Các dạng toán phương trình lượng giác

........

a/kiến thức cần nhớ và phân loại bài toán
dạng 1
Phơng trình bậc nhất và bậc hai , bậc cao với 1 hàm số l ợng giác
Đặt hm s lng giỏc theo t với sinx , cosx có điều kiện t 1
Giải phơng trình theo t
Nhận t thoả mãn điều kiện
Sau ú giải Pt lợng giác cơ bản
Giải phơng trình:
2cos2x- 4cosx=1

sinx 0

2/ 4sin3x+3 2 sin2x=8sinx

1/

1-5sinx+2cosx=0

cos x 0

3/ 4cosx.cos2x +1=0

4/

5/ Cho 3sin3x-3cos2x+4sinx-cos2x+2=0 (1) và cos2x+3cosx(sin2x8sinx)=0 (2).
1
3

Tìm n0 của (1) đồng thời là n0 của (2)

6/ sin3x+2cos2x-2=0

( nghiệm chung sinx= )

7/ a/ tanx+

3
-2 = 0
cot x

b/

4
cos 2 x

+tanx=7
c* / sin6x+cos4x=cos2x
8/sin( 2 x

5
7
)-3cos( x )=1+2sinx
2
2

9/ sin 2 x 2sin x 2 2sin x 1

10/ cos2x+5sinx+2=0 11/ tanx+cotx=4
13/ sin x 1 cos x 0
15/

12/

sin 2 2 x 4 cos 4 2 x 1
0
2sin x cos x

14/ cos2x+3cosx+2=0

4sin 2 2 x 6sin 4 x 9 3cos 2 x
0
cos x

16/ 2cosx- sin x =1

dạng 2:
Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx :
asinx+bcosx=c
b
Cách 1: asinx+bcosx=c


a
sin x cos x c
Cách
:
2
a
a

Đặt cosx= 2 2 ; sinx=
b
a b
Đặt tan a sin x cos x.tan c
a

b

a b
2

2

sin( x )

a 2 b 2 sin( x ) c

Cách 3: Đặt

t tan

x
ta có
2

Đăc biệt :
1.
2.
3.

Điều kiện

sin x

c
cos
a

2t
1 t2
(b c)t 2 2at b c 0
;cos
x

2
2
1 t
1 t



sin x 3 cos x 2sin( x ) 2 cos( x )
3
6


sin x cos x 2 sin( x ) 2 cos( x m )
4
4

sin x 3 cos x 2sin( x ) 2 cos( x )
3
6
2
2
2
a b c
Pt có nghiệm :
1


........

giải phơng trình :
1/ 2sin15x+ 3 cos5x+sin5x=k
2/

a:
c:

3/

3 sin x cos x

1
cos x

3 sin x cos x 3

với k=0 và k=4

b: 4sin x 3cos x
1
3 sin x cos x 1

6
6
4sin x 3cos x 1

*tìm nghiệm

cos 7 x 3 sin 7 x 2 0

4/( cos2x- 3 sin2x)-

với k=0

3 sinx-cosx+4=0

x (

2 6
; )
5 7

5/

1 cos x cos 2 x cos 3x 2
(3 3 sin x)

2 cos 2 x cos x 1
3

cos x 2sin x.cos x
3
2 cos 2 x sin x 1

6/

Dạng 3 Phơng trình đẳng cấp đối với sin x và cosx
Đẳng cấp bậc 2: asin2x+bsinx.cosx+c cos2x=0
Cách 1: Thử với cosx=0 Với cosx 0 .Chia 2 vế cho cos2x ta đợc:
atan2x+btanx
+c=d(tan2x+1)
Cách2: áp dụng công thức hạ bậc
Đẳng cấp bậc 3: asin3x+b.cos3x+c(sinx+ cosx)=0 hoặc
asin3x+b.cos3x+csin2xcosx+dsinxcos2x=0
Xét cos3x=0 và cosx 0 Chia 2 vế cho cos2x ta đợc Pt
bậc 3 đối với tanx
Giải phơng trình
1/a/ 3sin2x- 3 sinxcosx+2cos2x cosx=2
b/ 4 sin 2x+3 3
sinxcosx-2cos2x=4
c/3 sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0
d/ 2
2
2
sin x+6sinxcosx+2(1+ 3 )cos x-5- 3 =0
2/ sinx- 4sin3x+cosx=0 2 cách
+/ (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0

x k
+ sin3x- sinx+ cosx- sinx=0 (cosx- sinx)
4
(2sinxcosx+2sin2x+1)=0
3/ tanx sin2x-2sin2x=3(cos2x+sinxcosx)
4/ 3cos4x-4sin2xcos2x+sin4x=0
5/ 4cos3x+2sin3x-3sinx=0
6/ 2 cos3x= sin3x
7/ cos 3x- sin3x= cosx+ sinx
8/ sinx sin2x+ sin3x=6 cos3x
9/sin3(x- /4)= 2 sinx
Dang 4 Phơng trình vế trái đối xứng đối với sinx và cosx
*

a(sin x+cosx)+bsinxcosx=c

đặt t= sin x+cosx

t 2
at + b

t 2 1
=c bt2+2at-2c-b=0
2

2


........

*

a(sin x- cosx)+bsinxcosx=c

đặt t= sin x- cosx

t 2
at + b

1 t2
=c bt2 -2at+2c-b=0
2

Giải phơng trình
1/ a/1+tanx=2sinx +

1
cos x

b/ sin x+cosx=

1
1
tan x cot x

2/ sin3x+cos3x=2sinxcosx+sin x+cosx
3/ 1- sin 3x+cos3x=
sin2x
4/ 2sinx+cotx=2 sin2x+1

5/ 2 sin2x(sin x+cosx)=2
6/ (1+sin x)(1+cosx)=2
7/ 2 (sin x+cosx)=tanx+cotx
3
2

8/1+sin3 2x+cos32 x= sin 4x

9/* a* 3(cotx-cosx)-5(tanx-sin

x)=2
9/b*: cos4x+sin4x-2(1-sin2xcos2x) sinxcosx-(sinx+cosx)=0
10/

sin x cos x 4sin 2 x 1

11/ cosx+

1
1
+sinx+
sin x
cos x

=

10
3

12/ sinxcosx+ sin x cos x =1

dang 5 Giải phơng trình bằng phơng pháp hạ bậc
Công thức hạ bậc 2
Công thức hạ bậc 3
cos2x=
1 cos 2 x
2

1 cos 2 x
; sin2x=
2

3cos x cos 3 x
; sin3x=
4
3sin x sin 3 x
4

cos3x=

Giải phơng trình
1/ sin x+sin23x=cos22x+cos24x
cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=3/2
3/sin2x+ sin23x-3 cos22x=0
2


4

4/ cos3x+ sin7x=2sin2(

2/

5x
9x
)-2cos2
2
2

5/ sin24 x+ sin23x= cos22x+ cos2x với x (0; )

2

6/sin24x-cos26x=sin( 10,5 10x ) với x (0; )

7/ cos4x-5sin4x=1

8/4sin3x-1=3- 3 cos3x
sin26x
10/ sin2x= cos22x+ cos23x
sin x cos x =0

9/ sin 22x+ sin24x=
11/ (sin 22x+cos42x-1):


k


;
12/ 4sin3xcos3x+4cos3x sin3x+3 3 cos4x=3 x

24 2 8
sin22xcos2x
x
x 1 <3
14/ cos4xsinx- sin22x=4sin2( )-7/2 với
4 2

k

2

15/ 2 cos32x-4cos3xcos3x+cos6x-4sin3xsin3x=0
16/ sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x

)=cos3x
3

13/ 2cos22x+ cos2x=4

17/ * 8cos 3(x+
3


........
2

2

18/cos10x+2cos 4x+6cos3xcosx=cosx+8cosxcos 3x
sin 5 x

=1
5sin x

19/

20 / cos7x+ sin22x= cos22x- cosx
sin23x=3/2
22/ 3cos4x-2 cos23x=1

21/ sin 2x+ sin22x+

Dang 6 : Ph¬ng tr×nh lượng giác gi¶i b»ng c¸c h»ng ®¼ng thøc
* a3 �b3=(a �b)(a2 mab+b2)
a4b4
* a4- b4=( a2+ b2) ( a2- b2)
ma 2b2+b4)

* a8+ b8=( a4+ b4)2-2
* a6 �b6=( a2 �b2)( a4

Gi¶i ph¬ng tr×nh
x
2

x
2

1/ sin4 +cos4 =1-2sinx

2/ cos 3x-sin3x=cos2x-

sin2x
3/ cos3x+ sin3x= cos2x

4/

sin 4 x  cos 4 x 1
 (tan x  cot x)
sin 2 x
2

v«

nghiÖm
5/cos6x-sin6x=

13
cos22x
8

6/sin 4x+cos4x=

7


cot( x  ) cot(  x)
8
3
6

7/ cos6x+sin6x=2(cos8x+sin8x)
9/ cos6x+sin6x=cos4x
cosx+cos2x+cos3x+cos4x
11/ cos8x+sin8x=

8/cos3x+sin3x=cosx-sinx
10/ sinx+sin 2x+sin3x+sin4x=
x
2

1
8

12/ (sinx+3)sin 4 -(sinx+3)

x
2

sin2 +1=0
Dang 7 : Ph¬ng tr×nh lượng giác biÕn ®æi vÒ tÝch b»ng 0
1/ cos2x- cos8x+ cos4x=1
2/sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0
3
3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4/sin x+2cosx-2+sin2 x=0
5/ 3sinx+2cosx=2+3tanx

6/

3
sin2x+ 2 cos2x+ 6

2

cosx=0
7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4
9/ 2cos2x-8cosx+7=

1
cos x

8/

sin 3 x sin 5 x

3
5

10/ cos8x+sin8x=2(cos10x+sin10x)+

5
4

cos2x
11/ 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x
12/ 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0
13/ sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)
+3
14/ 2sin3x-

1
1

=2cos3x+
cos x
sin x

15/cos3x+cos2x+2sinx-2=0
4


........

16/cos2x-2cos3x+sinx=0

17/ tanxsin2x-cos2x+2(2cosx-

18/sin2x=1+ 2 cosx+cos2x
20/ 2tanx+cot2x=2sin2x+
cos2x-cos3x=0
22/ 1+tanx=sinx+cosx

1
1

24/ 2 2 sin( x ) =
4

sin x

19/1+cot2x=

1 cos 2 x

sin 2 2 x

1
sin 2x

1
)=0
cos x

21/cosx(cos4x+2)+
23/ (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx
25/ 2tanx+cotx= 3

cos x

2
sin 2x

26/ cotx-tanx=cosx+sinx
27/ 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8
Dang 8 : Phơng trình lng giỏc phải thực hiện công thúc nhân đôi,
hạ bậc
cos2x= cos2x- sin2x =2cos2x1=1-2sin2x
sin2x=2sinxcosx
tan2x=

2t
1 t2
2t
tanx=

1 t2

sinx =

2 tan x
1 tan 2 x

; cosx=

1 t2
1 t2

Giải phơng trình
1
4

1/ sin3xcosx= + cos3xsinx

2/

cosxcos2xcos4xcos8x=1/16
3/tanx+2cot2x=sin2x
4/sin2x(cotx+tan2x)=4cos2x
5/ sin4x=tanx
6/ sin2x+2tanx=3
7/
sin2x+cos2x+tanx=2
8/tanx+2cot2x=sin2x
9/ cotx=tanx+2cot2x
3

2

10/a* tan2x+sin2x= cotx

b*

(1+sinx) 2= cosx

Dang 9 : Phơng trình lng giỏc phải thực hiện phép biến đổi tổng
thnh tích và tích thnh tổng
Giải phơng trình
1/ sin8x+ cos4x=1+2sin2xcos6x
2/cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0
3/

sin 3 x sin x
sin 2 x cos 2 x tìm x 0; 2
1 cos 2 x

5/ sin5x+ sinx+2sin2x=1

4/ sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0
6/

3 cos 2 x cot 2 x




4sin x

cos x
cot 2 x cos 2 x
4
4


7/ tanx+ tan2x= tan3x
8/ 3cosx+cos2xcos3x+1=2sinxsin2x
Dang 10 : Phơng trình LG phải đặt ẩn phụ góc A hoặc đặt hàm
B
Giải phơng trình
1/ sin(
x



k
4
2

1
3 x
3x x 3 k 2 ; 4 k 2 ; 14 k 2


2/ sin( 3 x
)= sin(
)
)=sin2x sin( x )
15

15
5
10 2
10 2
4
4
2

5


........

3/(cos4x/3 cos2x): 1 tan 2 x =0
5/ cos( 2 x

7
)=sin(4x+3 )
2

4/ cosx-2sin(

x k 3

k

x
k ;
2
6

3 x
)=3
2 2

x k 4

6/3cot2x+2 2 sin2x=(2+3 2 )cosx




x
k 2 ; k 2
4
3

7/2cot2x+
1
cos x

2
+5tanx+5cotx+4=0
cos 2 x

x


k
4

8/ cos2x+

1
=cosx+
cos 2 x

x k

9/sinx- cos2x+
x k ; k , tan 2

1
sin x

+2

1
sin 2 x





7


k 2 11/
k 2 ; k 2 ;
=5 x

6
6
2

1 sin 2 x
1 tan x
+2
=3
1 tan x
1 sin 2 x

Dang 11 : Phơng trình LG phải thực hiện các phép biến đổi phức
tạp
Giải phơng trình
x 21; 3

3/ 5cos x cos 2 x +2sinx=0

8cos2x)=0 x 3 k
5/

2 sin x tan x
tan x sin x

2sin 2x

x

x

2

2 cos x 2 x 3








2
2/cos 3 x 9 x 16 x 80 =1 tìm n0 x Z
4





1/ 3 4 6 (16 3 8 2) cos x 4 cos x 3 x 4 k 2

k 2
6

4/3cotx- tanx(3-

k 2

6/sin3x+cos3x+ sin3xcotx+cos3xtanx=

k 2
4

7/tan2xtan23 xtan24x= tan2x-tan23 x+tan4x
k

k 2
sin3xcos2x x
3
9/sin3x=cosxcos2x(tan2x+tan2x) x k
sin x sin x 1 sin x cos x
2

x

k
4

8/tanx+tan2x=10/

5 1
x k ;sin x
2

x k 2
2 cos 2 x -1=tan2 x tan 2 x
4
4



x
x
x 2
3x
5
5
5


k 5 ;
k 5 ;
k 5
2 cos 6 sin 2sin
2sin x
3
4
12
5 12
5 12
5 3
5 6

11/cos2 4 sin x
12/



Dang 12 : Phơng trình LG không mẫu mực, đánh giá 2 vế ,tổng 2 lợng không âm,vẽ 2 đồ thị bằng đạo hàm
Giải phơng trình
1/ cos3x+ 2 cos 2 3x =2(1+sin22x)
+2sinxcos28x

x

2/ 2cosx+ 2 sin10x=3 2

x k


k
4

3/ cos24x+cos26x=sin212x+sin216x+2 với x 0;

4/ 8cos4xcos22x+ 1 cos 3x +1=0

2

x
k 2
3

5/

sin x

7/ 1x

cos x

x2
=cosx
2


k
2

9/



x0

6/ 5-4sin2x-8cos2x/2 =3k tìm k Z* để hệ có nghiệm
8/( cos2x-cos4x)2=6+2sin3x



1
1 cos x 1 cos x cos 2 x sin 4 x
2

x k 2
4

6