Bài 31 ứng dụng tích phân tính thể tíchđa

/>
 

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 
TÍNH THỂ TÍCH – ĐÁP ÁN 
Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt 

 
 

Câu 1.

Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi
đồ thị hàm số y = f ( x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) , xung quanh trục Ox .
b

A. V = pò f 2 ( x) dx .
a

b

b

B. V =ò f 2 ( x) dx .
a

C. V = pò f ( x) dx .
a

b

D. V =ò f ( x) dx .
a

Đề minh họa 2017 – Lần 1

Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quanh trục hoành. Thể tích khối tròn xoay tạo thành
được tính theo công thức nào?

Câu 2.

b

b

ù2
A. V =òé
ë f ( x) - g ( x)û dx .

2
2
ù
B. V = pòé
ë f ( x) - g ( x)û dx .

a

a

b

b

ù2
C. V = pòé
ë f ( x) - g ( x)û dx .

ù
D. V = pòé
ë f ( x) - g ( x)û dx .

a

a

Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại
các điểm x = a, x = b (a < b) , có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có

Câu 3.

hoành độ x (a £ x £ b) là S ( x) .
b

b

A. V = pòS ( x) dx .
a

Câu 4.

B. V = pòS ( x) dx .

a

b

C. V =òS ( x) dx .
a

b

D. V = p 2òS ( x) dx .
a

Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox phần hình phẳng gạch chéo
trong hình vẽ, biết f ( x) = x 2 - 4 x + 4 .
1

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – TÍNH THỂ TÍCH – ĐÁP ÁN |       


/>
 

A. V = 3p .

B. V =

55
p.
3

C. V =

33
.
5

D. V =

p
5

.

Hướng dẫn giải:
3

3

3

1
3
V = pò( x - 2) dx = pò( x - 2) d ( x - 2) = p . ( x - 2) = 3p
3
0
0
0
2

2

Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3 + 1, y = 0, x = 0, x = 1

Câu 5.

quanh trục Ox là:

A.

79p
.
63

B.

23p
.
14

C.

5p
.
4

D. 9p .

Hướng dẫn giải:
1

(

1

2

3

)

1

(

V = pò x + 1 dx = pò
0

0

æ x7 x4
ö
23p
x + 2 x + 1 dx = p çç + + x ÷÷ =
è7 2
ø 0 14
6

3

)

Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3x, y = x, x = 0, x = 1 quanh

Câu 6.

trục Ox là:

A.

8p
.
3

B.

4p
.
3

C.

2p
.
3

D. p .

Hướng dẫn giải:
1

1

(

2

V = pò 9 x - x
0

Câu 7.

2

)

æ 3 x3 ö
8p
dx = p çç3 x - ÷÷ =
3 ø0 3
è

Cho hình phẳng (S ) được giới hạn bởi đường x =

1
, y = 1, y = 4 và trục Oy . Để xác định thể tích vật
y

tròn xoay khi cho (S ) quay quanh trục Oy ; một học sinh đã làm như sau:

æ4 1 ö2

I. V = p ç
çòy dy ÷÷
è1
ø

4

æp ö
II. V = - ç
ç y ÷÷
è ø1

III. V =

3p
4

2

Hỏi học sinh đã làm sai từ bước nào?
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – TÍNH THỂ TÍCH – ĐÁP ÁN |       


/>


A. Khụng cú.
B. I.
Hng dn gii:

C. II.

D. III.

ổ 1 ử2
Hc sinh ú sai ngay bc I. Sa ỳng phi l: V = pũỗ
ỗ ữữ dy
1ốyứ
4

Cõu 8.

Th tớch vt th trũn xoay khi quay hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y =

4
, y = 0, x = 1, x = 4 quanh
x

trc Ox l:

A. 4p .

B. 6p .
Hng dn gii:

4
4
ổ 4 ử2
16
16p

V = pũỗỗ ữữ dx = pũ 2 dx = x
1 ốxứ
1 x

Cõu 9.

C. 8p .

D. 12p .

4

= 12p
1

Th tớch vt th trũn xoay khi quay hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = 1 + x , Ox, x = 0, x = 4
quanh trc Ox l:

A.

28p 2
.
3

B.

68p
.
3

C.

28p
.
3

D.

68p 2
.
3

Hng dn gii:
4

(

V = pũ 1 + x
0

2

)

4

ổ 4x x x2 ử
68p
+ ữữ =
dx = pũ 1 + 2 x + x dx = p ỗỗ x +

3
2ứ
3
0
ố
0
4

(

)

Cõu 10. Th tớch ca khi trũn xoay sinh ra bi hỡnh phng gii hn bi cỏc ng cú phng trỡnh
1
2

x
2

y = x .e , Ox, x = 1, x = 2 quay quanh trc Ox cú s o bng:

B. p e 2 .
C. 4p .
Hng dn gii:
x ử2
1
2ổ
2
2 2ữ
ỗ

V = pũỗ x .e ữ dx = pũxe x dx
1ố
1
ứ
ổ x2 2 x ử
ùỡu = x
ùỡdu = dx
x 2
x 2
ỗ
ữ
t ớ

ị
=
=
= p e2
p
p
V
xe
e
dx
xe
e
ớ
ũ
ỗ
ữ
x

x
1
1
1
1
ố
ứ
ợùdv = e dx
ợùv = e
A. p e .

(

D. 16p .

)

Cõu 11. Cho hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = e x , y = 0, x = 0, x = 1 . Th tớch ca khi trũn xoay to
thnh khi quay hỡnh (H ) quanh trc Ox l:

A. p (e + 1) .

B. p e .

C. p (e - 1) .

D. p e - 1 .

3

Hng dn gii:

NGDNGCATCHPHNTNHTHTCHPN|


/>

1

2

( )

V = pũ e x
0

1

1

dx = pũe x dx = p e x = p (e - 1)
0

0

(

)

Cõu 12. Cho hỡnh phng (H ) gii hn bi cỏc ng y = 0, y = x e x + 1 , x = 0, x = 1 . Tớnh th tớch khi trũn

xoay c to thnh khi quay (H ) quanh trc honh.

A. V = p .

B. V =

3p
.
2

C. V =

p
2

.

D. V =

5p
.
2

Hng dn gii:
1

V = pũ0

(

(

2

))

x e +1
x

1

1
x2
p
dx = pũ0 x e + 1 dx = pũ0 xe dx + p
= pũ0 xe x dx +
2 0
2
1

(

1

)

x

x

ỡùu = v
ỡùdu = dx
1
1
1
1
t ớ
ị
ịũ0 xe x dx = xe x -ũ0 e x dx = e - e x = 1
ớ
x
x
0
0
ùợdv = e dx ùợv = e
p 3p
ịV = p + =
2 2

Cõu 13. Th tớch vt th trũn xoay khi quay hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = cos 4 x, Ox, x = 0, x =

p
8

quanh trc Ox l:

A.

p

2

B.

.

2

p2
16

C.

.

p
4

.

D.

(p +1)p .
16

Hng dn gii:
p

p

8

V = pũcos 2 4 xdx =
0

p

p ổ sin 8 x

8

ũ(cos8x +1) dx = 2 ỗỗố

2

0

8

p

ử 8 p2
+ x ữữ =
ứ 0 16

Cõu 14. Th tớch vt th trũn xoay khi quay hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = tan x, y = 0, x = 0, x =

p
3

quanh trc Ox l:

A. V = p 3 .

B. V =

p2
3

.

ổ
pử
C. V = p ỗỗ 3 + ữữ .
3ứ
ố

ổ
pử
D. V = p ỗỗ 3 - ữữ .
3ứ
ố

Hng dn gii:
p

p

p
3ổ

ử
ổ
1
pử
V = pũtan xdx = pũỗỗ 2 - 1ữữ dx = p (tan x - x) 03 = V = p ỗỗ 3 - ữữ
3ứ
ứ
ố
0
0 ố cos x
3

2

Cõu 15. Th tớch ca khi trũn xoay sinh ra bi hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y =

4
, y = 0, x = 0, x = 2
x-4

4

quay mt vũng quanh trc Ox l (theo n v th tớch).
NGDNGCATCHPHNTNHTHTCHPN|


/>
 

A. 2p .

B. 4p .
Hướng dẫn giải:

2

V = pò
0

2

16

dx = pò

2

(x - 4)

0

C. 6p .

D. 8p .

2

16
2

(x - 4)

-16
d ( x - 4) = p .
= 4p
x-4 0

Câu 16. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2 = x, x = a, x = b (0 < a < b)
quanh trục Ox là:
b

b

A. V = p 2òxdx .

b

C. V = p 2òxdx .

B. V = pò xdx .
a

a

a

b

D. V = p 2ò xdx .
a

Hướng dẫn giải:
Với x Î [a; b] thì y 2 = x Û y = x
b

2

( )

V = pò
a

x

b

dx = pòxdx
a

Câu 17. Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường y = x 2 , y = 0, x = 2 . Tính thể tích V của khối tròn xoay
thu được khi quay (H ) quanh trục Ox .

A. V =

8
.
3

B. V =

32
.
5

C. V =

8p
.
3

32p
.
5
Chuyên Thái Bình – Lần 3

D. V =

Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 = 0 Û x = 0
2

( )

V = pò x
0

2 2

2

x5
32p
=
dx = pòx dx = p
5 0
5
0
2

4

Câu 18. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x - 1, Ox, x = 3 quanh trục
Ox là:

A. 3p .

B. 2p .

C.

