Chuyen de 4 phuong trinh bac 2 pdf

ĐẠI SỐ 9 - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY

Chuyên đề 4 : PHƢƠNG TRÌNH BẬC 2 MỘT ẨN
A. PHƢƠNG TRÌNH BẬC 2 MỘT ẨN
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Công thức nghiệm:
Phƣơng trình bậc 2: ax2+bx+c = 0 (a  0) có:
 = b2- 4ac
+Nếu  < 0 thì phƣơng trình vô nghiệm
+Nếu  = 0 thì phƣơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

b
2a

+Nếu  > 0 thì phƣơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =

b 
;
2a

x2 =

b 
2a

2. Công thức nghiệm thu gọn:
Phƣơng trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có ’=b’ 2- ac ( b =2b’ )
+Nếu ’ < 0 thì phƣơng trình vô nghiệm
+Nếu ’= 0 thì phƣơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

b
a

+Nếu ’> 0 thì phƣơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =

 b  '
;
a

x2 =

 b  '
a

II. BÀI TẬP

Giải phƣơng trình
a) x2 - 49x - 50 = 0
b) (2- 3 )x2 + 2 3 x – 2 – 3 = 0
Hướng dẫn
a) Giải phƣơng trình x2 - 49x - 50 = 0 (a = 1; b = - 49; c = 50)
 = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601;  = 51
Do  > 0 nên phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt:
Bài 1:

x1 

 (49)  51

 (49)  51
 1 ; x2 
 50
2
2

b) Giải phƣơng trình (2- 3 )x2 + 2 3 x – 2 – 3 = 0
Giải:
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 2- 3 ; b = 2 3 ; c = – 2 – 3 )
1
ĐT: 01663837616 ----------------------------------- CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI


ĐẠI SỐ 9 - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY
 = (2 3 )2- 4(2- 3 )(– 2 – 3 ) = 16;  = 4
Do  > 0 nên phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 

2 34
2 34
 1 ; x2 
 ( 7  4 3 )
2(2  3 )
2(2  3 )

+ Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn
(a = 2- 3 ; b’ = 3 ; c = – 2 – 3 )
’ = ( 3 )2 - (2 - 3 )(– 2 – 3 ) = 4;  = 2
Do ’ > 0 nên phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt:

x1 

 32
 32
 1 ; x2 
 (7  4 3 )
2 3
2 3

Bài 2:
Giải các phƣơng trình sau:
2
1. 3x – 7x - 10 = 0
2. x2 – 3x + 2 = 0
3. x2 – 4x – 5 = 0
4. 3x2 – 2 3 x – 3 = 0

5. x2 – (1+ 2 )x + 2 = 0
6. 3 x2 – (1- 3 )x – 1 = 0
7.(2+ 3 )x2 - 2 3 x – 2 + 3 = 0

III. CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

1. Phƣơng trình có ẩn số ở mẫu.
* Phương pháp giải:
- Tìm điều kiện xác định
- quy đồng các phân thức, bỏ mẫu
-Giải phương trình
- So sánh giá trị tìm được với điều kiện, kết luận nghiệm
2x

x2  x  8
Ví dụ 1: Giải phƣơng trình
(2)

x  1 ( x  1)( x  4)

Giải
+ ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thì
+ (2)  2x(x- 4) = x2 – x + 8  x2 – 7x – 8 = 0 (*)
+ Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phƣơng trình (*) có nghiệm x1 =1(không thoả mãn ĐK) ; x2 = 8 (thoả mãn ĐK)
Vậy phƣơng trình (2) có nghiệm x = 8
Bài 1: Giải các phƣơng trình sau:

2
ĐT: 01663837616 ----------------------------------- CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI


ĐẠI SỐ 9 - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY

x
x3

6
x  2 x 1
2x  1
x3
b)
3
x
2x  1

2
2
t
2t  5t
c)
t 
t 1
t 1
a)

2. Phƣơng trình chứa căn thức.
 A  0 (hayB  0)
Lo¹i A  B  
A  B

B  0
AB
2
A  B
Bài 1: Giải các phƣơng trình sau:
Lo¹i

a)

2x 2  3x  11  x 2  1

b)

c)

2x 2  3x  5  x  1

d)

x  22  3x 2  5x  14
x  12x  3  x  9

e) x  1 x 2  3x

3.Phƣơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
* Phƣơng pháp:
- Xem xét điều kiện (chú ý |x|≥0 ∀x)
 xkhix  0
 xkhx  0

- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối | x | 

Bài 1: Giải các phƣơng trình sau:
a) x  1  x 2  x  3

b) x  2  2x  1  x 2  2x  3

c) x 4  2x 2  2  x 2  x  x 4  4x

d) x 2  1  x 2  4x  4  3x

4. Phƣơng trình trùng phƣơng.
* Phương pháp:
- Đặt x2=t (t≥0)
- Giải phương trình bậc 2 theo t

- So sánh nghiệm t tìm được với điều kiện, nếu t thỏa mãn thay lại tìm x
Ví dụ: Giải phƣơng trình 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 (3)
Giải
4
2
Ta có: (3)  5x – 3x – 26 = 0
Đặt x2 = t (t  0) thì (3)  5t2 – 3t – 26 = 0
3
ĐT: 01663837616 ----------------------------------- CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI


ĐẠI SỐ 9 - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY
Xét  = (-3)2 – 4.5.(-26) = 529.   = 23
Nên: t1 =
Với t =

 (3)  23 13
 (thoả mãn t  0) ;
2.5
5

t2 =

 (3)  23
 2 (loại)
2.5

13
13
13

 x2 =  x = 
5
5
5
13
; x2 =
5

Vậy phƣơng trình (3) có nghiệm x1 = 

13
5

Bài 1: Giải các phƣơng trình sau:
a) 4x4 + 7x2 – 2 = 0 ;
b) x4 – 13x2 + 36 = 0;
c) 2x4 + 5x2 + 2 = 0 ;
d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – 9
= 0.
5. Phƣơng trình bậc cao.
* Phương pháp: đưa về dạng tích hoặc đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai:
- Chú ý: phương trình bậc 3 nhẩm nghiệm (hoặc giải bằng máy tính) để đưa về
dạng tích.
Ví dụ 1: Giải phƣơng trình x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 (1)
Giải
PT(1)  (x2 - 2)(x + 3) = 0  (x + 2 )(x - 2 )(x + 3) = 0
x=- 2;x= 2;x=-3
Vậy phƣơng trình (1) có nghiệm x = - 2 ; x = 2 ; x = - 3
Ví du 2: Giải phƣơng trình 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0 (4)
Giải

Đặt x2+x = t . Khi đó (4)  3t2 – 2t – 1 = 0
Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nên t1 = 1; t2 = 

1
3

t1 = 1 x2+x = 1 x2 + x – 1 = 0
1 = 12 - 4.1.(-1) = 5 > 0. Nên x1 =
1
3

 1 5
 1 5
; x2 =
2
2

1
3

t2 =   x2+x =   3x2 + 3x + 1 = 0 (*)
2 = 32 - 4.3.1 = -3 < 0 . Nên (*) vô nghiệm
Vậy phƣơng trình (4) có nghiệm x1 =
Bài 1: Giải phương trình
a) 2x3 – 7x2 + 5x = 0 ;
c) x4 + x3 – 2x2 – x + 1 = 0 ;

 1 5
 1 5
; x2 =

2
2

b) 2x3 – x2 – 6x + 3 = 0 ;
d) x4 = (2x2 – 4x + 1)2.

4
ĐT: 01663837616 ----------------------------------- CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI


ĐẠI SỐ 9 - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY
6. Giải và biện luận phƣơng trình
Phương pháp:
- Xét trường hợp hệ số a=0 (nếu có)
- Tính  theo tham số
+ nếu >0 (giải BPT tìm m) phương trình có 2 nghiệm phân biệt, giải nghiệm
theo m;
+ Nếu =0 ( Gải PT tìm m) phương trình có nghiệm kép, tính nghiệm kép theo
m;
+ Nếu <0 (giải BPT tìm m) thì phương trình vô nghiệm
* Bài toán chứng minh phương trình luôn có nghiệm, nghiệm kép, vô nghiệm
hoặc tìm điều khiện của tham số để phương trình có nghiệm, có 2 nghiệm phân
biệt, có nghiệm kép, vô nghiệm làm tương tự.
Giải phƣơng trình (giải và biện luận): x2 - 2x + k = 0 ( tham số k)
Giải
’
2
 = (-1) - 1.k = 1 – k
Nếu ’< 0  1- k < 0  k > 1  phƣơng trình vô nghiệm
Nếu ’= 0  1- k = 0  k = 1  phƣơng trình có nghiệm kép x1= x2=1

Nếu ’> 0  1- k > 0  k < 1  phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt
x1 = 1- 1  k ; x2 = 1+ 1  k
Kết luận:
Nếu k > 1 thì phƣơng trình vô nghiệm
Nếu k = 1 thì phƣơng trình có nghiệm x=1
Nếu k < 1 thì phƣơng trình có nghiệm x1 = 1- 1  k ; x2 = 1+ 1  k

Ví dụ 1:

Ví dụ 2: Cho phƣơng trình (m - 1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
Giải
a) + Nếu m-1 = 0  m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0  x =

3
(là nghiệm)
2

+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phƣơng trình bậc hai:’=12 - ( -3)(m - 1) = 3m - 2
(1) có nghiệm  ’ = 3m-2  0  m 

2
3

+ Kết hợp hai trƣờng hợp trên ta có: Với m 

2
thì phƣơng trình có nghiệm

3

5
ĐT: 01663837616 ----------------------------------- CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI


ĐẠI SỐ 9 - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY
b) + Nếu m-1 = 0  m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0  x =

3
(là nghiệm)
2

+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phƣơng trình bậc hai có: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm duy nhất  ’ = 3m-2 = 0  m =
Khi đó x = 

2
(thoả mãn m ≠ 1)
3

1
1

3
2
m 1
1
3

+Vậy với m = 1 thì phƣơng trình có nghiệm duy nhất x =
Với m =

3
2

2
thì phƣơng trình có nghiệm duy nhất x = 3
3

c) Do phƣơng trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có:
3
4
3
1
Khi đó (1) là phƣơng trình bậc hai (do m -1 = -1=  ≠ 0)
4
4

(m - 1)22 + 2.2 - 3 = 0  4m – 3 = 0  m =

nghiệm còn lại là x2 = 6
Bài 1. Cho phƣơng trình: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x)
a) Định m để phƣơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này
b) Định m để phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2. Cho phƣơng trình : x2 – 4x + m + 1 = 0. Tìm m để phƣơng trình có
nghiệm.
III. BÀI TẬP
Bài 1: Giải các phƣơng trình sau:
1

3
1
1.
a)
 2

2x  1 x  1 4
c)

2x  2
x2
x 
4
x4

b)

4x x  3

6
x 1
x

d)

x 2  2x  3
2x 2  2

8
x2 9

x 2  3x  2

2.
a) x4 – 34x2 + 225 = 0
c) 9x4 + 8x2 – 1 = 0
e) a2x4 – (m2a2 + b2)x2 + m2b2 = 0

b) x4 – 7x2 – 144 = 0
d) 9x4 – 4(9m2 + 4)x2 + 64m2 = 0
(a ≠ 0)

3.
a) (2x2 – 5x + 1)2 – (x2 – 5x + 6)2 = 0
b) (4x – 7)(x2 – 5x + 4)(2x2 – 7x + 3) = 0
c) (x3 – 4x2 + 5)2 = (x3 – 6x2 + 12x – 5)2
d) (x2 + x – 2)2 + (x – 1)4 = 0
6
ĐT: 01663837616 ----------------------------------- CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI


ĐẠI SỐ 9 - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY
e) (2x2 – x – 1)2 + (x2 – 3x + 2)2 = 0
4.
a) x4 – 4x3 – 9(x2 – 4x) = 0
c) x4 – 10x3 + 25x2 – 36 = 0

b) x4 – 6x3 + 9x2 – 100 = 0
d) x4 – 25x2 + 60x – 36 = 0

a) x3 – x2 – 4x + 4 = 0

c) x3 – x2 + 2x – 8 = 0
e) x3 – 2x2 – 4x – 3 = 0

b) 2x3 – 5x2 + 5x – 2 = 0
d) x3 + 2x2 + 3x – 6 = 0

5.

6.
a) (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = 0
77 = 0

b) (x4 + 4x2 + 4) – 4(x2 + 2) –

c) x2 – 4x – 10 - 3 x  2x  6 = 0

2x  1 
 2x  1 
d) 
  4
3  0
2

 x2 

 x2 

e) x  5  x  x5  x   5
7.
a) (x + 1)(x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24

b) (x + 2)2(x2 + 4x) = 5

1
1
c) 3 x 2  2   16 x    26  0

1
1
d) 2 x 2  2   7 x    2  0



x 



x



x 



x

8.
a)

x 2  4x  x  14

b)

2x 2  x  9  x  1

c)

2x 2  6x  1  x  2

d)

x 3  3x  4  x  2

e)

4x 2  4x  1  x  2  x 2  3

f) x 3  x 2  1  x 3  x  1

9. Định a để các phƣơng trình sau có 4 nghiệm
a) x4 – 4x2 + a = 0
c) 2t4 – 2at2 + a2 – 4 = 0.
Bài 2: Giải các phƣơng trình sau:
1. x3+3x2+3x+2 = 0
2. (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - x + 5)2
3. x4 – 5x2 + 4 = 0
4. 0,3 x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0
5. x3 + 2 x2 – (x - 3)2 = (x-1)(x2-2
6.

b) 4y4 – 2y2 + 1 – 2a = 0

7. (x2 – 4x + 2)2 + x2 - 4x - 4 = 0
2

1
1
8.  x    4 x    3  0
x
x


x2
6
3 
9.
x5
2 x

x
x 1
 10.
3
x 1
x

7
ĐT: 01663837616 ----------------------------------- CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI

ĐẠI SỐ 9 - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY
Bài 3: Giải phƣơng trình
a) (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – 3 = 0 b) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 + 16x + 11 = 0
1 
1


c) x 2  x  2 x 2  x  3  0
d) 4 x 2  2   16 x    23  0
x
x 


x2  x 5
3x
21
e)
 2
40
f) 2
 x 2  4x  6  0
x
x  x 5
x  4x  10
2
x 2 48
x 4
g) 32x 2  3x  1  52x 2  3x  3  24  0
h)

 2  10    0
3 x
3 x
2x
13x
i)
 2
6
k) x 2  3x  5  x 2  3x  7.
2
2x  5x  3 2x  x  3
Bài 4: Giải phƣơng trình
a) 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x +6 = 0
b) 10x4 – 77x3 + 105x2 – 77x + 10 = 0
c) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 = 1
d) (x2 – x +1)4 – 10x2(x2 – x + 1)2 + 9x4 = 0
Bài 5. Cho phƣơng trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0. Chứng minh rằng
phƣơng trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi.
Bài 6 Cho phƣơng trình bậc hai có ẩn x: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0. Chứng tỏ rằng
phƣơng trình có nghiệm x1, x2 với mọi m.
Bài 7. Cho phƣơng trình : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0. C/m phƣơng trình luôn có 2
nghiệm x1, x2 với mọi m
Bài 8. Cho phƣơng trình : (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0 (1). Giải và biện luận
phƣơng trình (1) theo m.

8
ĐT: 01663837616 ----------------------------------- CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI


ĐẠI SỐ 9 - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY

B. HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định lí Vi-ét:
Nếu x1; x2 là nghiệm của phƣơng trình ax2 + bx + c = 0 (a0)
thì : S = x1+x2 =

b
c
; P = x1.x2 =
a
a

2. Ứng dụng:
+Hệ quả 1: Nếu phƣơng trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có: a + b + c = 0 thì phƣơng
trình có nghiệm:

x1 = 1; x2 =

c
a

+Hệ quả 2: Nếu phƣơng trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có: a- b+c = 0 thì phƣơng
trình có nghiệm:

x1 = -1; x2 =

c
a

3. Định lí: (đảo Vi-ét)
Nếu hai số x1; x2 có x1+x2= S ; x1.x2 = P thì x1; x2 là nghiệm của phƣơng
trình : x2- S x+P = 0 (x1 ; x2 tồn tại khi S2 – 4P  0)
Chú ý:
+ Định lí Vi-ét chỉ áp dụng đƣợc khi phƣơng trình có nghiệm (tức là  ≥ 0)
+ Nếu a và c trái dấu thì phƣơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

1. Giải PT bằng cách nhẩm nghiệm
Phương pháp giải :
c
; x1.x2  .
a
c
* Nếu a + b + c = 0 Thì x1 = 1 ; x2 = .
a
c
* Nếu a - b + c = 0 Thì x 1 = -1 ; x2 = a

áp dụng định lí vi-ét: x1  x2  

b
a

*Nhẩm nếu có 2 số m,n để m+n = S, m.n = P thì phương trình có nghiệm x1 =
m ; x2 = n .
Bài 1: Giải các phƣơng trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:
1) 3x2 – 11x + 8 = 0 ;
2) 5x2 – 17x + 12 = 0 ;

3) x2 – (1 + 3 )x + 3 = 0 ;
4) (1 - 2 )x2 – 2(1 + 2 )x + 1 + 3 2 = 0 ;
5) 3x2 – 19x – 22 = 0 ;
6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ;
7) ( 3 + 1)x2 + 2 3 x + 3 - 1 = 0 ;
8) x2 – 11x + 30 = 0 ;
9) x2 – 12x + 27 = 0 ;
10) x2 – 10x + 21 = 0.
9
ĐT: 01663837616 ----------------------------------- CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI


ĐẠI SỐ 9 - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY
2. Không giải phƣơng trình, tính tổng và tích các nghiệm số .
Phương pháp giải :
* Tính   0 để phương trình có nghiệm .
* áp dụng định lí vi-ét: S = x1  x2  

b
a

; P  x1.x2 

c
a

3: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
* Phương pháp: áp đụng định lý Ta-lét đảo
Nếu hai số x1; x2 có x1+x2= S ; x1.x2 = P thì x1; x2 là nghiệm của phương
trình : x2- S x+P = 0 (x1 ; x2 tồn tại khi S2 – 4P  0)

Ví dụ 1: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441
Giải
Du u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phƣơng trình
x2 – 42x + 441 = 0 (*)
Ta có: ’ = (- 21)2- 441 = 0
Phƣơng trình (*) có nghiệm x1 = x2 = 21
Vậy u = v = 21
Bài 1: Tìm hai số u và v biết:
a) u + v = -42 và u.v = - 400
b) u - v = 5 và u.v = 24
c) u + v = 3 và u.v = - 8
d) u - v = -5 và u.v = -10
Bài 2. Tìm kích thƣớc mảnh vƣờn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện
tích bằng 30m2
4. Tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1;x2 của phƣơng trình
bậc hai.
Phƣơng pháp:
- Biểu thức giữa x1;x2 gọi là đốixứng nếu ta thay x1 bởi x2 và x2 bởi x1 thì biểu
thức không thay đổi.
- Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P(tổng và tích các nghiệm).
) x1 2  x22  ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2  S 2  2 P
)

1 1 x1  x2 S
 

x1 x2
x1 x2
P

) x13  x23  ( x1  x2 )3  3x1 x2 ( x1  x2 )  S 3  3PS
2
2
x1 x2 x1  x2 S 2  2 P
)  

x2 x1
x1 x2
P

10
ĐT: 01663837616 ----------------------------------- CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI


ĐẠI SỐ 9 - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY
Ví dụ 1: Cho phƣơng trình x2 + 3 x - 5 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 .
Không giải phƣơng trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A=

1 1
 ;
x2 x2

B = x12 + x22 ;

C=

1
1
 2;

2
x2
x2

D = x13 + x23

Giải
Do phƣơng trình có 2 nghiệm là x1 và x2 nên theo định lí Viet ta có:
x1 + x2 =  3 ;
x1.x2 =  5
A=

x  x2
1
1


 1

x2
x2
x1 .x 2

2

2

3



5

1
15 ;
5

2

B = x1 + x2 = (x1+x2) - 2x1x2= ( 3) 2  2( 5 )  3  2 5
C=

x12  x22 3  2 5 1

 (3  2 5 ) ;
x12 .x22
( 5 ) 2 5

D = (x1+x2)( x12- x1x2 + x22) = ( 3)[3  2 5  ( 5 )]  (3 3  3 15 )
Bài 1: Cho phƣơng trình x2 + 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 .
Không giải phƣơng trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A=

1 1
 ;
x2 x2

B = x12 + x22 ;

C=

1
1

2
2 ;
x2
x2

D = x13 + x23

3x12  5 x1 x2  3x 22
6 x12  10 x1 x 2  6 x 22
E=
; F=
4 x1 x22  4 x12 x 2
5 x1 x23  5 x13 x 2

Bài 2: Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phƣơng trình: x2 – 3x – 7 = 0. Tính:
A  x1  x 2 ;
2

C

B  x1  x 2 ;

2

D  3x1  x 2 3x 2  x1 ;

1
1

;
x1  1 x 2  1

E  x1  x 2 ;
3

F  x1  x 2

3

4

4

5. Xét dấu các nghiệm của phƣơng trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (a≠0).
* Phương pháp:
+) Phƣơng trình có hai nghiệm trái dấu khi :
P=

c
 0 (Hoặc ac < 0).
a

+)Phƣơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi :
  0;P  0

+) Phƣơng trình có hai nghiệm âmkhi :

  0;S  0;P  0

+)Phƣơng trìnhcó hai nghiệm dƣơng khi :
11
ĐT: 01663837616 ----------------------------------- CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI


ĐẠI SỐ 9 - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY
  0;S  0;P  0

+) Phƣơng trìnhcó hai nghiệm không âmkhi
  0;S  0;P  0

+) Phƣơng trình có hai nghiệm tráidấu và nghiệm âmcó giá trị tuyệt
đốilớn hơnnghiệm dƣơng khi:P<0 và S < 0
……
* Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu có 2 nghiệm phần biệt thỏa mãn điều kiện
cho trƣớc thì cần có Δ > 0
Ví dụ 1: Cho phƣơng trình: x2 - 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
a) Tìm m để phƣơng trình có hai nghiệm trái dấu
b) Tìm m để phƣơng trình có hai nghiệm cùng âm
Giải
a) Phƣơng trình có hai nghiệm trái dấu  a.c < 0  – 3 – m < 0  m > -3
Vậy m > -3
2

1
15
b) Ta có:  = (m-1) – (– 3 – m ) =  m   
2

4

’

2

2

15
1
 0   > 0 với mọi m
Do  m    0 với mọi m;
2
4


 Phƣơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó phƣơng trình có hai nghiệm âm  S < 0 và P > 0
2(m  1)  0
m  1


 m  3
 (m  3)  0
m  3

Vậy m < -3
Dạng 6: Xác định tham số (m chẳng hạn) để phƣơng trình bậc hai có
nghiệm thỏa mãn điều kiện (T) cho trƣớc.

Phương pháp giải:

a  0
Bước 1- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1;x2 : 
(*)
 0
Bước 2-áp dụng định lý Vi-ét ta được tính S = x1+x2; P = x1.x2
Bước 3- Từ ĐK (T) và S tính x1,x2 theo m thế vào P để tìm m thử lại điều
kiện (*) rồi kết luận.
Ví dụ 1:Cho phƣơng trình: (m+1)x2 -2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) (m là tham số)
a/ Giải phƣơng trình (1) với m = 3.
12
ĐT: 01663837616 ----------------------------------- CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI


ĐẠI SỐ 9 - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY
b/ Tìm các giá trị của m để phƣơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa
mãn

1 1 3
 
x1 x2 2
(Trích đề thi vào lớp 10 THPT Năm học 2009 - 2010 -Bắc Ninh)

Giải
a)Với m = 3 ta có PT (3+1 )x2 - 2(3 - 1)x + 3 - 2 = 0
4x2 - 4x + 1 = 0

 (2x  1)2  0 (Hoặc tính đƣợc  hay  ' )
Suy ra PT có nghiệm kép x = 1/2

m  1  0

b)Để PT có 2 nghiệm phân biệt thì 

2
 '  m  2m  1  (m  1)(m  2)  0

m  1
m  3
m  1  0


(*)



2
2

m

3

0
m


1

'


m

2m

1

m

m

2

0



Mà theo ĐL Vi-ét ta có: x1  x 2 

2(m  1)
m2
; x1x 2 
m 1
m 1

1 1 3
x1  x 2 3
 

Từ

ta có:
x1 x 2 2
x1x 2
2



2(m  1) m  1 3
2(m  1) m  2 3
.

:
 
m 1 m  2 2
m 1 m 1 2

2(m  1) 3
  4m  4  3m  6  m  2 thoả mãn (*)
m2
2

Vậy m phải tìm là -2.
Bài 3: Tìm m để phƣơng trình : x 2  2( m  1 ) x  m 2  3m  0. có 2 nghiệm x1, x2
thoả mãn x12 + x22 = 8.
Bài 4: Tìm m để phƣơng trình : x 2  ( 2m  1 ) x  4 m  3  0. có 2 nghiệm x1, x2
thoả mãn x12 + x22 = 10.
Bài 5: Tìm m để phƣơng trình : ( 2m  1 ) x 2  2( m  4 ) x  5 m  2  0. có 2 nghiệm
x1,x2 thoả mãn x12  x 22  2 x1 x 2  16.
Bài 6: Tìm m để phƣơng trình: ( m  1 ) x 2  2mx  m  1  0. có 2 nghiệm x1, x2
thoả mãn

x1 x 2 5

  0.
x 2 x1 2

7. Hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1;x2 của phƣơng trình bậc hai
ax2  bx  c  0(a  0) không phụ thuộc tham số.
13
ĐT: 01663837616 ----------------------------------- CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI


ĐẠI SỐ 9 - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY
* Phƣơng pháp giải:
- Bước1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1; x2:
- Bước 2:Tính S = x1+x2; P = x1.x2
- Bước3 Khử m từ bước 2 bằng phương pháp thế (Rút m theo x thế vào S hoặc
P) hoặc cộng đại số ta sẽ được biểu thức cần tìm.
Ví dụ 1: Cho phƣơng trình x2 - mx + 2m - 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai
nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Giải:
+)Phƣơng trình trên có nghiệm khi:  =m2 - 8 m + 12 ≥ 0
m  6

(m- 2)(m-6) ≥ 0 
m  2
 x1  x2  m(1)
 x1 x2  2m  3(2)

+)Theo hệ thức Vi-ét ta đƣợc : 

+)Cách 1:Thế m từ (1) vào (2) ta đƣợc : x1x2=2(x1+x2) - 3
Cách 2:Nhân cả hai vế của(1) với 2 rồi trừ vế với vế cho (2) ta đƣợc:
3 =2(x1+x2)- x1x2
Ví dụ 2:Cho phƣơng trình: (m - 1)x2- 2(m - 4 )x +m - 5 = 0
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Giải:
Trƣớc hết ta cần tìm m để pt có 2 nghiệm x1;x2 :
m  1
m  1  0
11
  11  1  m 
 ,
2
  2m  11  0
m  2

Khi đó phƣơng trình có 2 nghiệm x1;x2.. Theo hệ thức Vi-ét ta đƣợc :
2(m  4)

 x1  x2  m  1

x x  m  5
1 2
m 1


6

 x1  x2  2  m  1


Từ đó ta đƣợc: 2(x1+x2) - 3 x1x2=1
x x  1 4
1 2
m 1


Bài 1 :Giả sử x1;x2 là nghiệm của phƣơng trình: x2- 2 (m - 1 ) x+m 2 - 1= 0. Tìm
hệ thức giữa x1;x2 không phụ thuộc vào m
Bài 2: Gọi x1, x2 là nghiệm của phƣơng trình: ( m  2 ) x 2  2( m  1 ) x  3  m  0.
Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 3: Gọi x1, x2 là nghiệm của phƣơng trình: x 2  2( m  1 ) x  m  3  0. Hãy lập
hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
14
ĐT: 01663837616 ----------------------------------- CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI


ĐẠI SỐ 9 - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY
Bài 4: Gọi x1, x2 là nghiệm của phƣơng trình: ( m  3 ) x 2  2( m  1 ) x  m  5  0.
Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 5: Gọi x1, x2 là nghiệm của phƣơng trình: ( 4 m  3 ) x 2  3( m  1 ) x  2m  2  0.
Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 6: Gọi x1, x2 là nghiệm của phƣơng trình: x 2  ( 2m  1 ) x  m 2  m  1  0. Hãy
lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 7: Gọi x1, x2 là nghiệm của phƣơng trình: ( m  1 ) x 2  2( m  1 ) x  m  0.Hãy
lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Dạng 7. So sánh nghiệm của phƣơng trình bậc 2 với một số a.
Phương pháp:
- Bước 1: Xét dấu hiệu các nghiệm của pt với a.
- Bước 2: Xét dấu của tổng hoặc tích hoặc cả tổng và tích các hiệu ở bước 1.

- Bước 3: áp dụng định lý Vi ét biểu diễn kết quả của bước 2 theo tham số.
- Bước 4: Tìm tham số đối chiếu điều kiện có nghiệm và kết luận
Ví dụ 1: Tìm m để phƣơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1:
x2 – (m – 1)x – m = 0
Giải
+ Phƣơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi:
  (m  1) 2  4m  0

 m 2  2m  1  0
 (m  1) 2  0
 m  1(1)
+ Gọi 2 nghiệm của phƣơng trình là x1, x2.
+ 2 nghiệm của phƣơng trình đều nhỏ hơn 1 khi:
 x1  1  0
( x1  1)( x 2  1)  0
( x1x 2  ( x1  x 2)  1  0


(I )

x
2

1

0
x
1

1


x
2

1

0
x
1

x
2

2

0



 x1x 2  m
+ Theo Vi-ét ta có: 
Thay vào (I) ta có:
 x1  x 2  m  1
( m (m  1)  1  0
(2m  2
m  1
(I)  


(2)

m 1 2  0

 m3
m  3
+ Từ (1) và (2) ta có với m<1 và m≠-1thì phƣơng trình đã cho có 2 nghiệm phân
biệt nhỏ hơn 1.

15
ĐT: 01663837616 ----------------------------------- CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI


ĐẠI SỐ 9 - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY
Bài 1: Tìm m để phƣơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt cùng nhỏ hơn 3:
2x2 – 4x + 5(m – 1) = 0
* Chú ý: Nếu tìm x đơn giản có thể tìm x theo m rồi so sánh
Bài 2*: Tìm giá trị của m để phƣơng trình: x2 + mx + m – 1 = 0 có 2 nghiệm lớn
hơn m.
Bài 3*: Tìm các giá trị của m để phƣơng trình sau có một nghiệm lớn hơn 2:
mx2 – (2m+1)x + (m+1) = 0

16
ĐT: 01663837616 ----------------------------------- CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI