các bài toán về tiếp tuyến

TỔNG ÔN TOÁN 11

VIP

CHỦ ĐỀ 20. CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

1. Tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số:
Cho hàm số ( C ) : y = f ( x ) và điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M.
- Tính đạo hàm f ' ( x ) . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là f ' ( x0 )

y f ' ( x )( x − x0 ) + y0
- phương trình tiếp tuyến tại điểm M là:=
2. Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
- Gọi ( ∆ ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.
- Giả sử M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Khi đó x0 thỏa mãn: f ' ( x0 ) = k (*) .
- Giải (*) tìm x0 . Suy ra y0 = f ( x0 ) .
- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = k ( x − x0 ) + y0
3. Tiếp tuyến đi qua điểm
Cho hàm số ( C ) : y = f ( x ) và điểm A ( a; b ) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua
A.
- Gọi ( ∆ ) là đường thẳng qua A và có hệ số góc k. Khi đó ( ∆ ) : y = k ( x − a ) + b (*)
 f ( x ) = k ( x − a ) + b (1)
- Để ( ∆ ) là tiếp tuyến của (C) ⇔ 
có nghiệm.
'
2
f
x
=
k

)
(
)
(

- Thay (2) vào (1) ta có phương trình ẩn x. Tìm x thay vào (2) tìm k thay vào (*) ta có phương
trình tiếp tuyến cần tìm.
Chú ý:
1. Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc (C) là: k = f ' ( x0 )

y kd x + b
2. Cho đường thẳng ( d ) :=
+) ( ∆ ) / / ( d ) ⇒ k∆ =
kd

+) ( ∆ ) ⊥ ( d ) ⇒ k∆ .kd =−1 ⇔ k∆ =−

k −k
+) ( ∆, d ) =α ⇒ tan α = ∆ d
1 + k∆ .kd

α k∆ =
± tan α
+) ( ∆, Ox ) =⇒

1
kd

3. Cho hàm số bậc 3: y = ax3 + bx 2 + cx + d , ( a ≠ 0 )
+) Khi a > 0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

+) Khi a < 0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất.

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

1


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 20. Tiếp tuyến

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ:

Câu 1. Cho hàm số y = f ( x) , có đồ thị ( C ) và điểm M 0 ( x0 ; f ( x0 ) ) ∈ (C ) . Phương trình tiếp tuyến của

( C ) tại

M 0 là:

y f ′( x) ( x − x0 ) + y0 .
A.=

=
B. y f ′( x0 ) ( x − x0 ) .

− y0 f ′( x0 ) ( x − x0 ) .
C. y =

D. y − y0 =
f ′( x0 ) x .

Hướng dẫn giải:
Chọn C
Câu 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số =
y
A.=
B. =
y –8 x + 4 .
y 9 x + 18 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm.

( x + 1) ( x – 2 )
2

tại điểm có hoành độ x = 2 là

C.=
y –4 x + 4 .

D. =
y 9 x − 18 .

Ta có x0 =2 ⇒ y0 =0 .

9.
y = ( x + 1) ( x – 2 ) = x 3 − 3 x + 2 ⇒ y′ = 3 x 2 − 3 ⇒ y′ ( 2 ) =

2

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9 ( x − 2 ) + 0 ⇔ y = 9 x − 18 .
Câu 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y = x ( 3 – x ) tại điểm có hoành độ x = 2 là
2

A.=
B.=
y –3 x + 6 .
y –3 x + 8 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm.

C. y = 3 x – 8 .

D. y = 3 x – 6 .

Ta có x0 =2 ⇒ y0 =2 .

−3 .
y = x ( 3 − x=
) x3 − 6 x 2 + 9 x ⇒ y′ = 3x 2 − 12 x + 9 ⇒ y′ ( 2 ) =
2

−3 ( x − 2 ) + 2 ⇔ y =
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y =
−3 x + 8 .
Câu 4. Cho đường cong ( C ) : y = x 2 . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( –1;1) là
A.=

y –2 x + 1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
y = x 2 ⇒ y′ = 2 x .
y′ ( −1) =
−2 .

B. =
y 2 x + 1.

C. y = –2 x –1 .

D. y = 2 x –1 .

−2 ( x + 1) + 1 ⇔ y =
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y =
−2 x − 1 .
x2 + x
. Phương trình tiếp tuyến tại A (1; –2 ) là
x−2
A. y = –4 ( x –1) – 2 . =
B. y –5 ( x –1) + 2 .
C. y = –5 ( x –1) – 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
x2 + x
x2 − 4x − 2
′
=
y

⇒=
y
, y′ (1) = −5 .
2
x−2
x
−
2
(
)
Câu 5. Cho hàm số y =

2

D. y = –3 ( x –1) – 2 .

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

−5 ( x − 1) − 2 ⇔ y =
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y =
−5 x + 3 .
Câu 6. Cho hàm=
số y
A. =
y 7x + 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

Ta có : y′ = x 2 − 6 x + 7

Chủ đề 20. Tiếp tuyến

1 3
x – 3 x 2 + 7 x + 2 . Phương trình tiếp tuyến tại A ( 0; 2 ) là:
3
B. =
C. y =
D. y =
y 7x − 2 .
−7 x + 2 .
−7 x − 2 .

Hệ số góc tiếp tuyến y′ ( 0 ) = 7
Phương trình tiếp tuyến tại A ( 0; 2 ) :

y = 7 ( x − 0) + 2 = 7 x + 2 .
Câu 7. Gọi ( P ) là đồ thị của hàm số y = 2 x 2 − x + 3 . Phương trình tiếp tuyến với ( P ) tại điểm mà ( P )
cắt trục tung là:
A. y =− x + 3 .
B. y =− x − 3 .
C. =
D.=
y 4x −1.
y 11x + 3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có : ( P ) cắt trục tung tại điểm M ( 0;3) .
y=′ 4 x − 1

Hệ số góc tiếp tuyến : y′ ( 0 ) = −1
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( P ) tại M ( 0;3) là y =−1( x − 0 ) + 3 =− x + 3 .
Câu 8. Đồ thị ( C ) của hàm số y =
phương trình là:
A. y =
−4 x − 1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có : điểm A ( 0; −1)
y′ =

−4

( x − 1)

2

3x + 1
cắt trục tung tại điểm A . Tiếp tuyến của ( C ) tại điểm A có
x −1

B. =
y 4x −1.

C. =
y 5x −1 .

D. y =
−5 x − 1 .

⇒ hệ số góc tiếp tuyến y′ ( 0 ) = −4

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm A ( 0; −1) là :

y =−4 ( x − 0 ) − 1 =−4 x − 1 .
Câu 9. Cho hàm số y =
hoành là:
A. =
y 2x − 4 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

2x − 4
có đồ thị là (H) . Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục
x −3

B. =
y 3x + 1 .

C. y =
−2 x + 4 .

D. y = 2 x .

−2
−2
Giao điểm của (H) với trục hoành là A(2;0) . Ta có: y ' = 2 ⇒ y '(2) =
( x − 3)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y =
−2( x − 2) hay y =

−2 x + 4 .

Câu 10. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x ) =x 3 − 2 x 2 + 3 x tại điểm có hoành độ x0 = −1 là:

A.=
y 10 x + 4.
Hướng dẫn giải:

B.=
y 10 x − 5.

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

C. =
y 2 x − 4.

D. =
y 2 x − 5.

3


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 20. Tiếp tuyến

Chọn A.
Tập xác định: D = .
Đạo hàm: y′ = 3 x 2 − 4 x + 3.
y′ ( −1) =

10; y ( −1) =
−6
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là ( d ) : y= 10 ( x + 1) − 6= 10 x + 4.
Câu 11. Gọi ( H ) là đồ thị hàm số y =

( H ) với hai trục toạ độ là:
A. y= x − 1.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Tập xác định: D =  \ {0} .

x −1
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( H ) tại các giao điểm của
x

 y= x − 1
B. 
.
 y= x + 1

C. y =− x + 1.

D. y= x + 1.

1
.
x2
( H ) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là x = 1 và không cắt trục tung.

Đạo hàm: y′ =

y′ (1) = 1
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d : y= x − 1.
Câu 12. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( H ) : y =
1
B. y = 3 x.
( x − 1).
3
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
D  \ {−2} .
Tập xác định:=

A.=
y

Đạo hàm: y′ =

3

( x + 2)

2

x −1
tại giao điểm của ( H ) và trục hoành:
x+2

C. y= x − 3.

D. =
y 3( x − 1).

.

( H ) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ xo = 1 ⇒ y′ (1)=

1
; y (1)= 0
3

1
( x − 1) .
3
Câu 13. Gọi ( P ) là đồ thị hàm số y = x 2 − x + 3 . Phương trình tiếp tuyến với ( P ) tại giao điểm của ( P ) và
trục tung là
A. y =− x + 3.
B. y =− x − 3.
C. y= x − 3 .
D. y =
−3 x + 1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.
Tập xác định: D = .
Giao điểm của ( P ) và trục tung là M ( 0;3) .
Đạo hàm: y′= 2 x − 1 ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến tại x = 0 là −1 .

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d=
:y

Phương trình tiếp tuyến tại M ( 0;3) là y =− x + 3 .
Câu 14. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
4

4
tại điểm có hoành độ x0 = −1 có phương trình là:
x −1

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

A. y =− x + 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
Tập xác định: D =  \ {1} .
Đạo hàm: y′ = −
Tiếp tuyến tại

4

C. y= x − 1 .

D. y =− x − 3 .

.

( x − 1)
M ( −1; −2 )

2

B. y= x + 2 .

Chủ đề 20. Tiếp tuyến

có hệ số góc là k = −1 .

Phương trình của tiếp tuyến là y =− x − 3
Câu 15. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =x 4 + 2 x 2 − 1 tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng 2 là:
A. y =
B. y =
8 x − 6, y =
−8 x + 6.
8 x − 6, y =
−8 x − 6.
D.=
C. y =
y 40 x − 57.
8 x − 8, y =
−8 x + 8.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.
Tập xác định: D = .
Đạo hàm: =
y′ 4 x3 + 4 x .
x = 1
Tung độ tiếp điểm bằng 2 nên 2 = x 4 + 2 x 2 − 1 ⇔ 
.
 x = −1

Tại M (1; 2 ) . Phương trình tiếp tuyến là =
y 8x − 6 .
Tại N ( −1; 2 ) . Phương trình tiếp tuyến là y =
−8 x − 6 .
Câu 16. Cho đồ thị ( H ) : y =
của ( H ) tại điểm A .
A. y= x − 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
Tập xác định: D =  \ {1} .
Đạo hàm: y′ = −

3

( x − 1)

2

x+2
và điểm A ∈ ( H ) có tung độ y = 4 . Hãy lập phương trình tiếp tuyến
x −1

B. y =
−3 x − 11 .

C. =
y 3 x + 11 .

D. y =
−3 x + 10 .

.

Tung độ của tiếp tuyến là y = 4 nên =
4
Tại M ( 2; 4 ) .

x+2
x 2.
⇔=
x −1

Phương trình tiếp tuyến là y =
−3 x + 10 .
Câu 17. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
phương trình là:
A. y= x − 1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
2x2 − 2 x + 1
Ta có: y ' =
.
2
( 2 x − 1)

B. y= x + 1 .

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

x 2 − 3x + 1

tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có
2x −1
C. y = x .

D. y = − x .

5


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 20. Tiếp tuyến

Giao điểm M của đồ thị với trục tung : x0 =
0 ⇒ y0 =
−1

' ( 0 ) 1.
: k y=
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là=

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là : y = k ( x − x0 ) + y0 ⇔ y = x − 1 .
Câu 18. Cho đường cong (C ) : y =

x2 − x + 1
và điểm A ∈ (C ) có hoành độ x = 3 . Lập phương trình tiếp
x −1

tuyến của (C ) tại điểm A .
3

5
3
5
A. =
B. =
C. =
y
x− .
y
x+ .
y 3x + 5 .
4
4
4
4
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
x2 − 2 x
7
Ta có: y ' =
. Tại điểm A ∈ (C ) có hoành độ: x0 =3 ⇒ y0 =
2
2
( x − 1)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là=
: k y=
' ( 3)

D. =
y

1
5
x+ .
4
4

3
.
4

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y = k ( x − x0 ) + y0 ⇔ y =

3
5
x+ .
4
4

1
1 
tại điểm A  ;1 có phương trình là:
2x
2 
B. 2 x − 2 y =
C. 2 x + 2 y =
D. 2 x − 2 y =
−1 .
3.
1.

Câu 19. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

A. 2 x + 2 y =
−3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
1
1
Ta có: y ' = −
. Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k = y '   = −1 .
2x 2x
2
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y = k ( x − x0 ) + y0 ⇔ 2 x + 2 y = 3 .

Câu 20. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x ) =x 3 − 2 x 2 − 2 tại điểm có hoành độ x0 = −2 có phương trình
là:
B.=
C.=
D.=
A. =
y 20 x + 22 .
y 4x − 8 .
y 20 x − 22 .
y 20 x − 16 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
x ) 3 x 2 − 4 x . Tại điểm A có hoành độ x0 =−2 ⇒ y0 =f ( x0 ) =−18
Ta có: f ' (=
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k = f ' ( −2 ) = 20 .

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y= k ( x − x0 ) + y0 ⇔ y= 20 x + 22 .
Câu 21. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) : =
y 3 x − 4 x3 tại điểm có hoành độ x0 = 0 là:
A. y = 3 x .
B. y = 0 .
C. =
D. y = −12 x .
y 3x − 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: y '= 3 − 12 x 2 . Tại điểm A ∈ (C ) có hoành độ: x0 =0 ⇒ y0 =0

' ( 0) 3 .
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là=
: k y=

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y= k ( x − x0 ) + y0 ⇔ y= 3 x .

6

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 20. Tiếp tuyến

1 3
x + x 2 − 2 có đồ thị hàm số ( C ) . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có
3

hoành độ là nghiệm của phương trình y " = 0 là

Câu 22. Cho hàm số y =

7
3
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
A. y =− x −

B. y =− x +

7
3

C. y= x −

7
3

D. y =

7
x
3

′′ 2 x + 2
Ta có y=′ x 2 + 2 x và y=

Theo giả thiết x0 là nghiệm của phương trình y′′( x0 ) = 0 ⇔ 2 x + 2 =0 ⇔ x0 =−1

7
4

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A  −1; −  là: y =− x −
3
3

2x −1
Câu 23. Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số y =
với trục tung. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị
x−2
hàm số trên tại điểm M là:
3
1
x−
2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

A. =
y

3
1
B. y =
− x+
4
2

C. =
y

3
1
x+
4
2

3
1
D. y =
− x−
2
2

 1
Vì M là giao điểm của đồ thị với trục Oy ⇒ M  0; 
 2

y′ =

−3
3
⇒ k =y′(0) =
−
2
4
( x − 2)

3
1
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M là: y =
− x+
4
2
3
2
Câu 24. Cho hàm số y = x + 3 x + 3 x + 1 có đồ thị ( C ) . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại giao điểm của

( C ) với trục tung là:
A. =
B. y =
C. =
y 3x + 1
−8 x + 1
y 8x + 1
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.
Giao điểm của ( C ) với trục tung là A(0;1) ⇒ y′(0) =
3.
Câu 25. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y =
A. – 2
Hướng dẫn giải:
Ta có f ′(−1) =
−2.
Chọn đáp án A.

B. 0

D. =
y 3x − 1

x4 x2
+ − 1 tại điểm có hoành độ x0 = −1 là:
4 2
C. 1
D. 2

1 3
x − 2 x 2 + 3 x + 1 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là nghiệm
3
′′
của phương trình y = 0 có phương trình:

Câu 26. Cho hàm số y =

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

7


Tổng ôn Toán 11

11
.
3
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
y′ = x 2 − 4 x + 3

y′′ = 2 x − 4 = 0 ⇔ x = 2 .

A. y= x +

1
B. y =− x − .
3

1
C. y= x + .
3

Chủ đề 20. Tiếp tuyến

D. y =− x +

11
.
3

 5
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm ⇒ M  2; 
 3

5
11
⇔ y =− x + .
3
3
3

Câu 27. Phương trình tiếp tuyến của ( C ) : y = x tại điểm M 0 (−1; − 1) là:

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:=
y y′(2) ( x − 2 ) +

A. =
B. =
C. =
y 3x + 2 .
y 3x − 2 .
y 3x + 3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
+ y′= 3 x 2 ⇒ y′(−1)= 3
+ PTTT của (C ) tại điểm M 0 (−1; − 1) là y = 3( x + 1) − 1 ⇔ y = 3 x + 2 .

D. y =
−3 x + 3 .

Câu 28. Phương trình tiếp tuyến của ( C ) : y = x 3 tại điểm có hoành độ bằng 1 là:

A. =
B. =
C. y = 3 x .
D. =
y 3x − 3 .
y 3x + 2 .
y 3x − 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

+ y′ =3 x 2 ⇒ y′(1) =3 .
+ x0 =⇒
1 y0 =y (1) =
1.
+PTTT của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 1 là: y = 3( x − 1) + 1 ⇔ y = 3 x − 2 .

)
y f ( x=
Câu 29. Cho hàm số =

x 2 11
+ , có đồ thị ( C ) . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M có hoành
8 2

độ x0 = −2 là:
1
1
1
1
B. y =
C. y =
D. y =
A. y=
( x + 2) + 7 .
− ( x − 2) + 7 .
− ( x + 2) + 6 .
− ( x + 2) − 6 .
2
2
2

2
Hướng dẫn giải:
Đáp án C
− y0 f ′ ( x0 )( x − x0 )
Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) có phương trình là: y=
x
1
f ′( x) = ⇒ f ′(−2) =
− ; y0 = 6
4
2
1
Vậy phương trình tiếp tuyến có dạng y =
− ( x + 2) + 6
2

x2 + x −1
tại điểm có hoành độ x0 = −1 là:
x −1
4
5
4
5
C. =
D. =
y
x− .
y
x+ .
3

4
3
4

Câu 30. Phương trình tiếp tuyến của đường cong f ( x) =

3
5
3
5
B. =
x− .
y
x+ .
4
4
4
4
Hướng dẫn giải:
Chọn B
− y0 f ′ ( x0 )( x − x0 )
Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) có phương trình là: y=

A. =
y

8

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦

Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 20. Tiếp tuyến

 x 2 + x − 1 ′ x 2 − 2 x
3
1
=
f ′( x) =
, f ′ ( −1=
) ; y ( −1=)

2
4
2
 x − 1  ( x − 1)

3
5
x+ .
4
4
2
C
Câu 31. Cho hàm số y = f ( x) = x + 5 x + 4 , có đồ thị ( ) . Tại các giao điểm của ( C ) với trục Ox , tiếp

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại x0 = −1 có dạng =
y
tuyến của ( C ) có phương trình:

A. =
−3 x − 12 .
y 3 x + 3 và y =
C. y =
y 3 x − 12 .
−3 x + 3 và =
Hướng dẫn giải:.
Đáp án A.
Xét phương trình hoành độ giao điểm.
 x = −1
x2 + 5x + 4 = 0 ⇔ 
 x = −4

B. =
−3 x + 12 .
y 3 x − 3 và y =
D. =
−2 x − 12 .
y 2 x + 3 và y =

f ′ ( x=
) 2x + 5

−1; y0 =
0;f ′ ( −1) =
3 PTTT có dạng : =
TH1: x0 =
y 3x + 3

−4; y0 =

−3 PTTT có dạng : y =
0;f ′ ( −4 ) =
TH2: x0 =
−3 x − 12

π
π
Câu 32. Phương trình tiếp tuyến của đường cong
=
y f=
( x ) tan  − 3x  tại điểm có hoành độ x0 = là:
6
4

A. y =− x +

π

+6.

6
Hướng dẫn giải:
Chọn C
−3
;
f ′( x) =

2 π
cos  − 3 x 
4



B. y =− x −

π

6

−6.

C. y =
−6 x + π − 1 .

D. y =− x −

π

6

+ 6.

π

; y0 = −1 ; f ′ ( x0 ) = −6
6
Phương trình tiếp tuyến: y =
−6 x + π − 1 .
x0 =

3


Câu 33. Cho hàm số y = 2x 3 − 3x 2 + 1 có đồ thị ( C ) , tiếp tuyến với ( C ) nhận điểm M 0  ; y0  làm tiếp
2

điểm có phương trình là:
9
27
9
9
23
9 x 31
A. y = x .
B. =
.
C. =
D. =
y
x−
y
− .
y
x− .
2
4
2
2
4
2 4
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C.

Tập xác định: D = .
3
Ta có x0 = ⇒ y0 =1 .
2
Đạo hàm của hàm số =
y′ 6 x 2 − 6 x .
9
3

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại M 0  ; y0  là k = .
2
2


Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

9


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 20. Tiếp tuyến

9
23
x−
2
4
3
2

Câu 34. Cho hàm số y = x + 3 x − 6 x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hoành độ
tiếp điểm bằng 1
A. =
B. =
C. =
D. =
y 3x − 6
y 3x − 7
y 3x − 4
y 3x − 5
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm

Phương trình của tiếp tuyến là =
y

Ta có: y ' = 3 x 2 + 6 x − 6 .
Ta có: x0 =
1 ⇒ y0 =
−1, y '(1) =
3
Phương trình tiếp tuyến là: y = y '( x0 )( x − x0 ) + y0 = 3( x − 1) − 1 = 3 x − 4
Câu 35. Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 − 6 x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tung độ
tiếp điểm bằng 9
=
=
 y 18 x + 81
 y= x + 81
 y 18 x + 1

 y= x + 81



A.  y = −9 x
B.  y = 9 x
C.  y = −9 x
D.  y = −9 x
 y 18 x − 27
=
=
=
y 9x − 2
=
y 9x − 2
y 9x − 7
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm
Ta có: y ' = 3 x 2 + 6 x − 6 .
Ta có: y0 = 9 ⇔ x03 + 3 x02 − 6 x0 − 8 = 0 ⇔ x0 =
−1, x0 =
2, x0 =
−4 .
• x0 =−4 ⇒ y '( x0 ) =18 . Phương trình tiếp tuyến là: y= 18( x + 4) + 9= 18 x + 81
• x0 =−1 ⇒ y '( x0 ) =−9 . Phương trình tiếp tuyến là: y =−9( x + 1) + 9 =−9 x
2 ⇒ y '( x0 ) =
18 . Phương trình tiếp tuyến là: y= 18( x − 2) + 9= 18 x − 27 .
• x0 =
Câu 36. Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hoành độ tiếp

điểm bằng 0
B. y =
C. y =
D. y =
A. y =
−3 x + 11
−3 x + 1
−3 x + 12
−3 x + 2
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: =
y ' 3 x 2 − 3 . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm
Ta có: x0 =
0 ⇒ y0 =
1, y '( x0 ) =
−3
Phương trình tiếp tuyến: y =
−3 x + 1 .
Câu 37. Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tung độ tiếp điểm
bằng 3
A. =
B. =
y 9 x − 4 hay y = 3
y 9 x − 1 hay y = 3
C. =
D. =
y 9 x − 3 hay y = 3
y 9 x − 13 hay y = 3
Hướng dẫn giải:

Chọn D.
Ta có: =
y ' 3 x 2 − 3 . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm
Ta có: y0 =3 ⇔ x03 − 3 x0 − 2 =0 ⇔ x0 =2, x0 =−1
• x0 =−1 ⇒ y '( x0 ) =0 . Phương trình tiếp tuyến: y = 3
2 ⇒ y '( x0 ) =
9 . Phương trình tiếp tuyến:
• x0 =
10

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

y = 9( x − 2) + 3 = 9 x − 13 .