3
p.
2

D. p .

Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
3

(

V = pò
1

x -1 = 0Û x = 1
3

æ x2
ö
x - 1 dx = pò( x - 1) dx = p çç - x ÷÷ = 2p .
1
è2
ø1
2

)

3

5

Câu 19. Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y = 1 - x 2 ; x = 0; y = 0 khi quay quanh trục Ox
không được tính bằng công thức nào sau đây?
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – TÍNH THỂ TÍCH – ĐÁP ÁN |       


/>

1

(

A. pũ 1 - x
0

1

2 2

) dx .

1

(

2

ổ x3 ử
C. p ỗỗ x - ữữ .
3 ứ0
ố

)

B. pũ 1 - x dx .
0

D.

2p
.
3

Hng dn gii:

Phng trỡnh honh giao im: 1 - x 2 = 0 x = 1
1

(

V = pũ 1 - x
0

2

1

2

1

) dx = pũ(1 - x )
2

0

ổ
x 3 ửữ
2p

ỗ
dx = p ỗ x - ữ =
3 ứ0 3
ố

Cõu 20. Hỡnh phng C gii hn bi cỏc ng y = x 2 + 1 , trc tung v tip tuyn ca th hm s y = x 2 + 1

ti im (1; 2) , khi quay quanh trc Ox to thnh khi trũn xoay cú th tớch bng:

4
28
8
A. V = p .
B. V = p .
C. V = p .
5
15
15
Hng dn gii:
Tip tuyn vi th y = x 2 + 1 ti im (1; 2) cú phng trỡnh l y = 2 x .

D. V = p .

Th tớch ca khi trũn xoay to thnh khi quay hỡnh phng C quanh trc Ox bng:
1

(

2

2

)

1

2

1

(

VOx = pũ x + 1 - 4 x dx = p ũ
0

0

ổ x5 2 x3
ử
8p
x - 2 x + 1 dx = p ỗỗ + x ữữ =
3
ố5
ứ 0 15
4

2

)

Cõu 21. Cho hỡnh phng (H ) gii hn bi cỏc ng y = x , y = - x v x = 4 . Tớnh th tớch ca khi trũn
xoay to thnh khi quay hỡnh (H ) quanh trc honh nhn giỏ tr no sau õy:

A. V =

41p
40p
.
B. V =
.
3
3
Hng dn gii:

C. V =

38p
.
3

D. V =

41p
.
2

ỡù- x 0
x = -xớ
x = 0.
ùợ x = x 2

Phng trỡnh honh giao im l

4

Th tớch khi trũn xoay cn tỡm l VOx = pũ x 2 - x dx .
0

ộx = 0
.
Xột phng trỡnh x 2 - x = 0 ờ
ờởx = 1
1

2

4

2

1

(

2

)

4

1

(

VOx = pũ x - x dx + pũ x - x dx = pũ - x + x dx + pũ
0

1

0

1

4

ổ x3 x 2 ử
ổ x3 x 2 ử
41p
x - x dx = p ỗỗ- + ữữ + p ỗỗ - ữữ =
3
ố 3 2 ứ0
ố 3 2 ứ1
2

)

Cõu 22. Th tớch vt th trũn xoay sinh ra khi hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = x , y = - x + 2, y = 0

6

quay quanh trc Oy , cú giỏ tr l kờt qu no sau õy?

NGDNGCATCHPHNTNHTHTCHPN|


/>


1
2
11
32
A. V = p .
B. V = p .
C. V = p .
D. V = p .
15
3
3
6
Hng dn gii:
ỡù y 0
Ta cú y = x ớ
v y = - x + 2 x = 2 - y .
ùợ x = y 2
ộy = -2
. Do y 0 nờn y = 1 .
Xột phng trỡnh y 2 = 2 - y y 2 + y - 2 = 0 ờ
ờởy = 1
Th tớch khi trũn xoay cn tớnh khi quay quanh trc Oy l:

1

2

( ) - (2 - y)

VOy = pũ y
0

2 2

1

1

(

dy = p ũ
0

ổ y5 y3
ử
32p
y - y + 4 y - 4 dy = p ỗỗ - + 2 y 2 - 4 y ữữ =
15
ố5 3
ứ0
4

2

)

Cõu 23. Th tớch ca khi trũn xoay to nờn khi quay quanh trc Ox hỡnh phng gii hn bi (C ) : y = ln x ,

trc Ox v ng thng x = e l:
A. V = p (e - 2) .

B. V = p (e - 1) .

C. V = p e .

D. V = p (e + 1) .

Hng dn gii:
Xột phng trỡnh ln x = 0 x = 1 .

ỡ
ỡùu = ln 2 x ùdu = 2 ln x dx
Th tớch cn tớnh l VOx = pũln xdx . t ớ
ịớ
x
ùợdv = dx
ù
1
ợv = x
e
ổ
ử
e

Khi ú VOx = p ỗỗ x ln 2 x - 2ũln xdx ữữ = p (e - 2 I )
1
1
ố
ứ
ỡ
1
e
ùỡa = ln x ùda = dx
ịớ
Tớnh I =ũln xdx . t ớ
x .
1
ợùdb = dx ùb = x
ợ
e

e

2

e

Suy ra I = ( x ln x) 1 -ũdx = e - (e - 1) = 1 . Vy VOx = p (e - 2)
1

Cõu 24. Th tớch vt th trũn xoay khi quay hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = ln x, y = 0, x = 2 quanh trc
Ox l:

A. 2 ln 2 2 - 4 ln 2 + 2 .

(

(

B. p 2 ln 2 2 + 4 ln 2 - 2 . C. p 2 ln 2 2 - 4 ln 2 + 2 . D. p (2ln 2 - 1) .

)

)

Hng dn gii:
2

Phng trỡnh honh giao im: ln x = 0 x = 1 ị V = pũln 2 xdx
1

ỡ
2 ln x
2
ộ 2
ự
ùdu =
ùỡu = ln x
ờ
t ớ
p
V
x
ln

x
2 ln xdx ỳ
ớ
ị
=
x
ũ
ù
1
ởờ
ỷỳ
ợùdv = dx
ợv = x

7

2

NGDNGCATCHPHNTNHTHTCHPN|


/>
 

ì
1
ìïu = ln x
ïdu =
Đặt í
Ûí

x
ïîdv = 2dx
ï
îv = 2 x
2
é
ù
2
2
V = p êx ln 2 x - 2 x ln x 1 +ò2dx ú = p
1
êë
úû
1

2
2ù
é 2 2
2
êëx ln x 1 - 2 x ln x 1 + 2 x 1 úû = p 2 ln 2 - 4 ln 2 + 2

(

)

Câu 25. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x ln x , y = 0, x = e quanh

trục Ox là:
3

4e + 1
4e 3 - 1
A. p
.
B. p
.
9
9
Hướng dẫn giải:

2e 3 + 1
C. p
.
9

2e3 - 1
D. p
.
9

Tọa độ giao điểm của đường x = e với y = x ln x là điểm C (3;3) . Tọa độ giao điểm của đường y = x ln x
với y = 0 là A (1;0) .
e

(

V = pò x ln x
1

2

)

e

dx = pòx 2 ln xdx
1

ì
dx
e
ïdu =
2
e
e 2
ìïu = ln x
1 3
2e 3 + 1
p 3
p x3
x
x
ï
V
x
x
dx
x
x
Û

Þ
=
=
=
ln
ln
p
p
Đặt í
í
ò
3
3
9 1
9
x3
ïîdv = x 2 dx
ï
1 3
1
1
ïv =
3
î
Câu 26. Viết kí hiệu (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2 ( x - 1) e x , trục tung và trục hoành.

Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H ) xung quanh trục Ox.
A. V = 4 - 2e .

B. V = (4 - 2e)p .

C. V = e 2 - 5 .

(

D. V = e 2 - 5 p .

)

Đề minh họa 2017 – Lần 1
Hướng dẫn giải:
1

1

0

0

2
V = pòéë2 ( x - 1) e x ùû dx = 4pò x 2 - 2 x + 1 e 2 x dx = 4p I1

(

)

ì
1
1
ìïu = x 2 - 2 x + 1 ïdu = 2 x - 2

1
e2 x
2
2x
2x
Þ
Þ
=
+
I
x
2
x
1
x
1
e
dx
=
- I2
Đặt í
í
ò
)
e
(
2 0 0
2
ïîdv = e 2 x dv
ïv =

îï
2
ìdu1 = dx
1
1
ìïu1 = x - 1
ï
e2 x
1 1 2x
1 e2 x
3 e2
2
x
Þ
Þ
=
=
=
I
x
e
dx
Đặt í
1
í
e
( ) 2 2ò0
1
2
4

4
4
ïîdv1 = e 2 x dx ïv1 =
0
0
îï
2

(

e2 - 5
Þ I1 =
Þ V = e2 - 5 p
4

(

)

)

8

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – TÍNH THỂ TÍCH – ĐÁP ÁN |       


/>


Cõu 27. Khi trũn xoay to nờn khi ta quay quanh trc Ox hỡnh phng D gii hn bi th (P) : y = 2 x - x 2

v trc Ox s cú th tớch l:
A. V =

16p
.
B. .
15
Hng dn gii:

C. V =

12p
.
15

D. V =

4p
.
15

ộx = 0
Xột phng trỡnh 2 x - x 2 = 0 ờ
ờởx = 2
Hỡnh phng D gii hn bi (P) v trc Ox quay quanh Ox to nờn khi trũn xoay cú th tớch l:
2

(

VOx = pũ 2 x - x
0

2 2

)

2

ổ4
x5 ử
16p
dx = pũ 4 x - 4 x + x dx = p ỗỗ x3 - x 4 + ữữ =
5 ứ 0 15
0
ố3
2

(

2

3

4

)

Cõu 28. Tớnh th tớch ca khi trũn xoay khi quay quanh trc honh ca hỡnh phng gii hn bi th hm s
y = x (4 - x) vi trc honh.

A.

512
.
15

B.

32
.
3

C.

512p
.
15

D.

32p
.
3

Hng dn gii:

ộx = 0
Phng trỡnh honh giao im: x (4 - x) = 0 ờ
ờởx = 4
4

4

2

4

(

4

3

V = pũởộx (4 - x)ỷự dx = pũ x - 8 x + 16 x
0

0

2

)

ổ x5
16 x 3 ửữ
512p
dx = p ỗỗ - 2 x 4 +
=
ữ
3 ứ0
15

ố5

Cõu 29. Tớnh th tớch ca khi trũn xoay c to thnh khi quay hỡnh phng c gii hn bi y = 2 - x 2 ; y = 1

quanh trc Ox .
A.

56
p.
15

B.

15
p.
56

C.

56
.
15

D.

15
.
56

Hng dn gii:

ộx = 1
Phng trỡnh honh giao im: 2 - x 2 = 1 x 2 = 1 ờ
ờởx = -1
1

1

ộ
V = pũờ 2 - x 2
ở
-1

(

2

)

1
ổ x5 4 x3
ử
56
- 1 ỳự dx = pũ x 4 - 4 x 2 + 3 dx = p ỗỗ + 3 x ữữ = p
ỷ
3
-1
ố5
ứ -1 15
2

(

)

Cõu 30. Tớnh th tớch khi trũn xoay khi quay phn mt phng gii hn bi ng cong y = x 2 v y = x

quanh trc Ox .

13p
13p
A. V =
.
B. V =
.
5
15
Hng dn gii:

9

3p
C. V =
.
10

3p
D. V =
.
5

NGDNGCATCHPHNTNHTHTCHPN|


/>


ộx = 0
Phng trỡnh honh giao im: x 2 = x ờ
ờở x = 1
1

1

ộ
V = pũờ
ở
0

2 2

( x ) - (x )

1
ổ x 2 x5 ử
ự
4
ỗ - ữ = 3p
=
=

p
p
dx
x
x
dx
ũ
ỳỷ
ỗ2 5ữ
0
ố
ứ 0 10

(

)

Cõu 31. Hỡnh phng gii hn bi th hai hm s y = 2 x - x 2 v y = x khi quay quanh trc Ox to thnh

khi trũn xoay cú th tớch bng:
A. V =

p
3

.

B. V =

p

.

4

C. V =

p
5

.

D. V = p .

Hng dn gii:

ộx = 0
Xột phng trỡnh 2 x - x 2 = x x ( x - 1) = 0 ờ
ờởx = 1
1

(

Th tớch khi trũn xoay cn tỡm l VOx = pũ 2 x - x
0

2 2

)

1

ổ 3 4 x5 ử
p
- x dx = p ũ 3 x - 4 x + x dx = p ỗỗ x - x + ữữ =
5 ứ0 5
0
ố
1

2

(

2

3

4

)

Cõu 32. Th tớch vt th trũn xoay sinh ra khi hỡnh phng gii hn bi cỏc parabol y = 4 - x 2 v y = 2 + x 2

quay quanh trc Ox l kt qu no sau õy?
A. V = 10p .
B. V = 12p .
C. V = 14p .
Hng dn gii:
Xột phng trỡnh 4 - x 2 = 2 + x 2 x = 1 .

1

(

Th tớch cn tỡm l VOx = pũ 4 - x 2
-1

2

) (

- 2 + x2

2

)

1

D. V = 16p .

(

(

dx = p ũ 12 - 12 x 2 dx = p 12 x - 4 x3
-1

)

)

1
-1

= 16p

Cõu 33. Th tớch vt th trũn xoay khi quay hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = - x 2 + 2 x, y = 0 quanh trc
Ox l:

A.

196p
.
15

B.

4p
.
3

C.

64p
.
15

D.

16p
.
15

Hng dn gii:

ộx = 0
Phng trỡnh honh giao im: - x 2 + 2 x = 0 ờ
ờởx = 2
2

(

2

V = pũ - x + 2 x
0

2

2

) dx = pũ(x
0

2

4

3

- 4x + 4x

2

)

ổ x5
4 x 3 ửữ
16p
dx = p ỗỗ - x 4 +
=
ữ
3 ứ 0 15
ố5

Cõu 34. Th tớch vt th trũn xoay khi quay hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = 1 - x 2 , y = 0 quanh trc

10

Ox l:
NGDNGCATCHPHNTNHTHTCHPN|


/>
 

A.

3p

.
2

B.

2p
.
3

C.

p
2

.

D.

4p
.
3

Hướng dẫn giải:

Phương trình hoành độ giao điểm: 1 - x 2 = 0 Û x = ±1
1

(

V = pò 1 - x

-1

2

1

2

1

) dx = pò(1 - x )
2

-1

æ
x3 ö
4p
dx = p çç x - ÷÷ =
3 ø -1 3
è

Câu 35. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường 4 y = x 2 , y = x qua quanh

trục hoành bằng bao nhiêu?
124p
126p
A. V =
.
B. V =

.
15
15
Hướng dẫn giải:
Xét phương trình

C. V =

128p
.
15

D. V =

131p
.
15

éx = 0
x2
= x Û x ( x - 4) = 0 Û ê
êëx = 4
4

4
æ x2 ö 2 2
x4
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là VOx = pòçç ÷÷ - x dx = pò - x 2 dx = p
0 è 4 ø
0 16

4

4

æ x5 x3 ö
ç - ÷ = 128p
ç 80 3 ÷
15
è
ø0

Câu 36. Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường y = - x 2 + 2 x và y = 0 . Tính thể tích của khối tròn xoay

tạo thành khi quay hình (H ) quanh trục Oy là:
A. V =

7p
8p
.
B. V =
.
3
3
Hướng dẫn giải:

C. V =

10p
.
3

D. V =

16p
.
3

éx = 1 + 1 - y
2
Từ hàm số y = - x 2 + 2 x Û1 - y = ( x - 1) Û êê
.
êëx = 1 - 1 - y
Xét phương trình 1 + 1 - y = 1 - 1 - y Û y = 1 .
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là
3

1

(

VOy = pò 1 + 1 - y
0

2

) (

- 1- 1- y

2

)

1

1

dy = pò4 1 - y dy = 4pò
0

0

8p 1 - y)2
1 - ydy = - (
3

1

=
0

8p
3

Câu 37. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y 2 = 4 x và đường thẳng x = 4 . Thể tích của khối tròn
A. 4p .

xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là:
B. 16p .
C. 32p .

Hướng dẫn giải:

D. 64p .

11

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – TÍNH THỂ TÍCH – ĐÁP ÁN |       


/>
 

Phương trình tung độ giao điểm:

y2
= 4 Û y = ±4
4

Phần phía trên Ox của đường y 2 = 4 x có phương trình y = 2 x
4
0

2

( )

V = pò 2 x

4

4

dx = pò4 xdx = p .2 x 2 = 32p
0

0

Câu 38. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 3 - 6 x 2 + 9 x, y = 0 quanh
trục Ox là:

A.

729p
.
35

B.

27p
.
4

C.

256608p
.
35

D.

7776p
.
5

Hướng dẫn giải:

éx = 0
Phương trình hoành độ giao điểm: x3 - 6 x 2 + 9 x = 0 Û ê
êëx = 3
3
3
2
729p
4
V = pò x3 - 6 x 2 + 9 x dx = pòx 2 ( x - 3) dx =
35
0
0

(

)

Câu 39. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2 x 2 , y 2 = 4 x quanh trục
Ox là:

A.

88p
.

5

B.

9p
.
70

C.

4p
.
3

D.

6p
.
5

Hướng dẫn giải:

12

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – TÍNH THỂ TÍCH – ĐÁP ÁN |       


/>

ộx = 0
Phng trỡnh honh giao im: 2 x 2 = 2 x ờ
ờởx = 1
1

ộ
V = pũờ 2 x
0 ở

1

2

2 2

( ) - (2 x )

1
ổ
4 x 5 ửữ
6p
ự
4
ỗ
p
4
4
p
2
dx

x
x
dx
x
=
=
=
ỳ
ũ
ỗ
ữ
ỷ
5 ứ0 5
0
ố

(

)

Cõu 40. Cho hỡnh phng (H ) gii hn bi y =

1 3 2
x - x v Ox . Th tớch khi trũn xoay sinh ra khi quay (H )
3

quanh Ox bng:

A.

81p
.
35

B.

53p
.
6

C.

81
.
35

53
.
6
Qung Xng Thanh Húa Ln 1
D.

Hng dn gii:

ộx = 0
1 3 2
x - x = 0 ờ
ờởx = 3
3

Phng trỡnh honh giao im:

3

3
ổ1
ổ1 3 2 ử 2
ổ1
ử
2
1
x5 ử
81
V = pũỗỗ x - x ữữ dx = pũỗỗ x 6 - x 5 + x 4 ữữ dx = p ỗỗ x 7 - x 6 + ữữ = p
3
9
5 ứ 0 35
ứ
ứ
0 ố3
0 ố9
ố 63
3

Cõu 41. Th tớch vt th trũn xoay khi quay hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = ax 2 , y = bx (a, b ạ 0)
quanh trc Ox l:

A. V = p .

2b 3

b5
.
B
.
.
V
=
p
.
15a 3
5a 3
Hng dn gii:

C. V = p .

b5
.
3a 3

D. V = p .

2b5
.
15a 3

ộx = 0
ờ
Phng trỡnh honh giao im: ax = bx ờ b
ờx =
ở a

2

b
a

2

b
a

b

( ) dx = pũ(b x

V = pũ(bx) - ax
0

2 2

0

2

2

- a2 x4

)

5

ổ b 2 x3 a 2 x5 ử a
ữ = p . 2b 3
dx = p ỗỗ
5 ữứ 0
15a
ố 3

13

NGDNGCATCHPHNTNHTHTCHPN|


/>


Cõu 42. Th tớch vt th trũn xoay khi quay hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = 4 - x 2 , y =

1 2
x quanh
3

trc Ox l:

A. V =

24p 3
28p 3
.
B. V =
.

5
5
Hng dn gii:

Phng trỡnh honh giao im:
ộ
V =pũờ
ờ
- 3ở
3

2

( 4- x )
2

C. V =

4 - x2 =

28p 2
.
5

D. V =

24p 2
.
5

1 2
x x = 3
3

3
ổ
ổ 1 2 ử 2 ỳự
ộ
1 4ự
x 3 x 5 ửữ
2
ỗ
- ỗỗ x ữữ dx = p ũ ờ4 - x - x ỳ dx = p ỗ4 x - - ữ
ờ
9 ỳỷ
3 9 ứố 3 ứ ỳỷ
ố
- 3ở

3

=
3

28p 3
5

1
x2
. Tớnh th tớch khi

,
y
=
g
x
=
)
(
1 + x2
2
trũn xoay thu c to thnh khi quay D quanh trc Ox ? Th tớch c vit di dng

Cõu 43. Cho D l min phng gii hn bi cỏc ng y = f ( x) =
T = mp 2 + np ; m, n ẻ thỡ tng giỏ tr m + n l ?

A.

1
.
2

B.

13
.
20

C.

2

.
5

D.

3
.
5

Hng dn gii:
Phng trỡnh honh giao im:

ộx = 1
x2
1
=
ờ
2
1+ x
2
ởờx = -1

1
ổ 1 ử 2 x4
1
ữ
V = pũ ỗỗ
dx
p
=

ũ
2 ữ
2
4
-1 ố1 + x ứ
-1 1 + x
1

(

1

Tớnh I =ũ
-1

1

(

1 + x2

2

)

1
x4
1
dx -ũ dx = p ũ
2

-1 4
-1 1 + x

1

1

2

)

(

2

)

1
x5
1
dx =pũ
2
20 -1
-1 1 + x

(

2

)

dx -

1
1
=p I 10
10

dx

ổ -p p ử
1
dt = 1 + tan 2 t dt
t x = tan t , t ẻ ỗỗ ; ữữ dx =
2
cos t
ố 2 2ứ

(

p

p
2

4

1 + tan t

p

(1 + tan t)

I =ũ
-

4

2

p

1 4
p 1
p 1 1 p 2 2p
=
+
dt = ũcos tdt = ũ(1 + cos 2t ) dt ị I = + ị V = p + 2 -p
4 2
4 2 10
4
5
p
4

2

)

2

4

4

Cõu 44. Th tớch ca phn vt th gii hn bi hai mt phng x = 0 v x = 3 , cú thit din b ct bi mt phng
vuụng gúc vi trc Ox ti im cú honh x (0 Ê x Ê 3) l mt hỡnh ch nht cú hai kớch thc
bng x v 2 9 - x 2 , bng:
A. V = 3 .
B. V = 18 .
Hng dn gii:

C. V = 20 .

D. V = 22 .

14

Din tớch ca hỡnh ch nht cú hai kớch thc x v 2 9 - x 2 bng: 2 x 9 - x 2
NGDNGCATCHPHNTNHTHTCHPN|


/>

3

Do vy th tớch ca vt th ó cho bng V =ũ2 x 9 - x 2 dx
0

t

ỡù x = 0 ị t = 3
9 - x 2 = t ị x 2 = 9 - t 2 ị xdx = -tdt . i cn ớ
ùợ x = 3 ị t = 0
0

0
ổ 2 ử
Suy ra V = -2ũt 2 dt = ỗỗ- t 3 ữữ = 18
ố 3 ứ3
3

Cõu 45. Tớnh th tớch vt th nm gia hai mt phng cú phng trỡnh x = 0 v x = 2 , bit rng thit din ca vt
th b ct bi mt phng vuụng gúc vi trc Ox ti im cú honh x ẻ [0; 2] l mt phn t ng
2x 2 , ta c kt qu no sau õy?

trũn bỏn kớnh

A. V = 32p .

B. V = 64p .

C. V =

16
p.
5

D. V = 8p .

Hng dn gii:

1
Ta cú din tớch thit din l S ( x) = p
4

(

2 x2

2

1

) = 2p x .
4

2

ổ 1 x5 ử
1
16p
Th tớch cn tỡm l V =ũ p x 4 dx = ỗỗ p . ữữ =
5
0 2
ố2 5 ứ 0
2

Cõu 46. Tớnh th tớch khi trũn xoay trong khụng gian Oxyz gii hn bi hai mt phng x = 0, x = p v cú
thit din ct bi mt phng vuụng gúc vi Ox ti im ( x;0;0) bt k l ng trũn bỏn kớnh

sin x

.

A. V = 2 .

B. V = 2p .
Hng dn gii:

C. V = 4 .

D. V = 4p .

Khi trũn xoay trong bi cú c bng cỏch quay hỡnh phng to bi cỏc ng y = sin x , Ox, x = 0, x = p
quay trc Ox .
p

(

V = pũ sin x
0

2

)

p

p

dx = pũsin xdx = p cos x 0 = 2p
0

Cõu 47. Tớnh th tớch ca vt th nm gia hai mt phng x = 1 v x = 3 , bit rng khi ct vt th bi mt
phng tựy ý vuụng gúc vi trc Ox ti im cú honh x (1 Ê x Ê 3) thỡ c thit din l mt hỡnh
ch nht cú di hai cnh l 3x v
124p
A. V = 32 + 2 15 .
B. V =
.
3

3x 2 - 2 .

C. V =

124
.
3

(

)

D. V = 32 + 2 15 p .
minh ha 2017 Ln 3 15

Hng dn gii:
Din tớch thit din hỡnh ch nht l: S ( x) = 3 x 3 x 2 - 2

NGDNGCATCHPHNTNHTHTCHPN|


/>
 
3

3

1

1

V =òS ( x) dx =ò3 x 3 x 2 - 2dx

ìï x = 1 Þ t = 1
3x 2 - 2 = t Û 3 x 2 - 2 = t 2 Û 3 xdx = tdt . Đổi cận: í
ïî x = 3 Þ t = 5

Đặt

5

t3
124
Þ V =òt dt =
=
31
3
1

5

2

Câu 48. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn
x 2 + y 2 = 16 (nằm trong mặt phẳng Oxy ), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được
thiết diện là hình vuông. Thể tích của vật thể là:

4

(

A. ò4 16 - x 2 dx .
-4

)

4

4

B. ò4 x 2 dx .

C. ò4p x 2 dx .

-4

-4

4

(

D. ò4p 16 - x 2 dx .
-4

)

Hướng dẫn giải:
Thiết diện cắt trục Ox tại điểm H có hoành độ bằng x thì cạnh của thiết diện bằng: 2 16 - x 2 .
4

4

-4

-4

(

Vậy thể tích của vật thể bằng: V = pòS ( x) dx = pò4 16 - x 2 dx

)

Câu 49. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn
x 2 + y 2 = 16 (nằm trong mặt phẳng Oxy ), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được
thiết diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là:
y

O

x
16

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – TÍNH THỂ TÍCH – ĐÁP ÁN |       


/>
 

A.

256
256 3
.
B.
.
3
3
Hướng dẫn giải:

C.

32 3
.
3

D.

32

.
3

Giao điểm của thiết diện và Ox là H . Đặt OH = x suy ra cạnh của thiết diện là 2 16 - x 2 . Diện tích thiết diện

(

tại H là S ( x) = 4 16 - x 2 .
4

3
= 16 - x 2
4

(

)

3.

4

(

V =ò 16 - x
-4

)

2

)

æ
x3 ö
256 3
3dx = 3 çç16 x - ÷÷ =
3 ø -4
3
è

Câu 50. Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0; x = p , biết rằng thiết diện của vật thể với mặt
phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 £ x £ p ) là một tam giác đều có cạnh là
2 sin x .

A.

B.

3.

p
3

C. 2 3 .

.

D. 2p .

Hướng dẫn giải:

(

Gọi S ( x) là diện tích của thiết diện đã cho thì: S ( x) = 2 sin x
p

p

0

0

2

3

).4

= 3 sin x

p

V =òS ( x) dx =ò 3 sin xdx = - 3 cos x = 2 3
0

17

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – TÍNH THỂ TÍCH – ĐÁP ÁN |