GIẢI CHI TIẾT ứng dụng tích phân

TÁN ĐỔ TOÁN PLUS

VIP

CHỦ ĐỀ 16. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Câu 1.

HƯỚNG DẪN GIẢI
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  f ( x) , y  g ( x) liên
tục trên [a ; b] và hai đường thẳng x  a , x  b (a  b) là:
A. S  a f ( x)  g ( x) .dx .

B. S a ( f ( x)  g ( x))dx .

C. S a ( f ( x)  g ( x)) 2 .dx .

D. S a f ( x)  g ( x) .dx .

b

b

b

b

Câu 2.

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x , liên tục trên [a ; b] trục
hoành và hai đường thẳng x  a, x  b a  b cho bởi công thức:
b

b

B. S  f  xdx.

A. S  f  x dx.

a

a

Câu 3.

b

b

C. S   f  x dx.

D. S   f 2  xdx.

a

a

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x  11x  6, y  6 x , x  0, x  2 . (Đơn vị
3

2

diện tích)
A.

4
3

B.

5
2

8
3

C.

D.

18
23

Hướng dẫn giải:
Đặt h( x)  ( x  11x  6)  6 x  x  6 x 2  11x  6
3

2

3

h( x)  0  x  1 x  2  x  3 (loại).

Bảng xét dấu
x

0

h(x)

1

2

1
0

-





2

+



0



S   x3  6 x 2  11x  6 dx  x 3  6 x 2  11x  6 dx
0

1
1

2
 x4
  x4

11x 2
3
    2 x3  11x  6 x   5 .
 

x


x
2
6
4
 4

2
2

0 
1 2

Câu 4.

2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x3 , y  4 x là:
A. 8

B. 9

C. 12

D. 13

Hướng dẫn giải:
Ta có x3  4 x  x  2  x  0  x  2
0





2



 S   x  4 x dx 
2

3

0

 4
0
 4
2
x
x



x  4 x dx    2 x 2 
   2 x 2   8 .
 4

 4


 2 
0
3



Vậy S  8 (đvdt).

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

1

Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 16

Chú ý:Nếu trong đoạn  ;   phương trình f ( x)  g ( x) không còn nghiệm nào nữa thì ta








có thể dùng công thức  f ( x)  g ( x) dx   f ( x)  g ( x) dx .
Câu 5.

Cho hàm số y  f ( x) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [a; b] . Diện tích hình
thang cong giới hạn bởi đồ thị của y  f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b
được tính theo công thức
b

B. S   f ( x)dx.

b

C. S   f 2 ( x)dx.

a

a

a

A. S  f ( x)dx.

b

b

D. S  f 2 ( x)dx.
a

Hướng dẫn giải
b

Theo công thức (SGK cơ bản) ta có S  f ( x)dx.
a

Câu 6.

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] ,
trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b được tính theo công thức
b

b

b

B. S  f ( x)dx.

A. S  f ( x) dx.
a

b

D. S   f ( x)dx.

C. S  f ( x) dx.
2

a

a

a

Hướng dẫn giải
b

Theo công thức (SGK cơ bản) ta có S  f ( x) dx.
a

Câu 7.

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  f ( x) , y  g ( x) liên tục trên
đoạn [a; b] , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b được tính theo công thức
b

b

A. S  f ( x)  g ( x) dx.

B. S [f ( x)  g ( x)]dx.

2

a

a
b

b

C. S  f ( x)  g ( x) dx.

D. S   f ( x)  g ( x) dx.

a

2

a

Hướng dẫn giải
b

Theo công thức (SGK cơ bản) ta có S  f ( x)  g ( x) dx.
a

Câu 8.

Cho đồ thị hàm số y  f ( x) . Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là

0

1

2

0

A. S  f ( x)dx  f ( x)dx

2

1

B. S  f ( x)dx
2

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

2

1

0

0

0

1

2

0

Giải chi tiết chủ đề 16

D. S  f ( x)dx  f ( x)dx

C. S  f ( x)dx  f ( x)dx

Hướng dẫn giải
0

1

2

0

Theo định nghĩa ta có S  f ( x)dx  f ( x)dx
Câu 9.

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3 , trục hoành và hai đường
thẳng x  1 , x  3 là
A. 19

B. 18

C. 20

D. 21

Hướng dẫn giải
3

x4
Ta có x  0 trên đoạn [1;3] nên S  x dx x dx 
 20
4 1
1
1
3

3

3

3

3

Câu 10. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x , trục hoành và hai đường
thẳng x  1 , x  4 là
A. 4

B.

14
5

13
3
Hướng dẫn giải

C.

4

4

1

1

x  0 trên đoạn [1; 4] nên S  x dx 

Ta có

D.

14

3

4

2 32
14
xdx  x 
3 1 3

Câu 11. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  3 x , trục hoành và hai đường
thẳng x  1 , x  8 là
A.

45
2

B.

45
4

45
7
Hướng dẫn giải

C.

8

Ta có

3

8

x  0 trên đoạn [1;8] nên S  x dx 
3

3

1

1

D.

45
8

8

3 43
45
xdx  x 
4 1 4

Câu 12. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  sin x , trục hoành và hai đường
thẳng x   , x 

3

là
2

A. 1

B.

1
2

C. 2

D.

3
2

Hướng dẫn giải
3

3

3
2
2
 3 
Ta có sin x  0 trên đoạn  ;  nên S   sin x dx  sin xdx  cos x 2  1
 2 





Câu 13. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  tan x , trục hoành và hai đường
thẳng x 
A. ln

3
3


6

, x


4

là
B. ln

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

6
3

C.  ln

3
3

D.  ln

6
3

3


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 16

Hướng dẫn giải




6

6


4
4
  
6
Ta có tan x  0 trên đoạn  ;  nên S tan x dx tan xdx   ln(cos x) 4   ln

3
 6 4 



6

Câu 14. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  e 2 x , trục hoành và hai đường
thẳng x  0 , x  3 là
A.

e6 1

2 2

B.

e6 1

2 2

e6 1

3 3
Hướng dẫn giải
C.

D.

e6 1

3 3

3

3
3
1
e6 1
Ta có e 2 x  0 trên đoạn [0;3] nên S e 2 x dx e 2 x dx  e 2 x  
2
2 2
0
0
0

[DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG]
VẬN DỤNG THẤP
Câu 15. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3  3 x 2 , trục hoành và hai đường
thẳng x  1 , x  4 là
A.

53
4

B.

49
4
Hướng dẫn giải

51
4

C.

D.

25
2

Ta có x3  3 x 2  0  x  3  [1; 4]
Khi đó diện tích hình phẳng là
 x4

 4

3
   x  x3   6  27  51
S  x  3 x dx  ( x  3 x )dx ( x  3 x )dx  
x

4



4
4
1
1
3

1  4

3
4

3

3

2

3

4

3

2

3

4

2

Câu 16. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 4  3 x 2  4 , trục hoành và hai
đường thẳng x  0 , x  3 là
A.

142
5

B.

143
5

144
5
Hướng dẫn giải

C.

D.

141
5

Ta có x 4  3 x 2  4  0  x  2  [0;3]
Khi đó diện tích hình phẳng là
3

2

3

S  x 4  3 x 2  4 dx  ( x 4  3 x 2  4)dx ( x 4  3 x 2  4)dx
0

0

2

 x5

 x5

48 96 144
   x3  4 x     x3  4 x  


5 5
5
5
0 5
2
2

3

Câu 17. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y 

x 1
, trục hoành và đường
x2

thẳng x  2 là
A. 3  2 ln 2

B. 3  ln 2

C. 3  2 ln 2

D. 3  ln 2

Hướng dẫn giải
4

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

2

Ta có x  1  0  x  1 nên S 
1

Giải chi tiết chủ đề 16

2

x 1
1 
 dx  x  ln x  2
dx  1 
x2
x 2
1 





2

1

 3  2 ln 2

Câu 18. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol y  2  x 2 và đường thẳng y   x là
A.

7
2

B.

9
4

C. 3

9
2

D.

Hướng dẫn giải
x  1
Ta có 2  x 2   x  
và 2  x 2   x, x  [  1; 2]

x  2

x 2 x3 
9
Nên S (2  x  x )dx  2 x    
2 3  1 2
1

2

2

2

Câu 19. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  cos 2 x , trục hoành và hai đường
thẳng x  0, x 


2

là

A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải
 
 0; 
4 
 2 



Ta có cos 2 x  0  x 






2

4

2





1
 4 1
2
Nên S cos 2 x dx  cos 2 xdx cos 2 xdx   sin 2 x    sin 2 x   1


2
 0 2

0
0
4

4

Câu 20. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 4  3 x 2  4 , trục hoành và hai
đường
A.

thẳng x  0 , x  3 là

71
5

B.

73
5

72
5
Hướng dẫn giải

C.

D. 14

Ta có x 4  3 x 2  4  0  x  2  [0;3]
Khi đó diện tích hình phẳng là
3

2

3

S  x 4  3 x 2  4 dx  ( x 4  3 x 2  4)dx ( x 4  3 x 2  4)dx
0

0

2

 x5

 x5

48 96 144
   x3  4 x     x3  4 x  


5 5
5
5
0 5
2
2

3

Câu 21. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y 

x 1
, trục hoành và đường thẳng
x2

x  2 là

A. 3  2 ln 2

B. 3  ln 2

C. 3  2 ln 2

D. 3  ln 2

Hướng dẫn giải
Ta có x  1  0  x  1 nên

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

5


Tán đổ Toán Plus
2

S 
1

2

x 1
1 
 dx  x  ln x  2
dx  1 
x2
x 2
1 





2
1

 3  2 ln 2

Giải chi tiết chủ đề 16

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol y  2  x 2 và đường thẳng y   x là

Câu 22.
A.

9

2

B.

9
4

C. 3

D.

7
2

Hướng dẫn giải
x  1
Ta có 2  x 2   x  
và 2  x 2   x, x  [  1; 2]
x  2

9
x 2 x3 
Nên S (2  x  x )dx  2 x    
2 3  1 2
1

2

2

2

Câu 23. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  cos 2 x , trục hoành và hai đường
thẳng x  0, x 


2

là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải
Ta có cos 2 x  0  x 





 [0; ]
4
2

Nên







2

4

2





1
 4 1
2
S cos 2 x dx  cos 2 xdx cos 2 xdx   sin 2 x    sin 2 x   1

2
 0 2

0
0
4

4

Câu 24. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  x và y  3 x là
A.

1
12

Ta có

B.

1
14
Hướng dẫn giải

1
13

C.

D.

1
15

x  0
x  3 x 
x  1
1

Nên S 

0

2 3 3 3 4 
1
x  x dx  ( x  x )dx  
x 
x  
4
3
 0 12
0
1

1

3

3

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  2 x3  3 x 2  1

Câu 25.

và

y  x3  4 x 2  2 x  1 là

A.

37

13

B.

37
12

C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải

x  2

Ta có 2 x3  3 x 2  1  x 3  4 x 2  2 x  1 x  0

x  1
6

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

1

0

1

2

2

0

Nên S  x3  x 2  2 x dx  ( x 3  x 2  2 x)dx ( x3  x 2  2 x)dx

Giải chi tiết chủ đề 16

 x 4 x3

 x 4 x3

2
2


  37
x
   x  




4 3
 2  4 3
 0 12
0

1

Câu 26. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x 2  4 , đường thẳng x  3 , trục tung
và trục hoành là
A.

22
3

B.

32
3

25
3
Hướng dẫn giải
C.

D.

23
3

Xét pt  x 2  4  0 trên đoạn 0;3 có nghiệm x  2
2

3

0

2

Suy ra S  x 2  4 dx  x 2  4 dx 

23
3

Câu 27. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong =
y x 3 − 4 x , trục hoành và hai đường thẳng
x=
−3, x =
4 là

202
3
Hướng dẫn giải
A.

B.

203
4

C.

201
5

D.

201
4

Xét pt x3  4 x  0 trên đoạn 3; 4 có nghiệm x  2; x  0; x  2
2

0

2

4

3

2

0

2

Suy ra S  x3  4 x dx  x3  4 x dx  x 3  4 x dx  x 3  4 x dx 
Câu 28. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong

201
4

y  x ln x , trục hoành và đường thẳng

x  e là
A.

e2  1
2

B.

e2  1
2

e2  1
4
Hướng dẫn giải
C.

D.

e2  1
4

Xét pt x ln x  0 trên nữa khoảng 0;e có nghiệm x  1
e

Suy ra S x ln xdx 
1

Câu 29.

e2  1

4

Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  x 2  x  2, y  x  2 và hai đường
thẳng x  2; x  3 . Diện tích của (H) bằng
A.

87
5

B.

87
4

87
3
Hướng dẫn giải

C.

D.

87
5

Xét phương trình ( x 2  x  2)  ( x  2)  0  x 2  4  0  x  2
2

3

2

2

Suy ra S  x 2  4 dx  x 2  4 dx 

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

87
3

7


Tán đổ Toán Plus



Giải chi tiết chủ đề 16



Câu 30. Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  1  e x x, y  1  e x . Diện
tích của (H) bằng
e 1
2
Hướng dẫn giải

A.

e2
2

B.

C.

e2
2

D.

e 1
2




e2
Suy ra S  x e  e  dx x e  e  dx 
2

Xét pt 1  e x x  1  e x  0 có nghiệm x  0, x  1
1

1

x

x

0

0

VẬN DỤNG CẤP ĐỘ CAO
Câu 31. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  x 2  1 , y  x  5 . Diện tích của (H)
bằng
A.

71
3

73
3

B.

70
3
Hướng dẫn giải
C.

D.

74
3

Xét pt x 2  1  x  5 có nghiệm x  3, x  3
3







3

Suy ra S  x 2 -1 - x  5 dx  2 x 2 -1 -  x  5 dx
-3

0

Bảng xét dấu x 2  1 trên đoạn 0;3
x

0

1

x2  1
1

-



3

0



+
3





Vậy S  2  x  x  4 dx  x 2  x  6 dx 
0

2

1

73
3

Câu 32. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  x 2  4 x  3 , y  x  3 . Diện tích của
(H) bằng
A.

108
5

B.

109
5

109
6
Hướng dẫn giải

C.

D.

119
6

Xét pt x 2  4 x  3  x  3 có nghiệm x  0, x  5
1





3





5





Suy ra S   x 2  5 x dx  x 2  3 x  6 dx   x 2  5 x dx 
0

Câu 33.

1

3

109
6

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P) : y  x 2  3 , tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ
x  2 và trục tung bằng

A.

8
3

B.

4
3

C. 2

D.

7
3

Hướng dẫn giải
PTTT của (P) tại x  2 là y  4 x  3
8

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 16

x  0
Xét pt x 2  3  4 x  3  0  x 2  4 x  0  
x  2





2





2



Suy ra S  x  4 x  4 dx  
0

2

0

 x3

2
 8
x  4 x  4 dx  
x
x

2

4
3


0 3
2



2

Câu 34. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y 2  2 y  x  0, x  y  0 là
A.

9
4

B.

9
2

7
2
Hướng dẫn giải
C.

D.

11
2

Biến đổi về hàm số theo biến số y là x   y 2  2 y, x   y
Xét pt tung độ giao điểm ( y 2  2 y )   y  0 có nghiệm y  0, y  3
3

3

0

0





Vậy S  y 2  3 y dy   y 2  3 y dy 

9
2

Câu 35. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  x 2 ; y 
A. 27 ln 2

B. 27 ln 3

C. 28ln 3

1 2
27
bằng
x ; y
27
x
D. 29 ln 3

Hướng dẫn giải
Xét các pthđgđ x 2 

x2
27
x 2 27
 0  x  0; x 2 
 0  x  3; 
0 x9
27
x
27 x

Suy ra
3
9
x2 
27 x 2 
S  x 2  dx    dx  27 ln 3
27 
27 
0
3 x

Câu 36. Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

9


Tán đổ Toán Plus

A.

Giải chi tiết chủ đề 16

8
3

B.

11
3

C.

7
3

D.

10
3

Hướng dẫn giải
2
 y  1
10

, Nên S ( y  2  y 2 )dy 
Ta có y  y  2 
y  2

3
0
2

Câu 37. Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng
y  8 x, y  x và đồ thị hàm số y  x3 là

A. 68

B. 67

a
. Khi đó a  b bằng
b
C. 66

D. 65

Hướng dẫn giải
Ta có
x  0
x  0
8 x  x  0  x  0;8 x  x3  0  
; x  x3  0  
x  2 2

x  1


10

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 16

1

2 2

0

1





Nên S 8 x  xdx   8 x  x 3 dx 

63
4

Câu 38. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y  1, y  x và đồ thị hàm số y 
trong miền x  0, y  1 là
A. 4

a

. Khi đó b  a bằng
b
B. 2
C. 3

x2
4

D. 1

Hướng dẫn giải
Ta có
x  1  0  x  1; x 

x2
x2
 0  x  0;1 
0 x 2
4
4

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

11


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 16

1
2
x 2 
x 2 
5

Nên S 
x

dx

1

dx 





4
4
6
0
1

 x, nÕu x  1
10

Câu 39. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y  
và y  x  x 2 là

3
 x  2, nÕu x>1


a
. Khi đó a  2b bằng
b
A. 16
B. 15

C. 17

D. 18

Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
Ta có
10
x  x2   x  x  0
3
10
x  x2  x  2  x  3
3
1
3
10

10

13

Nên S  x  x 2  x dx  x  x 2  x  2  dx 
2


0 3
1 3

 x2  4x  4
, tiệm cận xiêm của (C ) và
x 1
hai đường thẳng x  0, x  a (a  0) có diện tích bằng 5 Khi đó a bằng

Câu 40. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (C ) : y 

A. 1  e5

B. 1  e5

C. 1  2e5

D. 1  2e5

Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
Ta có
TCX : y   x  3

12

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP

Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 16

a
0
 1 
 1 
a
dx 
dx  ln x  1 0  ln(1  a )
Nên S (a ) 

a  x  1
0  x  1

Suy ra ln(1  a )  5  a  1  e5
II-Câu hỏi tính tính thể tích vật tròn xoay giới hạn bởi các đường:
Những điểm cần lưu ý:
. Tính thể tích khối tròn xoay:
Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f(x) , y  0 ,
b

x  a và x  b (a  b) quay quanh trục Ox là V    f 2 (x)dx .
a

Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f(x), y  g(x) ,
b

x  a và x  b (a  b) quay quanh trục Ox là V    f 2 (x)  g2 (x) dx .
a

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Câu 41. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
=
y

4
=
, y 0=
, x 1=
,x 4
x

quanh trục ox là:

B. 6π

A. 6π

D. 6π

C. 12π

Hướng dẫn giải
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần =
tính là: V

4

4

π .( ) dx
∫=
x
2

12π .

1

π

Câu 42. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = cos 4x, Ox, x = 0, x =

8

quay xung quanh trục

Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.

π2

B.

2

π2

C.

16

π

 π +1 
D. 
 .π
 16 

4

Hướng dẫn giải
π

Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần
tính là: V
=

8

π .cos2 4xdx
∫=
0

Câu 43. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
=

y f ( x), Ox=
,x

π2
16

.

b quay xung quanh trục

a=
,x

Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. V = π

b

2

∫ f ( x)dx.
a

b

B. V = π ∫ f ( x)dx.
2

a

b

C. V = ∫ π . f ( x)dx.
2

2

a

b

D. V = ∫ f 2 ( x)dx.
a

Hướng dẫn giải
b

Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V = π ∫ f 2 ( x)dx.
a

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

13


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 16

y

Câu 44. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường =

x − 1 ; trục Ox và đường thẳng x = 3 quay

xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.

3
π
2

B. 3π

D. π

C. 2π

x − 1 và y = 0 là A(1; 0) . Vậy thể tích của khối tròn xoay

Giao điểm của hai đường=
y
3

cần tính là: V = π ∫ (x − 1)dx = 2π .
1

Câu 45. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 3 + 1, y = 0, x = 0, x = 1 quay xung quanh trục
Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
79π
63

Hướng dẫn giải
A.

B.

23π
14

C.

5π
4

D. 9π

1

Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V = π ∫ ( x3 + 1) 2 dx =
0

23π
.
14

Câu 46. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2= x, x= a, x= b (0 < a < b) quay xung quanh
trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
b

A. V = π 2 ∫ xdx.
a

B. V = π ∫

b

a

xdx.

b

C. V = π ∫ xdx.

D. V = π 2 ∫

a

b

a

xdx.

Hướng dẫn giải
Với x ∈ [ a; b ] thì y 2 = x ⇔ y = x .
b

Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V = π ∫ xdx.
a

Câu 47. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
− x + 2x, y =
0 quay xung quanh trục Ox. Thể
2

tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.

496π
15

B.

4π
3

C.

64π
15

D.

16π
15

Hướng dẫn giải
Giao điểm của hai đường y 2 =
−x 2 + 2x và y = 0 là O(0; 0) và A(2; 0) . Theo công thức ta
2

có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V = π ∫ (− x 2 + 2 x) 2 dx =
0

16π
.
15

Câu 48. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y =1 − x 2 , y =
0 quay xung quanh trục Ox. Thể
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.

3π
2

B.

2π
3

C.

π
2

D.

4
π

3

Hướng dẫn giải

14

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

Giao điểm của hai đường =
y

Giải chi tiết chủ đề 16

1 − x 2 và y = 0 là B(−1; 0) và A(1; 0) . Theo công thức ta có
1

thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V =π ∫ (1 − x 2 )dx =
−1

4π
.
3

Câu 49. Thể tích khối tròn xoay trong không gian Oxyz giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0; x = π và
có thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm ( x;0;0) bất kỳ là đường tròn bán
kính

sin x là:
C. V = 4π .

B. V = π .

A. V = 2.

D. V = 2π .

Hướng dẫn giải
Khối tròn xoay trong đề bài có được bằng cách quay hình phẳng tạo bởi các đường
=
x 0;=
x = π; y

sin x ; Ox quay trục Ox.
π

Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính
là: V π=
=
∫ sin xdx 2π .
0

π

Câu 50. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường=
y tan x,=
y 0,=
x 0,=

x

3

quay xung quanh trục

Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

π

A. V π  3 − 
=
3


π

B. V π  3 − 
=
3


π

C. V π  3 − 
=
3


π


D. V π  3 − 
=
3


Hướng dẫn giải
π
3
π

2
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là:
=
V π ∫ tan=
xdx π  3 −  .
3

0

Câu 51. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 1 + x , Ox, x = 0, x = 4 quay xung quanh trục
Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. π 2

28
3

B. π .

68

3

C. π

28
3

D. π 2 .

68
3

Hướng dẫn giải

68π
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V =∫ π .(1 + x )2dx = .
3
0
4

Câu 52.

VẬN DỤNG
Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi
đường tròn x 2 + y 2 =(nằm
trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc
16
với trục Ox ta được thiết diện là hình vuông. Thể tích của vật thể là:

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

15


Tán đổ Toán Plus

A.

∫

4

−4

∫

4

−4

Giải chi tiết chủ đề 16

4 (16 − x 2 ) dx

B.

∫

4

−4

4x 2dx

C.

∫

4

−4

4π x 2dx

D.

4π (16 − x 2 ) dx

Hướng dẫn giải
Thiết diện cắt trục Ox tại điểm H có hoành độ bằng x thì cạnh của thiết diện bằng

=
V
2. 16 − x 2 . Vậy thể tích của vật thể bằng

∫

4

−4

S(x)dx
=

∫ 4 (16 − x ) dx.
4

2

−4

Câu 53. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y 2 = 4 x và đường thẳng x = 4 . Thể tích của khối
tròn xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là:

A. 32π

B. 64π

C. 16π

D. 4π

Hướng dẫn giải
Giao điểm của hai đường y 2 = 4x và x = 4 là D(4; −4) và E (4; 4) . Phần phía trên Ox của
đường y 2 = 4x có phương trình y = 2 x . Từ hình vẽ suy ra thể tích của khối tròn xoay cần

=
V
tính
là:

4

π .(2 x ) dx
∫=
2

32π .

0

Câu 54. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường=
y ln x=
, y 0,=
x 2 quay xung quanh trục Ox. Thể
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

16

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 16

A. 2ln 2 2 − 4ln 2 + 2

B. π ( 2ln 2 2 + 4ln 2 − 2 )

C. π ( 2ln 2 2 − 4ln 2 + 2 )

D. π ( 2ln 2 − 1)

Hướng dẫn giải
Tọa độ giao điểm của hai đường y = ln x và y = 0 là điểm C (1; 0) . Vậy thể tích của khối

=
tròn xoay cần tính là: V

2

∫ π .ln

2

(

)

xdx
= π 2 ln2 2 − 4 ln 2 + 2 .

1

2
Câu 55. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
=
y a.x
=

, y bx (a, b ≠ 0) quay xung quanh trục

Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

b3  1 1 
A. V π . 3  − 
=
a 3 5

B. V = π .

b5

C. V = π .

5a 3

b5
3a3

D.

b5  1 1 
=
V π. 3  − 
a 3 5

Hướng dẫn giải
b b2
Tọa độ giao điểm của hai đường y = ax 2 và y = bx là các điểm O(0; 0) và A( ; ) . Vậy

a a
b
a

b
a

0

0

2 2
2 4
thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V =
π.
∫ π .b x dx − ∫ π .a x dx =

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

b5 1 1
( − ).
a3 3 5

17


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 16

1
Câu 56. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y =4 − x 2 , y = x 2 quay xung quanh trục Ox. Thể
3
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A. V =

24π 3
5

B. V =

28π 3
5

C. V =

28π 2
5

D. V =

24π 2
5

Hướng dẫn giải
Tọa độ giao điểm của hai đường=
y

4 − x 2 và y =

1 2
x là các điểm A(− 3;1) và
3

B( 3;1) . Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

V=

3

∫ π .(4 − x

2

− 3

)dx −

3

1

∫ π . 9 x dx =
4

π.

− 3

28 3
.
5

Câu 57. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường=
y 3 x=
, y x=
, x 0,=
x 1 quay xung quanh trục Ox.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

8π
.
3
Hướng dẫn giải

A. V =

B. V =

4π
.
3

C. V =

2π
.
3

D. V = π.

Tọa độ giao điểm của đường x = 1 với y = x và y = 3x là các điểm C (1;1) và B(3;1) . Tọa
độ giao điểm của đường y = 3x với y = x là O(0; 0) . Vậy thể tích của khối tròn xoay cần
tính là: V =

18

1

1

0

0

8
3

2
2
∫ π .9x dx − ∫ π .x dx = π . .

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 16

Câu 58. Gọi ( H ) là hình phẳng được tạo bởi hai đường cong ( C1 ) : y = f ( x ) , ( C2 ) : y = g ( x ) , hai
đường thẳng x = a , x = b , a < b . Giả sử rằng ( C1 ) và ( C2 ) không có điểm chung trên

[a, b]

và thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay
b

(

(H)

quanh Ox là

)

V=
π∫ f ( x )  − g ( x )  dx . Khi đó
a

2

2

(1) :

f ( x ) > g ( x ) , ∀x ∈ [ a, b ]

( 2) :

f ( x ) > g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a, b ]

( 3) :

0 ≤ f ( x ) < g ( x ) , ∀x ∈ [ a, b ]

Số nhận định đúng trong các nhận định trên là:
A. 0
B. 1
C. 2

D. 3

Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ta suy ra có thể xảy ra một trong hai trường hợp:

f ( x ) > g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a, b ]

( 2) :

0 ≤ f ( x ) < g ( x ) , ∀x ∈ [ a, b ] .

hoặc ( 3) :

Do đó số nhận định đúng là không.
Câu 59. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường=
y x. ln x=
, y 0,=
x e quay xung quanh trục Ox.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

4e3 + 1
A. π.
9
Hướng dẫn giải

4e3 − 1
B. π.
9

2e3 + 1
C. π.
9

2e3 − 1
D. π.
9

Tọa độ giao điểm của đường x = e với y = x ln x là điểm C (3; 3) . Tọa độ giao điểm của
đường y = x ln x với y = 0 là A(1; 0) . Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là:
e

2e 3 + 1
=
V ∫=
.
π .x ln xdx π .
9
1
2

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

19


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 16

Câu 60. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y =x3 − 6 x 2 + 9 x, y =0 quay xung quanh trục Ox.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A.

729π
35

B.

27π
4

C.

256608π
35

D.

7776π
5

Hướng dẫn giải
Tọa độ giao điểm của đường y =x 3 − 6 x 2 + 9 x với y = 0 là các điểm C (e;e) và A(3; 0) .
3

∫ π . (x

=
Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V

3

)

2

− 6x 2 + 9x dx
= π.

0

729
.
35

Câu 61. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi
trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc
đường tròn x 2 + y 2 =(nằm

16
với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là:

y

x

O

A. V =

256 3
.
3

B. V =

256
.
3

C. V =

32 3
.
3

D. V =

32

.
3

Hướng dẫn giải
Giao điểm của thiết diện và Ox là H. Đặt OH = x suy ra cạnh của thiết diện là 2 16 − x 2 .
Diện tích thiết diện tại H =
là S (x )
Vậy thể tích của vật thể là V=

4

∫

−4

3
4(16 − x 2 ) .
4
3(16 − x 2 )dx=

256 3
.
3

Câu 62. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
=
y 2=
x 2 , y 2 4 x quay xung quanh trục Ox. Thể tích
của khối tròn xoay tạo thành bằng:

20

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

88π
.
5
Hướng dẫn giải
A. V =

Giải chi tiết chủ đề 16

B. V =

9π
.
70

Với x ∈ 0;2  thì y 2 = 4x ⇔ y =

C. V =

4π
.
3

D. V =

6π
.
5

4x

Tọa độ giao điểm của đường y = 2 x 2 với y 2 = 4x là các điểm O(0; 0) và A(1;2) . Vậy thể
1

1

6
tích của khối tròn xoay cần tính là: V =∫ π .4xdx − ∫ π .4x 4dx =π . .
5
0
0
BÀI TẬP TỔNG HỢP
( Chỉ có phần đáp số)
2
Câu 63. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong
=
ax y=
; ay x 2 (a > 0 cho trước) là:

a3
A. S =
3

a3

B. S =
2

2a 3
C. S =
3

4a 3
D. S =
3

Câu 64. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của: =
y x 2 − 2 x , trục Ox và 2 đường thẳng x = 0,
x = 2 là:
A.

2
3

B.

4
3

C.

1
3

D. 0

Câu 65. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol y = − x 2 và đường thẳng y = -x - 2
11
5
9
1
B.
C.
D.
 2
2
2
2
2
Câu 66. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường: y = sinx, y = cosx và x = 0

A.

A. 2 + 2

B. 2 2 + 1

C.

2

D. 2 2 − 1

1
1 2

x và y  3 x  x 2 là:
4
2
C. 9
D. 6.

Câu 67. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol: y 
A 7

B. 8

Câu 68. Diện tích giới hạn bởi 2 đường cong: (C1 ) : y ==
f1 ( x) x 2 + 1;(C2 ) : y ==
f 2 ( x) x 2 − 2 x và
đường thẳng x = -1 và x = 2.
A. 7

B.

11
2

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

C.

13
2

D. 

11
2

21


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 16

Câu 69. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol: y = x 2 − 2 x + 2 tiếp tuyến với parabol tại điểm
M(3 ; 5) và trục tung
A. 7
B. 6
C. 5
Câu 70. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x(x – 1)(x – 2), y = 0

D. 9

1
1
1
C.
D.
2
4
3
Câu 71. Cho D là miền kín giới hạn bởi các đường y = 1, y = 2 – x và x = 0. Tính diện tích của miền

A 1.

B.

D
A. 1

B.

1
4

C.

1
2

D.

Câu 72. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = cosx , y = 0, x=0, x 

1
8


2

3
1
B. 1

C. 2
D.
2
2
Câu 73. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi:

A

y=
2x − x2 ; y =
0
quay quanh Ox.
A.

14
15

B.

16
15

C.

17
15

D.

48

15

2
Câu 74. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường
=
y x=
;8 x y 2

quay quanh trục Oy là:
23
24
48
21
B.
C.
D.
15
15
5
15
Câu 75. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi trục Ox

A.

và Parabol (C ) y =
ax − x 2 (a > 0) là:
A.

 a5

 a5

 a4

 a5

π (e 2 + 1)

 e2  1

B.
C.
D.
30
20
5
10
Câu 76. Thể tích khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox, hình phẳng S giới hạn bởi các
đường: y = x.e x , x = 1, y = 0(0 ≤ x ≤ 1) là:
A.

22

π (e 2 + 1)
4

B.

π (e 2 − 1)
4

C.

2

D.



12

.

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP