4 gioi han cua day so DE 2

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

Chuyên đề : Giới hạn-

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (ĐỀ 02)

Câu 1: Dãy số nào dưới đây có giới hạn khác 0 ?
cos n
n .
A.

1
B. n .

2n + 1
C. n .

1
D. n .

Lời giải
Chọn C
−1 cos n 1
−1
1
cos n
<
<
lim = lim = 0
lim

=0
n
n
n
n
n
n
mà
nên
theo
nguyên
lý
kẹp
. Loại A.
Ta có
1
2+
2n + 1
n =2
lim
= lim
n
1
Hơn nữa,
.

Câu 2: Dãy số

( un )

với

un =

3
A. 2 .

n2 + n + 5
2n 2 + 1 có giới hạn bằng:
1
B. 2 .
C. 2 .

D. 1 .

Lời giải
Chọn B
1 5
1+ + 2
n2 + n + 5
n n =1
lim
= lim
2
1
2n + 1
2
2+ 2
n
Ta có:

.

Câu 3:

2n + b
5n + 3 . Để dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn, giá trị của b bằng:
Dãy số
với
A. b là một số thực tùy ý.
B. b nhận một giá trị duy nhất là 2 .

( un )

un =

C. Không tồn tại b .

D. b nhận một giá trị duy nhất là 5 .
Lời giải

Chọn A
b
2+
2n + b
n = 2 , ∀b
lim un = lim
= lim
3 5
5n + 3
5+

n
Ta có:
.

Câu 4:

lim ( −3n3 + 2n 2 − 5 )
A. −3 .

bằng
B. −6 .

C. −∞ .

D. +∞ .

Lời giải
Trang 1 |

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

Chuyên đề : Giới hạn-

Chọn C

2 5


lim ( −3n3 + 2 n2 − 5 ) = lim n3  −3 + − 3 ÷ = −∞
n n 

Ta có:
.

Câu 5:

 2n3 − 5n + 3 
lim 
÷
3
2
 3n − n  bằng
A.

−

3
2.

2
B. 3 .

D. +∞ .

C. 3 .
Lời giải

Chọn B
5 3

2
−
+ 3
2

 2n − 5n + 3 
n
n
lim 
÷ = lim 
3
2
1
3
n
−
n


 3−
n

Ta có:
3

( un )

Câu 6: Dãy số
A. −1 .


÷ 2
÷=
÷ 3

.

3 3
với un = n + 1 − n có giới hạn bằng:
B. 2 .
C. 1 .

D. 0 .

Lời giải
Chọn D

lim un = lim

(

3

)

n3 + 1 − n = lim

(

3

Ta có:
= lim

Câu 7: Cho

(

3

)




  n. 3 1 + 13 ÷ + n 2 . 3 1 + 13 + n 2 ÷

÷
n 
n



an

n

n

lim

an
= −∞
bn
.

lim

an
= −1
bn
.

A.

C.

và

(

3

3

)

)

2

n3 + 1 + n. 3 n3 + 1 + n 2 ÷

2

n3 + 1 + n. 3 n3 + 1 + n 2

3

n3 + 1 − n3
2

( −1)
=

)(


n3 + 1 − n 


bn =

= lim

1
2




1
1
2
n   3 1 + 3 ÷ + 3 1 + 3 + 1÷

÷
n 
n



=0

.

1
n . Khi đó:
an
B. Không tồn tại giới hạn của dãy bn .
lim
D.

an
=1
bn
.

Lời giải
Chọn B
Trang 2 |

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

Ta đặt:

un =

Chuyên đề : Giới hạn-

an
n
= ( −1)
bn
. Theo nhận xét trong SGK thì dãy này không tồn tại giới hạn.

Hoặc ta có thể chứng minh không tồn tại giới hạn bằng 2 cách sau:
Cách 1: Phản chứng
Giả sử tồn tại giới hạn lim un = x ∈ ¡ . Khi đó:
lim un +1
u
( −1) = −1
1=
= lim n+1 = lim

n
lim un
un
( −1)
n +1

: vô lý!

Cách 2: Xét 2 dãy con
Xét hai dãy con của
lim u2 n = lim ( −1)

2n

( un )

=1

là

và

( u2n )

và

( u2n +1 ) . Ta có:

lim u2 n +1 = lim ( −1)

2 n +1

= −1

. Do đó, hai dãy giới hạn của

( un )

không

tồn tại.

( un )

Câu 8: Cho

và

( vn )

là hai dãy số có giới hạn (hữu hạn hoặc vô cực). Khẳng định nào sau đây là

đúng:
A.

C.

lim 3 un = 3 lim un

lim un = lim un

.

lim

1
1
=
un lim un .

lim

un lim un
=
vn lim vn .

B.

.

D.
Lời giải

Chọn A

-

1
1
=

u
=
n
Xét dãy n
, biểu thức lim n +∞ không có nghĩa. Loại B.

( −1)
=

( −1)
lim

n

n

lim un =
=0
n
không xác định khi n lẻ, nhưng
. Loại C.
u
lim un lim n +∞
lim n = 1,
=
=
vn
lim vn lim n +∞ không xác định. Loại D.
Xét dãy un = vn = n , biểu thức
Xét dãy

un

n

,

un

n3 + n
6n + 2 bằng

3

Câu 9:

lim

1
A. 6 .

1
B. 4 .

3

2
C. 6 .

D. +∞ .

Lời giải
Chọn A
Trang 3 |

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

Chuyên đề : Giới hạn-

1
1
3 1+
2
n +n
n = lim
n2 = 1
lim
= lim
2
2 6
6n + 2


n6 + ÷
6+ ÷
n

n


Ta có:
.
3

n. 3 1 +

3

3

lim

Câu 10: Kết quả đúng của
1
A. 3 .

n3 + 5n 2 − 7
3n 2 − n + 2 là
1
C. 3 .

B. −∞ .

D. 0 .

Lời giải
Chọn C

5 7
−
3
n + 5n − 7
n n3 = 1
lim
= lim
1 2
3
3n 2 − n + 2
3− + 2
n n
Ta có:
.
3

3

L = lim  n

Câu 11: Nếu
A. 3 .

3

2

(

1+

)

n2 + n + 1 − n2 + n − 6 
 thì L bằng
7
B. +∞ .
C. 2 .

7 −1 .

D.

Lời giải
Chọn C
Nhân lượng liên hợp, ta được:
L = lim  n

= lim

(


n
n 2 + n + 1 − n 2 + n − 6  = lim 


)

7

1 1
1 6 
 1+ + 2 + 1+ − 2 ÷
n n
n n 


2n + 3n3
4n 2 + 2n + 1 bằng
Câu 12:
3
A. 4 .

=

(

) (

)

2

n2 + n − 6 ÷

2
2
n + n +1 + n + n − 6

2

n2 + n + 1 −

7
2
.

lim

B. +∞ .

C. 0 .

5
D. 7 .

Lời giải
Chọn B
Trang 4 |

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

Chuyên đề : Giới hạn-

2

+ 3n
2n + 3n3
lim 2
= lim n
= +∞
2 1
4n + 2n + 1
4+ + 2
n n
Ta có:
.
1

lim

n 2 + 2 − n 2 + 4 bằng

Câu 13:

B. +∞ .

A. 0 .

C. −∞ .

D. 1 .

Lời giải
Chọn C

1

lim

n +2− n +4
2

Ta có:

Câu 14. Kết quả
A. 10 .

lim

(

2

n + 10 − n

= lim

n +2+ n +4
2

(

n2 + 2

2

) −(
2

n2 + 4

)

2


2
4 
n  1+ 2 + 1+ 2 ÷
n
n 
= lim 
= −∞
−2
.

)

là
B. +∞ .

D. −10 .

C. 0 .
Lời giải

Chọn C
lim

(

Câu 15. Tính

)

n + 10 − n = lim
lim

n + 10 − n
10
= lim
=0
n + 10 + n
n + 10 + n
.

n + 2n 2
n3 + 3n − 1 . Kết quả là:

A. 2 .

2
C. 3 .
Lời giải

B. 1 .

D. 0 .

Chọn D
1 2
+
2
n + 2n
n
n =0
lim 3
= lim
3 1
n + 3n − 1
1+ 2 − 3
n n
.
2

Câu 16. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0 ?
A.

lim

3 + 2n3
2n 2 − 1 .

B.

lim

2n 2 − 3
−2 n 3 − 4 .

lim

C.
Lời giải

2 n − 3n 3
−2 n 2 − 1 .

D.

lim

2n 2 − 3n 4
−2 n 3 + n 2 .

Chọn B
2 3
−
2n 2 − 3
n n3 = 0
lim
=
lim
4
−2n3 − 4

−2 − 3
n
.
Câu 17. Dãy số nào sau đây có giới hạn +∞ ?

Trang 5 |

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

A.
C.

un =

9n 2 + 7 n
n + n2 .

un =

2007 + 2008n
n +1
.

Chuyên đề : Giới hạn-

2

B. un = 2008 − 2007 n .
2
D. un = n + 1 .
Lời giải

Chọn D
 
1 
lim un = lim ( n 2 + 1) = lim  n 2 1 + 2 ÷ = +∞
2
  n 
vì lim n = +∞ .
v
1
2
lim n
un =
vn =
un bằng:
n + 1 và
n + 2 . Khi đó
Câu 18. Cho
A. 1 .
B. 2 .
C. 0 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn B

2
2+
2 ( n + 1)
vn
n =2
lim = lim
= lim
2
un
n+2
1+
n
.

Câu 19. Trong các dãy số có số hạng tổng quát un sau đây, dãy số nào có giới hạn 0 ?
A.

un =

n
n+2 .

B.

un =

1− n
1+ n .

un =

C.
Lời giải

n +1
n +1 .

D.

un =

n
n +1 .

Chọn C
1 1
+
n +1
n
n
lim un = lim
= lim
=0
1
n +1
1+
n
.

Câu 20. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng

A.
C.

un =

− n 4 + 2n3 − 1
3n3 + 2n 2 − 1 .

un =

n 2 − 3n3
9n 3 + n 2 − 1 .

−

1
3?
−2 n + n 2
3n 2 + 5 .
B.
− n 2 + 2n − 5
un = 3
3n + 4n − 2 .
D.
Lời giải
un =

Chọn C
1
−3

n
= lim
1
n 2 − 3n3
1 1
lim un = lim 3
9+ − 3 = −
2
n n
3.
9n + n − 1
2
4
5n − 3n
lim 4
4n + 2n + 1 bằng
Câu 21.
5
3
A. 0 .
B. 4 .
C. 4 .
Lời giải
Chọn D
Trang 6 |

D.

−

3
4.

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

Chuyên đề : Giới hạn-

5
−3
n2
=
lim
5n 2 − 3n 4
3
2 1
lim 4
4+ 3 + 4 = −
n n
4n + 2n + 1
4
u
v
w
Câu 22. Cho ba dãy số ( n ) , ( n ) , ( n ) . Nếu un ≤ vn ≤ wn với mọi n và lim un = lim vn thì
A. lim un = lim vn = lim wn .
B. Chưa đủ thông tin để kết luận cho lim wn .

C. lim un = lim vn > lim wn .
D. lim un = lim vn < wn .
Lời giải
Chọn B
1
1
1
un =
vn =
wn = + 1
lim
w
n . Ví dụ như ta xét ba dãy:
n +1 ,
n,
n .
Chưa đủ thông tin để kết luận cho
Ta luôn có: un ≤ vn ≤ wn và lim un = lim vn = 0 nhưng lim wn = 1 .

Câu 23. Tính

lim

4
A. 3 .

5n + 2
3n − 1 ta được kết quả:
5
B. 3 .

5
C. 9 .
Lời giải

3
D. 5 .

Chọn B
2
n
= lim
5n + 2
1 5
lim
3− =
n 3.
3n − 1
Câu 24. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0 ?
5+

2n + 3
lim
1 − 2n .
A.
1 − n3
lim 2
n + 2n .
C.

B.

( 2n + 1) ( n − 3)
lim
n − 2n 3

2

.

2 +1
3.2n − 3n .
n

lim

D.
Lời giải

Chọn D
n

n

 2 1
 ÷ + ÷
0+0
3
3
= lim   n  =

=0
3.0 − 1
2
2n + 1
3.  ÷ − 1
lim n n
3
3.2 − 3
.
Câu 25. Dãy số nào đau đây có giới hạn là −∞ ?
2
4
3
A. un = 3n − n .
B. un = n − 3n .

2
3
C. un = −n + 4 n .
Lời giải

3
4
D. un = 3n − 2n .

Chọn D
 3

3


lim un = lim ( 3n3 − 2n 4 ) = lim  n 4  − 2 ÷ = −∞
lim  − 2 ÷ = −2 < 0
4

 n
n

do lim n = +∞ và
.
3
100n + 7n − 9
lim
1000n 2 − n + 1 là
Câu 26.
1
A. −9 .
B. +∞ .
C. −∞ .
D. 10 .
Lời giải
Chọn B
Trang 7 |

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

Chuyên đề : Giới hạn-

7 9 

 100 + n 2 − n3 ÷
100n3 + 7 n − 9
lim
= lim  n.
÷ = +∞
1
1
1000n 2 − n + 1
 1000 − + 2 ÷
n n 

7 9
100 + 2 − 3
n n = 1 >0
lim
1 1
1000 − + 2 10
n n
do lim n = +∞ và
.
Câu 27.

Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A.

C.

lim

2n + 3n
= −3
2n − 1

lim

2n + 3n
= +∞
2n − 1
.

B.

D.

lim

2 n + 3n
=1
2n − 1
.

lim

2n + 3n
= −∞
2n − 1
.

Lời giải
Chọn C

  2 n  
+ 1÷

n 
 ÷
÷
2n + 3n
 3    3 
  = +∞
lim n
= lim  ÷ .
n 
2 −1
2  1 


 1 −  ÷ ÷
÷
2





Ta có:
.

Câu 28.

lim

(

n2 − n + 1 − n

A. −∞ .

) bằng
C. 0 .

B. 1 .

D.

−

1
2.

Lời giải
Chọn C

lim
Ta có:

(

(
n − n + 1 − n ) = lim
2

= lim

n2 − n + 1 − n

)(

n2 − n + 1 + n

)

n2 − n + 1 + n

−n + 1
1
=−
2
1 1
n 1− + 2 + n
n n

Câu 29. Xét các câu sau:
(1) lim un = +∞ nếu kể từ một số hạng nào đó trở đi thì các số hạng của dãy đều lớn hơn một số
dương tuỳ ý cho trước.
(2) lim un = −∞ nếu kể từ một số hạng nào đó trở đi thì các số hạng của dãy đều nhỏ hơn một số
dương tuỳ ý cho trước.
Trang 8 |

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

Chuyên đề : Giới hạn-

(3) Mọi dãy có giới hạn +∞ hoặc −∞ đều là dãy không bị chặn.
(4) Mọi dãy không bị chặn đều có giới hạn +∞ hoặc −∞ .
Trong các câu trên, chỉ có các câu sau đúng:
A. (1) và (3) .
B. (1), (2) và (3) .

C. (1), (2), (3) và (4) . D. (1), (3) và (4) .
Lời giải

Chọn C.
(2) sai vì: kể từ một số hạng nào đó trở đi thì các số hạng của dãy đều nhỏ hơn một số ÂM tuỳ ý
cho trước.
un = ( −1) n
n

(4) sai vì có thể dãy không tồn tại giới hạn, ví dụ

Câu 30.

lim

.

2n 4 − 2n + 2
4n 4 + 2n + 5 bằng

A. +∞ .

1
B. 2 .

C. 0 .

3
D. 11 .

Lời giải
Chọn B

2 2
2− 3 + 4
2n 4 − 2n + 2
n n =1
lim 4
= lim
2 5
4n + 2n + 5
4+ 3 + 4 2
n n
Ta có:
.

1 − 2n
3n + 1 bằng
Câu 31.
1
A. 2 .
lim

B.

−

2
3.

C. 0 .

D. 1 .

Lời giải
Chọn C
n


1
− 1
n 

n
÷
1− 2

2
2
lim n
= lim   ÷ ×  n  = 0
3 +1
 3 
1 
1+  ÷ 

 3 

Ta có:
.

Câu 32.

lim

9n 2 − n
2 − 3n bằng

A. 0 .

B. 3 .

C. −1 .

D. −3 .

Lời giải

Chọn C
Trang 9 |

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

Chuyên đề : Giới hạn-

1
1
9−
9n − n
n = lim
n = −1
lim
= lim
2 − 3n
2

2

n  − 3÷
 − 3÷
n

n


Ta có:
.
n 9−

2

Câu 33.

(u )
u = n 2 + an + 5 − n 2 + 1 , trong đó a là một hằng số. Để lim un = −1 thì
Cho dãy số n với n
giá trị của a là:
A. 3 .
B. 2 .
C. −3 .
D. −2 .
Lời giải
Chọn D
Ta có:

lim un = lim
= lim

= lim

(

n 2 + an + 5 − n 2 + 1

)

an + 4
n 2 + an + 5 + n 2 + 1
a+

4
n

a
= .
a 5
1 2
1+ + 2 + 1+
n n
n

a
= −1 ⇔ a = − 2
Để lim un = −1 thì 2
.

Câu 34.

( −1)
L = lim

n + 4 . Khi đó L bằng

Gọi
A.

n

−

1
4.

B. −1 .

C.

−

1
5.

D. 0 .

Lời giải
Chọn D

( −1)
Do

n

n
1
1

−1)
(
≤ ; lim = 0
⇒ L = lim
=0
n+4 n
n
n+4

.

Câu 35. Trong bốn giới hạn sau, giới hạn nào bằng −1 ?
A.

lim

n2 − n3
2n 3 + 1 .

B.

lim

2n + 3
2 − 3n .

C.

lim

n2 + n
−2 n − n 2 .

D.

lim

n3
n2 + 3 .

Lời giải
Chọn C

Trang 10 |

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

Chuyên đề : Giới hạn-

1
1+
n2 + n
n = −1
lim
= lim
2

−2n − n 2
− −1
n
Ta có:
.

Câu 36.

( un )

Dãy số
A. −3 .

với

un =

1 − 3n − 5n 2
cos n + n 2 có giới hạn bằng
B. −4 .
C. −5 .

D. −2 .

Lời giải
Chọn C
1 3
− −5
1 − 3n − 5n 2
n2 n

lim un = lim
=
lim
= −5
cos n
cos n + n 2
+1
n2
Ta có:
.
lim
Câu 37.

1
n 2 + n − n bằng
B. +∞ .

A. 0 .

C. −2 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn D
lim

Ta có:

1

n2 + n − n

= lim

(

= lim

n2 + n + n
n2 + n − n

)(

n2 + n + n

)

1
+n


1
n
= lim  1 + + 1 ÷ = 2
n
n



n 1+

 n 2 − n 2 sin n 2 
lim 
+
÷
1 − 2n 2
n 

Câu 38.
bằng

A. −1 .

B. 1 .

1
C. 2 .

D.

−

1
2.

Lời giải
Chọn D
1



 1 − n 2sin n 2 ÷
 n 2 − n 2 sin n 2 
1
lim 
+
= lim 
+
÷= −
÷
2
1
2
n 
n ÷
 1 − 2n
 2 −2
n


Ta có:
.

Trang 11 |

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN


Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN
Lớp 11

Chuyên đề : Giới hạn-

n

 3
un +1 − 2 < 
÷
 2  , với mọi n . Khi đó:
Câu 39. Giả sử
A. lim un = 4 .
B. Không đủ thông tin để tính giới hạn của dãy số

( un ) .

C. lim un = −∞ .
D. lim un = 2 .
Lời giải
Chọn D
n

n

 3
 3
un +1 − 2 < 
÷ ;lim 
÷ =0
2 
2 
⇒ lim ( un +1 − 2 ) = 0 ⇔ lim ( un ) = 2



Do

lim
Câu 40.

2n + 3
2n + 5 bằng

5
A. 2 .

5
B. 7 .

C. +∞ .

D. 1 .

Lời giải
Chọn D

3
2n + 3
n =1
lim
= lim
5
2n + 5

2+
n
Ta có:
.
2+

Trang 12 |

Nhóm WORD HÓA TÀI LIỆU TOÁN