Tổ hợp và xác xuất

Chuyên đề Tổ hợp, Xác suất và nhị thức Niu-tơn. GV: Nguyễn Đắc Tuấn – THPT Vinh Lộc

I. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

www.dayhoctoan.vn

Bài 1. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được:
a) Bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.
ĐS: 2160
b) Bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau. ĐS: 1260.
Bài 2. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau và
trong đó phải có mặt chữ số 5.
ĐS: 1560.
Bài 3. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có
mặt 3 lần, còn mỗi số khác có mặt đúng một lần.
ĐS: 5880.
Bài 4. Cho các số 1, 2, 5, 7, 8 có bao nhiêu cách lập một số gồm 3 chữ số khác nhau từ năm chữ số
sao cho:
a) Số tạo thành là một số chẵn. ĐS: 24; b)Số tạo thành là một số nhỏ hơn 278. ĐS: 20.
Bài 5. Một hội nghị y khoa có 40 bác sĩ tham dự. Người ta muốn lập một nhóm bác sĩ thực hành một
ca phẫu thuật để minh họa. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm có:
1
4
a) Một bác sĩ chính và một phụ tá; b)Một bác sĩ chính và bốn phụ tá.ĐS: a) A402 ; b) A40
.C39
.
Bài 6. Một tổ học sinh gồm 7 nam và 4 nữ. Giáo viên muốn chọn 3 học sinh xếp bàn ghế của lớp,
trong đó có ít nhất một học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? ĐS: 161
Bài 7. Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọn ra để lập một tốp
ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau:
a) Nếu phải chọn tuỳ ý; b)Nếu có ít nhất là hai nữ.

Bài 8. Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Lập một đoàn công tác 3 người
cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách? ĐS: 90.
Bài 9. Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5
người sao cho:
a)Có đúng hai nam trong năm người đó; b)Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ. ĐS: a) 5400; b) 12900.
Bài 10. Có 9 viên bi xanh, 5 đỏ, 4 vàng có kích thước đôi một khác nhau:
a) Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ. ĐS: 7150;
b) Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ. ĐS: 3045.
Bài 11. Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 người đi
dự hội nghị sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp.
ĐS: 324.
Bài 12. Một tổ có 12 học sinh. Thầy giáo có 3 đề kiểm tra khác nhau. Cần chọn 4 học sinh cho mỗi đề
kiểm tra. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
ĐS: 34650.
Bài 13. (B – 2004) Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Từ 30
câu đó, có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu khác nhau sao cho mỗi đề phải có 3
loại(khó, dễ, trung bình) và số câu dễ không ít hơn 2?
ĐS:56875.
Bài 14. (B – 2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4
nam và 1 nữ?
ĐS: 207900.
Bài 15. (TNPT 1999) Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó 3 tem
thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư đó lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán một tem thư. Hỏi có bao
nhiêu cách làm như vậy?
ĐS: 1200.
Bài 16. Trong một cuộc liên hoan lớp học, tất cả mọi người đều bắt tay nhau và người ta đếm được tất
cả 1225 cái bắt tay. Hãy tìm số người của lớp học ấy? ĐS: 50.

www.dayhoctoan.vn

Chuyên đề Tổ hợp, Xác suất và nhị thức Niu-tơn. GV: Nguyễn Đắc Tuấn – THPT Vinh Lộc
Bài 17. Lập công thức tính số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh (n  3) ? ĐS:

n( n  3)
.
2

Bài 18. (D 2014) Cho một đa giác đều n đỉnh, n  N và n  3. Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 27
đường chéo. ĐS: n = 9.
Bài 19. (D – 2006) Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học
sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học
sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? ĐS: 225.
Bài 20. (Dự bị 1 – D – 2006) Một lớp có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp thành 3 tổ, tổ 1
có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ.
Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy.
Bài 21. (Dự bị 2 – B – 2006) Cho hai đường thẳng d1 và d2. Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân
biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt  n  2  . Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm
đã cho. Tìm n thỏa điều kiện trên. ĐS: n  20.
Bài 22. (Dự bị 1 – B – 2005) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ. ĐS: 3690.
Bài 23. (B – 2012) Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu
nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ.
ĐS:

443
.
506

Bài 24. Có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tìm xác suất sao cho:
a) Cả hai đều là nữ; ĐS: 1/15; b) Có ít nhất là 1 nữ. ĐS: 8/15.
Bài 25. Một hộp có 20 viên bi, gồm 12 bi đỏ và 8 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên ba bi. Tìm xác suất để:
a)Cả ba bi đều đỏ; ĐS: 11/57; b)Cả ba bi đều xanh; ĐS: 14/285; c)Có ít nhất một bi đỏ. ĐS: 271/285.
Bài 26. Một bình có 10 bi trong đó có ba bi đỏ, 4 bi xanh và 3 bi đen. Lấy ngẫu nhiên 4 bi. Tính xác
suất để có:
a)2 bi xanh; ĐS: 3/7; b) 1 bi đen và 2 bi đỏ; ĐS: 6/35; c)1 bi xanh, 1 bi đỏ và 2 bi đen. ĐS: 6/35.
Bài 27. Có 20 bông hoa trong đó có 8 bông hồng, 7 bông cúc, 5 bông đào. Chọn ngẫu nhiên 4 bông.
Tính xác suất để trong bó hoa được chọn có đủ ba loại.
Bài 28. Bác Tuấn có 12 cây giống gồm 3 loại cây là xoài, mít, ổi. Trong đó có 6 cây xoài, 4 cây mít và
2 cây ổi. Bác Tuấn muốn chọn ra 6 cây giống để trồng sau nhà. Tính xác suất sao cho:
a) Mỗi loại có đúng 2 cây; b)Mỗi loại có ít nhất 1 cây; c) Có đúng 2 cây xoài.
Bài 29. (B 2014) Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ một công ty sữa, người ta gửi đến bộ phận kiểm
nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp
sữa để phân tích mẫu. Tính xác suất để 3 hộp sữa được chọn có cả ba loại. ĐS:

3
.
11

Bài 30. (A và A1 2014) Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ.
Tính xác suất để 4 thẻ được chọn đều đánh số chẵn. ĐS:

1
.
26

Bài 31. Đội tuyển HSG của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11
và 5 học sinh khối 10. Cử 8 hóc sinh trong đội đi dự trại hè. Tính xác suất sao cho mỗi khối có ít nhất
một em được chọn. Đs:

C188   C138  C118  C128 
C188

.

www.dayhoctoan.vn


Chuyên đề Tổ hợp, Xác suất và nhị thức Niu-tơn. GV: Nguyễn Đắc Tuấn – THPT Vinh Lộc

II. NHỊ THỨC NEWTON
www.dayhoctoan.vn
n
a  bn  a n  Cn1 a n1b  Cn2 a n2 b 2    b n   C nk a nk b k .
k 0

Số hạng thứ k+1 (số hạng tổng quát) trong khai triển trên là: Tk 1  Cnk a nk bk .
6

1
Bài 1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  2 x  2  .
x 

n
2
Bài 2. Biết hệ số của x trong khai triển của (1  3x) bằng 90. Hãy tìm n.
x
Bài 3. Hãy tìm số hạng độc lập đối với x của khai triển  
2

18

4
9
9
 . ĐS: C18 .2 .
x
n

 1

Bài 4. (A – 2003) Tìm số hạng chứa x trong khai triển  3  x 5  , biết rằng:
x

8
n 1
n
ĐS: 495x .
Cn4  Cn3  7(n  3).
8

Bài 5. Biết tổng các hệ số trong khai triển x 2  1 bằng 1024 . Tìm a của số hạng chứa x12 trong khai
triển trên.
ĐS: a = 210.
8
8
Bài 6. (A – 2004) Tìm hệ số của x trong khi triển của 1  x 2 (1  x) .
ĐS: 238.
n

7


1 
Bài 7. (D – 2004) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  3 x  4  .
x


ĐS:35.

Bài 8. Tìm hệ số của x4 trong khai triển 1  x  3x 2  .
10

10




2
Bài 9. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: a)  2 x3  2  ;
x


1
x

12

b)  x   .



n

3

x
 bằng 36. Hãy tìm số hạng thứ 7.
Bài 10. Cho biết số hạng thứ 3 của khai triển nhị thức  x 2 . x 
x 


7
2

ĐS: 84x .
Bài 11. Tính hệ số của x25y10 trong khai triển x 3  xy





15

.

ĐS: 3003.

40

Bài 12. Tìm hệ số x31 trong khai triển  x 

1 
 .
x2 

ĐS: 9880.
n

28


Bài 13. Trong khai triển của nhị thức:  x. 3 x  x 15  . Hãy tìm số hạng không chứa x, biết rằng:


n
n 1
n2
Cn  Cn  Cn  79.

Bài 14. (A & A1 – 2012) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn1  Cn3. Tìm số hạng chứa x5
n

 nx 2 1 
  , x  0.
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 
 14 x 

ĐS: 

35 5
x.
16

1 

Bài 15. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu tơn:  3 x  4 
x


www.dayhoctoan.vn

7

 x  0  . ĐS: 35.


Chuyên đề Tổ hợp, Xác suất và nhị thức Niu-tơn. GV: Nguyễn Đắc Tuấn – THPT Vinh Lộc
Bài 16. (D – 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C21n  C23n  ...  C22nn1  2048 ( Cnk là
tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: n  6.
Bài 17. (B – 2008) Chứng minh rằng

n 1  1
1  1
 k  k 1   k (n, k là các số nguyên dương,
n  2  Cn 1 Cn 1  Cn

k  n, Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử).

Bài 18. (A – 2008) Cho khai triển 1  2 x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n , trong đó n   * và các hệ số
n

a0 , a1 ,..., an thỏa mãn hệ thức a0 

a
a1 a2
 2  ...  nn  4096. Tìm số lớn nhất trong các số a0 , a1 ,..., an .
2 2
2

ĐS: a8 = 126726.
Bài 19. (B – 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
n
n
 2  x  , biết: 3n Cn0  3n1Cn1  3n2 Cn2  3n3 Cn3  ...   1 Cnn  2048 (n là số nguyên dương, Cnk là số tổ
hợp chập k của n phần tử). ĐS: 22.
1 1 1 3 1 5
1 2 n1 22 n  1
Bài 20. (A – 2007) Chứng minh rằng: C2 n  C2 n  C2 n  ...  C2 n 
(n là số nguyên
2
4
6
2n
2n  1
dương, Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử). (HD: dùng tích phân để chứng minh).

Bài 21. (A – 2006) Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
n

 1
1
2
3
n
20
k
7
 4  x  , biết rằng C2n1  C2n1  C2n1  ...  C2n1  2  1. (n nguyên dương, Cn là số tổ hợp chập
x

k của n phần tử). ĐS: 210. (HD: C2kn1  C22nn11k , k ,0  k  2n  1).

Bài 22. (D - 2005) Tính giá trị của biểu thức M 

An41  3 An3
, biết rằng
 n  1!

3
Cn21  2Cn22  2Cn23  Cn24  149 . ĐS: M  .
4

Bài 23. (D – 2005) Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thỏa mãn đẳng thức: 2Pn  6 An2  Pn An2  12. ( Pn là
số hoán vị của n phần tử và Ank là số chỉnh hợp chập k của n phần tử).
Bài 24. (A – 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho
C21n 1  2.2C22n 1  3.22 C23n 1  4.23 C24n 1   2n  1 .22 n C22nn11  2005 ( Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: 1002. (HD: Dùng khai triển nhị thức, rồi đạo hàm).
Bài 25. (B – 2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng: Cn0 

2 2  1 1 23  1 2
22 n 1  1 n
Cn 
Cn  ... 
Cn
2
3
n 1

3n 1  2 n 1
.
( C là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS:
n 1
Bài 26. (D – 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho Cn0  2Cn1  4Cn2  ...  2n Cnn  243. ĐS: n  5.
k
n

Bài 27. (A – 2002) Cho khai triển nhị thức:
n

n

x
x 1
x 1
 x21




0
1
3
2
2
 2  2   Cn  2   Cn  2 







n 1

n 1

n

x
x 1
 3x 

  3x 
n 1 
n
3
2
 2   ...  Cn  2   2   Cn  2  ĐS: n = 7 và x = 4.








5
10
2
5
Bài 28. (D – 2007) Tìm hệ số của x trong khai triển: x 1  2 x   x 1  3x  . ĐS: 3320.

www.dayhoctoan.vn


Chuyên đề Tổ hợp, Xác suất và nhị thức Niu-tơn. GV: Nguyễn Đắc Tuấn – THPT Vinh Lộc
Bài 29. (TNPT 2008) Giải bất phương trình:  n2  5 Cn4  2Cn3  2 An3 (trong đó Cnk là số tổ hợp
chập k của n phần tử và Ank là số chỉnh hợp chập k của n phần tử). ĐS: n = 4 và n = 5.

---Hết---

www.dayhoctoan.vn