Bài 29 nguyên hàm tích phân từng phầnđa

/>
 
 

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHẦN 
TỪNG PHẦN – ĐÁP ÁN 
Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt 

 
 

Câu 1.

Để tính òx ln (2 + x) dx theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt:

ìïu = ln (2 + x)
ìïu = x
A. í
. B. í
.
ïîdv = ln (2 + x) dx
ïîdv = xdx

Câu 2.

ìïu = ln (2 + x)
D. í
.
ïîdv = dx

Để tính òx 2 cos x dx theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt:

ìïu = x
A. í
.
ïîdv = x cos xdx
Câu 3.

ìïu = x ln (2 + x)
C. í
.
ïîdv = dx

ìïu = x 2
B. í
.
ïîdv = cos xdx

ìïu = cos x
C. í
.
ïîdv = x 2 dx

ìïu = x 2 cos x
D. í
.
ïîdv = dx

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = x.e x .

A. ò f ( x) dx = x + e x + 1 + C .

B. ò f ( x) dx = ( x + 1) e x + C .

C. ò f ( x) dx = ( x - 1) e x + C .

D. ò f ( x) dx = x 1 + e x + C .

(

)

Chuyên Lam Sơn – Lần 2
Hướng dẫn giải:
ìïu = x
ìïdu = dx
Ûí
Đặt í
x
x
îïdv = e dx
îïv = e

òf (x) dx = x.e -òe dx = x.e
x

Câu 4.

x

(

x

- e x + C = ( x - 1) e x + C

Biết F ( x) = ax 2 + bx + c e x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = x 2 .e x . Tính a, b

)

và c .
A. a = 1, b = 2, c = -2 . B. a = 2, b = 1, c = -2 . C. a = -2, b = 2, c = 1 . D. a = 1, b = -2, c = 2 .
Kim Liên – Hà Nội – Lần 2
Hướng dẫn giải:
F ( x) =òx 2 .e x dx
ìïu = x 2
ìïdu = 2 xdx
Đặt í
Û
í
x
ïîdv = e x dx
îïv = e

1

F ( x) = x 2 e x -ò2 x.e x dx

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – ĐÁP ÁN |       

/>
 
 

ìïu = 2 x
ìïdu = 2dx
Û
Đặt í
í
ïîdv = e x dx
ïîv = e x

(

)

(

F ( x) = x 2 e x - 2 x.e x -ò2e x dx = x 2 e x - 2 xe x + 2e x = x 2 - 2 x + 2 e x

)

Þ a = 1, b = -2, c = 2

Tính F ( x) =òx sin xdx bằng:

Câu 5.

A. F ( x) = sin x - x cos x + C .

B. F ( x) = x sin x - cos x + C .

C. F ( x) = sin x + x cos x + C .

D. F ( x) = x sin x + cos x + C .

Hướng dẫn giải:
ìïu = x
ìïdu = dx
Đặt í
Ûí
ïîdv = sin xdx
ïîv = - cos x
F ( x) = - x cos x +òcos xdx = - x cos x + sin x + C

Tính òx ln 2 xdx . Chọn kết quả đúng:

Câu 6.

1 2
x 2 ln 2 x - 2 ln x + 1 + C .
2
1
C. x 2 2 ln 2 x + 2 ln x + 1 + C .
4
Hướng dẫn giải:
ì
2 ln xdx
ïdu =
ìïu = ln 2 x

ï
x
Đặt í
Ûí
2
x
ï
îïdv = xdx
ïv =
2
î
A.

(

)

(

)

1 2
x 2 ln 2 x - 2 ln x + 1 + C .
4
1
D. x 2 2 ln 2 x + 2 ln x + 1 + C .
2
B.

(

)

(

)

x 2 ln 2 x
x 2 2 ln xdx x 2 ln 2 x
-ò .
=
-òx ln xdx
2
2
x
2
ì
dx
du =
ï
ìïu = ln x
ï
x
Ûí
Đặt í
2
x
ï
îïdv = xdx
ïv =

î
2
2
2
2
x ln x é x ln x
x 2 dx ù x 2 ln 2 x x 2 ln x 1
F ( x) =
-ê
-ò . ú =
+ òxdx
êë 2
2
2 x úû
2
2
2
1
x 2 ln 2 x x 2 ln x x 2
=
+ + C = x 2 2 ln 2 x - 2 ln x + 1 + C
2
2
4
4
F ( x) =

(

Câu 7.

)

Tính F ( x) =òx sin x cos xdx . Chọn kết quả đúng:
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – ĐÁP ÁN |       

2


/>
 
 

1
x
sin 2 x + cos 2 x + C .
4
8
1
x
C. F ( x) = cos 2 x - sin 2 x + C .
4
2
Hướng dẫn giải:

-1
x
sin 2 x - cos 2 x + C .
4
8

1
x
D. F ( x) = sin 2 x - cos 2 x + C .
8
4

A. F ( x) =

B. F ( x) =

1
òx sin 2 xdx
2
ìdu = dx
ìïu = x
ï
Đặt í
Ûí
1
ïîdv = sin 2 xdx
ïv = - cos 2 x
î
2
ù 1é 1
ù
1é 1
1
1
F ( x) = ê- x cos 2 x + òcos 2 xdx ú = ê- x cos 2 x + sin 2 x ú + C
2 ëê 2

2
4
ûú 2 êë 2
ûú
1
1
= sin 2 x - x cos 2 x + C
8
4
F ( x) =òx sin x cos xdx =

Câu 8.

x
3

Tính F ( x) =òxe dx . Chọn kết quả đúng.
x

x

A. F ( x) = 3( x - 3)e 3 + C .

B. F ( x) = ( x + 3)e 3 + C .

x - 3 3x
C. F ( x ) =
e +C .
3
Hướng dẫn giải:

ìu = x
ìdu = dx
ï
ï
Ûí
Đặt í
x
x
ïdv = e 3 dx
ïv = 3e 3
î
î

x + 3 3x
D. F ( x ) =
e +C .
3

x

x

x

x

x

F ( x) = 3 xe 3 -ò3e 3 dx = 3 xe 3 - 9e 3 + C = 3 ( x - 3) e 3 + C

x
Tính F ( x) =ò 2 dx . Chọn kết quả đúng.
cos x
A. F ( x) = - x cot x + ln | cos x | +C .
B. F ( x) = - x tan x + ln | cos x | +C .
Câu 9.

C. F ( x) = - x cot x - ln | cos x | +C .

D. F ( x) = x tan x + ln | cos x | +C .

Hướng dẫn giải:
ìu = x
ìïdu = dx
ï
Đặt í
dx Û í
ïdv =
îïv = tan x
cos 2 x
î

3

d cos x)
F ( x) = x tan x -òtan xdx = x tan x +ò (
= x tan x + ln cos x + C
cos x

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – ĐÁP ÁN |       

/>
 
 

Câu 10. Tính F ( x) =òx 2 cos xdx . Chọn kết quả đúng.
A. F ( x) = x 2 sin x - 2 x cos x + 2sin x + C .

B. F ( x) = ( x 2 - 2)sin x + 2 x cos x + C .

C. F ( x) = 2 x 2 sin x - x cos x + sin x + C .

D. F ( x) = (2 x + x 2 ) cos x - x sin x + C .

Hướng dẫn giải:
ìïu = x 2
ìïdu = 2 xdx
Ûí
Đặt í
ïîv = sin x
îïdv = cos xdx
F ( x) = x 2 sin x -ò2 x sin xdx

ìïdu = 2dx
ïìu = 2 x
Đặt í
Ûí
îïdv = sin xdx
îïv = - cos x

F ( x) = x 2 sin x - éë-2 x cos x +ò2 cos xdx ùû = x 2 - 2 sin x + 2 x cos x + C

(

)

Câu 11. Tính F ( x) =òx sin 2 xdx . Chọn kết quả đúng.

1
1
(2 x cos 2 x - sin 2 x) + C .
B. F ( x) = - (2 x cos 2 x + sin 2 x) + C .
4
4
1
1
C. F ( x) = - (2 x cos 2 x - sin 2 x) + C .
D. F ( x) = (2 x cos 2 x + sin 2 x) + C .
4
4
Hướng dẫn giải:
ìdu = dx
ìïu = x
ï
Đặt í
Ûí
1
ïîdv = sin 2 xdx
ïv = - cos 2 x

î
2
1
1
1
1
F ( x) = - x cos 2 x + òcos 2 xdx = - x cos 2 x + sin 2 x + C
2
2
2
4
1
= - (2 x cos 2 x - sin 2 x) + C
4
A. F ( x) =

1 + ln( x + 1)
dx . Khẳng định nào sau đây là sai?
Câu 12. Tính ò
x2
1 + ln( x + 1)
x
x
-1 + ln( x + 1)
A. B.
+ ln
+C .
+ ln
+C .
x

x +1
x
x +1
C. -

x +1
(1 + ln( x +1)) + ln | x | +C .
x
Hướng dẫn giải:

D. -

1 + ln( x + 1)
- ln x + 1 + ln x + C .
x
4

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – ĐÁP ÁN |       


/>
 
 

ìu = 1 + ln ( x + 1) ìïdu = dx
ï
ï
x +1
Ûí
Đặt í

dx
1
ïdv = 2
ï
ïî
ïv = x
x
î

F ( x) = =-

2 + ln ( x + 1)
x

1 + ln ( x + 1)
x

+ ln

2 + ln ( x + 1) æ 1
dx
1 ö
÷÷ dx
+ò
=+òçç x ( x + 1)
x
è x x +1ø

x
+C

x +1

Câu 13. Tính F ( x) =ò(2 x - 1)e1- x dx = e1- x ( Ax + B) + C . Giá trị của biểu thức A + B bằng:
A. –3.

B. 0.
Hướng dẫn giải:
ìïu = 2 x - 1
ìïdu = 2dx
Ûí
Đặt í
1- x
1- x
îïdv = e dx
îïv = -e

C. 3.

D. 5.

F ( x) = - (2 x - 1) e1- x +ò2e1- x dx = - (2 x - 1) e1- x - 2e1- x + C = e1- x (-2 x - 1) + C
Þ A = -2, B = -1 Þ A + B = -3
Câu 14. Tính F ( x) =òe x cos xdx = e x ( A cos x + B sin x) + C . Giá trị của biểu thức A + B bằng:
A. –2.

B. –1.
Hướng dẫn giải:
ìïu = cos x
ìïdu = - sin xdx
Û

Đặt í
í
ïîdv = e x dx
ïîv = e x

C. 1.

D. 2.

F ( x) = cos xe x +òsin xe x dx

ìïu = sin x
ìïdu = cos xdx
Û
Đặt í
í
ïîdv = e x dx
ïîv = e x
F ( x) = cos xe x + sin xe x -òcos xe x dx Þ 2 F ( x) = cos xe x + sin xe x
æ1
ö
1
1
Þ F ( x) = e x çç cos xe x + sin x ÷÷ + C Þ A = B = Þ A + B = 1
2
2
è2
ø

(

)

Câu 15. Tính F ( x) =òln x + 1 + x 2 dx . Chọn kết quả đúng.

