Hướng dẫn giải bài tập Kết Cấu Công Trình - Chương 1

KS Nguyn Hi Hng
5
Chương 1
CẤU KIỆN CHỊU UỐN
(TÍNH TOÁN THEO CƯỜNG ĐỘ)
Cấu kiện chòu uốn là cấu kiện cơ bản rất hay gặp trong thực tế. Đó là
các dầm, bản của sàn gác, mặt cầu, cầu thang, là các lanh tô, ô văng, là các
xà ngang của khung v,v… Về hình dáng có thể chia cấu kiện chòu uốn ra làm
hai loại đó là bản và dầm. Các thành phần nội lực xuất hiện trong cấu kiện
chòu uốn gồm có mômen uốn và lực cắt.
1.1. Những kiến thức cơ bản
1.1.1. Công thức tính toán cơ bản
a. Tiết diện chữ nhật đặt cốt đơn
- Phương trình hình chiếu các lực lên phương trục dầm:
aan
F.Rx.b.R0X =⇔=
∑
(1.1)
- Phương trình mômen các lực với trục qua điểm đặt hợp lực của F
a
:
( )
∑






−=⇔
2

x
h.x.b.RMM
0nghF
a
(1.2)
- Phương trình mômen các lực với trục qua điểm đặt hợp lực bêtông miền nén:






−=≤
2
x
h.F.RMM
0aagh
(1.3)
- Điều kiện hạn chế
00
h.x α≤ (1.4)
( )
7,05,0
0
÷=α , phụ thuộc vào mác bêtông và nhóm cốt thép (lấy theo
phụ lục 6).
max
a
n
0

0
a
R
R
.
h.b
F
µ=α≤=µ
(1.5)
- Hàm lượng cốt thép phải bảo đảm:
maxmin
µ≤µ≤µ (1.6)
- Hàm lượng cốt thép
min
µ tra bảng 1.1.
* Các bài toán
- Đặt
,
h
x
0
=α từ công thức (1.1) ta có:
α= .h.b.RF.R
0naa
(1.7)
- Đặt
( )
,.5.01.A α−α= từ công thức (1.2) ta có:
A.h.b.RMM
2

0ngh
=≤ (1.8)
- Đặt
( )
,.5,01 α−=γ từ công thức (1-3) ta có:
γ=≤ .h.F.RMM
0aagh
(1.9)
Chú ý: Để thuận tiện trong việc tham khảo Giáo trình Kết cấu công trình, trong tài
liệu này chúng tôi giữ nguyên số hiệu các công thức tương ứng trong giáo trình.
KS Nguyn Hi Hng
6
- Các hệ số γα A,, có quan hệ với nhau (phụ lục 7).
- Điều kiện hạn chế (1.4) có thể viết thành:
0
AA ≤ hoặc
0
α≤α (1.10)
Bài toán 1:
Tính cốt thép F
a
khi biết mômen M; kích thước tiết diện b.h;
số hiệu bê tông, cốt thép; các hệ số tính toán.
- Từ công thức (1.8), ta có:
2
0n
h.b.R
M
A =
- Nếu

0
AA ≤ (có nghóa là
0
α≤α ,
00
h.x α≤ ) tra bảng phụ lục 7 ra
α
hoặc γ ,
hoặc tính
;A211 −−=α
( )
;A211.5,0 −+=γ α
là tỷ số của chiều cao vùng
nén, (x) và chiều cao tính toán của tiết diện (h
0
).
- Tìm được
α
, thay
α
vào công thức (1.7) ta có:
a
0n
a
R
.h.b.R
F
α
=
- Hoặc tìm được

γ ; thay vào công thức (1.9) ta có:
γ
=
.h.R
M
F
0a
a
- Kiểm tra:
a
n0
max
0
a
R
R.
h.b
F α
=µ≤=µ
- Cần bảo đảm:
maxmin
µ≤µ≤µ .
Bảng 1.1: Hàm lượng cốt thép tối thiểu
min
µ
Mác bêtông
200150 ÷ 400250 ÷ 600500 ÷
%
min
µ

0,1 0,15 0,2
- Thông thường
( )
%6,03,0 ÷=µ với bản,
( )
%2,16,0 ÷=µ với dầm thì kích thước
tiết diện là hợp lý.
- Nếu
0
AA > , không bảo đảm điều kiện hạn chế, phải tăng kích thước tiết
diện, mác bêtông để
0
AA ≤ rồi tính theo cốt đơn hoặc cũng có thể tính theo
cốt kép.
Bài toán 2:
Chọn kích thước tiết diện b.h, tính F
a
khi biết M; số hiệu
bêtông, cốt thép, các hệ số tính toán.
- Với hai công thức (1.7), (1.8) nhưng có 4 ẩn số b, h, F
a
,
α vì vậy phải giả
thiết 2 ẩn số và tính 2 ẩn còn lại.
+ Giả thiết kích thước tiết diện b.h theo kinh nghiệm và điều kiện cấu
tạo rồi tính F
a
theo bài toán 1.
+ Giả thiết b và
α sau đó tính h

0
và F
a
:
- Chọn b theo kinh nghiệm, theo yêu cầu cấu tạo và yêu cầu kiến trúc. Lấy
( )
25,01,0 ÷=α với bản, và
( )
4,03,0 ÷=α với dầm, từ đó suy ra A.
+ Từ công thức (1-8), ta có:
b.R
M
.
A
1
h
n
0
=
KS Nguyn Hi Hng
7
+ Chiều cao tiết diện )ah(h
0
+= chọn phù hợp theo yêu cầu cấu tạo.
- Sau khi kích thước tiết diện b.h đã biết, việc tính F
a
như bài toán 1.
Bài toán 3:
Kiểm tra cường độ (xác đònh M
gh

) khi biết kích thước tiết diện,
diện tích cốt thép F
a
, số hiệu bêtông và cốt thép, các hệ số tính toán.
- Từ công thức (1.7) ta có:
0n
aa
h.b.R
F.R
=α
- Nếu
0
α≤α
tra bảng ra A, thay A vào công thức (1.8), ta có:
A.h.b.RM
2
0ngh
=
- Nếu
0
α>α
chứng tỏ cốt thép chòu kéo F
a
quá nhiều, lấy A = A
0
thay vào
công thức (1.8), ta có:
0
2
0ngh

A.h.b.RM =
- Điều kiện bảo đảm về cường độ là:
gh
MM ≤
b. Tiết diện chữ nhật đặt cốt kép
* Công thức cơ bản
- Phương trình hình chiếu và mômen viết được hai công thức cơ bản sau:
'
a
'
anaa
F.Rx.b.RF.R += (1.11)
( )
'
0
'
a
'
a0ngh
ah.F.R
2
x
h.x.b.RMM −+






−=≤ (1.12)

+ Đặt
,
h
x
0
=α
( )
α−α= 5,01.A , hai công thức (1.11), (1.12) có dạng sau:
'
a
'
a0naa
F.R.h.b.RF.R +α= (1.13)
( )
'
0
'
a
'
a
2
0ngh
ah.F.RA.h.b.RMM −+=≤ (1.14)
- Điều kiện hạn chế:
00
'
h.xa2 α≤≤ hoặc
0
0
'

h
a2
α≤α≤ (1.15)
* Các bài toán
Bài toán 1:
Tính F
a
và
'
a
F
khi biết M, b, h, số hiệu bêtông, cốt thép,…
- Điều kiện tính cốt kép: 5,0
h.b.R
M
AA
2
0n
0
≤=≤
- Lấy
00
h.x α= , thay A = A
0
vào công thức (1.14) ta có:
)ah(R
bhRAM
F
'
0

'
a
2
0n0
'
a
−
−
=
- Thay
0
α=α vào công thức (1-13), ta có:
a
'
a
'
a
a
0n0
a
R
FR
R
bhR
F +
α
=
Bài toán 2:
Tính F
a

khi biết
'
a
F , b, h, số hiệu bêtông, cốt thép, M,…
KS Nguyn Hi Hng
8
- Từ công thức (1.14) ta có:
2
0n
'
0
'
a
'
a
bhR
)ah(FRM
A
−−
=
- Từ A ta suy ra
α .
- Nếu
0
α>α
chứng tỏ
'
a
F
còn ít, chưa đủ bảo đảm cường độ ở vùng nén nên

cần tính lại
'
a
F
và F
a
theo bài toán 1 hoặc tăng b, h, R
n
cho
0
α<α
rồi mới tính
tiếp.
- Nếu
0
0
h
a2
α≤α<
′
thì thay α vào (1-13) ta có:
a
'
a
'
a
a
0n
a
R

FR
R
bhR.
F +
α
=
- Nếu
0
h
a2
′
<α
thì ứng suất ở
'
a
F
đạt
'
a
'
a
R<σ
chứng tỏ
'
a
F
quá nhiều cho phép
lấy
'
a2x = , viết phương trình mômen với trục qua trọng tâm

'
a
F
, ta có:
( )
'
0aagh
ah.F.RMM −=≤
- Từ đó ta rút ra:
)ah(R
M
F
0a
a
′
−
=
Bài toán 3:
Kiểm tra cường độ (tính M
gh
) khi biết b, h, F
a,
'
a
F
, số hiệu
bêtông cốt thép,…
- Từ công thức (1.13), ta có:
0n
'

a
'
aaa
bhR
FRFR −
=α
- Nếu
0
α>α chứng tỏ
'
a
F quá nhiều, thay A = A
0
vào công thức
( )
14.1 ta có:
( )
'
0
'
a
'
a
2
0ngh
ah.F.RA.h.b.RM −+=
- Nếu
0
0
h

a2
α≤α<
′
, suy ra A và thay vào công thức (1-14) ta có:
)ah(F.RA.h.b.RMM
'
0
'
a
'
a0
2
0ngh
−+=≤
- Nếu
0
h
a2
′
<α từ
( )
'
0aagh
ah.F.RMM −=≤
Ta có: )ah.(F.RM
'
0aagh
−=
- Điều kiện để cấu kiện đảm bảo về mặt cường độ là:
gh

MM ≤
c. Tiết diện chữ T đặt cốt đơn, cánh nằm trong miền nén
- Phương trình hình chiếu của các lực lên trục dầm:
R
a
F
a
= R
n
bx + R
n
(b
c
’
- b)h
c
’
(1.16)
- Phương trình mômen các lực lấy với trục qua trọng tâm cốt thép F
a
:
M
gh
= R
n
.b.x.(
2
x
h
0

− ) + R
n
(b
c
’
- b).h
c
’
.(
2
h
h
'
c
0
− ) (1.17)
KS Nguyn Hi Hng
9
+ Đặt ,
h
x
0
=α
( )
α−α= 5,01.A , các công thức (1.36), (1.37) có dạng:
( )
'
c
'
cn0naa

h.bb.R.h.b.RF.R −+α=
(1.18)
( )








−−+=≤
2
h
h.h.bb.RA.h.b.RMM
'
c
0
'
c
'
cn
2
0ngh
(1.19)
- Điều kiện hạn chế:
( )
0000
AA;h.x ≤α≤αα≤ (1.20)
* Các bài toán:

Bài toán 1:
Tính diện tích cốt thép F
a
và
'
a
F khi biết kích thước tiết diện,
số hiệu bê tông và cốt thép, cấp công trình, tổ hợp tải trọng, mômen M.
- Trước hết cần xác đònh vò trí trục trung hòa
( )
0Fvàhx
'
a
'
c
==
Ta có:








−=
2
h
h.h.b.RM
'

c
0
'
c
'
cnc
- Nếu
c
MM ≤
thì trục trung hòa qua cánh
( )
'
c
hx ≤
, việc tính F
a
tương tự như
việc tính F
a
của tiết diện chữ nhật
h.b
'
c
.
- Nếu
c
MM > thì trục trung hòa qua sườn
( )
'
c

hx > . Việc tính F
a
tiến hành như
sau:
Từ công thức (1-19), ta có:
2
0n
'
c
0
'
c
'
cn
h.b.R
)
2
h
h.(h)bb.(RM
A
−−−
=
+ Khi
0
AA > có thể tăng kích thước tiết diện, số hiệu bêtông để
0
AA <
sau đó tính lại. Hoặc đặt cốt thép
'
a

F
vào vùng nén và tính theo bài
toán chữ T cốt kép dưới đây.
+ Khi
0
AA ≤ suy ra
α
, thay
α
vào (1-18), ta có:
( )
a
'
c
'
cn
a
0n
a
R
h.bb.R
R
.h.b.R
F
−
+
α
=
Bài toán 2:
Kiểm tra cường độ, tính M

gh
biết kích thước tiết diện, R
n
, R
a
,
cấp công trình, tổ hợp tải trọng.
Xác đònh vò trí trục trung hòa:
- Nếu
,hxthìh.b.RFR
'
c
'
c
'
cnaa
≤≤
kiểm tra như tiết diện chữ nhật có kích thước
.h.b
'
c
- Nếu ,hxthìh.b.RFR
'
c
'
c
'
cnaa
>> kiểm tra như sau:
Từ công thức (1-18), ta có:

0n
ccnaa
h.b.R
h)bb(RF.R
′
−
′
−
=α
+ Khi
0
α≤α suy ra A, thay A vào công thức (1.19) ta có: