định nghĩa đạo hàm

TỔNG ÔN TOÁN 11

VIP

CHỦ ĐỀ 16. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b):

f '( x0 ) = lim

x → x0

f ( x) − f ( x0 )
∆y
= lim
∆x → 0 ∆x
x − x0

(∆x = x – x0, ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0))

• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Đạo hàm bên trái, bên phải

f '( x0+ ) = lim+
x → x0

f ( x) − f ( x0 )
.
x − x0

f '( x0− ) = lim−
x → x0

f ( x) − f ( x0 )
.
x − x0

Hệ quả : Hàm f ( x) có đạo hàm tại x0 ⇔ ∃ f ( x0+ ) và f '( x0− ) đồng thời f '( x0+ ) = f '( x0− ) .
3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn
• Hàm số f ( x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b)
• Hàm số f ( x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [a; b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b)

đồng thời tồn tại đạo hàm trái f '(b − ) và đạo hàm phải f '(a + ) .
4. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục
• Nếu hàm số f ( x) có đạo hàm tại x0 thì f ( x) liên tục tại x0 .

Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm x0 nhưng hàm đó không
có đạo hàm tại x0 .

B – BÀI TẬP
Câu 1. Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số y = f ( x) tại x0 < 1 ?
A. lim

∆x→0

C. lim

x → x0

f ( x + ∆x) − f ( x0 )

.
∆x

f ( x) − f ( x0 )
.
x − x0

B. lim
x →0

D. lim

f ( x) − f ( x0 )
.
x − x0

∆x→0

f ( x0 + ∆x) − f ( x)
.
∆x

Câu 2. Cho hàm số f ( x ) liên tục tại x0 . Đạo hàm của f ( x ) tại x0 là
A. f ( x0 ) .
B.

f ( x0 + h) − f ( x0 )
.
h

C. lim

f ( x0 + h) − f ( x0 )
(nếu tồn tại giới hạn).
h

D. lim

f ( x0 + h) − f ( x0 − h)
(nếu tồn tại giới hạn).
h

h →0

h →0

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

1


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 16. Định nghĩa đạo hàm

Câu 3. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm tại x0 là f '( x0 ) . Khẳng định nào sau đây sai?
A. f ′( x0 ) = lim

f ( x) − f ( x0 )
.

x − x0

B. f ′( x0 ) = lim

f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
.
∆x

C. f ′( x0 ) = lim

f ( x0 + h) − f ( x0 )
.
h

D. f ′( x0 ) = lim

f ( x + x0 ) − f ( x0 )
.
x − x0

x → x0

h →0

∆x → 0

x → x0

1 bằng bao nhiêu?
Câu 4. Số gia của hàm số f ( x ) = x 3 ứng với x0 = 2 và ∆x =

A. −19 .
Câu 5. Tỉ số

B. 7 .

D. −7 .

C. 19 .

∆y
của hàm số f=
( x ) 2 x ( x − 1) theo x và ∆x là
∆x

A. 4 x + 2∆x + 2.

B. 4 x + 2 ( ∆x ) − 2.

C. 4 x + 2∆x − 2.

D. 4 x∆x + 2 ( ∆x ) − 2∆x.

2

2

Câu 6. Số gia của hàm số f ( x ) =
A.

1

2
( ∆x ) − ∆x.
2

B.

x2
ứng với số gia ∆x của đối số x tại x0 = −1 là
2

1
2
∆x ) − ∆x  .
(

2

C.

1
2
∆x ) + ∆x  .
(

2

D.

1
2

( ∆x ) + ∆x.
2

Câu 7. Cho hàm số f ( x=
) x 2 − x , đạo hàm của hàm số ứng với số gia ∆x của đối số x tại x0 là
A. lim

∆x → 0

(( ∆x ) + 2 x∆x − ∆x ) .

B. lim ( ∆x + 2 x − 1) .

2

∆x → 0

C. lim ( ∆x + 2 x + 1) .

D. lim

∆x → 0

∆x → 0

 x

Câu 8. Cho hàm số f ( x) =  x
0


khi x > 0

(( ∆x ) + 2 x∆x + ∆x ) .
2

. Xét hai mệnh đề sau:

khi x = 0

(I) f ′ ( 0 ) = 1 .
(II) Hàm số không có đạo hàm tại x 0 = 0 .
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).

C. Cả hai đều sai.

D. Cả hai đều đúng.

 x3 − 2 x 2 + x + 1 − 1

khi x ≠ 1
Câu 9. f ( x) = 
tại điểm x0 = 1 .
x −1
0
khi x = 1


A.

1
3

B.

1
5

C.

1
2

D.

1
4

khi x ≥ 1
2 x + 3

Câu 10. f ( x) =  x 3 + 2 x 2 − 7 x + 4
tại x0 = 1 .
khi
1
x
<


x −1


A. 0

2

B. 4

C. 5

D. Đáp án khác

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

3 − 4 − x

4
Câu 11. Cho hàm số f ( x) = 
1
 4
A.

1
.
4

B.

Chủ đề 16. Định nghĩa đạo hàm

khi x ≠ 0
khi

. Khi đó f ′ ( 0 ) là kết quả nào sau đây?

x=0

1
.
16

C.

1
.
32

D. Không tồn tại.

Câu 12. Cho hàm số f ( x) = x 2 . Khi đó f ′ ( 0 ) là kết quả nào sau đây?
A. Không tồn tại.

B. 0.

 x2


Câu 13. Cho hàm số f ( x) =  x 2
− + bx − 6
 2

C. 1.

D. 2.

khi x ≤ 2
khi x > 2

. Để hàm số này có đạo hàm tại x = 2 thì giá

trị của b là
B. b = 6.

A. b = 3.

C. b = 1.

D. b = −6.

Câu 14. Số gia của hàm số f ( x ) = x 2 − 4 x + 1 ứng với x và ∆x là
A. ∆x ( ∆x + 2 x − 4 ) .

B. 2 x + ∆x.

C. ∆x. ( 2 x − 4∆x ) .

D. 2 x − 4∆x.

Câu 15. Xét ba mệnh đề sau:
(1) Nếu hàm số f ( x ) có đạo hàm tại điểm x = x0 thì f ( x ) liên tục tại điểm đó.
(2) Nếu hàm số f ( x ) liên tục tại điểm x = x0 thì f ( x ) có đạo hàm tại điểm đó.
(3) Nếu f ( x ) gián đoạn tại x = x0 thì chắc chắn f ( x ) không có đạo hàm tại điểm đó.
Trong ba câu trên:
A. Có hai câu đúng và một câu sai.
C. Cả ba đều đúng.
Câu 16. Xét hai câu sau:
(1) Hàm số y =

x
liên tục tại x = 0
x +1

(2) Hàm số y =

x
có đạo hàm tại x = 0
x +1

Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (2) đúng.

B. Chỉ có (1) đúng.

B. Có một câu đúng và hai câu sai.
D. Cả ba đều sai.

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

Câu 17. Cho hàm số f ( x=
) x 2 + x . Xét hai câu sau:
(1). Hàm số trên có đạo hàm tại < nguyenthuongnd 86@ gmail.com > .
(2). Hàm số trên liên tục tại x = 0 .
Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (1) đúng.

B. Chỉ có (2) đúng.

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

 x 2 + x khi x ≥ 1
Câu 18. Tìm a, b để hàm số f ( x) = 
có đạo hàm tại x = 1 .
ax + b khi x < 1

a = 23
A. 
b = −1

a = 3
B. 
b = −11

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

a = 33
C. 
b = −31

a = 3
D. 
b = −1
3


Tổng ôn Toán 11

 x2

Câu 19. Cho hàm số f ( x) =  2
ax + b


khi x ≤ 1
khi

Chủ đề 16. Định nghĩa đạo hàm
. Với giá trị nào sau đây của a, b thì hàm số có đạo

x >1

hàm tại x = 1 ?
1
A. a = 1; b = − .

2

B.=
a

1
1
=
;b
.
2
2

C. a =

1
1
;b = − .
2
2

D. =
a 1;=
b

1
.
2

1

 2
khi x ≠ 0
 x sin
Câu20 . f ( x) = 
tại x = 0 .
x

khi x = 0
0

A. 0

B.

 sin 2 x

Câu 21. f ( x) =  x
 x + x2

A. 1

1
2

2
3

D. 7

C. 3

D. 5

C.

khi x > 0

tại x0 = 0

khi x ≤ 0
B. 2

x2 + x + 1
Câu 22. f ( x) =
tại x0 = −1 .
x
A. 2
B. 0

D. đáp án khác

C. 3

2
khi x ≥ 0
 x + 1
Câu 23. Tìm a,b để hàm số f ( x) =  2
có đạo hàm trên  .
2 x + ax + b khi x < 0

A.=
a 10,
=
b 11

B. a = 0, b = −1

C.=
a 0,=
b 1

D.
=
a 20,
=
b 1

Tài liệu này thuộc Series Tổng ôn Toán 11
DÀNH RIÊNG CHO THÀNH VIÊN VIP

VIP
KYS






Nhận toàn bộ tài liệu tự động qua email
Nhận toàn bộ các Series giải chi tiết 100%

Được cung cấp khóa đề ĐỒNG HÀNH 2K
Được nhận những tài liệu độc quyền dành riêng cho VIP

Đăng kí VIP tại bit.ly/vipkys

Contact us:
Hotline: 099.75.76.756
Admin: fb.com/khactridg
Email:
Fanpage Tài liệu KYS: fb.com/tailieukys
Group Gia đình Kyser: fb.com/groups/giadinhkyser

4

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

HƯỚNG DẪN GIẢI

Chủ đề 16. Định nghĩa đạo hàm

Câu 1. Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số y = f ( x) tại x0 < 1 ?
A. lim

∆x→0

f ( x + ∆x) − f ( x0 )
.

∆x

B. lim
x →0

f ( x) − f ( x0 )
.
x − x0

C. lim

x → x0

D. lim

f ( x) − f ( x0 )
.
x − x0

∆x→0

f ( x0 + ∆x) − f ( x)
.
∆x

Hướng dẫn giải:
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng.
Chọn C.
Câu 2. Cho hàm số f ( x ) liên tục tại x0 . Đạo hàm của f ( x ) tại x0 là
A. f ( x0 ) .

B.

f ( x0 + h) − f ( x0 )
.
h

C. lim

f ( x0 + h) − f ( x0 )
(nếu tồn tại giới hạn).
h

D. lim

f ( x0 + h) − f ( x0 − h)
(nếu tồn tại giới hạn).
h

h →0

h →0

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Định nghĩa f ′ ( x0 ) = lim

∆x → 0

f ( x0 + h) − f ( x0 )
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )

hay f ′ ( x0 ) = lim
(nếu tồn tại giới hạn).
→
h
0
h
∆x

Câu 3. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm tại x0 là f '( x0 ) . Khẳng định nào sau đây sai?
A. f ′( x0 ) = lim

f ( x) − f ( x0 )
.
x − x0

B. f ′( x0 ) = lim

f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
.
∆x

C. f ′( x0 ) = lim

f ( x0 + h) − f ( x0 )
.
h

D. f ′( x0 ) = lim

f ( x + x0 ) − f ( x0 )

.
x − x0

x → x0

h →0

∆x → 0

x → x0

Hướng dẫn giải:
Chọn D
A. Đúng (theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm).
B. Đúng vì

∆x =x − x0 ⇒ x =∆x + x0

=
∆y f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
⇒
=
f ′( x0 ) lim

x → x0

f ( x) − f ( x0 )
=
x − x0

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
=
∆x + x0 − x0

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
∆x

C. Đúng vì

∆y f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
Đặt h = ∆x = x − x0 ⇒ x = h + x0 , =
⇒
=
f ′( x0 ) lim

x → x0

f ( x) − f ( x0 )
=
x − x0

f ( x0 + h ) − f ( x0 )
=
h + x0 − x0

f ( x0 + h ) − f ( x0 )
h

1 bằng bao nhiêu?
Câu 4. Số gia của hàm số f ( x ) = x 3 ứng với x0 = 2 và ∆x =

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

5


Tổng ôn Toán 11
A. −19 .

B. 7 .

Chủ đề 16. Định nghĩa đạo hàm
D. −7 .

C. 19 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có ∆=
y f ( x0 + ∆x ) − f ( x0=
)

( x0 + ∆x )

3

3
− 2=
x03 + ( ∆x ) + 3 x0 ∆x ( x0 + ∆x ) − 8 .
3

1 thì ∆y =
Với x0 = 2 và ∆x =
19 .
Câu 5. Tỉ số

∆y
của hàm số f=
( x ) 2 x ( x − 1) theo x và ∆x là
∆x

A. 4 x + 2∆x + 2.

B. 4 x + 2 ( ∆x ) − 2.

C. 4 x + 2∆x − 2.

D. 4 x∆x + 2 ( ∆x ) − 2∆x.

2

2

Hướng dẫn giải:
Chọn C
∆y
∆x
=

f ( x ) − f ( x0 ) 2 x ( x − 1) − 2 x0 ( x0 − 1)
=

x − x0
x − x0

2 ( x − x0 )( x + x0 ) − 2 ( x − x0 )
= 2 x + 2 x0 − 2= 4 x + 2∆x − 2
x − x0

Câu 6. Số gia của hàm số f ( x ) =
A.

1
2
( ∆x ) − ∆x.
2

B.

x2
ứng với số gia ∆x của đối số x tại x0 = −1 là
2

1
2
( ∆x ) − ∆x  .

2

C.

1

2
( ∆x ) + ∆x  .

2

D.

1
2
( ∆x ) + ∆x.
2

Hướng dẫn giải:
Chọn A
Với số gia ∆x của đối số x tại x0 = −1 Ta có
∆y =

( −1 + ∆x )

2

2

1 1 + ( ∆x ) − 2∆x 1 1
2
− =
− = ( ∆x ) − ∆x
2
2
2 2

2

Câu 7. Cho hàm số f ( x=
) x 2 − x , đạo hàm của hàm số ứng với số gia ∆x của đối số x tại x0 là
A. lim

∆x → 0

(( ∆x ) + 2 x∆x − ∆x ) .

B. lim ( ∆x + 2 x − 1) .

2

∆x → 0

C. lim ( ∆x + 2 x + 1) .

D. lim

∆x → 0

∆x → 0

(( ∆x ) + 2 x∆x + ∆x ) .
2

Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có :

∆=
y

( x0 + ∆x ) − ( x0 + ∆x ) − ( x02 − x0 )
2

= x02 + 2 x0 ∆x + ( ∆x ) − x0 − ∆x − x02 + x0
2

=

( ∆x )

2

+ 2 x0 ∆x − ∆x

x
( ∆x ) + 2 x0 ∆x − ∆=
∆y
Nên f ' ( x=
lim = lim
lim ( ∆x + 2 x0 − 1)
0)
∆x → 0 ∆x
∆x → 0
∆x → 0
∆x
2

Vậy f ' ( =
x ) lim ( ∆x + 2 x − 1)
∆x → 0

6

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

 x

Câu 8. Cho hàm số f ( x) =  x
0


khi x > 0

Chủ đề 16. Định nghĩa đạo hàm
. Xét hai mệnh đề sau:

khi x = 0

(I) f ′ ( 0 ) = 1 .
(II) Hàm số không có đạo hàm tại x 0 = 0 .
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).

C. Cả hai đều sai.

D. Cả hai đều đúng.

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Gọi ∆x là số gia của đối số tại 0 sao cho ∆x > 0 .
Ta có f ′ ( 0 ) = lim

∆x → 0

f ( ∆x + 0 ) − f (0)
1
∆x
= lim 2 = lim
= +∞ .
∆x → 0 ∆ x
∆x → 0 ∆x ∆x
∆x

Nên hàm số không có đạo hàm tại 0.

 x3 − 2 x 2 + x + 1 − 1

khi x ≠ 1
Câu 9. f ( x) = 
tại điểm x0 = 1 .
x −1

0
khi x = 1

A.

1
3

B.

1
5

C.

1
2

D.

1
4

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
1
f ( x) − f (1)
x3 − 2 x 2 + x + 1 − 1
x
lim

lim
lim
=
=
=
2
3
2
x →1
x →1
x →1
( x − 1)
x −1
x − 2x + x +1 +1 2

Vậy f '(1) =

1
.
2

khi x ≥ 1
2 x + 3
 3
2
Câu 10. f ( x) =  x + 2 x − 7 x + 4
tại x0 = 1 .
khi x < 1

x −1



A. 0

B. 4

C. 5

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có lim+ f =
( x) lim+ ( 2 x +=
3) 5
x →1

x →1

lim− f (=
x) lim−

x →1

x →1

x + 2 x2 − 7 x + 4
= lim(
x 2 + 3 x −=
4) 0

x →1−
x −1
3

Dẫn tới lim f ( x) ≠ lim f ( x) ⇒ hàm số không liên tục tại x = 1 nên hàm số không có đạo hàm tại
x →1+

x →1−

x0 = 1 .

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

7


Tổng ôn Toán 11

3 − 4 − x

4
Câu 11. Cho hàm số f ( x) = 
1
 4
A.

1
.
4

B.

Chủ đề 16. Định nghĩa đạo hàm

khi x ≠ 0
khi

. Khi đó f ′ ( 0 ) là kết quả nào sau đây?

x=0

1
.
16

C.

1
.
32

D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải:
Chọn B

3− 4− x 1
−
f ( x ) − f ( 0)
4

4 lim 2 − 4 − x
lim
lim
=
Ta có =
0
x →0
x
x →0
→
4x
x−0
x
lim

(2 −

x →0

)(

)

4− x 2+ 4− x
x
1
1
= lim= lim
=
.

x →0
x →0
16
4x 2 + 4 − x
4x 2 + 4 − x
4 2+ 4− x

(

)

(

(

)

)

Câu 12. Cho hàm số f ( x) = x 2 . Khi đó f ′ ( 0 ) là kết quả nào sau đây?
A. Không tồn tại.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Hướng dẫn giải:
Chọn A.

∆x
f ( ∆x + 0 ) − f (0)
Ta có f =
.
= lim
( x) =
=
x 2 x nên f ′ ( 0 ) lim
∆x → 0
∆x → 0 ∆x
∆x
Do lim
−

∆x → 0

∆x
∆x
∆x
=−1 ≠ lim
=
1
lim
nên
không tồn tại.
∆x → 0 ∆x
∆x + → 0 ∆x
∆x

 x2


Câu 13. Cho hàm số f ( x) =  x 2
− + bx − 6
 2

khi x ≤ 2
khi x > 2

. Để hàm số này có đạo hàm tại x = 2 thì giá

trị của b là
B. b = 6.

A. b = 3.

C. b = 1.

D. b = −6.

Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có
• f ( 2) =
4
• lim− f ( x ) =
lim− x 2 =
4
x→2

x→2

 x2

• lim− f ( x ) = lim−  − + bx − 6  = 2b − 8
x→2
x→2
 2


f ( x ) có đạo hàm tại x = 2 khi và chỉ khi f ( x ) liên tục tại x = 2
⇔ lim− f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 2 ) ⇔ 2b − 8 = 4 ⇔ b = 6.
x→2

x→2

Câu 14. Số gia của hàm số f ( x ) = x 2 − 4 x + 1 ứng với x và ∆x là
A. ∆x ( ∆x + 2 x − 4 ) .

B. 2 x + ∆x.

C. ∆x. ( 2 x − 4∆x ) .

D. 2 x − 4∆x.

Hướng dẫn giải:
8

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦

Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 16. Định nghĩa đạo hàm

Chọn A
Ta có

∆y= f ( ∆x + x ) − f ( x )
= ( ∆x + x ) − 4 ( ∆x + x ) + 1 − ( x 2 − 4 x + 1)
2

=∆x 2 + 2∆x.x + x 2 − 4∆x − 4 x + 1 − x 2 + 4 x − 1 =∆x 2 + 2∆x.x − 4∆x
=∆x ( ∆x + 2 x − 4 )

Câu 15. Xét ba mệnh đề sau:
(1) Nếu hàm số f ( x ) có đạo hàm tại điểm x = x0 thì f ( x ) liên tục tại điểm đó.
(2) Nếu hàm số f ( x ) liên tục tại điểm x = x0 thì f ( x ) có đạo hàm tại điểm đó.
(3) Nếu f ( x ) gián đoạn tại x = x0 thì chắc chắn f ( x ) không có đạo hàm tại điểm đó.
Trong ba câu trên:
A. Có hai câu đúng và một câu sai.
C. Cả ba đều đúng.

B. Có một câu đúng và hai câu sai.
D. Cả ba đều sai.

Hướng dẫn giải:
Chọn A
(1) Nếu hàm số f ( x ) có đạo hàm tại điểm x = x0 thì f ( x ) liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh đề đúng.
(2) Nếu hàm số f ( x ) liên tục tại điểm x = x0 thì f ( x ) có đạo hàm tại điểm đó.
Phản ví dụ

Lấy hàm f ( x ) = x ta có D =  nên hàm số f ( x ) liên tục trên  .


x −0
f ( x ) − f ( 0)
x−0
= lim
=
lim
=
1
 xlim
+
+
+
→0
x →0 x − 0
x →0 x − 0
x−0
Nhưng ta có 
 lim f ( x ) − f ( 0 ) = lim x − 0 = lim − x − 0 = −1
 x →0−
x → 0− x − 0
x → 0+ x − 0
x−0
Nên hàm số không có đạo hàm tại x = 0 .
Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai.
(3) Nếu f ( x ) gián đoạn tại x = x0 thì chắc chắn f ( x ) không có đạo hàm tại điểm đó.
Vì (1) là mệnh đề đúng nên ta có f ( x ) không liên tục tại x = x0 thì f ( x ) có đạo hàm tại điểm đó.
Vậy (3) là mệnh đề đúng.

Câu 16. Xét hai câu sau:
(1) Hàm số y =

x
liên tục tại x = 0
x +1

(2) Hàm số y =

x
có đạo hàm tại x = 0
x +1

Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (2) đúng.

B. Chỉ có (1) đúng.

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

Hướng dẫn giải:
Chọn B

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

9

Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 16. Định nghĩa đạo hàm


x
x
=0
x
lim
⇒ lim
=
f ( 0 ) . Vậy hàm số y =
Ta có :  x →0 x + 1
liên tục tại x = 0
x →0 x + 1
x +1
 f ( 0) = 0

x
x
f ( x ) − f ( 0) x + 1 − 0
Ta có :
(với x ≠ 0 )
= =
x−0
x
x ( x + 1)
x


f ( x ) − f ( 0)
1
1
= lim+ = lim
=
 xlim
+
+
x → 0 x ( x + 1)
x →0 x + 1
x−0
 →0
Do đó : 
x
−1
 lim f ( x ) − f ( 0 ) = lim
= lim−
= −1
+
−
 x →0
x → 0 x ( x + 1)
x →0 x + 1
0
x
−


Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại giới hạn của
Vậy hàm số y =

f ( x ) − f ( 0)
khi x → 0 .
x−0

x
không có đạo hàm tại x = 0
x +1

Câu 17. Cho hàm số f ( x=
) x 2 + x . Xét hai câu sau:
(1). Hàm số trên có đạo hàm tại < nguyenthuongnd 86@ gmail.com > .
(2). Hàm số trên liên tục tại x = 0 .
Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (1) đúng.

B. Chỉ có (2) đúng.

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có

(
lim f =
( x ) lim ( x

)
−=
x)

x ) lim+ x 2 +=
x 0.
+) lim+ f (=
+)

x →0

x →0

x → 0−

x → 0−

2

0.

+) f ( 0 ) = 0 .
⇒ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 0 ) . Vậy hàm số liên tục tại x = 0 .
x →0

x →0

Mặt khác:
+
+) f ′ ( 0=

) lim+

f ( x ) − f ( 0)
x2 + x
= lim+
= lim+ ( x +=
1) 1 .
x →0
x →0
x−0
x

+) f ′ ( 0− ) =
lim−

f ( x ) − f ( 0)
x2 − x
=
=
−1 .
lim−
lim ( x − 1) =
x →0
x → 0−
x−0
x

x →0

x →0

⇒ f ′ ( 0+ ) ≠ f ′ ( 0− ) . Vậy hàm số không có đạo hàm tại x = 0 .

 x 2 + x khi x ≥ 1
Câu 18. Tìm a, b để hàm số f ( x) = 
có đạo hàm tại x = 1 .
ax + b khi x < 1

a = 23
A. 
b = −1

a = 3
B. 
b = −11

a = 33
C. 
b = −31

a = 3
D. 
b = −1

Hướng dẫn giải:
10

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦

Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 16. Định nghĩa đạo hàm

Chọn D

Ta có: lim+ f (=
x) lim(
x 2 +=
x) 2 ; lim f ( x) =lim(ax + b) =a + b
+
x →1

x →1−

x →1

x →1−

2 (1)
Hàm có đạo hàm tại x = 1 thì hàm liên tục tại x = 1 ⇔ a + b =
lim+

f ( x) − f (1)
x2 + x − 2
x + 2)
= lim+
= lim(
= 3
x →1

x →1+
x −1
x −1

lim−

f ( x) − f (1)
ax + b − 2
ax − a
a (Do b= 2 − a )
= lim− = lim
=
−
x →1
x →1
x −1
x −1
x −1

x →1

x →1

a = 3
Hàm có đạo hàm tại x = 1 ⇔ 
.
b = −1
 x2

Câu 19. Cho hàm số f ( x) =  2

ax + b


khi x ≤ 1
khi

. Với giá trị nào sau đây của a, b thì hàm số có đạo

x >1

hàm tại x = 1 ?
1
A. a = 1; b = − .
2
Hướng dẫn giải:
Chọn A

B.=
a

1
1
=
;b
.
2
2

C. a =

1
1
;b = − .
2
2

D. =
a 1;=
b

1
.
2

1
Hàm số liên tục tại x = 1 nên Ta có a + b =
2

Hàm số có đạo hàm tại x = 1 nên giới hạn 2 bên của
lim+

x →1

f ( x ) − f (1)
bằng nhau và Ta có
x −1

f ( x ) − f (1)
ax + b − ( a.1 + b )
a ( x − 1)

= lim+
= lim+
= lim
=
a a
x →1
x →1
x →1+
x −1
x −1
x −1

x2 1
−
1)( x − 1)
f ( x ) − f (1)
( x + 1) 1
2
2 lim ( x +=
=
=
lim− = lim
lim
x →1
x →1− x − 1
x →1−
x →1−
2 ( x − 1)
2
x −1

Vậy a = 1; b = −

1
2

1
 2
khi x ≠ 0
 x sin
Câu20 . f ( x) = 
tại x = 0 .
x
0
khi x = 0


A. 0

B.

1
2

C.

2
3

D. 7

Hướng dẫn giải:
Chọn A
Ta có: lim
x →0

f ( x) − f (0)
1
= lim
=
x sin
0
→
x
0
x
x

Vậy f '(0) = 0 .

 sin 2 x

Câu 21. f ( x) =  x
 x + x2


khi x > 0

tại x0 = 0

khi x ≤ 0

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

11


Tổng ôn Toán 11
A. 1
Hướng dẫn giải:
Chọn A

B. 2

C. 3

Chủ đề 16. Định nghĩa đạo hàm
D. 5

sin 2 x
 sin x

lim+ f ( x) lim
lim+  =
.sin x  0
=
Ta có =
+
x →0
x →0
x →0 

x
x

lim f ( x=
) lim− ( x + x 2 =
) 0 nên hàm số liên tục tại x = 0

x → 0−

x →0

lim+

sin 2 x
f ( x) − f (0)
1 và
= lim
=
x → 0+
x
x2

lim−

f ( x) − f (0)
x + x2
1
= lim
=
x → 0−

x
x

x →0

x →0

Vậy f '(0) = 1 .
Câu 22. f ( x) =

x2 + x + 1
x

tại x0 = −1 .

A. 2

B. 0

D. đáp án khác

C. 3

Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có hàm số liên tục tại x0 = −1 và
2
f ( x) − f (−1) x + x + x + 1
=
x +1

x( x + 1)

f ( x) − f (−1)
Nên lim=
x →−1+
x +1

x2 + 2 x + 1
=
lim
0
x →−1+
x( x + 1)

f ( x) − f (−1)
x2 −1
lim− = lim
2
=
x →−1
x →−1− x ( x + 1)
x +1
Do đó lim+
x →−1

f ( x) − f (−1)
f ( x) − f (−1)
≠ lim−
x →−1
x +1

x +1

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm x0 = −1 .
Nhận xét: Hàm số y = f ( x) có đạo hàm tại x = x0 thì phải liên tục tại điểm đó.
2
khi x ≥ 0
 x + 1
Câu 23. Tìm a,b để hàm số f ( x) =  2
có đạo hàm trên  .
2 x + ax + b khi x < 0

A.=
a 10,
=
b 11

B. a = 0, b = −1

C.=
a 0,=
b 1

D.
=
a 20,
=
b 1

Hướng dẫn giải: Chọn C
Ta thấy với x ≠ 0 thì f ( x) luôn có đạo hàm. Do đó hàm số có đạo hàm trên  khi và chỉ khi hàm có

đạo hàm tại x = 0 .
Ta có: lim f ( x)= 1; lim f ( x)= b ⇒ f ( x) liên tục tại x = 0 ⇔ b = 1 .
x → 0+

x → 0−

Khi đó:=
f '(0+ ) lim+
x →0

f ( x) − f (0)
f ( x) − f (0)
= 0;=
f '(0− ) lim−
= a
x →0
x
x

+
⇒ f '(0=
) f '(0− ) ⇔=
a 0.

Vậy=
a 0,=
b 1 là những giá trị cần tìm.
12

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