Chủ đề 20. Tiếp tuyến

Câu 38. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = 2 x 4 − 4 x 2 + 1 biết tung độ tiếp điểm bằng 1
y =1
y =1
y =1
y =1




A.=
B.=

C.=
D.=
 y 8 2x −1
 y 8 2x − 5
 y 8 2 x − 15
 y 8 2 x − 10
y =
y =
y =
y =
−8 2 x − 1
−8 2 x − 5
−8 2 x − 15
−8 2 x − 10




Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: =
y ' 8 x3 − 8 x
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm.

1 ⇔ 2 x04 − 4 x02 =⇔
0
x0 =
0, x0 =
± 2
Ta có: y0 =

0 ⇒ y '( x0 ) =
0 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 1
• x0 =

8 2 . Phương trình tiếp tuyến
• x0 =2 ⇒ y '( x0 ) =

(

)

=
y 8 2 x− 2 =
+ 1 8 2 x − 15

− 2 ⇒ y '( x0 ) =
−8 2 . Phương trình tiếp tuyến
• x0 =

(

)

y =−8 2 x + 2 + 1 =−8 2 x − 15 .
Câu 39. Cho hàm số y = x 4 + x 2 + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tung độ tiếp
điểm bằng 1
A. y = 2
B. y = 1
C. y = 3
D. y = 4

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: =
y ' 4 x3 + 2 x . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm
Ta có y0 =1 ⇔ x04 + x02 =0 ⇔ x0 =0 , y '( x0 ) = 0
Phương trình tiếp tuyến: y = 1
2x + 2
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tung độ tiếp điểm bằng
Câu 40. Cho hàm số y =
x −1
−2 .
 y =− x + 7
 y =− x + 7
 y =− x + 27
 y =− x + 27
A. 
B. 
C. 
D. 
 y =− x − 21
 y =− x − 21
 y =− x − 1
 y =− x − 1
2x + 2
−4
.
=
∆: y
( x − x0 ) + 0
2

( x0 − 1)
x0 − 1
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
−4
Hàm số xác định với mọi x ≠ 1 . Ta có: y ' =
( x − 1) 2
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):
Vì tiếp tuyến có hệ số góc bằng −1 nên ta có
4
−
=−1 ⇔ x0 =3, x0 =−1
( x0 − 1) 2
• x0 = 2 ⇒ y0 = 4 ⇒ ∆ : y = − x + 7
• x0 = −1 ⇒ y0 = 0 ⇒ ∆ : y = − x − 1
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

11


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 20. Tiếp tuyến

ax + b
, có đồ thị là ( C ) . Tìm a, b biết tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại giao điểm
x−2
1
của ( C ) và trục Ox có phương trình là y =
− x+2

2
A. a =
B. a =
C. a =
D. a =
− 1, b =
1
− 1, b =
2
− 1, b =
3
− 1, b =
4
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
1
1
Giao điểm của tiếp tuyến d : y =
− x + 2 với trục Ox là A ( 4;0 ) , hệ số góc của d : k = − và A ( 4;0 ) ,
2
2
4a + b
∈ (C ) ⇔
= 0 ⇔ 4a + b = 0 .
2
−2a − b
−2a − b
Ta có: y='
⇒ y ( 4=
)

2
( x − 2)
4
−2a − b
1
1
1
Theo bài toán thì: k =
− ⇔ y '(4) =
− ⇔
=
− ⇔ 2a + b =
2
2
2
4
2
0
 4a + b =
ta được a =
Giải hệ 
− 1, b =
4
2
 2a + b =

Câu 41. Cho hàm số y =

Câu 42. Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 1 có đồ thị là ( C ) . Giả sử ( d ) là tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có hoành
độ x = 2 , đồng thời ( d ) cắt đồ thị ( C ) tại N, tìm tọa độ N .

A. N (1; −1)
B. N ( 2;3)
C. N ( −4; −51)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Tiếp tuyến ( d ) tại điểm M của đồ thị ( C ) có hoành độ x0 =2 ⇒ y0 =3

D. N ( 3;19 )

Ta có y '( x)= 3 x 2 − 3 ⇒ y '( x0 )= y '(2)= 9

Phương trình tiếp tuyến ( d ) tại điểm M của đồ thị ( C ) là
y = y '( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇒ y = 9( x − 2) + 3 ⇒ y = 9 x − 15

Xét phương trình x3 − 3 x + 1 =9 x − 15 ⇔ x3 − 12 x + 16 =0 ⇔ ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x − 8 ) =0

⇔x=
−4 hoặc x = 2 ( không thỏa )
Vậy N ( −4; −51) là điểm cần tìm
Câu 43. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =x3 − 6 x 2 + 11x − 1 tại điểm có tung độ bằng 5.
A. =
y 2 x + 1 ; y =− x + 2 ; =
y 2x −1
B. =
y 2 x + 3 ; y =− x + 7 ; =
y 2x − 2
C. =
y 2 x + 1 ; y =− x + 2 ; =
y 2x − 2
D. =

y 2 x + 3 ; y =− x + 7 ; =
y 2x −1
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: y = 5 ⇔ x3 − 6 x 2 + 11x − 6 = 0 ⇔ x = 1; x = 2; x = 3
Phương trình các tiếp tuyến: =
y 2 x + 3 ; y =− x + 7 ; =
y 2x −1
2x + m +1
Câu 44. Cho hàm số y =
(Cm). Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ x0 = 2 tạo
x −1
25
với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng
.
2
12

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 20. Tiếp tuyến

23
23
23
23





m=
m = 2; m = −
−2; m =
−
−2; m =
−
=
m 2;=
m

m =


9
9
9
9
A. 
B. 
C. 
D. 
28
28
28
28
 m 7;=
m =

m =
m =
m
=
−7; m =
−
−7; m =
−7; m =
−




9
9
9
9


Hướng dẫn giải:
Chọn A.
−m − 3
Ta có: y ' =
( x − 1) 2
Ta có x0 =2 ⇒ y0 =m + 5, y '( x0 ) =−m − 3 . Phương trình tiếp tuyến ∆ của (Cm) tại điểm có hoành độ
x0 = 2 là:
y =(−m − 3)( x − 2) + m + 5 =(−m − 3) x + 3m + 11 .
 3m + 11 
• ∆ ∩ Ox= A ⇒ A 
;0  , với m + 3 ≠ 0

 m+3

• ∆ ∩ Oy= B ⇒ B ( 0;3m + 11)
1
1 (3m + 11) 2
Suy ra diện tích tam giác OAB
là: S =
=
OA.OB
2
2 m+3

Theo giả thiết bài toán ta suy ra:

1 (3m + 11) 2 25
=
2 m+3
2

9m 2 + 66m + 121 = 25m + 75
⇔ (3m + 11)= 25 m + 3 ⇔  2
−25m − 75
9m + 66m + 121 =
23

m=
−2; m =
−

9m 2 + 41m + 46 =

0
9
.
⇔ 2
⇔
28
0
m =
9m + 91m + 196 =
−7; m =
−

9
2

( x), y g=
( x), y
Câu 45. Giả sử tiếp tuyến của ba đồ=
thị y f=

f ( x)
tại điểm của hoành độ x = 0 bằng
g ( x)

nhau. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất.
1
1
1
A. f (0) <
B. f (0) ≤

C. f (0) >
4
4
4
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
f '(0).g (0) − g '(0) f (0)
Theo giả thiết ta có: f=
'(0) g=
'(0)
g 2 (0)
 f '(0) = g '(0)
2
1 
1 1

⇔  g (0) − f (0) ⇒ f (0) =
g (0) − g 2 (0) = −  g (0) −  ≤
4 
2 4
1 =
g 2 (0)


D. f (0) ≥

1
4

Câu 46. Tìm trên (C) : y = 2 x3 − 3 x 2 + 1 những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại

điểm có tung độ bằng 8.
A. M (−1; −4)
B. M (−2; −27)
C. M (1;0)
D. M (2;5)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Giả sử M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) ⇒ y0 = 2 x03 − 3 x02 + 1 . Ta có: =
y′ 3x 2 − 6 x .
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

13


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 20. Tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M: y = (6 x02 − 6 x0 )( x − x0 ) + 2 x03 − 3 x02 + 1 .

∆ đi qua P(0;8) ⇔ 8 =
−4 x03 + 3 x02 + 1 ⇔ x0 = −1 . Vậy M (−1; −4) .
x
Câu 47. Phương trình tiếp tuyến của đường cong f ( x) =
tại điểm M ( −1; − 1) là:
x+2
A. y =
B. y =
C. =
D. =

y 2 x + 1.
−2 x + 1 .
y 2x −1.
−2 x − 1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C
2
f ′( x) =
2
( x + 2)
Ta có x0 =
−1; y0 =
−1; f ′ ( x0 ) = 2
Phương trình tiếp tuyến =
y 2 x + 1.
Câu 48. Tiếp tuyến của parabol y= 4 − x 2 tại điểm (1;3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông. Diện
tích của tam giác vuông đó là:
25
25
5
5
A.
.
B. .
C. .
D.
.
2
4
4

2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
+ y′ =
−2 x ⇒ y′(1) =
−2 .
+PTTT tại điểm có tọa độ (1;3) là: y =−2( x − 1) + 3 ⇔ y =−2 x + 5 (d ) .
5 
+ Ta có (d ) giao Ox tại A  ;0  , giao Oy tại B (0;5) khi đó (d ) tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông
2 
OAB vuông tại O .
1
1 5
25
Diện tích tam giác vuông OAB =
là: S
.
OA
=
.OB =
. .5
2
2 2
4
1
Câu 49. Trên đồ thị của hàm số y =
có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo
x −1
thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ M là:
3


 3 4
 1
A. ( 2;1) .
B.  4;  .
C.  − ; −  .
D.  ; −4  .
4

 4 7
 3
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
1
Ta có: y ' = −
. Lấy điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) .
2
( x − 1)
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y =
−

1

( x0 − 1)

2

. ( x − x0 ) +

1

x0 − 1

(∆) .

Giao với trục hoành: ( ∆ ) ∩ Ox=A ( 2 x0 − 1;0 ) .
 2x −1 
0
Giao với trục tung: ( ∆ ) ∩ Oy=B  0;

 ( x − 1)2 
0


2

 2x −1 
1
3
3

. Vậy M  ; −4  .
SOAB
OA.OB=
=
⇔4  0  =
⇔ x0
2
4
4


 x0 − 1 

14

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 20. Tiếp tuyến

Câu 50. Cho hàm số y =f ( x) =
− x 2 + 5 , có đồ thị ( C ) . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M có tung
độ y0 = −1 với hoành độ x0 < 0 là

(

)

A. y= 2 6 x + 6 − 1 .

−2 6 ( x + 6 ) − 1 .
B. y =

y 2 6 ( x − 6) + 1.
C.=

D. y= 2 6 x − 6 − 1 .

(

)

Hướng dẫn giải:
Chọn A
f ′ ( x ) = −2 x
Do x0 < 0 nên x0 = − 6 ; f ′ ( x0 ) = 2 6 .

(

)

Phương trình tiếp tuyến: y= 2 6 x + 6 − 1 .
Câu 51. Cho hàm số y = x 4 − 8 x 2 + m + 1 (Cm ) . Giả sử rằng tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm có hoành
độ x0 = 1 luôn cắt đồ thị (Cm) tại ba điểm phân biệt. Tìm tọa độ các giao điểm.

(
C. A(1; m − 6), B ( −1 ±

)
2)

A. A(1; m − 6), B −1 ± 3; m + 18 ± 3
2; m + 18 ±

(
D. A(1; m − 6), B ( −1 ±

)
6)

B. A(1; m − 6), B −1 ± 7; m + 18  7
6; m + 18 

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: =
y ' 4 x3 − 16 x
Vì x0 =
1 ⇒ y0 =−
m 6, y '( x0 ) =
−12 . Phương trình tiếp tuyến d của (Cm) tại điểm có hoành độ x0 = 1 là:
y=
−12( x − 1) + m − 6 =
−12 x + m + 6 .
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với d
0
−12 x + m + 6 ⇔ x 4 − 8 x 2 + 12 x − 5 =
x4 − 8x2 + m + 1 =
2
2
⇔ ( x − 1) ( x + 2 x − 5) =0 ⇔ x =1, x =−1 ± 6
Vậy d và (Cm) luôn cắt nhau tại ba điểm phân biệt

(

A(1; m − 6), B −1 ± 6; m + 18  6
Câu 52. Cho hàm số y =

)

2x + m +1
(Cm). Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ x0 = 0 đi
x −1

qua A(4;3)
16
6
1
16
B. m = −
C. m = −
D. m = −
5
5
5
15
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
−m − 3
Ta có: y ' =
( x − 1) 2
Vì x0 =0 ⇒ y0 =−m − 1, y '( x0 ) =−m − 3 . Phương trình tiếp tuyến d của (Cm) tại điểm có hoành độ x0 = 0
là:
y =(−m − 3) x − m − 1
16
Tiếp tuyến đi qua A khi và chỉ khi: 3 =(−m − 3)4 − m − 1 ⇔ m =− .
5
4
2

Câu 53. Cho hàm số y =x + 2 x − 3 . Tìm phương trình tiếp tuyến của hàm số có khoảng cách đến điểm
5
M ( 0; −3) bằng
.
65

A. m = −

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

15


Tổng ôn Toán 11

A. =
B. =
y 2x +1
y 3x − 2
Hướng dẫn giải:
Gọi A ∈ ( C ) ⇒ A ( a; a 4 + 2a 2 − 3)

C. =
y 7x + 6

Chủ đề 20. Tiếp tuyến

D. Đáp án khác

Ta có: y ' = 4 x3 + 4 x ⇒ y ' ( a ) = 4a 3 + 4a

Phương trình tiếp tuyến ( t ) : ( 4a 3 + 4a ) x − y − 3a 4 − 2a 2 − 3 =
0

d ( M ; (t )) =

5
hay
65

3a 4 + 2a 2

( 4a

3

+ 4a ) + 1
2

=

5
hay
65

5 ( a − 1)( a + 1) (117 a 6 + 193a 4 + 85a 2 + 5 ) =
0

Giải tìm a, sau đó thế vào phương trình (t) suy ra các phương trình tiếp tuyến cần tìm.
x4 x2

+ + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết khoảng
Câu 54. Cho hàm số y =
4 2
9
.
cách từ điểm A(0;3) đến (d) bằng
4 5
1
3
3
3
A. y =
B. y =
2x + , y =
−2 x +
2x + , y =
−2 x +
4
4
4
14
3
3
3
3
C. y =
D. y =
−2 x +
2x + , y =
2x + , y =

−2 x +
4
4
14
4
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng
: y y '( x0 )( x − x0 + + y ( x0 )
=
(trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm của (d) với (C)).
Phương trình (d): y = ( x03 + x0 )( x − x0 ) +

x04 x02
3
1
+ + 2 = ( x03 + x0 ) x − x04 − x02 + 2
4 2
4
2

3 4 1 2
x0 − x0 + 2 =
0.
4
2
3
1
− x04 − x02 − 1
9

9
4
2
d ( A;(d )) =
⇔
=
3
2
4 5
4 5
( x0 + x0 ) + 1
⇔ ( x03 + x0 ) x − y −

4) 2 81[ x02 ( x02 + 1) 2 + 1]
⇔ 3 x04 + 2 x02 + 4=
5 9 x02 ( x02 + 1) 2 + 1 ⇔ 5(3 x04 + 2 x02 +=
2
Đặt
=
t x02 , t ≥ 0 . Phương trình (1) trở thành: 5(3t 2 + 2t + 4)=
81[t (t + 1) 2 + 1]

⇔ 5(9t 4 + 4t 2 + 16 + 12t 3 + 24t 2 + 16t ) = 81t 3 + 162t 2 + 81t + 81
⇔ 45t 4 − 21t 3 − 22t 2 − t − 1 = 0 ⇔ (t − 1)(45t 3 + 24t 2 + 2t + 1) = 0
=
⇔ t 1 (do t ≥ 0 nên 45t 3 + 24t 2 + 2t + 1 > 0)
Với t = 1 ,ta có x02 =
1 ⇔ x0 =
±1 .
3

3
Suy ra phương trình tiếp tuyến (d): y =
2x + , y =
−2 x +
4
4
4
2
Câu 55. Cho hàm số y = ax + bx + c (a ≠ 0) , có đồ thị là ( C ) . Tìm a, b, c biết ( C ) có ba điểm cực trị,
điểm cực tiểu của ( C ) có tọa độ là ( 0;3) và tiếp tuyến d của ( C ) tại giao điểm của ( C ) với trục Ox có
phương trình là y =
−8 3 x + 24 .
16

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 20. Tiếp tuyến

B.=
a 1,=
b 21,=
c 3
D. a =
−12, b =
22, c =
3

A. a =
2, c =
3
−1, b =
C. a =
−1, b =
21, c =
13
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

( C ) có ba điểm cực trị, điểm cực tiểu của ( C )
Giao điểm của tiếp tuyến d và trục Ox là B

(

a < 0, b > 0
có tọa độ là ( 0;3) ⇔ 
c = 3
3;0 và hệ số góc của d là −8 3

)

0
9a + 3b + c =
 B ∈ (C )
0
9a + 3b + c =
⇔
⇔

⇔
.
3
−8 3
6a + b =−4
 y ' 3 = −8 3
4a 3 + 2b 3 =
c = 3

0 ta được a =
Giải hệ 9a + 3b + c =
−1, b =
2, c =⇒
3 y=
− x4 + 2 x2 + 3
6a + b =−4


( )

( )

2x + 2
có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp
x −1
tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân.
B. y =− x − 2 y =− x + 7 .
A. y =− x − 1, y =− x + 6 .
C. y =− x − 1, y =− x + 5 .
D. y =− x − 1, y =− x + 7 .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
−4
Hàm số đã cho xác định với ∀x ≠ 1 . Ta có: y ' =
2
( x − 1)

Câu 56. Cho hàm số: y =

Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của ( C ) :
=
y

−4

( x0 − 1)

2

( x − x0 ) +

2 x0 + 2
2x + 2
−4
với y ' ( x0 ) =
và y0 = 0
2
x0 − 1
x0 − 1
( x0 − 1)

Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng ±1 . Mặt
khác: y ' ( x0 ) < 0 , nên có: y ' ( x0 ) = −1
Tức

−4

( x0 − 1)

2

=−1 ⇔ x0 =−1 hoặc x0 = 3 .

∗ Với x0 = −1 ⇒ y0 = 0 ⇒ ∆ : y = − x − 1
∗ Với x0 = 3 ⇒ y0 = 4 ⇒ ∆ : y = − x + 7
Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y =− x − 1, y =− x + 7 .
2x + 2
Câu 57. Cho hàm số: y =
có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp
x −1
tuyến tại điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến trục Oy bằng 2 .
4
1
4
2
A. y =
B. y =
− x− , =
− x− , =
y 4 x + 14 .

y 4 x + 1.
9
9
9
9
4
1
4
2
C. y =
D. y =
− x− , =
− x− , =
y 4 x + 1.
y 4 x + 14 .
9
9
9
9
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

17


Tổng ôn Toán 11

Hàm số đã cho xác định với ∀x ≠ 1 . Ta có: y ' =

Chủ đề 20. Tiếp tuyến

−4

( x − 1)

2

Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của ( C ) :
y
=

−4

( x0 − 1)

2

( x − x0 ) +

2 x0 + 2
2x + 2
−4
với y ' ( x0 ) =
và y0 = 0
2
x0 − 1
x0 − 1
( x0 − 1)

2

Khoảng cách từ M ( x0 ; y0 ) đến trục Oy bằng 2 suy ra x0 = ±2 , hay M  −2;  , M ( 2;6 ) .
3

4
2
2

Phương trình tiếp tuyến tại M  −2;  là: y =
− x−
9
9
3

Phương trình tiếp tuyến tại M ( 2;6 ) là: =
y 4 x + 14

4
2
Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y =
− x− , =
y 4 x + 14 .
9
9
x 2 + 2mx + 2m 2 − 1
Câu 58. Tìm m để đồ thị hàm số y =
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp
x −1

tuyến với ( Cm ) tại hai điểm này vuông góc với nhau.
2
B. m = −1
3
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Hàm số đã cho xác định trên  \ {1} .

A. m =

C. m =

2
, m = −1
3

D. m = 0

Xét phương trình hoành độ giao điểm của ( Cm ) và trục hoành:

x 2 + 2mx + 2m 2 − 1
= 0 ⇔ x 2 + 2mx + 2m 2 − 1 = 0, ( x ≠ 1) (1)
x −1
Để ( Cm ) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt
2
2
(1 − m )(1 + m ) > 0
−1 < m < 1
∆=' m − 2m + 1 > 0
khác 1 . Tức là ta phải có: 

hay
tức 
( 2) .

2
1 + 2m + 2m − 1 ≠ 0
m ≠ 0
2m ( m + 1) ≠ 0
Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của (1) . Theo định lý Vi – ét, ta có: x1 + x2 =
−2m, x1=
.x2 2m 2 − 1

Giả sử I ( x0 ;0 ) là giao điểm của ( Cm ) và trục hoành. Tiếp tuyến của ( Cm ) tại điểm I có hệ số góc

( 2 x0 + 2m )( x0 − 1) − ( x02 + 2mx0 + 2m2 − 1)
y ' ( x0 ) =
2
( x0 − 1)

2 x0 + 2m
x0 − 1

Như vậy, tiếp tuyến tại A, B lần lượt có hệ số góc là y ' ( x1 ) =

2 x + 2m
2 x1 + 2m
, y ' ( x2 ) = 2
.
x2 − 1
x1 − 1

 2 x + 2m  2 x2 + 2m 
Tiếp tuyến tại A, B vuông góc nhau khi và chỉ khi y ' ( x1 ) y ' ( x2 ) = −1 hay  1

 = −1
 x1 − 1  x2 − 1 
2
⇔ 5 x1.x2 + ( 4m − 1)( x1 + x2 ) + 4m 2 + 1 =0 tức 3m 2 + m − 2 =
−1 hoặc m = . Đối chiếu điều
0 ⇔m=
3
2
kiện chỉ có m = thỏa mãn.
3

18

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

DẠNG 2: TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC K CHO TRƯỚC
Câu 1. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

Chủ đề 20. Tiếp tuyến

2 − 3x
tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục
x −1

hoành bằng :
A. 9 .

B.

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Tập xác định: D =  \ {1} .
Đạo hàm: y′ =

1

( x − 1)

2

1
.
9

C. −9.

1
D. − .
9

.

2 

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại A  ; 0  .
3 
2
Hệ số góc của tiếp tuyến là y′   = 9.
3
x3
Câu 2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = + 3 x 2 − 2 có hệ số góc k = −9, có phương trình là :
3
B. y =
C. y − 16 =
D. y + 16 =
A. y − 16 =
−9( x + 3).
−9( x + 3).
−9( x + 3).
−9( x − 3).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Tập xác định: D = .
Đạo hàm: y=′ x 2 + 6 x.
k =−9 ⇔ y′ ( xo ) =−9 ⇔ xo2 + 6 xo =−9 ⇔ ( xo + 3) =0 ⇔ xo =−3 ⇒ yo =16
2

−9 ( x + 3) + 16 ⇔ y − 16 =
−9 ( x + 3) .
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là ( d ) : y =
Câu 3. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
A. −2.
B. 2.
Hướng dẫn giải:

Chọn B.
D  \ {−1} .
Tập xác định:=
Đạo hàm: y′ =

2

( x + 1)

2

x −1
tại giao điểm với trục tung bằng :
x +1
C. 1.
D. −1.

.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có xo =0 ⇒ yo′ =2 .

Câu 4. Cho hàm số =
y x 3 − 3 x 2 có đồ thị ( C ) . Có bao nhiêu tiếp tuyến của ( C ) song song đường thẳng
=
y 9 x + 10?
A. 1.
B. 3.
C. 2.
D. 4.
Hướng dẫn giải:

Chọn C.
Tập xác định: D = .
Đạo hàm: =
y′ 3 x 2 − 6 x.
 xo = 3
k = 9 ⇒ 3 xo2 − 6 xo − 9 = 0 ⇔ xo2 − 2 xo − 3 = 0 ⇔ 
.
 xo = −1
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

19


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 20. Tiếp tuyến

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 5. Gọi ( C ) là đồ thị của hàm số y = x 4 + x . Tiếp tuyến của ( C ) vuông góc với đường thẳng
d : x + 5y =
0 có phương trình là:
A. =
B. =
y 3x − 5 .
y 5x − 3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có : y′ = 4 x3 + 1

C. =

y 2x − 3 .

D. y= x + 4 .

1
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = − x nên tiếp tuyến có hệ số góc y′ ( x0 )= 4 x03 + 1= 5
5
⇒ x0 = 1 ( y0 = 2 )

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M (1; 2 ) có dạng

y = 5 ( x − 1) + 2 = 5 x − 3 .
x 2 + 3x + 2
. Tìm tọa độ các điểm trên ( C ) mà tiếp tuyến tại đó với
x −1
( C ) vuông góc với đường thẳng có phương trình y= x + 4 .

Câu 6. Gọi ( C ) là đồ thị hàm số y =

A. (1 + 3;5 + 3 3), (1 − 3;5 − 3 3).

B. ( 2; 12 ) .

C. ( 0; 0 ) .

D. ( −2; 0 ) .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Tập xác định: D =  \ {1} .

Đạo hàm: y′

( 2 x + 3)( x − 1) − ( x 2 + 3x + 2 )
=
2
( x − 1)

x2 − 2 x − 5

( x − 1)

2

.

−1
Giả sử xo là hoành độ điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán ⇒ y′ ( xo ) =
⇒

xo2 − 2 xo − 5

( xo − 1)

2

=−1 ⇒ xo2 − 2 xo − 5 =− ( xo − 1)

2

⇔ 2 xo2 − 4 xo − 4 = 0 ⇔ xo2 − 2 xo − 2 = 0

⇔ xo =1 ± 3 ⇒ y =5 ± 3 3.

Câu 7. Biết tiếp tuyến ( d ) của hàm số y = x 3 − 2 x + 2 vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ
nhất. Phương trình ( d ) là:
1 18 − 5 3
1 18 + 5 3
+
+
, y =− x +
.
9
9
3
3
B. y= x, y= x + 4.
A. y =− x +

1 18 − 5 3
1 18 + 5 3
+
+
, y =− x −
.
9
9
3
3
D. y =−
x 2, y =+

x 4.
Hướng dẫn giải:
Tập xác định: D = .
Chọn C.
=
y′ 3 x 2 − 2.
C. y =− x +

20

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 20. Tiếp tuyến

Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình ∆ : x =
y.

⇒ ( d ) có hệ số góc là −1.

y′ ( xo ) =−1 ⇔ 3 xo2 − 2 =−1 ⇔ xo =±

1
.
3

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
1 18 − 5 3

1 18 + 5 3
+
, y =− x −
.
( d ) : y =− x + +
9
9
3
3
Câu 8. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y = tan x tại điểm có hoành độ x =
A. k = 1 .

B. k =

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

1
.
2

C. k =

2
.
2

π
4

.

D. 2 .

1
y = tan x ⇒ y′ = 2 .
cos x

π
π
′   2 .
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y = tan x tại điểm có hoành độ x = =
là k y=
4
4
1
x
Câu 9. Hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong y = f ( x ) = − sin tại điểm có hoành độ x0 = π là:
2
3
1
1
3
3
A. −
.
B.
.
C. − .
D.

.
12
12
12
12
Hướng dẫn giải:
Chọn C
1
1
1
x
π
f ′ ( x ) = − cos ⇒ f ′ (π ) =
− cos =
−
6
3
6
3
12
Câu 10. Cho hàm số
=
y x 3 – 6 x 2 + 7 x + 5 ( C ) . Tìm trên ( C ) những điểm có hệ số góc tiếp tuyến tại điểm
đó bằng −2 ?
A. ( –1; –9 ) ; ( 3; –1) .
B. (1;7 ) ; ( 3; –1) .
C. (1;7 ) ; ( –3; –97 ) .
D. (1;7 ) ; ( –1; –9 ) .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm. Ta có y′ = 3 x 2 − 12 x + 7 .
Hệ

số

góc

của

tiếp

tuyến

bằng

−2

⇒ y′ ( x0 ) =
−2
⇔ 3 x02 − 12 x0 + 7 =−2

1 y0 =7
 x0 =⇒
⇔ 3 x02 − 12 x0 + 9 = 0 ⇔ 
.
3 ⇒ y0 =
−1
 x0 =
x 2 + 3x + 3
, tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng.

Câu 11. Cho hàm số y =
x+2
d : 3y – x + 6 =
0 là
A. y –3
B.=
x – 3; y –3 x –11 .
=
=
y –3 x – 3;=
y –3 x + 11 .
C. y = –3 x + 3; y = –3 x –11 .
D. y –3
=
=
x – 3; y 3 x –11 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

21


Tổng ôn Toán 11

d : 3y – x + 6 = 0 ⇔ y =

Chủ đề 20. Tiếp tuyến

1
1
x − 2 ⇒ kd = .
3
3

Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm. Ta có y′ =

x2 + 4x + 3

( x + 2)

Tiếp tuyến vuông góc với d ⇒ ktt .kd =
−1 ⇔ ktt =−

2

.

1
=−3 ⇒ y′ ( x0 ) =−3
kd

3

x0 = −

x + 4 x0 + 3
2.
⇔

=
−3 ⇔ 4 x02 + 16 x0 + 15 =0 ⇔ 
2
5
( x0 + 2 )
x = −
 0
2
3
3
3 3

Với x0 =
− ⇒ y0 = ⇒ pttt: y =
−3  x +  + ⇔ y =
−3 x − 3 .
2
2
2 2

5
7
5 7

Với x0 =
− ⇒ y0 =
− ⇒ pttt: y =
−3  x +  − ⇔ y =
−3 x − 11 .
2

2
2 2

2
0

thị hàm số y
Câu 12. Tìm m để tiếp tuyến của đồ=
vuông góc với đường thẳng d : 2 x – y – 3 = 0 .
3
1
A. .
B. .
4
4
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
d : 2 x – y – 3 = 0 ⇔ y = 2 x − 3 ⇒ kd = 2 .
5
=
y ( 2m –1) x 4 – m + ⇒ =
y′ 4 ( 2m − 1) x3 .
4
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị
hàm số y
=

( 2m –1) x 4 – m +
C.

7
.
16

( 2m –1) x 4 – m +

5
tại điểm có hoành độ x = –1
4

D.

9
.
16

5
tại điểm có hoành độ x = –1 là
4

ktt =y′ ( −1) =
4 ( 2m − 1)( −1) =
−4 ( 2m − 1) .
3

9
Ta có ktt .kd =−1 ⇔ −8 ( 2m − 1) =−1 ⇔ m =
16
ax + b
Câu 13. Cho hàm số y =

có đồ thị cắt trục tung tại A ( 0; –1) , tiếp tuyến tại A có hệ số góc k = −3 .
x −1
Các giá trị của a , b là
A. a = 1 , b = 1 .
B. a = 2 , b = 1 .
C. a = 1 , b = 2 .
D. a = 2 , b = 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
ax + b
b
A ( 0; –1) ∈ ( C ) : y = ⇒
=−1 ⇔ b =1 .
−1
x −1
−a − b
Ta có y′ =
. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm A là k =y′ ( 0 ) =−a − b =−3
2
( x − 1)

⇔ a =3−b = 2.
Câu 14. Điểm M trên đồ thị hàm số y = x3 – 3 x 2 –1 mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc k bé nhất trong tất
cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M , k là
A. M (1; –3) , k = –3 .
B. M (1;3) , k = –3 .
C. M (1; –3) , k = 3 .
D. M ( −1; –3) , k = –3 .
22

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 20. Tiếp tuyến

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gọi M ( x0 ; y0 ) . Ta có =
y′ 3x 2 − 6 x .

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại M là =
k y′ ( x0=
) 3x02 − 6 x=0 3 ( x0 − 1) − 3 ≥ −3
2

Vậy k bé nhất bằng −3 khi x0 = 1 , y0 = −3 .
Câu 15. Cho hàm số y = x3 + 3 x 2 − 6 x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến
1
vuông góc với đường thẳng y =
− x +1
18
A. =
: y 18 x + 8 và=
B. =
: y 18 x + 8 và=
y 18 x − 27 .
y 18 x − 2 .
D. =

: y 18 x + 81 và=
C. =
: y 18 x + 81 và=
y 18 x − 2 .
y 18 x − 27 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm
Ta có: y ' = 3 x 2 + 6 x − 6 .
1
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =
− x + 1 nên
18
2
Ta có: y '( x0 ) =15 ⇔ x0 + 2 x0 − 8 =0 ⇔ x0 =−4, x0 =2
Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến:=
y 18 x − 27 .
y 18 x + 81 và=
3
Câu 16. Cho hàm số y = x − 3 x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của
tiếp tuyến bằng 9
A. =
B. =
y 9 x − 1 hay =
y 9 x + 17
y 9 x − 1 hay =
y 9x +1
C. =
D. =
y 9 x − 13 hay =

y 9x +1
y 9 x + 17
y 9 x − 13 hay =
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: =
y ' 3 x 2 − 3 . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm

Ta có: y '( x0 ) = 9 ⇔ 3 x02 − 3 = 9 ⇔ x0 = ±2
• x0 =2 ⇒ y0 =3 . Phương trình tiếp tuyến:
y = 9( x − 2) + 3 = 9 x − 13 .
• x0 =−2 ⇒ y0 =−1 . Phương trình tiếp tuyến:
y = 9( x + 2) − 1= 9 x + 17 .
Câu 17. Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông
góc với trục Oy.
A. y = 2, y = −1
B. y = 3, y = −1
C. y = 3, y = −2
D. x = 3, x = −1
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: =
y ' 3 x 2 − 3 . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm
Vì tiếp tuyến vuông góc với Oy nên ta có: y '( x0 ) = 0
Hay x0 = ±1 . Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: y = 3, y = −1 .
Câu 18. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = 2 x 4 − 4 x 2 + 1 biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng=
y 48 x − 1 .
A.=
B.=

C.=
D.=
y 48 x − 9
y 48 x − 7
y 48 x − 10
y 48 x − 79
Hướng dẫn giải:
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

23


Tổng ôn Toán 11

Chọn D.
Ta có: =
y ' 8 x3 − 8 x

Chủ đề 20. Tiếp tuyến

Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm.
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng=
y 48 x − 1
3
Nên ta có: y '( x0 ) = 48 ⇔ x0 − x0 − 6 = 0 ⇔ x0 = 2
Suy ra y0 = 17 . Phương trình tiếp tuyến là:
y = 48( x − 2) + 17 = 48 x − 79 .
Câu 19. Cho hàm số y = x 4 + x 2 + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song
song với đường thng =
y 6x −1

B. =
C. =
D. =
A. =
y 6x − 7
y 6x − 2
y 6x − 8
y 6x − 3
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: =
y ' 4 x3 + 2 x . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng =
y 6 x − 1 nên ta có:
3
y '( x0 ) =6 ⇔ 4 x0 + 2 x0 =6 ⇔ x0 =1 ⇒ y0 =3
Phương trình tiếp tuyến: =
y 6x − 3 .
2x + 2
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với
Câu 20. Cho hàm số y =
x −1
đường thẳng d : y =
−4 x + 1 .
−4 x + 2
−4 x + 21
−4 x + 12
−4 x + 2
y =
y =

y =
y =
A. 
B. 
C. 
D. 
−4 x + 14
−4 x + 14
−4 x + 1
−4 x + 14
y =
y =
y =
y =
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
−4
Hàm số xác định với mọi x ≠ 1 . Ta có: y ' =
( x − 1) 2
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):
Vì tiếp tuyến song với đường thẳng d : y =
−4 x + 1 nên ta có:
−4
y '( x0 ) =−4 ⇔
=−4 ⇔ x0 =0, x0 =2 .
( x0 − 1) 2
• x0 = 0 ⇒ y0 = 2 ⇒ ∆ : y = −4 x + 2
• x0 = 2 ⇒ y0 = 6 ⇒ ∆ : y = −4 x + 14 .
2x + 2
Câu 21. Cho hàm số y =

(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết biết tiếp tuyến tạo với hai
x −1
trục tọa độ một tam giác vuông cân.
 y =− x − 1
 y =− x − 11
 y =− x − 11
 y =− x − 1
A. 
B. 
C. 
D. 
 y =− x + 7
 y =− x + 7
 y =− x + 17
 y =− x + 17
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
−4
Hàm số xác định với mọi x ≠ 1 . Ta có: y ' =
( x − 1) 2
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):

24

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 20. Tiếp tuyến

Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên tiếp tuyến phải vuông góc với một trong
hai đường phân giác y = ± x , do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng ±1 hay y '( x0 ) = ±1 . Mà y ' < 0, ∀x ≠ 1
nên ta có
−4
y '( x0 ) =−1 ⇔
=−1 ⇔ x0 =−1, x0 =3
( x0 − 1) 2
• x0 = −1 ⇒ y0 = 0 ⇒ ∆ : y = − x − 1
• x0 = 3 ⇒ y0 = 4 ⇒ ∆ : y = − x + 7 .
2x +1
Câu 22. Cho hàm số y =
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với
x −1
1
đường thẳng =
y
x+2
3
A. y =
B. y =
−3 x − 11 hay y =
−3 x + 11
−3 x − 11 hay y =
−3 x + 1
C. y =
D. y =
−3 x − 1 hay y =
−3 x + 1
−3 x − 1 hay y =

−3 x + 11
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
−3
1
Ta có y ' =
. Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng =
y
x+2
2
3
( x − 1)
nên ta có
−3
y '( x0 ) =−3 ⇔
=−3 ⇔ x0 =0, x0 =2
( x0 − 1) 2
0 ⇒ y0 =
−1 , phương trình tiếp tuyến là:
• x0 =
y=
−3 x − 1
• x0 =2 ⇒ y0 =5 , phương trình tiếp tuyến là:
y =−3( x − 2) + 5 =−3 x + 11 .
Câu 23. Cho hàm số y = x 3 − 2 x 2 + 8 x + 5 có đồ thị là ( C ) . Khẳng định nào sau đây đúng nhất ?
A. Không có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau
B. Luôn có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau
C. Hàm số đi qua điểm M (1;17 )
D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:

Chọn A.
Ta có y '( x) = 3 x 2 − 4 x + 8
Giả sử trái lại có hai tiếp tuyến với đồ thị ( C ) vuông góc với nhau.
Gọi x1 , x2 tương ứng là các hoành độ của hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó.

Gọi k1 , k2 lần lượt là các hệ số góc của hai tiếp tuyến tại các điểm trên ( C ) có hoành độ x1 , x2 .

Khi đó k1 , k2 =−1 ⇒ y ' ( x1 ) . y ' ( x2 ) =−1 ⇒ ( 3 x12 − 4 x1 + 8 )( 3 x2 2 − 4 x2 + 8 ) =−1 (1)

Tam thức f ( t ) = 3t 2 − 4t + 8 có ∆ ' < 0 nên f ( t ) > 0∀t ∈  từ đó và từ (1) suy ra mâu thuẫn.
Vậy, giả thiết phản chứng là sai, suy ra (đpcm)
x 2 − 3x + 1
Câu 24. Cho hàm số y =
và xét các phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k = 2 của đồ thị hàm
x−2
số là
A. y 2=
B. y 2=
=
x –1; y 2 x – 3 .
=
x – 5; y 2 x – 3 .
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

25