = [ 0; +∞ )

(

) (
3

y +1 +

)

y + 1 (1')

f '(t ) = 3t 2 + 1 > 0, ∀t ≥ 0 ⇒ Hàm số f(t) đồng biến trên (0; +∞)
x
 x 
(1') ⇔ f 
= y +1

÷= f y + 1 ⇔
x
+
1
x
+
1


Khi đó :
thế vào phương trình

(

)

(

3x 2 − 8 x − 3 = 4 x x + 1 ⇔ ( 2 x − 1) = x + 2 x + 1
2

(2), ta được :

)

2

 2 x + 1 = x − 1 (3)
⇔
 2 x + 1 = 1 − 3x (4)

x −1 ≥ 0
x ≥ 1
(3) ⇔ 
⇔
⇔ x = 3+ 2 3
 2
2
4( x + 1) = ( x − 1)
x − 6x − 3 = 0
3+ 2 3
4+3 3
y +1 =
⇔ y=
2
4+2 3
Suy ra :
(thỏa mãn điều kiện)
1

1 − 3 x ≥ 0
5 − 2 13
x ≤
(4) ⇔ 
⇔
⇔
x
=
3


2
9
4( x + 1) = (1 − 3 x)
9 x 2 − 10 x − 3 = 0

5 − 2 13
41 + 7 13
9
y +1 =
⇔ y=−
72
5 − 2 13
+1
9
Suy ra :
(thỏa mãn điều kiện)


5 − 2 13
x = 3 + 2 3
 x =

9
; 

4+3 3
 y = − 41 + 7 13  y =

2


72
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : 
5 + 16.4 x2 −2 y = 5 + 16 x2 −2 y .7 2 y − x 2 + 2
(1)

 3
 x + 17 x + 10 y + 17 = 2 ( x 2 + 4 ) 4 y + 11 (2)
Ví dụ 11: Giải hệ phương trình :

(

)

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

Trang | 11


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
Hướng dẫn giải:
2
t
=
x
− 2 y phương trình (1) có dạng
Đặt
5 + 4 2+ t 5 + 4 2t
(3)
5 + 16.4 = ( 5 + 16 ) .7 ⇔ 7 2+t = 7 2t
x

x
1  4
f ( x ) = 5. ÷ +  ÷
 7   7  ⇒ f ( x) là hàm số nghịch biến trên R
Xét hàm số
t

2 −t

t

2
Phương trình (3) có dạng f (t + 2) = f (2t ) ⇔ t + 2 = 2t ⇔ t = 2 ⇔ x − 2 y = 2
Khi đó phương trình (2) có dạng
x 3 + 5 x 2 + 17 x + 7 = 2 ( x 2 + 4 ) 2 x 2 + 7

⇔ ( x + 2 ) + ( x + 2 ) + ( x + 2 ) = ( 2 x 2 + 7 ) 2 x 2 + 7 + ( 2 x2 + 7 ) + 2 x2 + 7
3

2

3
2
Xét hàm số f (t ) = t + t + t trên khoảng ( 0;+∞ )
f '(t ) = 3t 2 + 2t + 1 > 0, ∀t > 0 ⇒ f(t) là hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;+∞ )

Phương trình trên có dạng

x =1
2

⇔
x
+
2
=
2
x
+
7
⇔
x = 3
f ( x + 2) = f 2 x + 7

 −1   7 
1; ÷,  3; ÷
Suy ra : Hệ phương trình có 2 cặp nghiệm (x;y) là:  2   2  .

(

2

)

2
2
2

4 1+ 2x y − 1= 3x + 2 1− 2x y + 1− x
 3
2x y − x2 = x4 + x2 − 2x3y 4y2 + 1

Ví dụ 12: Giải hệ phương trình : 
Hướng dẫn giải:
Điều kiện : −1≤ x ≤ 1

Ta thấy (x; y) = (0;a), a∈ R là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Khi x ≠ 0 , ta có :
1 1 1
2x3y − x2 = x4 + x2 − 2x3y 4y2 + 1 ⇔ 2y + 2y 4y2 + 1 = +
+1
x x x2
(*)
2
Xét hàm số : f (t) = t + t t + 1

f '(t) = 1+ t + 1 +

t2

> 0,∀t
t2 + 1
. ⇒ Hàm số f(t) đồng biến
1
 1
(*) ⇔ f ( 2y) = f  ÷ ⇔ 2y =
x thế vào phương trình còn lại của hệ ta
 x
Do đó :
2
có : 4 1+ x − 1= 3x + 2 1− x + 1− x
2

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

Trang | 12


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"

a = 1+ x ≥ 0

2
2
b = 1− x ≥ 0
Đặt 
ta có : 3x = x − 1+ 2(x + 1) − 1= 2a + b − 1
Phương trình trở thành :
2a = b
2a2 + b2 + ab − 4a + 2b = 0 ⇔ ( 2a − b) ( a + b − 2) = 0 ⇔ 
a + b = 2
3
5
2 1+ x = 1− x ⇔ x = − ⇒ y = −
5
6
Với 2a = b, ta có :
Với a + b = 2 , ta có : 1+ x + 1− x = 2 ⇔ x = 0 (loại)
 3 5

(x; y) =  − ;− ÷;( 0;a) | a∈ R
 5 6 


Vậy nghiệm của hệ phương trình là :

 x + 3 + 4 x − 2 − y 4 + 5 = y (1)
 2
2
Ví dụ 13: Giải hệ phương trình :  x + 2 x( y − 2) + y − 8 y + 4 = 0 (2)
Hướng dẫn giải:
Điều kiện : x ≥ 2
4
4
Ta có : (1) ⇔ ( x − 2) + 5 + x − 2 = y + 5 + y (1')
4
Xét hàm số f (t ) = t + t + 5 trên [ 0;+∞ )

f '(t ) = 1 +
Khi đó :

f

(

4

2t 3
t4 + 5

)

> 0, ∀t ≥ 0

⇒ Hàm số f(t) đồng biến trên (0; +∞)

x − 2 = f ( y) ⇔ 4 x − 2 = y ⇔ x = y 4 + 2

4 y = ( y4 + y )

2

thế vào phương trình (2),
y = 0
⇔ y ( y 7 + 2 y 4 + y − 4) = 0 ⇔  7
4
 y + 2 y + y − 4 = 0 (3)

ta được :
Với y = 0 ⇒ x = 2 (thỏa mãn điều kiện)
7
4
g
(
y
)
=
y
+
2
y
+ y − 4 trên [ 0;+∞ )
Giải (3): Xét hàm số

g '( y ) = 7 y 6 + 8 y 3 + 1 > 0, ∀y ≥ 0
⇒ Hàm số g(y) đồng biến trên (0; +∞)

Lại có : (3) ⇔ g ( y ) = g (1) ⇔ y = 1 ⇒ x = 3 (thỏa mãn điều kiện)
x = 2 x = 3
; 

y
=
0
y =1
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : 
Ví dụ 14: Giải hệ phương trình :

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

Trang | 13


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"

 20 6 − x − 17 5 − y − 3 x 6 − x + 3 y 5 − y = 0 (1)

2
(2)
 2 2 x + y + 5 + 3 3 x + 2 y + 11 = x + 6 x + 13
Hướng dẫn giải:
x ≤ 6
y ≤ 5


(*)

2
x
+
y
+
5
≥
0


Điều kiện : 3 x + 2 y + 11 ≥ 0
(1) ⇔ ( 20 − 3 x ) 6 − x = ( 17 − 3 y ) 5 − y

⇔ ( 3( 6 − x ) + 2 ) 6 − x = ( 3( 5 − y ) + 2 ) 5 − y

( 3)

Xét hàm số f ( t ) = ( 3t + 2 ) t trên tập [ 0;+∞ )
3t + 2
f '( t ) = 3 t +
> 0, ∀t > 0
2 t
⇒ Hàm số f(t) đồng biến trên ( 0;+∞ )
Khi đó : (3) ⇔ f ( 6 − x ) = f ( 5 − y ) ⇔ 6 − x = 5 − y ⇔ y = x − 1 thế vào phương
4
x≥−
2
3)

trình (2), ta được : 2 3 x + 4 + 3 5 x + 9 = x + 6 x + 13 (Điều kiện :
⇔2
⇔

(

) (

3x + 4 − ( x + 2 ) + 3

−2 x ( x + 1)

3x + 4 + ( x + 2 )

+

)

5 x + 9 − ( x + 3) = x 2 + x

−3 x ( x + 1)

5 x + 9 + ( x + 3)

= x2 + x



2
3

⇔ x ( x + 1) 
+
+ 1÷ = 0
 3x + 4 + ( x + 2 )
÷
5 x + 9 + ( x + 3)


2
3
 x = −1
+
+1>1
⇔
3
x
+
4
+
x
+
2
5
x
+
9
+
x
+
3

(
)
(
)
x
=
0

(vì
với mọi x thuộc TXĐ)
Với x = 0 ⇒ y = −1 (thỏa mãn hệ phương trình)
Với x = −1 ⇒ y = −2 (thỏa mãn hệ phương trình)

( x; y ) ∈{ ( 0; −1) ; ( −1; −2 ) }
Vậy nghiệm của hệ phương trình là :
 x + x 2 + 1 = 3 y (1)

2
x
 y + y + 1 = 3 (2)
Ví dụ 15 : Giải hệ phương trình : 
Hướng dẫn giải:
Trừ theo vế phương trình (1) cho phương trình (2), ta được :

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

Trang | 14


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"

( x+

) (

)

x 2 + 1 − y + y 2 + 1 = 3 y − 3x ⇔ x + x 2 + 1 + 3x = y + y 2 + 1 + 3 y (3)

2
t
Xét hàm số f (t ) = t + t + 1 + 3 trên R
t
f '(t ) = 1 +
+ 3t ln 3 > 0, ∀t ∈ R
2
t +1
⇒ Hàm số f(t) đồng biến trên R.
Khi đó : (3) ⇔ f ( x) = f ( y ) ⇔ x = y thế vào phương trình (2), ta được :

x + x 2 + 1 = 3x ⇔ 1 = 3x

Xét hàm số

g ( x ) = 3x

(

(

(

x2 + 1 − x

x2 + 1 − x

)

)

(4)

) trên R


1 
x 2 + 1 − x  ln 3 −
÷> 0
2
x
+
1


, do
⇒ Hàm số g(x) đồng biến trên R.
Khi đó : (4) ⇔ g ( x) = g (0) ⇔ x = 0 ⇒ y = 0
g '( x ) = 3x

x 2 + 1 − x > 0 và

x2 + 1 ≥ 1

x = 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất :  y = 0
Ví dụ 16 : Giải hệ phương trình :
( xy − 3) y + 2 + x = x5 + ( y − 3 x ) y + 2 (1)

(2)
 9 x 2 + 16 − 2 2 y + 8 = 4 2 − x
Hướng dẫn giải:
0 ≤ x ≤ 2
(*)

y
≥
−
2
Điều kiện : 
Ta có :

(1) ⇔ ( x − 1) ( y + 3) y + 2 − ( x + 1) x  = 0
x =1
⇔
( y + 3) y + 2 − ( x + 1) x = 0 (3)

Với x = 1 : Từ phương trình (2), ta được
Ta có :
(3) ⇔ ( y + 2 + 1)

y + 2 = ( x + 1) x ⇔

(

2 2y + 8 =1⇔ y = −

) (
3

y+2 +

31
8 (loại)

) ( ) + ( x ) (3')

y+2 =

x

3

3
Xét hàm số Xét hàm số f (t ) = t + t trên R
2
Ta có f '(t ) = 3t + 1 > 0, ∀t ∈ R . Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

Trang | 15


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
Khi đó :

(3) ⇔ f ( y + 2) = f ( x ) ⇔

trình (2), ta được :

y+2 = x ⇔ y = x−2

thế vào phương

9 x 2 + 16 = 4 2 − x + 2 2 x + 4

⇔ 9 x 2 = 32 − 8 x + 16 2 ( 4 − x 2 )

⇔ 8 ( 4 − x 2 ) + 16 2 ( 4 − x 2 )

x

2
2
4
−
x
=
(4)
(

)

2
2
− ( x + 8x ) = 0 ⇔ 
 2 ( 4 − x 2 ) = − x − 4 (VN )

2

0 ≤ x ≤ 2
4 2
4 2 −6

(4) ⇔  2 32 ⇔ x =
⇒y=
3
3
 x = 9
(thỏa mãn điều kiện)
 4 2 4 2 −6
;
( x; y ) = 
÷
3
3 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất :
Ví dụ 17: Giải hệ phương trình:
(x − y)(x2 + xy + y2 − 2) = 6 ln y + y2 + 9
x2 + 9 − x  − 12 ln3





 3 2x − y + 34 − 3 2y − x − 3 = 1


)(

(

Hướng dẫn giải:
Điều kiện: x,y ∈ ¡ .

y+
(
⇔ x − y − 2x + 2y = 6 ln
3

3

PT(1)

(

)(

y2 + 9 x2 + 9 − x2
x + x2 + 9

)

(

)

)

− 6 ln9

⇔ x3 − y3 − 2x + 2y = 6 ln y + y2 + 9 − 6 ln x + x2 + 9

(

)

(

)

⇔ x3 − 2x + 6 ln x + x2 + 9 = y3 − 2y + 6 ln y + y2 + 9
Xét hàm số:

(

f(t) = t3 − 2t + 6 ln t + t2 + 9

) với t∈ ¡

)


2
2
= 3 t2 +
− ÷
÷
t2 + 9
t2 + 9 3 

2
2
g(u) = u +
−
u + 9 3 với u ≥ 0
Xét hàm số:
1
1
⇒ g'(u) = 1 −
≥ 1−
>0
3
3
(u + 9)
9
⇒ Hàm số g(u) đồng biến trên [0; +∞) ⇒ g(u) ≥ g(0) = 0
⇒ f '(t) = 3t2 − 2 +

6

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

Trang | 16


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
2
Suy ra: f '(t) = 3g(t ) ≥ 0 ⇒ Hàm số f(t) đồng biến trên ¡ .
Mà (1) ⇔ f(x) = f(y) ⇔ x = y thế vào phương trình (2), ta được :
3

x + 34 − 3 x − 3 = 1 ⇔ 3 x + 34 + 3 3 − x = 1

⇔ x + 34 + 3 − x + 3 3 (x + 34)(3 − x)

(

3

)

x + 34 + 3 3 − x = 1

⇒ 37 + 3 3 (x + 34)(3 − x) = 1 ⇔ 3 x2 + 31x − 102 = 12
 x = −61
⇔ x2 + 31x − 102 = 1728 ⇔ x2 + 31x − 1830 = 0 ⇔ 
 x = 30
Thử lại ta thấy x = −61;x = 30 là nghiệm của phương trình.

( x;y) = { (30;30);(−61;−61)}

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:
(1 + 42 x − y )51− 2 x + y = 1 + 22 x− y +1 (1)

x− y
= ln ( x + 3) − ln ( y + 3) (2)


4
Ví dụ 18: Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn giải:
 x > −3

Điều kiện :  y > −3
Đặt t = 2 x − y , phương trình (1) trở thành:
t

t

1 + 4t 1 + 2 t + 1  1   4  1 2 t
(1+ 4 ).5 =1+ 2 ⇔ t =
⇔  ÷ +  ÷ = + .2 (3)
5
5
5 5 5 5
t
t
1 4
1 2
f (t ) =  ÷ +  ÷
g (t ) = + .2t

 5   5  nghịch biến và hàm số
5 5
Ta có hàm số
đồng biến
trên ¡ , mà t = 1 thỏa mãn (3), nên t = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (3)
⇒ 2x − y = 1
(*)
Ta có (2) ⇔ x − 4ln( x + 3) = y − 4ln( y + 3)
t

1− t

t +1

Xét hàm số: y = f (t ) = t − 4ln(t + 3) với t > −3 ( (*) ⇔ f ( x ) = f ( y ) )
4
t −1
f '(t ) = 1 −
=
, f '(t ) = 0 ⇒ t = 1
t +3 t +3
Ta có:
BBT:
-3

t

-

1

0

+

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

+∞

Trang | 17


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
f’(t
)
f(t)

Với x = 1 ⇒ y = 1 ta có x = y = 1 thỏa mãn hệ phương trình đã cho.
Từ 2 x − y = 1 ⇔ y − x = x − 1
Với x ≠ 1 , ta có:
Khi x > 1 ⇒ y > x > 1 ⇒ f ( y ) > f ( x )
Khi x < 1 ⇒ y < x < 1 ⇒ f ( y ) > f ( x )
∀x ∈ (−3; +∞) \ { 1}

2 x − y = 1,
Suy ra với 

ta luôn có f ( y) > f ( x)
x = 1

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất  y = 1

 2 y ( 4 y 2 + 3x 2 ) = x 4 ( x 2 + 3)
(1)


x
2 y − 2 x + 5 − x + 1 = 4024 (2)
2012
Ví dụ 19: Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn giải:
Điều kiện : 2 y − 2 x + 5 ≥ 0

(

)

Nếu x = 0 ⇒ y = 0 nhưng lại không thỏa mãn (2) vậy x khác 0 . Từ (1) chia hai
2
vế cho x ≠ 0 . Ta được :

( 1) ⇔

2 y ( 4 y 2 + 3x2 )
x3

=

x 4 ( x 2 + 3)
x3

2
3

 2 y   2 y 
 2y 
 2y 
3
3
⇔
÷
÷ + 3 = x + 3 x ⇔ 
÷ + 3
÷ = x + 3x (3)
 x   x 
 x 
 x 


3
2
Xét hàm số : f (t ) = t + 3t ⇒ f '(t ) = 3t + 3 > 0 với mọi t thuộc R . Chứng tỏ
hàm số f(t) đồng biến trên R.
2y
2y
(3) ⇔ f ( ) = f ( x) ⇔
= x ⇔ 2 y = x2
x
x
Khi đó :
thế vào phương trình (2),

ta được :

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

Trang | 18


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"

( 2 ) ⇔ 2012 x (

)

x 2 − 2 x + 5 − x + 1 = 4024

⇔ 2012.2012 x−1

(

( x − 1)

2

Lại đặt t = x − 1 suy ra :
2012.2012t

Xét hàm số :
g (t ) = 2012t

(

)

t 2 + 4 − t = 4024 ⇔ g (t ) = 2012t

)

t 2 + 4 − t ⇒ g '(t ) = 2012t ln 2012

g '(t ) = 2012t

Có :

(

)

+ 4 − ( x − 1) = 4024
t2 + 4 − t = 2

)

(

 t

t 2 + 4 − t + 2012t 
− 1÷
2
 t +4 

)

(

)

(


1 
t 2 + 4 − t ln 2012 −
 >0
t2 + 4 


1
t + 4 − t > 0 và
2

(Vì

t +4
2

< 1 < ln 2012
)

t = x − 1 = 0 ⇒ x = 1; y =

mà g (2) = 0 nên t = 0 là nghiệm duy nhất và :
1
( x; y ) = 1; ÷
 2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là :

1
2

( 4 x 2 + 1) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0 (1)
 2
2
(2)
Ví dụ 20: Giải hệ phương trình: 4 x + y + 2 3 − 4 x = 7
Hướng dẫn giải:
3

 x ≤ 4
(*)

5
y ≤
2
Điều kiện : 
Ta có :
(1) ⇔ 4 x 3 + x = − ( y − 3) 5 − 2 y ⇔ (2 x)3 + (2 x) =

(

5 − 2y

) +(
3

5− 2y

)

(3)

3
2
Xét hàm số : f (u ) = u + u ⇒ f '(u ) = 3u + 1 > 0, ∀u . Suy ra f(u) luôn đồng biến

f (2 x) = f

(

)

5 − 2 y ⇔ 2 x = 5 − 2 y ⇔ 4 x2 = 5 − 2 y ⇔ 2 y = 5 − 4 x2

Thế vào

2

 5 − 4x2 
 3
g ( x) = 4 x + 
x ∈  0; 

÷ + 2 3 − 4x − 7 = 0
 2 
 4  . Ta thấy
(2), ta được :
với
3
x=
x = 0 và
4 không là nghiệm .
2

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

Trang | 19


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
4
4
5

 3
g '( x) = 8 x − 8 x  − 2 x 2 ÷−
= 4 x ( 4 x 2 − 3) −
< 0, ∀x ∈  0; ÷
3 − 4x
3 − 4x
2

 4

1
1
g  ÷= 0 ⇒ x =
2 là nghiệm duy nhất
Mặt khác :  2 
1
( x; y ) =  ;2 ÷
2 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất :
Bài tập tự luyện

 x + x( x 2 − 3x + 3) = 3 y + 2 + y + 3 + 1

3 x − 1 − x 2 − 6 x + 6 = 3 y + 2 + 1
Bài 1. Giải hệ phương trình : 
 x 2 + 96 + 95 y = y 2 x 2 + 96 − x 2 y

 2 ( y 2 − 3x − 94 )
x 8
= 3 xy − 96 +

y y
y
Bài 2. Giải hệ phương trình : 
 x2 +1 8 y 2 + 12
=3 2 y − x
2 − 4

2
 2( x + y ) + 3 x + y = 7

2
2
Bài 3. Giải hệ phương trình : 

(

)

(53 − 5 x) 10 − x + (5 y − 48) 9 − y = 0

2 x − y + 6 + x 2 − 2 x − 66 = −2 x + y + 11
Bài 4. Giải hệ phương trình : 
 x 2 − 12 xy + 20 y 2 = 0

ln ( 1 + x ) − ln ( 1 + y ) = x − y
Bài 5. Giải hệ phương trình : 

(

)

1

2
3xy 1 + 9 y + 1 =
x +1 − x

 x3 (9 y 2 + 1) + 4( x 2 + 1) x = 10
Bài 6. Giải hệ phương trình : 

Với chuyên đề này tôi đã giảng dạy tại lớp 12A1 và 12A2. Tôi thấy, với
cách hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tự đặt câu hỏi, tự trả lời những câu
hỏi của mình trong quá trình làm một bài toán nói chung và nhất là trong cách
biến đổi ra hàm đặc trưng và điều kiện sử dụng phương pháp này. Với cách làm

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

Trang | 20


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
đó Tôi thấy phần lớn học sinh của lớp học hứng thú, tự tin biến đổi và không
còn thấy e ngại với hệ phương trình dạng này nữa. Cụ thể như sau:
Qua hai lần kiểm tra đối chứng, thu được kết quả sau:

Giỏi

Khá

Trung
bình

Yếu

Kém

1

6

22

19

0

Lần kiểm tra 2

8

15

25

0

0

Lần kiểm tra 1

0

2

12

30

3

2

9

21

15

0

Lớp

Sĩ số

Lần kiểm tra 1
12A1

48

12A2

47
Lần kiểm tra 2

C. KẾT LUẬN
I. Kết quả nghiên cứu :
Thông qua quá trình giảng dạy ở các lớp 12A1, 12A2 và ôn thi đội tuyển
cho đối tượng học sinh khá giỏi, tôi đã áp dụng đề tài trên và kết quả cho thấy:
- Học sinh có khả năng nhìn nhận và biến đổi chính xác cách giải một hệ
phương trình có thể sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

- Hình thành được tư duy logic, kỹ năng giải các hệ phương trình bằng phương
pháp hàm số. Đồng thời tạo hứng thú trong học tập cho học sinh. Tôi đã thống
kê kết quả và thấy hiệu quả rõ rệt của sáng kiến kinh nghiệm này.
2. Kiến nghị và đề xuất.

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

Trang | 21


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
- Trong quá trình dạy học về phương trình, hệ phương trình và bất phương
trình nói chung, tôi thấy các phương pháp giải hệ phương trình chưa được trình
bày một cách đầy đủ, đặc biệt là phương pháp hàm số. Rất mong có thêm nhiều
tài liệu hơn nữa viết về đề tài này để góp phần cho việc dạy và học đạt hiệu quả
cao hơn.
- Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy tài liệu này rất hữu ích đối với
tôi và đã mang lại những kết quả khả quan khi dạy học sinh. Hy vọng nó sẽ trở
thành tài liệu tham khảo cho các giáo viên, học sinh và những người quan tâm
đến vấn đề hệ phương trình . Do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu không
tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của bạn đọc để đề tài
được hoàn thiện hơn.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi
hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này !

D. TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách Đại số 10 chương trình nâng cao - NXB Giáo dục
- Sách Đại số 12 chương trình nâng cao - NXB Giáo dục
- Tạp chí toán học và tuổi trẻ.
- Đại số sơ cấp- Trần Phương - Lê Hồng Đức. NXB Hà Nội.

- Đề thi Đại học và Cao đẳng từ 2002 đến 2015 của Bộ GD & ĐT.
-Đề thi HSG cấp tỉnh Tỉnh Thanh Hóa
-Lời giải đề thi Học sinh giỏi toán 12 - Trần Tiến tự. NXB ĐHQG Hà Nội
-Chuyên đề nâng cao đại số trung học phổ thông - Phạm Quốc Phong. NXB GD
- Từ internet : www.math.vn; www.vnmath.com; www.laisac.page.tl; …

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

Trang | 22


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"

MỤC LỤC

Trang
A

Đặt vấn đề …………………………………………………….

1

B

Giải quyết vấn đề ……………………………………………..

2

I

Cơ sở lý luận của vấn đề ...……………………………………

2

II

Thực trạng của vấn đề ......................................... …………….

2

III

Giải pháp và tổ chức thực hiện .................................................

2

1

Trang bị lại cho học sinh một số kiến thức ...............................

2

2

Kỹ năng giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số ……

3

C

Kết luận ……………………………………………………….

20

D

Tài liệu tham khảo …………………………………………….

21

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

Trang | 23


SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
E

Mục lục ......…………………………………………………...

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

22

Thanh Hóa, ngày19 tháng 5 năm2016.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Hoàng Minh Thành

Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

Trang | 24