1 ham so luong giac

phần I: đại số và giải tích
chơng 1

hàm số lợng giác và
phơng trình lợng giác

A. Kiến thức cần nhớ

I. các hàm số lợng giác
1. Hàm tuần hoàn

Hàm số f(x) xác định trên tập hợp D gọi là tuần hoàn nếu tồn tại
một số dơng T sao cho với mọi x D ta có:
x T D và x + T D
(1)
f(x + T) = f(x)
(2)
Số nhỏ nhất (nếu có) trong các số T có các tính chất trên gọi là
chu kì cơ sở của hàm tuần hoàn f(x).



Chú ý: (Các đấu hiệu để biết hàm số f(x) không phải là hàm
tuần hoàn): Hàm số f(x) không phải là hàm tuần hoàn
khi một trong các điều kiện sau bị vi phạm:
a. Tập xác định của hàm số là tập hữu hạn.
b. Tồn tại số a sao cho hàm số không xác định với x > a
hoặc x < a.
c. Phơng trình f(x) = k có nghiệm nhng số nghiệm hữu
hạn.
d. Phơng trình f(x) = k có vô số nghiệm sắp thứ tự:

...< xn < xn + 1 <...
mà |xn xn + 1| 0 hay .

2. hàm số lợng giác biến số thực

Hàm số y = sinx
Ta có:
Hàm số y = sinx là hàm số lẻ trên Ă .
Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì 2.
Xét hàm số y = sinx trên [0; ].
Chiều biến thiên: Dựa vào đờng tròn lợng giác ta đợc:


x 0
/2
x
/2 0 /2

2.1.

7


y

0

1

1

0

y

0

0

0

1
Đồ thị:

3

y
1
2



/2

O

/2

3 x

2

1
Từ đây, ta có nhận xét quan trọng là sinx 1 với mọi x.

Hàm số y = cosx
Ta có:
Hàm số y = cosx là hàm số chẵn trên Ă .
Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì 2.
Xét hàm số y = cosx trên [0; ].
Chiều biến thiên: Dựa vào đờng tròn lợng giác ta đợc:


x 0
/2
x
/2 0 /2
y 1
1
0
y
0
0
1
1
1
y
Đồ thị:

1
3
/2
3

2
/2
2
O
x
1

2.2.

Từ đây ta có nhận xét quan trọng là cosx 1 với mọi x.

Hàm số y = tanx
Ta có:
Hàm số y = tanx là

hàm số lẻ trên Ă \{ +
2
k, k  }.
Hàm số y = tanx tuần
hoàn với chu kì .

2.3.

Xét hàm số y = tanx trên [0;

8

y


3

/
2


).
2






/
2

O


/
2

3

/
2

x


Chiều biến thiên: Dựa vào đờng tròn lợng giác ta đợc:
x 0
/2
x /2
0
/2
+
+
y 0
y
0

Đồ thị: hình trên.



Chú ý: Trong hệ trục toạ độ Oxy các đờng thẳng có phơng
trình x =


+ k,
2

k  đợc gọi là các đờng tiệm

cận của đồ thị hàm số y = tanx.
Hàm số y = cotx
Ta có:
Hàm số y = cotx là hàm
số lẻ trên Ă \{k, k  }.
Hàm số y = cotx tuần
hoàn với chu kì .

2.4.

y

3

/
2






O


/
2

Xét hàm số y = cotx trên (0; ].
/
2
2
Chiều biến thiên: Dựa vào đờng tròn lợng giác ta đợc:
x 0
/2
x /2
0
/2
0
+
+
y
y

0
0


3

/
2

x

Đồ thị: hình trên.



Chú ý: Trong hệ trục toạ độ Oxy các đờng thẳng có phơng
trình x = k,
k  đợc gọi là các đờng tiệm cận
của đồ thị hàm số y = cotx.

II. Phơng trình lợng giác cơ bản
1. Phơng trình

sinx = m

Ta biện luận theo các bớc sau:
Bớc 1: Nếu m > 1 phơng trình vô nghiệm.
Bớc 2: Nếu m 1, khi đó đặt m = sin, ta đợc:
x = + 2k
sinx = sin
, k Â.
x = + 2k
Đặc biệt: Ta có các kết quả:
sinx = 0 x = k, k  .

9

sinx = 1 x =



+ 2k, k  . sinx = 1 x = + 2k, k
2
2

Â.
2. Phơng trình

cosx = m

Ta biện luận theo các bớc sau:
Bớc 1: Nếu m > 1 phơng trình vô nghiệm.
Bớc 2: Nếu m 1, khi đó đặt m = cos, ta đợc:
x = + 2k
cosx = cos
, k Â.
x = + 2k
Đặc biệt: Ta có các kết quả:

cosx = 0 x =
+ k, k  .
2
cosx = 1 x = 2k, k  .
cosx = 1 x = +
2k, k  .
3. Phơng trình

tanx = m

Ta biện luận theo các bớc sau:
Đặt điều kiện:

cosx 0 x
+ k, k  .
2
Xét hai khả năng:
Khả năng 1: Nếu m đợc biểu diễn qua tan của góc đặc biệt,
giả sử , khi đó phơng trình có dạng:
tanx = tan x = + k, k  .
Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn đợc qua tan của góc đặc
biệt, khi đó đặt m = tan, ta đợc:
tanx = tan x = + k, k  .
hoặc sử dụng kí hiệu x = arctanm + k, k  .
Trong cả hai trờng hợp ta đều kết luận phơng trình có một họ
nghiệm.



Nhận xét: Nh vậy, với mọi giá trị của tham số phơng trình luôn
có nghiệm.

4. Phơng trình

cotx = m

Ta biện luận theo các bớc sau:

Đặt điều kiện:
sinx 0 x k, k  .
Xét hai khả năng:

10


Khả năng 1: Nếu m đợc biểu diễn qua cot của góc đặc biệt, giả
sử , khi đó phơng trình có dạng :
cotx = cot x = + k, k  .
Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn đợc qua cot của góc đặc
biệt, khi đó đặt m = cot, ta đợc
cotx = cot x = + k, k  .
hoặc sử dụng kí hiệu x = arccotm + k, k  .
Trong cả hai trờng hợp ta đều kết luận phơng trình có một họ
nghiệm.



Nhận xét: Nh vậy, với mọi giá trị của tham số phơng trình luôn
có nghiệm.

III. một số phơng trình lợng giác đơn giản
1. Phơng trình bậc nhất đối với một hàm số lợng giác

Chuyển phơng trình về dạng phơng trình lợng giác cơ bản.
2. Phơng trình bậc hai đối với một hàm số lợng giác

Đặt hàm số lợng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ
nếu có (thí dụ t = sinx hoặc t = cosx, điều kiện t 1), rồi giải

phơng trình theo ẩn phụ này.
3. Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng:
asinx + bcosx = c.
(1)
Để giải phơng trình (1) ta có thể lựa chọn một trong các cách
sau:

Cách 1:
Thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Kiểm tra:
1. Nếu a2 + b2 < c2 phơng trình vô nghiệm.
2. Nếu a2 + b2 c2, khi đó để tìm nghiệm của
phơng trình (1) ta thực hiện tiếp bớc 2.
Bớc 2: Chia hai vế phơng trình (1) cho a 2 + b 2 , ta đợc:
a

sinx +

b

cosx =

c

a +b
a +b
a + b2
a

b
Vì ( 2
)2 + ( 2
)2 = 1 nên tồn tại góc
2
a +b
a + b2
a
b
= cos ,
= sin .
sao cho
2
2
2
a +b
a + b2
Khi đó, phơng trình (1) có dạng:
2

2

2

2

2

11

sinx.cos + sin.cosx =
sin(x + ) =

c
a + b2
2

c

.
a + b2
Đây là phơng trình cơ bản của hàm số sin.
Cách 2:
Thực hiện theo các bớc:
x
Bớc 1: Với cos = 0 x = + 2k, kiểm tra vào phơng
2
trình.
x
x
Bớc 2: Với cos 0 x + 2k, đặt t = tan , suy ra:
2
2
2
2t
1 t
sinx =
.
2 và cosx =

1+ t
1 + t2
Khi đó, phơng trình (1) có dạng:
2t
1 t2
a.
=c
2 + b.
1+ t
1 + t2
(c + b)t2 2at + c b = 0.
(2)
Bớc 3: Giải phơng trình (2) theo t.
Cách 3:
Với những yêu cầu biện luận tính chất nghiệm của phơng trình trong (; ), ta có thể lựa chọn phơng pháp điều
kiện cần và đủ.
2

Nhận xét quan trọng:
1. Cách 1 thờng đợc sử dụng với các bài toán yêu cầu giải ph-

ơng trình và tìm điều kiện của tham số để phơng
trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc giải và biện luận phơng trình theo tham số.
2. Cách 2 thờng đợc sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phơng trình và tìm điều kiện của tham số để phơng
trình có nghiệm thuộc tập D với D [0; 2].
3. Cách 3 thờng đợc sử dụng với các bài toán yêu cầu biện luận
theo tham số để phơng trình k có nghiệm thuộc tập D
với D[0; 2] .
4. Từ cách giải 1 ta có đợc kết quả sau:
a 2 + b 2 asinx + bcosx a 2 + b 2

12


kết quả đó gợi ý cho bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của các hàm số dạng y = a.sinx + b.cosx, y =

a.sin x + b.cos x
c.sin x + d.cos x

và phơng pháp đánh giá cho một số phơng trình lợng giác.



Dạng đặc biệt: Ta có các kết quả:


sinx + cosx = 0 x =



sinx cosx = 0 x =


+ k, k  .
4


+ k, k  .
4

4. Phơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx

Phơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx có dạng:
asin2x + bsinx.cosx + ccos2x = d.
(1)
Để giải phơng trình (1) ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:
Cách 1:
Thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Với cosx = 0 x =
+ k, k  .
2
Khi đó, phơng trình (1) có dạng a = d.

- Nếu a = d, thì (1) nhận x =
+ k làm
2
nghiệm.

- Nếu a d, thì (1) không nhận x =
+ k làm
2
nghiệm.

Bớc 2: Với cosx 0 x
+ k, k  .
2
Chia hai vế của phơng trình (1) cho cos2x 0, ta
đợc:

a.tan2x + b.tanx + c = d(1 + tan2x).
Đặt t = tanx, phơng trình có dạng:
(a d)t2 + bt + c d = 0.
(2)
Bớc 3: Giải phơng trình (2) theo t
Cách 2:
Sử dụng các công thức:
1 cos 2x
1 + cos 2x
1
sin2x =
, cos2x =
và sinx.cosx = sin2x
2
2
2
ta đợc:
b.sin2x + (c a)cos2x = d c a.
(3)
Đây là phơng trình bậc nhất của sin và cos.
13




Nhận xét quan trọng:

1. Cách 1 thờng đợc sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phơng
trình và tìm điều kiện của tham số để phơng trình có
nghiệm thuộc tập D.

2. Cách 2 thờng đợc sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phơng
trình và tìm điều kiện của tham số để phơng trình có
nghiệm, vô nghiệm hoặc giải và biện luận phơng trình
theo tham số.
5. Phơng trình đối xứng đối với sinx và cosx

Phơng trình đối xứng đối với sinx và cosx có dạng:
a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0
(1)
hoặc a(sinx cosx) + bsinx.cosx + c = 0.
(1')
Để giải phơng trình (1) ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Đặt sinx + cosx = t, điều kiện t 2 sinx.cosx =
t2 1
.
2
Khi đó, phơng trình có dạng:
t2 1
at + b
+ c = 0 bt2 + 2at + 2c b = 0.
2
(2)
Bớc 2: Giải (2) theo t và chọn nghiệm t0 thoả mãn điều kiện t
2
Với t = t0, ta đợc:


sinx + cosx = t0 2 sin(x + ) = t0 sin(x + ) =
4
4

t0
.
2
Đây là phơng trình cơ bản của hàm số sin.



Chú ý:

1. Ta có thể giải (1) bằng cách đặt ẩn phụ z =

có:
sinx + cosx =

14

2 cos(


x) =
4

2 cosz


x, khi đó ta
4


sinx.cosx =

1
1

1

1
1
sin2x = sin2( z) = sin( 2z)= cos2z =
2
2
4
2
2
2
2
(2cos2z 1)

Khi đó, phơng trình ban đầu đợc đa về dạng phơng trình bậc
2 đối với cosz.
2. Phơng trình (1') đợc giải tơng tự nh (1) với ẩn phụ:

t = sinx cosx, điều kiện t

2 sinx.cosx =

B Phơng pháp giải các dạng toán liên quan

1 t2
.

2

Đ1. các hàm số lợng giác
Dạng toán 1:
Tập xác định của hàm số lợng giác
Phơng pháp áp dụng
Muốn tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) ta lựa chọn một
trong hai phơng pháp sau:
Phơng pháp 1. Tìm tập D của x để f(x) có nghĩa, tức là tìm:
D = {x Ă | f(x) có nghĩa}.
Phơng pháp 2. Tìm tập E của x để f(x) không có nghĩa, khi đó
tập xác định của hàm số là: D = Ă \E.



Chú ý: Với các hàm số lợng giác chúng ta cần biết thêm:

1. Hàm số y = sinx xác định trên Ă và sinx 1 với mọi x.

Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì 2 và nó là hàm số lẻ nên
nếu có
sinx = sin x = + 2k hoặc x = + 2k, k  .
sinx = 0 x = k, k  .


sinx = 1 x =
+ 2k, k  ; sinx = 1 x = + 2k, k
2
2
Â.

2. Hàm số y = cosx xác định trên Ă và cosx 1 với mọi x.
Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì 2 và nó là hàm số chẵn nên
nếu có:
cosx = cos x = + 2k hoặc x = + 2k, k  .

cosx = 0 x =
+ k.
2
cosx = 1 x = 2k, k  ; cosx = 1 x = + 2k, k  .
15



+ k, k  }.
2
Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì nên nếu có:
tanx = tan x = + k, k  .
4. Hàm số y = cotx xác định trên Ă \{k, k  }.
Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì nên nếu có:
cotx = cot x = + k, k  .
3. Hàm số y = tanx xác định trên Ă \{

Thí dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a. y =



1 cosx
.
sinx

b. y =

1 sinx
.
1+ cosx

Giải

a. Điều kiện:
sinx 0 x k, k  .
Vậy, ta đợc tập xác định của hàm số là D = Ă \{k, k  }.
b. Điều kiện:
1 + cosx 0 cosx 1 x + 2k, k  .
Vậy, ta đợc tập xác định của hàm số là D = Ă \{ + 2k, k Â
}.

Thí dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a. y =



3 sin x .

b. y =

1
.
1 cos x

Giải

a. Điều kiện:
3 sinx 0.
Vì sinx 1 nên 3 sinx 2 với mọi x.
Vậy, ta đợc tập xác định của hàm số là D = Ă .
b. Điều kiện:
1 cosx > 0 cosx < 1 cosx 1 x 2k, k  .
Vậy, ta đợc tập xác định của hàm số là D = Ă \{2k, k  }.

Thí dụ 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a. y = tan(2x +



Giải

a. Điều kiện:
16


).
3

b. y = cot(3x


).
4

2x +






+ k x
+ k , k Â.
3
2
12
2

Vậy, ta đợc tập xác định của hàm số là D = Ă \{



+k ,k Â
12
2

}.
b. Điều kiện:



3x k x
+ k , k Â.

4
12
3
Vậy, ta đợc tập xác định của hàm số là D = Ă \{



+k ,k Â
12
3

}.

Dạng toán 2:
Xét tính tuần hoàn của các hàm số lợng
giác
Phơng pháp thực hiện
1. Để chứng minh hàm số y = f(x) tuần hoàn, ta thực hiện theo các
bớc:
Bớc 1: Xét hàm số y = f(x), tập xác định là D, ta cần dự đoán
số thực dơng T0 sao cho:
Với mọi x D, ta có:
x T0 D và x + T0 D
(1)
f(x + T0) = f(x)
(2)
Bớc 2: Vậy hàm số y = f(x) là tuần hoàn.
2. Chứng minh rằng T0 là chu kì của hàm số, tức là chứng minh T 0 là
số nhỏ nhất (1), (2), ta thực hiện phép chứng minh bằng phản chứng
theo các bớc:

Bớc 1: Giả sử có số T sao cho 0 < T < T0 thoả mãn tính chất
(2):
xD, f(x + T) = f(x) ...
mâu thuẫn với giả thiết 0 < T < T0.
Bớc 2: Mâu thuẫn này chứng tỏ T0 là số dơng nhỏ nhất thoả mãn
(2).
Bớc 3: Vậy hàm số y = f(x) là tuần hoàn với chu kì cơ sở T0.
3. Xét tính tuần hoàn của các hàm số lợng giác, chúng ta sử dụng các
kết quả:
a. Hàm số y = sinx và y = cosx, tuần hoàn với chu kì 2.
Mở rộng: Hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) với a 0
2
.
a
b. Hàm số y = tanx và y = cotx, tuần hoàn với chu kì .

tuần hoàn với chu kì

17


Mở rộng: Hàm số y = tan(ax + b) và y = cot(ax + b) với a 0

tuần hoàn với chu kì .
a
c. Cùng với kết quả của định lý:
Định lí: Cho cặp hàm số f(x), g(x) tuần hoàn trên tập M có
a
các chu kì lần lợt là a và b với
Ô . Khi đó, các hàm số F(x)

b
= f(x) + g(x), G(x) = f(x).g(x) cũng tuần hoàn trên M.
Mở rộng: Hàm số F(x) = mf(x) + ng(x) tuần hoàn với chu kì T
là bội số chung nhỏ nhất của a, b.

Thí dụ 1. Chứng minh rằng mỗi hàm số đều tuần hoàn với chu
kì :
a. y = sin2x.
b. y = 3tan2x + 1.



Giải
Để chứng minh hàm số y = f(x) tuần hoàn với chu kì , ta đi
chứng minh:
f(x + k) = f(x) với k  , x thuộc tập xác định của hàm số.
a. Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số cosin (cụ thể cos( +
2k) = cos), ta có ngay:
1
1
f(x + k) = sin2(x + k) = [1 cos(2x + 2k)] = (1 cos2x)
2
2
= sin2x = f(x) với mọi x.
b. Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số tang (cụ thể tan( + k)
= tan), ta có ngay:
f(x + k) = 3tan2(x + k) + 1 = 3tan2x + 1 = f(x) với mọi x.

Thí dụ 2. Cho hàm số y = f(x) = A.sin(x + ), (A, và là
các hằng số; A và khác 0). Chứng minh rằng với mỗi số

nguyên k, ta có:
f(x + k.



2
) = f(x) với mọi x.


Giải
Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số sin, ta có ngay:
2
2
f(x + k. ) = A.sin[(x + k. ) + ] = A.sin(x + 2k + )


= A.sin(x + ) = f(x) với mọi x.
Thí dụ 3. Hãy xem những hàm số nào trong các hàm số cho dới
đây là hàm tuần hoàn và xác định chu kì nhỏ nhất
(nếu có) của chúng:
18


a. f(x) = tan(3x

).
3

).
6

b.

f(x) = 2cos2(2x +

Giải

a. Hàm số tuần hoàn với chu kì T =


.
3

b. Viết lại hàm số dới dạng:

2
f(x) = 2cos2(2x + ) = 1 + cos(4x +
).
3
3
2

Do đó f(x) là hàm tuần hoàn với chu kì
= .
4
2

Chú ý: Rất nhiều học sinh khi thực hiện câu b) đã vội vàng
đa ra kết luận rằng "Hàm số tuần hoàn với chu kì T
= ".
Dạng toán 3:
Xét tính chẵn, lẻ của hàm số lợng giác
Phơng pháp thực hiện
Ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:
Nếu D là tập đối xứng (tức là x D x D), ta
thực hiện tiếp bớc 2.
Nếu D không phải là tập đối xứng (tức là x D mà x
D), ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Bớc 2: Xác định f(x) , khi đó:
Nếu f(x) = f(x) kết luận hàm số là hàm chẵn.
Nếu f(x) = f(x) kết luận hàm số là hàm lẻ.
Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.


Chú ý: Với các hàm số lợng giác cơ bản, ta có:
1. Hàm số y = sinx là hàm số lẻ.
2. Hàm số y = cosx là hàm số chẵn
3. Hàm số y = tanx là hàm số lẻ.
4. Hàm số y = cotx là hàm số lẻ.
Thí dụ 1. Xét tính chất chẵn lẻ của các hàm số sau:
a. y = sinx cosx.
b. y = sinx.cos2x + tanx.
19

Giải

a. Hàm số xác định trên Ă là tập đối xứng.
Ta có:
f(x) = sin(x) cos(x) = sinx cosx f(x).
Vậy, hàm số y = sinx cosx không lẻ, không chẵn.

b. Hàm số xác định trên Ă \{ + k, k  } là tập đối xứng.
2
Ta có:
f(x) = sin(x).cos2(x) + tan(x) = sinx.cos2x tanx
= (sinx.cos2x + tanx) = f(x).
Vậy, hàm số y = sinx.cos2x + tanx là hàm số lẻ.

Thí dụ 2. Xét tính chất chẵn lẻ của các hàm số sau:
a. y = cos (x
tanx sin2x.


).
4

b. y = tan x .

c.

y =

Giải
a. Hàm số xác định trên Ă là tập đối xứng.
Ta có:


f(x) = cos (x ) = cos (x + ) f(x).
4
4

Vậy, hàm số cos (x ) không lẻ, không chẵn.
4

b. Hàm số xác định trên Ă \{ + k, k  } là tập đối xứng.
2
Ta có:
f(x) = tanx = tanx = f(x).
Vậy, hàm số y = tanx là hàm số chẵn.

c. Hàm số xác định trên Ă \{ + k, k  } là tập đối xứng.
2
Ta có:
f(x) = tan(x) sin(2x) = tanx + sin2x = (tanx sin2x) =
f(x).
Vậy, hàm số y = tanx sin2x là hàm số lẻ.

Dạng toán 4:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

hàm số
Phơng pháp thực hiện
Sử dụng các tính chất của các hàm số lợng giác cơ bản.
20


Thí dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số
sau:
a. y = 2cos(x +


) + 3.
3

b. y =

1 sin( x2 ) 1.

c. y = 4sin x .



Giải
a. Nhận xét rằng:


cos(x + ) 1 1 cos(x + ) 1
3
3

2 + 3 2cos(x + ) + 3 2 + 3 1 y 5
3
từ đó, suy ra yMax = 5 và yMin = 1.
b. Ta lần lợt có nhận xét:
1 sin( x2 ) 0 y = 1 sin( x2 ) 1 1 yMin = 1.

( )

sin(x2) 1 sin(x2) 1 1 sin(x2) 2 1 sinx2
y =

( )

1 sinx2 1

2 1 yMax =

2

2 1.

c. Nhận xét rằng:
sin x 1 1 sin x 1 4 y = 4sin x 4
từ đó, suy ra yMax = 4 và yMin = 4.

Dạng toán 5:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
hàm số lợng giác
Phơng pháp thực hiện
1. Với các hàm số lợng giác cơ bản, ta có:

a. Hàm số y = sinx


+ 2k,
+ 2k) với k  .
2
2

3
Nghịch biến trên khoảng ( + 2k,
+ 2k) với k  .
2
2
b. Hàm số y = cosx
Đồng biến trên khoảng ( + 2k, 2k) với k  .



Đồng biến trên khoảng (

Nghịch biến trên khoảng (2k, + 2k) với k  .


c. Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng ( + k,
+ k) với
2
2
k Â.

21


d. Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng (k, + k) với k
Â.
2. Với các hàm số lợng giác phức hợp, để xét sự biến thiên của nó ta sử
dụng định nghĩa.
3. Các phép biến đổi đồ thị cơ bản đợc tổng kết theo sơ đồ
sau:
y=f(x)
Đối xứng qua
Oy

y=f(x)
Đối xứng qua
Ox

Tịnh tiến
Ox,
a đơn vị

Đối xứng qua
Ox
Đối xứng
qua gốc
O

y=
f(x)

Đối xứng qua
Oy

y=f( x)

theo

Tịnh
tiến
theo
vectơ (a, b)

Tịnh tiến
Oy,
b đơn vị

y = f(x + a)

Tịnh tiến
Oy,
b đơn vị

theo

y = f(x + a)
b theo
Tịnh +
tiến

Ox,

theo a đơn vị

y = f(x) + b

4. Với các hàm số chứa dấu trị tuyệt đối, ta có các kết quả: Từ đồ
thị hàm số y = f(x):
a. Đồ thị y = | f(x)| gồm:



Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f(x).

Đối xứng phần đồ thị phía dới trục hoành của y = f(x) qua trục
hoành.
b. Đồ thị y = f(| x| ) gồm:





Phần bên phải Oy của đồ thị y = f(x).
Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy.

c. Để suy ra đồ thị y = | f(| x| )| chúng ta thực hiện liên tiếp hai
qui tắc, cụ thể có thể lựa chọn một trong hai lợc đồ sau :
Từ y = f(x) suy ra y = | f(x)| = g(x) và lại từ y = g(x) cuối
cùng suy ra y = g(| x| ) = | f(| x| )| .


Từ y = f(x) suy ra y = f(| x| ) = h(x) và lại từ y = h(x) cuối

cùng suy ra y = | h(x)| = | f(| x| )| .

d. Đồ thị hàm số y = | u(x)| .v(x) với f(x) = u(x).v(x) gồm:
Phần của đồ thị y = f(x) trên miền u(x) 0.
Đối xứng phần đồ thị y = f(x) trên miền u(x) < 0 qua trục
hoành.
e. Đờng cong | y| = f(x) gồm:





22

Phần đồ thị từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f(x).




Đối xứng phần đồ thị trên qua trục hoành đợc nửa đờng
cong còn lại.

Thí dụ 1. Cho các hàm số f(x) = cosx, g(x) = tanx và các
khoảng:
3
),
2
31 33
J3 = (
;

),
4
4

J1 = ( ;


),
4 4
452
601
J4 = (
;
).
3
4

J2 = ( ;

Hỏi hàm số nào trong hai hàm số đó đồng biến trên
khoảng J1 ? Trên khoảng J2 ? Trên khoảng J3 ? Trên khoảng
J4 ? (Trả lời bằng cách lập bảng).



Giải
a. Hàm số f(x) = cosx đồng biến trên khoảng J1, và ta có bảng:
x
3/2
0

y 1
Ta có nhận xét:
452 601
2

J4 = (
;
) = (150
; 150 )
3
4
3
4
2

mà trong khoảng ( ; ) hàm số f(x) = cosx đồng biến. Do đó,
3
4
hàm số f(x) = cosx cũng đồng biến trên khoảng J4.
Ta có bảng:
x 2/3
/4
2/
y
3 /2
2
b. Hàm số g(x) = tanx đồng biến trên khoảng J1, và ta có bảng:
x
3/2
+

y 0
Hàm số g(x) = tanx đồng biến trên khoảng J2, và ta có bảng:
x /4
/4
1
y 1
31 33


Ta có nhận xét J3 = (
;
) = (8 ; 8 + )
4
4
4
4

23



mà trong khoảng ( ; ) hàm số g(x) = tanx đồng biến. Do đó,
4 4
hàm số g(x) = tanx cũng đồng biến trên khoảng J3 Bảng tơng tự
nh trên.


Chú ý:

Chúng ta cũng có thể trình bày về tính đồng biến

của các hàm số dựa trên bảng ghi nhớ nh sau:
a. Vì hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng:
Đk = (

75)



+ 2k,
+ 2k) với k Â
2
2



và J2 = ( ; ) Đ0 = ( , ) (ứng với k = 0)
4 4
2 2
hàm số y = sinx đồng biến trên J2.
31 33
15 17
J3 = (
;
) Đ4 = (
,
) (ứng với k = 4)
4
4
2
2

hàm số y = sinx đồng biến trên J3.
b. Vì hàm số y = cosx đồng biến trên khoảng Đ k = (
+ 2k, 2k) với k  và:
3
J1 = ( ;
) Đ1 = (, 2) (ứng với k = 1)
2
hàm số y = cosx đồng biến trên J1.
452
601
J4 = (
;
) Đ75 = (151, 150) (ứng với k =
3
4

hàm số y = cosx đồng biến trên J4.

c. Vì hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng Đk = (

+ k) với k  và:
2
3
3 5
J1 = ( ;
) Đ2 = ( ,
) (ứng với k = 2)
2
2
2

hàm số y = tanx đồng biến trên J1.


J2 = ( ; ) Đ0 = ( , ) (ứng với k = 0)
2 2
4 4
hàm số y = tanx đồng biến trên J2.
31 33
15 17
J3 = (
;
) Đ8 = (
,
) (ứng với k = 8)
4
4
2
2
hàm số y = sinx đồng biến trên J3.

k,

24


+
2


Thí dụ 2. a. Từ đồ thị của hàm số y = cosx, hãy suy ra đồ thị

của các hàm số
y = cosx + 2, y = cos(x


) và vẽ đồ thị của các
4

hàm số đó:
b. Hỏi mỗi hàm số đó có phải là hàm số tuần hoàn
không ?



Giải
a. Ta lần lợt có:
Tịnh tiến đồ thị của hàm số y = cosx theo trục Oy lên trên 2
đơn vị ta đợc đồ thị hàm số y = cosx + 2, ta có hình vẽ a).
y
3

y =
cos
x +
2

1

y
1

y = cos(x )

/2

O /2
x
x
y
=
y
1

cosx
= /
1
Hình
c 2
H
b
o
ì
Tịnh tiến đồ thị của hàm số y = cosx theo trục Ox sang
s
n


x một đoạn
h
phải
ta đợc đồ thị hàm số y = cos(x ), ta có

4
4
hình vẽ b).a
b. Mỗi hàm số đó đều là hàm số tuần hoàn.


O


/
2



Thí dụ 3. Xét hàm số y = f(x) = sinx.
a. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên chẵn m ta có f(x
+ m) = f(x) với mọi x.
b. Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [1 ; 1].
c. Vẽ đồ thị hàm số đó.



Giải
a. Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số sin (cụ thể sin( + 2k)
= sin), khi đó với m là số chẵn (m = 2k, k Z) ta có ngay:
f(x + m) = sin(x + 2k) = sin(x + 2k) = sinx = f(x) với mọi x.
y
b. Ta có bảng biến thiên nh sau:
1
x

1
1/
0
1/
1
2
2
x
1/
1
1
1/2
2
O
y
=
1
sinx 25


1

0

y=
2sin2x

0

0

1

c. Đồ thị của hàm số y = sinx đợc minh hoạ trong hình bên.

Thí dụ 4. Chứng minh rằng mọi giao điểm của đờng thẳng
x
với đồ thị của hàm
3
số y = sinx đều cách gốc toạ độ một khoảng ynhỏ hơn
B y
y
10 .
1
1
A
=
=

Giải

O 1
Từ hình vẽ, giả sử rằng:
x
/
1 A
x
y/
2
Đờng thẳng y =

cắt đồ thị
2 B/

3
3
2
1
=
hàm số y = sinx tại A1 và A2
2
thì OA1 = OA2.

x
Đờng thẳng y =
cắt hai đờng thẳng y = 1 và y = 1 tại B1(3;1
3
1) và B2(3; 1) thì OB1 = OB2.
Khi đó, ta có ngay:
OA1 = OA2 < OB1 = 32 + 12 = 10 , đpcm.

xác định bởi phơng trình y =




Chú ý: Chúng ta cũng có thể trình bày nh sau:
Giao điểm A(x0; y0) của đờng thẳng y =
hàm số y = sinx có toạ độ thoả mãn:
x
y0 = sinx0 và y0 = 0 x0 = 3y0 = 3sinx0,

3
từ đó, suy ra A(3sinx0; sinx0) và do đó:
OA =

(3sinx0 )2 + (sinx0 )2 =

x
với đồ thị
3

10sin2 x0 =

10
bởi sinx0 1.

Đ2. Phơng trình lợng giác cơ bản
Dạng toán 1:
26

Phơng trình sinx = m

10 sinx0 <

x


Thí dụ 1. Giải các phơng trình sau:
a. sin4x = sin

.
5

1
x +
ữ= .
2
5

b. sin

a. Ta có biến đổi:

k


4x = 5 + 2k
x = 20 + 2


, k Â.
4x = + 2k
x = + k


5
5 2
Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm.
b. Ta có biến đổi:

11
x +

= + 2k
x=
+ 10k



5
6
6
x+
sin

,k Â
ữ = sin( ) x +

29
6
5

= + + 2k x =
+ 10k
5

6
6
.
Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm.

Thí dụ 2. Tính các góc của ABC, biết AB =
và đờng AH = 1cm.



2 cm, AC =

3 cm

Giải
Trong tam giác vuông HAB, ta có:
= 450
B
1
AH
sin B =
=
= sin450
.
= 1350
2
AB
B

Trong tam giác vuông HAC, ta có:
350
C
1
AH

sin C =
=
sin350
.
1450
3
AC
C
Giá trị C 1450 không đợc chấp nhận vì khi đó B + C > 1800,
mâu thuẫn, do đó ta luôn có C 350.
Khi đó:
350 thì ta đợc  = 1800 B
1000.
= 450 và C
C
Với B
350 thì ta đợc  = 1800 B
100.
= 1350 và C
C
Với B

Thí dụ 3. a. Chứng minh rằng sin


3 1
=
.
12 2 2

b. Giải phơng trình 2sinx 2cosx = 1 3 bằng cách
biến đổi vế trái về dạng Csin(x + ).
c. Giải phơng trình 2sinx 2cosx = 1 3 bằng cách
bình phơng hai vế.
27




Giải
a. Ta có:






= sin ữ = sin .cos cos .sin
12
3
4
3
4
3 4
1
1 1
3 1
3
2
2

3 1
=
.
.
=
.
.
=
, đpcm.
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
b. Biến đổi phơng trình về dạng:


3 1

2 2 sin(x ) = 1 3 sin(x ) =
= sin( )
4
4
12
2 2

x = 6 + 2k
x 4 = 12 + 2k


, k Â.
x = 4 + 2k
x = + + 2k


3
4
12
Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm.
c. Biến đổi phơng trình về dạng:
4(sinx cosx)2 = (1 3 )2 4(1 sin2x) = 4 2 3 sin2x =

sin

3
2




2x = 3 + 2k
x = 6 + k

, k Â.
2x = + 2k
x = + k


3
3
Thử lại:

a. Với họ nghiệm x =
+ k ta cần xét hai trờng hợp về tính
6
chẵn, lẻ của k:
Với k = 2l thì:


2sinx 2cosx = 2sin( + 2l) 2cos( + 2l)
6
6


= 2sin 2cos = 1 3 , đúng.
6
6
Với k = 2l + 1 thì:


2sinx 2cosx = 2sin[ + (2l + 1)] 2cos[ + (2l +

6
6
1)]
7
7
= 2sin
2cos
= 1 + 3 , sai.
6
6

28



+ k ta cần xét hai trờng hợp về tính
3
chẵn, lẻ của k Bạn đọc tự giải tiếp.

b. Với họ nghiệm x =

Thí dụ 4. Giải phơng trình sin(sin2x) = 1.



Giải
Ta có:
sin(sin2x) = 1 sin2x =

1
+ 2k sin2x =
+ 2k, k  .
2
2

(1)
Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:
1
3
1 kZ
+ 2k 1
k
k = 0.
2
4
4
Khi đó (1) có dạng:




2x = + 2l
x = + l


1
6
12
sin2x =

, l Â.
2
2x = 5 + 2l
x = 5 + l


6
12
Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm.

Dạng toán 2:

Phơng trình cosx = m

Thí dụ 1. Giải các phơng trình sau:
a. cos

x
= cos 2 .
2







b. cos x + ữ =

18

2
.
5



Giải
a. Ta có biến đổi:
x
= 2 + 2k x = 2 2 + 4k, k  .
2
Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm.
2
b. Đặt
= cos, ta có biến đổi:
5




cos x + ữ = cos x +
= + 2k x =
+ 2k,
18
18
18

k Â.
Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm.


Chú ý: Với câu b) ta còn có thể trình bày nh sau:
29


x+


2
2

= arccos + 2k x = arccos
+ 2k,
18
5
5 18
k Â.

Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm.
Thí dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số y =

sin(x 2)
.
cos 2x cos x

Giải
Điều kiện để hàm số xác định là:
cos2x cosx 0 2cos2x cosx 1 0
x 2k
cos x 1


2k

x
, k Â.
2
1
x


+
2k

cos
x


3


3
2

2k

Vậy, ta đợc tập xác định của hàm số là D = Ă \{
}, với k  .
3


2
Thí dụ 3. Giải phơng trình cos[ cos(x
)] =
.
2
4
2



Giải
Phơng trình tơng đơng với:

1


2 cos(x 4 ) = 4 + 2k
cos(x 4 ) = 2 + 4k (1)


, k Â.
cos(x ) = + 2k
cos(x ) = 1 + 4k (2)
2

4
4
4
2
Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:
1
3
1 kZ
+ 4k 1 k
k = 0.
2
8
8
Khi đó (1) có dạng:

7


x = + 2l

x = 12 + 2l

1
4 3
cos(x
)=


, l  . (3)
4

2
x = + 2l
x = + 2l


4
3
12
Phơng trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi:
1
1
3 kZ
+ 4k 1 k
k = 0.
2
8
8
Khi đó (2) có dạng:
2
11


x =
+ 2l
x=
+ 2l



1

4 3
12
cos(x
) =

, l  . (4)

2
5
4
2

x =
+ 2l
x = + 2l


4
3
12

30


Kết hợp (3) và (4), ta đợc:
11

x = 12 + l

, l Â.

x = 7 + l

12
Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm.

Dạng toán 3:

Phơng trình tanx = m

Thí dụ 1. Giải các phơng trình sau:
a. tan(x 150) = 5.
b. tan(2x 1) =
c.

3.

x
tan(2x + 450).tan(1800 ) = 1.
2



Giải
a. Đặt 5 = tan, ta có biến đổi:
tan(x 150) = tan x 150 = + k1800 x = 150 + + k1800, k
Â.
Vậy, phơng trình có một họ nghiệm.
b. Ta có biến đổi:

1

k
tan(2x 1) = tan 2x 1 =
+ k x =
+
+
,k
3
3
2
6
2
Â.
Vậy, phơng trình có một họ nghiệm.
c. Biến đổi phơng trình về dạng:
x
tan(2x + 450) = cot(1800 ) tan(2x + 450) = tan(900 1800
2
x
+ )
2
x
x
tan(2x + 450) = tan( 900) 2x + 450 =
900 + k1800
2
2
x = 900 + k1200, k  .

Chú ý: Với câu a) ta còn có thể trình bày nh sau:
tan(x 150) = 5 x 150 = arctan5 + k1800 x = 150 +
arctan5 + k1800.
Vậy, phơng trình có một họ nghiệm.
Thí dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số y =



tan x
.
1 + tan x

Giải

31