(

)

A. F ( x) = ln x + 1 + x 2 - x 1 + x 2 + C .

B. F ( x ) =

1
1+ x

2

+C .

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – ĐÁP ÁN |       

5


/>
 
 

(

(

)

C. F ( x) = x ln x + 1 + x 2 - 1 + x 2 + C .

)

D. F ( x) = x ln x + 1 + x 2 + 1 + x 2 + C .

Hướng dẫn giải:

ì
1
ì
2
dx
ïïdu =
ïu = ln x + 1 + x
Ûí
Đặt í
1 + x2
ïdv = dx
ï
î
ïîv = x
x
F ( x) = x ln x + 1 + x 2 -ò
dx

1 + x2

(

)

(

)

Đặt 1 + x 2 = t Û xdx = tdt
x
1
dx =ò tdt =òdt = t + C = 1 + x 2 + C Þ F ( x) = x ln x + 1 + x 2 - 1 + x 2 + C
ò
2
t
1+ x

(

)

2

Câu 16. Hàm số f ( x) có đạo hàm f '( x) = x 3e x và đồ thị hàm số f ( x) đi qua gốc tọa độ O .

Chọn kết quả đúng.
2
1

1 2 1
A. f ( x ) = x 2 e x + e x - .
2
2
2
2
2
1
1
1
C. f ( x ) = x 2 e x - e x - .
2
2
2
Hướng dẫn giải:

1 2 x2 1 x2 1
xe - e + .
2
2
2
2
2
1
1
1
D. f ( x ) = x 2 e x + e x + .
2
2
2

B. f ( x ) =

ìdu = 2 xdx
ìïu = x 2
ï
Đặt í
Ûí
1 2
x2
ïîdv = xe dx
ïv = e x
2
î
2
2
2
1
1
1 2
f ( x) = x 2 e x -òxe x dx = x 2 e x - e x + C
2
2
2
2
1
1
1 2 1
f (0) = 0 Þ C = Þ f ( x) = x 2 e x - e x +
2
2

2
2
Câu 17. Tính F ( x) =ò x 2 - 1dx bằng:

1
1
x x 2 - 1 + ln x + x 2 - 1 + C .
2
2
1
1
C. F ( x) = x x 2 - 1 - ln x - x 2 - 1 + C .
2
2
Hướng dẫn giải:
A. F ( x) =

1
1
x x 2 - 1 - ln x + x 2 - 1 + C .
2
2
1
1
D. F ( x) = x x 2 - 1 + ln x - x 2 - 1 + C .
2
2
B. F ( x) =

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – ĐÁP ÁN |       

6


/>
 
 

ì
x
ìïu = x 2 - 1 ïïdu =
dx
Ûí
Đặt í
x2 - 1
ïîdv = dx
ï
ïîv = x
x2

F ( x) = x x 2 - 1 -ò

2

dx = x x 2 - 1 -ò x 2 - 1dx -ò

x -1
1
1
1

dx
Þ F ( x) = x x 2 - 1 - ò
2
2
x2 - 1

æ
2
æ
ö
ç x -1 + x
x
÷
ç
Đặt u = x + x - 1 Û du = ç
ç1 + 2 ÷ dx = ç
x -1 ø
x2 - 1
è
ç
è
1
du
ò 2 dx =ò u = ln u + C = ln x + x 2 - 1 + C
x -1

(

2

Þ F ( x) =

1
x2 - 1

dx

) ö÷÷ dx Û
÷÷
ø

1
x2 - 1

dx =

du
u

1
1
x x 2 - 1 - ln x + x 2 - 1 + C
2
2

Câu 18. Tính òx 3e x dx = e x (ax 3 + bx 2 + cx + d ) + C . Giá trị của a + b + c + d bằng :
A. –9.

B. –2.
Hướng dẫn giải:

ìïu = x 3
ìïdu = 3 x 2 dx
Đặt í
Û
í
ïîdv = e x dx
ïîv = e x

C. 2.

D. 10.

F ( x) = x 3e x -ò3 x 2 e x dx
ìïu = 3 x 2
ìïdu = 6 xdx
Û
Đặt í
í
x
x
îïv = e
îïdv = e dx
F ( x) = x 3e x - 3 x 2 e x +ò6 xe x dx

ìïu = 6 x
ìïdu = 6dx
Û
Đặt í
í
x

x
îïdv = e dx
îïv = e
F ( x) = x3e x - 3 x 2 e x + 6 xe x -ò6e x dx = x3e x - 3 x 2 e x + 6 xe x - 6e x + C

(

= e x x3 - 3 x 2 + 6 x - 6 + C Þ a = 1, b = -3, c = 6, d = -6 Þ a + b + c + d = -2

)

Câu 19. Tính F ( x) =òx ln( x 2 + 3)dx = A( x 2 + 3) ln( x 2 + 3) + Bx 2 + C . Giá trị của biểu thức A + B
bằng:

A. –1.

B. 0.
Hướng dẫn giải:

7

C. 1.

D. 2.

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – ĐÁP ÁN |       


/>
 

 

ì
2x
dx
ïdu = 2
ìïu = ln x 2 + 3
ï
x +3
Ûí
Đặt í
x2
ïîdv = xdx
ï
v
=
ï
2
î

(

F ( x) =

)

1 2
x3
x ln x 2 + 3 -ò 2
dx

x +3
2

(

)

Đặt x 2 + 3 = t Û x 2 = t - 3 Û xdx =

dt
2

x3
t - 3 dt 1 æ 3 ö
1
1
òx 2 + 3 dx =ò t . 2 = 2òççè1 - t ÷÷ø dt = 2 t - 3ln t + C = 2 x 2 + 3 - 3ln x2 + 3 + C
1
1
1 2
1
Þ F ( x) = x 2 ln x 2 + 3 - x 2 + 3 - 3ln x 2 + 3 + C =
x + 3 ln x 2 + 3 - x 2 + C '
2
2
2
2
1
1
Þ A = ,B = - Þ A+ B = 0

2
2

(

(

) (

(

)

)

(

)

) (

)

Câu 20. Tính òx 3 ln 2 xdx = x 4 ( A ln 2 x + B) + C . Giá trị của 5 A + 4 B bằng:
A. 1.

B. –1.

C.

1
.
4

D.

-1
.
4

Hướng dẫn giải:
ì
1
ïdu = dx
ìïu = ln 2 x
ï
x
Ûí
Đặt í
3
4
x
ïîdv = x dx
ï
ïv =
î
4
æ1
1
1

1
1
1ö
F ( x) = x 4 ln 2 x - òx3 dx = x 4 ln 2 x - x 4 + C = x 4 çç ln 2 x - ÷÷ + C
4
4
4
16
16 ø
è4
1
1
Þ A = , B = - Þ 5 A + 4B = 1
4
16

Câu 21. Tính F ( x) =òx ln
A. F ( x) =
C. F ( x) =

1+ x
dx . Chọn kết quả đúng:
1- x

x2 - 1 1 + x
+ x +C .
ln
2
1- x
x2 +1 1 + x

- x +C .
ln
2
1- x
Hướng dẫn giải:

B. F ( x ) =

x2 +1 1 + x
+ x +C .
ln
2
1- x

D. F ( x) =

x2 - 1 1 + x
- x +C .
ln
2
1- x

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – ĐÁP ÁN |       

8


/>
 
 

ì
2
ì
1+ x
ïdu = - 2 dx
ïu = ln
ï
x -1
Đặt í
1- x Û í
2
x
ï
ï
îdv = xdx
ïv =
î
2
F ( x) =
=

1 2 1+ x
x2
1
1 + x æç
1
1 ö÷
x ln
+ò 2 dx = x 2 ln

+ò 1 +
dx
2
1- x
x -1
2
1 - x çè 2 ( x - 1) 2 ( x + 1) ÷ø

1 2 1+ x
1 x +1
1 2
1+ x
+C =
+ x +C
x ln
+ x - ln
x - 1 ln
2
1- x
2 x -1
2
1- x

(

)

Câu 22. Hàm số f ( x) = ( x - 1) e x có một nguyên hàm F ( x) là kết quả nào sau đây, biết nguyên
hàm này bằng 1 khi x = 0 ?
A. F ( x) = ( x - 1) e x .

B. F ( x) = ( x - 2) e x .

C. F ( x) = ( x + 1) e x + 1 .

D. F ( x) = ( x - 2) e x + 3 .

Hướng dẫn giải:
ìïu = x - 1
ìïdu = dx
Þí
Đặt í x
ïîe dx = dv ïîv = e x
F ( x) = ( x - 1) e x -òe x dx = ( x - 1) e x - e x + C = ( x - 2) e x + C
F (0) = 1Û (0 - 2) e0 + C = 1Û C = 3 Þ F ( x) = ( x - 2) e x + 3
ln ln x
Câu 23. Tính nguyên hàm I =ò ( ) dx được kết quả nào sau đây?
x
A. I = ln x.ln (ln x) + C .
B. I = ln x.ln (ln x) + ln x + C .

C. I = ln x.ln (ln x) - ln x + C .

D. I = ln (ln x) + ln x + C .

Hướng dẫn giải:
ln ln x
dx
Þ I =ò ( ) dx =òln t dt
x

x
ì
dt
ìïu = ln t
ïdu =
Þí
Đặt í
t
ïîdv = dt ï
îv = t

Đặt ln x = t Þ dt =

I = t ln t -òdt = t ln t - t + C = ln x.ln (ln x) - ln x + C
9

Câu 24. Tính nguyên hàm I =òsin x.e x dx , ta được:
A. I =

1 x
e sin x - e x cos x + C .
2

(

)

B. I =

1 x

e sin x + e x cos x + C .
2

(

)

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – ĐÁP ÁN |       


/>



C. I = e x sin x + C .
Hng dn gii:
ỡùu = sin x
ỡùdu = cos xdx
ị
t ớ
ớ
ùợdv = e x dx ùợv = e x

D. I = e x cos x + C .

I = e x sin x -ũcos xe x dx

ỡùu = cos x
ỡùdu = - sin xdx
t ớ

ị
ớ
ùợdv = e x dx ùợv = e x
I = e x sin x - ộởe x cos x +ũsin xe x dx ựỷ = e x sin x - e x cos x - I
1
ị 2 I = e x sin x - e x cos x I = e x sin x - e x cos x + C
2

(

)

Cõu 25. Mt nguyờn hm ca f ( x) = x ln x l kt qu no sau õy, bit nguyờn hm ny trit
tiờu khi x = 1 ?
1
1
1
1
A. F ( x) = x 2 ln x - x 2 + 1 .
B. F ( x) = x 2 ln x + x + 1 .
2
4
2
4
1
1
C. F ( x) = x ln x + x 2 + 1 .
D. Mt kt qu khỏc.
2
2

Hng dn gii:
ỡ
dx
du =
ù
ỡùu = ln x
ù
x
ịớ
t ớ
2
ợùdv = xdx ùv = x
ù
ợ
2
1
1
1
1
F ( x) = x 2 ln x - ũxdx = x 2 ln x - x 2 + C
2
2
2
4
1
1
1
1
1
1

F (1) = 0 .1.ln1 - .12 + C = 0 C = ị F ( x) = x 2 ln x - x 2 +
2
4
4
2
4
4

(

)

(

)

e

Cõu 26. Ta cú tớch phõn I = 4ũx (1 + ln x) dx = a.e 2 + b , vi a, b l cỏc s nguyờn. Tớnh
1

M = ab + 4 (a + b) .

A. M = -5 .

B. M = -2 .

C. M = 5 .

D. M = -6 .

S GDT Hi Dng

Hng dn gii:

10

e
ổe
ử
Ta cú: I = 4ũx (1 + ln x) dx = 4. ỗỗũxdx +ũx ln xdx ữữ .
1
1
ố1
ứ
e

NGUYấNHMTCHPHNTNGPHNPN|


/>


e

x2
e2 1
xdx
=
=
ũ

2 1 2 2
1
e

ỡ
dx
du =
ù
ùỡu = ln x
ù
x
ớ
t ớ
2
x
ù
ợùdv = xdx
ùv =
2
ợ
e

e

e

e

e 2
e

x2
x 1
x2
x
x2
x2
e2 1
ũx ln xdx = ln x. 2 -ũ 2 . x dx = ln x. 2 -ũ2 dx = ln x. 2 - 4 = 4 + 4
1
1
1
1
1
1
1
e

ộổ e 2 1 ử ổ e 2 1 ử ự
ị I = 4 ờỗỗ - ữữ + ỗỗ + ữữ ỳ = 3e 2 - 1 ị a = 3, b = -1 ị M = 5
ờởố 2 2 ứ ố 4 4 ứ ỳỷ
e

Cõu 27. Cho tớch phõn I =ũx ln 2 xdx . Mnh no sau õy ỳng?
1

e

A. I =

e

1 2 2
x ln x +ũx ln xdx .
2
1
1
e

1

1

e

e

C. I = x 2 ln 2 x -ũx ln xdx .
1

e

e

B. I = x 2 ln 2 x - 2ũx ln xdx .
D. I =

1

e
1 2 2
x ln x -ũx ln xdx .

2
1
1

Chuyờn i hc Vinh Ln 4
Hng dn gii:
ỡ
2 ln x
ùdu =
ỡùu = ln x
ù
x
t ớ
ớ
2
x
ùợdv = xdx
ù
ùv =
2
ợ
2

e

e

e 2
e
1

x 2 ln x
1
I = x 2 ln 2 x -ũ .
dx = x 2 ln 2 x -ũx ln xdx
2
x
2
1 2
1
1
1

1

Cõu 28. Bit rng I =ũe

3 x +1

dx =

0

a 2
e , vi a, b l cỏc s thc tha món a - b = 2 . Tớnh tng
b

S = a +b .

A. S = 10 .

B. S = 5 .

Hng dn gii: t

C. S = 4 .
3x + 1 = t x =

D. S = 7 .
Chuyờn Phan Bi Chõu Ln 3

t2 -1
2
dx = tdt
3
3

2
2
22
I =ũet . tdt = ũtet dt
3
31
1

NGUYấNHMTCHPHNTNGPHNPN|

11


/>

ỡùu = t
ỡùdu = dt

t ớ
ớ
ùợdv = et dt
ùợv = et
2
ự 2ộ 2
2ự
2
2ộ 2 2
2
4
I =ũet . tdt = ờtet -ũet dt ỳ = ờtet - et ỳ = e 2 = e 2 ị S = 10
1ỷ
ỳỷ 3 ở 1
3
3 ờở 1 1
3
6
1
2

(

Cõu 29. Bit ũe x 2 x + e x dx = a.e 4 + b.e 2 + c , vi a, b, c l cỏc s hu t. Tớnh S = a + b + c .

0

)

A. S = 2 .

B. S = -4 .
2

C. S = -2 .

(

2

2

0

0

D. S = 4 .
Chuyờn Thỏi Bỡnh Ln 3

Hng dn gii: ũe x 2 x + e x dx = 2ũxe x dx +ũe 2 x dx .
0

)

ỡùu = x

ỡùdu = dx

t ớ
ớ
ùợdv = e x dx
ùợv = e x
2

ũxe dx = xe
x

x 2
0

0

2

ũe2 x dx =
0

2

2

0

2x 2

e

2

2

2

0

0

-ũe x dx = xe x - e x = e 2 + 1
=

0

e4 1
2 2

ổ1
1ử 1
3
1
3
ịũe x 2 x + e x dx = 2 e 2 + 1 + ỗỗ e 4 - ữữ = e 4 + 2e 2 + ị a = , b = 2, c =
2ứ 2
2
2
2
ố2
0

(

(

)

)

2

Cõu 30. Tớnh tớch phõn I =ũln tdt. Chn khng nh sai?
1

4
B. I = ln .
e
Hng dn gii:
ỡ
dt
ỡùu = ln t
ùdu =
ịớ
t ớ
t
ùợdv = dt ù
ợv = t

C. I = ln 4 - log10 .

A. I = 2 ln 2 - 1 .

2

2

2

I = t ln t -ũdt = t ln t - t
1

1

1

D. I = ln 4e .

2

= 2 ln 2 - 1.
1

a
ln x
1 1
Cõu 31. Bit I =ũ 2 dx = - ln 2 . Giỏ tr ca a bng:
2 2
1 x
A. 2 .
B. ln 2 .

C. 4 .
Hng dn gii:

12

D. 8 .

NGUYấNHMTCHPHNTNGPHNPN|


/>
 
 

ì
dx
ìu = ln x
ïdu =
ï
ï
x
Đặt í
dx Þ í
1
ïdv = 2
ï
x
î
ïv = x
î

a

a
a
æ ln x ö
dx
ln a 1
ln a 1
÷÷ +ò 2 = I = çç=- +1 Þ a = 2
a
x1
a a
è x ø1 1 x

3

(

Câu 32. Kết quả của tích phân I =òln x 2 - x dx được viết ở dạng I = a ln 3 - b với a, b là các
2

A. –1.

)

số nguyên. Khi đó a - b nhận giá trị nào sau đây?
B. 0.
C. 1.
Hướng dẫn giải:
ì

2x -1
2x - 1
ìïu = ln x 2 - x
dx =
dx
ïïdu = 2
x -x
x ( x - 1) .
Đặt í
Þí
ïîdv = dx
ï
ïîv = x

(

(

)

I = x ln x 2 - x

(

)

= x ln x 2 - x

D. 2.

3
2x -1
-ò
dx = x ln x 2 - x
2
1
x
2

3

(

3

) (

- 2 x + ln x - 1

2

)

)

3
æ
1 ö
÷÷ dx
-òçç2 +

x - 1ø
2
2è

3

3

= 3ln 3 - 2 Þ a = 3, b = 2
2

e

Câu 33. Khẳng định nào sau đây đúng về kết quả òx3 ln xdx =
1

A. ab = 64 .
B. ab = 46 .
Hướng dẫn giải:
ì
1
ïdu = dx
ìïu = ln x
ï
x
Þí
Đặt í
3
4
x

ïîdv = x dx ï
ïv =
4
î

C. a - b = 12 .

3e a + 1
?
b
D. a - b = 4 .

e
e
x 4 ln x
1e 3
e4 x 4
e 4 æ e 4 1 ö 3e 4 + 1
I =òx ln xdx =
- òx dx = = - çç - ÷÷ =
Þ a = 4, b = 16
4 1 41
4 16 1 4 è16 16 ø
16
1
e

3

1

(

Câu 34. Kết quả của tích phân I =òx ln 2 + x 2 dx được viết ở dạng I = a ln 3 + b ln 2 + c với
0

)

a, b, c là các số hữu tỉ. Hỏi tổng a + b + c bằng bao nhiêu?

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – ĐÁP ÁN |       

13


/>
 
 

A. 0.

B. 1.

C.

3
.
2

D. 2.

Hướng dẫn giải:
ì
2x
dx
ïdu =
ìïu = ln 2 + x 2
ï
2 + x2
.
Þí
Đặt í
2 + x2
x2
ïîdv = xdx
ï
+1 =
ïv =
2
2
î

(

I=

)

2 + x2
ln 2 + x 2

2

Þa=

(

)

1
0

3
x2
ln 3 - ln 2 2
2

1

-òxdx =
0

1

=
0

3
1
ln 3 - ln 2 2
2

3
1
, b = -1, c = 2
2

e
k
Câu 35. Cho I =òln dx . Xác định k để I < e - 2 .
x
1
A. k < e + 2 .
B. k < e .
C. k > e + 1 .
Hướng dẫn giải:
e
e
e
e
k
I =òln dx =ò(ln k - ln x) dx = ln kòdx -òln xdx.
x
1
1
1
1

e

D. k < e - 1 .

e

Tính A = ln kòdx = ln k .x = (e - 1) ln k
1

1

e

Tính B =òln xdx
1

ì
ìïu = ln x ïdu = dx
Þí
Đặt í
x
îïdv = dx ïv = x
î
e

e

1

1

e

e

1

1

B = x ln x -òdx = x ln x - x = 1
Þ I = A - B = (e - 1) ln k - 1
I < e - 2 Û (e - 1) ln k - 1 < e - 2 Û (e - 1) ln k < e - 1Û ln k < 1Û k < e
1

Câu 36. Tính tích phân I =òx 2 x dx .
0

A. I =

2 ln 2 - 1
2 ln 2 - 1
.
B. I =
.
2
ln 2
ln 2
Hướng dẫn giải:

C. I =

2 ln 2 + 1
.

ln 2 2

D. I =

2 ln 2 + 1
.
ln 2

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – ĐÁP ÁN |       

14


/>
 
 

ìdu = dx
ï
ïìu = x
Þí
Đặt í
2x
x
îïdv = 2 dx ïïv =
ln 2
î
I=

x2x

ln 2

1 1 x
x2x
2
dx
=
ò
ln 2 0
ln 2

1

0

1

0

2x
ln 2 2

1

=
0

2 ln 2 - 1
.
ln 2 2

1

Câu 37. Kết quả tích phân I =ò(2 x + 3) e x dx được viết dưới dạng I = ae + b với a, b Î  . Khẳng
0

định nào sau đây là đúng?
A. a - b = 2 .
B. a 3 + b3 = 28 .
Hướng dẫn giải:
ìïu = 2 x + 3 ìïdu = 2dx
Þí
Đặt í
ïîdv = e x dx ïîv = e x
1

1

C. ab = 3 .

1

1

0

0

D. a + 2b = 1 .

I = (2 x + 3) e x -ò2e x dx = (2 x + 3) e x - 2e x = 3e - 1 Þ a = 3, b = -1
0

0

a

Câu 38. Tích phân ò( x - 1) e 2 x dx =
0

A. 1.

B. 2.
Hướng dẫn giải:

3 - e2
. Giá trị của a > 0 bằng:
4
C. 3.
D. 4.

ìdu = dx
ìïu = x - 1
ï
Đặt í 2 x
Þí
1
ïîe dx = dv ïv = e2 x
î
2

a

æ x -1 2x ö 1 a 2x
a -1 2 a 1 æ1 2x ö
çç
x
1
e
dx
e ÷÷
e + - çç e ÷÷
=
-òe dx =
ò( )
2
2 è2 ø 0
è 2
ø0 2 0
0
æ a -1
1 ö æ1
1ö
a -1 2 a 1 2 a 3
e 2 a + ÷÷ - çç e2 a - ÷÷ =
e - e +
= çç
2ø è2
2ø
2
4

4
è 2
a

a

2x

a -1 2
e
2

a

1
- e2
4

3 3 - e2
a -1 2
+ =
Û
e
4
4
2

a

a

1
- e2
4

a

e2
+ = 0Û a = 1
4

p
4

Câu 39. Tính tích phân I =òx sin 2 xdx .

15

0

A. I = 1 .

B. I =

p
2

.

C. I =

1
.
4

D. I =

3
.
4

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – ĐÁP ÁN |       


/>
 
 

Hướng dẫn giải:

ìdu = dx
ï
ïìu = x
Đặt í
Þí
cos 2 x .
ïîdv = sin 2 xdx ïv = 2
î
p

x cos 2 x
I =2

p
4
0

14
x cos 2 x
+ òcos 2 xdx = 20
2

p
4
0

sin 2 x
+
4

p
4
0

1
= .
4

p
2

Câu 40. Cho tích phân I =òsin 2 x.esin x dx . Một học sinh giải như sau:
0

ìx = 0 Þ t = 0
1
ï
Bước 1: Đặt t = sin x Þ dt = cos xdx . Đổi cận í
I
2
tet dt.
Þ
=
p
ò
x
t
1
=
Þ
=
ï
0
2
î
1
1
1
1
ìïu = t

ìïdu = dt
t
t
t
t
Þ
te
dt
=
te
e
dt
=
e
e
=1.
Bước 2: Chọn í
.
Suy
ra
í
ò
ò
t
t
0
0
îïdv = e dt îïv = e
0
0

1

Bước 3: I = 2òtet dt = 2 .
0

Hỏi bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?
A. Bài giải trên sai từ Bước 1.
B. Bài giải trên sai từ Bước 2.
C. Bài giải trên sai từ Bước 3.
D. Bài giải trên hoàn toàn đúng.
p

p

p

0

0

0

Câu 41. Cho I =òe x cos 2 xdx, J =òe x sin 2 xdx và K =òe x cos 2 xdx . Khẳng định nào đúng

trong các khẳng định sau?
(I). I + J = ep .

(II). I - J = K .

A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).
Hướng dẫn giải:
Xét (I). Ta có:

ep - 1
.
5
C. Chỉ (III).

(III). K =

p

p

p

0

0

0

p

p

p

0

0

0

(

D. Cả (II) và (III).

p

p

0

0

I + J =òe x cos 2 xdx +òe x sin 2 xdx =òe x sin 2 x + cos 2 x dx =òe x dx = e x

)

= ep - 1 .

Vậy (I) sai.
Xét (II). Ta có:

(

p

I - J =òe x cos 2 xdx -òe x sin 2 xdx =òe x cos 2 x - sin 2 x dx =òe x cos 2 xdx = K .

)

0

Vậy (II) đúng.

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – ĐÁP ÁN |       

16


/>



Xột (III).
ỡùu = cos 2 x ỡùdu = -2sin 2 xdx
t ớ
ịớ
x
x
ợùdv = e dx
ợùv = e
p

(

K = e x cos 2 x

)

0

p

+ 2ũe x sin 2 xdx
0

ỡùu1 = sin 2 x ỡùdu1 = 2 cos 2 x
ịớ
t ớ
ùợdv1 = e x dx
ùợv1 = e x
p
p
p
ổ
ử
K = e x cos 2 x + 2 ỗ e x sin 2 x - 2ũe x cos 2 x = -2 K ữ = e x cos 2 x
ỗ
ữ
0
0
0
ố
ứ
p
e -1

5K = ep - 1 K =
5
Vy (III) ỳng.

(

(

)

(

)

p

)

- 4K
0

0

Cõu 42. Tớch phõn I =ũxe - x dx cú giỏ tr bng:
-2

2

A. - e + 1 .
B. 3e2 - 1 .

Hng dn gii:
ỡùu = x
ỡùdu = dx
ị
t ớ
ớ
ùợdv = e - x dx ùợv = -e - x

( )

I = - xe - x

0

0
-2

C. - e 2 - 1 .

0

( ) - (e )

+ũe - x dx = - xe- x
-2

-x

-2

0
-2

D. -2e 2 + 1 .

= - e 2 - 1.

p
ổ pử
Cõu 43. Tớch phõn ũx cos ỗ x + ữ dx cú giỏ tr bng:
ố 4ứ
0

A.

(p - 2)

2

2

p - 2) 2

B. - (

.

2

.

C.

(p + 2)
2

2

.

p + 2) 2

D. - (

2

.

Hng dn gii:
ỡu = x
ỡdu = dx
ùù
ùù
t ớ
ổ p ử ịớ
ổ pử
ùdv = cos ỗỗ x + ữữ dx ùv = sin ỗỗ x + ữữ
ố 4ứ
ố 4ứ
ợù

ợù
p

p

p
ộ
ổ p ửự
ổ pử
ổ 5p ử ộ ổ p ử ự
I = ờx sin ỗ x + ữ ỳ -ũsin ỗ x + ữ dx = p sin ỗ ữ + ờcos ỗ x + ữ ỳ
ố 4 ứ ỷỳ 0 0
ố 4ứ
ố 4 ứ ờở ố 4 ứ ỷỳ 0
ởờ

=-

ổ 5p
+ cos ỗ
2
ố4

p 2

ử
ổp ử
p + 2) 2
ữ - cos ỗ ữ = - (
.

2
ứ
ố4ứ

NGUYấNHMTCHPHNTNGPHNPN|

17


/>
 
 
b

Câu 44. Cho hai số thực a và b thỏa mãn a < b và òx sin xdx = p , đồng thời a cos a = 0 và
a

b

b cos b = -p . Tích phân òcos xdx có giá trị bằng:
a

A.

145
.
12

B. p .

C. -p .

D. 0 .

Hướng dẫn giải:
ìïu = x
ìïdu = dx
Đặt í
Þí
îïdv = sin xdx îïv = - cos x
b

b

I = - [x cos x] a +òcos xdx
a

b

b

b

Þòcos xdx = [x cos x] a +òx sin xdx = b cos b - a cos a + p = -p - 0 + p = 0
a

a

Câu 45. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [1; 2] .

Biết rằng F (1) = 1 , F (2) = 4 , G (1) =

2
3
67
, G (2) = 2 và ò f ( x)G ( x)dx =
. Tích phân
12
2
1

2

òF ( x) g ( x)dx

có giá trị bằng:

1

A.

11
.
12

B. -

145
.
12

C. -

11
.
12

D.

145
.
12

Hướng dẫn giải:
ìïu = F ( x)
ìïdu = f ( x) dx
Đặt í
Þí
ïîdv = g ( x) dx ïîv = G ( x)
2

2

2

2

òF ( x) g ( x)dx = [F ( x)G( x)] -òf ( x)G( x)dx = F (2)G(2) - F (1)G(1) -òf ( x)G( x)dx
1

1

1

1

3 67 11
= 4 ´ 2 - 1´ =
2 12 12
e

Câu 46. Tích phân ò(2 x - 5) ln xdx bằng:
1

e

e

A. - ( x 2 - 5 x) ln x -ò( x - 5)dx .
1

1

e

e

B. ( x 2 - 5 x) ln x +ò( x - 5)dx .
1

1

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – ĐÁP ÁN |       

18


/>
 
 
e

e

1

e

e

C. ( x 2 - 5 x) ln x -ò( x - 5)dx .

D. ( x - 5) ln x 1 -ò( x 2 - 5 x)dx .

1

1

Hướng dẫn giải:

ì
1
ìïu = ln x
ïdu = dx
Þí
Đặt í
x
îïdv = (2 x - 5)dx ïv = x 2 - 5 x
ïî
e

e

e

ò(2 x - 5) ln xdx = ( x 2 - 5 x) ln x -ò( x - 5)dx
1

1

1

p
2
1
Câu 47. Giá trị của tích phân I =ò 2 ln(sin x)dx là:
p sin x
6

A. - 3 ln 2 + 3 +

p

3 ln 2 + 3 -

. B.

p

.

C. - 3 ln 2 - 3 -

3
3
Hướng dẫn giải:
ìu = ln (sin x)
2
ï
ïìdu = cot xdx
Þ
Đặt í
í
1
ïdv =
dx ïîv = - cot x
2
ïî
sin x
p

p

I = - cot x ln (sin x) p2
6

p
3

. D. - 3 ln 2 + 3 -

p
3

.

p

p
æ
ö2
1
p
-òcot 2 xdx = çç 3 ln - cot x ÷÷ - x p2 = - 3 ln 2 + 3 2
3
è
øp
p
6
2

6

6

b

a

0

0

Câu 48. Biết rằng ò6dx = 6 và òxe x dx = a . Khi đó biểu thức b 2 + a 3 + 3a 2 + 2a có giá trị bằng:
A. 4.

B. 5.
Hướng dẫn giải:

C. 6.

D. 7.

b

Tính ò6dx = 6 Þ b = 1
0
a

Tính òxe x dx
0

ìïu = x
ìïdu = dx
Þ
Đặt í
í
ïîdv = e x dx ïîv = e x
a

òxe x dx = xe x
0

a
0

a

-òe x dx = ea - ea + 1 = a Þ a = 1 Þ b 2 + a 3 + 3a 2 + 2a = 7
0

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – ĐÁP ÁN |       

19


/>
 
 
p

p

Câu 49. Cho
A. 3.

m

2

-òx cos xdx = 1 . Khi đó 9m 2 - 6 bằng:
0

B. 30.
Hướng dẫn giải:

C. –3.

D. –30.

p
2

Tính I =òx cos xdx
0

ìïu = x
ìïdu = dx
Đặt í
Ûí
ïîdv = sin dx

ïîv = - cos x
p
p

I = x sin x

2
0

p

2

-òsin xdx = x sin x

2

p

+ cos x

0

0

2

=

0

p
2

- 1.

æp ö
- çç - 1÷÷ = 1Û m = 2 Û 9m 2 - 6 = 30
m è2 ø

p

p
2

Câu 50. Cho tích phân I =òx (sin x + 2m) dx = 1 + p 2 . Giá trị của tham số m là:
0

A. 3.

B. 4.
Hướng dẫn giải:

C. 5.

p

p

p

2

2

2

0

0

D. 6.

I =òx (sin x + 2m) dx =òx sin xdx + 2mòxdx
0

p
2

Tính A =òx sin xdx
0

ìïu = x
ìïdu = dx
Đặt í
Ûí
îïdv = sin dx
îïv = - cos x
p

p

2

A =òx sin xdx = (- x cos x)
0

2
0

p
2

Tính B = 2mòxdx = mx

p
2 2

0

p
2

I = A + 2mòxdx = 1 + mx
0

=

0

p

+òcos xdx = sin x
0

0

2

=1

0

mp 2
4

p
2 2

p

2

= 1+

mp 2
4

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – ĐÁP ÁN |       

20


/>
 
 

1+

mp 2
mp 2
= 1+p 2 Û
= p 2 Ûm = 4
4
4

21

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – ĐÁP ÁN |